Uma árvore de N chaves organizada em k chaves por página tem profundidade de

)1(log )1( Np k

Lema: O número de descendentes em qualquer nível da árvore é igual ao número dechaves+1 contidas até este nível

nivel 1

nível 2

k+1 descendentes

(k+1)(k+1) descendentes

nível 3

3)1( k descendentes

nível p

.

.

.pk )1( descendentes

Árvore-B

ou

nível 1: (k+1)-1 chaves

nível 2: (k+1)(k+1)-1 chaves

nível 3 chaves1)1( 3 k

.

.

.nível p: = N chaves1)1( pk

1)(Nlog p 1)(k

Remoção em árvores-B

Árvores B*

1. Cada página tem no máximo m descendentes

2. Cada página, exceto a raiz e folhas, tem no mínimo

3. A raiz tem no mínimo 2 descendentes

4. Todas as folhas aparecem no mesmo nível

5. Uma página não-folha com k descendentes tem k-1 chaves

6. Uma página folha tem no mínimo chaves e, no máximo m-1 chaves

3

)12( m

• Contêm páginas com 2/3 das chaves preenchidas • A redistribuição das chaves entre as páginas irmãs prevalece sobre oprocesso de subdivisão

descendentes

3

)12( m

A C D F H K P R S T V X

M

Para árvore-B:

Exemplo:

chaves 3 12

m de mínimo 7

m

inserir B

A B C P R S T V X

D M

F H K

A C D F H K P R S T V X

M

chaves 43

1)-(2m de mínimo 7m :*

BárvorePara

F R

A B C D H K M P S T V X

Conclusão: 2/3 das páginas cheias

Estratégias para diminuir o número de seeks

• Árvores-B virtuais várias páginas armazenadas em RAM

• Substituição das páginas LRU (least recently used) na mémoria

• Registros e chaves de tamanho variável

• Número variável de chaves e registros numa página