ilDII Iwa Sungkawa'

HUBUNGAN ANTARA UJI t DAN UJI F DALAMPENGUJIAN NILAI TENGAH

I. Pendahuluan

Dalam kehidupan sehari-hari kita selalu dihadapkandengan berbagai persoalanjpermasalahan mulai dari yangsederhana sampai ke persoalan yang rumit atau komplek.Berbagai upaya dapat dilakukan untuk menyelesaikan persoalantersebut dan kadangkala kita dihadapkan untuk membuatkeputusan dalam memilih alternatif penyelesaian yang terbaik,sehingga untuk hal tersebut perlu dipikirkan cara atau metodeterbaik dan cocok yang dapat dipilih untuk penyelesaianpersoalan yang sedang dihadapi.

Banyak cara atau metode yang dapat digunakan dalampengambilan keputusan dan tergantung pada permasalahanyang dihadapi. Diantara cara tersebut, dalam statistik ada suatualat atau metode yang biasa digunakan, yang dikenal denganpengujian hipotesis dan dalam hal ini disebut pengujianhipotesis statistik.

Dalam pengujian hipotesis, berbagai pernyataan tentangparameter dari suatu populasi dapat diuji. Parameter yang biasadiuji adalah rata-rata atau nilai tengah, proporsi, ragam atauvariansi dan koefisien korelasi.

Metode yang digunakan dalam pengujian hipotesis,diantaranya adalah Analisis ragam, dengan menggunakansebaran F atau dikenal dengan uji-F. Analisis ragam diantaranyadapat digunakan untuk menguji kesamaan rata-rata atau nilaitengah dari beberapa kelompok atau populasi. Tetapi untukpengujian kesamaan nilai tengah dua kelompok cukupdigunakan sebaran t atau dikenal dengan uji-t. Dalam tulisan ini

. Stat Bagian Perencanaan Sekretariat Badan Litbang Peltanian

Informatika Pertanian Volume 9 (Desember 2000)

Hubungan antara Uji t dan Uji F 556

g(t) merupakan fungsi kepekatan peluang bagi sebaran tdengan derajat bebas n-l.

Formulasi Untuk Sebaran F

Fungsi kepekatan peluang bersama bagi peubah acak udan v yang saling bebas dan masing-masing menyebar khi-kuadrat dengan derajat bebas rl dan r2, adalah

:t 2. u+v1 -I -1--2 2 29'(u, v) = ( 2J u v e ;0 < u < ~danO < v < ~" / " / '1 +'2 )

[(12 )[(12 )2 2

Jika ada peubah acak baru F =(U/rl)/(V/rl) maka fungsikepekatan peluang bagi peubah tersebut dapat ditentukanmelalui transpormasi peubah acak dengan mengambil suatupeubah baru yang lain z = v dan dengan menggunakan sifatdeterminan Jacobian seperti dalam formulasi sebarab t dapatdiperoleh fungsi kepekatan peluang gabungan bagi F dan Zyaitu g(f,z). Dengan mencari fungsi kepekatan peluangmarginal bagi F yang ditempuh dengan mengintegralkan g(f,z)terhadap z dalam batasan O<z<oo dapat diperoleh fungsikepekatan peluang bagi peubah acak F yaitu

r(~)(l)ry; ~-I2 r 12g(/) = 2 ;0 < 1 < 00

~ r 1 r, +r,r(i)r(-1-) (1 + L)~

2 2 r2

Dimana g(f) merupakan fungsi kepekatan peluang bagi sebaranF dengan derajat bebas rl dan r2.

Hubungan Antara Peubah Acak T dan F

Dari uraian di atas apabila kita perhatikan bentuk peubahbaru T dan F maka untuk peubah

T2=~V /r

557 Informatika Pertanian

dan dengan menggunakan ketentuan dalam formulasi sebaran Fdapat diperoleh fungsi kepekatan peluang untuk T2 yang identikdengan fungsi kepekatan peluang bagi sebaran F dimana rl=ldan r2=r, karena W menyebar normal baku dan dengansendirinya W2 menyebar khi-kuadrat dengan derajat bebas satu.

Jadi berdasarkan ketentuan di atas didapat relasi atalihubungan antara sebaran t dan sebaran F dalam bentuk T2 =F, dan dalam hal ini T2 menyebar secara F dengan derajatbebas satu dan r, atau T2 tV Fl;r'

III. Tinjauan secara empirik.

Dalam pengujian kesamaan dua nilai tengah denganhipotesis Ho: 1.11 = 1.12 dengan alternatif Hl : 1.11 =1.12 dapat

digunakan sebaran t yang dikenal dengan uji t. dalam hal iniderajat bebas uji t dapat di bedakan untuk dua keadaan : a)untuk ukuran sampel dari kedua populasi sarna sebanyak nmaka derajat bebasnya (n-l); b) untuk ukuran sempel yangtidak sarna maka derajat bebasnya (nl+n2-2).Statistik yang digunakan untuk menguji hipotesis di atas untukukuran sampel tidak sarna adalah

Xz - XzI)(1I\+1I2-Z = z~ 1 .

s -+-g

n. nz2 22 (nl -1)sl + (n2 -1)s2

Dimana S g = dan derajat bebasnyanl +n2-2. nl + n2 - 2

Sedangkan untuk ukuran sampel sarna dari keduaperlakuan atau populasi yaitu sebesar n, maka statistik yangdigunakan adalah

XI. - X2., 11-1 = 2)

- - 2n {x II - X 2 .) - (x l - X2 )}~ _r..

1=( (n - 1)

Hubungan antara Vii t dan Vii F 558

Bagian penyebut dari persamaan di atas merupakanragam gabungan untuk kedua sam pel serta tn-l menyebar tdengan derajat bebas (n-1).

Apabila hipotesis di atas diuji dengan menggunakan analisisragam maka dengan sendirinya kita menggunakan sebesar F,dan statistik yang digunakan untuk keperluan ini adalah

F. - Jumlah.Kuadrat.Perlakuan1;(n-l) - Jumlah.Kuadrat .Galat /( n -1)

Untuk membandingkan dua perlakuan atau r=2 danukuran sam pel yang diamati sebanyak n, maka jumlah kuadratperlakuan dan galat adalah sebagai berikut

JK - Perlakuan = n(XI. - X2,)2

n -JK -Galat = L{(Xli-X2i)(Xl., -X2.)}2

i=1

dan bentuk statistiknya adalah

F1;(n-l) = n(~1-X2)2 3)

f {(Xli-X2i)(Xl.,-X2.)}21=1 (n -I)

Jika kita bandingkan persamaan 2) dengan persamaan 3)maka terdapat hubungan antara uji-t dan uji-F, yaitu

2FI;(n-l) = t(n-l)

Hal ini menunjukan bahwa uji-t merupakan hal khusus dari uji-Fdalam hal pengujian dua nilai tengah.

Untuk memberikan gambaran yang lebih jelas, berikut inidiambil suatu contoh penggunaan uji-t dan uji-F sertabagaimana hubungan kedua uji tersebut. Data pengamatanuntuk contoh ini diambil dari Steel and Torrie tentangpertambahan berat pada ternak domba, sebagai berikutKelompok I 57,8 56,2 61,9 54,4 53,6 56,4 53,2Kelompok II 64,2 58,7 63,1 62,5 59,8 59,2

559 Informatika Peltanian

Bentuk hipotesis yang diuji dalam kasus ini adalah Ho : 1.1.1=1.1.2

dan alternatifnya H1: 1.1.1=1.1.2'

Untuk menguji hipotesis di atas, berikut ini dilakukan denganmenggunakan uji-t dan uji-F.a) Jika uji-t digunakan untuk hal di atas, maka dengan

perhitungan sederhana didapat nilai rata-rata untukkelompok I dan kelompok II masing-masing adalah 56,21dan 61,25 dan nilai ragamnya masing-masing adalah 9,015dan 5,30 serta dengan menggunakan persamaan 2)diperoleh nilai t = 3,34

b) Jika digunakan analisis ragam dengan uji-F, maka denganmenggunakan persamaan jumlah kuadrat dapat diperolehJkperlakuan = 81,93 dan Jkgalat = 80,59 serta denganmenggunakan persamaan 3) diperoleh nilai F = 11,18

Dari hasil di atas, ternyata terdapat hubungan t2 =(3,34)2 = 11,16 = F. Jadi untuk hal di atas, dimana kita hanyamembandingkan nilai tengah untuk dua kelompok atau duapopulasi, maka jenis uji yang dipilih cukup uji-t dan tidak perlumenggunakan analisis ragam.

IV. Penutup

Pengujian kesamaan nilai tengah untuk beberapaperubahan atau kelompok/populasi dapat digunakan analisisragam dengan sebaran F (uji-F), khusus untuk mengujikesamaan dua nilai dengan sebaran t (uji-t). Untuk hal initerdapat hubungan antara sebaran t dan sebaran F dalambentuk t2 = F. Dalam pengujian kesamaan nilai tengah denganmenggunakan uji-t dan uji-F, perlu diperhatikan tentang asumsihomogenitas ragam (variansi) agar kesyahihan dari padapengujian dapat terjamin. Walaupun demikian dalam analisisragam dapat diambil suatu teloransi dengan menggunakan sifatrobust (ajeg) terdapat asumsi.

~ Daftar Pustaka

1. Guenther, William C, Analysis of Variance; Prentice Hall,Inc. Englewood Cliff. N, J, 1964.

Hubungan antara Uji t dan Uji F 560

2. Hogg Robert V. and Craig Allen T; Introduction toMathematical Statistics, Macmillan Publishing CoInc. New York 1978

3. Steel, R.G.D. and J.H. Torrie. Principles and Procedures ofStatistic, New York Mc Graw-Hill Book Company,1980.

4. Sudjana, Disain dan Analisis Eksperimen, Tarsito,Bandung 1980.

,