Ukuran Simpangan dan Dispersi

Statistik Bisnis 01

KuartilUkuran letak yang membagi data menjadi 4 bagian yang sama. K1 sampai

25% data, K2 sampai 50% dan K3 sampai 75%.

DATA BERKELOMPOK

퐊퐢 = 퐛 +풊.풏ퟒ − 푪푭

풇dengan i = 1,2,3

Ki = Kuartil ke-I

b = Batas bawah kelas interval

p = Panjang interval

CF= Frekuensi kumulatif dari kelas sebelum kelasyang memuat kuartil

n = Jumlah seluruh frekuensi

f = Frekuensi kelas kuartil

DATA TUNGGAL

Letak Ki = data ke 풊(풏 ퟏ)

ퟒDengan i = 1,2,3

Ki = Kuartil ke-in = Jumlah seluruh frekuensi

2

3

Contoh Kuartil Data TunggalSoal: 1, 2, 5, 9, 7, 3, 2, 1Tentukanlah K1 dari data diatas!Jawab:a. Urutkan angka dari yang terkecil ke terbesar

1, 1, 2, 2, 3, 5, 7, 9b. Tentukan Letak K1

Letak K1 = ( ) = ( ) = = 2

c. Hitung nilai K1

Data ke 2 , yaitu antara data ke-2 dan data ke-3

seperempat jauh dari data ke-2

1, 1, 2, 2, 3, 5, 7, 9

4

Contoh Kuartil Data BerkelompokFrekuensi

13 - 15 816 - 18 2319 - 21 1722 - 24 1825 - 27 828 - 30 431 - 33 134 36 1

80

Nilai Ujian

JUMLAH

Dari tabel distribusi di atas, berapakah nilai K3

5

Jawab:1. Hitung Frekuensi Kumulatif

Frekuensi Frek Kumulatif13 - 15 8 816 - 18 23 3119 - 21 17 4822 - 24 18 6625 - 27 8 7428 - 30 4 7831 - 33 1 7934 36 1 80

80

Nilai Ujian

JUMLAH

2. Tentukan letak kuartil pada interval kelas yang mana:

K1 = ¼ = 1/4 (푛)K2 = ½ = 1/2 (푛)K3 = ¾ = 3/4 (푛)

3. Jika dicari K3, maka:K3 = 푛 = 80 = 60 (ada di frek. Kumulatif interval ke-4)

4. Diketahui: b = 21,5 CF = 48i = 3 f = 18n = 80 p = 3

퐾푖 = 푏 + 푖.푛4 − 퐶퐹푓

푝

퐾3 = 21,5 + 3푥80

4 − 4818

3

= 21,5 + 3= 21,5 + 2 = ퟐퟑ,ퟓ

• Rentang = Data Terbesar – Data Terkecil• Rentang = Data Terbesar – Data TerkecilRENTANG

• Selisih antara K3 – K1• RAK = K3 – K1• Selisih antara K3 – K1• RAK = K3 – K1

RENTANG ANTAR KUARTIL

• Disebut juga deviasi kuarti/ rentang semi kuartil

• SK= (K3 – K1)

• Disebut juga deviasi kuarti/ rentang semi kuartil

• SK= (K3 – K1)

SIMPANGAN KUARTIL

Contoh Soal

77

Ditanya:1. Berapa nilai K1?2. Berapa nilai K3?3. Hitung nilai Rentang Antar

Kuartil (RAK) dan SimpanganKuartil (SK) ?

8

Frekuensi Frek Kumulatif50 - 52 8 853 - 55 10 1856 - 58 16 3459 - 61 14 4862 - 64 10 5865 - 67 5 6368 - 70 2 65

65

Nilai Ujian

JUMLAH

Jawab

58,35 + 3,375 = 61,725

58,35 – 3,375 = 54,975

Lanjutan Jawaban

9

Rentang antar kuartil= K3 – K1= 61,725 - 54 ,975= 6,75

Diartikan “bahwa 50% dari data, nilai paling rendah adalah 54,975 dan paling tinggi adalah 61,725 dengan perbedaan tinggi 6,75”

Simpangan Kuartil (SK)= 퐾3 − 퐾1

= 61,725 − 54,975

= 6,75 = 3,375

Karena퐾1 + 퐾3

= 54,975 + 61,725 =58,35Maka 50% dari mahasiswa mendapatnilai yang terletak dalam interval58,35 ± 3,375 yaitu antara :

dan

10

Simpangan Rata- RataMerupakan penyimpangan nilai-nilai individu terhadap nilai rata-rata.

SR= ∑ ̅

SR= ∑ . ̅

Cara Menghitung:Misalkan hasil pengamatan berbentuk X1, X2, X3...., Xndengan rata- rata yaitu 푥̅, maka:1. Tentukan jarak antara tiap data dengan rata- rata

푥 − 푥̅2. Jarak ditulis dalam simbol 푥 − 푥̅ ( dibaca: harga

mutlak dari selisih 푥 dengan 푥̅ )3. Harga mutlak selalu memberikan nilai positif.4. Jika beberapa jarak dijumlahkan lalu dibagi dengan

n, maka akan diperoleh satuan yang disebut dengan simpangan rata- rata.

Data Tunggal

Data Berkelompok

Contoh Soal Simpangan Rata- Rata (data Tunggal)

11

Xi Xi - x̄ |Xi - x̄|8 -1 17 -2 2

10 1 111 2 2

6Total

1. Carilah nilai rata-rata nya Xi yaitu 푥̅2. Buat 3. Mutlak kan4. Jumlahkan hasil

Xi - x̄Xi - x̄

Xi - x̄

푥 =8 + 7 + 10 + 11

4=

364 = 9

Maka simpangan rata-rata nya adalah :

푆푅 =∑ 푥 − 푥̅

푛=

64

= 112

Contoh Soal Simpangan Rata- Rata (data berkelompok)

12

Hitunglah simpangan rata- rata nya!

Frekuensi31 - 40 141 - 50 251 - 60 561 - 70 1571 - 80 2581 - 90 2091 - 100 12

80

Nilai Ujian

Total

Jawab

13

Frekuensi Xi Fi .Xi Xi - x̄31 - 40 1 35,5 35,5 -41,125 41,125 41,12541 - 50 2 45,5 91 -31,125 31,125 62,2551 - 60 5 55,5 277,5 -21,125 21,125 105,62561 - 70 15 65,5 982,5 -11,125 11,125 166,87571 - 80 25 75,5 1888 -1,125 1,125 28,12581 - 90 20 85,5 1710 8,875 8,875 177,591 - 100 12 95,5 1146 18,875 18,875 226,5

80 6130 808

Nilai Ujian

Total

푥 − 푥̅ 푓 푥 − 푥̅

Mean =6130

80= 76,615

푆푅 =80880

= 10,1

푺풊풎풑풂풏푹풂풕풂 − 풓풂풕풂(푺푹) =∑풇 풙풊 − 풙

풏

14

Ukuran simpangan yang paling banyak digunakan adalahsimpangan baku atau Deviasi Standar.

Pangkat dua dari simpangan baku dinamakan Varians.

Untuk sampel, simpangan baku akan diberikan simbol s danuntuk populasi diberikan simbol 휎 (sigma).

Variansnya tentulah s untuk varians sampel dan 휎 untukvarians populasi

Simpangan Baku

15

Rumus Simpangan BakuVarians Data

Tunggal

1)( 2

2

nxx

s i

1)( 2

2

nxx

s i

푆푖푚푝푎푛푔푎푛퐵푎푘푢 = 푠

Varians Data Kelompok

1)( 2

2

n

xxfs ii

1)( 2

2

n

xxfs ii

푆푖푚푝푎푛푔푎푛퐵푎푘푢 = s

Dimana:f = Frekuensin = Jumlah Frekuensi푥 = Tanda Kelas/Nilai TengahX = Rata-Rata

16

Contoh Soal Simpangan Baku (Data Berkelompok)Hitunglah Varians ( S2) dan Simpangan Baku (S) pada tabel berikut ini :

17

Nilai Ujian Frekuensi31 - 40 141 - 50 251 - 60 561 - 70 1571 - 80 2581 - 90 2091 - 100 12

JUMLAH 80

18

Jika rata- rata (푥) adalah = . = 76,625

Maka, Varians dan Simpangan Baku nya Adalah: 푆 = , = 172,14

Simpangan Baku (S)= 172,14 = 13,12

Latihan Soal 4.1

19

Hitunglah berapa nilai variansdan simpangan baku pada data nilai ujian statistika padamahasiswa UMK berikut ini !

20

Thank You