α

Úhel α přeneseme k polopřímce VA.

VA

K polopřímce VB přeneseme opět úhel α.

Úhel AVB je shodný s úhlem BVC.

rr

r

dd

B

Sčítání a odčítání úhlů

Cd

Úhel AVC je dvojnásobkem úhlu α. | AVC| = 2 · α = α + α

Graficky jsme sečetli dva úhly stejné velikosti, obdobně postupujeme při grafickém sčítání úhlů rozdílných velikostí.

Graficky sečteme úhly α a β.

K jednomu ramenu úhlu β přeneseme úhel α.

α

rr

rd

d

β

2. Sestrojíme oblouk se stejným poloměrem r se středem ve vrcholu úhlu β.

3. V úhlu α vezmeme do kružítka vzdálenost d mezi průsečíky oblouku a ramen úhlu. Přeneseme ji na druhý oblouk od jeho průsečíku s ramenem úhlu β.

4. Narýsujeme druhé rameno úhlu.

1. Zvolíme libovolný poloměr r. Sestrojíme oblouk o poloměru r se středem ve vrcholu úhlu α tak, aby protnul obě jeho ramena.

α + β

Vnější ramena ohraničují úhel α + β.

α

α

Úhly α a β můžeme graficky i odčítat, od většího menší.

β >α, k jednomu ramenu úhlu β přeneseme úhel α.

α

rr

rd

d

β

2. Sestrojíme oblouk se stejným poloměrem r se středem ve vrcholu úhlu β.

3. V úhlu α vezmeme do kružítka vzdálenost d mezi průsečíky oblouku a ramen úhlu. Přeneseme ji na druhý oblouk od jeho průsečíku s ramenem úhlu β dovnitř úhlu β.

4. Narýsujeme druhé rameno úhlu.

1. Zvolíme libovolný poloměr r. Sestrojíme oblouk o poloměru r se středem ve vrcholu úhlu α tak, aby protnul obě jeho ramena.

α – β

Úhel α – β leží uvnitř úhlu β.

Sčítání a odčítání úhlů využíváme při rýsování úhlů větších než 180°.

Narýsuj úhly 216° a 324°.

216° = 180° + 36°

236°

324° = 360° – 36°

314°

Stejný postup využijeme i při měření úhlů větších než 180°.

αα = 180° + 75° Procvičení: učebnice strana 18 – 20, cvičení 1 – 12,

pracovní sešit strana 130, cvičení 1, strana 132, cvičení 10, 11, 13.

α = 255°

Početní operace s úhlyÚhly můžeme početně sčítat, odčítat, násobit i dělit.Při počítání s velikostmi úhlů platí:

1°= 60'1' = 60"

Sčítání úhlů:Sčítáme zvlášť stupně, minuty, vteřiny. Po sečtení, pokud hodnota minut nebo vteřin je rovna nebo větší než 60, převedeme v těchto případech vteřiny na minuty, minuty na stupně.

27° + 45° = 72° 27' + 45' = 72' = 60' + 12' = 1° 12'27" + 45" = 72" = 60" + 12" = 1' 12"

27° 32' + 46° 25' =

72° 28' 36" + 34° 14' 23" =

Součet minut a vteřin je menší než 60.

73° 57'

106° 42' 59"

47° 32' + 26° 57' = 73° 89' = 73° + 60' + 29' = 74° 29‘

72° 48' 36" + 34° 54' 43" = 73° 107' 79" = = 73° + 60' + 47' + 60" + 19" = 74° 48' 19"

Pro lepší přehlednost můžeme sčítat písemně pod sebou:

47° 32'26° 57'73° 89' = 73° + 1° + 29' = 74° 29'

89' = 60' + 29' = 1° 29'

72° 48' 36" 34° 54' 43"

73° 107' 79"

107' = 60' + 47' = 1° 48'

79" = 60" + 19" = 1' 19"

73° 107' 79" = 73° + 1° + 47' + 1' + 19" = 74° 48' 19"

47° 32' + 26° 57' = 74° 29'

72° 48' 36" + 34° 54' 43" = 74° 48' 19"

Počítání ve stupních, minutách a vteřinách je podobné jako počítání s jednotkami času (vychází ze šedesátkové soustavy).

Odčítání úhlů:Odčítáme zvlášť stupně, minuty, vteřiny. Pokud odčítaná hodnota minut nebo vteřin je menší, převedeme v těchto případech jeden stupeň 60 minut, jednu minutu na 60 vteřin a potom odčítáme..

127° – 45° = 82° 1° 27' – 45' = (60' + 27') – 45' = 87' – 45' = 42' 1' 27" – 45" = (60" + 27") – 45" = 87" – 45" = 42"

47° 52' – 26° 25' =

72° 28' 36" – 34° 14' 23" =

21° 27'

38° 14' 13"

47° 32' – 26° 57'

72° 48' 36" – 34° 54' 43"

32' < 57' 1° 32' = 92' 46° 92'

– 26° 57' 20° 35'

36" > 43"

1' 36" = 96"

72° 47' 96" – 34° 54' 43"

48' ‒ 1' = 47'

47' < 54'1° 47' = 107'

72° ‒ 1° = 71°

71° 107' 96" – 34° 54' 43" 37° 53' 53"

Násobení úhlů:

127° · 4 = 508° 1° 27' · 4 = 1° · 4 + 27' · 4 = 4° + 108' = 5° + 48' = 5° 48' 1' 27" · 4 = 1' · 4 + 27" · 4 = 4' + 108" = 5' + 48" = 5° 48'

47° 52' · 4 =

72° 28' 36" · 4 =

191° 28'

289° 54' 24"

Násobíme zvlášť stupně, minuty, vteřiny. Po vynásobení, pokud hodnota minut nebo vteřin je rovna nebo větší než 60, převedeme v těchto případech vteřiny na minuty, minuty na stupně.

47° · 4 = 188°

52' · 4 = 208' = 180' + 28' = 3° 28' 188° + 3° = 191°

36" · 4 = 144" = 120" + 24"= 2' + 24"

28' · 4 = 112' = 60' + 52' = 1° + 52'

72° · 4 = 288°

288° + 1° = 289°

52' + 2' = 54'

Dělení úhlů:

127° : 4 = 31° 3° 3° = 180' 180' : 4 = 45' 20' 0'

47° 52' : 4 = 11°

72° 28' 36" : 4 = 18° 7' 9"

Dělíme zvlášť stupně, minuty, vteřiny. Po vydělení stupňů zbytek převedeme na minuty a přičteme k minutám ze zadání. Pak dělíme minuty. Zbytek převedeme zase na vteřiny, přičteme ke vteřinám ze zadání. Vydělíme vteřiny. Pokud dělení nevychází beze zbytku, zaokrouhlíme na celé vteřiny.

45'

3° 3° = 180' , 180' + 52' = 232' 232' : 4 = 58' 32' 0'

58'

34° 54' 48" : 4 =

34° : 4 = 8° 2° 2° = 120'

120' + 54' = 174' 174' : 4 = 43' 14' 2' , 2' = 120"

120" + 48" = 168" 168' : 4 = 47' 28' 0'

8° 43' 47"

Procvičení: učebnice strana 20 – 21, cvičení 13 – 16, pracovní sešit strana 131 – 134, cvičení 2 – 9, 14, 16 – 22.

Rýsování úhlů bez úhloměruNarýsujte pravý úhel (90°) pomocí kružítka a pravítka (nepoužívejte úhloměr ani trojúhelník s ryskou).

Využijeme znalostí při rýsování osy úhlu.

Přímý úhel má velikost 180°. Osa úhlu rozdělí přímý úhel na dva pravé úhly o velikosti 90°.

r

Úhel 45° získáme rozdělením pravého úhlu na polovinu, součtem úhlu 45° s pravým úhlem dostaneme úhel 135°.

r

45°135°

90°: 2 = 45°

90° + 45° =180° – 45° = 135°

Úhel 60° narýsujeme tak, že na oblouk o poloměru r naneseme od jeho průsečíku s přímkou stejnou vzdálenost r.

r

r

r

60°120°

Vedlejší úhel k úhlu 60° je 120°.

r

r

Osa úhlu rozdělí úhel 60° na úhly o velikosti 30°.

r

Rozdělením úhlu o velikosti 30° na polovinu získáme úhel 15°.

30° 15°

Grafickým sčítáním a odčítáním těchto úhlů získáme úhly dalších velikostí:45°, 75°, 90°, 105°, 120°, 135°, 150°, 165°.

120° = 60° + 60° = 90° + 30° =180° ‒ 60°135° = 90° + 45° = 180° ‒ 45° 150° = 90° + 60° = 180° ‒ 30°165° = 180° ‒ 15°

45° = 30° + 15° 75° = 60° + 15° = 90° ‒ 15° 90° = 60° + 30°105° = 90° + 15°

Úhly na hodináchPohyb minutové ručičky:

Za 15 minut (čtvrt hodiny) ručička opíše úhel 90°.

Za 30 minut (půl hodiny) ručička opíše úhel 180°.

Za 45 minut (tři čtvrtě hodiny) ručička opíše úhel 270°.

Za 60 minut (za jednu hodinu) ručička opíše úhel 360°.

Za 1 minutu ručička opíše úhel 360° : 60 = 6°.

Úhel, který opíše minutová ručička za daný počet minut vypočítáme, když počet minut vynásobíme úhlem 6°, např. za 12 minut 12 · 6° = 72°.

Pohyb hodinové ručičky:

Za 3 hodiny opíše hodinová ručička úhel 90°,

Za 1 hodinu hodinová ručička opíše úhel 360° : 12 = 30°,

minutová ručička úhel 1080° (3 · 360°).Za 6 hodin opíše

hodinová ručička úhel 180°,minutová ručička úhel 2160°

(6 · 360°).Za 9 hodin opíše hodinová ručička úhel 270°,

minutová ručička úhel 3240° (9 · 360°).

Za 12 hodin opíše hodinová ručička úhel 360°,minutová ručička úhel 4320° (12 · 360°).

minutová ručička úhel 360°.

Za 1 minutu hodinová ručička opíše úhel 360° : 12 : 60 = 0,5°,minutová ručička úhel 6°.

Procvičení: učebnice strana 21, cvičení 17 – 19, pracovní sešit strana 132, cvičení 12, strana 133, cvičení 15.