STATISTIK NONPARAMETRIK

Kuliah 12-1: Kasus k-Sampel Independen (Bebas): Uji Jonckheere

Dosen:Dr. Hamonangan Ritonga, MSc

Sekolah Tinggi Ilmu Statistik JakartaTahun 2013

Uji Jonckheere (1): Pengantar Pada Uji Kruskal-Wallis kita menguji Ho bahwa k-sampel (kelompok)

independen berasal dari populasi yang sama versus Ha bahwa satu atau lebih dari kelompok sampel berbeda dari yang lain.

Ada kalanya, peneliti ingin menunjukkan Ha yang lebih spesifik. Misalnya:1) Seorang peneliti ingin menguji apakah dosis obat yang bervariasi

berdampak pada kinerja belajar, dimana peneliti ingin menguji Ho bahwa “tidak ada perbedaan” vs Ha bahwa meningkatnya dosis akan

mengakibatkan pemburukan kinerja belajar2) Seorang pendidik ingin tahu apakah tingkat-tingkat gangguan pada saat ujian yang diklasifikasikan dari ringan, sedang dan berat mengakibatkan makin turunnya nilai-nilai peserta ujian.

Uji Jonckheere mirip dengan Uji Kruskal-Wallis, tetapi mempunyai Ha yang spesifik. Uji Jonclheere menguji Ho saat k-sampel diurutkan dalam suatu urutan berdasarkan teori.

Uji Jonckheere (2)

AsumsiData yang dianalisis terdiri dari k sampel independen yang berurutan yang berasal dari populasi 1, 2,…,k dengan median masing-masing tidak diketahuiObservasi independen baik dalam sampel maupun antar sampel

Syarat DataData paling tidak berskala ordinal

Bentuk Hipotesis: H0: Sampel-sampel berasal dari populasi-populasi dengan median yang sama H1: Sampel-sampelberasal dari populasi-populasi dengan median yang

berurutan

• Untuk sampel-sampel dengan ukuran kecil

Uji Jonckheere (3): Statistik Uji

1

1 1

k

i

k

ijij

jiij UUJ

K :Banyak sampel yang digunakan

Uij: Jumlah pasangan obeservasi (a, b) untuk setiap Xia yang lebih kecil dari Xjb

Dengan kata lain semua observasi pada sampel-i dibandingkan dengan semua

observasi pada sampel ke-j. Jika nilai Xia lebih kecil dari nilai Xjb maka

pasangan tersebut diberi skor 1, namun ada catatan jika nilainya sama maka

diberi skor 0,5 dan jika nilai Xia lebih besar dari Xjb maka pasangan tersebut

diberi skor 0. merupakan jumlah semua skor pasangan yang terjadi antara

sampel ke-i dengan sampel ke-j. Untuk lebih jelasnya akan diperagakan pada

contoh soal.

Daerah tolak : J ≥Jα untuk k sampel dengan ukuran n1, n2, n3 …..,nk (Jα lihat Tabel Nilai Kritis Jonchere /lihat tabel P buku Sidney Siegel Second Edition)

.

Uji Jonckheere (4): Statistik Uji (Lanjutan)

• Untuk sampel-sampel dengan ukuran besar Untuk sampel besar, distribusi nilai mendekati normal sehingga diterapkan pendekatan normal.

Dimana:

Daerah tolak : Zhit ≥ Zα (satu sisi)

72/3232

4

1

22

1

22

k

jjj

k

jj

nnNN

nNJ

Z

k

jjnN

1

Uji Jonckheere (5): Prosedur1) Menentukan hipotesis

H0 : Populasi memiliki median yang samaH1 : Populasi memiliki median yang berurutanAtau secara matematis dapat ditulis:H0 : θ1 = θ2 = ... = θk

H1 : θ1 < θ2 < ... < θk

2) Menentukan taraf nyata (α)3) Distribusi sampling: sesuai asumsi dan skala data digunakan Statistik Jonckheere

a. Jika k=3 serta n1, n2, dan n3 < 81

1 1

k k k

ij iji j i j i

J U U

Uji Jonckheere (6): Prosedur (Lanjutan)

3) Menentukan Statistik Uji: b. Jika k= 4, 5, atau 6 serta ukuran sampel (nj’s) adalah sama dan <7

c. Jika banyaknya grup (k) dan banyaknya pengamatan dalam setiap grup sangat besar

1

1 1

k k k

ij iji j i j i

J U U

4) Menentukan wilayah kritis. Lakukan penghitungan:a. Buat tabel dua arah dengan k kolom yang merepresentasikan grup

yang urut berdasarkan hipotesis skor dari median paling kecil ke hipotesis median paling besar

b. Hitung statistik Mann-Whitney count dengan rumus:

di mana Xia,jb bernilai:1 jika Xia < Xjb ½ jika Xia = Xjb

0 jika Xia > Xjb

perlu diketahui bahwa:i < jXia adalah nilai pengamatan ke-h pada kelompok ke-iXjb adalah nilai pengamatan ke-g pada kelompok ke-j

c. Hitung statistik uji Jonckheere sesuai statistik uji yang digunakan5) Keputusan

Uji Jonckheere (7): Prosedur (Lanjutan)

Uji Jonckheere (8): Contoh Soal• Svenningsen melaporkan hasil dari penelitian mengenai titrasi

asam-basah dalam ginjal yang dilakukan pada 24 bayi yang dipilih secara acak dari populasi 516 bayi yang baru lahir. Bayi-bayi yang diteliti dibagi menjadi tiga kelompok berdasarkan analisis kimiawi pada tes urine yang dilakukan sebagai berikut:

Kelompok I(bayi cukup

bulan/normal)

Kelompok II(bayi prematur)

Kelompok III(bayi prematur dengan asidosis

berumur 1-3 minggu)4.5 4.1 7.33.9 3.9 8.45.0 3.2 6.94.8 4.6 7.34.1 5.1 8.24.6 4.9 6.2

5.0 8.24.3 7.95.25.3

Uji Jonckheere (9): Penyelesaian Contoh Soal

Hipotesis• H0 : Kelompok-

kelompokbayiberdasarkananalisiskimiawipadaurinenyatidakadakecenderunganmenurun (sama)

• H1 : Kelompok-kelompokbayiberdasarkananalisiskimiawipadaurinenyaadakecenderunganmenurundarikelompok III keKelompok I

Atausecaramatematisdapatditulis:• H0 : θI = θII = θIII

• H 1 : θI<θII<θIII

• α = 5% = 0,05• Statistikuji: • Wilayah kritis : TolakH0jikaJ*>z0,05=1,645

Kelompok I II III

i 1 1 2 j 2 3 3

6 8 4.5 8 4.1 7.3 8,5 8 3.9 8 3.9 8.4 3,5 8 5.0 8 3.2 6.9 5 8 4.8 8 4.6 7.3 7,5 8 4.1 8 5.1 8.2 5,5 8 4.6 8 4.9 6.2 8 5.0 8.2 8 4.3 7.9 8 5.2 8 5.3

Uij 36 48 80

Uji Jonckheere (10): PenyelesaianContoh Soal (Lanjutan)Hasil Analisis Kimiawi 24 Urine Bayi

Uji Jonckheere (11): Penyelesaian Contoh Soal (Lanjutan)

Keputusan: Tolak Ho karena J*= 3.73 > Z0,05= 1,645Kesimpulan Median kelompok-kelompok bayi berdasarkan analisis kimia urinenya ada kecenderungan menurun

2

= 18,75

= 3,73

STATISTIK NONPARAMETRIK

Kuliah 12-2: Kasus k-Sampel Dependen (Berhubungan): Uji Page

Dosen:Dr. Hamonangan Ritonga, MSc

Sekolah Tinggi Ilmu Statistik JakartaTahun 2013

Uji Page (1): Pengantar

• Pada Uji Friedman kita menguji hipotesis bahwa k sampel berhubungan berasal dari populasi yang sama dengan hipotesis alternatif k sampel berhubungan berasal dari populasi berbeda. Ada kalanya peneliti menginginkan hasil yang lebih spesifik yaitu apakah sampel pertama, kedua, ketiga dan seterusnya memiliki median yang berurutan. Pengujian tentang k median populasi dengan hipotesis alternatif k median populasi berurutan dari k sampel yang berhubungan ini telah diteliti oleh E. B. Page pada tahun 1963. Oleh karena itu pengujiannya disebut Uji Page.

Uji Page (2): Asumsi

1) Data terdiri dari k (k > 3) sampel yang berhubungan atau terdapat k pengulangan.2) Data diukur dengan skala ordinal, interval

maupun rasio.3) Peneliti harus menentukan sampel mana

yang diprioritaskan yaitu sampel dengan jumlah nilai data terbesar.

Uji Page (3): Bentuk Hipotesis• Bentuk Hipotesis

H0 : Populasi memiliki median yang samaH1 : Populasi memiliki median yang berurutan

Atau secara matematis dapat ditulis:H0 : θ1 = θ2 = ... = θk

H 1 : θ1 < θ2 < ... < θk

Uji Page (4): Statistik Uji

• S

•

Uji Page (5): Wilayah Kritis

– N < 20 ketika k = 3 atau N < 12 untuk 4 < k < 10

Tolak H0 jika Lhitung > Lα;k,n

( lihat Tabel N pada Buku Sidney Siegel Second Edition)

– N > 20 ketika k = 3Tolak H0 jika zL > zα

Uji Page (6)

Prosedur:1) Menentukan hipotesis2) Menentukan taraf nyata : α3) Menentukan statistik uji4) Menentukan wilayah kritis

lakukan perhitungan• Data dibuat dalam tabel dua arah dengan N baris (subjek) dan k kolom

(kondisi atau variabel). Pengurutan kondisi-kondisi tersebut harus disusun berdasarkan kriteria yang spesifik.

• Data di setiap baris diberi peringkat sendiri-sendiri dari 1 sampai k. Data dengan nilai paling kecil diberi ranking 1 dan nilai terbesar diberi ranking k.

• Jumlahkan peringkat setiap kolom (Rj)• Hitung statistik Uji Page

5) Keputusan

Uji Page (7): Contoh Soal• Seorang pekerja laboratorium di suatu rumah sakit mengadakan suatu

penelitian tentang serum bilirubin pada 10 orang bayi normal. Data petugas itu ada pada Tabel dibawah ini. Dengan = 5 %, apakah data ini sudah memberikan cukup bukti untuk menunjukkan adanya tingkat penurunan level serum bilirubin dari waktu ke waktu untuk bayi antara usia 4-10 hari?

KasusUmur (Hari)

4 5 6 7 8 9 101 10.80 6.15 4.10 5.00 5.00 3.40 2.602 12.50 11.80 13.20 11.00 8.20 6.80 6.003 13.70 16.80 16.80 15.60 11.70 12.50 10.554 11.50 6.80 4.00 3.50 1.66 1.60 1.605 10.20 6.40 3.10 3.00 2.60 2.20 1.986 8.00 7.85 7.45 7.00 3.60 4.00 3.007 10.80 11.10 6.15 7.00 3.80 4.30 5.608 14.90 10.80 9.90 9.40 10.50 7.70 7.609 16.20 16.40 15.40 10.20 8.30 10.70 7.40

10 10.80 10.00 6.80 4.60 4.20 3.80 3.50

Uji Page (8): Penyelesaian Contoh Soal• Hipotesis

– H0 : Median serum bilirubin untukbayidenganumur 4 sampai 10 hariadalahsama

– H1 : Median serum bilirubin untukbayidenganumur 4 harilebihrendahdari 5 hari, umur 5 harilebihrendahdari 6 hari, danseterusnyahinggaumur 9 harilebihrendahdari 10 hari

• Atausecaramatematisdapatditulis:– H0 : θ4 = θ5 = θ6 = θ7 = θ8 = θ9 = θ10

– H 1 : θ4<θ5<θ6<θ7<θ8<θ9<θ10

• α = 5% = 0,05• Statistikuji: • Wilayah kritis : TolakH0jikaLhitung>L0,05;7,10 = 1180

Uji Page (9): Penyelesaian Contoh Soal (Lanjutan)Ranking Pengurutan Level Serum Bilirubin Pada 10 Bayi Normal

KasusUmur (Hari)

4 5 6 7 8 9 101 7 6 3 4,5 4,5 2 12 6 5 7 4 3 2 13 4 6,5 6,5 5 2 3 14 7 6 5 4 3 1,5 1,55 7 6 5 4 3 2 16 7 6 5 4 2 3 17 6 7 4 5 1 2 38 7 6 4 3 5 2 19 6 7 5 3 2 4 1

10 7 6 5 4 3 2 1Ri 64 61,5 49,5 40,5 28,5 23,5 12,5

• KeputusanGagaltolakH0karenaLhitung=868,5 <L0,05;7,10 = 1180

• KesimpulanBelumcukupbuktiuntukmengatakanadanyapenurunanserum bilirubin untukbayidenganumur 4 sampai 10 hari

Uji Page (10): Penyelesaian Contoh Soal (Lanjutan)

2. Dilakukan penelitian untuk mengetahui tingkat kepuasan pelanggan terhadap ketersediaan barang-barang kebutuhan di warung, minimarket dan supermarket. responden diambil sebanyak 11 orang untuk masing-masing tempat. Jawaban para responden terdapat dalam tabel. Hasil Survei sebagai berikut:

Pertanyaan: Dengan taraf nyata 1 %, apakah median tingkat kepuasan pelanggan terhap ketersediaan barang-barang kebutuhan di warung, minimarket dan supermarket memiliki median yang berurutan sehingga dapat diketahui tempat manakah yang memiliki ketersediaan barang-barang paling baik. Taraf nyata = 5 %.

No. Kelompok Warung Minimarket Supermarket1 3 3 42 3 4 43 2 3 44 3 4 35 3 3 36 4 4 37 2 4 28 2 4 29 4 4 2

10 4 4 311 4 3 4

3. Dilakukan penelitian untuk mengetahui dampak keefektifan serum Hepatitis baru terhadap pasien selama 7 hari terhadap 15 orang pasien. Hasil sebagai berikut

PasienHari

1 2 3 4 5 6 71 10.80 6.15 4.10 5.00 5.00 3.40 2.602 12.50 11.80 13.20 11.00 8.20 6.80 6.003 13.70 16.80 16.80 15.60 11.70 12.50 10.554 11.50 6.80 4.00 3.50 1.66 1.60 1.605 10.20 6.40 3.10 3.00 2.60 2.20 1.986 8.00 7.85 7.45 7.00 3.60 4.00 3.007 10.80 11.10 6.15 7.00 3.80 4.30 5.608 14.90 10.80 9.90 9.40 10.50 7.70 7.609 16.20 16.40 15.40 10.20 8.30 10.70 7.40

10 10.80 10.00 6.80 4.60 4.20 3.80 3.5011 11.50 6.80 4.00 3.50 1.66 1.60 1.6012 10.20 6.40 3.10 3.00 2.60 2.20 1.9813 8.00 7.85 7.45 7.00 3.60 4.00 3.0014 10.80 11.10 6.15 7.00 3.80 4.30 5.6015 14.90 10.80 9.90 9.40 10.50 7.70 7.60

Dengan taraf nyata 5 %, apakah data ini sudah memberikan cukup bukti untuk menunjukkan apakah serum telah menunjukan keefektifan terhadap virus hepatitis (jumlah virus dalam ribu).