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Uma Introdução à Otimização sob IncertezaAula 2
Bernardo Kulnig Pagnoncelli1 e Humberto José Bortolossi2
1Departamento de MatemáticaPontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro
2Departamento de Matemática AplicadaUniversidade Federal Fluminense
III Bienal da SBMUniversidade Federal de Goiás
6 a 10 de novembro de 2006
B. K. Pagnoncelli, H. J. Bortolossi Uma Introdução à Otimização sob Incerteza 1
Programação Linearcom Coeficientes Aleatórios
B. K. Pagnoncelli, H. J. Bortolossi Uma Introdução à Otimização sob Incerteza 2
Programação Linear com Coeficientes Aleatórios
Dois modelos clássicos para otimização estocástica:
ESPERE E VEJA (WAIT AND SEE)
O agente de decisão pode esperar pela realização doscoeficientes aleatórios.
AQUI E AGORA (HERE AND NOW)
O agente de decisão faz suas escolhas antes ousem conhecimento das realizações dos coeficientesaleatórios.
Dificuldade adicional: definições habituais deadmissibilidade e otimalidade não se aplicam.Especificações adicionais são necessárias.
B. K. Pagnoncelli, H. J. Bortolossi Uma Introdução à Otimização sob Incerteza 3
O problema da mistura
Pedro (irmão de João) também é fazendeiro. Ele consultou umagrônomo que recomendou para cada 100 m2 de terra:
7 g do nutriente A e 4 g do nutriente B.
Pedro dispõe de dois tipos de adubo para suprir estes nutrientes.1. Cada kg do adubo 1 possui ω1 g de A e ω2 g de B.
2. Cada kg do adubo 2 possui 1 g de A e 1 g de B.
Cada kg de cada tipo de adubo custa uma unidade monetária.
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O problema da mistura
Problema de otimização: o quanto comprar de cada adubo paraatender a necessidade de nutrientes (em 100 m2) minimizando ocusto de compra?
x1: quantidade (em kg) do adubo 1 que foi comprada.x2: quantidade (em kg) do adubo 2 que foi comprada.
minimizar f (x1, x2) = x1 + x2sujeito a ω1 x1 + x2 ≥ 7,
ω2 x1 + x2 ≥ 4,x1 ≥ 0,x2 ≥ 0.
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O problema da mistura
Problema de otimização: o quanto comprar de cada adubo paraatender a necessidade de nutrientes (em 100 m2) minimizando ocusto de compra?
x1: quantidade (em kg) do adubo 1 que foi comprada.x2: quantidade (em kg) do adubo 2 que foi comprada.
minimizar f (x1, x2) = x1 + x2sujeito a ω1 x1 + x2 ≥ 7,
ω2 x1 + x2 ≥ 4,x1 ≥ 0,x2 ≥ 0.
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O problema da mistura
minimizar f (x1, x2) = x1 + x2sujeito a ω1 x1 + x2 ≥ 7,
ω2 x1 + x2 ≥ 4,x1 ≥ 0,x2 ≥ 0.
Mas . . .
ω1 e ω2 são coeficientes incertos!
ω1 é uniformemente distribuída no intervalo [1, 4].ω2 é uniformemente distribuída no intervalo [1/3, 1].ω1 e ω2 são independentes!
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O problema da mistura
minimizar f (x1, x2) = x1 + x2sujeito a ω1 x1 + x2 ≥ 7,
ω2 x1 + x2 ≥ 4,x1 ≥ 0,x2 ≥ 0.
Mas . . .
ω1 e ω2 são coeficientes incertos!ω1 é uniformemente distribuída no intervalo [1, 4].ω2 é uniformemente distribuída no intervalo [1/3, 1].ω1 e ω2 são independentes!
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Interlúdio: Applet Java
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Abordagem “Espere e Veja”
O agente de decisão pode fazer a escolha dos valores dex = (x1, x2) depois da realização de ω = (ω1, ω2).
O problema da mistura, neste contexto, é um PL paramétrico.
A solução ótima e o valor ótimo são calculados em funçãode ω = (ω1, ω2):
(x∗1 (ω1, ω2), x∗2 (ω1, ω2))
=
(3
ω1 − ω2,4 ω1 − 7 ω2
ω1 − ω2
), se
7ω1
≤ 4ω2
,
(7ω1
, 0)
, caso contrário.
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Abordagem “Espere e Veja”
O agente de decisão pode fazer a escolha dos valores dex = (x1, x2) depois da realização de ω = (ω1, ω2).
O problema da mistura, neste contexto, é um PL paramétrico.
A solução ótima e o valor ótimo são calculados em funçãode ω = (ω1, ω2):
(x∗1 (ω1, ω2), x∗2 (ω1, ω2))
=
(3
ω1 − ω2,4 ω1 − 7 ω2
ω1 − ω2
), se
7ω1
≤ 4ω2
,
(7ω1
, 0)
, caso contrário.
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Abordagem “Espere e Veja”
O agente de decisão pode fazer a escolha dos valores dex = (x1, x2) depois da realização de ω = (ω1, ω2).
O problema da mistura, neste contexto, é um PL paramétrico.
A solução ótima e o valor ótimo são calculados em funçãode ω = (ω1, ω2):
v∗(x∗1 (ω1, ω2), x∗2 (ω1, ω2))
=3 + 4 ω1 − 7 ω2
ω1 − ω2, se
7ω1
≤ 4ω2
,
7ω1
, caso contrário.
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Abordagem “Espere e Veja”
Tendo em mãos o valor ótimo
v∗(x∗1 (ω1, ω2), x∗2 (ω1, ω2))
=3 + 4 ω1 − 7 ω2
ω1 − ω2, se
7ω1
≤ 4ω2
,
7ω1
, caso contrário,
podemos então calcular a média, a variância, etc.
média = E [v∗(x∗1 (ω1, ω2), x∗2 (ω1, ω2))] = 4.7526655 . . . .
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Abordagem “Aqui e Agora”
O agente de decisão deve fazer a escolha de x = (x1, x2) semconhecer os valores de ω = (ω1, ω2).
Sem se conhecer os coeficientes, as definições habituais deadmissibilidade e otimalidade não se aplicam!
minimizar f (x1, x2) = x1 + x2sujeito a ω1 x1 + x2 ≥ 7,
ω2 x1 + x2 ≥ 4,x1 ≥ 0,x2 ≥ 0.
Especificações adicionais de modelagem são necessárias.
Veremos 3 delas:1. Abolir incertezas.
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Abordagem “Aqui e Agora”
O agente de decisão deve fazer a escolha de x = (x1, x2) semconhecer os valores de ω = (ω1, ω2).
Sem se conhecer os coeficientes, as definições habituais deadmissibilidade e otimalidade não se aplicam!
minimizar f (x1, x2) = x1 + x2sujeito a ω1 x1 + x2 ≥ 7,
ω2 x1 + x2 ≥ 4,x1 ≥ 0,x2 ≥ 0.
Especificações adicionais de modelagem são necessárias.Veremos 3 delas:
1. Abolir incertezas.
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Abordagem “Aqui e Agora”
O agente de decisão pode fazer a escolha de x = (x1, x2) semconhecer os valores de ω = (ω1, ω2).
Sem se conhecer os coeficientes, as definições habituais deadmissibilidade e otimalidade não se aplicam!
minimizar f (x1, x2) = x1 + x2sujeito a ω1 x1 + x2 ≥ 7,
ω2 x1 + x2 ≥ 4,x1 ≥ 0,x2 ≥ 0.
Especificações adicionais de modelagem são necessárias.Veremos 3 delas:
2. Incorporar riscos nas restrições (chance constraints).
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Abordagem “Aqui e Agora”
O agente de decisão pode fazer a escolha de x = (x1, x2) semconhecer os valores de ω = (ω1, ω2).
Sem se conhecer os coeficientes, as definições habituais deadmissibilidade e otimalidade não se aplicam!
minimizar f (x1, x2) = x1 + x2sujeito a ω1 x1 + x2 ≥ 7,
ω2 x1 + x2 ≥ 4,x1 ≥ 0,x2 ≥ 0.
Especificações adicionais de modelagem são necessárias.Veremos 3 delas:
3. Aceitar inadmissibilidade, penalizando déficits esperados.
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1. Abolir incertezas
O agente de decisão simplesmente faz uma escolhaapropriada para ω e, então, ele resolve o problemadeterminístico correspondente.
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1. Abolir incertezas
Escolha “pessimista”: ω̂ = (1, 1/3).
7
4
79/2
5/2
0 12 x 1
x 2
Ponto ótimo: x̂ = (9/2, 5/2). Valor ótimo: v̂ = 7.
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1. Abolir incertezas
Escolha “neutra”: ω̂ = (5/2, 2/3) = E[(ω1, ω2)].
7
4
0 614/518/11 x 1
x 2
32/11
Ponto ótimo: x̂ = (18/11, 32/11). Valor ótimo: v̂ = 50/11 = 4.54.
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1. Abolir incertezas
Escolha “otimista”: ω̂ = (4, 1).
7
4
0 47/41 x 1
x 2
3
Ponto ótimo: x̂ = (1, 3). Valor ótimo: v̂ = 4.
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2. Incorporar riscos nas restrições
O agente de decisão descreve uma “medida de risco”, fazuma escolha do “nível máximo de risco aceitável” e, então, eleincorpora estes elementos nas restrições do programa linear.
O agente de decisão pode escolher entre níveis de confiabilidadeindividuais ou um nível de confiabilidade conjunto.
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2. Incorporar riscos nas restrições
Níveis de confiabilidade individuais
O agente de decisão escolhe dois níveis de confiabilidadeindividuais:
α1 ∈ [0, 1], α2 ∈ [0, 1],
e ele decreta que
x = (x1, x2) ∈ [0,+∞)× [0,+∞) é admissível
m{P (ω1 x1 + x2 ≥ 7) ≥ α1
P (ω2 x1 + x2 ≥ 4) ≥ α2.
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2. Incorporar riscos nas restrições
Níveis de confiabilidade individuais
Problema Original
minimizar f (x1, x2) = x1 + x2sujeito a ω1 x1 + x2 ≥ 7,
ω2 x1 + x2 ≥ 4,x1 ≥ 0,x2 ≥ 0.
Problema via Chance Constraints
minimizar f (x1, x2) = x1 + x2sujeito a P (ω1 x1 + x2 ≥ 7) ≥ α1,
P (ω2 x1 + x2 ≥ 4) ≥ α2,x1 ≥ 0,x2 ≥ 0.
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2. Incorporar riscos nas restrições
Níveis de confiabilidade individuais
Se 0 ≤ α1 < 1 e 0 ≤ α2 < 1, então{P (ω1 x1 + x2 ≥ 7) ≥ α1
P (ω2 x1 + x2 ≥ 4) ≥ α2⇐⇒
{F−1
1 (1− α1) x1 + x2 ≥ 7F−1
2 (1− α2) x1 + x2 ≥ 4
ondeF−1
i (α) := mint∈[−∞,+∞)
{t | Fi(t) ≥ α}
é o α-ésimo quantil de ωi .
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2. Incorporar riscos nas restrições
Níveis de confiabilidade individuais
Problema Original
minimizar f (x1, x2) = x1 + x2sujeito a ω1 x1 + x2 ≥ 7,
ω2 x1 + x2 ≥ 4,x1 ≥ 0,x2 ≥ 0.
Problema via Chance Constraints
minimizar f (x1, x2) = x1 + x2
sujeito a F−11 (1− α1) x1 + x2 ≥ 7,
F−12 (1− α2) x1 + x2 ≥ 4,
x1 ≥ 0,x2 ≥ 0.
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2. Incorporar riscos nas restrições
Níveis de confiabilidade individuais
α1 = α2 = 2/3
F−11 (1−α1) = F−1
1 (1/3) = 2 e F−12 (1−α2) = F−1
2 (1/3) = 5/9.
minimizar f (x1, x2) = x1 + x2sujeito a 2 x1 + x2 ≥ 7,
5 x1/9 + x2 ≥ 4,x1 ≥ 0,x2 ≥ 0,
x∗ = (x∗1 , x∗2 ) = (27/13, 37/13) = (2.076923, 2.846153),v∗ = 64/13 = 4.923076.
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Interlúdio: Applet Java
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2. Incorporar riscos nas restrições
Nível de confiabilidade conjunto
O agente de decisão escolhe um nível de confiabilidade conjunto:
α ∈ [0, 1],
e ele decreta que
x = (x1, x2) ∈ [0,+∞)× [0,+∞) é admissível
m
P (ω1 x1 + x2 ≥ 7 e ω2 x1 + x2 ≥ 4) ≥ α.
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2. Incorporar riscos nas restrições
Nível de confiabilidade conjunto
Problema Original
minimizar f (x1, x2) = x1 + x2sujeito a ω1 x1 + x2 ≥ 7,
ω2 x1 + x2 ≥ 4,x1 ≥ 0,x2 ≥ 0.
Problema via Chance Constraints
minimizar f (x1, x2) = x1 + x2sujeito a P (ω1 x1 + x2 ≥ 7 e ω2 x1 + x2 ≥ 4) ≥ α,
x1 ≥ 0,x2 ≥ 0.
B. K. Pagnoncelli, H. J. Bortolossi Uma Introdução à Otimização sob Incerteza 30
2. Incorporar riscos nas restrições
Nível de confiabilidade conjunto
P (ω1 x1 + x2 ≥ 7 e ω2 x1 + x2 ≥ 4)
=
P (ω1 x1 + x2 ≥ 7) · P (ω2 x1 + x2 ≥ 4)
=(
1− F1
(7− x2
x1
))·(
1− F2
(4− x2
x1
)), se x1 > 0,
1, se x1 = 0 e x2 ≥ 7,0, se x1 = 0 e 0 ≤ x2 < 7.
B. K. Pagnoncelli, H. J. Bortolossi Uma Introdução à Otimização sob Incerteza 31
2. Incorporar riscos nas restrições
Nível de confiabilidade conjunto
α = 2/3
P (ω1 x1 + x2 ≥ 7 e ω2 x1 + x2 ≥ 4) ≥ 23
m
x2 ≥ max
−2 x1 + 7,11− 5 x1 +
√9− 18 x1 + 43
3 x21
2,−5 x1
9+ 4
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2. Incorporar riscos nas restrições
Nível de confiabilidade conjunto
α = 2/3
minimizarf (x1, x2) = x1 + x2
sujeito a
x2 ≥ max
−2 x1 + 7,11− 5 x1 +
√9− 18 x1 + 43
3 x21
2,−5 x1
9+ 4
,
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
x∗ = (x∗1 , x∗2 ) = (54/43, 166/43) = (1.25 . . . , 3.86 . . .),v∗ = 220/43 = 5.1162790 . . ..
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Interlúdio: Applet Java
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3. Aceitar inadmissibilidade, penalizando déficits
A idéia é acrescentar à função objetivo parcelas que penalizaminadmissibilidade.
Notação: z− =
{0, se z ≥ 0,
−z, se z < 0.
(ω1 x1 + x2 − 7)− é uma “medida de inadmissibilidade”, pois
x1 e x2 não satisfazem a restrição ω1 x1 + x2 ≥ 7m
(ω1 x1 + x2 − 7)− > 0.
Escolhendo-se custos de penalidade unitários q1 > 0 e q2 > 0,as expressões
q1 Eω1
[(ω1 x1 + x2 − 7)−
]e q2 Eω2
[(ω2 x1 + x2 − 4)−
]representam então, respectivamente, os custos médios parainadmissibilidade nas restrições ω1 x1 + x2 ≥ 7 e ω2 x1 + x2 ≥ 4.
B. K. Pagnoncelli, H. J. Bortolossi Uma Introdução à Otimização sob Incerteza 35
3. Aceitar inadmissibilidade, penalizando déficits
A idéia é acrescentar à função objetivo parcelas que penalizaminadmissibilidade.
Notação: z− =
{0, se z ≥ 0,
−z, se z < 0.
(ω1 x1 + x2 − 7)− é uma “medida de inadmissibilidade”, pois
x1 e x2 não satisfazem a restrição ω1 x1 + x2 ≥ 7m
(ω1 x1 + x2 − 7)− > 0.
Escolhendo-se custos de penalidade unitários q1 > 0 e q2 > 0,as expressões
q1 Eω1
[(ω1 x1 + x2 − 7)−
]e q2 Eω2
[(ω2 x1 + x2 − 4)−
]representam então, respectivamente, os custos médios parainadmissibilidade nas restrições ω1 x1 + x2 ≥ 7 e ω2 x1 + x2 ≥ 4.
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3. Aceitar inadmissibilidade, penalizando déficits
Problema Original
minimizar f (x1, x2) = x1 + x2sujeito a ω1 x1 + x2 ≥ 7,
ω2 x1 + x2 ≥ 4,x1 ≥ 0,x2 ≥ 0.
Problema via Penalidades
minimizarx1 + x2 + q1 Eω1 [(ω1 x1 + x2 − 7)−] + q2 Eω2 [(ω2 x1 + x2 − 4)−]
sujeito a x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
B. K. Pagnoncelli, H. J. Bortolossi Uma Introdução à Otimização sob Incerteza 37
3. Aceitar inadmissibilidade, penalizando déficits
Problema Original
minimizar f (x1, x2) = x1 + x2sujeito a ω1 x1 + x2 ≥ 7,
ω2 x1 + x2 ≥ 4,x1 ≥ 0,x2 ≥ 0.
Problema via Penalidades
minimizarx1 + x2 + q1 Eω1 [(ω1 x1 + x2 − 7)−] + q2 Eω2 [(ω2 x1 + x2 − 4)−]
sujeito a x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
B. K. Pagnoncelli, H. J. Bortolossi Uma Introdução à Otimização sob Incerteza 38