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Á ÁMECÁNICA BÁSICAEstática – CuerposEstática – Cuerpos
en EquilibrioqDr. Andrés Blanco Ortegag
1
ObjetivoObjetivo
El alumno examinará los principios de El alumno examinará los principios desistemas de fuerzas y momentos y suestado en equilibrio Aplicará el equilibrioestado en equilibrio. Aplicará el equilibriopara el análisis isostático de estructuras.Conocerá los mecanismos generadoresConocerá los mecanismos generadoresde la fricción.
2
Equilibrio de una partículaEquilibrio de una partícula
Si la resultante de todaslas fuerzas que actúansobre una partícula escero, la partícula seencuentra en equilibrioencuentra en equilibrio.
0 xF
0 yF
3
Problema 2 64 (Beer Johnston)Problema 2.64 (Beer-Johnston)El aguilón AB está soportado por el cable BC yuna bisagra en A Si el aguilón ejerce sobre eluna bisagra en A. Si el aguilón ejerce sobre elpunto B una fuerza dirigida a lo largo del aguilón yla tensión en la cuerdaBD es de 70lb, calcule:a) el valor de α para elcual la tensión en elcable BC es mínima yb) el valor correspondientede la tensión.
4
Problema 3 7 (Hibbeler)Problema 3.7 (Hibbeler)Determine la cargaDetermine la cargamáxima que puedesuspenderse sinpexceder una tensiónde 780 lb en el cableAB ACAB o AC.
5
Fuerzas en el espacioFuerzas en el espacio
6
7
8
kFjFiFF
FFFFFF
zyx
zzyyxx
coscoscos
kji
FkjiFF
zyx
zyx
coscoscos
coscoscos
9
ESTÁTICAMomentos
10
IntroducciónIntroducción
Fuerzas que actúan sobre los cuerposFuerzas que actúan sobre los cuerposrígidos:
L f t t l ióLas fuerzas externas representan la acciónque ejercen otros cuerpos sobre el cuerporígido en consideraciónrígido en consideración.
Las fuerzas internas son aquellas quemantienen unidas las partículas quemantienen unidas las partículas queconforman al cuerpo rígido.
11
Fuerzas externas e internasFuerzas externas e internas
12
IntroducciónIntroducción
Principio de transmisibilidadPrincipio de transmisibilidad Establece que las condiciones de equilibrio o de movimiento de
un cuerpo rígido permanecerán inalteradas si una fuerza F queactúa en un punto dado de ese cuerpo se reemplaza por unafuerza F’ que tiene la misma magnitud y dirección, pero queactúa en un diferente punto, siempre y cuando las dos fuerzast l i lí d iótengan la misma línea de acción.
13
Producto VectorialProducto Vectorial
El producto vectorial de dos vectores P y Q seEl producto vectorial de dos vectores P y Q se define como el vector V que satisface las siguientes condiciones:siguientes condiciones:
1. La línea de acción de V es perpendicular al plano que tiene a P y a Q.
2. La magnitud de V es el producto de las magnitudes de P y Q por el seno del ángulo formado por P y Q V=PQ sen Q. V PQ sen
3. La dirección de V se obtiene a partir de la regla de la mano derecha, siguiendo el sentido del ángulo
14
formado por P y Q con los dedos doblados.
Producto VectorialProducto Vectorial
• Producto de Vectores:- No son conmutativos- Son distributivos
QPPQ 2121 QPQPQQP
15
Son distributivos- No son asociativos
2121 QPQPQQP SQPSQP
Producto VectorialProducto Vectorial
0 jikkijii
En coordenadas rectangulares:
kQjQiQkPjPiPV
00
0
kkikjjkiijkjjkji
jikkijii
kQjQiQkPjPiPV zyxzyx
zyx PPPkji
V
16
zyx
zyx
QQQ
Momento de una Fuerza con respecto a un PuntoEl vector fuerza esta definido por sumagnitud y su dirección Su efecto sobremagnitud y su dirección. Su efecto sobreel cuerpo rígido depende de su punto deaplicación.
El momento de F respecto a O estaEl momento de F respecto a O estadefinido por:
MO = r x F
El vector momento MO es perpendicular alplano que contiene al punto O y a la fuerzaF.
La magnitud de MO es una medida de latendencia de la fuerza a causar la rotacióndel cuerpo.
FdrFM O sin
17
MomentosMomentosEl sentido delEl sentido delmomento puededeterminarse por
di d lmedio de la manoderecha.Se definen losSe definen losmomentosantihorarios como
iti lpositivos y losmomentos horarioscomo negativos.
18
como negativos.
Teorema de VarignonTeorema de Varignon El momento con respecto a un punto dado O de El momento con respecto a un punto dado O de
la resultante de varias fuerzas concurrentes esigual a la suma de los momentos de las distintasfuerzas con respecto al mismo punto Ofuerzas con respecto al mismo punto O.
2121 FrFrFFr
19
Componentes rectangulares del momento de una fuerza
El momento de F respecto a O
kFjFiFFkzjyixr,FrM
zyx
O
zyxO
kji
kMjMiMM
zyx
O
FFFzyxkji
M
xyzzxyyzx
xyzxyzO
y
yFxFM,xFzFM,zFyFM
kyFxFjxFzFizFyFM
20
Momento de una fuerzaMomento de una fuerzaMomento de una fuerza respecto al punto B
FrM A/BB
p p
kFjFiFF
kzzjyyixxrrr
BABABA
BAA/B
kFjFiFF zyx
kji
zyx
BABABAB
FFFzzyyxxM
21
Momento de una fuerza: planoMomento de una fuerza: plano
kyFxFM kFyyFxxM
ZO
xyO
yFxFMMM
kyFxFM
xBAyBAB
BO
xBAyBAO
FyyFxxMMM
kFyyFxxM
22
xyZ yFxFM xBAyBAB yy
Ejercicio 3 4 (Beer & Johnston)Ejercicio 3.4 (Beer & Johnston)El pedal para un sistema neumático se articulaen B. Se sabe que α=28, determine elmomento de la fuerza de 4lb con respecto al
t B d i d l fpunto B descomponiendo la fuerza en suscomponentes horizontal y vertical.
23
SoluciónSolución
Donde =8 lblbF
lblbF
y
x
557.08sin4961.38cos4
24
y
SoluciónSolución
Fx
Fy
6 5 (20)i
6.5sin(20)in
6.5cos(20)in
dFdFM
inlbM
inlbM
dFdFM
B
B
xyyxB
095.12
20cos5.65567.020sin5.6911,3
25
B
Ej i i 3 21 (B & J h t )Ejercicio 3.21 (Beer & Johnston)Los cables AB y BC seysujetan como se muestraal tronco de un árbol muygrande para evitar que seg p qcaiga. Si las tensiones enlos cables AB y BC son de777N y 990N,y ,respectivamente;determine el momento conrespecto a O de la fuerzapresultante ejercida por loscables sobre el árbol en B.Sol. (5.24i-3.75k) kNm
26
( )
SoluciónSoluciónEl momento con respecto a 0, está dado por:
BCBAB
BCBBAB
TTrMTrTrM
00
000
Las tensiones en los cablesSon determinados como:
TBA TBCSon determinados como:
r
BC
BCBCBC
BA
BABABA r
rTTrrTT
Br0
BCBA
27
SoluciónSoluciónLas coordenadas de los puntos son:
A 27090 mC
mBmA
2.1,0,1.50,4.8,0
2.7,0,9.0
TBA TBCCalculando los vectores: kjirBA 02.74.8009.0
Br0
mr
mkjir
BA
BA
1.112.74.89.0
2.74.89.0222
mr
kjirkjir
BC
BC
99124815
2.14.81.502.14.8001.5
222
28
mrBC 9.9124.81.5
SoluciónSoluciónLas tensiones son:
kji 274890
TBA T
kjiT
NkjiT
BA
BA
504588631.11
2.74.89.0777
BA TBC
kjiT
kjiT
BC
BC
1208405109.9
2.14.81.5990
Br0
El momento con respecto a 0 es: kjijM 504588634.80
NmkiMkjij
8.37546.52411208405104.8
0
0
29
Problema 3 23 (Beer & Johnston)Problema 3.23 (Beer & Johnston)
Una fuerza de 8 Lb seaplica sobre la llave detorsión para enroscar laregadera. Si la línea deacción de la llave deacción de la llave detorsión es paralela aleje x determine eleje x, determine elmomento de la fuerzacon respecto a A.
30
Sol.(42.2i+40.6j-50.4k)Lb-in
Problema 3 25 (Beer & Johnston)Problema 3.25 (Beer & Johnston)
La rampa ABCD sesostiene en las esquinas
di t bl Cmediante cables en C yD. Si la tensión que seejerce en cada uno de losejerce en cada uno de loscables es de 360lb,determine el momento
t A d lcon respecto a A de lafuerza ejercida por: a) elcable en D y b) el cable
31
cable en D, y b) el cableen C.
SoluciónSolución
TrMa
)
r
CGAGA
DEAEA
TrMbTrMa
))
TDE
AErAGr
DE
DEDEDE r
rTT
TCG
CG
CGCGCG r
rTT
32
Producto escalar entre dos vectoresProducto escalar entre dos vectores
El producto escalar El producto escalaro producto puntoentre dos vectoresesta definido por:
cosPQQP
Propiedades1. es conmutativo PQQP
2. es distributivo3. no es asociativo
2121 QPQPQQP
indefinido SQP
33
Q
Producto punto componentes rectangulares
kQjQiQkPjPiPQP zyxzyx
Producto punto entre vectores unitarios
000111 ikkjjikkjjii
Producto punto entre vectores unitarios
2222 PPPPPP
QPQPQPQP zzyyxx
PPPPPP zyx
34
P d t l A li iProducto escalar: AplicacionesQPQPQPPQQP cos
Angulo entre dos vectores
PQQPQPQP
QPQPQPPQQP
zzyyxx
zzyyxx
cos
cos
Proyección de un vector sobre
OL
PQQP
OLPPP
cos
de largo lo a de proyeccion cos
Proyección de un vector sobre un eje determinado
OLPPQ
QP
PQQP
cos
cos
Para un eje definido por un
OL
PPPPPP
coscoscos
Para un eje definido por un vector unitario
35
zzyyxxOL PPPP coscoscos
Triple producto mixto de vectoresTriple producto mixto de vectores
l
Triple producto mixto de vectores
escalarQPS
Los seis productos triples que se pueden formar entre S, Q y Ptienen la misma magnitud pero signos distintos
SPQQSPPQSQPS
PSQSQPQPS
tienen la misma magnitud pero signos distintos.
36
Componentes rectangulares triple producto escalar
Evaluando el triple producto escalar por susEvaluando el triple producto escalar por suscomponentes rectangulares
xyzxyz
zxxzyyzzyx
QPQPS
QPQPSQPQPSQPS
zyx
zyx
PPPSSS
QPS
zyx QQQ
37
Momento de una fuerza respecto a un eje dadoMomento de una fuerza respecto a un eje dado
El momento MO de una fuerza aplicado en elpunto A respecto al punto O es:
FrM O
punto A respecto al punto O es:
La magnitud del momento MOL
FMM
La magnitud del momento MOLrespecto al eje OL es la proyección delvector momento MO en dicho eje
FrMM OOL
Momento de una fuerza respecto a losejes coordenadosejes coordenados.
zxy
yzx
xFzFM
zFyFM
38
xyz yFxFM
Momento de una fuerza respecto a un eje dadoMomento de una fuerza respecto a un eje dado.
Momento de una fuerza respecto a unMomento de una fuerza respecto a uneje arbitrario
BBL MM
BABA
BA
rrr
Fr
El resultado es independiente delpunto B a lo largo del eje dado.
BABA rrr
p g j
39
Problema 3 38 (Beer & Johnston)Problema 3.38 (Beer & Johnston)
Determine los ángulos formados por losg palambres AC y AD de la red de voleibol.
40
SoluciónSoluciónADAC rr
ADAC
ADAC
rrcos
ADr
ACr
41
Problema 3 46 (Beer & Johnston)Problema 3.46 (Beer & Johnston)La tapa ABCD de un baúl de0 732 1 2 ti bi0.732x1.2m tiene bisagras alo largo de AB y se mantieneabierta mediante una cuerdaDEC que pasa sobre ungancho en E sin fricción. Si latensión de la cuerda es detensión de la cuerda es de54N, determine el momentode la fuerza ejercida por lacuerda en D con respecto acuerda en D, con respecto acada uno de los ejescoordenados.
42
SoluciónSoluciónTrM
DErTT
DEAEA TrM
DEDEDE r
TT DET
AEr
kMjMiMM zyxA
43
Problema 3 55 (Beer & Johnston)Problema 3.55 (Beer & Johnston)Un mástil se monta sobre el techo de una casa usando una ménsulaABCD el mástil está sostenido por los cables EF EG y EH Si seABCD, el mástil está sostenido por los cables EF, EG y EH. Si sesabe que la fuerza ejercida por el cable EF en E es de 66N,determine el momento de esa Fuerza con respecto a la línea que unelos p ntos D e Ilos puntos D e I.
44
Solución:Solución:
45
Momento de un ParMomento de un Par
46
Momento de un parMomento de un parDos fuerzas F y –F que tienen la mismamagnitud, líneas de acción paralelas perog , p psentido opuesto, se dice que forman un par.
Momento de un par FrFrM
FrFrr
FrFrM
BA
BA
El momento M de un par esindependiente del origen de
FdrFM sin
independiente del origen decoordenadas, es un vector libre quepuede ser aplicado en cualquier puntocausando el mismo efecto sobre el
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causando el mismo efecto sobre elcuerpo rígido.
Momento de un parMomento de un par
D t d á t i lDos pares tendrán momentos igualessi:
2211 dFdF
• Si los dos pares se encuentran en
2211 dFdF
Si los dos pares se encuentran enplanos paralelos o en el mismo plano.
• Si los dos pares tienen el mismo sentidoo tendencia a hacer rotar la pieza en lao tendencia a hacer rotar la pieza en lamisma dirección
48
Pares EquivalentesPares Equivalentes
49
Problema 4 111 (Bedford)Problema 4.111 (Bedford)Se usan dos llaves para apretarSe usan dos llaves para apretarun codo hidráulico. La fuerzaF=10k lb se aplica en (6,-5,-3)iny la fuerza F se aplica eny la fuerza –F se aplica en(4,-5,-3)in.
a) Determine el momento respecto) pal eje x de la fuerza ejercidasobre la llave derecha.
b) Determine el momento del par) pformado por las fuerzas
c) ¿Explique porqué se usan dosllaves?
50
SoluciónSoluciónCalculando el momento respectoal origen:
El momento del par es:kirr 62
g
lbinjikji
M 60501000
3560 lbinj
kjiM p 20602
kirr 6221
El momento respecto al eje x es:Mx=-50lb-in.
1000 lbinjM p 201000
602
r 1r2r
21 rr
51
Suma de paresSuma de paresConsideremos dos planos que seintersecan P1 y P2 cada uno de los
222
111
planoelen
plano elen
PFrM
PFrM
cuales contiene un par
222 p
21 FFrRrM
La resultante de los vectorestambién forman un par
21 FFrRrM
Por el Teorema de Varignon
21 FrFrM
La suma de dos pares cuyos momentosson iguales a M1 y a M2 es un par de
21 MMM
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momento M igual a la suma vectorial deM1 y M2
Un par puede representarse como un vectorUn par puede representarse como un vector
Un par puede representarse como un vector con magnitud y dirección igual al momento del par.
El vector par obedece las leyes de la adición de vectores.El t t libt lib l t d li ió El vector par es un vector librevector libre, el punto de aplicación no es significativo.
El vector par puede descomponerse en sus componentes vectoriales Mx, My, y Mz.
53
x, y, y z
Descomposición de una fuerza dada en una fuerza en O y un par.
El vector FF no puede moverse simplemente al punto O sin modificarsu efecto sobre el cuerpo rígido.
Fuerzas iguales y opuestas en O producen un efecto neto nulog y p psobre el cuerpo.
Las tres fuerzas pueden ser reemplazadas por una fuerzaequivalente y un par. Es decir por un sistemasistema fuerzafuerza –– parpar..
54
Descomposición de una fuerza en una fuerza y un parDescomposición de una fuerza en una fuerza y un par
Si F h bi l d d d l A dif O’Si F se hubiera trasladado del punto A a un punto diferente O’ setendría que calcular el momento MO’ =r’ X F de FF con respecto a O’.
Los momentos de FF respecto a O y a O’ están relacionados
FsM
FsFrFsrFrM
O
O
''
55
Donde ss es el vector que une a O’ con O.
Descomposición de una fuerza en una fuerza y un par
El momento MM00’’ de FF con respecto a O’ se obtiene sumándole al momento
Descomposición de una fuerza en una fuerza y un par
MMOO de FF con respecto a O el producto vectorial ss x FF que representa elmomento con respecto a O’ de la fuerza FF aplicada en O
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Reducción de un sistema de fuerzas a unafuerza y un par
Cualquier sistema de fuerzas sin importar que tan complejo seapuede ser reducido a un sistema equivalente fuerza-par que actúa enun punto dado O.
Los vectores fuerza y par pueden combinarse en una fuerzaresultante y un par resultante.
FrMFR R
57
FrMFR O
Reducción de un sistema de fuerzas a una
El sistema fuerza-par en O puede
fuerza y un par
moverse al punto O’ con la adicióndel momento de R respecto a O’.
Dos sistemas de fuerzas sonequivalentes si pueden reducirseal mismo sistema fuerza-par.al mismo sistema fuerza par.
RsMM RR
0'0
58
Ejercicio 3 85 (Beer & Johnston)Ejercicio 3.85 (Beer & Johnston)Una fuerza y un par se aplican a una viga; a) reemplace estesistema por una sola fuerza F aplicada en el punto G ysistema por una sola fuerza F aplicada en el punto G ydetermine la distancia d; b) resuelve el inciso a) suponiendo quese intercambian las direcciones de las dos fuerzas de 600N.
59
SoluciónSolucióna) Haciendo suma de fuerzas en y y suma de momentos en A:y y
Resolviendo para F y d: dFM
FF
GA
Gy
260046005.1800
600600800
Resolviendo para FG y d:
mdNFG
3800
b)FF Gy 600600800 GF
dFM GA
Gy
260046005.1800
NFG 800
60
md 0
Ejercicio 3 92 (Beer & Johnston)Ejercicio 3.92 (Beer & Johnston)
Dos trabajadores usanbloques y polipastos
d l i f iconectados a la parte inferiorde una viga I para elevar untanque cilíndrico grande. Setanque cilíndrico grande. Sesabe que la tensión en lacuerda CD es de 366N,
l l f j idreemplace la fuerza ejercidaen C por la cuerda CD porun sistema equivalente
61
un sistema equivalentefuerza-par en O.
SoluciónSoluciónEl momento de TCD en 0 )429130(
)0,5.7,0(
DC
CDestá dado por:
)4.2,9.1,3.0(D
mkjirCD
164.26.53.0
CDT Cr0kjirrTT
CD
CDCDCD 14433618
mrCD 1.6
kjiTrM CDC00
NmkiM
M E
135108014433618
05.70
62
NmkiM E 1351080
Ejercicio 3 105 (Beer & Johnston)Ejercicio 3.105 (Beer & Johnston)El engrane C está rígidamente unido al brazo AB.Si las fuerzas y los pares mostrados se puedenreducir a una sola fuerza equivalente en A,determine esta fuerza equivalente y la magnituddetermine esta fuerza equivalente y la magnituddel par M.
63
SoluciónSoluciónHaciendo suma de fuerzas en x y y, y suma de momentos en A tenemos:en A, tenemos:
yy
xx
RF
RF
20030cos9040sin125
30sin9040cos125
AA MM 55cos906.025cos20085.65sin12525.1
RRR yx 29.35875.50 2222
NRyx
218129.358tan
87.361
1
NmM A 66.326
21.8175.50
tan
64
Ejercicio 3 125 (Beer & Johnston)Ejercicio 3.125 (Beer & Johnston)Las fuerzas mostradas en la figura son la resultante de lascargas verticales hacia abajo sobre las secciones del techocargas verticales hacia abajo sobre las secciones del techoplano de una construcción, debidas a la nieve acumulada.Determine la magnitud y el punto de aplicación de la
lt t d t tresultante de estas cuatro cargas.
65
Ejercicio 3.121 (Beer & Johnston)El cabezal del taladro radialoriginalmente estaba colocado conl b AB l l l jel brazo AB paralelo al eje z,
mientras que la broca y elportabrocas estaban colocadosparalelos al eje y. El sistema se giró25 t l j 20 25 con respecto al eje y y 20 alrededor de la línea de centros delbrazo horizontal AB, hasta quequedó en la posición mostrada. El
d t l d i lproceso de taladro comienza alencender el motor y girar lamanivela hasta que la broca entraen contacto con la pieza de trabajo.R l l f lReemplace la fuerza y el parejercidos por el taladro por unsistema equivalente fuerza-par enel centro 0 de la base de la
l ti l
66
columna vertical.
Cuerpos en Equilibrio
Dr. Andrés Blanco Ortegag
67
Cuerpos en equilibrioCuerpos en equilibrio La estática es el análisis de cuerpos en equilibrio,La estática es el análisis de cuerpos en equilibrio,
incluidos los operadores robóticos, los puentes, laspresas y los edificios. Ahora que ya se tiene elconocimiento para calcular momentos, puedenp , penfrentarse a problemas de equilibrio másinteresantes.
Se establecerán las ecuaciones de equilibrio y Se establecerán las ecuaciones de equilibrio ydescribiremos los diversos tipos de apoyosutilizados frecuentemente en aplicaciones practicas.
Se emplearan las ecuaciones de equilibrio para Se emplearan las ecuaciones de equilibrio paraobtener información respecto a los sistemas defuerzas y momentos que actúan sobre los cuerpos.
68
EquilibrioEquilibrioCuando un cuerpo está en equilibrio, la resultante detodas las fuerzas que actúan sobre él es cero.todas las fuerzas que actúan sobre él es cero.
Un cuerpo con velocidad constante sigue estas mismas
00 0 FrMF
Un cuerpo con velocidad constante sigue estas mismasecuaciones.
R d l i ti 6Recordar que un cuerpo en el espacio tiene 6posibilidades de movimiento; 3 de translación y 3 derotación.En el plano un cuerpo tiene 3 posibilidades deEn el plano, un cuerpo tiene 3 posibilidades demovimiento; 2 de translación y 1 de rotación.
69
Diagrama de Cuerpo Libre (dcl)Diagrama de Cuerpo Libre (dcl)
Seleccionar cuidadosamente el cuerpo sobre el quese quiere trabajar.
Ai l l d l i t tAislar el cuerpo de cualquier otro cuerpo que tengacontacto con él y sustituir su acción por fuerzas.(Cuidar que el sentido de las fuerzas sea el( qadecuado, es decir, fuerzas que actúan sobre elcuerpo).
Considerar las fuerzas de campo y sustituirlas porfuerzas
70
fuerzas.
AplicacionesAplicaciones
71
AplicacionesAplicaciones
72
AplicacionesAplicaciones
73
Industria metal mecánicaIndustria metal-mecánica
74
Industria metal mecánicaIndustria metal-mecánica
75
En el planoEn el planoMMMMF 00
P l ti 3 i
Ozyxz MMMMF 00
Para cuerpos en un plano se tienen 3 ecuaciones:
000 zyx MFF
por lo que se pueden resolver hasta 3 incógnitas.
76
Fuerzas de reacciónFuerzas de reacción
A continuación se presentan las fuerzas deA continuación se presentan las fuerzas dereacción de contacto entre el apoyo y elcuerpo así como entre cuerposcuerpo, así como entre cuerpos
77
Reacciones en los soportesReacciones en los soportes
78
79
80
Ejemplos 4 5 (Beer&Johnston)Ejemplos 4.5 (Beer&Johnston)Un soporte en forma de T sostiene las cuatro cargasUn soporte en forma de T sostiene las cuatro cargasmostradas. Determine las reacciones en A y en B si:a) a=100mm y b) a=70mm.
81
SoluciónSoluciónyB
yAy
xB
0
0x
F
F
0
0
B
y
M
F
82
Ejemplos 4 11 (Beer&Johnston)Ejemplos 4.11 (Beer&Johnston)El valor máximo permisible para cada una de lasreacciones es de 360 N Sin tomar en c enta elreacciones es de 360 N. Sin tomar en cuenta elpeso de la viga, determine el rango de valores dela distancia d para los cuales la viga es segura.p g g
83
SoluciónSolución
0FxB
0
0
B
x
M
F
yA yB
0A
B
M
84
Ej i i 4 15 (B &J h t )Ejercicio 4.15 (Beer&Johnston)Un seguidor ABCD seUn seguidor ABCD semantiene contra una levacircular por la acción de unresorte estirado el cualresorte estirado, el cualejerce una fuerza de 21Npara la posición mostrada enla figura. Si se sabe que latensión en la barra BE es de14N, determine: a) la fuerza14N, determine: a) la fuerzaejercida sobre el rodillo en Ay b) la reacción en el cojineteC
85
C.
SoluciónSolución
yDC
0
0
y
x
F
F
yyC
xC 0CM
EBF
AF
86
Cuerpo sujeto a dos fuerzasCuerpo sujeto a dos fuerzasCuando las fuerzas se aplican sólo en dos puntos de un
l t l áli i d i lifi C d lelemento, el análisis puede simplificarse. Cuando lasfuerzas en A y en B se suman para obtener susrespectivas resultantes el equilibrio se satisface solo si F1tiene la misma magnitud y dirección, pero sentido opuestaa F2 y el equilibrio de momentos se satisface si F1 escolineal a F2colineal a F2.
87
Cuerpo sujeto a tres fuerzasCuerpo sujeto a tres fuerzasSi un elemento esta sujeto a la acción de tresSi un elemento esta sujeto a la acción de tresfuerzas coplanares, entonces es necesario que lasfuerzas sean concurrentes o paralelas, para que elp p qelemento este en equilibrio
88
Ejercicio 4 82 (Beer&Johnston)Ejercicio 4.82 (Beer&Johnston)El elemento ABCD esta sostenido por un apoyo de pasador en C y poruna cuerda inextensible unida en A y D, que pasa sobre poleas sinfricción en B y E. Sin tomar en cuenta el tamaño de las poleas,determine la tensión en la cuerda y la reacción en C.
89
En el espacioEn el espacioPara cuerpos en el espacio se tienen 6p pecuaciones:
000 zyx FFF
l d l h 6
000 zyx
zyxMMM
por lo que se pueden resolver hasta 6incógnitas.
90
AplicacionesAplicacionesLas juntas universales que se encuentranLas juntas universales que se encuentrancomúnmente en las flechas motrices de los autosy de los camiones de tracción trasera, permiten lat i ió d l i i t t i l t dtransmisión del movimiento rotacional entre dosejes no colineales.
91
AplicacionesAplicacionesLa caja de cojinetes que se muestra sostiene alLa caja de cojinetes que se muestra sostiene aleje de un ventilador usado en un taller defundición.
92
ReaccionesReacciones
93
94
Procedimiento de SoluciónProcedimiento de Solución
1 Hacer el diagrama de cuerpo libre del1. Hacer el diagrama de cuerpo libre delsistema.
2 Identificar el cuerpo que tiene fuerzas2. Identificar el cuerpo que tiene fuerzasconocidas.
3 Identificar el cuerpo que tiene fuerzas3. Identificar el cuerpo que tiene fuerzascomo incógnitas.
4 En el caso de problemas en el plano se4. En el caso de problemas en el plano sepueden resolver hasta 3 incógnitas y en elespacio hasta 6
95
espacio hasta 6.
Caso a considerarCaso a considerar Si el número de incógnitas es adecuado Si el número de incógnitas es adecuado,
hacer suma de momentos en el punto en elque se eliminen más incógnitas.
De otro modo, hacer diagrama de cuerpolib d l ti l d tlibre del cuerpo que tiene los datos,resolverlo y tomar los resultados como datospara el cuerpo siguiente.para el cuerpo siguiente.
96
Repetir el paso anterior hasta resolver la incógnitadeseadadeseada.
Recordar que la fuerza que un cuerpo (a) ejercesobre otro cuerpo (b) es igual en magnitud y desobre otro cuerpo (b) es igual en magnitud y desentido contrario a la que el segundo cuerpo (b)ejerce sobre el primer cuerpo (a).
Es muy importante hacer problemas hastaasegurarse de haber entendido adecuadamente losasegurarse de haber entendido adecuadamente losconceptos.
97
Ejercicio 4 99 (Beer&Johnston)Ejercicio 4.99 (Beer&Johnston)Para la porción de máquina quep q qse muestra en la figura, la poleade 4in de diámetro y la rueda Bestán fijos a una flecha sostenida
ji t A D El tpor cojinetes en A y D. El resortede constante igual a 2lb/in noesta deformado cuando θ=0 y elcojinete en C no ejerce ningunacojinete en C no ejerce ningunafuerza axial. Se sabe que θ=180°y que la máquina está en reposoy equilibrio determine: a) lay equilibrio, determine: a) latensión T y b) las reacciones enC y D. No tome en cuenta lospesos de la flecha, la polea y la
98
p , p yrueda.
SoluciónSoluciónyC 0,0,0 zyx FFF
zC
yD
0,0,0 zyx MMM
zD
xD
rF
99
Ej i i 4 113 (B &J h t )Ejercicio 4.113 (Beer&Johnston)Un brazo de 3 m estasometido a una fuerzade 4kN, como semuestra en la figura.Determine la tensiónen cada cable y laen cada cable y lareacción en el apoyode la rótula en Ade la rótula en A.
100
Ejercicio 4 1 (Beer & Johnston)Ejercicio 4.1 (Beer & Johnston)El mástil sobre un camión de 4 300 kg se usa paradescargar de la plataforma, el grupo de tablillas de1 600 kg que se muestran en la figura. Determinela reacción en las llantas: a) traseras B y b)la reacción en las llantas: a) traseras B y b)delanteras C.
101
SoluciónSolución0
0
GCB
y
WRRW
F
05074401560
81.916004300
G
CB
GCB
RRWM
RR
05.07.44.015cos6 CB RRW
57879 CB RR
W972465.07.4 CB RR24266NBR
RGW
33613NCR
N12133N,12133 21 BB RR
102
BR CRGWN16807N,16807 21 CC RR
Ejercicio 4 9 (Beer & Johnston)Ejercicio 4.9 (Beer & Johnston)Cuatro cajas están colocadas sobre una plancha de
d d b d b ll t Si bmadera que descansa sobre dos caballetes. Si se sabeque las masas de las cajas B y D son, respectivamente, de4.5kg y 45kg; determine el rango de valores de la masa dela caja A para los cuales la plancha de madera permaneceen equilibrio cuando se retira la caja C.
103
Ejercicio 4 40 (Beer & Johnston)Ejercicio 4.40 (Beer & Johnston)La barra AC soporta dosLa barra AC soporta doscargas de 100lb, como semuestra en la figura. Losrodillos A y C descansanrodillos A y C descansansobre superficies sinfricción y el cable BD estáunido en B. Determine: a)la tensión en el cable BD,b) la reacción en A y c) lab) la reacción en A y c) lareacción C.
104
Ejercicio 4 60 (Beer & Johnston)Ejercicio 4.60 (Beer & Johnston)Una barra delgada AB de masa m se une a los bloques A yB que se mueven libremente sobre las guías mostradas enB que se mueven libremente sobre las guías mostradas enla figura. El resorte de constante k se encuentra sindeformar cuando θ = 0. a) sin tomar en cuenta el peso delos bloques derive una ecuación en términos de m k l y θlos bloques, derive una ecuación en términos de m, k, l y θque se cumpla cuando la barra está en equilibrio, y b)determine el valor de θ cuando m=2kg, l=750mm yk=30N/mk=30N/m.
105
Ej i i 4 77 (B & J h t )Ejercicio 4.77 (Beer & Johnston)
Una pequeña grúa semonta sobre la partetrasera de unacamioneta y se usapara levantar una cajapara levantar una cajade 120 kg. Determine:a) la fuerza ejercida pora) la fuerza ejercida porel cilindro hidráulico BCsobre la grúa y b) la
106
reacción en A.
Ejercicio 4 98 (Beer & Johnston)Ejercicio 4.98 (Beer & Johnston)Dos bandas de transmisión pasan doble discos soldados a un eje quese sostiene mediante cojinetes en B y D. Si el disco en A tiene un radioj yde 50mm, y el disco en C tiene un radio de 40mm y se sabe que elsistema gira con una velocidad angular constante, determine: a) latensión T, b) las reacciones en B y D. Suponga que el cojinete D noejerce ninguna fuerza de empuje axial e ignore los pesos de los discosejerce ninguna fuerza de empuje axial e ignore los pesos de los discosy el eje.
107
Ejercicio 4 116 (Beer & Johnston)Ejercicio 4.116 (Beer & Johnston)
El poste ABC de 18 ft deEl poste ABC de 18 ft delongitud está sometido auna fuerza de 210 lb, comose muestra en la figura Else muestra en la figura. Elposte se sostiene medianteun apoyo de rótula en A ypor dos cables BD y BE.Para a=9ft, determine latensión en cada cable y latensión en cada cable y lareacción en A.
108
Ejercicio 4 118 (Beer & Johnston)Ejercicio 4.118 (Beer & Johnston)Dos tubos de acero ABCD y EBF se sueldan juntos en B para formar el brazo que se muestra en la figura. El brazo se sostiene q gmediante un apoyo de rótula en D y por dos cables EG e ICFH; el cable ICFH pasa alrededor de poleas sin fricción en C y F. Para la carga mostrada, determine la tensión en cada cable y la g , yreacción en D.
109
Ejercicio 4 144 (Beer&Johnston)Ejercicio 4.144 (Beer&Johnston)Para regar las plantasmostradas un jardineromostradas, un jardineroune los tres tramos detubería AB, BC y CD, yadaptados conrociadores y sostiene elensamble con apoyosensamble con apoyosarticulados en A y D ymediante el cable EF. Sila tubería pesa 0.85lb/ft, determine lat ió l bl
110
tensión en el cable.
ESTÁTICAFricción
Dr. Andrés Blanco Ortega
111
IntroducciónIntroducciónActualmente no existen superficies sin fricción.Cuando dos superficies están en contacto,siempre se presentan fuerzas tangenciales,llamadas fuerzas de fricción cuando se trata dellamadas fuerzas de fricción, cuando se trata demover una superficie respecto a otra.
112
IntroducciónIntroducciónExisten dos tipos de fricción:
Fricción seca o fricción de Coulomb.Fricción de fluidos que se desarrolla entre
capas de fluidos que se mueven a diferentesvelocidades.
113
IntroducciónIntroducción
El tipo de problemasque analizaremos eneste curso involucracuerpos rígidos queestán en contacto a loestán en contacto a lolargo de superficies queno están lubricadasno están lubricadas.Fricción seca.
114
Aplicaciones
115
AplicacionesAplicaciones
116
Fricción estática y cinéticaFricción estática y cinéticaLa evidencia experimentalmuestra que el valor
De forma similar, lamagnitud de F de la fuerzamuestra que el valor
máximo Fm de la fuerza defricción estática es
i l l
magnitud de Fk de la fuerzade fricción cinética puedeexpresarse como:
proporcional a lacomponente normal N de lareacción de la superficie.
d d t t
NF kk p
donde k es una constantellamada coeficiente defricción cinética.
NF sm
donde s es una constantellamada coeficiente defricción estática
117
fricción estática.
Coeficientes de FricciónCoeficientes de FricciónMATERIAL S K
Madera sobre madera 0.5 0.2
0 15 0 09Acero sobre acero 0.15 0.09
Metal sobre cuero 0.6 0.5
Madera sobre cuero 0.5 0.4
Caucho sobre concreto, 0.9 0.7seco
Articulaciones en humanos
0.01 0.01
118
Leyes de la fricción secaCoeficientes de fricción
Máxima fuerza de fricción estática:Coeficientes de fricción estática Máxima fuerza de fricción estática:NF sm
Fuerza de fricción cinéticaNF
Coeficientes de fricción estáticaMetal – metal 0.15-0.60Metal – madera 0.20-0.60
sk
kk NF
75.0
La fuerza máxima de fricción estática y la
Metal – piedra 0.30-0.70Metal – cuero 0.30-0.60Madera – madera 0.25-0.50 La fuerza máxima de fricción estática y la
cinética son:- Proporcionales a la fuerza normal- Dependen del tipo y condición de las
Madera – cuero 0.25-0.50Piedra – piedra 0.40-0.70Tierra tierra 0 20 1 00 - Dependen del tipo y condición de las
superficies de contacto.- Independientes del área de contacto.
Tierra – tierra 0.20-1.00Hule – concreto 0.60-0.90
119
Cuerpo con superficie de contacto
1. Las fuerzas aplicadas sobreel cuerpo no tienden amoverlo.
2. Las fuerzas aplicadas en uncuerpo que tienden a moverlono son lo suficientementegrandes para ponerlo en
(Px = 0) (Px < Fm)grandes para ponerlo enmovimiento.
3. Las fuerzas aplicadas hacenque el cuerpo esté a punto decomenzar a deslizarse(movimiento inminente).
4. El cuerpo se desliza bajo laacción de las fuerzas
120
acción de las fuerzasaplicadas.
(Px = Fm) (Px > Fm)
Ángulos de FricciónÁngulos de FricciónCuando se reemplaza la fuerza normal N y la fuerza defricción F por su resultante se formará un ángulo con lafricción F por su resultante, se formará un ángulo con lanormal a la superficie. Este valor recibe el nombre deángulo de fricción estática y se representa con s.
NN
NF sm
s tan ss tan
121
ss tan
Ángulos de fricciónÁngulos de fricciónConsidere un bloque de peso W que descansa sobre un plano inclinado un ángulo ángulo
Sin fricción Sin movimiento Movimiento inminente MovimientoSin fricción Sin movimiento Movimiento inminente Movimiento
122
Movimiento inminente de un bloque =0 3Movimiento inminente de un bloque s=0.3
123
Ej l 8 1Ejemplo 8.1Una fuerza de 100 lbactua sobre un bloque de300 lb que esta colocadoen un plano inclinado Losen un plano inclinado. Loscoeficientes de fricciónentre el bloque y el plano
0 25 k 0 20son μs= 0.25 μk= 0.20.Determine si el bloqueesta en equilibrio yq yencuentre el valor de lafuerza de fricción.
124
SoluciónSoluciónDeterminar los valores de la fuerza de fricción y dela normal para el plano inclinado necesaria parap p pmantener el equilibrio.
0lb 300 - lb 100 53 F
:0 xF lb80F
:0 yF 0lb 300 - 54 N
lb240NCalcular la máxima fuerza de fricción y compararlacon la fuerza de fricción requerida para el equilibrio.q p qSi es mayor, el bloque no se desliza.
lb 48lb 24025.0 msm FNF
125
El bloque se desliza hacia abajo del plano
SoluciónSi la fuerza de fricción máxima es menor que laf d f i ió id l ilib i lfuerza de fricción requerida para el equilibrio elbloque se desliza.
Calcular la fuerza de fricción cinética.
lb240200 NFF kkactual lb24020.0
lb48actualFactual
126
Ej l 8 3Ejemplo 8.3La ménsula móvil que seqmuestra en la figura puedecolocarse a cualquier alturaa lo largo del tubo de 3 in degdiámetro. Si el coeficientede fricción estático entre eltubo y la ménsula es dey0.25, determine la distanciamínima x a la cual se puedesoportar la carga W, sinsoportar la carga W, sintomar en cuenta el peso dela ménsula.
127
SoluciónCuando W se coloca a la distancia mínima x, medida desdeel eje del tubo, la ménsula esta a punto de deslizarse y lasf d f i ió A B h l d lfuerzas de fricción en A y en B han alcanzado su valoresmáximos.
BBsB
AAsANNFNNF
25.025.0
Aplicando las condiciones de equilibrio estáticoencontramos el mínimo valor de x.
:0 xF 0 AB NN AB NN
:0 yF
WNWNN
WFF
BA
BA
50025.025.0
0
WNN BA 2WN A 5.0 WNN BA 2
:0 BM 05.125.036
0in.5.1in.3in.6
xWNN
xWFN
AA
AA
128
05.1275.026 xWWW
AA
in.12x
Fricción en bandasRelacionando T1 y T2 cuando la banda estamoviéndose hacia la derecha.
Di d lib t d l b dDiagrama de cuerpo libre para una parte de la banda
02
cos2
cos:0
NTTTF sx
022
:0
TsensenTTNFy
Combinando para eliminar N, dividiendo por ,
22sin
22cos
TTT
s
El limite cuando tiende a ceroEl limite cuando tiende a cero
0 TddT
sSeparando variables e integrando desde a0
0
2
1
dTdT
s
T
T
129
p g a0 se
TT
TT
s 1
2
1
2 oln
Ej l 8 8Ejemplo 8.8Una banda plana conecta unapolea A que mueve unapolea A que mueve unamaquina herramienta, con unapolea B, la cual esta unida a laflecha de un motor eléctricoflecha de un motor eléctrico.Los coeficientes de fricciónentre ambas poleas y la bandason: μ = 0 25 y μ = 0 20 Si seson: μs = 0.25 y μk = 0.20. Si sesabe que la tensión máximapermisible en la banda es de600lb determine el momento600lb, determine el momentotorsional máximo que puedeejercer la banda sobre la poleaA
130
A.
SoluciónDetermine la tensión en la banda basado en la polea
B. lb600 322502T
lb4355lb600
688.1lb600 3225.0
11
2
T
eT
eTT
s
lb4.3551.6881 T
Tomando la polea A como cuerpo libre y haciendoTomando la polea A como cuerpo libre y haciendosuma de momentos respecto al centro de la poleapara determinar el torque.
0lb600lb4.355in.8:0 AA MM
ftlb1.163 AM
131
Ejercicio 8 11 (Beer & Johnston)Ejercicio 8.11 (Beer & Johnston)
Los coeficientes de fricción entre todas lasLos coeficientes de fricción entre todas lassuperficies de contacto son s=0.40 y k=0.30.Determine la fuerza mínima P requerida para queDetermine la fuerza mínima P requerida para queel bloque de 60lb comience a moverse si el cableAB: a) se une como se muestra en la figura y b) seretira.
132
Ejercicio 8 16 (Beer & Johnston)Ejercicio 8.16 (Beer & Johnston)En la figura se muestra ungabinete de 48kg que se montagabinete de 48kg que se montasobre ruedas, las cuales sepueden fijar para evitar surotación El coeficiente derotación. El coeficiente defricción estática entre el piso ycada rueda es de 0.30. Si lasruedas en A y B están fijas,uedas e y está jas,determine: a) la fuerza Prequerida para iniciar elmovimiento del gabinete haciagla derecha y b) el máximo valorpermisible de h para que elgabinete no vuelque.
133
Ejercicio 10.8 (Bedford & Fowler)
En la figura la caja Apesa 100lb y la caja B30lb. Los coeficientesde fricción entre la cajaA y la rampa sonA y la rampa sonμs=0.30 y μk=0.28.¿Cuál es la magnitud¿Cuál es la magnitudde la fuerza de fricciónejercida sobre la caja A
134
por la rampa?
Ejercicio 10 25 (Bedford & Fowler)Ejercicio 10.25 (Bedford & Fowler)
El disco mostrado pesa 50 lb. Ignore el peso de la barra. Loscoeficientes de fricción entre el disco y el piso son μs 0.6 y μk = 0.4.
(a) ¿Qué valor tiene el par M máximo que se puede aplicar aldisco en reposo sin que éste empiece a girar?
(b) Q é M i li l di i(b) ¿Qué par M es necesario aplicar para que el disco gire convelocidad constante?
135
SoluciónSoluciónSin giro:M 0 lbBB
M A
825.10030cos1025200
22
F 0lbNBN 13.54030cos502
M B 0
lbinM
NffM s
4.16256.013.5405
Con giro:
NffMM
k
B
050
136
lbinM 25.10854.013.54
Ejercicio 10 33 (Bedford & Fowler)Ejercicio 10.33 (Bedford & Fowler)
El bloque mostrado pesaEl bloque mostrado pesa80 N. El coeficiente defricción estática entre lassuperficies de lasuperficies de laabrazadera y el bloque esμs = 0.2. Cuando laabrazadera está alineadacomo se muestra, ¿quéfuerza mínima debefuerza mínima debeejercer el resorte paraimpedir que el bloque sedeslice?
137
deslice?
SoluciónSolución
Ts F
FRF
TF
cosWFTs
Ts FTFcosWFT
W
138
Ejercicio 8 109 (Beer & Johnston)Ejercicio 8.109 (Beer & Johnston)Una banda plana se utiliza para transmitir un momentotorsional de la polea A a la polea B Como se muestra en latorsional de la polea A a la polea B. Como se muestra en lafigura, cada una de las poleas tiene un radio de 3in y sobreel eje de la polea A se aplica una fuerza con una magnitudP 225lb Si b l fi i t d f i ió tátiP=225lb. Si se sabe que el coeficiente de fricción estáticaes de 0.35, determine: a) la torsión máxima que puede sertransmitida y b) el valor máximo correspondiente a lay ) ptensión en la banda.
139
BilbliografíaBilbliografía1. Mecánica Vectorial para Ingenieros – Estática, Beer,p g
Johnston, ElisenbergMéxico, 2005. Séptima edición. Mc Graw Hill. ISBN:970-10-4469-X.
2. Mecánica Vectorial para Ingenieros – Estática, RusselHibbeler, México, 2004. Decimal edición, PearsonEducation - Prentice Hall. ISBN: 970-26-0501-6.
3. Estática - Mecánica para Ingeniería, Bedford/FowlerMéxico, 2000. Prentice Hall – Addison Wesley. ISBN:968-444-398-6968 444 398 6.
4. Engineering Mechanics – Statics, Merian/KraigeFifth edition, 2002. John Wiley & Sons, Inc. ISBN: 0-471-40645 540645-5.
140
