Un approccio algebrico alla composizione contemporanea

7/28/2019 Un approccio algebrico alla composizione contemporanea

1/100

Indice

Introduzione 3

1 Il paradigma musicale contemporaneo 71.1 Che cos un genere musicale? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Il sistema tonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Lindagine scientifica sulla consonanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 Allargamento e sfaldamento del sistema tonale . . . . . . . . . . . . . . 131.5 La rottura: atonalit e nascita della dodecafonia . . . . . . . . . . . . . . 151.6 Il sistema dodecafonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.7 Naturalit della dodecafonia e rapporto col pubblico . . . . . . . . . . . . 191.8 La composizione come avanguardia: verso il modernismo . . . . . . . . . 21

1.9 Dopo il serialismo: la matematica nella composizione . . . . . . . . . . . 221.10 Che importa se ascolti? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.11 Musica contemporanea? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 Z-relazione e omometria 29

2.1 Set theory: finalit e principi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2 Set theory: definizioni e concetti principali . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3 T-equivalenza e IT-equivalenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.4 Z-relazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.5 Recupero della fase in strutture cristalline ciclotomiche . . . . . . . . . . 402.6 Set Theory e polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.7 Z-relazione e polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.8 Il teorema dellesacordo generalizzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3 k-deck e ricostruibilit 533.1 Definizioni preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.2 La trasformata di Fourier discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.3 DFT e omometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.4 Convoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.5 Omometria e unit spettrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.6 3-deck e caratteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

1


2/100

2 INDICE

3.7 Periodicit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.8 Soluzione generale per n dispari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.9 Soluzione generale per n pari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.10 Multi-insiemi e ottimalit dei risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.11 Ritorno alla musica: Zk-Relazione e k-Deck . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Conclusioni 93

Ringraziamenti 95

Riferimenti bibliografici 97


3/100

Introduzione

La musica colta contemporanea un terreno fertile per la matematica. A partire dalDopoguerra, una parte della comunit musicale ha sviluppato un interesse sempre pi

consistente verso i concetti e le strutture della matematica moderna. Questa attenzione andata di pari passo con ladozione di tecniche compositive sempre pi astratte e formali.Nella diaspora di sistemi musicali scaturita dalla dodecafonia e dal serialismo, un trat-to unificante stato il ruolo centrale delle trasformazioni simil-geometriche e di sistemidi regole codificati in maniera ferrea. Spesso, lattenzione del compositore andata pial fascino astratto delle strutture compositive che alla loro declinazione pratica, facendopropria in fondo quella che da sempre caratteristica distintiva del matematico.Daltro canto, anche a un occhio matematico il panorama contemporaneo risulta affasci-nante e ricco di sfide. Nelle architetture complesse delle composizioni del Novecento il

matematico pu scorgere vecchie conoscenze: onde, armonici e segnali periodici, ovvia-mente, ma anche gruppi di trasformazioni, insiemi, grafi - perfino applicazioni insospet-tabili della topologia o della teoria delle categorie.Un contesto in particolare ha visto in tempi recenti i punti di interesse di matematici emusicisti coincidere sempre pi. Questo lambito teorico della Set Theory musicale.Sviluppata in ambito post-seriale gi con ottica matematica, diventata negli anni uncampo assolutamente ibrido tra le due discipline, in cui la frontiera tra un approccio elaltro ormai pressoch invisibile.

La tesi si occuper di una delle questioni chiave della Set Theory musicale: la Z-relazione. un legame tra scale, accordi e strutture musicali del tutto inusuale per lo-recchio abituato a forme musicali di altro tipo. Il suo concetto nasce da un bug delparadigma post-tonale, prontamente sfruttato dai compositori per creare strutture armoni-che inconsuete ma dotate di una loro inossidabile logica interna.Se sono gli intervalli fra le altezze a determinare le qualit armoniche di scale e accordi,perch strutture che condividano gli stessi identici intervalli dovrebbero suonarci comple-tamente diverse fra loro? Lidea alla base della Z-relazione che strutture di questo tiponon ci suonino completamente diverse, ma anzi esista fra loro un legame solido. In lineadi principio, questo dovrebbe essere lo stesso che intercorre tra due accordi o due scale

dello stesso tipo - entrambi maggiori, entrambe diminute - con fondamentali diverse.In quali casi il legame effettivamente lo stesso? Quando vero che gruppi di note tra le

3


4/100

4 INDICE

quali intercorrano gli stessi intervalli corrispondono effettivamente a strutture dello stessotipo, identiche fra loro a meno di trasformazioni elementari come trasposizioni e inver-

sioni?

Non ci sar pretesa di dare una risposta definitiva a questa domanda. Il problema aperto da decenni e, verosimilmente, dar del filo da torcere a musicisti, musicologi ematematici ancora a lungo. Si cercher invece di dare un contributo di consolidamentoteorico al contesto in cui matematici e musicisti lavorano.Da tempo stato notato come in un campo apparentemente lontanissimo - la cristallogra-fia a raggi X - si fossero originati problemi matematici di natura del tutto analoga a quellodella Z-relazione. Non senza una certa sorpresa, stato tracciato un parallelismo stretto

tra Z-relazione di strutture armoniche e omometria di strutture cristalline. Come comunedenominatore, emerge linteresse per ricostruibilit delle strutture, viste come sottoinsie-mi di un gruppo ciclico, a partire da uninformazione parziale sulle loro sotto-strutture.Il primo intento di questa tesi quello di unificare i due linguaggi, musicale e cristal-lografico, rendendoli compatibili fra di loro e con quello diffuso in ambito strettamentematematico.Il secondo obiettivo raccogliere in un sistema coerente alcuni risultati ottenuti nel corsodegli anni dalle diverse comunit che si sono occupate della ricostruibilit. Sebbene lericerche in materia siano state tante e la complessit teorica raggiunta sia notevole, lo

stato dellarte quello di un ramo ancora giovane della matematica. Lattenzione deglistudiosi andata in genere pi allindividuazione delle risposte agli interrogativi fonda-mentali che allelaborazione di dimostrazioni esaurienti. Pertanto, il tentativo sar anchedi fare luce su aspetti dimostrativi oscuri e passaggi mai messi del tutto nero su bianco.

Il testo sar organizzato in tre capitoli. Il primo ripercorrer storia e dinamiche del-lultimo secolo musicale in ambito colto, per individuare le ragioni culturali e socialidellemergere - anche se in una nicchia - di un linguaggio cos strettamente imparenta-to con la matematica. Il secondo esporr le basi matematiche e musicologiche della Set

Theory, il quadro teorico sviluppato nel Dopoguerra per rendere conto della nuova sintas-si ibrida matematico/musicale. Introdurr inoltre in maniera formale i concetti cardine diZ-relazione e omometria, mostrando come corrispondano, in ambito musicale e in ambitocristallografico, allo stesso tipo di strutture. Mostrer infine come tali concetti si tradu-cano nel linguaggio dei polinomi modulari a coefficienti interi, e utilizzer questi ultimicome strumenti per alcuni primi risultati.Il terzo capitolo si occuper della generalizzazione della relazione di omometria e delsuo impiego per studiare la ricostruibilit nei gruppi ciclici. Dopo aver introdotto alcunistrumenti algebrici (k-deck, trasformata di Fourier discreta, convoluzione), affronter laquestione della ricostruibilit fornendo limiti superiori non banali agli indici di ricostrui-

bilit di tutti i gruppi ciclici. In questo, riprender in maniera sostanziale limpianto diun articolo di Alberto Grnbaum e Calvin Moore comparso nel 1995, che esponeva gli


5/100

INDICE 5

stessi risultati limitandosi per a fornire soltanto una traccia di molte dimostrazioni [23].Nellultima parte del capitolo, si esporr quella che la traduzione nel contesto della Set

Theory musicale della generalizzazione operata sulla relazione di omometria, traccian-do un ponte tra i risultati ottenuti in ambito cristallografico e quelli desiderati in ambitomusicale.


6/100

6 INDICE


7/100

Capitolo 1

Il paradigma musicale contemporaneo

Quando morta la musica classica? Datare con precisione uno degli eventi cruciali nellastoria musicale del secolo scorso richiederebbe in primis di essere concordi sui terminidella questione.Tanti ascoltatori assoceranno la locuzione musica classica a pratiche perfettamente vive: iconcerti nelle sale teatrali, lo studio e il perfezionamento nei conservatori, la registrazioneincessante di esecuzioni di alto livello.I pi addentro alle dinamiche della cosiddetta musica contemporanea, poi, negherannocon forza ogni stanca creativa di carattere macroscopico. Lamenteranno, invece, la chiu-

sura e il conservatorismo che animano pubblico e mass media.

Cosa spinge, dunque, a sancire - e con esito retroattivo - la morte della musica classi-ca?Anzitutto, una consapevolezza: lo stato di salute di una forma artistica non un dato sle-gato dal mondo. Non coinvolge solamente le opere, il circuito di artisti che le produce equelle figure che per mestiere se ne interessano (critici, direttori teatrali, ecc.); riguardasoprattutto i rapporti tra questi elementi e la societ. Ogni forma darte sviluppa relazionidistintive coi propri fruitori: osservando la solidit di questi legami che se ne pu valu-tare la vitalit.A quasi un secolo dalle prime avvisaglie, la frattura tra pubblico e accademia un fattoacclarato e apparentemente insanabile. Si sostenne a lungo che la riconciliazione fossesolo questione di tempo, e metabolizzata la novit il pubblico si sarebbe riavvicinato allecomposizioni contemporanee. Questa previsione ottimistica appare per se non plateal-mente smentita dalla storia, quantomeno lontana dalla realizzazione - forse anche pi diquel che un tempo potesse sembrare plausibile.

Ma lallontanamento dal pubblico non di per s sintomo di morte artistica. Non sicontano le correnti sviluppate nel totale disinteresse di pubblico e critica, che sono arri-

vate ad apprezzarle solo dopo diversi decenni - ammesso che vi siano arrivate.Ma e certamente sintomo di uno scollamento radicale tra due generi diversi - musica

7


8/100

8 CAPITOLO 1. IL PARADIGMA MUSICALE CONTEMPORANEO

classica e musica contemporanea - riguardo al rapporto tra musica e societ. Lascesa delsecondo coincisa con labbandono del primo: per questo lecito parlare per la musica

classica di morte. O, in toni pi coloriti, di suicidio.La musica classica non morta perch il suo pubblico ha smesso di rinnovarsi e i giovanihanno smesso di ascoltarla. E morta perch deliberatamente ha scelto di farlo, dandovita a qualcosa di diverso e autonomo, nonostante gli evidenti elementi di continuit.

Oltre a rivestire funzioni sociali molto differenti, classica e contemporanea mostranodivergenze sostanziali anche sul piano della costruzione musicale. Proprio su queste si concentrata maggiormente lattenzione dei musicologi, che hanno analizzato nel dettaglioi sistemi compositivi e le loro norme di natura sintattica.

Se la coerenza strutturale del sistema tonale una conoscenza diffusa, meno lo quella delpanorama post-tonale o atonale. Spesso confuso con un universo sostanzialmente anar-chico, si articola invece in una galassia di sistemi altamente formali. La cui architettura ri-sponde per a un principio ordinatore diverso: non pi la dualit consonanza/dissonanza,ma una nozione del tutto peculiare di trasformazione.E la scarsa familiarit dellorecchio con questa nuova logica a determinare lo spaesa-mento dellascoltatore dinnanzi alle composizioni contemporanee.Il cardine concettuale dal serialismo, poi sviluppato in una miriade di teorie derivate, semplice e formalmente affascinante: un gruppo di suoni pu seguirne un altro se di-scende da questo tramite una delle trasformazioni di un preciso inventario. Nonostantelapparente naturalezza delle trasformazioni ammesse, per, la stragrande maggioranzadegli ascoltatori non in grado di rintracciare nella musica contemporanea lordine daqueste indotto.

Riprendendo in prospettiva storica i punti gi esposti, questo capitolo cercher di mo-strare quanto profonda sia la scissione che si prodotta.

1.1 Che cos un genere musicale?Un genere musicale un insieme di fatti musicali, reali o possibili, il cui svolgimento regolato da norme socialmente accettate. [17, p. 72]

Della definizione del musicologo Franco Fabbri, due aspetti sono fondamentali al-lindagine di questo capitolo: la natura sociale delle categorie di genere e limportanzadellelemento normativo.

Ogni genere musicale si associa a una comunit, che ne accetta pratiche e convenzioni

e si riconosce nello schema di valori che ne alla base. Questa comunit dispone deglistrumenti per interpretare i fatti musicali in cui il genere si articola.


9/100

1.2. IL SISTEMA TONALE 9

Il rapporto tra generi e comunit stretto. Certo, lo stesso insieme di pezzi musicali potrsvolegere un suo ruolo in contesti sociali diversi. Valori, emozioni e usi che gli saranno

collegati saranno per differenti nei vari casi, fatta salva una matrice di base la cui univer-salit tutta da dimostrare. Si tratter comunque di fatti musicali di tipo diverso: a contifatti, perfino di generi musicali diversi.

La centralit delle comunit nellidentificare i generi non ne cancella lessenza nor-mativa. Implicita nella definizione di Fabbri la visione dei generi come codici: regoleche associano elementi di due sistemi o strutture [14, p. 55] - in questo caso la materiasonora (sul piano sintattico) e quella emotiva/valoriale (sul piano semantico).Fabbri stesso riscriver la sua definizione proprio in termini di codici:

[Un genere musicale ] ununit culturale che consiste in un tipo di evento musicale,le cui occorrenze sono singoli eventi musicali, il cui svolgimento regolato da codici .[18, p. 132].

Nella nozione di evento musicale rientrano anche le pratiche connesse alluso, allacreazione, alla riproduzione della musica. In questa trattazione i codici relativi ad esse ri-vestiranno un ruolo secondario: lattenzione principale sar al piano della materia sonorae alle leggi della sua articolazione. Queste formano una grammatica interna, o sintassi,che lega fra loro gli elementi del sistema sonoro tramite rapporti di opposizione e somi-glianza. [13, pp. 64-65]

Comunit e codici sono legati da vincoli forti. Una panoramica storica della tran-sizione classica/contemporanea metter in luce gli aspetti caratteristici degli uni e deglialtri, cos come i loro legami. Mostrer in maniera nitida come, sotto ogni profilo, le dueetichette designino generi diversi.

1.2 Il sistema tonale

La musica tonale musica con un centro tonale [31, p. 64]: una nota gerarchicamente piimportante delle altre, attorno a cui queste gravitano.Per sistema tonale si intende per un codice pi complesso e specifico, quello su cui si basata pressoch tutta la musica classica dal XVIII secolo ai primi del Novecento 1.

1Volendo individuare limiti precisi, si pu indicare il periodo dal 1722 del Trattato sullarmonia diJean-Philippe Rameau e il 1908 del Secondo quartetto per archi di Arnold Schoenberg. Il lasso di tempo

si amplierebbe fino a comprendere il Seicento considerando tutta lepoca della cosiddetta common pratice:nella prima fase di questo periodo, i principi tonali venivano impiegati diffusamente, ma non erano ancorastati codificati in maniera esplicita.


10/100


Il sistema si fonda sul temperamento equabile: la ripartizione dellottava in dodiciparti uguali (semitoni) e la selezione di sette note specifiche, tra le dodici risultanti, di-

sposte su una scala diatonica (maggiore o minore 2). La tonica la prima nota di ciascunascala; scale diverse - e tonalit diverse - sono ottenute proprio a seconda di quale delledodici note disponibili scelta come tonica.Ogni composizione tonale scritta in una tonalit precisa, che viene annotata esplicita-mente sullo spartito (e spesso nel titolo stesso). Ci comporta lutilizzo pressoch esclu-sivo di note di quella tonalit: ogni altra nota presente nella composizione considerataestranea allarmonia del pezzo. Molti brani prevedono il ricorso a pi tonalit: in questocaso, una sola apre e chiude il pezzo svolgendo un ruolo privilegiato ( la tonalit delpezzo), mentre il passaggio da una tonalit allaltra (modulazione) soggetto a regole

ferree che ne limitano le tipologie possibili. La fase di modulazione molto breve e al difuori di essa non prevista la convivenza di pi tonalit.

Spesso una composizione tonale inizia e finisce sulla tonica. Cos fanno anche moltedelle frasi musicali di cui un pezzo si compone, traendone un senso di compiutezza. Daqui la visione della tonica come polo attrattore per le note della scala.La centralit della tonica nel sistema tonale stata paragonata a quella del punto di fuga inprospettiva. Ogni nota della scala svolge al suo interno una funzione specifica in rappor-to alla tonica: due note nello specifico, la terza e la quinta, formano assieme alla tonicala triade fondamentale a cui tutte le successioni di accordi (progressioni) riconducono.Lordinamento gerarchico delle note ne induce cos uno parallelo degli accordi, centratosulla triade fondamentale e regolato dai principi dellarmonia classica.Questa risponde al paradigma della consonanza: un accordo (nientaltro che un insiemedi note) consonante se le sue note suonano bene insieme; due accordi possono esseredisposti in sequenza se suonano bene uno accanto allaltro. I trattati di armonia si pre-murano di chiarire senza possibilit di dubbio quali siano gli accordi consonanti e qualiprogressioni siano legittime: sono consonanti gli intervalli (coppie di note) di unisono,ottava, quarta e quinta perfette, terza e sesta maggiore e minore3; gli accordi consonantisono quelli che contengono solo intervalli consonanti.

Le regole secondo cui un accordo pu seguirne un altro sono complesse e formano i prin-cipi della condotta delle parti. Tengono conto degli intervalli che si instaurano tra le notedi un accordo e quelle dellaltro: in particolare, puntano a massimizzare il numero di note

2A seconda degli intervalli tra le note: T-T-ST-T-T-T-ST per la maggiore, T-ST-T-T-ST-T-T per laminore, dove un tono (T) lunione di due semitoni (ST).

3Ai termini corrispondono precise differenze tra le altezze delle note: 0T per lunisono, 6T per lottava,2T+ST per la quarta perfetta, 3T+ST per la quinta perfetta, 2T per la terza maggiore e T+ST per quellaminore, 4T+ST per la sesta maggiore e 4T per quella minore. I nomi derivano dalla particolare nota dellascala che, presa assieme alla tonica, determina lintervallo indicato: la quinta lintervallo tra il do e il sol,

quinta nota della scala di do maggiore (o do minore), la terza maggiore lintervallo tra il do e il mi, terzanota della scala di do maggiore, la terza minore lintervallo tra il do e il mi bemolle, terza nota della scaladi do minore.


11/100

1.3. LINDAGINE SCIENTIFICA SULLA CONSONANZA 11

comuni e ridurre al minimo la differenza in altezza delle note dei due accordi (favorendola cantabilit).

Lutilizzo di alcuni accordi dissonanti consentito, in via del tutto sporadica. Tali dis-sonanze devono per essere precedute e seguite (preparate e risolte) da successioni diaccordi consonanti obbedienti a regole ancora pi restrittive. Il fine mantenere la cen-tralit della tonica e il carattere privilegiato della consonanza.

Il suonar bene insieme di fatto codificato in una categorizzazione dogmatica.

1.3 Lindagine scientifica sulla consonanzaIl problema di motivare coerentemente le direttive armoniche del sistema tonale ha attra-versato diversi millenni di storia. Alcuni principi di acustica erano gi stati formalizzatinellantica Grecia, ben prima dellavvento del sistema tonale. A livello pratico, poi, icostruttori di strumenti conoscevano da millenni le tecniche per ottenere note che suonas-sero bene insieme da corde, tubi, campane.Il neoplatonico Iamblichus (245-325 d.C. approssimativamente) riporta questa leggendasul conto di Pitagora:

Un giorno Pitagora stava riflettendo attentamente sulla musica, e ragionando tra se s sulla possibilit di escogitare qualche strumento per assistere il senso delludito, persistematizzarlo, cos come la vista resa precisa dalla riga, dal compasso e dal diottro 4,o il tatto reso quantificabile dalla bilancia e dalle misure - cos pensando a queste cosecapit a Pitagora di passare accanto a un calderaio, dove sent i martelli battere un pezzodi ferro sullincudine, producendo suoni che armonizzavano, eccetto uno. Ma riconobbein questi suoni larmonia dellottava, della quinta, della quarta. Not che il suono tra laquarta e la quinta, preso da s, era una dissonanza, ma lo stesso completava il grandesuono fra loro. [26]

Il primo che tent di collegare fisica ed estetica della consonanza fu per Galileo, cheipotizz:

4Un antico strumento per misurare le altezze, particolarmente impiegato per la navigazione e lastrono-mia. E costituito da una croce di legno o di altro materiale, il cui braccio corto pu scorrere sul bracciolungo, che graduato e provvisto di un traguardo allestremit. Accostando questo allocchio, losservatoreavrebbe prima allineato lasta lunga con lorizzonte, poi spostato lasta corta finch la sua estremit nonfosse coincisa con loggetto di cui misurare laltezza (solitamente, il sole o una stella). Il valore cercatosarebbe stato indicato dalla tacca corrispondente allincrocio tra i due assi.

Un fatto curioso: il primo traduttore inglese del testo di Iamblichus, Thomas Taylor (1758-1835), ripor-t telescope anzich Jacobs staff per indicare il diottro, dando a credere a qualcuno che linvenzione delcannocchiale risalisse al 500 avanti Cristo! [27]


12/100


Non la ragion prossima ed immediata delle forme de glintervalli musici la lunghez-za delle corde, non la tensione, non la grossezza, ma s bene la proporzione de i numeri

delle vibrazioni e percosse dellonde dellaria che vanno a ferire il timpano del nostroorecchio, il quale esso ancora sotto le medesime misure di tempi vien fatto tremare. Fer-mato questo punto, potremo per avventura assegnar assai congrua ragione onde avvengache di essi suoni, differenti di tuono, alcune coppie siano con gran diletto ricevute dalnostro sensorio, altre con minore, ed altre ci feriscano con grandissima molestia; che ilrecar la ragione delle consonanze pi o men perfette e delle dissonanze. La molestia diqueste nascer, credo io, dalle discordi pulsazioni di due diversi tuoni che sproporziona-tamente colpeggiano sopra l nostro timpano, e crudissime saranno le dissonanze quandoi tempi delle vibrazioni fussero incommensurabili; per una delle quali sar quella quando

di due corde unisone se ne suoni una con tal parte dellaltra quale il lato del quadratodel suo diametro: dissonanza simile al tritono o semidiapente. Consonanti, e con dilettoricevute, saranno quelle coppie di suoni che verranno a percuotere con qualche ordinesopra l timpano; il qual ordine ricerca, prima, che le percosse fatte dentro allistessotempo siano commensurabili di numero, acci che la cartilagine del timpano non abbiaa star in un perpetuo tormento dinflettersi in due diverse maniere per acconsentire edubbidire alle sempre discordi battiture. [21]

In seguito Jean-Philippe Rameau [45] ed Eulero [16] ne ripresero le idee, ma fu Her-mann von Helmoltz, fisico e fisiologo, che giunse a met Ottocento alla prima sistematiz-zazione del concetto su base sperimentale:

In riferimento ai battimenti, dovevamo scoprire cosa accadesse quando si facesserosempre pi rapidi. Abbiamo scoperto che ricadevano in quella ruvidit che la caratteri-stica peculiare della dissonanza. La transizione pu essere effettuata con molta gradua-lit, e osservata in tutti i suoi stadi, e cos risulta evidente alla pi semplice osservazionenaturale che lessenza della dissonanza consiste esclusivamente di battimenti molto ra-

pidi. I nervi delludito percepiscono questi battimenti rapidi come ruvidi5 e spiacevoli,poich ogni eccitazione intermittente di un qualsiasi apparato ci colpisce con pi forza

di una che resti inalterata. A ci probabilmente associata una causa psicologica. [...][Le combinazioni dissonanti] formano un ammasso di toni intricato, che non pu essereanalizzato nei suoi costituenti. Attribuiamo la causa della spiacevolezza della dissonan-

za a questa ruvidit e intricamento. Il significato di questa distinzione pu dunque esserespiegato brevemente: La consonanza una sensazione di tono continua, la dissonanzauna intermittente. [25, p. 226]

In base a considerazioni sui battimenti che tengono conto anche degli armonici gene-rati dai corpi vibranti6, Helmholtz pervenne alla stessa distinzione tra intervalli e accordi

5Corsivo nelloriginale6Per una discussione approfondita del concetto di armonico e della teoria della coincidenza dei parziali,


13/100

1.4. ALLARGAMENTO E SFALDAMENTO DEL SISTEMA TONALE 13

consonanti e dissonanti che si era consolidata nella teoria armonica. Reput dunque diaver individuato la ragione vera e sufficiente della consonanza in musica [25].

Dovette per riconoscere:

Abbiamo scoperto che dalla consonanza pi perfetta alla dissonanza pi decisa cuna serie continua di gradi, di combinazioni di suono, che aumenta continuamente inruvidezza, cosicch non si pu individuare alcuna linea netta tracciata tra consonanza edissonanza, e la distinzione sarebbe perci puramente arbitraria. [25, p. 227]

Helmholtz si ingegn per restaurare la naturalit di questa suddivisione, e trov unaragione valida nellarchitettura delle scale. Quelle previste dal sistema tonale non con-

sentono di dar vita a tutti gli accordi del continuum individuato da Helmholtz: esiste unsalto nel declivio da consonanza a dissonanza e questo legittima la creazione di due classidistinte, separate dal salto.Il discrimine sta nel rapporto tra le frequenze. Mentre nelle scale maggiori e minori esi-stono coppie di note in cui tale rapporto (ridotto ai minimi termini) veda un multiplo di2, 3, 5 o 9 tra i suoi termini, nessuna coppia vi fa apparire 7 o un suo multiplo. Da quila qualificazione delle coppie con termine massimo minore di 7 come consonanti, e diquelle con denominatore maggiore di 7 come dissonanti.Proprio nellindividuare la ragione ultima della separazione tra consonanza e dissonanza,Helmoltz scopriva il suo legame intimo col sistema tonale. In sistemi alternativi, questadicotomia sarebbe venuta meno. E cos sarebbe avvenuto di l a poco.

1.4 Allargamento e sfaldamento del sistema tonale

Emendamenti alla rigidit del sistema tonale erano praticati fin dai suoi albori. Gi neicorali di Bach, e perfino nelle composizioni del rinascimentale Carlo Gesualdo (1566-1613) [30], appaiono note esterne alle scale maggiori e minori. Solitamente disposte insequenze di semitoni consecutivi, sono per semplici note di passaggio il cui scopo dare

colore a passaggi melodici saldamente tonali (da qui il nome di cromatismi).

Da met ottocento, per, i limiti del sistema tonale vennero forzati con deliberazio-ne sempre maggiore. Tristan und Isolde di Richard Wagner (1856-59, prima teatrale nel1865) segn linizio di questera di sfida crescente al paradigma tonale. Lopera riccadi dissonanze ardite poste in posizioni di grande risalto, in netto contrasto con il canoneclassico, che le voleva rare, defilate e opportunamente stemperate7.

si veda [47] o [43]7Wagner non elimin la pratica della preparazione e della risoluzione delle dissonanze, ma invent

diversi scamotage per eluderla. Tristan und Isolde, ad esempio, si apre su un accordo dissonante edenigmatico - che dunque si presenta allascoltatore senza esser stato preparato. Il quadricordo (Fa, Si, Re ,Sol) rimase associato allopera nellimmaginario musicale, proprio a causa di questuso temerario: resta


14/100


Anche la celebre tecnica Wagneriana del Leitmotiv8 prevedeva un certo grado di versa-tilit armonica. La stessa sequenza di note doveva potersi adattare alle diverse sezioni

dellopera, scritte potenzialmente in tonalit diverse. Spesso dunque i Leitmotiv non so-no inquadrabili in una tonalit specifica, ma rientrano in una terra di mezzo armonica finoad allora del tutto inesplorata [11, p. 220].

I decenni seguenti videro un continuo ampliamento della tavolozza armonica. GustavMahler, austriaco, e Richard Strauss, bavarese, arrivarono di fatto a integrare la disso-nanza in una tessitura tonale dalle maglie sempre pi larghe. Lutilizzo di accordi e motidelle parti proibiti fino a poco prima era giustificato da puntate in atmosfere ora cupe, oradecadenti, ora guerresche, tese, irrisolte. Parallelamente, e in maniera del tutto personale,

il russo Aleksandr Skrjabin illumin di spiritualismo lo schema tonale incernierandolo suun accordo mistico di sei note9; lo statunitense Charles Ives inizi a comporre pezzi incui pi tonalit apparivano contemporaneamente (bitonalit o pantonalit). Tutto questo,a cavallo tra Ottocento e Novecento.Questi stili sfidavano la fissit del sistema tonale, la aggiravano, ma non ne mettevano indiscussione le fondamenta. Anzich negare la centralit della tonica e delle scale mag-giori minori, sfruttavano in maniera audace la loro capacit di tenuta. Era proprio la fortegerarchizzazione dellarchitettura tonale a permettere le incursioni estreme in territori dis-sonanti o armonicamente ambigui.La Bagatelle sans tonalit di Franz Listz (1885) pu essere considerata il primo tentativocosciente di rinuncia alla bussola fornita da un centro armonico. Il pezzo per era intesodallautore stesso come divertissement, e nasconde in effetti una tonalit di Re maggiore.

Fu invece Claude Debussy, parigino, a esplorare per primo sistemi organici alterna-tivi alla tonalit. Fu profondamente colpito dallascolto di musiche del sud-est asiaticoin occasione dellEsposizione Universale del 1889, e tent di trasporne strutture e sugge-stioni in composizioni come Prlude laprs-midi dun faune (1892-94). Rifuggendo ilverticismo della tonalit, riscopr le gamme modali10, pentatoniche ed esatoniche11 delle

tuttora noto come Tristanakkord, nonostante sia stato attestato anche in composizioni precedenti di Bach,Beethoven, Listz.

8Tema melodico caratteristico di un personaggio, oggetto o idea, che ricorre a ogni comparsa in unopera dellelemento designato.

9Do, Fa, Si, Mi, La, Re.10Una scala modale semplicemente una scala diatonica maggiore (o minore, in maniera del tutto equi-

valente) in cui sia considerata centrale una nota diversa dalla tonica consueta. Nonostante questa notaassuma un ruolo privilegiato rispetto alle altre, vengono meno rispetto al sistema tonale tutte le funzionipreordinate delle altre note.

11La scala pentatonica T-T+ST-T-T+ST-T (o una qualsiasi rotazione di questi intervalli) alla base dimolto folklore celtico, ugro-finnico, asiatico. La scala esatonica invece meno usata nelle musiche tradi-

zionali, ma particolarmente notevole per la sua simmetria: le note che la compongono distano tutte untono luna dallaltra (da cui la locuzione alternativa scala per toni interi). Al suo interno, ogni nota haintrinsecamente lo stesso valore relazionale di ogni altra.


15/100

1.5. LA ROTTURA: ATONALIT E NASCITA DELLA DODECAFONIA 15

tradizioni folkloriche europee e non. Ispirato dallestetica simbolista12, vide in questescale nuove la possibilit di indagare le relazioni intime fra le note senza che leccessiva

verticalit del sistema tonale ne annientasse le sfumature [11, pp. 319-324, 342-348].Il connazionale Maurice Ravel si mosse su coordinate simili. Attinse alla musica tra-dizionale, alle forme pre-classiche, al jazz. Si spinse oltre nel trattamento libero delladissonanza (ormai svincolata da preparazioni e risoluzioni), ma non si mostr cos ri-soluto nella ricerca di un superamento della tonalit. Per quanto pionieristiche, le suecomposizioni si muovono ancora in un contesto formalmente classico [11, p. 327].

La profezia implicita nellopera di Helmholtz - il progressivo allargamento del re-pertorio accordale lecito - era giunta in ogni caso a completo adempimento. Proprio a

Helmholtz si ricollega il giovane compositore austriaco Arnold Schnberg nel capitoloConsonanza e dissonanza del suo Manuale di Armonia (pi che una guida allappren-dimento dei principi di buona composizione, lautopsia di un sistema che ha cessato difunzionare [50, p. 101]):

Percepiti dallinconscio, essi [gli armonici] vengono analizzati quando salgono allasuperficie della coscienza, e allora ne viene stabilita la relazione con la sonorit nel suoinsieme. Ripeto che questa relazione consiste nel fatto che i suoni pi vicini contribuisco-no di pi13 al suono e quelli lontani meno. La differenza dunque tra loro graduale e nonsostanziale, e come si nota anche nelle cifre che esprimono il numero delle vibrazioni,essi non sono in antitesi, come non lo sono il numero due e il numero dieci; e le espres-sioni consonanza e dissonanza, che indicano unantitesi, sono errate: dipende solo dallacrescente capacit dellorecchio di familiarizzarsi anche con gli armonici pi lontani,allargando in tal modo il concetto di suono atto a produrre un effetto di arte in modo chevi trovi posto tutto il fenomeno naturale nel suo complesso.Quello che oggi lontano, domani potr essere vicino: basta esser capaci di avvicinarsi.[52, p. 24]

1.5 La rottura: atonalit e nascita della dodecafoniaFu Arnold Schnberg - ebreo e autodidatta - il punto di rottura tra classicismo e contem-poraneit14.Profondo ammiratore di Mahler e della scuola tedesca post-Wagneriana, ne riprese latemerariet armonica estremizzandola in un rifiuto deliberato delle gerarchie tonali. I

12In particolare, dallolismo Baudeleriano di Corrspondances e dallattenzione di Stphane Mallarmper le relazioni fonologiche. Proprio da un suo componimento nascer il Prlude.

13corsivo nelloriginale14In termini strettamente stilistico, Schnberg si situa a cavallo tra (tardo) romanticismo e modernismo,

con forti elementi espressionisti. In termini di generi, per, la cesura tra musica classica e musica con-temporanea. Lopera di Schnberg rappresenta lelemento di separazione sia sul piano sintattico sia - comesi vedr poi - su quello sociomusicale.


16/100


suoi primi componimenti atonali - ma lautore preferiva il termine tonalit sospesa15 -risalgono al 190816. Sono pezzi molto brevi, poich la rinuncia allarchitettura tonale

comportava una sostanziale mancanza di punti di riferimento. Lo stesso Schnberg os-serv:

Le caratteristiche pi notevoli di questi pezzi in statu nascendi17 furono [...] lestre-ma espressivit e la straordinaria brevit. [...] Unarmonia nuova e variopinta venivaofferta: ma molto era perduto. Una volta larmonia era s servita come fonte di bellez-

za; ma soprattutto era servita come elemento distintivo del vario articolarsi della forma.[...] [Una volta perduta questa guida] che dava al vero compositore una sicurezza quasisonnambolica, permettendogli di stabilire con la massima precisione le pi sottili distin-

zioni di elementi formali [...], sembr impossibile in un primo momento comporre pezzidi struttura complessa e di vaste dimensioni. [51]

Il compositore tent di sopperire al disorientamento armonico rinforzando lossaturacontrappuntistica. Divvennero dunque le relazione fra i suoni, gli intervalli, i generatoridel tessuto sonoro [38, pp. 114-115].Schnberg e i suoi due allievi Alban Berg e Anton Webern18 proseguirono gli studi inquesta direzione. Come Debussy prima di loro, intuirono nelleliminazione dei vincolipreordinati del sistema tonale la possibilit di esplorare gamme nuove di sensazioni: nel-

luguaglianza fra tutte le dodici note del temperamento equabile vedevano la speranza difondamenta solide per una Nuova Musica.

Dopo dodici anni circa di ricerche infruttuose, nel 1921 Schnberg individu il suoSanto Graal. Nel 1922 inizi ad applicare la nuova tecnica nei Fnf Klavierstcke, Op.23 (1920-23) e nella Suite fr Klavier, Op. 25 (1921-23). Nel 1925, infine, illustr ai suoiallievi i principi del suo Metodo di composizione con 12 note imparentate solo le une allealtre. Da allora noto, pi che altro, come dodecafonia.

15Aufgehoben Tonalitt: nellormai consueta ridda di cromatismi e dissonanze, la tonica non emergepi in maniera univoca come elemento riappacificatore. Al contrario, altre note rivaleggiano con essa perimporre la propria supremazia sulla composizione, senza per che una in particolare riesca ad emergere inmodo definitivo.Nelle parole di Anton Webern: Schnberg si fa beffe di questa definizione, perch atonale vuol dire senzasuoni e quindi chiaramente un non senso. Cosa si vuol dire in realt con tale definizione : una musicasenza una tonalit precisa [56, p. 70]

16Anno del gi citato Secondo quartetto per archi.17corsivo nelloriginale18Insieme costituirono quella che divent nota come Seconda Scuola Viennese - in analogia con una del

tutto ipotetica Prima Scuola formata da Haydn, Mozart, Beethoven. La nascita di questa scuola fu in realt

assai informale: semplicemente, Berg e Webern furono tra i pochi a rispondere nel 1904 a uninserzione dilezioni private di composizione da parte del giovane Schnberg (allora pressoch ignoto) sulla rivista NeueMusikalische Presse [50, pp. 83-84].


17/100

1.6. IL SISTEMA DODECAFONICO 17

1.6 Il sistema dodecafonico

La dodecafonia non fu il primo sistema armonico alternativo alla tonalit. Fu per ilprimo sistema compositivo nellambito della musica colta occidentale a fornire unaltraopzione organizzata.Latonalit era - idealmente - un azzeramento dellarchitettura tonale, ma non forniva nuo-vi principi costruttivi. La dodecafonia si configur invece in un nuovo schema formale,basato su una nuova sintassi: quella seriale. Ci permise di superare i limiti di articola-zione individuati da Schnberg negli anni Dieci del Novecento.I principi ordinatori del serialismo sarebbero inoltre sopravvissuti alla relativa rigidit dellinguaggio dodecafonico, diventando le fondamenta di tutta la galassia post-tonale. Pro-

prio questo lo rende cruciale per la comprensione della musica contemporanea nel suoinsieme.

Alla base del sistema sta il concetto di serie dodecafonica (Zwlftonreihe). Questa una disposizione qualsiasi delle 12 note del temperamento equabile, in cui esse compaia-no tutte e senza ripetizioni.Una composizione seriale adotta una serie e la sviluppa iterando queste trasformazioni:

Trasposizione (Tn): le note della serie vengono tutte alzate (o abbassate) di nsemitoni;

Retrogradazione (R): le note della serie appaiono nellordine opposto rispetto aquello di partenza;

Inversione (In): le note della serie vengono simmetrizzate rispetto allennesima no-ta delle dodici del repertorio cromatico. Ci significa che se in una certa posizionedella serie compariva inizialmente la nota m-esima del repertorio cromatico, dopolinversione in quella stessa posizione compare la nota (2n m)-esima.

La figura 1.6 aiuter a capire meglio queste trasformazioni con alcuni esempi sulpentagramma.

Pi copie della stessa serie possono essere sovrapposte in verticale, sviluppandosiindipendentemente su pi linee. In questo modo, si garantisce la ricchezza contrappun-tistica del sistema: non solo il puro piano melodico di una singola serie, ma un pianoarmonico vario in cui le note possono formare accordi e polifonie sempre diverse.Il dinamismo delle composizioni assicurato poi dallassoluta libert metrica lasciata dalsistema: ogni riproposizione di una serie pu estendersi su un numero arbitrario di bat-tute; le note al suo interno possono assumere qualunque durata; due serie sovrapposte

possono presentarsi sfasate a completa discrezione del compositore.


18/100


Figura 1.1: Le trasformazioni di una serie dodecafonica. Dallalto in basso: serie origi-nale, trasposta (di due toni), inversa (rispetto al Do), trasposta dellinversa (di due toni,rispetto al Do), retrograda

Lo schema seriale semplice, ma estremamente potente. La centralit della serie fa sche ogni nota appaia con la stessa frequenza di ogni altra - dissolvendo cos ogni funzionegerarchica figlia dellimpianto tonale. Le note appaiono legate le une alle altre solo dallerispettive relazioni intervallari: anzich sottostare a un riferimento armonico globale (latonica), il tessuto compositivo risulta determinato da una concatenazione sottile di nessilocali.Limpianto trasformazionale, daltro canto, assicura la coerenza formale dei pezzi, ripri-stinando quellunit architettonica che mancava allatonalit pura e semplice.Forti di queste conquiste, i compositori seriali poterono tornare a scrivere pezzi di ampiorespiro. Lentusiasmo per il nuovo sistema traspare perfettamente dalle parole di Webern:

Dunque una successione di dodici suoni non lasciata al caso ma scelta secondo unaforma precisa, la quale dovr vincolare lo svolgimento di tutta la composizione. [...] Si


19/100

1.7. NATURALIT DELLA DODECAFONIA E RAPPORTO COL PUBBLICO 19

ripete sempre la stessa successione di dodici suoni. [...] Ma perch ci ha interessato ilfatto che venisse cantata sempre la stessa cosa? Si tendeva alla coerenza, ai rapporti

reciproci tra le cose, e la pi grande coerenza, la pi grande concepibile, si raggiungevaproprio quando tutte le voci cantavano sempre la stessa cosa! [...] Ora il grande vantag-gio dato dal fatto che io posso assumere il materiale tematico molto pi liberamente,

poich la coerenza, lunitariet mi garantita ampiamente dalla serie che sta alla basedel tutto. [56, pp. 63-64]Via via che si rinunciava alla tonalit, nasceva lidea: non si deve ripetere, deve semprenascere qualcosa di nuovo! [...] Dire qualcosa di nuovo; anche noi vogliamo questo.

Ma ora io posso creare liberamente, tutto ha una sua profonda coerenza. [...] Per dirlacon un paradosso: solo ora, con questo vincolo, divenuta possibile la pi totale libert!

[56, p. 96]

1.7 Naturalit della dodecafonia e rapporto col pubblico

Nel 1906, la Salome di Richard Strauss fu un successo travolgente. Lopera era dissonan-te, spigolosa e in parte perfino sacrilega; ciononostante, pubblico, critica e compositoriandarono in visibilio. Solo il Kaiser Guglielmo II si risent e promise a Strauss danni ter-ribili per limmorale cacofonia. Ma lo stesso compositore pot pavoneggiarsi in seguito:Mi danneggi talmente tanto da permettermi di costruire la mia villa di Garmish! [55,

p. 227].I primi del Novecento erano un periodo di enorme popolarit per la musica orchestrale. Ecos per i suoi compositori: articoli di gossip sulla loro vita apparivano con regolarit suiquotidiani viennesi. Le prime teatrali attiravano borghesi, aristocratici e altri intellettualida tutta lEuropa continentale. Nel 1907, Mahler lasci Vienna alla volta di New York:il cachet dingaggio della Metropolitan Opera di New York era di trecentomila dollariattuali per tre mesi di lavoro.

Lo stesso anno, per, il primo Quartetto per archi e la Kammersymphonie, Op. 9 di

Schnberg scatenarono reazioni dirompenti da parte del pubblico. Nel 1908, a met dellaprima del secondo Quartetto, un critico balz in piedi urlando Piantatela! Basta! [50,pp. 92-93].Man mano che Schnberg e i suoi allievi proseguivano nel cammino in territori atonali,lo scandalo lasciava il posto al sostanziale disinteresse di pubblico e critica. Diversi annidopo, lavvento della dodecafonia non miglior la ricezione delle opere: semmai, la reseancora pi difficoltosa. Solo il Wozzeck di Berg (1922) godette di un qualche successo,facilitato forse dalla ripresa di alcune forme classiche19.

19

Ma Adorno rivel: [Dopo la prima del Wozzeck] rimasi con lui fino a notte tarda, a consolarlo letteral-mente del suo successo. Che un lavoro [...] che soddisfaceva gli standard di Berg potesse piacere al pubblicodi una premire gli sembrava inconcepibile, e quasi un argomento contro lopera [50, pp. 331-332].


20/100


Che cosa determin questa frattura insanabile, i cui effetti perdurano ancora oggi?Conviene chiarire subito: non fu la dissonanza. Anche la Salome era dissonante, e cos

gran parte delle produzioni teatrali idolatrate dalla societ borghese, prima e dopo di essa.Non fu neanche labbandono del sistema tonale. Debussy gi laveva sostituito con altro,senza peraltro preoccuparsi di elaborare una sintassi alternativa per rendere le sue com-posizioni pi comprensibili.La ragione linguistica dello scisma implicita in quanto scriver Claude Lvi-Straussin un suo saggio antropologico:

[La musica] opera per mezzo di due trame. Una fisiologica, quindi naturale; [...]laltra trama culturale, e consiste in una scala di suoni musicali, il numero e gli in-

tervalli dei quali variano a seconda delle culture. Questo sistema di intervalli forniscealla musica un primo livello di articolazione [...] in funzione dei rapporti gerarchici cheappaiono fra le note della scala20.[La funzione del compositore] consiste nellalterare questa continuit senza revocarne il

principio: sia che, nella trama, linvenzione melodica crei delle lacune temporanee, siache, ancora temporaneamente, chiuda o riduca i buchi. [...] Lemozione musicale provie-ne proprio dal fatto che, in ogni istante, il compositore toglie o aggiunge pi o meno diquanto luditore preveda sulla scorta di un progetto che egli crede di indovinare, ma chein realt incapace di penetrare autenticamente, a causa del proprio assoggettamento auna doppia periodicit: quella della gabbia toracica, che inerisce alla sua natura indivi-duale, e quella della scala, che dipende dalla sua educazone . [35, pp. 33-36]

Annullando la dicotomia consonanza/dissonanza, per trattare ogni intervallo alla paridi ogni altro, la dodecafonia scisse allo stesso tempo i legami con le matrici fisologichee culturali della percezione musicale. Era Schnberg stesso a suggerire ai suoi allievi dinon impiegare frammenti tonali nelle proprie composizioni, proprio per evitare che la-scoltatore potesse applicare le sue consuete strategie percettive.Il nuovo sistema si basava su principi eleganti e versatili, ma creati a tavolino in sprezzodi ogni logica gradualistica per raggiungere in un passo solo lauspicata emancipazione

della dissonanza21.

Soprattutto, per, la sintassi seriale non in grado di indurre strutture percepibiliallascoltatore. Non tanto il divario tra struttura concepita e struttura recepita a diso-rientare22, quanto lapparente assenza di una struttura qualsiasi.

20Diversi studi, specie nel campo delletnomusicologia, sembrano indicare che la presenza di una ge-rarchia tra suoni non sia necessaria perch un sistema musicale funzioni sul piano percettivo. Sembranocomunque esserci dei requisiti minimi ed stato osservato come la dodecafonia sembri disattenderli [20].

21Espressione particolarmente cara a Schnberg e Webern, che vedevano in realt la loro opera come

naturale prosecuzione del cammino intrapreso da Wagner in poi22Proprio lesigenza di nascondere la trama seriale, osserv Adorno, fu uno dei cardini del lavoro diBerg [3, p. 108].


21/100

1.8. LA COMPOSIZIONE COME AVANGUARDIA: VERSO IL MODERNISMO 21

A un accordo pu seguirne qualunque altro, non ci sono costrizioni su durate, timbri, ecc.:manca nelle partiture dodecafoniche ogni forma di teleologia che possa essere seguita in-

tuitivamente. Non si instaura quella dialettica attesa/sorpresa che permette lemergeredelle emozioni musicali. Lascoltatore condannato alla contemplazione passiva dellosviluppo del pezzo - ammesso che di sviluppo ritenga lecito parlare.

1.8 La composizione come avanguardia: verso il moder-

nismo

I compositori atonali non fecero molto per risanare la crepa. Al contrario, presero sempre

pi le distanze dal pubblico teatrale e rinsaldarono il sostegno reciproco. Non giunseroa costituire un autentico movimento, ma assunsero molti degli atteggiamenti tipici delleavanguardie artistiche che proprio in quegli anni germogliavano in Europa.

Wagner poteva profilarsi come condottiero romantico, spirito guida della nazione ger-manica. Con la sua figura, il compositore allapice della sua importanza sociale: lartistacome capitano che orienta la rotta della nuova alleanza tra aristocrazia e borghesia versoil suo futuro glorioso.Richard Strauss, rinunciando a questo ruolo, era comunque certo che Vox populi, vox

dei: il compositore interpretava la voce della societ. Se Mahler iniziava a dubitarne,Schnberg si rifiut fermamente di esaudire questa funzione. Decise per un isolamentoideologico: Se arte non per tutti, scrisse, e se per tutti non arte [53, p. 213][50,pp. 28, 44, 73].

Ben prima di questa scelta radicale, gi sapeva coi suoi allievi che la Nuova Musicanon sarebbe stata accolta dalla societ primo-Novecentesca. Ma i tre compositori vede-vano quel cammino - non pi linterpretazione della societ - come missione e imperativomorale. Procedere era necessario, e perdere il pubblico non sarebbe stato un dramma:

Noi non siamo responsabili del dissolvimento della tonalit, n siamo stati noi a farciquesta nuova legge: si imposta a noi per forza propria, prepotentemente. [...] I tem-

pi erano maturi perch la tonalit sparisse [...] Naturalmente non ha senso accampareobiezioni sociali. (Perch la gente non vuol capire?) Da parte nostra si trattato di unimpulso a procedere in avanti, che doveva essere impresso, un impulso come non si eramai verificato prima. [56, pp. 71, 92-93]

Permaneva comunque la certezza mahleriana che verr il tempo in cui gli uominivedranno il grano separato dalla pula, e anche per la Nuova Musica verr il tempo23.

23

La frase, di ascendenza evangelica, attribuita a Mahler, con conclusione verr anche il mio tempo.Proprio questultimo motto stato adottato di frequente da quei compositori che, pur godendo di scar-so consenso presso un pubblico sempre pi specializzato, continuassero a nutrire fiducia nel futuro delle


22/100


In questo quadro, il ritiro dal sociale sarebbe stato perfino vantaggioso: avrebbe permes-so di riferirsi a un gruppo ristretto di eletti, che potessero plasmare il futuro dellarte

senza scendere a compromessi col conservatorismo delle classi dominanti [10]. E senzacorrompere con la mescolanza la purezza della sua nuova specie musicale: il nuovolinguaggio a dodici note, che solo un ascetismo militante avrebbe potuto salvare dal-limbastardimento e dalla degenerazione a contatto con la tonalit, la tradizione folk e lanascente musica di consumo24. Schnberg pensava a una musica del tutto slegata dallasociet e dal contesto.

Andava dunque delineandosi unideologia di stampo avanguardistico. La stessa dif-ficolt che anche i compostori riconoscevano nellapproccio alla loro musica preludeva

al nuovo sguardo modernista allarte. Per uscire dallimpasse dellimprevedibilit e dellafruizione passiva, lascoltatore doveva rinunciare a seguire un tracciato lineare, facendosiguidare da forme consolidati; il suo scopo sarebbe stato piuttosto ricostruire un disegnocomplessivo in base ai pochi indizi formali lasciati dalla musica. Gi proiettato verso ilpostmoderno, diversi decenni pi tardi Umberto Eco avrebbe cristallizzato questa intui-zione nel concetto di opera aperta:

Queste nuove opere musicali consistono invece non in un messaggio conchiuso e de-finito, non in una forma organizzata universalmente, ma in una possibilit di varie or-ganizzazioni affidate alliniziativa dellinterprete, e si presentano quindi non come opere

finite che chiedono di essere rivissute e comprese in una direzione strutturale data, macome opere aperte, che vengono portate a termine dallinterprete nello stesso momen-to in cui le fruisce esteticamente.25 [15, p. 33]

1.9 Dopo il serialismo: la matematica nella composizione

Il totalitarismo mise al bando ogni forma di avanguardia, musicale e non. Terminata la

Seconda Guerra Mondiale, per, furono molti i compositori che adottarono le idee dellaSeconda Scuola Viennese.A Darmstadt, vicino a Francoforte, gli americani sovvenzionarono corsi estivi di compo-sizione avanzata. La scuola divent il tempio del serialismo, e gli ideali avanguardistici diisolamento dalla societ e rifiuto del compromesso plasmarono una generazione abbon-

proprie opere [50, pp. 47-48].24Per quanto ebreo e di ispirazione progressista, Schnberg non era immune alle dominanti razziste del

tempo, che sono latenti nellintero impianto del Manuale di armonia [50, pp. 101-102, 318-319].25Va precisato che il riferimento di Eco non alle composizioni dodecafoniche, ma a brani di Berio,

Stockhausen, Pousseur che non danno al musicista una partitura convenzionale, ma un insieme di indica-

zioni timbriche, melodiche, ritmiche che gli lasciano una grandissima libert esecutiva. Precisa, in ognicaso come per interprete vada inteso tanto lesecutore quanto lascoltatore, e nel resto del testo analizzaspesso le composizioni dodecafoniche in termini di opere aperte.


23/100

1.9. DOPO IL SERIALISMO: LA MATEMATICA NELLA COMPOSIZIONE 23

dante di studenti.

Lideologia che aleggiava sulle lezioni fu cristallizzata dagli scritti di Theodor Wie-sengrund Adorno:

La storia dellevoluzione musicale pi recente non tollera pi la significativa coe-sistenza dei contrari. [...] La musica radicale reag in origine contro la depravazionecommerciale dellidioma tradizionale: ostacol cio lespasione dellindustria culturalenel suo dominio. [...] Con la strapotenza dei meccanismi di distribuzione, di cui dispon-gono il Kitsch26 e i beni culturali ormai liquidati, [...] si delinea un tipo di stile musicaleche, pur continuando a pretendere al serio e al moderno, si assimila alla cultura di massa

in virt di una calcolata puerilit.Perfino la possibilit della [nuova] musica diventata incerta. A minacciarla non ilfatto che sia decadente, individualistica o asociale: ma che lo sia troppo poco. [3, pp.10-11, 101]

Ancor pi di Schnberg, fu Anton Webern il modello principale - tanto delle nuoveleve, quanto dei loro insegnanti. Il suo estremo formalismo fu spogliato di ogni elementolirico, e il trattamento libero di silenzi e durate ispir stili metrici molto lontani dalla re-lativa regolarit della dodecafonia del periodo di Weimar.Gli allievi francesi si fecero notare per la particolare intransigenza. Su tutti, Pierre Boulezsi dedic con estremo fervore alle tecniche seriali, radicalizzando il puntinismo Weber-niano in uno stile violento, asimmetrico e slegato da ogni forma ritmica convenzionale.Estese i principi della dodecafonia a tutti gli aspetti notazionali 27: oltre allaltezza, anchetimbro, durata, tipo di attacco e intensit dovevano sottostare alla ferrea logica trasfor-mazionale. Per le sue composizioni Polyphonie X(1950-51) e Structures I (1951-52), fuconiato il termine serialismo integrale28.Negli Stati Uniti, Milton Babbitt era pervenuto indipendentemente a una versione per-sonale di serialismo integrale29, e numerosi compositori si interessavano alla tecnica do-decafonica. Il fervore di Boulez fu comunque determinante allimporsi del serialismo

(integrale o meno) come sorta di stile internazionale neoformalista basato sul rigorematematico delle costruzioni.

26Corsivo nelloriginale.27Nel radicalismo di Boulez si ritrovava un atteggiamento messianico vicino a quello di Schnberg. Ma

le sue innovazioni passarono per una sconfessione del compositore austriaco. Schnberg morto iltitolo paradigmatico di un articolo scritto da Boulez alla sua morte, nel 1951. Qui, rinfacciava con astio alvecchio di aver intaccato solo larmonia, lasciando intatti ritmo, struttura, forma [50, pp. 579-580].

28Gi Mode de valeurs et intensits (1949) di Messiaen, maestro di Boulez, era costruito secondo latecnica integrale. La forte pubblicizzazione dello stile, per, si dovette a Boulez. Messiaen, spirito profon-

damente religioso e decisamente meno estremista dellallievo, pass presto a territori meno radicali - manon meno innovativi.29Three Compositions for Piano (1947) anticipa perfino Mode de valeurs et dintensits.


24/100


Sia Boulez che Babbitt avevano alle spalle studi matematici. Lattenzione del secondoalle strutture trasformazionali e alla loro natura algebrica fu lo slancio fondamentale, pi

tardi, per la nascita della Set Theory musicale. Questo strumento, concepito inizialmenteper lanalisi musicale, si afferm negli anni come lingua franca della composizione inambito post-seriale. I principi di questo linguaggio ibrido matamatico/musicale sarannoesposti nel prossimo capitolo.I lavori del franco-greco Iannis Xenakis e dellamericano Elliott Carter furono uno sti-molo alluscita dal serialismo integrale. Xenakis elabor modelli di matrice statistica perdisegnare strutture musicali complesse. Tipicamente, ogni composizione della sua musi-ca stocastica si basa su un modello differente30, che ne detta le peculiarit percettive eformali. Anche Carter impieg metodi compositivi altamente rigorosi, basati sulla scelta

di brano in brano di accordi-chiave che orientassero relazionalmente lo spazio cromati-co31. Entrambi si distinsero per lestrema complessit ritmica.

Il serialismo cedette il passo a una galassia di sistemi musicali personali, spesso basatisu elementi matematici e costrizioni formali. Le sperimentazioni nel campo della musicaelettronica, pionerizzate da Karlheinz Stockhausen32, e lo sviluppo dellinformatica acu-stica aprirono il campo a una gamma di possibilit impensabili coi soli strumenti acustici.Divisioni dellottava in unit inferiori al semitono (microtonalit33) e manipolazioni tim-briche basate sullanalisi di Fourier (spettralismo34) e latomizzazione del suono (sintesi

granulare

35

) divennero terreno fertile per ricerche musicali mai cos slegate dalle sonoritclassiche.Il centro parigino IRCAM (Institut de Recherche et Coordination Acoustique/Musique)

30Per Nomos Alpha (1966) sfrutt le simmetrie del gruppo ottaedrale; per Pithoprakta (1955-56) lateoria cinetica dei gas; per Analogiques A et B (1958-59) le catene di Markov; per Duel (1959) e Stratgie(1959-62) la teoria dei giochi.

31Il suo Piano Concerto (1964-65) si fonda sullinsieme dei tricordi; il Terzo quartetto per archi (1971)sui quadricordi; il Concerto for Orchestra (1969) sui pentacordi; la Symphony of Three Orchestras (1976)sugli esacordi.

32Electronic Studies (1953-54), Gesang der Jnglinge (1955-56), poi Kontakte (1958-60), Hymnen

(1966-67); ma il proposito di una musica interamente sintetizzata da strumenti elettronici gi espressonella sua tesi di laurea (1949).

33Pi in generale, il termine utilizzato per indicare qualsiasi sistema musicale basato su suddivisionidellottava non riconducibile alle dodici dellusuale temperamento equabile. Molta musica tradizionaleextraeuropea intrinsecamente microtonale, ma il riferimento solitamente alle musiche di Harry Partch(1901-74), Jean-Etienne Marie (1917-89), Maurice Ohana (1913-92).

34Sviluppato soprattutto da tre compositori francesi dellIRCAM, Gerard Grisey, Tristan Murail e Hu-gues Dufourt. Pezzi come Partiels (1975) di Grisey e Gondwana (1980) di Murail nascevano dallanalisial calcolatore dei diversi armonici che determinano il timbro degli strumenti: i risultati erano la base dipartiture orchestrali che ne riproducessero gli effetti [12, pp. 52-57][34].

35Tecnica teorizzata negli anni cinquanta dallingegnere Dennis Gabor e da Iannis Xenakis. Il suono

scomposto in frammenti di frequenza definita e brevissima durata (prossima alla soglia di percepibilit),poi riassemblato digitalmente. La versatilit timbrica permessa sfruttata da Curtis Roads in nscor(1977)e, in forma embrionale, dalla gi citata Analogiques B di Xenakis (1959) [46, cap. 2-3].


25/100

1.10. CHE IMPORTA SE ASCOLTI? 25

fondato nel 1977 da Boulez negli anni diventato un punto di riferimento cruciale per lericerche in questo nuovo territorio di frontiera.

1.10 Che importa se ascolti?

Il compositore di musica seria, contemporanea, avanzata spende una quantitenorme di tempo ed energie - e in genere anche di soldi - per creare un prodotto che haunutilit economica scarsa, nulla o perfino negativa. , in sostanza, un compositore dicose superflue. Il pubblico generalista, per la maggior parte, non al corrente della suamusica e non avrebbe comunque interesse per essa. La maggioranza degli esecutori la

rifugge e la disapprova. [7]

Queste parole non sono il giudizio tagliente di un oppositore della musica contempo-ranea. Sono lincipit di uno scritto di Milton Babbitt: Who Cares if You Listen?. Pub-blicato nel 1958, tratteggiava orgogliosamente la figura del compositore come quella diuno specialista. A cinquantanni dallo scisma di Schnberg, chiudeva definitivamentela porta alle ipotesi riconciliatorie.

[Ricercare le colpe della situazione] significa implicare che questo isolamento sia in-

necessario e indesiderabile. La mia opinione, al contrario, che questa condizione sianon solo inevitabile, ma potenzialmente vantaggiosa per il compositore e la sua musica.[...] passato il tempo in cui il comune uomo bene istruito, ma senza una preparazione

particolare, poteva capire i lavori pi avanzati - per fare un esempio - della matematica,della filosofia o della fisica. [...] Il compositore renderebbe a s stesso e alla propriamusica un servizio immediato abbandonando in modo completo, risoluto e volontario ilmondo pubblico [...] con la possibilit concreta di una totale eliminazione degli aspetti

pubblici e sociali della composizione musicale. [7]

Ma chi sostiene questo compositore/ricercatore, e chi sono gli specialisti a cui sirivolge?Le prime finanziatrici della musica contemporanea sono le istituzioni. La scuola di Darm-stadt, lIstitituto di Fonologia Musicale della RAI, lIRCAM dovevano (o devono) la loroesistenza alle sovvenzioni del settore pubblico, lo stesso che commissiona gran parte del-le opere [50, p. 825]. Daltronde, solo il mecenatismo sostanzialmente a fondo persopu assicurare la sopravvivenza di unattivit dispendiosa che si pone sostanzialmentefuori dal mercato, e solo il comparto statale pu imbarcarcisi sapendo che non ne riceveralcun giovamento di immagine36.

36

Le arti figurative, nel bene o nel male, continuano invece a far parlare di s, attirando anche le atten-zioni dei privati. Il mercato degli oggetti darte - anche contemporanea - tuttora affollato da quotazioniesorbitanti: la situazione decisamente diversa da quella musicale.


26/100


Il ristrettissimo pubblico37 invece formato sostanzialmente da addetti ai lavori (musici-sti, compositori, critici attivi nel campo della musica contemporanea), altri artisti, curiosi.

Il loro livello culturale mediamente pi alto rispetto agli appassionati di classica otto-centesca, e anche chi non esercita una professione legata alla musica ha spesso alle spallestudi musicali. Tra i curiosi, vanno distinti gli ascoltatori episodici e chi, pur frequen-tando lambito con una certa assiduit, ammette di non conoscerne a fondo i principi e lecorrenti. In entrambi i settori abbondano i giovani e in particolare gli amanti delle formepi sperimentali di jazz e popular music.Spesso, anche i pi stabili tra i profani continuano a restare perplessi dellimpene-trabilit delle composizioni. La costanza nella partecipazioni agli eventi dovuta a unasperanza: che i limiti comunicativi siano loro, non della musica, e una frequentazione pro-

lungata possa aiutare a colmare le lacune. Confidando nel futuro, attuano una sostanzialesospensione del giudizio, traendo piacere pi dal confronto col nuovo che dallimpattoimmediato, emozionale o concettuale.Le parole di Adorno, sconfessate dalla storia in molti altri campi, si sono scavate unanicchia in cui restare attuali:

[La musicalit genuina] si concretizza nella disponibilit a occuparsi di ci che non inquadrato, approvato, sussunto sotto categorie fisse. [...] [Loggetto] esige che ilnuovo non venga scacciato ab ovo. La possibilit dellesperienza stessa e quella di esserereattivi al nuovo sono identiche. [2, pp. 218-219]

1.11 Musica contemporanea?

Nuova Musica, musica colta, musica seria: comunque la si voglia chiamare, la creaturanata dalla secessione viennese di Schnberg, Webern e Berg si evoluta in qualcosa diradicalmente distinto da quella che oggi intendiamo come musica classica. Ha unesteticaa s, un pubblico a s, una (non) economia a s. un genere a s, con un codice a s:diversa sintassi, diversa semantica emozionale.

La semantica - con tutti i ma da porre per il linguaggio musicale - appannaggio dei se-miologi. Per la sintassi, per, emerge in modo nitido uno strumento dindagine: lalgebra.Su come impiegarla per descriverne le geometrie si concentrer il prossimo capitolo.

Per concludere questo, invece, manca unultima riflessione: di tutti i nomi con cui cisi pu riferire, musica contemporanea il pi paradossale.Il Ventesimo Secolo stato il jazz, il music hall, lepopea caleidoscopica della popularmusic. Rock, pop, soul, reggae, ambient, hip-hop, dance, e mille contaminazioni che delmelting pop del nuovo millennio sono forse solo lantipasto. S, il Novecento stato un

37

I dati emergono da uno studio condotto nel 1986 presso gli ascoltatori dei concerti dellEnsembleInterContemporain, una formazione specializzata nel repertorio contemporaneo. La data del sondaggio,purtroppo, non reperibile [40].


27/100

1.11. MUSICA CONTEMPORANEA? 27

secolo dissonante e geometrico, ma questo perch la chitarra elettrica ha reso musica unrumore che prima nemmeno esisteva, e perch i ritmi spigolosi della techno innervano le

discoteche di tutto il mondo. La musica dellera contemporanea non va cercata nei trattatidi matematica musicale.La storia raccontata qui, per, stata parziale e tendenziosa. Ha taciuto dei tanti sentierialternativi al paradigma seriale imboccati dalleredit classica. Non ha detto di Stra-vinsky, di Bartk e della rielaborazione delle tradizioni, n di Weill, Gershwin e dellacommistione coi linguaggi pop; dellalea di Cage, delle forme aperte di Berio. NegliStati Uniti il filone minimalista ha saputo coniugare geometria, estasi e distacco radicaledagli schemi classici, creando un linguaggio dal sorprendente appeal pop. E il settoredelle colonne sonore terreno dincontro costante tra generi e mondi diversi: melodico e

atonale, musica e visione, accademia ed enorme successo di pubblico.Consapevole delle sue contraddizioni, la musica contemporanea torna a confrontarsi colmondo. Se le parole estreme di Baricco non sono del tutto false, per fortuna non sononeanche del tutto vere:

La musica contemporanea un lusso: il mondo della musica colta lo tiene in piediper darsi lalibi di unapparente partecipazione al presente. [9, p. 45]


28/100



29/100

Capitolo 2

Z-relazione e omometria

2.1 Set theory: finalit e principi

La Set Theory uno strumento matematico/musicologico, ideato dal teorico musicale Al-len Forte e proposta inizialmente nel 1973 col manuale The Structure of Atonal Music[19]. Lintento di Forte era individuare uno strumento versatile e rigoroso per lanalisidella musica non strettamente seriale, ma comunque incentrata sulla manipolazione diuna collezione fissata di atomi musicali (le note, in genere) non ordinati gerarchicamente.Negli anni, la Set Theory originale andata ampliandosi, ed stata arricchita e poten-

ziata dal contributo di diversi studiosi, soprattutto americani. Tra questi, vanno segnalatiRobert Morris, John Rahn, David Lewin, Guerino Mazzola1, che hanno posto laccentosulle trasformazioni che legano fra loro i diversi insiemi di note che figurano in una com-posizione. Accanto agli sviluppi teorici, la Set Theory si evoluta anche sul piano delleapplicazioni: da strumento esclusivamente analitico, diventata fonte di ispirazione pernumerosi compositori, imponendosi di fatto come lingua franca della musica post-seriale.Superata liniziale restrizione ai soli insiemi di altezze, i suoi metodi vengono ora appli-cati anche a oggetti di tipo diverso, tra cui ritmi, durate, timbri o combinazioni di questielementi.Piuttosto che soffermarsi su una singola versione della teoria in tutti sui risvolti, o cercaredi ripercorrere levoluzione dellintero ambito nel suo complesso, il paragrafo che segueadotter un approccio trasversale: cercher di mettere a fuoco gli aspetti fondamentaliper inquadrare il problema della Z-relazione, per poi passare rapidamente a definirlo eanalizzarlo in dettaglio. Nel fare questo, ricercher una sorta di denominatore comunetra le diverse formulazioni della teoria, presentandone dunque una sorta di forma baseadatta agli scopi della tesi.

Come strumento per elaborare modelli musicali, la Set Theory qui presentata discendeda alcuni assunti - pi o meno impliciti nelle trattazioni originali - che vale la pena cercare

1Per una ricostruzione accurata dello sviluppo storico della Set Theory e delle teorie correlate, si vedano[5] e [6].

29


30/100

30 CAPITOLO 2. Z-RELAZIONE E OMOMETRIA

di esplicitare:

Centralit dellaltezza: il suono considerato sotto laspetto esclusivo dellaltez-za, ovvero della frequenza del segnale acustico. Parametri come timbro, durata,intensit non sono presi in considerazione;

Equivalenza dottava: due suoni le cui frequenze siano una il doppio dellaltra(due suoni a distanza di unottava) sono considerati identici;

Temperamento equabile: il continuum delle frequenze discretizzato in un nu-mero finito (tipicamente 12, ma non necessariamente) di elementi, le note. Nonsono previsti suoni la cui frequenza non rientri nel novero delle note indicate;

Equivalenza tra note e intervalli: assegnata una fondamentale, le note sono iden-tificate con gli intervalli che formano con essa;

Arbitrariet della fondamentale: sistemi musicali che differiscano solo per lascelta della fondamentale sono considerati equivalenti;

Atomicit delle note: le note sono elementi primitivi del sistema considerato.Da esse derivano tutti gli oggetti composti (accordi, scale, ecc.), sono consideratisemplici insiemi di note nei quali lordine non ha rilievo;

Centralit delle relazioni intervallari: la qualit sonora degli oggetti composti vista come conseguenza diretta degli intervalli che si formano tra le note deglioggetti stessi;

Invarianza per trasformazioni: i sistemi musicali sono identificati dalle trasfor-mazioni tra oggetti musicali che essi prevedono. Oggetti che si corrispondonotramite una di queste trasformazioni hanno le stesse propriet e sono consideratiequivalenti.

Questi principi ne determinano indirettamente altri, che ne sono al contempo puntidi forza e limiti. Questi risalteranno meglio una volta che si sar tradotto in termini

matematici quanto esposto sopra.

2.2 Set theory: definizioni e concetti principali

Le altezze dei suoni formano un continuum, ordinabile linearmente grazie alla frequenza.Il loro insieme dunque assimilabile alla semiretta dei numeri reali positivi (escluso lozero) R+. L1 viene posto in corrispondenza con la nota fondamentale del sistema. Allerelazioni intervallari corrispondono i rapporti tra frequenze: R+ viene dunque consideratocome gruppo moltiplicativo, di modo che loperazione di divisione abbia senso.

Lequivalenza dottava individua una partizione di (R+, ) in classi, il cui insieme quozien-te di nuovo un oggetto ben noto alla matematica:


31/100

2.2. SET THEORY: DEFINIZIONI E CONCETTI PRINCIPALI 31

Proposizione 2.2.1. Sia R la relazione sui reali positivi cos definita2:

a, b R+

, aRb k Z : b = 2k

a. (2.1)R+/R S1 come gruppo moltiplicativo.

Dimostrazione. Consideriamo in primis lapplicazione : (R+, ) (R, +) definita da:

(x) = log2x. (2.2)

Essa un omomorfismo, poich log2x + log2y = log2xy. Ammette inoltre come inversalapplicazione : (R, +) (R+, ) definita da (x) = 2x, che a sua volta un omomorfi-smo. Dunque un isomorfismo.

Vediamo quale relazione sussiste tra le immagini di due elementi a, b (R+, ) per cui siavesse aRb. A partire dalla relazione a = 2kb, con kintero, troviamo:

log2a = log22kb = k+ log2b. (2.3)

Viceversa, se x,y (R, +) sono tali che x = k+ b con k Z, esponenziando otteniamoimmediatamente a = 2kb. Dunque ala relazione R su (R+, ) viene associata da una(R) definita su (R, +) come x(R)y x = k+y, con kintero.Consideriamo ora la mappa : (R, +) S1 cos definita:

(x) = e2ix. (2.4)

Si verifica immediatamente che essa un omomorfismo suriettivo. Osserviamo che, sex,y sono elementi di (R+, +) tali che xRy, abbiamo:

(x) = (k+y) = e2i(k+y) = e2iy = (y) (2.5)

poich k intero. Componendo e , otteniamo un omomorfismo suriettivo :(R+, ) S1 che associa a elementi della stessa classe rispetto a R lo stesso elemento diS1. Per il teorema di omomorfismo, S1 allora isomorfo al quoziente (R

+, )/R.

legittimo dunque identificare con S1 il continuum delle altezze con ottava iden-tificata. La nota fondamentale del sistema, in particolare, viene associata allelemento(1) = e2ilog21 = e0 = 1. I rapporti tra frequenze che rappresentavano le relazioniintervallari si traducono, nel nuovo contesto, nei rapporti tra gli elementi corrispondentidi S1. Questi rapporti corrispondono a lunghezze di archi di cerchio.

Esempio 2.2.2. La figura 2.2.2 illustra le immagini in S1 della fondamentale e di unanota posta alla distanza di una quinta perfetta. Questa lintervallo tra una frequenza e

2Osserviamo che R la chiusura di equivalenza della relazione aR1b a = 2b, ed dunque latraduzione diretta dellequivalenza dottava in termini matematici.


32/100


e2i log1

2

e2i log3/2

2

2 log3/2rad

Figura 2.1: La fondamentale e la sua quinta perfetta.

unaltra che abbia frequenza 32 .Un rapido raffronto tra le espressioni delle due immagini mostra che il loro rapporto corri-sponde (a meno di i) alla lunghezza dellarco di cerchio evidenziato. La nozione intuitivadi intervallo come distanza fra le note trova dunque una sua interpretazione geometricadel tutto coerente.

Lintera lunghezza della circonferenza corrisponde allottava. Lintroduzione del tem-peramento equabile corrisponde alla sua suddivisione in n porzioni di uguale lunghezza2n , e alla restrizione del sistema ai soli elementi distanti k

2n dalla fondamentale 1, con k

intero. Questo corrisponde al passaggio dal gruppo S1 a un gruppo ciclico:

Proposizione 2.2.3. Siano n un numero naturale e Xn S1 linsieme degli elementix = ek2/n, con k Z. Xn un sottogruppo di S1 ed isomorfo al gruppo ciclico Zn.

Dimostrazione. Se x, x sono elementi di Xn, troviamo:

x x = e2i kn e2i k

n = e2ik+k

n , (2.6)

per opportuni k, k Z. Ma anche k+ k Z, dunque x x Xn: Xn chiuso rispetto allamoltiplicazione ed pertanto un sottogruppo.Per mostrare che tale sottogruppo ciclico, osserviamo che lelemento n e2i/n Xngenera lintero sottogruppo e ha ordine n. Pertanto, Xn isomorfo al gruppo ciclico diordine n tramite la mappa kn k.

Da ora, tratteremo le note come elementi di un opportuno Zn e i loro raggruppamenti

come sottoinsiemi S Zn. Queste considerazioni sono in accordo col principio di atomi-cit delle note: gli elementi di Zn che corrispondono alle note sono oggetti fondamentali e


33/100


indivisibili, mentre negli oggetti complessi che nascono dal loro raggruppamento lordinenon svolge alcun ruolo.

Osserviamo che, col passaggio da S1 a Zn, abbiamo abbandonato la notazione moltipli-cativa per quella additiva. Nel nuovo contesto, le relazioni intervallari si traducono nelladifferenza tra elementi di Zn. Alcune definizioni riassumeranno il quadro a cui siamoarrivati:

Definizione 2.2.4. Una nota o classe di altezze un qualsiasi elemento di Zn. Un insie-me di classe di altezze (o PCS, Pitch Class Set) un qualunque sottoinsieme S Zn.Lintervallo tra due note a, b Zn lelemento b a Zn.

In accordo col principio di equivalenza tra note e intervalli, gli intervalli sono oggettidello stesso tipo delle note. Una volta assegnata una fondamentale (che qui corrisponderallelemento 0) tutte le note a Zn sono identificabili con lintervallo a 0 Zn.

La scelta di una diversa frequenza fondamentale allinizio del processo che ha condot-to prima a R+, poi a S1 e infine a Zn avrebbe prodotto una struttura del tutto identica. Fattesalve due differenze: le stesse frequenze sarebbero corrisposte, in S1, a oggetti diversi;nel passaggio a Zn, poi, non ci sarebbe stata alcuna garanzia che frequenze rappresentate

nella prima struttura lo sarebbero state anche nella seconda.

Esempio 2.2.5. Analizziamo la sorte nel caso n = 12 della frequenza del La centrale(La3, 440 Hz) rispetto a tre diverse fondamentali: La4 (440 Hz), Do centrale (Do3, 220

1223Hz 261.62 Hz) e una frequenza intermedia fra il Do3 e il Re3, 220 17

27Hz

292.67 Hz.Iniziamo dal caso con La4 come fondamentale. Avendosi La3 = 2La4, le due frequenzehanno la stessa immagine in S1: a La3 viene associato il valore 1 S1 e lo 0 in Z12. Sela fondamentale Do3, invece,

La3 = 212

23Do3 =12

29Do3. (2.7)

Passando al logaritmo, troviamo:

log2La3 =9

12Do3. (2.8)

Infine, esponenziando, scopriamo che al La3 viene associato in S1 lelemento e2i9/12 =912. In Z12, pertanto, il La3 rappresentato dal 9.Il rapporto tra il La3 e la terza fondamentale, invece, 210/17. Al La3 risulta dunque

associato in S1 lelemento e2i10/17, ma questo non appartiene allinsieme X12. Il La3dunque non ha alcuna immagine in Z12.


34/100


Lesempio mostra che, quando vengono scelte fondamentali in rapporton

2k, con kintero, le frequenze che sopravvivono nel passaggio a Zn sono le stesse. Esse risultano

per traslate di k nel gruppo con una fondamentale e in quello con laltra. Il princi-pio di arbitrariet della fondamentale ci suggerisce di trattare le note di un gruppo tutteallo stesso modo, indipendentemente da quale sia lo 0 (ovvero la fondamentale). Quan-to osservato nellesempio d unulteriore motivazione a questa identificazione: poich lastessa frequenza pu andare in elementi diversi di Zn a seconda della fondamentale im-piegata, opportuno considerare tutti gli elementi di Zn come oggetti equivalenti, senzadare un valore privilegiato alluno o allaltro.Quando si passa a considerare insiemi di note, ovvero PCS, il principio di centralit dellerelazioni intervallari entra in gioco. Le note di un PCS sono tutte equivalenti fra loro, ma

in ogni PCS si genereranno tra le note relazioni intervallari caratteristiche. La prossimadefinizione formalizza questo concetto.

Definizione 2.2.6. Sia S Zn un PCS. La funzione intervallica di S la funzione ifuncS :Zn N cos definita:

ifuncS(x) |(a, b) S2 : a b = x|, (2.9)dove | | indica la cardinalit.

La funzione intervallica associa a ogni intervallo xZn il numero di copie di quel-

lintervallo presenti nel PCS in esame. Per praticit, ifuncS spesso indicata come n-uplaordinata di numeri naturali, in cui allelemento k-esimo corrisponde lintervallo k Zn.

4,8

5,7

3,9

0,12

0,12

0,12

0,12

0,12 0,12

6

3,9 3,9

Figura 2.2: Gli intervalli contenuti in una triade maggiore e una diminuita.

Esempio 2.2.7. Consideriamo un accordo maggiore: ad esempio, la triade Do-Mi-Sol.Immaginiamola in Z12 ponendo Do= 0, e dunque Mi= 4, Sol= 7. I valori della funzioneintervallica risultano:

ifunc(0) = 3, ifunc(1) = 0, ifunc(2) = 0, ifunc(3) = 1,ifunc(4) = 1, ifunc(5) = 1, ifunc(6) = 0, ifunc(7) = 1,ifunc(8) = 1, ifunc(9) = 1, ifunc(10) = 0, ifunc(11) = 0.

(2.10)


35/100


Alcuni valori meritano qualche riflessione. ifunc(0) uguale al numero di note dellaccor-do, perch ogni nota dista 0 da s stessa. ifunc(5) 1 perch lintervallo Sol-Do 0

7 = 5

in Z12. Similmente, ifunc(8) = 1 corrisponde allintervallo Mi-Do e ifunc(9) = 1 a Sol-Mi.Nellaccordo appena visto, nessun valore della funzione intervallica superava 1. Cal-coliamo invece la funzione intervallica di una triade diminuita, ad esempio Do-Mi-Fa({0, 3, 6} Z12 secondo la stessa identificazione di prima):

ifunc(0) = 3, ifunc(1) = 0, ifunc(2) = 0, ifunc(3) = 2,ifunc(4) = 0, ifunc(5) = 0, ifunc(6) = 2, ifunc(7) = 0,ifunc(8) = 0, ifunc(9) = 2, ifunc(10) = 0, ifunc(11) = 0.

(2.11)

In questo caso, laccordo contiene pi copie degli stessi intervalli e la funzione intervallicapresenta valori superiori a 1. interessante il caso di ifunc(6) = 2: in Z12, 0-6=6-0=6,dunque la stessa coppia di note conta doppio nella funzione.I due PCS corrispondenti agli accordi esaminati sono illustrati nella figura 2.2.7.

Osservando le due funzioni dellesempio, possiamo constatare altre due propriet.Una la simmetria dei valori - escluso ifunc(0) attorno al valore centrale ifunc(6). Laltra che la somma di tutti valori della funzione d 9 in entrambi i casi, ovvero il quadratodel numero delle note dei due PCS.

Queste sono propriet di tutte le funzioni intervalliche e, per quanto di dimostrazioneimmediata, vale la pena riassumerle in una proposizione assieme a quanto gi notato suifunc(1).

Proposizione 2.2.8. Sia S Zn un PCS. Si ha:

ifuncS(0) = |S|, (2.12)x

Zn

ifuncS(x) = |S|2, (2.13)

x Zn ifuncS(x) = ifuncS(x). (2.14)In particolare, se n pari, ifuncS(n/2) pari.

Dimostrazione. Per la prima propriet vale quanto gi osservato nellesempio 2.2.7. Perla seconda, constatiamo che

xZn ifuncS(x) non altro che il numero totale di intervalli

contenuti in S, e questo corrisponde al numero di coppie del prodotto S S. Per quantoriguarda la terza, basta notare che, se la coppia (a, b) tale che b a = x, lintervallocorrispondente alla coppia (b, a) a b = x.Ora lultima propriet. Se n pari, n/2 un elemento di Zn e ifuncS(n/2) dunque

definito. In analogia a quanto appena visto, se b a = n/2, a b = n/2 = n/2 in Zn.


36/100


2.3 T-equivalenza e IT-equivalenza

Il principio di invarianza per trasformazioni suggerisce che tra PCS vadano definite unaserie di trasformazioni, e che queste trasformazioni debbano lasciare invariate le proprietsalienti dei PCS. Daltra parte, il principio di centralit delle relazioni intervallari indicache tra queste propriet debba esserci il contenuto intervallare, espresso sotto forma difunzione intervallica.

Le trasformazioni definite sui PCS possono essere di vario tipo, ma le pi importantie consuete sono senzaltro quelle tipiche del serialismo: la trasposizione e linversione3.Definiamole immediatamente in termini algebrici:

Definizione 2.3.1. Sia a Zn. La trasposizione secondo b lapplicazione ta : Zn Zncos definita4:

ta(x) x + a. (2.15)

Linversione invece lapplicazione i : Zn Zn definita da:

i(x) x. (2.16)

Analogamente, si definiscono le applicazioni Ta : (Zn) Zn e I : (Zn) Zn come:Ta(S) {x + a : x S} = x + S (2.17)

I(S) {x : x S} = S (2.18)Anche a queste applicazioni si d il nome di trasposizione e inversione.

facile verificare che le trasposizioni su Zn formano un gruppo rispetto allopera-zione di composizione. Il gruppo isomorfo a Zn stesso e ha come elemento neutro T0.

Assieme allinversione, poi, le trasposizioni generano un gruppo isomorfo a Dn, il gruppodiedrale di ordine 2n.Esse sono a conti fatti lanalogo di traslazioni e simmetrie assiali. La figura 2.3 illustraquesta analogia.

In base al principio di invarianza per trasformazioni, definiamo relazioni di equiva-lenza opportune che identifichino fra loro PCS che si corrispondono tramite trasposizion

Documents

Un approccio algebrico alla composizione contemporanea