COORDINACIÓN DE ESTABILIZADORES EN REDES DE POTENCIA USANDO UN ALGORITMO GENÉTICO

Dr.Isidro Castillo-ToledoInstituto Tecnológico del istmo

e-mail: lobo_estepariocti@hotmail.comRESUMEN

Un tema de reciente actualidad para mejorar la operación de los sistemas de potencia ha sido la coordinación de

estabilizadores de sistemas de potencia y los Dispositivos Estabilizadores de Sistemas de Transmisión Flexible en Corriente

Alterna (FDS-FACTS Devices Systems por sus siglas en inglés). Estos controles han probado ser muy efectivos para

incrementar el amortiguamiento de algunos modos de oscilación del rotor del generador. Sin embargo, existe la posibilidad de

una operación marginal del sistema en algunos casos, pero este inconveniente puede ser resuelto por una adecuada coordinación

de controles además, esta acción asegura la robustez en la operación del sistema para diferentes condiciones de operación. Los

problemas originados por una inadecuada interacción entre los estabilizadores pueden ser resueltos por una metodología

apropiada con el fin de obtener un impacto positivo en un sistema dinámico.

El problema de la selección de parámetros del estabilizador se resuelve como un problema de optimización sin restricciones

usando un algoritmo genético. Para diseñar estabilizadores robustos basados en mediciones locales, la solución toma en

consideración diferentes condiciones de operación. Para explorar la efectividad del procedimiento se realiza la simulación no

lineal de redes de potencia con estabilizadores de sistemas de potencia (Power System Stabilizers por sus siglas en inglés) en

los generadores síncronos, Capacitores Series Controlados por Tiristores (TCSC) y un controlador unificado de flujos de

potencia (UPFC).

Palabras claves: algoritmo genético; FACTS; coordinación de controles; estabilidad de sistema de potencia.

1. INTRODUCCIÓN

La aplicación de los estabilizadores de sistemas de potencia ha sido una de las primeras alternativas para compensar el

efecto negativo de los reguladores de voltaje y mejorar el amortiguamiento del sistema en general. La función básica de los

estabilizadores de sistemas de potencia es incrementar los límites de estabilidad modulando la excitación del generador, para

suministrar amortiguamiento a las oscilaciones del rotor del generador.

Con el incremento en el suministro de energía a grandes distancias, sobrecargando las líneas de transmisión, el uso de los

PSS convencionales pueden, en algunos casos no suministrar amortiguamiento suficiente ante la presencia de oscilaciones tipo

inter-área. En estos casos, se requieren otras soluciones que sean efectivas para contrarrestar el efecto negativo de estas

oscilaciones. El incremento de estabilidad en sistemas de potencia, mediante la aplicación de los FACTS ha sido un tema de

reciente actualidad. Los dispositivos FACTS pueden proporcionar un control rápido y continuo del flujo de potencia en los

1

sistemas de transmisión controlando los voltajes en los nodos críticos, cambiando la impedancia de las líneas de transmisión o

controlando el ángulo de fase al final de las líneas.

El impacto de los controles individuales FACTS en la operación de los centros de control, puede ser marginal en algunos

casos. Sin embargo, debido a que múltiples sistemas FACTS pueden ser colocados en el sistema de transmisión, se requiere

para un mejor desempeño de los controles, el estar integrados y coordinados centralmente, con el objetivo de prevenir

interacciones no deseadas entre las operaciones de control en diversas áreas del sistema de potencia[1, 2].

Los controles para amortiguar oscilaciones en sistemas de potencia son generalmente diseñados para operar en forma

descentralizados. Las señales de entrada de los sitios remotos no son consideradas lo suficientemente confiables y se trata de

evitar en lo posible. La robustez de los controles se asegura considerando el desempeño de los sistemas de control para varias y

diferentes condiciones de operación [3].

Cuando se tienen conectados estabilizadores en sistemas de potencia, pueden ocurrir interacciones entre los PSS’s y los FDS’s.

Estas interacciones pueden aumentar o disminuir el amortiguamiento de algunos modos de oscilación del rotor. Esto significa

que es necesario buscar métodos para coordinar en forma eficiente la acción de los estabilizadores, con la finalidad de obtener

el mejor impacto positivo sobre la dinámica del sistema de potencia.

En los últimos años, los algoritmos genéticos (AG) surgieron como una técnica prometedora para la solución de

problemas de optimización. En artículos recientes [3, 4], los AG's han sido aplicados al problema de la coordinación de los PSS

y los dispositivos FACTS. Los resultados han sido exitosos y confirman el potencial de los AG's para buscar los ajustes

óptimos de los parámetros del PSS y FDS convencionales en sistemas de potencia [5]. Los algoritmos genéticos son algoritmos

atractivos y prometedores para la solución de problemas de optimización y han llegado a ser populares entre los expertos de

diversos campos. Esta popularidad se debe a lo siguiente:

1) Los algoritmos genéticos son robustos en el sentido de que son aplicables a una gran variedad de problemas con una

pequeña o ninguna modificación de la técnica.

2) Los algoritmos genéticos pueden manejar todos los espacios de búsqueda, incluyendo espacios multimodales,

discontinuos y funciones no-suaves.

3) Pueden resolver múltiples objetivos sin la necesidad de una combinación explícita para definir una función objetivo.

4) Pueden identificar múltiples soluciones óptimas.

5) Los algoritmos genéticos pueden ser usados en situaciones de optimización dinámica.

Este artículo está estructurado de la siguiente manera. La sección 2 describe el algoritmo genético utilizado para resolver

el problema propuesto en la sección 3. La sección 3 presenta una propuesta para resolver el problema de la coordinación de

estabilizadores, con el objeto de incrementar el amortiguamiento de las oscilaciones de potencia. Finalmente, la sección 4

presenta resultados de simulación no lineal en un sistema de potencia con características reales que demuestran la validez de la

solución propuesta.

2

2. ALGORITMOS GENÉTICOS

Los algoritmos genéticos fueron formalmente introducidos en los 60’s por John Holland de la universidad de Michigan,

para estudiar procesos lógicos involucrados en la adaptación [6]. Denominados originalmente como planes reproductivos

genéticos siendo posteriormente conocidos como algoritmos genéticos. Los algoritmos genéticos fueron inicialmente

concebidos en el contexto del aprendizaje de máquina, pero en la actualidad se ha convertido en una técnica muy popular para

la solución de problemas de optimización [7].

Los AG’s son técnicas de búsqueda globales, aleatorias y están basados en la mecánica de la selección natural y en la

genética natural [5]. Fueron desarrollados para permitir identificar múltiples soluciones óptimas a problemas difíciles tales

como funciones de optimización e inteligencia artificial. En un AG, las soluciones representadas por estructuras de datos

llamadas individuos son evolucionadas y una nueva población de individuos es creada. A cada individuo se le asigna un valor o

aptitud mediante el cual se compara con otros individuos de la misma población. Los algoritmos genéticos han sido

desarrollados para resolver problemas lineales y no lineales, explorando todas las regiones del espacio de búsqueda y explorar

áreas a través de la mutación, cruzamiento y la selección de operaciones aplicadas a los individuos en una población [8, 9].

En el proceso del desarrollo del algoritmo, las poblaciones con mejores soluciones evolucionan hasta que se satisface un

criterio de terminación.

Los algoritmos para la optimización de una función están generalmente limitados para aplicarse a funciones regulares

convexas. Sin embargo, muchas funciones son multimodales, discontinuas y no diferenciables. Para optimizar éstas funciones

se han estado usando métodos de muestreo estocástico. Considerando que las técnicas de búsqueda tradicionales usan

características del problema para determinar el siguiente punto de muestreo (esto es, gradientes, Hessianas, linealidad y

continuidad), las técnicas de búsqueda estocástica no hacen tales consideraciones. Los diversos puntos de solución se

determinan considerando reglas de decisión de muestreo estocástico, en lugar de un conjunto de reglas de decisión

determinísticas. Los algoritmos genéticos han sido usados para resolver problemas difíciles con funciones objetivo que no

poseen propiedades agradables tales como continuidad, diferenciabilidad, que satisfagan la condición de Lipschitz, etc. [10].

El algoritmo básico es el siguiente.

a) Genera aleatoriamente una población inicial.

b) Calcula la aptitud de cada individuo.

c) Selecciona (probabilísticamente) basándose en la aptitud.

d) Aplica operadores genéticos (cruza y mutación) para generar la siguiente población.

e) Se repite el proceso hasta que cierta condición se cumpla.

3

2.1 Terminología biológica

En esta sección se introducen la terminología biológica que se mencionará durante el desarrollo de este reporte. En el

contexto de los algoritmos genéticos, estos términos de carácter biológicos son usados extensivamente.

Todos los organismos vivientes consisten de células, y cada célula contiene el mismo conjunto de uno o más cromosomas

(cadenas de DNA). Un cromosoma puede dividirse en partes más pequeñas denominadas genes (bloques de DNA) los cuales

codifican una proteína particular en el organismo. Específicamente, se puede mencionar como la codificación de un rasgo en

especial, tal como el tipo de cabello o el color de ojos [18]. Las diferentes posiciones posibles para una característica particular

(azul, café, ondulado, castaño) se les llama alelos.

Muchos organismos poseen múltiples cromosomas en cada célula. La colección completa de todos los cromosomas que

posee un organismo es llamada genoma. A un conjunto particular de genes contenidos en un genoma se le conoce como

genotipo. El genotipo da origen, tras el desarrollo fetal y mediante la evolución al fenotipo del organismo. Esto es, a sus

características físicas (rasgos observables) y mentales, tal como el color de ojos, estatura, tamaño del cerebro y su coeficiente

intelectual.

El término cruzamiento se refiere a la recombinación de las características de dos cromosomas para formar nuevos

organismos. En este proceso, diferentes partes del ADN de los padres se transmiten por herencia al descendiente. Así se

encuentra información de cada antecedente en el patrimonio hereditario del nuevo individuo.

La mutación es una pequeña modificación de los genes del individuo. Existen diferentes tipos de mutación, los cuales son:

a) mutación estándar, b) Inversión de cada bit entre las posiciones determinadas al azar y c) Inversión de cromosomas

completo.

Aptitud se le denomina al valor que se asigna a cada individuo y que indica qué tan bueno es con respecto a los demás para la solución de un problema.

El algoritmo genético utiliza la selección probabilística y no determinística. La representación tradicional del algoritmo es la

binaria, para codificar las soluciones a un problema, por lo cual se evoluciona el genotipo y no el fenotipo, como se muestra en

la figura 1.

Figura 1.- Ejemplo de la codificación usada en AG’s

A la cadena binaria se le llama cromosoma. A cada posición de la cadena se le denomina gene y al valor dentro de esta

posición se le llama alelo [6].

El uso de un algoritmo genético requiere la determinación de seis puntos fundamentales:

4

Una representación de las soluciones potenciales del problema.

Una función de evaluación que juegue el papel del ambiente, clasificando las soluciones en términos de su aptitud.

Operadores genéticos que alteren la composición de los descendientes que se producirán para las siguientes

generaciones.

Una forma de crear una población inicial de posibles soluciones (generalmente, un proceso aleatorio).

Valores para los diferentes parámetros que utiliza el algoritmo genético (tamaño de la población, probabilidad de

cruza, probabilidad de mutación, número máximo de generaciones, etc.).

La función de evaluación.

2.2 Representación de la solución

Para cualquier algoritmo genético se requiere una representación de un cromosoma para describir cada individuo en la

población de interés. El problema a resolver en el AG determina los operadores genéticos que pueden ser usados. Cada

individuo o cromosoma es formado de una secuencia de genes de un alfabeto.

Un alfabeto consiste de dígitos binarios, como los tradicionales (0, 1), números de punto flotante, enteros, símbolos (A, B,

C, D), matrices, etc. El alfabeto original desarrollado y usado por Holland fue el alfabeto de dígitos binarios [11].

Posteriormente, al evolucionar la aplicación del algoritmo genético se encontró que una representación útil de un individuo o

cromosoma para funciones de optimización involucra genes o variables de un alfabeto de números de punto flotante con valores

con acotamientos con variables superior e inferior.

Michalewicz, (1991) ha concluido de sus numerosos experimentos, comparando algoritmos genéticos con representación

en valores reales y binarios, que los algoritmos con valores reales son más eficientes en términos de tiempo de simulación en

una computadora. Además, que el uso de este tipo de representaciones ofrece resultados más precisos y más consistentes [11].

En este trabajo se emplea el uso de la representación en valores reales.

2.3 Función de Selección

La selección de individuos para producir generaciones sucesivas juega un papel muy importante en un algoritmo genético.

Se desarrolla una selección probabilística con base a la aptitud de cada individuo de tal manera, que el individuo que tenga la

más alta aptitud tenga mayor probabilidad de ser seleccionado. De esta forma, un individuo en la población tiene la posibilidad

de ser seleccionado más de una ocasión así como el de reproducirse en la siguiente generación.

Existen diferentes técnicas para el proceso de selección, entre las cuales se pueden mencionar:

a) La selección de rango, donde son eliminados todos los cromosomas que tienen una aptitud menor a un rango dado de

valor deseado;

5

b) La selección de estado estable, donde la mayoría de los cromosomas con aptitud superior permanecen en la población

y los descendientes de estos sustituyen a los menos aptos.

c) Selección por torneo.

d) Selección por elitismo, donde los mejores cromosomas son incluidos directamente en la nueva población.

e) La ruleta de selección, donde a los mejores cromosomas se les asigna una oportunidad proporcional a su aptitud de

ser seleccionados.

Este último método de selección es el más usado en los algoritmos genéticos y se emplea también en la metodología

propuesta en este trabajo. En la ruleta se encuentran ubicados todos los cromosomas de la población y se les asigna una

superficie mayor o menor dependiendo de su valor o grado de adaptación, como lo muestra la figura 2.

Figura 2.- Selección mediante la ruleta

2.4 Operadores genéticos

Los operadores genéticos proporcionan el mecanismo básico de búsqueda de los algoritmos genéticos. Los operadores son

utilizados para crear nuevas soluciones basándose en las soluciones existentes en la población. Existen básicamente dos tipos de

operadores: cruzamiento y mutación. Cruzamiento toma dos individuos de la población y produce dos nuevos individuos

sustituyendo a los anteriores.

Ejemplo de cruzamiento: Se realiza el cruzamiento en este ejemplo, tomando la primera sección del cromosoma 1 y la

segunda sección del cromosoma 2 y se obtiene un cromosoma descendiente mostrado en la figura

6

La mutación altera un individuo para producir una nueva solución sencilla. Como se muestra a continuación

2.5 Inicio, Terminación y Función de Evaluación

En esta metodología se proporciona una población inicial para obtener una solución adecuada, generando las soluciones

aleatoriamente. El algoritmo genético se mueve de generación en generación, generando y seleccionando descendientes hasta

que el criterio de terminación es satisfecho. El criterio de terminación más común es un número máximo de iteraciones o

generaciones. El algoritmo puede terminar debido a una falla o a un mejoramiento en la mejor solución sobre un número

determinado de generaciones. La función de evaluación puede ser usada en el AG de muchas maneras con requerimientos

mínimos; la función se considera como un estado y es independiente del AG.

2.6 Aplicaciones

Entre las aplicaciones de los algoritmos genéticos se pueden mencionar las siguientes

Optimización (estructural, de topología, numérica, combinatoria, etc.).

Aprendizaje de máquina (sistemas clasificadores).

Bases de datos (optimización de consultas).

Reconocimiento de patrones (por ejemplo, imágenes).

Planeación de movimientos de robots.

Predicción.

Recientemente, en la coordinación de controles en sistemas de potencia.

2.7 Diferencias de la técnica del algoritmo genético con técnicas tradicionales

Los algoritmos tradicionales para resolver funciones de optimización son generalmente limitados a funciones regulares

convexas. Sin embargo, muchas funciones son multimodales, discontinuas y no-diferenciables. El método de muestreo

7

estocástico ha sido usado para optimizar estas funciones. Mientras que las técnicas de búsqueda tradicionales usan

características del problema para determinar el siguiente punto de muestreo (ej. Gradientes, Hessianas, linealidad y

continuidad), la técnica de búsqueda estocástica no hace tales consideraciones. Por lo tanto, el siguiente punto de muestreo está

determinado en reglas de decisión estocástica en lugar de un conjunto de reglas determinísticas.

Los algoritmos genéticos han sido usados para resolver problemas de difícil solución con funciones objetivo que no

poseen propiedades agradables, tales como funciones continuas, diferenciables, satisfacción de la condición de Lipschitz, etc.

[7].

Algunas de las diferencias entre el algoritmo evolutivo y las técnicas tradicionales de búsqueda y optimización se

mencionan a continuación:

1) El algoritmo evolutivo usa una población de soluciones potenciales en vez de una sola, esto es, pueden identificar

múltiples soluciones óptimas, lo cual lo hace menos sensible a quedar atrapado en mínimos/máximos locales.

2) Los AG’s pueden ser usados en situaciones de optimización dinámica.

3) La técnica evolutiva usa operadores probabilísticos, mientras que las técnicas tradicionales utilizan operadores

determinísticos.

4) Son robustos en el sentido de que son aplicables a una gran variedad de problemas, con una pequeña o sin

modificación de la técnica.

5) Los AG’s pueden manejar todos los espacios de búsqueda, incluyendo espacios no-suaves, multimodales y

discontinuos.

2.8 Ejemplos de optimización de la función objetivo [7]

En esta sección se presenta la solución de una función objetivo, mostrando su solución óptima.

a) Ejemplo 1. La función objetivo . Para la solución óptima del problema se aplica el AG,

el cual consiste de:

1) Una representación binaria,

2) Un inicio, la función de evaluación y el criterio de terminación,

3) Selección y muestreo

4) Operadores genéticos

La representación de los parámetros. Los parámetros se representan por cadenas de bits y cada una es un gen del

cromosoma. En este ejemplo se considera un intervalo [-1, 2]. Este intervalo se representa por un conjunto de valores finitos el

cual se puede obtener mediante:

8

siendo r el tamaño seleccionado para el conjunto. En este ejemplo se considera una representación del intervalo en 3,000,000

puntos. Por lo tanto, se tiene

[log2 3*106] = [21.516531] 22 bits

El número de bits obtenidos indica la longitud del gen. La solución del problema se encuentra analizando todo el espacio

de búsqueda, encontrando una región con buenos resultados.

Inicialización, evaluación y criterio de terminación. En este paso, se crea una población inicial, distribuyendo

uniformemente a los individuos sobre el espacio de búsqueda. (Si se tiene conocimiento de la estructura del espacio de la

búsqueda, resulta muy útil de inicializar la primera población en una región con valores buenos). Para la evaluación,

considerando que la aptitud siempre se calcula por el fenotipo, se requiere la transformación del genotipo. La función utilizada

es

donde i representa al individuo, c al genotipo y f(i(c)) es la transformación a la aptitud. La función evaluación se propone como

eval (c) = f(i(c))

por ejemplo, evaluando un valor de genotipo de (0.637197) en la función evaluación se obtiene f(0.637197) = 1.586345.

Tabla 1 Aptitud obtenida del ejemplo 1

Generación Genotipo Fenotipo

1 0.8678 1.7356

2 - 1.846426

12 - 2.250367

18 – 33 - 2.836877

34 - 2.849436

35 – 39 - 2.849438

El mejor valor 1.8496 2.8494

Como se puede observar en la Tabla 1, un valor aceptable de la aptitud se obtiene a partir de la generación 37, por lo que

el criterio de terminación depende de los requerimientos del problema.

El criterio de evaluación se considera normalmente como el límite de generaciones o del tiempo. En el proceso del AG se

termina si no se produce un individuo mejor en las últimas “x” generaciones. En este ejemplo, se considera, para el criterio de

terminación de 50 generaciones y 50 individuos por generación.

9

En la primera generación se obtiene un genotipo de 0.8678 y un fenotipo de 1.7356 que es la mejor solución encontrada,

el proceso se detalla a continuación.

Selección y muestreo. Selección es la determinación de la probabilidad con la cual un individuo es seleccionado,

dependiendo de su aptitud, usando la selección proporcional de Holland

El muestreo se realiza aplicando la rueda de la ruleta para seleccionar los individuos que se van a transmitir en la siguiente

generación.

Operadores genéticos. Se aplican los operadores para la mutación y la recombinación para obtener un nivel de aptitud de

los individuos aceptables.

Las siguientes figuras muestran gráficamente la mejor solución que se obtiene en este ejemplo.

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

G E N O T I P O

F E

N O

T I

P O

f(x) = x * sin(10 pi *x) + 1

El mejor valor encontrado

Figura 3.- Gráfica de la mejor solución del ejemplo

10

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 501.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

G E N E R A C I O N E S

A P

T I

T U

D

A p t i t u d vs. G e n e r a c i ó n

Figura 4.- Gráfica comparativa de la aptitud obtenida

3. EL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN PARA EL SISTEMA DE POTENCIA

La aplicación de los estabilizadores de sistemas de potencia ha sido una de las primeras alternativas para compensar el

efecto negativo de los reguladores de voltaje y mejorar el amortiguamiento del sistema en general. La función básica de los

estabilizadores de sistemas de potencia es incrementar los límites de estabilidad modulando la excitación del generador, para

suministrar amortiguamiento a las oscilaciones del rotor del generador.

Con el incremento en el suministro de energía a grandes distancias, sobrecargando las líneas de transmisión, el uso de los

PSS convencionales pueden, en algunos casos no suministrar amortiguamiento suficiente ante la presencia de oscilaciones tipo

inter-área. En estos casos, se requieren otras soluciones que sean efectivas para contrarrestar el efecto negativo de estas

oscilaciones. El incremento de estabilidad en sistemas de potencia, mediante la aplicación de los FACTS ha sido un tema de

reciente actualidad. Los dispositivos FACTS pueden proporcionar un control rápido y continuo del flujo de potencia en los

sistemas de transmisión controlando los voltajes en los nodos críticos, cambiando la impedancia de las líneas de transmisión o

controlando el ángulo de fase al final de las líneas.

El impacto de los controles individuales FACTS en la operación de los centros de control, puede ser marginal en algunos

casos. Sin embargo, debido a que múltiples sistemas FACTS pueden ser colocados en el sistema de transmisión, se requiere

para un mejor desempeño de los controles, el estar integrados y coordinados centralmente, con el objetivo de prevenir

interacciones no deseadas entre las operaciones de control en diversas áreas del sistema de potencia[4, 5].

11

Los controles para amortiguar oscilaciones en sistemas de potencia son generalmente diseñados para operar en forma

descentralizados. Las señales de entrada de los sitios remotos no son consideradas lo suficientemente confiables y se trata de

evitar en lo posible. La robustez de los controles se asegura considerando el desempeño de los sistemas de control para varias y

diferentes condiciones de operación [3].

Cuando se tienen conectados estabilizadores en sistemas de potencia, pueden ocurrir interacciones entre los PSS’s y los

FDS’s. Estas interacciones pueden aumentar o disminuir el amortiguamiento de algunos modos de oscilación del rotor. Esto

significa que es necesario buscar métodos para coordinar en forma eficiente la acción de los estabilizadores, con la finalidad de

obtener el mejor impacto positivo sobre la dinámica del sistema de potencia.

En los últimos años, algoritmos genéticos han sido aplicados como una herramienta eficiente para la solución de los

problemas de optimización. En recientes artículos [3-5] el AG ha sido aplicado a los problemas de los PSS y FDS basados en el

diseño de estabilizadores. Los resultados mostrados, son prometedores y confirman el potencial del AG para la búsqueda de los

conjuntos óptimos de parámetros de los PSS convencionales y los FDS [7].

3.1 Metodología propuesta

En esta sección se describe la metodología propuesta para solucionar el problema que surge ante la necesidad de

interconectar diferentes controles suplementarios en los sistemas eléctricos de potencia, con el fin de amortiguar las

oscilaciones de tipo electromecánicas que aparecen debido a ciertas perturbaciones.

Las ecuaciones dinámicas del sistema de potencia son ecuaciones complejas no lineales. Sin embargo, se pueden

encontrar soluciones útiles cuando se tienen desviaciones pequeñas alrededor de un punto de equilibrio en estado estable

previamente seleccionado. Por lo tanto, la solución del problema se inicia evaluando una versión linealizada del modelo de

sistema de potencia alrededor de un punto de equilibrio. Esta linealización es generalmente descrita por las ecuaciones {A, B, C,

D}. Se asume que el modelo del sistema esta compuesto de generadores, cargas y sistemas de excitación. En forma adicional,

se considera que se ha llevado a cabo un análisis lineal completo del sistema (factores de participación, índices de

controlabilidad y observabilidad). Por consiguiente, se pueden conocer los puntos donde los dispositivos PSS’s y FDS’s deben

de ser instalados, así como las señales más adecuadas para la retroalimentación [12-14]. Los dispositivos de controles

suplementarios mencionados anteriormente, son diseñados y coordinados mediante el procedimiento descrito en la siguiente

sección.

3.2 Sensitividad de eigenvalores

12

Como una herramienta importante, el análisis de sensitividad de valores propios ha sido usado para estudios dinámicos en

sistemas de potencia y el diseño de controles. Como el sistema de potencia es descrito por ecuaciones no diferenciales no

lineales muy complejas, se requiere un método que simplifique la representación del problema.

Una forma de llevar a cabo lo anterior es realizando una linealización de las ecuaciones aplicando la aproximación por series de Taylor. El resultado es una matriz lineal que contiene los parámetros del sistema y de los estabilizadores. En esta matriz lineal se aplica el método de sensitividades de valores propios i para obtener dichos valores de la forma

i = + jdonde la parte real es el amortiguamiento y la componente imaginaria da la frecuencia de oscilación. Una parte real negativa representa una oscilación amortiguada mientras que una parte real positiva representa una oscilación creciente. En la figura siguiente se pueden ver estos conceptos.

Figura: Región de estabilidad

3.3 Función objetivo

En esta sección se propone una función de optimización la cual se resuelve mediante un algoritmo genético, con la

finalidad de incrementar o amortiguar las oscilaciones electromecánicas que aparecen en un sistema de potencia ante la

presencia de perturbaciones. La función objetivo propuesta se define como

(3.7)

Que representa la minimización de la parte real de los eigenvalores de la matriz linealizada y la perturbación de los

eigenvalores puede ser representada como una perturbación de segundo orden, esto es, y {

correspondiente a la k-th condición de operación}. Esto es, el objetivo es minimizar la parte real de la sensitividad los modos

de interés a través de los mejores parámetros de los estabilizadores, considerando diferentes condiciones de operación. Por lo

tanto, resolviendo la ecuación (3.7) se puede obtener los parámetros de los estabilizadores capaces de incrementar el

amortiguamiento de los modos de interés.

13

En éste trabajo, la matriz de perturbación E de las ecs. (3.4)-(3.5) se calcula cambiando los parámetros de los

estabilizadores de un conjunto de parámetros típicos (como se muestra más adelante en la Tabla 2 para el sistema de prueba).

Los estabilizadores incluyen PSS’s actuando en los generadores síncronos y los FDS’s actuando a través de dispositivos

FACTS. Los estabilizadores que se consideran aquí tienen la relación convencional de entrada/salida:

(4.8)

El primer término se refiere a un tipo de filtro denominado washout. El segundo término es usado para mejorar el retraso

del ángulo a través del sistema.

Por simplicidad se consideran T1 = T3 y T2 = T4. Para cada estabilizador, se estimarán únicamente T1 y K, debido a que T y

T2 se seleccionan previamente. T toma valores entre 7.5-15 s, y se elige para asegurar un cambio de fase despreciable para las

frecuencias de oscilación de interés. T2 toma valores entre 0.020-0.10 s, y se elige considerando una realización física [16]. Por

lo tanto, para N estabilizadores, se estimarán 2N parámetros (N constantes de tiempo T1, y N ganancias K).

Se enfatiza pues que con éste procedimiento se obtiene estabilizadores robustos, capaces de operar satisfactoriamente

sobre un amplio rango de condiciones de operación. La Figura 5 describe el algoritmo desarrollado.

Figura 5 Diagrama de flujo del método propuesto

14

Para la optimización de la función (ecuación 3.7), se empleó un alfabeto valuado-real, en conjunto con la selección,

mutación y operadores de cruzamiento (Tabla 2). La inicialización de la población se realizó con cadenas generadas

aleatoriamente dentro del espacio de búsqueda.

Tabla 2: parámetros usados para la función de optimización en valor-realNombre Parámetros

Alteración Uniforme 4

Cruzamiento Simple 4

Selección Geométrica

Normalizada

0.08

4. EJEMPLO DE APLICACIÓN

La metodología desarrollada se aplicó a diferentes sistemas eléctricos de potencia con la finalidad de mostrar y comprobar

su utilidad y su desempeño en cuanto a robustez. En este trabajo, se muestra el comportamiento dinámico de analiza el

equivalente de la red de potencia mexicana, que consiste de 46 generadores y 190 nodos (figura 6). En este sistema se instala un

TCSC en medio de las líneas 174 – 181 y se inserta un UPFC entre las líneas 75 – 84 ante diferentes condiciones de operación

[17].

15

Región sur

Región norte

Fig. 6. Diagrama del sistema de la red mexicana

El análisis considera que los generadores se representan por un modelo transitorio incluyendo un sistema de excitación

estático (modelo de cuarto orden):

(4.1)

Este sistema presenta, para las condiciones nominales de operación (caso base), dos modos electromecánicos relevantes {-

0.358 j6.147, -0.924 j6.101}, cuyo amortiguamiento puede ser aumentado a través de la acción coordinada de los 13 PSS’s

instalados en los generadores {1, 2, 3, 6, 15, 19, 24, 32, 33, 35, 36, 38 y 39}, un estabilizador instalado en el TCSC y un

16

estabilizador en el UPFC. Los modos de interés presentan interacciones entre los generadores en las regiones sur y este del

sistema. La señal de retroalimentación utilizada son las siguientes: La velocidad del rotor para los PSS’s y el flujo de potencia

activa de línea para el estabilizador FACT.

Se consideraron diferentes condiciones de operación para la coordinación robusta de los estabilizadores. a) El caso base

mencionado anteriormente. b) La potencia real de las cargas se incrementaron 15%, caso II. c) Se desconectaron las líneas de

transmisión 158 – 141 y 185 – 183 caso III. d) Se desconectaron las líneas de transmisión 172 – 174 y 75 – 89 caso IV.

4.1 Resultados

En las figuras siguientes se muestra el comportamiento no lineal de algunas potencias eléctricas Pei, velocidades angulares

i y posiciones del rotor i, posterior a la aplicación repentina de una falla trifásica en los nodos 53, 59, 78 o 185, considerando

las cuatro condiciones de operación mencionadas anteriormente. El generador síncrono número 1 es tomado como referencia.

Mediante la solución de la función de optimización propuesta, se estiman los parámetros de los estabilizadores del sistema, los

que se muestran en la Tabla 3.

Tabla 3 Parámetros de los PSS’s and FDS’sk T T1 = T3 T2 = T4

PSS1 89.4 7.5 0.0800 0.015PSS2 86.9 7.5 0.0800 0.015PSS3 91.8 7.5 0.0800 0.015PSS6 26.2 7.5 0.0371 0.015PSS15 91.8 7.5 0.0200 0.015PSS19 91.8 7.5 0.0200 0.015PSS24 94.2 7.5 0.0286 0.015PSS32 84.5 7.5 0.0200 0.015PSS33 40.7 7.5 0.0457 0.015PSS35 94.2 7.5 0.0200 0.015PSS36 PSS36 7.5 0.0200 0.015PSS38 89.4 7.5 0.0457 0.015PSS39 82.0 7.5 0.0629 0.015

FDSupfc 14.0 7.5 0.0371 0.040FDStcsc 0.75 7.5 0.0526 0.040

17

Figura 4.21 Velocidad 3 posterior a la falla Figura 4.22 Potencia eléctrica Pe6 en el nodo 185 posterior a la falla en el nodo 185

Figura 4.23 Posición angular 32 posterior Figura 4.24 Velocidad 19 posterior a la falla en el nodo 185 a la falla en el nodo 185

18

Figura 4.25 Posición angular 5 posterior Figura 4.26 Potencia Eléctrica Pe7

a la falla en el nodo 59 posterior a la falla en el nodo 59

Figura 4.27 Posición angular 2 posterior Figura 4.28 Velocidad angular 39

a la falla en el nodo 78 posterior a la falla en el nodo 78

5. CONCLUSIONES

El problema de la selección eficiente de los parámetros de los dispositivos estabilizadores de potencia y de transmisión

flexible FACTS para el incremento del amortiguamiento de las oscilaciones ante diferentes condiciones de operación de los

sistemas de potencia es resuelto como un problema de optimización. Se ha presentado un procedimiento sistemático basado en

un criterio de minimización de la sensitividad de los eingenvalores, resultando en un estabilizador robusto Las figuras que se

muestran confirman el desempeño de los controles y por consiguiente, la eficiencia del método ante diferentes condiciones de

operación y estructuras de la red. El algoritmo genético empleado es capaz de buscar sobre el espacio de estado completo,

encontrando la mejor solución al problema propuesto. Asimismo, es capaz de manejar cualquier número de condiciones de

operación en redes de cualquier tamaño, inclusive ante perturbaciones severas como fallas. El comportamiento de los controles

coordinados es eficiente y robusto evitando que los sistemas pierdan estabilidad, proporcionando el amortiguamiento suficiente

para disminuir las oscilaciones presentes.

19

REFERENCIAS

[1] Wang, Hai Feng “ Selection Of Robust Installing Locations and Feedback Signals of FACTS-Based Stabilizers in Multi-

Machine Power Systems”, IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 14, No. 2, May 1999, Pp. 569-574.

[2] Djukanovic, Miodrag, Khammash, Mustafa, Vittal, Vijay, “Sequential Synthesis of Structured Singular Value Based

Decentralized Controllers in Power Systems”, IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 14, No.2, May 1999, Pp. 635-641.

[3] A. L. B. Do Bomfim, G. N. Taranto, D. M. Falcao. “Simultaneous tuning of power system damping controllers using

genetic algorithms”. IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 15, No. 1, February 2000, pp. 163-169.

[4] G. N. Taranto and D. M. Falcao. “Robust decentralized control design using genetic algorithm in power system damping

control”. IEE Proc.- Gener. Transm. Distrib., Vol. 145, No. 1, Jan. 1998, pp. 1-6.

[5] D. E. Goldberg. “Genetic Algorithms in Search, Optimization, and Machine Learning”. Addison-Wesley, 1989.

[6] Carlos A. Coello Coello. “Introducción a la Computación Evolutiva”. Notas de Curso, CINVESTAV-IPN, Departamento

de Ingeniería Eléctrica, 2001.

[7] M. Gen and R. Cheng. “Genetic algorithms & Engineering Design”. John Wiley & Sons, Inc., 1997.

[8] Juan M. Ramírez, Arredondo, Isidro Castillo Toledo, and Bernardino Castillo, “PSS and FDS Coordination by a Genetic

Algorithm” Artículo sometido al International Journal of Electrical Power and Energy Systems de Elsevier, Junio, 2001.

[9] Isidro Castillo T., Juan M. Ramírez and Rubén Tapia “A Genetic Algorithm Applied to Enhance the Damping of Multi-

machine Power System”. NAPS Proceedings, College Station, Texas, October 2001.

[10] J. H. Holland, “Outline for a logical theory of adaptive systems”. Journal of the Association for Computing Machinery,

Vol. 9, Pp. 297-314,1962.

[11] Christopher R. Houck, Jeffery, A. Joines and Michael G. Kay “A Genetic Algorithm for Function Optimization: A Matlab

Implementation”, North Carolina State University, Pp. 1-14.

[12] H. F. Wang, F. J. Swift and M. Li. “Selection of Installing Locations and Feedback Signals of FACTS-Based Stabilizers

in Multimachine Power Systems by Reduced-Order modal Analysis”. Proc. IEEE, 1997, 144, (3), pp.263-269.

[13] W. I. Fang, and H. W. Ngan “Optimizing Location of Unified Power Flow Controllers Using the Method of Augmented

Lagrange Multipliers”. IEEE Proc.-Gener. Transm. Distrib., Vol. 146, No. 5, Sept. 1999.

[14] Ixtláhuatl Coronado “Ubicación de Dispositivos FACTS desde una Perspectiva Dinámica”, Tesis de Maestría, Cinvestav-

IPN Unidad Guadalajara, Septiembre, 2001.

[15] H. K. Nam, Y. K. Kim, K. S. Shim, and K. Y. Lee “A New Eigen-Sensitivity Theory of Augmented Matrix and its

Application to Power System Stability Analysis”. IEEE Transaction on Power Systems, Vol. 15, No. 1, Feb. 2000, Pp. 363-

369.

[16] P. Kundur, M. Klein, G. J. Rogers and M. S. Zywno “Application of Power Systems Stabilizers for Enhancement of

Overall System Stability”, IEEE Transaction on Power Systems, Vol. 4, (2), 1989, Pp. 614-626.

20

[17] A. Román Messina, J. M. Ramírez and J. M. Cañedo, "An Investigation on the use of Power System Stabilizers for

Damping Inter-area Oscillations in Longitudinal Power Systems." IEEE Transactions on Power Systems, 1998, 13, (2), pp.

552-559.

[18] Melanie Mitchel “An introduction to Genetic Algorithms”, A Bradford Book, The MIT Press, Cambridge, Massachusetts,

London, England, Fifth Printing, 1999.

BIOGRAFIA

I. Castillo Toledo. Es Ingeniero Electricista por la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica del Instituto

Politécnico Nacional, Maestro en Ciencias por el Centro de Investigación y Estudios Avanzados-IPN. Y, Doctor en Ciencias en

Ingeniería Eléctrica del Cinvestav, IPN, Unidad Guadalajara. Actualmente es Profesor de tiempo completo en el Departamento

de Ingeniería Eléctrica y Electrónica del Instituto Tecnológico del Istmo.

21