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Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas
Facultad de Ciencias Y Educacion
Un acercamiento didactico al modelo de Alfven
para las manchas solares
Monografıa presentada por RUSTBELL RODRIGUEZ BONILLA
como pre-requisito para obtener el tıtulo de Licenciado En Fısica
Dirigida por Ignacio Alberto Monroy Canon
2020
Proyecto Curricular de Licenciatura en Fısica
Nota de aceptacion
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ASESOR
.
JURADO
Bogota 2020
2
Dedicatoria
Este trabajo se lo dedico a mi padre, Rutbell Rodrıguez Oviedo quien me enseno a
perseverar y seguir adelante ante cualquier adversidad. . . ¡Gracias papa! Que donde
sea que tu alma viaje en el infinito del universo, siempre luchare por todas mis metas
y suenos, seguire siempre adelante pues este es solo el primer paso.
3
Agradecimientos
Quiero agradecer en primera instancia a mi madre Francelina Bonilla Guerra
quien con sus ensenanzas, amor, carino, apoyo incondicional y trabajo duro me per-
mitio alcanzar este pequeno sueno, a ella le agradezco por su paciencia y comprension
en este difıcil camino. En segundo lugar, a mi hermana Jeniffer Rodrıguez Bonilla
por su compresion, amor, apoyo y nunca dejar de creer en que llegarıa al final de
este camino y ayudarme en los momentos de dificultad junto con el amor de la mas
pequena de la casa Danna Isabella Riano Rodrıguez, mi sobrina, que ojala cuan-
do crezca le sirva de motivacion esta pequena meta. En tercer lugar Irene Sanchez
Arroyave mujer fuerte que admiro, amo y agradezco esa motivacion y cada una de
las palabras de apoyo y animo incondicional, que siempre me dio con mucho amor
y carino, se que deseaba con todo su corazon que lograra terminar esta etapa pa-
ra emprender nuevos retos y perseguir mas metas y suenos. En cuarto lugar a mis
amigos, que son hermanos de lucha, Angela Lasso, Karen Gonzalez, Cesar Ayala
y todos los demas que me brindaron siempre su apoyo incondicional y su sincera
amistad. Finalmente al profesor Ignacio Alberto Monroy Canon quien dirigio y asu-
mio ayudarme con este trabajo de grado, pero tambien al profesor Giovanni Cardona
Rodrıguez, quien hizo parte fundamental de diversos aspectos del trabajo de grado. A
todos ellos infinitas gracias por hacer parte de la culminacion de esta etapa, ademas
de ayudarme y apoyarme para lograr cumplir este sueno.
4
Indice general
1. Aspectos preliminares 11
1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2. Objetivos especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2. Marco teorico 17
2.1. Magnetohidrodinamica (MHD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1. Efectos electromagneticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.2. Campos congelados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.3. Energıa magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.4. Efectos mecanicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.4.1. Resistencia electrica importante . . . . . . . . . . . . 29
2.1.4.2. Resistencia no impotante . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.5. Flujo paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.5.1. Comparacion con la experiencia . . . . . . . . . . . . 47
2.2. Fotosfera y granulacion en el Sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3. Manchas solares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4. Estabilidad de las manchas solares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.5. Modelo de Alfven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.6. Algunos inconvenientes del modelo de Alfven para manchas solares . 60
2.7. Correcciones al modelo de Alfven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.7.1. Conveccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5
Indice general 6
2.7.2. Teorema Π de Vaschy-Buckingham . . . . . . . . . . . . . . . 62
3. Metodologıa para la ensenanza de las manchas solares 66
3.1. Didactica de la astronomıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4. Desarrollo secuencia de actividades 70
4.1. Rotacion del Sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2. Ciclo solar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.3. Medicion del tamano de una mancha solar . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.4. Modelo de Alfven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5. Analisis de resultados 80
5.1. Resultados secuencia de actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.2. Resultados modelo de Alfven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6. Conclusiones 87
Bibliografıa 89
Indice de figuras
2.1. En esta imagen se muestra el fluido dentro las placas paralelas indicando
ademas la direccion de la velocidad y el plano ±L que va en la direccion
del eje z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2. En la imagen se muestran las velocidades para algunos valores de M don-
de se supone ademas el gradiente de presion constante (p. 15), por T.G.
Cowling, 1957, ALHAMBRA, S.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3. En la imagen se muestra la medida de la presion P0 que corresponde a un
flujo dado para un canal de seccion rectangular con un el campo magnetico
B0 paralelo a los dos lados pequenos a la izquierda las dimensiones del canal
son de 0,291 × 5,08 mm y a la derecha las dimensiones del canal son de
0,60×3,72 mm. Se puede observar que las lıneas superiores son modificadas
por la turbulencia para valores pequenos de B0 (p. 17), por T.G. Cowling,
1957, ALHAMBRA, S.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.4. Modelo de capas del Sol [Imagen], por Kelvinsong - Trabajo propio,
2013, Wikipedia (https://commons.wikimedia.org/w/index.php?
curid=30114079). CC BY-SA 3.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.5. Celulas de conveccion en la fotosfera solar, el ‘bullir’ del Sol [Fotografıa], por
National Solar Observatory, AURA/NSF, 2020, NSO (https://www.nso.
edu/press-release/inouye-solar-telescope-first-light/). CC BY
4.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7
Indice de figuras 8
2.6. Plantilla del disco solar sobre la cual el real Observatorio de Belgica hace el
seguimiento diario de las manchas solares, en este sitio se lidera el proyecto
Indice de manchas solares y observaciones solares a largo plazo ‘SILSO’
[Imagen], por Real obervatorio de Belgica, SILSO, 2019 (http://sidc.
be/DATA/uset/archdrawings/2019/10/usd201910231000.jpg). . . . . . 54
2.7. Diagrama de mariposa para los diferentes ciclos solares. Los maximos picos
presentan una mayor cantidad de manchas por area [Imagen], por NASA,
2016 (https://solarscience.msfc.nasa.gov/images/bfly.gif). . . . . 55
2.8. Esquema en el cual se muestra el modelo de Alfven de manchas solares. Se
representa el movimiento (en rojo) y lıneas (en azul) de fuerza magnetica
en el curso de la reflexion de un toroide en la superficie del Sol. Los cırculos
sombreados son las manchas solares que hacen parte del toroide que toca
la superficie del Sol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1. Esquema de sıntesis sobre las caracterısticas de la didactica de la astro-
nomıa [Imagen], por N. Camino, 2011 (https://sab-astro.org.br/wp-content/
uploads/2017/03/SNEA2011_Palestra_Camino.pdf). . . . . . . . . . . . 67
3.2. Esquema para el diseno de investigaciones en didactica de la astronomıa, en
el cual se modificaron los ejes tematicos para el caso de las manchas solares
[Imagen], por N. Camino, 2011 (https://sab-astro.org.br/wp-content/
uploads/2017/03/SNEA2011_Palestra_Camino.pdf). . . . . . . . . . . . 69
4.1. Mancha solar en Septiembre del ano 2017 captada por el Observatorio de
Dinamica Solar ‘SDO’ de la NASA usando el filtro HMI Intensitygram Flat
(orange) [Fotografıa], por NASA/SDO, 2017 (https://sdo.gsfc.nasa.
gov/data/aiahmi/). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2. Mapa - plantilla para el seguimiento de las manchas solares realizado por
el Observatorio Heliosferico y Solar ‘SOHO’ de la NASA [Imagen], por NA-
SA/SOHO, 2018 (https://sohowww.nascom.nasa.gov/classroom/docs/
ExerSP.pdf). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.3. Imagen editada con mapa - plantilla para la actividad de rotacion de
manchas solares [Fotografıa], por NASA/SDO, 2017 (https://sdo.gsfc.
nasa.gov/data/aiahmi/). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Indice de figuras 9
4.4. Grafica del ciclo solar desde 1960 hasta 2008 [Imagen], por Real obervatorio
de Belgica, SILSO, 2020 (http://www.sidc.be/images/wolfmms.png). . . 74
4.5. En esta imagen tomada de la secuencia de actividades se muestra el proceso
realizado para obtener el numero de Wolf dados los valores de k dado por
SILSO, G y R obtenidos a apartir del analis de la imagen obtenida del SDO
[Imagen], NASA/SDO, 2017 (https://sdo.gsfc.nasa.gov/data/aiahmi/). 75
4.6. Imagen donde se muestra el paso a paso para realizar el analisis de imagen
mediante la herramienta SalsaJ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.7. En esta imagen extraıda de la secuencia de actividades se muestra el perfil
de la mancha en pixeles obtenido haciendo analisis a la imagen del SDO a
traves del Software SalsaJ; se da ademas el tamano del Sol en pixeles, con
lo cual la imagen en su conjunto brinda los datos necesarios para obtener el
tamano de la mancha solar que allı se observa [Imagen], por NASA/SDO,
2017 (https://sdo.gsfc.nasa.gov/data/aiahmi/). . . . . . . . . . . . 77
4.8. En este modelo se muestran las lıneas de campo magnetico que fluyen
a traves de la zona convectiva y surgen a la superficie por medio de las
manchas solares [Imagen], por TilmannR - Trabajo propio, 2019, Wiki-
pedia (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sunspot_diagram.
svg). CC0 1.0 Universal Public Domain Dedication . . . . . . . . . . 78
5.1. En la figura se muestra una de las primeras imagenes editadas y usadas pa-
ra el analisis de rotacion del Sol a la derecha [Fotogrıa], por NASA/SOHO,
2006 (https://sohowww.nascom.nasa.gov/data/archive/). Y la izquier-
da una de las imagenes editadas y usadas actualmente.[Fotografıa], por
NASA/SDO (https://sdo.gsfc.nasa.gov/data/aiahmi/). . . . . . . . 81
5.2. Grafica realizada a partir registros historicos del proyecto SILSO. . . . . . 82
Indice de cuadros
2.1. Algunos inconvenientes del modelo de Alfven. . . . . . . . . . . . . . 58
4.1. Aquı se muestra la tabla de datos que debe ser completada con las
intensidades de campo magnetico a partir del modelo de Alfven y es
la parte final de la secuencia de actividades. . . . . . . . . . . . . . . 79
5.1. Algunos valores tıpicos de coeficientes de para la transferencia de calor
por conveccion (p. 8), por F.P. Incropera, 1999, Pearson Educacion. . 83
5.2. Valores de campo magnetico obtenidos a partir del modelo de Alfven
con temperatura de 3800 K y coeficientes de conveccion natural o libre. 84
5.3. Valores de campo magnetico obtenidos a partir del modelo de Alfven
con temperatura de 4200 K y coeficientes de conveccion natural o libre. 85
10
Capıtulo 1
Aspectos preliminares
1.1. Introduccion
En terminos generales la astrofısica puede entenderse como el estudio y desarrollo
de la fısica aplicada a la astronomıa. Como parte de la astronomıa moderna analiza
y caracteriza los cuerpos, en aspectos tales como la composicion, la forma, estructura
y evolucion de dichos cuerpos. De forma importante para la explicacion de diversos
fenomenos astronomicos, ha sido de vital importancia, explicar estos mismos con
ayuda de leyes y formulas, a tal punto que la astrofısica y astronomıa son tratadas
actualmente de forma equivalente. Es fundamental para este trabajo, el uso de la as-
trofısica, ya que esta trata tambien el estudio de las estrellas incluido el Sol, por tanto
se vale de modelos y teorıas fısicas para su estudio. Sin embargo para dicho analisis
se requiere de una rama mas especıfica de la astrofısica, en la actualidad conocida
como la fisca solar, dicha disciplina engloba conocimientos precisos sobre la dinamica
de fluidos, la electricidad y el magnetismo e incluso ciencias de la computacion, dado
que solo se puede especular, teorizar y simular estos complejos objetos celestes. Para
estos fines muchas agencias alrededor del mundo han unido esfuerzos para llevar a
cabo un estudio detallado del Sol, es el caso de la NASA, con sus misiones SOHO y
SDO. Al ser un tema de interes, trata de darse un enfoque a la educacion y ensenanza
de temas relacionados con la fısica solar, tal como lo son las manchas solares, para
lo cual por ejemplo la mision SOHO, tiene dentro de su sitio web un componente
educativo dirigido a todo publico, las otras misiones no, lo cual no quiere decir que
11
Capıtulo 1. Aspectos preliminares 12
no permitan el uso de sus imagenes de manera libre para la investigacion y fines
educativos. Dicho lo anterior este trabajo pretende dar a conocer un modelo teorico
de las manchas solares, de manera didactica, siendo de esta manera un aporte a la
ensenanza de la dinamica y cinematica del astro rey, contribuyendo a acercarse a la
astrofısica y la astronomıa, para lo cual se tienen en cuenta los lineamientos en el
area de educacion del paıs dados por el ministerio de educacion nacional (MEN). Di-
versos procesos en la tierra se ven directamente ligados a las dinamicas del Sol, tales
dinamicas, por lo general son desconocidas para muchos de nosotros desde los prime-
ros niveles de ensenanza, un claro ejemplo para Colombia se encuentra consignado
en los derechos basicos de aprendizaje, dispuestos por el MEN, que es la maxima
entidad rectora de los contenidos que se deben ensenar en las aulas de nuestro paıs.
Los temas relacionados con el sistema solar contemplados para los grados 4, 5, 6 y 7
se encuentran consignados a modo de objetivo, por ejemplo, para los grados 4 y 5 se
indica: “Describo los principales elementos del sistema solar y establezco relaciones
de tamano, movimiento y posicion”, “Comparo el peso y la masa de un objeto en
diferentes puntos del sistema solar”; y Para 6 y 7: “Explico el modelo planetario
desde las fuerzas gravitacionales”, “describo el proceso de formacion y extincion de
estrellas”, “relaciono masa, peso y densidad con la aceleracion de la gravedad en
distintos puntos del sistema solar” (MEN, 2006). Ademas de los procesos biologicos,
otro tema de vital importancia en la actualidad, esta relacionado a la dinamica de las
estrellas, donde el Sol juega un papel importante, puesto que ciertas caracterısticas
de las estrellas como por ejemplo, la rotacion, que se estudia haciendo seguimiento
a ciertas regiones de las estrellas, cuya principal caracterıstica es percibirse a simple
vista como zonas mas oscuras que el resto de su superficie, conocidas como manchas,
estas tienen una menor temperatura que el resto del astro y tambien una intensa ac-
tividad magnetica, para el caso particular del Sol se conocen como manchas solares,
la zona central dicha region se conoce como umbra, esta se encuentra rodeada por
una zona mas clara llamada penumbra, la apariencia oscura puede llevar a pensar de
manera erronea que tiene un bajo brillo, sin embargo estas manchas pueden llegar a
ser mas brillantes que la Luna. Todo lo anterior es evidencia clara de la importancia
del estudio de las dinamicas de nuestra estrella mas cercana. Finalmente es impor-
tante destacar que este trabajo tiene un enfoque didactico, especıficamente haciendo
Capıtulo 1. Aspectos preliminares 13
uso de la didactica de la ensenanza de la astronomıa, que permite por tanto explicar
el modelo que se planteara para el estudio del Sol, ademas del uso de la magneto-
hidrodinamica que, de manera teorica generara dicho modelo y ayudara a verficicar
si dicho modelo funciona. Al tener un enfoque didactico, se dara una secuencia de
actividades que permitira abordar no solo el estudio de las manchas solares, sino
tambien dar a conocer el modelo que permite comprender dicho fenomeno fısico, de
tal manera que el producto de este trabajo se convierta en una herramienta educativa
a fin a las entidades internacionales que se dedican a la divulgacion del conocimiento
cientıfico y esto conlleva a seguir despertando la curiosidad de grandes y chicos, para
que se acerquen al estudio de las ciencias.
Este trabajo se desarrolla en dos grandes partes, la primera centrada en el re-
conocimiento de la teorıa tanto matematica, como fısica y didactica que permite
abordar el tema de las manchas solares y en especıfico el modelo de Alfven. Por tan-
to la primera parte cuenta con el analisis de la Magnetohidrodinamica, las manchas
solares, parte de la estructura interna de dicha estrella, el teorema Π de Bucking-
ham, para concluir con el modelo de generacion de manchas solares. La segunda
parte es el analisis de la implementacion de la secuencia de actividades en diferen-
tes espacios, donde se tuvieron grupos de estudiantes universitarios, estudiantes de
colegio e incluso docentes universitarios, esto con la intencion final de divulgar di-
cho tema y verificar de manera cualitativa y comentar lo observado durante dicha
implementacion haciendo uso de la didactica de ensenanza de la astronomıa.
El contenido de este texto cuenta con un primer capıtulo donde se muestra la in-
troduccion, el planteamiento del problema y los objetivos. En el segundo capıtulo se
desarrolla todo lo referente al marco teorico, allı se habla de la MHD y el modelo de
Alfven a partir de diversas particularidades el Sol. Un tercer capıtulo donde se abor-
da la didactica de la ensena de la astronomıa la cual permite delimitar la poblacion
con la cual se desarrollo el trabajo de grado e indica tambien la metodologıa para la
elaboracion de la secuencia de actividades. El cuarto capıtulo donde se evidencia el
paso a paso y la descripcion de cada una de las actividades, que se componen de la
rotacion del Sol, ciclo solar, numero de Wolf para la prediccion de los ciclos solares,
calculo del tamano de una mancha solar a partir de analisis grafico y finalmente
calculo del campo magnetico de una mancha con el modelo de Alfven. En el quinto
Capıtulo 1. Aspectos preliminares 14
capıtulo se hace el analisis de la implementacion de las anteriores actividades comen-
tando las diversas experiencias obtenidas en las aulas universitarias, escolares y de
docentes. El sexto capıtulo donde se analizan los resultados para el modelo de Alfven
a partir del teorema Pi de Buckingham y por ultimo el analisis de mejoramiento de
la secuencia de actividades para una nueva implementacion. Finalmente este trabajo
de grado termina con las conclusiones y la bibliografıa.
1.2. Planteamiento del problema
Uno de los temas de mayor relevancia en la actualidad es la astronomıa, pues
esta rama de la fısica, nos permite comprender el lugar que ocupamos en el universo,
ademas de permitirnos reconocer diversos procesos que se llevan a cabo en nuestro
propio sistema solar, algunos de los cuales estan directamente relacionados con el
Sol, puesto que este rige los procesos de estabilidad gravitacional, sin embargo para
el caso especıfico de la tierra, dirige diversos procesos biologicos, como la fotosıntesis
de las plantas, los ciclos de sueno de la gran mayorıa de los seres vivos y, tambien
recientemente se ha buscado relacionar el clima de nuestro planeta con la actividad
solar. Debido a esto, muchas agencias espaciales como la Administracion Nacional
de Aeronautica y del Espacio NASA por sus siglas en ingles y la Agencia Espacial
Europea, tambien conocida como la Union Espacial en Europa ESO, lanzaron 1995
en colaboracion el satelite de Observacion Solar y Heliofısico o SOHO, cuya finalidad
es el estudio del astro rey desde su nucleo profundo hasta su corona y viento solar
(NASA; ESA, 2018).
Sin embargo una de los aportes mas importantes de este tipo de misiones, son
las posibilidades que brindan a nivel de educacion, puesto que las diversas misiones
de cooperacion internacional permiten el uso de las imagenes y datos obtenidos por
los satelites, esto con el fin de contribuir a la ensenanza de la astronomıa a nivel
global, es por ello que por ejemplo, la ya mencionada mision SOHO de la NASA,
cuenta especialmente con un componente educativo referente a las dinamicas del
Sol y en especıfico de las manchas solares, puesto que estas permiten comprobar
fenomenos tales como la rotacion de esta estrella y visibilizar ademas los periodos de
maximos y mınimos de manchas observables en el disco solar, es decir el ciclo solar
Capıtulo 1. Aspectos preliminares 15
que influyen en el clima del sistema solar, dicho clima entendido como la influencia
de los vientos producidos por este astro, que no son mas que partıculas cargadas
que viajan a grandes distancias. Gracias a los aportes hechos por estas agencias, es
posible realizar secuencias de actividades que contribuyan a la formacion en el area
de astronomıa.
Por tanto este trabajo se centra en el desarrollo de varias actividades contenidas
en una guıa, que permiten evidenciar las diversas dinamicas del Sol y adicionalmente
reconocer por medio de un modelo planteado por Alfven en 1942. Este modelo des-
cribe el mecanismo de generacion de las manchas solares, el cual a su vez permitira
identificar la intensidad de campo magnetico de dichas manchas, puesto que estas
son zonas de tienen menor temperatura que el resto de la superficie de esta estrella
y ademas cuentan intensa actividad magnetica (Zeilik, 2002). Es entonces este ulti-
mo hecho que da el punto de partida de este trabajo y del cual surge el siguiente
problema:
¿Es posible por medio de la didactica de la astronomıa acercarse al modelo de
Alfven de manchas solares y reconocer la importancia de las manchas solares no
solo en el estudio de la dinamica del Sol y las estrellas en general, si no de sus
implicaciones directas o indirectas sobre el sistema solar y especıficamente nuestro
planeta?
1.3. Objetivos
1.3.1. Objetivo general
Reconstruir el modelo de Alfven para las manchas solares haciendo uso de
la magnetohidrodinamica, con el fin de medir el campo magnetico de dichas
manchas e identificar limitaciones.
1.3.2. Objetivos especıficos
Presentar la dinamica de las manchas solares como un indicativo de la rotacion
del Sol.
Capıtulo 1. Aspectos preliminares 16
Revisar un modelo del proceso de formacion de manchas solares y posterior-
mente realizar la medicion indirecta del tamano de una mancha.
Consolidar una secuencia de actividades (talleres o guıas), con el fin de aportar
a la ensenanza de las manchas solares.
Capıtulo 2
Marco teorico
2.1. Magnetohidrodinamica (MHD)
La Magnetohidrodinamica como su nombre lo indica se encarga de estudiar el
movimiento de un fluido conductor electrico, en presencia de un campo magnetico.
Lo que ocurre, en terminos simples, es que las corrientes electricas que se inducen en
dicho fluido en movimiento, modifican el campo; al mismo tiempo su flujo engendra
en el campo fuerzas mecanicas que modifican el movimiento (Cowling, 1957). Esta
puede decirse entonces que es la interaccion movimiento – campo.
Este campo arroja importantes resultados en las experiencias de laboratorio que
reflejan la realidad de estos fluidos conductores, sin embargo las mayores aplicaciones
se encuentran en la resolucion de problemas cosmicos, ya que algunos objetos como
las galaxias, las estrellas e incluso el mismo interior de la tierra, entre otros objetos
compuestos mayormente de gas se pueden modelar con ayuda de la Magnetohidro-
dinamica o MHD, puesto que para abreviar, se referira aquı de esta forma. Dichos
problemas cosmologicos son de vital importancia, dado que a primera vista ciertos
efectos ocurridos a nivel experimental, pueden considerarse insignificantes, pero a
grandes escalas, toman un valor significativo. Si consideramos objetos de dimensio-
nes lo suficientemente grandes, algunos fenomenos como las corrientes electricas, se
empiezan a hacer notorios efectos de autoinductancia que superan por mucho los efec-
tos de resistencia, entendida, como la resistencia electrica. Ahora bien, los tiempos
en los que se consideran los problemas cosmicos, son tales que los efectos mecanicos,
17
Capıtulo 2. Marco teorico 18
que a su vez son de origen electromagnetico, empiezan a tener importancia aunque
sean bastante pequenos.
La gran mayorıa de los fenomenos magnetohidrodinamicos cuentan con poca
informacion detallada de los mismos, reducidos a algunos experimentos con mercurio
o sodio liquido sometidos a campos magneticos. A nivel astronomico son aun mas
limitadas en terminos de tiempo y espacio por lo que solo se puede sugerir lo que
sucede al tratar problemas cosmicos, esto nos remite a dejar de lado los experimentos
antes mencionados y acudir a observaciones de fenomenos reales, de tal manera que al
no poder controlar estas experiencias, debera ser suficiente aquello que nos ofrece la
naturaleza. De esta manera la comprension de estos fenomenos, a priori es netamente
intuitiva, lo cual requerira un analisis matematico previo y en algunos casos se hara
uso de aproximaciones matematicas, tal como veremos en parrafos posteriores.
Para el problema que nos ocupara posteriormente, se suponen continuos los flui-
dos tratados de tal suerte que las propiedades individuales de las partıculas solo se
tendran en cuenta si existen algunos efectos bien sea de viscosidad, conductividades
termicas o electricas, cabe aclarar que la conductividad electrica de un gas ionizado,
situado en un campo magnetico es anisotropa (no es igual), pero estas no se tendran
en cuenta y seran despreciables para facilitar los problemas que puedan surgir del
problema tratado mas adelante, entonces las oscilaciones de plasma, no estaran en
discusion en este trabajo y solo se tratan las ondas MHD.
Uno de los problemas que se puede abordar con ayuda de la MHD, es el mecanis-
mo de generacion de las manchas solares que es explicado por Hannes Alfven, este
mismo, fue quien acuno dicho termino para esta teorıa o herramienta matematica,
sin embargo para interpretar este modelo se hace necesario el uso de las ecuaciones
de Maxwell y las ecuaciones de la hidrodinamica modificadas de manera tal que se
tenga en cuenta la interaccion movimiento-campo que ya se menciono anteriormente
y, que plantea el ya mencionado modelo, puesto que la MHD permite solucionar el
problema del movimiento de un fluido conductor electrico en presencia de un campo
magnetico como se indico en parrafos anteriores, dicho fluido puede ser un gas al-
tamente ionizado y como se sabe, el Sol es una gran esfera de gas, por lo cual para
garantizar la pertinencia del modelo se tiene en cuenta que las corrientes electricas
inducidas en el fluido, para este caso, mayormente gas de hidrogeno, modifican el
Capıtulo 2. Marco teorico 19
campo, a la vez su flujo genera un campo de fuerzas mecanicas que modifican el
movimiento, de allı la necesidad de modificar las ecuaciones del electromagnetismo
y la mecanica de fluidos de tal modo que obtengamos las ecuaciones de la MHD y
ası al final sea posible entender de manera precisa las manchas solares y cumplir el
objetivo de comprender la dinamica del Sol y sus efectos en el sistema solar (Zeilik,
2002).
Como ya se menciono, en los problemas relacionados a la MHD, se hace uso
de las ecuaciones de Maxwell, por lo cual no se mencionan aquı, pero tambien, se
usan ecuaciones de la mecanica de fluidos, modificadas de tal forma que tengan
en cuenta los efectos electromagneticos, es por este motivo que en la ecuacion de
movimiento aparece una fuerza de origen electromagnetico igual a J ×B por unidad
de volumen, ademas existe otra fuerza debida a la gravedad, con aceleracion vectorial
g, la ecuacion de movimiento y nos permite comprender el modelo de Alfven es:
ρ
(dv
dt
)= −∇P + ρg + F + J × B (2.1)
Donde P es la presion, F la fuerza de viscosidad por unidad de volumen y ddt
es el
operador ddt
= ∂∂t
+ v · ∇.
Ademas en un lıquido, F viene dada por F = ρν∇2v donde ν es la viscosidad
cinematica. Es necesario aclarar que en algunos problemas en los cuales se mueven
masas considerables F puede despreciarse del movimiento.
Y tambien se tiene que si las variables electromagneticas se miden en unidades de
este mismo tipo, se tiene que J es la densidad de corriente y B el campo magnetico,
se tiene que:
∇ × H = 4πJ (2.2)
Dado que en algunos problemas de electromagnetismo no intervienen oscilaciones
de alta frecuencia, se desprecian las corrientes de desplazamiento de Maxwell y como
consecuencia de ello se desprecian en la ecuacion de continuidad la acumulacion de
cargas considerando que estas se mueven a traves de un circuito cerrado. Aunque
no son de poca importancia los efectos electrostaticos si se tiene en cuenta que la
variacion de la densidad de carga es en general del orden de v2/c2 con relacion a otros
Capıtulo 2. Marco teorico 20
terminos en la ecuacion de Ampere-Maxwell, donde v es la velocidad de la materia y
c la velocidad de luz. Queda justificado que se desprecie el termino ∂E∂t
en la mayorıa
de los problemas, por este motivo no aparece en la ecuacion 2.2.
Como esta ultima relacion se encuentra en unidades Gaussianas es importante
recordar que H = Bµ
y reemplazado en la ecuacion, queda entonces:
∇ × B
µ= 4πJ (2.3)
Dejando solo el rotacional se tiene que:
∇ × B = 4πµJ (2.4)
Finalmente llamando µ0 = 4πµ y se tiene entonces en unidades del S.I:
∇ × B = µ0J (2.5)
La cual se conoce como la ley de Ampere. Y ademas:
∇ · J = 0 (2.6)
Y teniendo en cuenta que J = σE se esta ultima expresion se puede reescribir como:
∇ · Eσ = 0 (2.7)
Por tanto se puede tomar como:
∇ · E = 0 (2.8)
Que se conoce como ley de Gauss para el campo electrico. De forma analoga se tiene
la ley de Gauss para el campo magnetico ası:
∇ · H = 0 (2.9)
Capıtulo 2. Marco teorico 21
Tomando B/µ = H se tiene que 2.9 se puede expresar como:
∇ · Bµ
= 0 (2.10)
Con lo que se tiene en ultima instancia que:
∇ · B = 0 (2.11)
Se tiene ademas la ley de Faraday – Lenz de la forma:
∇ × E = –µ∂H
∂t(2.12)
Usando el mismo razonamiento empleado en 2.9 para reemplazar H, se tiene que
2.12 se puede reescribir como:
∇ × E = –∂B
∂t(2.13)
Si el medio tiene una velocidad v y esta sometido a un campo electrico con conduc-
tividad electrica σ, se tiene una densidad de corriente:
J = σ(E + µv× H) (2.14)
Usando nuevamente el razonamiento mismo para modificar 2.9 en 2.14 se tiene
entonces:
J = σ(E + v× B) (2.15)
Tomando ρ como la densidad, se tiene que la ecuacion de continuidad hidrodinamica
esta dada por:∂ρ
∂t+ ∇(ρv) = 0 (2.16)
Finalmente si se supone un lıquido compresible o un gas hay que anadir a las
anteriores ecuaciones, la ecuacion termica. Ahora, si U es la energıa interna por
unidad de masa, esta ecuacion es:
ρdU
dt=P
ρ
dρ
dt+ ε (2.17)
Capıtulo 2. Marco teorico 22
Donde ε da cuenta del efecto termico por unidad de volumen debido a la conduc-
cion termica, a la viscosidad y al flujo de corriente electrica. De todos los efectos
mencionados anteriormente, el primero puede considerarse el mas importante, por lo
que ε = λ∇2T , donde T es la temperatura y λ la conductividad termica. En suma,
las ecuaciones 2.1, 2.5, 2.8, 2.11, 2.13, 2.15, 2.16 y 2.17 constituyen en su totalidad
las ecuaciones de la MHD y son la base matematica que nos permite comprender el
modelo Alfven.
Se consideran tambien otras condiciones tales como los efectos electromagneticos,
efectos mecanicos y el flujo paralelo.
2.1.1. Efectos electromagneticos
Considerando los efectos electromagneticos en primera instancia y suponiendo
que σ (Conductividad electrica) es uniforme para todo el espacio, teniendo las leyes
de Maxwell, junto con la densidad de corriente de 2.15, expresada como:
J = σ(E + v× B)
De donde despejando E se tiene entonces que:
E =
(J
σ− v× B
)(2.18)
Y teniendo en cuenta que:
J =∇ × B
µ0
(2.19)
Reemplazando 2.18 y 2.19 en la ecuacion ∇ × E = −∂B∂t
se tiene que:
∂B
∂t= −∇ ×
(J
σ− v× B
)(2.20)
Esta ultima ecuacion se puede reescribir de la siguiente manera:
∂B
∂t= ∇ ×
(v×− J
σ
)(2.21)
Capıtulo 2. Marco teorico 23
Y reemplazando 2.19 se tiene entonces que:
∂B
∂t= ∇ × (v× B)–
1
µ0σ(∇ × (∇ × B)) (2.22)
Donde aplicando teoremas del calculo vectorial se tiene que:
∂B
∂t= ∇ × (v× B)–
1
µ0σ(∇(∇ · B)− ∇2B) (2.23)
Siendo ∇ · B = 0 se puede reescribir la de la siguiente manera:
∂B
∂t= ∇ × (v× B) +
1
µ0σ(∇2B) (2.24)
Llamando η = 1µ0σ
finalmente se tiene que:
∂B
∂t= ∇ × (v× B) + η∇2B (2.25)
Esta ultima ecuacion da la como resultado la variacion del campo magnetico,
pero si se considera que el medio esta en reposo el termino donde esta la velocidad
se hace cero y por tanto se tiene:
∂B
∂t= η∇2B (2.26)
Que tiene forma de una ecuacion de difusion, por lo que a η se le puede llamar
difusibilidad magnetica. Por otro lado considerando un extremo distinto donde el
medio esta en movimiento, pero la resistencia electrica, relacionada con σ es despre-
ciable, se tiene que:
∂B
∂t= ∇ × (v× B) (2.27)
Que es una ecuacion identica, para B a la ecuacion de torbellinos en la teorıa
de fluidos no viscosos y se interpreta como el arrastre de las lıneas de torbellino por
el lıquido en esta teorıa (Cowling, 1957). Esto es que la ecuacion 2.27 indica que
el campo se modifica como si lıneas de fuerza fueran arrastradas por la materia. Si
ningun termino de la ecuacion 2.27 es despreciable, se puede superponer el arrastre
Capıtulo 2. Marco teorico 24
de las lıneas de fuerza movimiento a su alejamiento del medio. Suponiendo una lon-
gitud L comparable a las dimensiones del campo y una velocidad V comparable con
las velocidades reales, entonces el efecto de arrastre se puede considerar dominante
cuando LV >> η. Se tiene aquı entonces un numero de Reynolds dado por:
R =LV
ν(2.28)
Y se puede definir entonces un numero de Reynolds magnetico por la ecuacion:
RM =LV
η(2.29)
De donde se hace evidente que la condicion para que el efecto de arrastre sea domi-
nante es necesario que RM sea grande comparado con la unidad.
2.1.2. Campos congelados
Se hace referencia a este tipo de campos cuando se supone que la densidad de
flujo magnetico permanece constante, lo que conlleva a que la materia permanezca
constante tambien, esto sin importar que la materia contenida en las lıneas de fuerza
magnetica sea arrastrada por el medio. Ahora considerando los ya menconados cam-
pos congelados, ademas, haciendo uso de la ecuacion de continuidad y de ∇ · B = 0
se tiene que:
∂
∂t=
d
dt− V · ∇ (2.30)
Lo cual conlleva al siguiente razonamiento matematico:(d
dt− v · ∇
)B = ∇ × (∇ × B) (2.31)
Que distribuyendo B en el miembro izquierdo de la ecuacion se tiene que:
dB
dt− v · ∇B = ∇ × (∇ × B) (2.32)
Aplicando la regla del triple producto vectorial en el miembro derecho de la ecuacion:
Capıtulo 2. Marco teorico 25
dB
dt− v · ∇B = (B · ∇)v–(v · ∇)B + v(∇ · B)–B(∇ · v) (2.33)
De donde si se tiene en cuenta que ∇ · B = 0 y los terminos semejantes a cada
lado de la expresion matematica se tiene como resultado:
dB
dt= (B · ∇)v–B(∇ · v) (2.34)
Y si el fluido que se esta analizando es incompresible B(∇ · v) se puede eliminar,
conllevando a:dB
dt= (B · ∇)v (2.35)
Finalmente dividiendo por ρ ambos lados de la igualdad se obtiene:
d
dt
B
ρ=
(B
ρ· ∇)
v (2.36)
Con lo que se puede decir que la ecuacion 2.36 indica como se modifica el campo,
debido a un desplazamiento en el interior de la materia.
2.1.3. Energıa magnetica
Un campo magnetico posee una energıa de B2
2µ0por unidad de volumen, entonces
la energıa total WB se puede denotar entonces como:
WB =1
2µ0
∫B2dr (2.37)
De donde derivando en funcion del tiempo y extendiendo la integracion a todo a
todo el volumen ocupado por el campo se tiene que:
dWB
dt=
1
µ0
∫B · ∂B
∂tdV (2.38)
Reemplazando 2.25 en 2.38 se puede obtener entonces:
dWB
dt= µ0
−1
∫B · [∇ × (∇ × B) + η∇2B]dV (2.39)
Que se puede reescribir como:
Capıtulo 2. Marco teorico 26
dWB
dt= µ0
−1
∫B · ∇ × (∇ × B) + ηB · ∇2BdV (2.40)
Haciendo uso nuevamente de la Ley de Ampere y aplicando el rotacional a ambos
lados de la ecuacion se tiene que:
∇ ×(∇ × B
µ0
)= ∇ × J (2.41)
Y aplicando teoremas del calculo vectorial se puede reescribir como:
∇ ×(∇ × B
µ0
)=∇(∇ · B)− ∇2B
µ0
(2.42)
Como la divergencia del campo magnetico es igual a cero, se tiene finalmente:
− ∇ × J =∇2B
µ0
(2.43)
Que se puede reemplazar en 2.40, ecuacion en la cual el primer termino entre cor-
chetes se elimina por teorema de Green, quedando entonces:
µ0−1
∫ηB · ∇2BdV = −µ0
−1η
∫B · (∇ × J)dV (2.44)
Donde aplicando nuevamente teoremas del calculo vectorial al lado derecho de la
igualdad se tiene que:
η
∫B · (∇ × J)dV = −η
∫∇ · (J× B)− J · (B · ∇)dV (2.45)
Que se puede reescribir como:
η
∫B · (∇ × J)dV = −η
∫∇ · (J× B) + ∇(B · J)dV (2.46)
De donde se tiene finalmente que:
dWB
dt= η
∫B · (∇ × J)dV = −
∫ (j2
σ
)dV (2.47)
En la ecuacion 2.40 se hace plausible afirmar que el termino η representa la trans-
formacion de energıa magnetica en calor de Joule a razon de(j2
σ
)por unidad de
Capıtulo 2. Marco teorico 27
volumen.
Ahora tomando el termino en v de 2.40 y aplicando nuevamente teoremas del
calculo vectorial se tiene que:
µ0−1
∫B · ∇× (∇× B)dV = µ0
−1
∫∇ · (v× B)× B− (v× B) · (B×∇)dV (2.48)
Que se puede reescribir como:
µ0−1
∫B · ∇× (∇× B)dV = µ0
−1
∫∇ · (v× B)× B+ (v× B) · (∇× B)dV (2.49)
Ahora, haciendo uso nuevamente de la Ley de Ampere, aplicando el rotacional
con B se tiene que:
(∇ × B)× B
µ0
= J× B (2.50)
Adicionalmente aplicando producto punto a ambos lados con v, junto con las
propiedades del calculo vectorial, se tiene que:
v · [B× (∇ × B)B] = −v · (J× B)µ0 (2.51)
Donde al aplicar propiedades del calculo vectorial se puede reescribir como:
B · [(∇ × B)× v]− [(∇ × B) · (v× B)] = −v · (J× B)µ0 (2.52)
Que se puede reescribir como:
B · [(∇ × B)× v] + [(v× B) · (∇ × B)] = −v · (J× B)µ0 (2.53)
Con lo que reemplazando en 2.50, se tiene entonces que:
µ0−1
∫B · ∇ × (∇ × B)dV = −
∫v · (J× B)dV (2.54)
Dado que al integral el termino de la divergencia desaparece como se hizo anterior-
mente, el termino restante representa entonces el trabajo efectuado por la materia
Capıtulo 2. Marco teorico 28
al moverse y es en contra de la fuerza magnetica J× B.
Este termino se puede comprender de manera mas sencilla haciendo uso de las
tensiones de Maxwell, por lo que regresando a la ley de Ampere y aplicando nueva-
mente rotacional con B, es decir que haciendo uso de 2.51 y aplicando las propiedades
del calculo vectorial se tiene que:
− B× (∇ × B)
µ0
= −(B · ∇) · ∇ − (B · ∇) · Bµ0
(2.55)
Dando como resultado al reescribir esta ultima ecuacion:
J× B = −∇(B2
2µ0
)+ ∇ ·
(B · Bµ0
)(2.56)
Donde el ultimo termino es la divergencia de un producto diadico. Esta ecuacion,
indica que la fuerza magnetica equivale a una presion hidrostatica B2
2µ0y a una tension
B2
µ0a lo largo de las lıneas de fuerza. Dicho de otro modo, esto equivale a una presion
transversal del mismo valor B2
2µ0y a una tension longitudinal, que es la forma comun de
presentar las tensiones de Maxwell. Como la presion hidrostatica no efectua trabajo,
al quedar la densidad invariante en el movimiento, la densidad de energıa magnetica,
proviene entonces del trabajo efectuado por la tension B2
µ0a lo largo de las lıneas de
fuerza y por tanto si se produce un alargamiento de dichas lıneas, debe aumentar la
energıa magnetica.
Por otro lado, en un movimiento de dilatacion uniforme, el trabajo efectuado
por la presion hidrostatica B2
2µ0es superior al efectuado por la tension B2
µ0en una
razon de 3 a 2, se puede decir, que hasta cierto punto, una dilatacion uniforme
disminuye la energıa magnetica porque las lıneas de fuerza se separan, provocando
una disminucion en la intensidad del campo.
2.1.4. Efectos mecanicos
Como la fuerza mecanica de origen electromagnetico es perpendicular al campo
magnetico, esta no influye directamente en el movimiento a lo largo de las lıneas de
fuerza dado que es perpendicular a las mismas, esto conlleva a que en este tipo de
movimiento, su efecto sea distinto segun dichas lıneas puedan moverse libremente a
traves del medio o parezcan congeladas, por tanto se consideran dos casos:
Capıtulo 2. Marco teorico 29
2.1.4.1. Resistencia electrica importante
Para considerar dicho caso se hace uso de la ecuacion 2.15 y se tiene que:
J× B = σ(E + v× B)× B (2.57)
Que se puede reescribir como:
J× B = σ[(E× B)− [B× (v× B)]] (2.58)
Aplicando la regla del triple producto vectorial para el ultimo termino de esta
ecuacion:
J× B = σ[(E× B)–[(B · B)v–(B · v)B]] (2.59)
Aplicando el producto punto se tiene entonces:
J× B = σ[(E× B)− [(BB cos θ)v− (Bv cosα)B]] (2.60)
Si v es perpendicular a B se tiene que θ = 0 y α = 90:
J× B = σ[(Et × B)− (B2vt)] (2.61)
Donde Et y vt son las componentes perpendiculares al campo magnetico. Ahora
se toma la ecuacion 2.1 y reemplazando J× B se tiene que:
ρ
(dv
dt
)= −∇P + ρg + F + σ[(Et × B−B2vt] (2.62)
Denotando P = ∇P + ρg + F que es la resultante de las fuerzas no electro-
magneticas, se puede reescribir 2.62 como:
ρ
(dv
dt
)= P + σ(Et × B−B2vt) (2.63)
Los anteriores resultados indican que si P y Et son despreciables, el movimien-
to perpendicular disminuye debido a una fuerza de induccion, con un tiempo de
disminucion que se puede obtener de la expresion:
Capıtulo 2. Marco teorico 30
ρ
(dv
dt
)= −σB2vt (2.64)
Que se puede considerar como una fuerza de viscosidad magnetica.
El movimiento perpendicular disminuye a consecuencia de la induccion, con un
tiempo de crecimiento dado por τ que es relativamente corto, por lo que integrando
la ecuacion 2.64 por separacion de variables se tiene que:
ρ
vt
∫dv = −B2σ
∫dτ (2.65)
De donde se obtiene que τ se puede expresar entonces como:
τ = ρ(σB2)−1 (2.66)
Ası pues τ puede ser relativamente corto en campos de 0.12 T este tiempo equivale
a 1 segundo. De este modo se puede considerar la fuerza de induccion como una
fuerza de “viscosidad” magnetica cuyo efecto es el de frenar el movimiento que es
perpendicular a las lıneas de fuerza. Teniendo en cuenta las ecuaciones 2.21 y 2.22,
de donde vienen dadas L y v ademas, definiendo la magnitud de la fuerza magnetica
como:
FηM = σB2v (2.67)
Mientras que la fuerza de viscosidad ordinaria viene dada en magnitud por:
Fη = ρνv
L2(2.68)
Igualando las ecuaciones 2.67 y 2.68 se tiene que:
σB2v = ρνv
L2(2.69)
Con lo que se tiene finalmente que:
σB2L2
ρν= Cte (2.70)
Se denotara de ahora en adelante dicha constante con la letra M , conocido como
Capıtulo 2. Marco teorico 31
el numero de Hartmann, quien fue el primero en notar que la viscosidad magnetica
es dominante si M >> 1 siendo por tanto:
M =σB2L2
ρν(2.71)
Que se puede reescribir como:
M = BL(σ/ρν)1/2 (2.72)
En el caso en que P y Et no sean nulos, los resultados se expresan mejor en
terminos de la viscosidad, que no tiene un significado preciso mas que en el caso
en el que las lıneas de fuerza esten congeladas. En este caso σ → ∞ con lo que la
ecuacion 2.15 se puede expresar como:
J
σ= (E + v× B) (2.73)
Que al aplicar la condicion antes mencionada σ →∞ conlleva a que:
E + v× B = 0 (2.74)
Que se reduce a su componente trasversal, entonces se llamara aca al velocidad
w, por tanto despejando Et y aplicando el rotacional con B se tiene que:
− (Et × B) = (w× B)× B (2.75)
Que se puede reescribir como:
Et × B = B× (w× B) (2.76)
Aplicando teoremas del calculo vectorial se tiene entonces que:
Et × B = (B · B)w− (B · w)B (2.77)
Dado que se estan tomando las componentes perpendiculares, se tiene entonces que
aplicando el producto interno a los terminos del lado derecho de la igual, el ultimo
Capıtulo 2. Marco teorico 32
termino de la ecuacion se hace cero y por tanto se tiene que:
Et × B = B2w (2.78)
De esta ultima ecuacion se tiene que la velocidad w equivale entonces a:
Et × B
B2= w (2.79)
Esto nos indica que w es la velocidad transversal que siempre es perpendicular
a B La ecuacion 2.63 nos dice que si P = 0 la velocidad tiende hacia vt = w en
un tiempo del orden τ dado por la ecuacion 2.66, es decir que los efectos mecanicos
tienden a anular la componente transversal del movimiento relativo de la materia y
de las lıneas de fuerza. Considerando los casos en los que la velocidad varia en una
fraccion apreciable de su valor con un tiempo del orden de L/V . Entonces puede
inferirse que el movimiento transversal de las lıneas de fuerza es apreciable si N es
pequeno, siendo:
N =L
V τ(2.80)
Donde reemplazando 2.66, se tiene entonces que:
N =B2σL
V ρ(2.81)
Si P 6= 0 no se anula el movimiento relativo de las lıneas de fuerza teniendo a un
valor dado por la ecuacion 2.63 donde ρ(dvdt
)= 0 por tanto:
Pt + σ(Et × B−B2vt) = 0 (2.82)
Que se puede reescribir como:
Pt = −[σ(Et × B−B2vt)] (2.83)
Recordando que Et × B = B2w y reemplazando:
Pt = −[σ(B2w−B2vt)] (2.84)
Capıtulo 2. Marco teorico 33
Haciendo el respectivo cambio de signo y factorizando se tiene finalmente que:
Pt = σB2(vt − w) (2.85)
Esto nos indica que el efecto de la fuerza resultante denotada anteriormente como P
es empujar el medio alrededor de las lıneas de fuerza, hasta que la fuerza de induccion
compense a P.
2.1.4.2. Resistencia no impotante
Para este caso las lıneas de fuerza se encuentran congeladas o, dicho de otra
manera permanecen constantes aunque estas sean arrastradas por el medio como ya
se menciono en parrafos anteriores. Por lo tanto surgen otros efectos tales como que
las corrientes ya no vienen determinadas por 2.5 y 2.8 si no a partir de 2.15. Su
efecto mecanico J× B se da simplemente en funcion de las tensiones de Maxwell de
una presion perpendicular a las lıneas de fuerza del orden de B2
2µ0y de una tension
de igual valor a lo largo de las lıneas de fuerza lo que conlleva a:
Debido a la presion lateral un tubo de fuerza presenta resistencia a toda com-
presion lateral.
Debido a la tension longitudinal, las lıneas de fuerza tienden a contraerse dentro
de los lımites de la resistencia del medio a la compresion.
A raız de las anteriores consideraciones, las lıneas de fuerza son desplazadas
desde su posicion de equilibrio, donde la fuerza magnetica actua como una
fuerza recuperadora y es siempre perpendicular al campo magnetico, por lo
que da a las lıneas de fuerza una especie de rigidez.
En algunos casos las tensiones de Maxwell son mejor entendidas a partir de la
combinacion de la presion hidrostatica y la tension a lo largo de las lıneas de fuerza
que es mas util que una tension longitudinal y una presion lateral. En un lıquido
suelen ser poco importantes las presiones, dado que se compensan con la disminucion
en la presion del mismo; entonces la tension da el orden de magnitud de las fuerzas
magneticas. En la ecuacion del movimiento las fuerzas de inercia son del orden de
Capıtulo 2. Marco teorico 34
ρV 2 y el orden de la razon para obtener la magnitud de las fuerzas magneticas viene
dada por el numero S que es:
S =B
2
µ0ρV 2(2.86)
Que se deduce de igualar tension antes mencionada y las fuerzas de inercia, pero
tambien, este numero S da el orden de la magnitud de la razon de energia magneticaB
2
2µ0a la energıa cinetica por unidad de volumen 1
2ρV 2 .
S se da entonces una medida importante del campo y del movimiento, en el caso
de que las lıneas de campo esten congeladas (permanezcan constantes). Entonces si S
es pequeno se el movimiento se modifica poco debido al campo magnetico, mientras
que si S es grande el movimiento si depende en gran medida del campo, finalmente si
S = 1 el campo y el movimiento actuan en menor o mayor cuantıa, estableciendose
una especie de equiparacion de la energıa y se observa que el valor de S es de enorme
importancia.
Las constantes adimensionales M y N se pueden expresar en terminos de S y de
los numeros de Reynolds RM y R, despejando B2 de 2.86 y reemplazando en 2.81 se
tiene que:
B2 = µ0ρV2S (2.87)
Luego se tiene que:
N =µ0ρV
2SσL
V ρ(2.88)
Y por consiguiente:
N = µ0σSLV (2.89)
Teniendo en cuenta que L = ηRMV
se tiene entonces que:
N = µ0σSVRmη
V(2.90)
Finalmente se tiene que η = 1µ0σ
lo que permite hacer:
N =µ0σSRM
µ0σ(2.91)
Capıtulo 2. Marco teorico 35
Y se puede concluir que:
N = SRM (2.92)
Como ya se menciono tambien se puede expresar la ecuacion 2.72 en terminos de
S y los numeros de Reynolds, de la siguiente manera:
M =BRMη
V
√σ
ρν(2.93)
Donde se reemplazo L = RMηV
y se sustituye η y se tiene que:
M =BRM
V µ0σ
√σ
ρν(2.94)
Elevando esta expresion al cuadrado se tiene que:
M2 =B2RM
2
V 2µ02σ2
σ
ρν(2.95)
Recordando que S = B2
µ0ρV 2 se tiene que:
M2 =SRM
2
µ0σν(2.96)
Esta ultima expresion se puede reescribir considerando el valor de RM en la
fraccion, ası como el valor de η y teniendo en cuenta la ecuacion 2.28 con lo que se
tiene finalmente que: se tiene que:
M2 = SRMR (2.97)
2.1.5. Flujo paralelo
Como un ejemplo simple de todo lo anteriormente estudiado se considera la co-
rriente laminar de un fluido conductor uniforme entre dos planos paralelos fijos, sean
estos planos z = ±L, se supone tambien v(x), es decir la velocidad en la direccion
del eje x como se ve en la figura 2.1; se dice tambien que existe un campo magnetico
uniforme B0 perpendicular a Oz. Como el fluido adquiere mayor velocidad en las
proximidades de z = 0 habra una tendencia a arrastrar las lıneas de fuerza, por lo
Capıtulo 2. Marco teorico 36
cual aparece una del campo Bx paralela al movimiento: tambien aparece un campo
magnetico, en general uniforme y paralelo a Oy.
Figura 2.1: En esta imagen se muestra el fluido dentro las placas paralelas indicando
ademas la direccion de la velocidad y el plano ±L que va en la direccion del eje z.
Ignorando la gravedad, pero teniendo en cuenta la viscosidad, la ecuacion del
movimiento del estado estacionario que viene dado de 2.63 donde la masa se conserva,
por lo que ρ∂v∂t
= 0 y considerando tambien la direccion del movimiento en el eje x
como ya se menciono anteriormente, se tiene que:
− ∂P
∂x+ σ(EB0 sin 90−B2v) = 0 (2.98)
Entonces se tiene que:
− ∂P
∂x+ σ(EB0 −B0
2v) = 0 (2.99)
Donde factorizando B0 se puede reescribir esta ultima como:
− ∂P
∂x+ σB0(E −B0v) = 0 (2.100)
Llamando jy = (E − B0v) y sumando la fuerza de viscosidad que corresponde a
ρν∇2v se llega a:
− ∂P
∂x+ jyB0 + ρν∇2v = 0 (2.101)
Con lo cual al analizar el movimiento en el plano z = ±L y que µ0jy = ∂Bx∂z
se llega
finalmente a:
Capıtulo 2. Marco teorico 37
− ∂P
∂x+ jyB0 + ρν
∂2v
∂z2= 0 (2.102)
En estas ecuaciones puede decirse que v, jy y Bx son funciones unicamente de z;
es posible tomar el gradiente de presion −∂P∂x≡ P dado que es uniforme en todos los
puntos del lıquido, entonces:
P + σB0(E −B0v) + ρν∂2v
∂z2= 0 (2.103)
Recordando que v = 0 sobre las paredes del lıquido se puede reorganizar la
ecuacion y plantear una solucion:
P + σB0E − σB02v + ρν
∂2v
∂z2= 0 (2.104)
Organizando los terminos dentro de la igualdad se tiene que:
− (P + σB0E) = ρν∂2v
∂z2− σB0
2v (2.105)
Se puede proponer entonces una solucion de la forma v = vh + vnh donde vh es
la solucion homogenea, vnh es la solucion no homogenea de la ecuacion y la suma
de estas dos es la solucion general que se esta buscando, por tanto 2.105, se puede
expresar como
ρν∂2v
∂z2− σB0
2v = 0 (2.106)
Planteando inicialmente vh = eλx se tiene que:
∂2vh∂z2
= λ2eλx (2.107)
Reescribiendo 2.106 se tiene que:
∂2v
∂z2− σB0
2v
ρν= 0 (2.108)
Reemplazando vh conlleva a:
Capıtulo 2. Marco teorico 38
λ2eλx − σB02eλx
ρν= 0 (2.109)
Factorizando eλx se tiene que:
eλx(λ2 − σB0
2
ρν
)= 0 (2.110)
Dado que la solucion propuesta eλx 6= 0 la anterior expresion queda entonces como:
λ2 − σB02
ρν= 0 (2.111)
Despejando λ se obtiene:
λ = B0
√σ
ρν(2.112)
Ahora, puede escribirse vh tambien en los siguientes terminos:
vh = A coshλz +B sinhλz (2.113)
Donde se puede sustituir el λ obtenido:
vh = A cosh
(B0
√σ
ρνz
)+B sinh
(B0
√σ
ρνz
)(2.114)
Se plantea ahora la solucion no homogenea vnh = cz + d y se tiene que:
∂2vh∂z2
= λ2eλx (2.115)
Que se reemplaza en 2.105 despues de reescribirla como sigue:
− (P + σB0E)
ρν=∂2v
∂z2− σB0
2v
ρν(2.116)
En esta ultima se puede reemplazar la solucion vnh:
− (P + σB0E)
ρν= −σB0
2(cz + d)
ρν(2.117)
Capıtulo 2. Marco teorico 39
Haciendo el algebra para esta ecuacion, queda entonces:
(P + σB0E) = σB02cz + dσB0
2 (2.118)
A cada termino de la igualdad le corresponde un par, por lo que z1 → σB02cz = 0
por tanto c = 0. Ahora se tiene que z0 → dσB02 = (P + σB0E) de donde se despeja
d y se tiene que:
d =P + σB0E
σB02 (2.119)
Se puede concluir que:
d =P
σB02 +
E
B0
(2.120)
Por lo tanto:
vnh =P
σB02 +
E
B0
(2.121)
Recordando que v = vh + vnh se tiene entonces que:
v = A cosh
(B0
√σ
ρνz
)+B sinh
(B0
√σ
ρνz
)+
P
σB02 +
E
B0
(2.122)
Con las condiciones iniciales se hallan las constantes A y B teniendo en cuenta
que v = 0 en las proximidades de las paredes del fluido, se establece entonces dos
condiciones la primera que v(0) = 0, en segundo lugar que v(L) = 0 de esta manera
con la primera condicion se tiene que:
v(0) = A cosh
(B0
√σ
ρν0
)+B sinh
(B0
√σ
ρν0
)+
P
σB02 +
E
B0
(2.123)
Donde el termino sinh
(B0
√σρν
0
)= 0 luego B = 0 y se tiene entonces:
v = A cosh
(B0
√σ
ρνz
)+
P
σB02 +
E
B0
(2.124)
Con ayuda de la segunda condicion se tiene que:
0 = A cosh
(B0
√σ
ρνL
)+
P
σB02 +
E
B0
(2.125)
Capıtulo 2. Marco teorico 40
Recordando que M = BL(σ/ρν)1/2 se puede reescribir esta ultima como:
0 = A coshM +P
σB02 +
E
B0
(2.126)
Finalmente se puede obtener la constante A:
A = − 1
coshM
(P
σB02 +
E
B0
)(2.127)
Que se reemplaza en 2.122 y se obtiene finalmente la solucion:
v =P
σB02 +
E
B0
−cosh
(B0
√σρνz
)coshM
(P
σB02 +
E
B0
)(2.128)
Factorizando PσB0
2 + EB0
:
v =
(P
σB02 +
E
B0
)1−cosh
(B0
√σρνz
)coshM
(2.129)
Multiplicando y dividiendo por L dentro del argumento del cosh se tiene que:
v =
(P
σB02 +
E
B0
)(1−
cosh(MzL
)coshM
)(2.130)
Esta ecuacion permite comprender que entre mas pequeno sea M la viscosidad sera
predominante y la curva de velocidades sera casi una parabola, ocurre todo lo con-
trario si M es grande, donde la velocidad sera casi una constante y es igual a la
suma de EB0
y puede entenderse como la velocidad de las lıneas de fuerza y de PσB0
2
la velocidad para la cual la fuerza de induccion compensa el gradiente de presion P .
Como E no es uniforme y si las corrientes no pueden atravesar las paredes del
conductor, esto debido a que estos flujos en los conductores se dan en secciones
rectangulares o circulares. Para entender mejor esta situacion, se modifica el campo
E en la ecuacion 2.130 de manera que se anule la corriente electrica total∫jydz, que
circula entre los planos z = L y z = −L. Se establece entonces que:
Capıtulo 2. Marco teorico 41
α =
(P
σB02 +
E
B0
)Por lo que la ecuacion 2.130 se puede escribir como:
v = α
(1−
cosh(MzL
)coshM
)(2.131)
Que se puede reemplazar en:
jy = σ(E − vB0) (2.132)
y se tiene que:
jy = σE − σB0
[α
(1−
cosh(MzL
)coshM
)](2.133)
Destruyendo los parentesis se tiene la expresion completa como sigue:
jy = σE − ασB0 + ασB0
cosh(MzL
)coshM
(2.134)
Integrando todos los terminos de la igualdad de −L a L dado las condiciones de z
se tiene que:∫ L
−Ljydz =
∫ L
−LσEdz −
∫ L
−LασB0dz +
∫ L
−LασB0
cosh(MzL
)coshM
dz (2.135)
Evaluando se tiene que:
0 = 2LσE − 2LασB0 + 2LασB0
sinh(MLL
)M coshM
(2.136)
Que se puede reescribir como:
0 = σE − ασB0 + ασB0tanhM
M(2.137)
Capıtulo 2. Marco teorico 42
Reeemplazando α en 2.137, se tiene entonces:
0 = σE − σB0
(P
σB02 +
E
B0
)+ σB0
tanhM
M
(P
σB02 +
E
B0
)(2.138)
Destruyendo parentesis se hace:
0 = σE − σE − P
B0
+σE
MtanhM +
P
MB0
tanhM (2.139)
Que se puede organizar como:
P
B0
= tanhM
(σE +
P
MB0
)(2.140)
Multiplicando a ambos lados por MB0 se tiene que:
PMB0
B0
= tanhM
(σE +
P
MB0
)MB0 (2.141)
Con lo que finalmente se llega a:
PM = tanhM (σEB0M + P ) (2.142)
La ecuacion 2.130 se puede expresar en terminos de 2.142, despejando de este
ultimo P y reemplazando:
P =PM
tanhM− σEB0M (2.143)
Y reemplazando en v se obtiene:
v =
(PM
tanhM− σEB0M
σB02 +
E
B0
)(1−
cosh(MzL
)coshM
)(2.144)
Operando el fraccionario se llega a:
v =
(PM
tanhMσB02 −
E
B0
+E
B0
)(1−
cosh(MzL
)coshM
)(2.145)
Capıtulo 2. Marco teorico 43
De donde se puede observar que:
v =PM
tanhMσB02
(1−
cosh(MzL
)coshM
)(2.146)
Repartiendo y operando con la tanhM se tiene que:
v =PM
σB02
(coshM
sinhM−
coshM cosh(MzL
)sinhM coshM
)(2.147)
Con lo que se obtiene finalmente que:
v =PM
σB02
(coshM
sinhM−
cosh(MzL
)sinhM
)(2.148)
Y dado que los numeradores son iguales:
v =PM
σB02
(coshM − cosh
(MzL
)sinhM
)(2.149)
De esta ultima relacion se puede establecer un diagrama de velocidades para
algunos valores de M tal como se muestra en la figura 2.2. En esta se puede ver que
para valores pequenos de M la viscosidad es predominante y la curva de velocidad es
casi una parabola. Sin embargo si M es muy grande pierde importancia la viscosidad
excepto en las proximidades de los planos limite; fuera de estas regiones la velocidad
se vuelve aproximadamente constante y por ende igual a la suma de EB0
que se puede
entender como la velocidad de las lıneas de fuerza y de PσB0
2 que es la velocidad con
la cual la fuerza de induccion compensa exactamente al gradiente de presion P
Capıtulo 2. Marco teorico 44
Figura 2.2: En la imagen se muestran las velocidades para algunos valores de M don-
de se supone ademas el gradiente de presion constante (p. 15), por T.G. Cowling, 1957,
ALHAMBRA, S.A.
Es posible obtener el valor medio de v que se denotara como v y se define como:
v =1
2
PM
σB02
∫ L
−L
(coshM − cosh
(MzL
)sinhM
)dz (2.150)
Y se obtienen dos integrales de la forma:
v =1
2
PM cothM
σB02
∫ L
−Ldz − PM
σsinhMB02
∫ L
−Lcosh
(Mz
L
)dz (2.151)
Resolviendo y evaluando la integral se tiene que:
v =2L
2L
PM cothM
σB02 − 2L
2ML
PM
σB02
sinhM
sinhM(2.152)
Y por tanto se tiene:
v =PM cothM
σB02 − P
σB02 (2.153)
Factorizando PM cothMσB0
2 queda finalmente:
Capıtulo 2. Marco teorico 45
v =P
σB02 (M cothM − 1) (2.154)
Tambien se puede obtener el valor correspondiente de Bx que viene dado por:
µ0jy =∂Bx
∂z(2.155)
En esta ultima es posible hacer separacion de variables por tanto:
µ0jy∂z = ∂Bx (2.156)
Que se puede reemplazar en 2.132 y queda de la forma:
µ0jy∂z = µ0σ(E − vB0)∂z (2.157)
Donde ademas se puede reemplazar 2.154 y se tiene entonces que:
µ0jy∂z =
[µ0σE − µ0σB0
(PM
σB02 (cothM − 1)
)]∂z (2.158)
Para obtener el valor de Bx se hace:
µ0
∫jy∂z =
∫∂Bx (2.159)
Donde resolviendo la integral al lado derecho de la igualdad se tiene que:
µ0
∫jy∂z = Bx (2.160)
Reemplazando 2.158 se tiene que:
Bx =
∫ [µ0σE − µ0σB0
(PM
σB02 (cothM − 1)
)]∂z (2.161)
Destruyendo los parentesis se tiene que:
Bx = µ0σE
∫∂z − µ0PM
B0
coshM
sinhM
∫∂z +
µ0PM
sinhMB0
∫cosh
(Mz
L
)∂z (2.162)
Capıtulo 2. Marco teorico 46
Integrando da como resultado:
Bx = µ0σEz −µ0PM
B0
coshM
sinhMz +
µ0PL sinh(MzL
)sinhMB0
(2.163)
Agrupando terminos se tiene entonces que:
Bx =
(µ0σE −
µ0PM
B0
coshM
sinhM
)z +
µ0PL sinh(MzL
)sinhMB0
(2.164)
Reemplazando 2.142 en el termino de 2.164 donde aparece PM se tiene que:
µ0σE −µ0 tanhM(σEB0M + P )
B0
coshM
sinhM
Y haciendo el algebra correspondiente se tiene que:
−µ0P
B0
Y se introduce en 2.164 de tal forma que se puede reescribir como:
Bx = −µ0Pz
B0
+µ0PL sinh
(MzL
)sinhMB0
(2.165)
Factorizando y organizando terminos se tiene finalmente que:
Bx =µ0PL
B0
(sinh
(MzL
)sinhM
− z
L
)(2.166)
Como B es continua, puede decirse que Bx se anula sobre el contorno de z = ±L y
por tanto despejando P de 2.154:
P =vσB0
2
(M cothM − 1)
Y reemplazando P en 2.166, queda de la forma:
Bx =
µ0vσB02L
(M cothM−1)
B0
(sinh
(MzL
)sinhM
− z
L
)(2.167)
Capıtulo 2. Marco teorico 47
Que se puede reescribir como:
Bx =µ0vB0L
(M cothM − 1)
(sinh
(MzL
)sinhM
− z
L
)(2.168)
Donde RM = µ0vL se tiene que:
Bx =RMB0
(M cothM − 1)
(sinh
(MzL
)sinhM
− z
L
)(2.169)
Introduciendo la M cothM − 1 dentro de 2.169:
Bx = RMB0
(sinh
(MzL
)sinhM(M cothM − 1)
− z
L(M cothM − 1)
)(2.170)
Realizando las operaciones correspondientes dentro del parentesis:
Bx = RMB0
[1
M
(sinh
(MzL
)coshM − sinhM
− (Z/L) sinhM
coshM − sinhM
)](2.171)
Y finalmente se obtiene que:
Bx = RMB0
(sinh
(MzL
)− (Z/L) sinhM
M coshM − sinhM
)(2.172)
La fraccion de la derecha es siempre finita y tiene a cero cuando M → ∞ cabe
aclarar entonces que Bx es pequeno en comparacion con B0 y si RM es pequeno, las
lıneas de fuerza se modifican muy poco por el flujo del fluido.
2.1.5.1. Comparacion con la experiencia
Lo resultados experimentales se reducen a una relacion entre el flujo total en
mercurio con la presion y el campo magnetico que son proporcionales a P y M
respectivamente, por lo cual teniendo en cuenta 2.154 y que M = B0L(σ/νρ)12 se
tiene que:
v =PM2
σB02
(cothM
M− 1
M2
)(2.173)
Capıtulo 2. Marco teorico 48
Por tanto v ≈ PM2
σB02 que es independiente de B0 si M es pequeno. Para valores
grandes de M es necesario reemplazar M2 = σB0L/νρ en la ecuacion 2.173 reescrita
de la forma:
v =PB0
2σL2
νρσB02
(cothM
M− 1
M2
)(2.174)
Factorizando M en esta ultima se tiene que:
v =PB0
2σL2
νρσB02M
(cothM − 1
M
)(2.175)
Eliminando los terminos semejantes:
v =PL2
νρM
(cothM − 1
M
)(2.176)
Queda de manifiesto que v ≈ PL2
νρM. Como se estan tratando valores grandes de M ,
se puede multiplicar esta aproximacion a cada lado por v y por tanto se tiene que:
v2 =PL2v
νρM(2.177)
Utilizando 2.28 esta ultima se puede reescribir como:
Mv2 =PL
ρ
Lv
ν(2.178)
Recordado que R = Lvν
, que se reemplaza en 2.178 se tiene que:
Mv2 =PLR
ρ(2.179)
Con lo cual para valores grandes de M se llega finalmente a:
M
R=PL
ρv2(2.180)
Esta ultima ecuacion permite determinar si las velocidades son lo suficientemente
grandes para generar turbulencias, dado que M esta relacionado en proporcion con
R como muestra la ecuacion.
Capıtulo 2. Marco teorico 49
Figura 2.3: En la imagen se muestra la medida de la presion P0 que corresponde a un
flujo dado para un canal de seccion rectangular con un el campo magnetico B0 paralelo a
los dos lados pequenos a la izquierda las dimensiones del canal son de 0,291× 5,08 mm y
a la derecha las dimensiones del canal son de 0,60 × 3,72 mm. Se puede observar que las
lıneas superiores son modificadas por la turbulencia para valores pequenos de B0 (p. 17),
por T.G. Cowling, 1957, ALHAMBRA, S.A.
Los anteriores resultados se encuentran de acuerdo con flujos experimentales en
tubos de seccion pequena, pero para flujos grandes donde el campo magnetico es
debil como se muestra en la figura 2.3 aparecen discrepancias, esto debido a que el
flujo no es laminar, debido a que los campos magneticos crean una viscosidad que es
suficiente para para impedir la aparicion de turbulencias. Entonces como se ve en la
misma figura 2.3 un campo magnetico mediano puede disminuir la presion necesaria
para crear un cierto flujo, esto a pesar de la fuerza de induccion.
2.2. Fotosfera y granulacion en el Sol
Para comprender la superficie del Sol, es necesario entender en principio como
se entiende su estructura interna, es decir se debe hacer una construccion fısica que
Capıtulo 2. Marco teorico 50
permita su estudio, lo cual lleva al modelo de capas, dicho de manera coloquial esta
estrella se modela como una cebolla, este modelo se aplica a los planetas. Este modelo
se ilustra en la figura 2.4 donde se muestra cada una de las capas que componen el
interior y algunas de sus temperaturas.
Figura 2.4: Modelo de capas del Sol [Imagen], por Kelvinsong - Trabajo
propio, 2013, Wikipedia (https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=
30114079). CC BY-SA 3.0
Ahora bien, la fotosfera es la zona superficial del Sol que es perceptible desde la
tierra, esta se observa a simple vista de manera continua. Vista mas de cerca luce
Capıtulo 2. Marco teorico 51
burbujeante (Zeilik, 2002), como una gran olla de agua hirviendo (vease figura 2.5),
para el caso del esta estrella, cada una de dichas burbujas tiene un tamano aproxi-
mado de 1000 Km y pueden mantenerse hasta por 10 minutos. A dicho fenomeno
se le conoce como granulacion, esto se debe a que la fotosfera se encuentra ubicada
inmediatamente sobre la zona convectiva, donde se transporta material mas caliente
desde el interior del astro hacia la superficie y la mas frıa ubicada en las proximida-
des de la fotosfera desciende que es basicamente el proceso convectivo. En la tierra
este proceso se da en la formacion de nubes, puesto que el aire caliente asciende y se
condensa debido a la diferencia de presiones y temperaturas a esas altitudes, estas
nubes producen en ultima instancia la lluvia, los vientos en la tierra son producidos
siguiendo el anterior argumento gracias a los procesos convectivos.
Figura 2.5: Celulas de conveccion en la fotosfera solar, el ‘bullir’ del Sol [Foto-
grafıa], por National Solar Observatory, AURA/NSF, 2020, NSO (https://www.nso.edu/
press-release/inouye-solar-telescope-first-light/). CC BY 4.0
Debido a la ubicacion de la fotosfera sobre la zona convectiva, esta absorbe la
radiacion proveniente del interior de la estrella y la mantiene a una temperatura casi
Capıtulo 2. Marco teorico 52
constante de 5800 K. Se encentra por ende directamente relacionada con la generacion
de las manchas solares, puesto que los granulos que se forman en la superficie del
Sol permite que los tubos de fluido que se mueven en su interior, puesto que esta
capa tiene un espesor de unos 500 Km (Casanchi, 2014). Dichos tubos se rompen y
acceden en medio del bullir de la superficie. Debido a las fuerzas que se producen en
las manchas solares, las lıneas de fuerza y la intensidad de campo magnetico, no se
forman granulos y ası se hace visible la mancha, pues el material ahora fluye a traves
del campo generado por dichas manchas.
2.3. Manchas solares
Las manchas solares son una caracterıstica interesante del Sol, estas son regiones
que se perciben mas oscuras que el resto de la atmosfera circundante de esta estrella,
motivo por el cual se les conoce con el nombre de “manchas”, debido a que lucen
como estas en su superficie. Ahora bien, dado que el Sol es nuestra estrella mas
cercana, la mayorıa de estrellas en el universo se modelan con base en el mismo, por
lo cual esta no es una caracterıstica particular de este astro, se puede suponer que
muchas de las estrellas similares al astro rey, deberıan contar con las ya mencionadas
manchas.
Debido a la importancia de las mismas, es necesario aclarar que existen varios
motivos por los cuales estas regiones son en apariencia oscuras, uno de los prin-
cipales motivos, se debe a la intensa actividad magnetica que se produce en estas
zonas, produciendo campos varios miles de veces mas intenso que el campo magneti-
co de nuestro propio planeta, este intenso campo produce una presion magnetica
que aumenta mientras la presion de la atmosfera circundante (presion hidrostatica)
disminuye, esto genera por tanto una disminucion en la temperatura de la mancha,
dado que el campo magnetico concentrado inhibe el flujo de gas caliente nuevo desde
el interior del Sol a la superficie (Molina, 2013).
En estos puntos del Sol, las temperaturas oscilan alrededor de los 4000 K, mientras
en el resto de la superficie del astro, las temperaturas alcanzan los 6000 K, esto
produce un fenomeno de contraste que hace parecer que estas zonas son oscuras,
sin embargo una mancha aislada, podrıa llegar a ser incluso mas brillante que la
Capıtulo 2. Marco teorico 53
Luna. Las manchas solares presentan dos partes, una es la umbra que es la zona mas
oscura, y la otra es la parte que rodea la umbra llamada penumbra que presenta un
oscurecimiento mas ligero (NOAA, 2013).
Las manchas solares han sido observadas desde tiempos remotos, mucho antes
incluso de la invencion del telescopio, los chinos 200 anos antes de cristo, relataban
ver a simple vista estos puntos en la superficie de la estrella, sin embargo con la
llegada del ya mencionado instrumento de observacion en el siglo XVI, Galileo Galilei,
serıa uno de los primeros hombres en refutar las viejas teorıas en las cuales el Sol
era una esfera perfecta, Galilei, en sus manuscritos, detallarıa con ilustraciones sus
observaciones de diversas manchas. Aun hoy en dıa, se hacen seguimiento detallado
de las mismas a fin de estar en constante atencion de la actividad solar; tal es el caso
del proyecto denominado “ındice de manchas solares y observaciones solares a largo
plazo” o SILSO, por sus siglas en ingles y liderado por el observatorio astronomico de
Belgica, el cual tiene como finalidad, la recoleccion de datos que permitan conocer la
actividad solar y como esta misma produce sus efectos en el clima de la tierra, ademas
de contener un historico de datos que permiten conocer a largo plazo las variaciones
de dicha actividad (SILSO, 2019). En la figura 2.6, se muestra los registros hechos
por el observatorio durante el dıa 23 de octubre del ano 2019, dichas mediciones se
hacen diariamente.
Capıtulo 2. Marco teorico 54
Figura 2.6: Plantilla del disco solar sobre la cual el real Observatorio de Belgica hace
el seguimiento diario de las manchas solares, en este sitio se lidera el proyecto Indice de
manchas solares y observaciones solares a largo plazo ‘SILSO’ [Imagen], por Real ober-
vatorio de Belgica, SILSO, 2019 (http://sidc.be/DATA/uset/archdrawings/2019/10/
usd201910231000.jpg).
Finalmente estas zonas del Sol, no son estaticas, las manchas inicialmente apa-
recen en las latitudes altas de la estrella, no superiores a los 40 y descienden hacia
el ecuador, llegando a ubicarse a un 5 como maximo, este hecho fue observado ini-
cialmente por Sporer, este movimiento ocurre desde el mınimo al maximo del ciclo
solar, esto significa que se forman nuevas manchas de un ciclo a otro. Tambien al
Capıtulo 2. Marco teorico 55
ser zonas de intensa actividad magnetica como ya se menciono, vienen por tanto
en pares y su polaridad se invierte en cada ciclo en ambos hemisferios, pues dichas
manchas se forman tanto en el hemisferio norte como en el sur del astro rey. Este
comportamiento de las manchas recibe entonces el nombre de ley de Sporer y a partir
de la misma se pueden generar diagramas llamados “diagramas mariposa”, debido
a que toman esta forma al hacer seguimiento a las manchas solares durante ciclos
sucesivos. La figura 2.7, ilustra el comportamiento de las manchas sobre el disco solar
durante varios ciclos sucesivos a lo largo del tiempo.
Figura 2.7: Diagrama de mariposa para los diferentes ciclos solares. Los maximos picospresentan una mayor cantidad de manchas por area [Imagen], por NASA, 2016 (https://solarscience.msfc.nasa.gov/images/bfly.gif).
El mecanismo de generacion de las manchas solares, se explica en los parrafos
subsiguientes, haciendo uso de la Magnetohidrodinamica como se menciono al inicio
de este capıtulo, dado que es la teorıa matematica adecuada para este procedimiento,
sin embargo, para su desarrollo necesita ser explicada con un poco de detalle, pero, se
puede mencionar que estas se generan desde la zona convectiva del Sol que produce
un flujo particular, de tipo toroidal, este “anillo” emerge a la superficie o fotosfera
de la estrella dando lugar a lo que conocemos como la mancha solar, entonces el
Capıtulo 2. Marco teorico 56
diagrama mariposa es una buena representacion del comportamiento interno del Sol,
debido a que este permite relacionar tambien la inversion de campo a lo largo de
durante cada ciclo.
2.4. Estabilidad de las manchas solares
En primera instancia, la estabilidad de las manchas solares, proviene del analisis
de los problemas de la magnetohidrostatica, los cuales estan relacionados directa-
mente con el equilibrio mecanico, esto conlleva a las siguientes consideraciones, que
permiten tener claridad acerca de como las manchas permanecen estables durante
prolongados periodos de tiempo que van desde los dıas, hasta las semanas, entonces
esto se debe a:
Problemas de la magnetohidrostatica Estabilidad de las manchas solares
A partir de problema del equilibrio
mecanico se plantea:
•Temperatura inferior a la superficie en
las manchas solares (4500 K en vez de
5800 K).
•Si la materia es mas densa en el inte-
rior de la mancha (se rompe) desapa-
rece la mancha muy rapidamente, pero
tal cosa no ocurre en la realidad.
•Se propone entonces una existencia de
rotacion prolongada, pensando la man-
cha como un tornado, pero las veloci-
dades angulares no son suficientes.
A partir de problema del equilibrio
magnetico se plantea:
•Se explica, que por medio de equilibrio
debido a fenomenos magneticos se dan
los campos de las manchas, con inten-
sidades de 0.2 a 0.3 Teslas.
•P ≈ B2/2µ0 que es la presion lateral
magnetica, si se supone que el campo
esta confinado en una region cilındrica.
Capıtulo 2. Marco teorico 57
•Dado que B no depende de z (la al-
tura) a lo largo de una lınea de fuerza,
entonces ∂ρ∂z
tiene el mismo valor en el
interior y en el exterior del cilindro.
•Esto mismo sucede con la densidad a
lo largo de una lınea de fuerza, entonces∂ρ∂z
= −ρg pero P ≈ ρT entonces en el
equilibrio tanto la presion como la tem-
peratura debe ser menor en el interior
del cilindro.
•La diferencia de temperatura es apre-
ciable si la presion magnetica es com-
parable a la presion del gas, es decir:
B2/2µ0 comparable con ρT
Invirtiendo los razonamientos anterio-
res, se tiene una posible explicacion del
equilibrio de las manchas solares ası:
•Se supone la densidad de la materia
en el interior del cilindro a un mismo
nivel identica a la del exterior.
•La temperatura en el interior de la
mancha produce una caıda en la presion
del gas que se compensa con la presion
magnetica.
•Se asume entonces que debe existir ba-
jo la superficie de la mancha un haz de
lıneas de fuerza mas o menos vertica-
les cuya presion magnetica mantiene la
materia mas caliente en el exterior im-
pidiendo sumergirse a esta materia mas
caliente en el interior de la mancha.
•La presion magnetica es del orden de
1.6 x 105N/m2 para un campo de 0.2
Tesla, que es comparable con la presion
en el exterior de la mancha que es del
orden de 105N/m2.
Capıtulo 2. Marco teorico 58
• Se debe tener en cuenta que las lıneas
de fuerza estan curvadas hacia afuera
de la superficie de la mancha, por tanto
repele la materia circundante, esto de-
bido tambien a la intensidad del campo.
•Se cree que la superficie del Sol es lige-
ramente mas baja en el interior de una
mancha que en sus alrededores, esto se
puede deber a la caıda de presion por
densidad.
•La intensidad del campo y la presion
magnetica, son mas debiles en el exte-
rior (superficie) que en el interior de la
mancha lo cual conduce a: Si la razon
de los radios del tubo de fuerza mınima
de la superficie y la superficie es 2/3, la
razon de las fuerzas magneticas es 21/4
y la razon de las presiones magneticas
es 5.
•El campo no produce efectos mecani-
cos apreciables si P sobrepasa el va-
lor de 105N/m2, como estas presio-
nes corresponden a algunos millones de
kilometros de profundidad se concluye
que una macha proviene de un enfria-
miento superficial en esta teorıa.
Cuadro 2.1: Algunos inconvenientes del modelo de Alfven.
Capıtulo 2. Marco teorico 59
2.5. Modelo de Alfven
En 1942 el cientıfico Hannes Alfven propuso un modelo para la generacion de
las manchas solares, el cual se basa principalmente en la aplicacion de ondas mag-
netohidrodinamicas (Alfven, 1948). Segun dicho modelo las regiones inestables en
el interior del Sol, dan origen a una especie de anillos de torbellino dentro de los
cuales el fluido gira en torno a su propio eje. Posteriormente, se supone que es-
tos anillos ascienden a la superficie del Sol siguiendo las lıneas de fuerza de campo
magnetico como ondas magnetohidrodinamicas, lo cual se satisface por medio de
fuerza magnetica F = qv × B; estos anillos dan a lugar a dos pequenos orificios,
a los cuales es comun identificar como manchas solares, estas a su vez, se originan
en latitudes superiores y se desplazan hacia el ecuador celeste, esto ocurre dentro
de periodos de tiempo cıclicos. Este hecho se debe a que existen regiones activas
del Sol que producen anillos, uno en cada hemisferio del Sol. Un hecho particular
de las manchas solares, es el recorrido de los anillos, el cual se produce a traves de
grandes distancias desde las latitudes superiores, lo cual provoca la existencia de
varios anillos al mismo tiempo, los ultimos en producirse daran origen a un nuevo
grupo de manchas, ademas debido a que estos anillos se modelan con base en ondas
magnetohidrodinamicas, se puede dar la velocidad con la que los anillos descienden
desde latitudes superiores hacia el ecuador del Sol, esto, suponiendo un campo de
aproximadamente 2,5 mT, sin embargo se sabe que el valor actual para el campo
magnetico es alrededor de la decima parte del valor anteriormente dado. Con el fin
de salvar la teorıa, se supone que el campo del campo medido por efecto Zeeman,
es diferente, es decir, no es identico al que provoca el movimiento de los anillos que
produce el cinturon de ondas. Ahora bien, las manchas se comportan como dipolos,
por lo cual, la polaridad de las manchas segun Alfven, para cada ciclo, se debe al
hecho de que giren en direcciones opuestas en cada ciclo y ademas, no relacion con
las manchas de un hemisferio en cada ciclo. La generacion de las manchas en forma
cıclica (periodica) se debe a que los anillos al tocar la superficie, estos alcanzan la
region activa del otro hemisferio y la excitan en el curso del ciclo siguiente y a partir
de este hecho, se puede evidenciar, la relacion que existe de las machas en ciclos su-
cesivos. Puede concluirse entonces que a partir de las teorıas de Alfven, se explican
numerosas propiedades de las manchas solares, en particular las relacionadas con el
Capıtulo 2. Marco teorico 60
ciclo solar.
2.6. Algunos inconvenientes del modelo de Alfven
para manchas solares
Sin duda alguna el siglo XX fue un siglo lleno de luces, mas aun en temas como
la astronomıa, donde Alfven pudo plantear sus acerca de la actividad solar, por
lo cual logra proponer un modelo que describe el mecanismo de generacion de las
manchas solares, sin embargo en la actualidad sabemos que dicho modelo, tiene varias
falencias que impiden que este sea adecuado para describir como se crean las manchas
solares. El primero de ellos tiene que ver con el sentido de la rotacion y ademas, la
localizacion y actividad intermitente de las llamadas regiones activas del Sol, aunque
queden poco justificados estos hechos, son indispensables para la validez de la teorıa.
En segunda instancia, se admite que las manchas son producidas por regiones activas
donde se generan ondas magnetohidrodinamicas a consecuencia de una inestabilidad
de conveccion, esta inestabilidad, deberıa entonces afectar a grandes regiones del Sol
y no solo a zonas aisladas, esto debido a que las ondas no deberıan estar aisladas, si
no moviendose de una manera irregular en un campo fuertemente perturbado.
Ahora se supone ademas, que el campo magnetico de la mancha, proviene de un
campo mas importante, entonces se vuelven importantes los terminos de segundo
orden de la ecuacion referente a la variacion del campo en funcion del tiempo (ro-
tacional del campo electrico modificado) y tambien en la ecuacion de continuidad
magnetohidrodinamica, con lo cual se complica la descripcion de los fenomenos y por
tanto ya no se pueden ver como dos simples ondas superpuestas que se propagan a
lo largo de las lıneas de fuerza en direcciones opuestas, haciendo difıcil que existan
ondas en sentido opuesto (de reflexion o retroceso). Alfven ademas toma como re-
presentacion del plano (sistema de referencia) a un anillo que contiene la direccion
azimutal, esto con el fin de explicar los movimientos en la superficie del Sol y tam-
bien la direccion del campo en el punto considerado, pero un anillo puede a travesar
la region estable entre el interior y las capas proximas a la superficie, a menos que
permanezca horizontal.
Finalmente y la mas importante objecion, es que no se explica como la onda mag-
Capıtulo 2. Marco teorico 61
netohidrodinamica genera el campo magnetico de una mancha solar. Existe tambien
la duda de si es posible tener una reflexion de las ondas de este tipo que sea com-
patible con la persistencia de campos sobre la superficie, ademas se sabe que el
movimiento mostrado en esquema, a traves de las lıneas de fuerza, es imposible y
revela por tanto una dificultad fundamental para la teorıa.
Figura 2.8: Esquema en el cual se muestra el modelo de Alfven de manchas solares. Serepresenta el movimiento (en rojo) y lıneas (en azul) de fuerza magnetica en el curso de lareflexion de un toroide en la superficie del Sol. Los cırculos sombreados son las manchassolares que hacen parte del toroide que toca la superficie del Sol.
En conclusion y por todo lo anteriormente expuesto, el modelo de Alfven no
es viable, aunque al introducirlo puso de manifiesto la importancia de las ondas
magnetohidrodinamicas y los campos magneticos para comprender la existencia de
las manchas solares, pero tambien su estructura, puesto que para su epoca, estas
ideas eran revolucionarias y con mucho valor cientıfico, pero las caracterısticas de la
teorıa, son de poco interes.
2.7. Correcciones al modelo de Alfven
Como ya menciono en parrafos anteriores, el modelo propuesto por Hannes Alfven,
tiene numerosos problemas que impiden que sea de interes para el estudio de las man-
chas solares, aunque fue una teorıa brillante, se requiere buscar las modificaciones
necesarias para que dicho modelo permita predecir de manera mas precisa y exacta
el mecanismo de generacion de las manchas solares y a su vez, la medicion mas ade-
cuada del campo magnetico de una mancha, por tanto a continuacion se desarrollan
Capıtulo 2. Marco teorico 62
las ideas matematicas que permitiran llevar a cabo este proceso, aunque aquı tam-
bien se hace uso de las descripciones cualitativas a fin de que sea mas comprensible,
porque son necesarias estas modificaciones.
2.7.1. Conveccion
En primera instancia, se hace necesario analizar la conveccion, puesto que el
modelo de Alfven supone que las manchas solares se generan desde la zona convectiva.
Ahora bien, se entiende por conveccion a una de las formas de transferencia de calor,
es decir de transferencia de energıa, en otras palabras es la corriente en movimiento
de un gas o un lıquido que absorbe calor (Ozisik, 1985). En el modelo aceptado
actualmente del Sol, esta es una region importante del mismo y de gran interes para
la ciencia actual, debido a los procesos que allı se llevan a cabo, sin embargo el interes
de la conveccion en este caso, es con el fin de tener claridad como se define el mismo
matematicamente. Los procesos de conveccion ocurren de dos maneras distintas, las
cuales son naturales y forzadas. La conveccion natural ocurre cuando la causa del
movimiento del fluido es la diferencia de densidades que esta acompanada por la
diferencia de temperatura, por otro lado, la conveccion forzada, tiene lugar cuando
la accion de movimiento del fluido se produce por medio de aparatos creados por
el hombre, como por ejemplo un ventilador o una bomba, entonces en este caso
el proceso no es natural, ya que es provocado por algun tipo de dispositivo. La
conveccion se define matematicamente como ∂Q∂t
= Ah∆T , donde A es el area de
contacto entre las superficies, h es el coeficiente conveccion propio para cada material
y T la diferencia de temperaturas entre la superficie de contacto y el fluido o gas.
2.7.2. Teorema Π de Vaschy-Buckingham
Haciendo uso del teorema Π de Vaschy-Buckingham, el cual es un teorema funda-
mental de analisis dimensional, este establece que dada una relacion fısica, esta puede
expresarse mediante una ecuacion en la que puede haber una cantidad n de variables
involucradas, dichas variables son las magnitudes fısicas fundamentales, estas a su
vez se expresan en terminos de k cantidades fısicas dimensionalmente independien-
tes, de este modo la ecuacion original se puede escribir en forma de una ecuacion
Capıtulo 2. Marco teorico 63
en serie de la forma n− k que no son mas que numeros adimensionales, construidos
de las variables originales (Buckingham, 1914). En suma el teorema proporciona un
metodo para construir parametros adimensionales, incluso cuando se desconoce la
forma de la ecuacion, dado que la eleccion de los parametros no es unica y el teorema
no elige cuales tienen significado fısico.
Un ejemplo sencillo para comprender el teorema Π, se puede obtener de la ci-
nematica del movimiento circular, donde se desea obtener una a(v, r), es decir, una
aceleracion que dependa tanto de la velocidad como del radio, dado que en este tipo
de movimiento, las trayectorias son circulares con un radio y una velocidad en mag-
nitud constante, pero variable en direccion y sentido, lo cual nos lleva a un numero
Π(−a, v, r), pero se debe tener en cuenta que a = LT 2 , v = Lβ
Tβy r = Lα, lo cual nos
lleva a un proponer la ecuacion para el numero de Π de la siguiente manera:
Π = LαLβ
T βL
T 2(2.181)
Que se puede reescribir como:
Π = Lα+β+1T−β−2 (2.182)
De donde se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones con los exponentes y se obtiene
de esta forma los valores necesarios de α y β que permiten obtener la aceleracion
centrıpeta en funcion de las variables deseadas, el procedimiento es entonces:
α + β + 1 = 0 (2.183)
Y tambien
− β − 2 = 0 (2.184)
El primer resultado inmediato es por su puesto que de la ecuacion 2.7 β = −2
y reemplazando en 2.6 se tiene que α = −β − 1, es decir α = 2 − 1 con lo cual
finalmente se tiene que α = 1 lo que lleva finalmente a que:
Π = LT 2
L2
L
T 2(2.185)
Capıtulo 2. Marco teorico 64
Que puede expresarse finalmente como:
Π =ra
v2(2.186)
Por tanto para este ejemplo la aceleracion centrıpeta queda como a = Πv2
r, donde
el ajuste de la variable adimensional Π, lo da la geometrıa.
Para el caso que nos ocupa se propone un numero Π que dependa de tanto de
la conveccion como de la densidad de energıa magnetica y ademas otras magnitudes
fundamentales como la longitud y el tiempo, dado que estos factores son los que
tienen principal incidencia en la formacion de manchas solares, por tanto se presentan
en la forma como lo expresa el teorema y se tiene que:
Π = LaT bW cC (2.187)
Donde L y T son las magnitudes fundamentales o tambien llamadas dimensiones
de longitud y tiempo respectivamente que como ya se menciono son factores que estan
presentes en las manchas solares. Ahora W es el trabajo en el cual se encuentra
contenido la densidad de energıa magnetica y C es la conveccion o dicho de otra
manera la energıa por unidad de tiempo, ademas para Alfven en dicha zona del Sol
es donde se generan las manchas.
Dado que se busca una funcion con la siguiente dependencia f(L, T,W,C) enton-
ces se obtiene como resultado:
Π = L0T 1W−1C1 (2.188)
Que se puede reescribir como:
Π =Q
Wτ (2.189)
Donde C = Q y T = τ . Adicionalmente se tiene que W = 12B2Vµ0
Si se pasa W al
otro lado de la igualdad y se reemplaza se tiene que:
1
2
B2V
µ0
Π = τQ (2.190)
Capıtulo 2. Marco teorico 65
Por ultimo se despeja el campo magnetico teniendo en cuenta que Q = hA∆T ,
con lo cual se tiene la expresion para obtener los valores de intensidad de campo
magnetico para una mancha solar, a partir del modelo de Alfven ası:
B =
√2µ0τhA∆T
ΠV(2.191)
Asumiendo que la mancha solar se puede modelar como un cilindro se tiene que
V = πr2H y A = 2πrH siendo r el radio de la mancha y H la altura de la misma.
Reemplazando en la expresion para campo magnetico se obtiene como resultado:
B =
√4µ0τh∆T
Πr(2.192)
Finalmente para obtener el tiempo τ se usa la formula τ = 2rc
donde r es el
tamano de la mancha solar y r su radio, reemplazando en la expresion del campo
magnetico se tiene que:
B =
√8µ0h∆T
Πc(2.193)
Con lo cual se tiene la expresion para obtener los valores de intensidad de campo
magnetico para una mancha solar, a partir del modelo de Alfven. Puesto que dicho
modelo supone la generacion de las manchas como consecuencia de la intensa acti-
vidad magnetica y la conveccion que no es mas que el movimiento en este caso de
material cargado en el interior de la estrella y queda por tanto justificado que se
relacione W con Q y en consecuencia la pertinencia de este resultado.
Capıtulo 3
Metodologıa para la ensenanza de
las manchas solares
Continuando con el desarrollo de la primera parte como se menciono en la in-
troduccion este capıtulo se centra en el desarrollo de la teorıa didactica utilizada
para desarrollar la secuencia de actividades que a su vez permite abordar el modelo
de Alfven. Este modelo como se vio en el capıtulo anterior permite comprender el
mecanismo de generacion de las manchas solares, las cuales permiten evidenciar di-
versos fenomenos en las estrellas, por lo cual las hace un gran objeto de estudio que
aquı es llevado por medio de la didactica de la ensenanza de la astronomıa a ser mas
sencillamente entendidas.
A continuacion se presentan las generalidades de la metodologıa didactica bajo
la cual se desarrollo la secuencia de actividades para la ensenanza de las manchas
solares:
3.1. Didactica de la astronomıa
Este trabajo se desarrolla haciendo uso de la didactica de la astronomıa, esta es
la herramienta que permite elaborar una secuencia de actividades que contenga el
modelo de Alfven, puesto que lo que se busca con dichas actividades es mostrar diver-
sos fenomenos que se pueden explicar a traves de las manchas solares, pero tambien
dar a conocer de manera sencilla el modelo de generacion de dichas manchas, que
66
Capıtulo 3. Metodologıa para la ensenanza de las manchas solares 67
es el fin ultimo de esta monografıa. Ya desarrollada la teorıa matematica suficiente
y necesaria que da sustento al modelo de manchas solares, en el cual se tuvieron en
cuenta los elementos matematicos de la MHD se hace necesario profundizar en la
didactica que se usara para abordar cada una de las actividades que se presentaran
en capıtulos posteriores, ası quedara justificada la pertinencia de cada una de las
mismas.
Al abordar las manchas solares se relacionan temas y conceptos de la mecanica
de fluidos, la electricidad, el magnetismo y la astronomıa, todo ello haciendo uso de
la didactica de la astronomıa en la cual se fusionan conceptos propios de la fısica, la
astronomıa y las ciencias sociales (Camino, 2011), esto permite una transversalidad
de varias disciplinas y una relacion sin duda mas amplia del hombre y su entorno,
es decir el universo, siempre teniendo en cuenta que lo que se busca es lograr un
aprendizaje significativo, para lo cual es necesario tener en cuenta los procesos de
aprendizaje como se explica en el siguiente esquema contenido en la figura 3.1.
Figura 3.1: Esquema de sıntesis sobre las caracterısticas de la didactica de la as-tronomıa [Imagen], por N. Camino, 2011 (https://sab-astro.org.br/wp-content/uploads/2017/03/SNEA2011_Palestra_Camino.pdf).
Capıtulo 3. Metodologıa para la ensenanza de las manchas solares 68
Se hace especial alusion a la necesidad de que el aprendizaje generado sea signifi-
cativo, esto teniendo en cuenta que se entiende por aprendizaje significativo, puesto
que en un amplio sentido, la mayorıa de los seres humanos tenemos nociones previas
de conceptos astronomicos, es allı, desde la base de los conceptos previos que juega
un papel importante la propuesta de aprendizaje hecha por David Ausbel, dado que
se busca con el material aquı desarrollado que se enriquezcan los conocimientos pre-
vios de quienes hagan uso de las actividades desarrolladas en este texto. Ahora cabe
aclarar que existen diversas maneras para que el aprendizaje sea significativo, uno
de ellos se basa precisamente en la pertinencia del material que se brinda a quien
se desea impartir dicho nuevo conocimiento, puesto que el material debe estar en
consonancia con los conceptos previos (Ausbel, 1968), de lo contrario puede tornarse
en un simple aprendizaje por repeticion. Dicho material se vuelve entonces significa-
tivo en la medida que su receptor se sienta interesado por el tema, quiera continuar
indagando y haya generado una curiosidad con lo cual estas actividades se vuelven
de agrado y generan ese aprendizaje que se busca. Ahora existen este material con-
lleva a un aprendizaje significativo por recepcion, dado que este material contiene
conceptos que se dan sin abandonar los preconceptos y buscando que del mismo por
descubrimiento propio se generen nuevo conocimiento y que este sea dado a partir
del aprendizaje significativo.
Finalmente al plantearse el acercamiento didactico al modelo de Alfven de man-
chas solares, se requiere hacer uso de la didactica de la astronomıa como se menciono
en parrafos anteriores, ya que la didactica de la astronomıa al ser una disciplina en fu-
sion, permite tomar grupos llamados etarios, es decir de diferentes edades y ademas
brindarles un aprendizaje significativo, ya que todos los conceptos sin excepcion
pueden ser ensenados y aprendidos a cualquier edad sin ningun tipo de restriccion
(Camino, 2011). Esta propuesta didactica se organiza en “ejes de desarrollo con-
ceptual” y la teorıa del aprendizaje significativo como se muestra en la figura 3.2.
Puesto que lo que se plantea es un acercamiento a un modelo de manchas solares
se plantan una guıa de actividades que permitiran comprender fenomenos como los
ciclos de actividad solar, es por ello que la didactica de la astronomıa constituye una
herramienta fundamental que puede llegar a constituir un aporte tanto a la ensenan-
za de la astronomıa, como la didactica de la misma y porque no, para la formacion
Capıtulo 3. Metodologıa para la ensenanza de las manchas solares 69
de docentes en ensenanza de astronomıa en Colombia, es por ello que se plantean
jovenes universitarios en el eje de grupos etarios, ya que el material de la guıa sera
desarrollado de tal forma que pueda usar por ellos en su proceso de formacion.
En el eje correspondiente a las teorıas del aprendizaje se indica la teorıa del
aprendizaje significativo de Ausubel, explicitandose las tres condiciones basicas que
condicionan tales aprendizajes: materiales logicamente significativos (MLS), mate-
riales psicologicamente significativos (MPsS) y la disposicion e interes del aprendiz
(Disp). En el eje de ensenanza de la astronomıa se indica el eje de desarrollo concep-
tual sobre el cual se basa esta propuesta didactica.
Figura 3.2: Esquema para el diseno de investigaciones en didactica de la astronomıa,en el cual se modificaron los ejes tematicos para el caso de las manchas solares [Ima-gen], por N. Camino, 2011 (https://sab-astro.org.br/wp-content/uploads/2017/03/SNEA2011_Palestra_Camino.pdf).
Capıtulo 4
Desarrollo secuencia de actividades
Para este trabajo de grado las actividades desarrolladas en este capıtulo se reali-
zaron con base en una guıa libre para la ensenanza de las manchas solares, brindada
por la seccion de educacion de la mision SOHO de la NASA que fue modificada por
ultima vez en 2018. Adicionalmente en una guıa elaborada por Sergio Torres Arzayus
reconocido fısico colombiano que justamente ha trabajo con la NASA y la universi-
dad de Berkeley, entre otras. Su taller se centra en la rotacion del Sol (Torres, 2012).
La secuencia de actividades se encuentra dividida en cuatro partes que concluyen
finalmente con el modelo de Alfven de la siguiente manera:
1. Rotacion del Sol.
2. Ciclo solar.
3. Medicion indirecta del tamano de una mancha solar.
4. Campo magnetico de una mancha solar a partir del modelo de Alfven.
Cada una de las partes de esta secuencia de actividades cuenta con su propio
objetivo, siempre teniendo en mente que se ha elaborado de manera que se pueda
abordar por grupos etarios como ya se menciono en la didactica de la astronomıa que
aquı se emplea, pero siempre en consonancia con los objetivos plateados para este
trabajo, principalmente la de presentar el modelo del Alfven de manchas solares, sin
embargo se mencionaran dentro de la descripcion de cada una de ellas con el fin de
clarificar la pertinencia de cada una de las partes del taller.
70
Capıtulo 4. Desarrollo secuencia de actividades 71
4.1. Rotacion del Sol
La primera actividad tiene como objetivo presentar la rotacion del Sol por medio
de las manchas solares. Para ello siguiendo las indicaciones dadas en el componente
educativo de la mision SOHO (2016) y a Sergio Torres (2012) se toman imagenes de la
superficie solar con el filtro HMI, que permite observar dichas manchas sobre el disco
solar. Estas imagenes se pueden obtener de la mision SDO tambien. Estas imagenes
son de libre acceso por lo que se pueden usar y modificar con fines educativos. La
figura 4.1 es un ejemplo de imagen obtenida para el desarrollo de esta primera parte.
Figura 4.1: Mancha solar en Septiembre del ano 2017 captada por el Observatorio deDinamica Solar ‘SDO’ de la NASA usando el filtro HMI Intensitygram Flat (orange) [Fo-tografıa], por NASA/SDO, 2017 (https://sdo.gsfc.nasa.gov/data/aiahmi/).
Se deben seleccionar imagenes de maximos solares de tal modo que se puedan
ver manchas solares que se puedan seguir por un periodo de 7 dıas seguidos por lo
menos. Con este grupo de imagenes se usa el mapa - plantilla que se me nuestra en
Capıtulo 4. Desarrollo secuencia de actividades 72
la figura 4.1. Lo anterior con el fin de determinar si las manchas se desplazan en
promedio de la misma distancia cada dıa y adicionalmente visibilizar mas facilmente
el fenomeno de movimiento de la mancha a lo largo del tiempo y por ende la rotacion
solar.
Figura 4.2: Mapa - plantilla para el seguimiento de las manchas solares realizado por elObservatorio Heliosferico y Solar ‘SOHO’ de la NASA [Imagen], por NASA/SOHO, 2018(https://sohowww.nascom.nasa.gov/classroom/docs/ExerSP.pdf).
Se debe unir el mapa-plantilla con las imagenes seleccionadas de tal modo que
se pueda ver en cada una de las imagenes el desplazamiento sobre el disco solar
de las manchas, esta plantilla permite verificar de manera cualitativa la distancia de
desplazamiento. La figura 4.3 muestra como quedarıa la imagen editada para la guıa.
Capıtulo 4. Desarrollo secuencia de actividades 73
Figura 4.3: Imagen editada con mapa - plantilla para la actividad de rotacion de man-chas solares [Fotografıa], por NASA/SDO, 2017 (https://sdo.gsfc.nasa.gov/data/aiahmi/).
Al verificar si las manchas en promedio se desplazan la misma distancia cada dıa
permite obtener el periodo de rotacion de la estrella para esa latitud, dado que al
ser una esfera de gas el astro rota mas rapido en el ecuador que en sus polos. Ası
quedarıa concluida esta actividad.
4.2. Ciclo solar
La segunda parte de la secuencia de actividades tiene la finalidad de dar a conocer
el ciclo solar caracterizado por los periodos de maximos y mınimos de manchas
solares. Esto se hace por medio en primera instancia con datos de libre uso obtenidos
por el proyecto Indice de manchas solares y observaciones solares a largo plazo o
SILSO (2020) perteneciente al real observatorio de Belgica por sus siglas en ingles
Capıtulo 4. Desarrollo secuencia de actividades 74
de donde se obtiene un registro historico de datos de manchas solares desde 1950
hasta 2009, estos datos se pueden graficar de tal manera que se pueda observar el
comportamiento de la grafica e identificar los ya mencionados maximos y mınimos
solares y comprobar ademas su periodicidad. La figura 4.4 muestra como se ve la
grafica del numero de manchas solares en el tiempo.
Figura 4.4: Grafica del ciclo solar desde 1960 hasta 2008 [Imagen], por Real obervatoriode Belgica, SILSO, 2020 (http://www.sidc.be/images/wolfmms.png).
Al reconocer el ciclo solar con ayuda de la grafica obtenida, se pueden realizar
algunas preguntas a manera de complemento.
Ejemplo de pregunta: Si tuviera que hacer una prediccion para los anos 2021
y 2027, ¿serıan los anos maximos o mınimos?
Finalmente con ayuda del numero de Wolf que como indica Molina (2013) es un
numero que predice la cantidad de manchas solares que pueden observarse en un dıa e
incluso en periodos mas largos de tiempo viene dado por la expresion R = k(10G+S)
siendo k es una constante dada por el instrumento de observacion, G el numero de
grupos de manchas y S. Aquı solo se muestra su implementacion dado que este tema
ya se abordo en el marco teorico, sin embargo en la guıa se cuenta tambien acerca
del mismo. La figura 4.5 muestra una imagen del Sol con los datos necesarios para
obtener la prediccion de manchas solares que se deberıan observar en ese instante.
Capıtulo 4. Desarrollo secuencia de actividades 75
Figura 4.5: En esta imagen tomada de la secuencia de actividades se muestra el procesorealizado para obtener el numero de Wolf dados los valores de k dado por SILSO, G y Robtenidos a apartir del analis de la imagen obtenida del SDO [Imagen], NASA/SDO, 2017(https://sdo.gsfc.nasa.gov/data/aiahmi/).
Esta parte de las actividades permite reconocer ademas como los grandes observa-
torios trabajan a nivel mundial para identificar y predecir algunos comportamientos
del Sol como los siguientes maximos y mınimos del ciclo solar, puesto que sus efectos
son perceptibles en la tierra con las tormentas solares e incluso se piensa que la ac-
tividad solar tiene incidencia en el clima de la tierra. Sin embargo estas discusiones
no se abordan en esta secuencia didactica.
4.3. Medicion del tamano de una mancha solar
Continuando con las actividades, en esta parte se usan imagenes de manchas
solares y el software libre de analisis de imagen SalsaJ que permite hacer un mapeo
de la cantidad de pixeles que componen la mancha seleccionada, ese procedimiento
Capıtulo 4. Desarrollo secuencia de actividades 76
se hace como indica Sergio Torres (2012). Una vez obtenido el perfil de la mancha
se establece una relacion entre el tamano del Sol en pixeles, el tamano de la mancha
solar en pixeles y el tamano del Sol en metros, esto permite a traves de una regla de
tres simple obtener el tamano de la mancha de manera indirecta. La guıa cuenta con
una imagen que detalla el procedimiento usado para obtener el perfil de la imagen
en pixeles y de la misma manera los datos en pixeles para el disco solar. En la figura
4.6 se explica de manera detallada como analizar la imagen con el programa SalsaJ.
Figura 4.6: Imagen donde se muestra el paso a paso para realizar el analisis de imagenmediante la herramienta SalsaJ.
Para terminar se da una breve explicacion de como obtener los datos del perfil de
la macha y de la imagen seleccionada como puede verse en la figura 4.7, los cuales son
suficientes y necesarios para obtener el tamano de cada una de las imagenes dadas
para que el lector haga por sı mismo el ejercicio.
Capıtulo 4. Desarrollo secuencia de actividades 77
Figura 4.7: En esta imagen extraıda de la secuencia de actividades se muestra el perfil dela mancha en pixeles obtenido haciendo analisis a la imagen del SDO a traves del SoftwareSalsaJ; se da ademas el tamano del Sol en pixeles, con lo cual la imagen en su conjuntobrinda los datos necesarios para obtener el tamano de la mancha solar que allı se observa[Imagen], por NASA/SDO, 2017 (https://sdo.gsfc.nasa.gov/data/aiahmi/).
Cabe mencionar que este programa se puede usar para hacer un perfil de la
profundidad de la mancha y relacionandolo con los pixeles y tambien la escala de
colores que el mismo arroja para determinar la temperatura de mancha solar (Es-
pinosa, 2016). Pero este tema queda al lector para complementar esta guıa con ese
componente adicional.
Capıtulo 4. Desarrollo secuencia de actividades 78
4.4. Modelo de Alfven
Finalmente la secuencia de actividades cierra con la parte del modelo de Alfven
el cual representa el aporte de esta monografıa, puesto que el objetivo de esta seccion
es obtener las intensidades de campo magnetico a traves de dicho modelo. Se inicia
dando una breve descripcion de la zona del Sol donde se generan las manchas solares,
se describe graficamente como se genera el modelo como se muestra en la figura 2.5
y se dan los pasos y ecuaciones que fueron necesarios para el obtener la ecuacion
que permite calcular las intensidades de campo magnetico de las ya mencionadas
manchas. La figura 4.8 muestra como lucen las lıneas de campo magnetico de una
mancha solar de manera similar a como se muestra en el modelo mencionado en esta
seccion.
Figura 4.8: En este modelo se muestran las lıneas de campo magnetico que flu-yen a traves de la zona convectiva y surgen a la superficie por medio de las man-chas solares [Imagen], por TilmannR - Trabajo propio, 2019, Wikipedia (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sunspot_diagram.svg). CC0 1.0 UniversalPublic Domain Dedication
Se termina con el calculo de algunas intensidades de campo magnetico a partir del
ya mencionado modelo con los valores de temperaturas y coeficientes de conveccion
dados en la tabla 4.1 y se dejan como ejercicio al lector. Para dicho fin se dan ademas
los valores de las constantes µ0 = 1,25× 10−6 T/mA, c = 3× 108 m/s y Π = 10−8.
Capıtulo 4. Desarrollo secuencia de actividades 79
Temperatura (K) h(W/m2K) B (T)
3000 24
3300 20
3600 16
3900 12
4200 8
4500 4
Cuadro 4.1: Aquı se muestra la tabla de datos que debe ser completada con las
intensidades de campo magnetico a partir del modelo de Alfven y es la parte final
de la secuencia de actividades.
Con esto puede darse por terminada la secuencia de actividades que se planteo
para este trabajo teniendo en cuenta principalmente la didactica de la astronomıa
que permite llevar la teorıa a un lenguaje mas amable y adecuado para la ensenanza
del modelo de Alfven como es el objetivo de esta monografıa.
Capıtulo 5
Analisis de resultados
En este capıtulo se presenta el analisis de los resultados obtenidos en el desarrollo
de cada una de las actividades de la guıa desarrollada para este trabajo ası como los
resultados de la parte disciplinar especıficamente del modelo de Alfven que se obtuvo
a partir de teorema Π de Buckingham. Por tanto se abordan cada uno de los procesos
de mejora de la secuencia de actividades en primera instancia. A continuacion se
comparan datos reales de campo magnetico de una mancha solar con los obtenidos
a traves del modelo obtenidos en este trabajo a fin de verificar su pertinencia o si
este debe ser sometido a mejoras.
5.1. Resultados secuencia de actividades
Los resultados de la secuencia de actividades son netamente de forma y ajuste de
cada una de las actividades, dado que se presentaron varios modelos de secuencia de
actividades basados en las indicaciones de la seccion educativa de la mision SOHO y
tambien por Sergio Torres y se fueron realizando diversos ajustes. Sin embargo esta
guıa se llevo a diferentes espacios tales como el congreso nacional de ensenanza de
la fısica y la astronomıa llevado a cabo en la ciudad de Bogota en el ano 2018 donde
se dio a modo de taller sin recibir mas que buenos comentarios. Posteriormente se
presento en un taller para maestros en el planetario de Bogota donde tampoco recibo
ningun comentario adverso. Finalmente se ha mostrado como parte de los avances de
los trabajos realizados por los estudiantes del semillero de astronomıa y ensenanza
80
Capıtulo 5. Analisis de resultados 81
de la astronoma Francisco Jose de Caldas “ATROEN”. Dicho esto A continuacion
se indican cada una de las mejoras realizadas a la secuencia de actividades.
1. En la primera actividad se realizo la actualizacion de imagenes, debido a que
las utilizadas por SOHO y por Sergio Torres correspondıan al maximo del ano
2006. Estas se cambiaron por imagenes de la mision SDO correspondientes al
maximo del maximo del ano 2017 como se muestra en la figura 5.1.
Figura 5.1: En la figura se muestra una de las primeras imagenes editadas y usadas parael analisis de rotacion del Sol a la derecha [Fotogrıa], por NASA/SOHO, 2006 (https://sohowww.nascom.nasa.gov/data/archive/). Y la izquierda una de las imagenes editadasy usadas actualmente.[Fotografıa], por NASA/SDO (https://sdo.gsfc.nasa.gov/data/aiahmi/).
2. Como ya se menciono en el capıtulo anterior en la segunda actividad corres-
pondiente al ciclo solar se incluyo el calculo del numero de Wolf dado que
este no se encontraba en las anteriores versiones de la guıa y adicionalmente
se graficaron los datos del proyecto SILSO en el graficador SciDAVis como se
muestra en la figura 5.2 de modo que fuera de elaboracion propia y sirviera de
comparativo para las graficas que se pueden desarrollar a mano.
Capıtulo 5. Analisis de resultados 82
Figura 5.2: Grafica realizada a partir registros historicos del proyecto SILSO.
3. Finalmente las actividades de medicion del tamano de una mancha por medio
del analisis de imagen al igual que la actividad final de calculo de la intensidad
de campo magnetico de las ya mencionadas manchas son nuevas, por lo que
se han elaborado e incluido con gran detalle para su desarrollo y adecuada
resolucion dentro de las actividades propuestas. Por tanto estas ultimas quedan
abiertas a su posterior revisan y mejora de tal manera que esta secuencia de
actividades sea mas adecuada y contribuya de una mejor manera a la ensenanza
de la astronomıa.
5.2. Resultados modelo de Alfven
El modelo de Alfven como ya se vio en los capıtulos anteriores se desarrollo con
ayuda de analisis dimensional, esto conlleva a que se debe ajustar a datos obtenidos
mediante observacion, motivo por el cual se hace necesario introducir los datos nece-
sarios y hacer uso del parametro de ajuste Π obtenido del teorema. Entonces al ser
comparado con los datos reales que se puede verificar la validez del modelo obtenido,
por tanto estos resultados se muestran a continuacion.
Para poder verificar la efectividad del modelo es necesario tener presente varios
aspectos fundamentales, dado que como ya se menciono se hace necesario el uso
de la conveccion ya que las manchas solares se generan en esta zona del Sol. Por
Capıtulo 5. Analisis de resultados 83
tanto es necesario listar los coeficientes de conveccion h que permitiran el calculo de
las diferentes intensidades de campo magnetico. Sin embargo es importante resaltar
que no existen tablas de datos de las intensidades de campo magnetico de las de
las manchas, lo cual no significa un impedimento para conocer el valor de estas
intensidades ya que esta se puede encontrar apartir de las 0.1 T (Aschwanden, 2006)
yendo a unos valores tan altos del orden de los 0.2 T y 0.3 T (Cowling, 1957) e incluso
en epocas de gran actividad solar como en 1908 hasta los 0.4 T (Zeilik, 2002). Con lo
cual se tiene un rango para verificar la validez del modelo utilizado para hallar estas
intensidades. Adicionalmente se tienen que conocer los valores de los coeficientes de
conveccion como ya se menciono, para tales fines se presenta la siguiente tabla:
Proceso Conveccion li-
bre
h(W/m2K)
Gases 2 – 25
Lıquidos 50 – 1000
Proceso Conveccion
forzada
Gases 25 – 250
Lıquidos 50 – 20000
Proceso Conveccion
con cambio de fase
Ebullicion o condensa-
cion
2500 – 100000
Cuadro 5.1: Algunos valores tıpicos de coeficientes de para la transferencia de calor
por conveccion (p. 8), por F.P. Incropera, 1999, Pearson Educacion.
Dado que no existe ningun tipo de mecanismo producido de manera artificial que
provoque una conveccion forzada, se hace evidente que la conveccion producida en
el Sol se produce de manera natural en el interior del mismo, por tanto se puede
usar el coeficiente de conveccion libre para gases y de esta manera comprobar la
efectividad del modelo, para la lo cual se tiene en cuenta que la temperatura media
de una mancha solar puede variar entre los 3000 a en 4500 K (Padial, 2018). Se tiene
ademas que, la constante de permeabilidad magnetica µ0 para el vacıo con un valor
Capıtulo 5. Analisis de resultados 84
de 1,25 × 10−6 T/mA, ademas la constante c que cuyo valor corresponde a 3 × 108
m/s y finamente se fija el valor de Π en 10−8. Introduciendo los datos en modelo de
se obtienen las intensidades de campo magnetico para las mancha solares:
Campo magnetico (T) h(W/m2K)
0.159 2
0.194 3
0.225 4
0.251 5
0.275 6
0.295 7
0.318 8
0.337 9
0.355 10
0.373 11
0.389 12
0.405 13
0.421 14
0.435 15
0.450 16
0.454 17
0.477 18
0.490 19
0.503 20
0.515 21
0.527 22
0.539 23
0.551 24
0.562 25
Cuadro 5.2: Valores de campo magnetico obtenidos a partir del modelo de Alfven
con temperatura de 3800 K y coeficientes de conveccion natural o libre.
Capıtulo 5. Analisis de resultados 85
Puede usarse una temperatura diferente para verificar la pertinencia del modelo,
con lo cual se pueden obtener nuevos valores de campo magnetico como se muestran
en la tabla 5.2 a continuacion:
Campo magnetico (T) h(W/m2K)
0.167 2
0.204 3
0.236 4
0.264 5
0.289 6
0.313 7
0.334 8
0.354 9
0.374 10
0.392 11
0.409 12
0.426 13
0.442 14
0.458 15
0.473 16
0.487 17
0.501 18
0.515 19
0.529 20
0.542 21
0.554 22
0.567 23
0.579 24
0.591 25
Cuadro 5.3: Valores de campo magnetico obtenidos a partir del modelo de Alfven
con temperatura de 4200 K y coeficientes de conveccion natural o libre.
Capıtulo 5. Analisis de resultados 86
Puede observarse en la tabla 5.3 que para valores de h superiores a 14W/m2K se
encuentra una intensidad de campo magnetico por encima de los rangos mencionados
en parrafos anteriores, por lo cual dicho valor es muy superior al campo magnetico
terrestre que se encuentra en el orden de los 60×10−3 T (Campbell, 2003) y sabiendo
que la actividad solar puede ser alta dichos valores posiblemente se encuentren en
concordancia con una intensa actividad de este astro. Ahora respecto a los valores
de h se toman hasta 25W/m2K dado que despues de dicho valor la conveccion se
cataloga como forzada pero como se evidencia hasta dicho valor de h aun se encuentra
dentro del rango de intensidades de campo magnetico, lo que puede ser evidencia
que efectivamente con los ajustes realizados al modelo este funciona.
Capıtulo 6
Conclusiones
La MHD permitio abordar el problema del modelo de generacion de las man-
chas solares, sin embargo fue necesario realizar todos los pasos intermedios que
no se encontraban en el libro y adicionalmente hacer el cambio de unidades
gaussianas a unidades del sistema internacional. Esto permite evidenciar que
se hace uso de las cuatro leyes de Maxwell que se modifican de forma adecuada
y junto con la ecuacion de continuidad de los fluidos, ademas del teorema Π de
Buckingham encontrar el modelo de Alfven que permite la intensidad de campo
magnetico de una mancha solar y se incluye el mismo dentro de la secuencia
de actividades.
Se cumplio el objetivo de realizar la medicion indirecta del tamano de una
mancha solar por medio del analisis de imagen, se creo una guıa de esta manera
que permite reconocer las dimensiones de las mismas y como a traves de una
relacion simple de pixeles y el perfil de una mancha real se puede obtener estos
valores de una manera practica y sencilla. Se puede considerar este como uno
de los grandes aportes de este trabajo a la ensenanza de las manchas solares.
Esta secuencia de actividades es bastante completa, pero como ya se ha mencio-
nado se puede complementar con la medicion de la temperatura de tal manera
que constituya una guıa mas robusta y que abarque mas caracterısticas im-
portantes de las manchas solares. Adicionalmente al incluirse apartados como
la mediacion del tamano de la mancha solar y el calculo de la intensidad de
87
Capıtulo 6. Conclusiones 88
campo magnetico, estos mismos quedan sujetos a cambios, modificaciones y
posteriores mejoras que lleven a una mejor y mas adecuada version de la se-
cuencia de actividades de ensenanza de las manchas solares y por supuesto del
modelo de Alfven que de igual manera se puede mejorar e incluso cambiar por
uno mejor y mas completo.
Finalmente se puede decir que el modelo de Alfven fue efectivo dado que se
obtuvieron valores de campo magnetico que se encuentran dentro del orden del
valor reportado en las diversas fuentes bibliograficas que se consultaron, adi-
cionalmente es claro que algunos valores son muy superiores a los encontrados.
Sin embargo esto no implica que el modelo no sea adecuado, sino que puede
ser ajustado para hallar valores mas precisos y uno de los analisis se puede
hacer a traves de distintos valores de temperatura de las manchas e incluso
verificando los coeficientes de conveccion que mas se ajusten al problema de
las manchas en particular. Adicionalmente como se senalo, este modelo queda
abierto a revisiones, de tal manera que se pueda ajustar y modificar de ser
necesario, dado que esta seccion de la secuencia de actividades es totalmente
nueva y se introduce como un complemento al problema del estudio de las
manchas solares.
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![Acercamiento Chuarrancho[1]](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/55cceea4bb61eb515b8b4607/acercamiento-chuarrancho1.jpg)
