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UM PROBLEMA DE VALORES DE CONTORNO DE DOIS
PONTOS: BIFURCAÇÃO LOCAL E UM PROBLEMA
INVERSO
Maria Angela de Pace Almeida Prado Giongo
Orientador: Prof.Dr. Plácido Zoéga Táboas
Tese apresentada ao Instituto de
Ciências Matemáticas de São Carlos,
da Universidade de São Paulo, para
obtenção do título de Doutor em
Ciências (Matemática).
SÃO CARLOS 1989
Generally, the bifurcation diagram of these
problems are determined by curves through the origin,
whose tangent lines are a pairwise transversal pendi.
Our main task is the following inverse
problem: "Given such a diagram, how should be the
perturbation in order that the periodic solutions, near
X0 , of the perturbed equation bifurcate according to it".
This is precisely stated in the chapter
where we give a partial, but fairly general, answer to
the question.
viável no sentido que existem muitas referências sobre a
existência de soluções de problemas da forma (3), (4) com
= O, conforme podemos ver em [2], [4], 116], [21],
[29], [36].
Inicialmente, analisamos o problema da e-
xistência e variação do número de soluções de (3), (4),
próximas de Xo, COM OS parâmetros À e p numa vizinhan
ça da origem em R2 . Para este propósito, linearizamos o
problema em torno de x o e o escrevemos na forma
:Lx = N(x,À,p)
onde L e N (.,À,p) são operadores definidos num certo
espaço de Banach X, com. linear. Daí, aplicamos o
método de redução de Liapunov-Schmidt. O caso em que o
núcleo de E, N(L), tem dimensão um é estudado no capí-
tulo II. O caso excepcional dim N(L) = 2 é tratado no
apêndice.
Convém observar que Loud em [24] estudou
o problema de valor de contorno (3), (4) sob outro enfo-
que. Seu estudo se baseia numa análise direta do proble-
ma levando à consideração de vários casos e extensos cál
culos.
Preferimos o método de Liapunov-Schmidt. O
seu uso simplifica bastante a análise do problema (3)
(4), subdividindo-o naturalmente, como já salientamos,
conforme a dimensão do espaço das soluções do problema
linearizado.
- III-
[30] - SPIVAK, M.: Cálculo en variedades, Editorial
Reverte, S.A. (1970).
[31] - STAKGOLD, I.: Branching of solutions of non-
linear equations, Ibid. 13, 289-332 (1971).
[32] - TABOAS, P.Z.: Um caso de bifurcação a partir de
família de soluções em um problema de oscila
ções não lineares. Tese de Livre - Docência,
ICMSC-USP (1979).
[33] -
: Periodic solutions of a forced
Lotka-Volterra equation, J. Math. Anal. Appl.,
124, 1, 82-96 (1987).
[34] - VAINBERG, M.M. & TRENOGIN, V.A.: Theory of
branching of solutionsofnonlinear equations.
Noordhoff (1974).
[35] - VANDERBAUWHEDE, A.: Alternative problems and
invariant subspaces, J. Math. Anal. Appl. 63,
1-8 (1978).
[36] - WALTMAN, P.: A nonlinear boundary value problem,
J. Differential Eqs. 4, 597-603 (1968).