Un approccio statisticoalla stima della yield curve

Lucidi a cura di Giampaolo Gabbi

I modelli di valutazione delle opzioni su tassi

2

Definizione dellayield curve

Rendimenti dei titoli privi di cedola (pure discount)

Stesso emittente Stessa liquidità Diversa scadenza

3

Finalità della yield curve

Interpretazione delle aspettative degli operatori

Valorizzazione dei flussi delle attività e delle passività finanziarie Analisi del rischio di interesse di un portafoglio Pricing di alcuni derivati

4

Criteri per la stima

Scelta del campione Parsimonia Rassomiglianza Robustezza

5

Soluzioni per la stima

Metodi di mercato Metodi no-arbitrage Obiettivo: minimizzare l’errore

P t P ti ii

* ( ) ( )2

6

Modelli statistici (es. I)

Scadenza Numero di flussi TRES Duration T1 2 5,28 0,890 T2 4 5,30 1,896 T4 8 5,47 3,307 T7 14 6,25 5,334 T10 20 6,53 6,290

7

Modello TRES/vita residua

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

01/0

1/97

01/0

1/98

01/0

1/99

01/0

1/00

01/0

1/01

01/0

1/02

01/0

1/03

01/0

1/04

01/0

1/05

01/0

1/06

vita residua

tres

8

Stima della continuità

Interpolazione statistica Adattamento alla polinomiale Misura dell’errore commesso

9

Interpolazione statistica Semplicità Regressione rispetto alla vita residua, per

approssimare la dinamica del tasso in funzione del tempo

10

Adattamento polinomiale Adattamento lineare

Adattamento esponenziale

Adattamento potenza

trt

trt

ttr

FOGLIOEXCEL

11

Stima lineare (esempio) Stimare la curva dei rendimenti utilizzando

le equazioni precedenti fa migliorare il fitting della curva aumentando il grado della funzione

MODELLO DI STIMA DELLA CURVA DEI RENDIMENTI

COEFFICIENTE DI DETERMINAZIONE (R2 )

rt = 4,985 + 0,161t 96,25% rt = 5,032 + 0,1377t + 0,0021 t 2 96,36% rt = 5,436 – 0,2209t + 0,0799 t 2 – 0,0047t 3 99,44% rt = 5,4918 –0,2921t +0,106 t 2 - 0,0083t3 + 0,0002t 4 99,46%

12

Stima della continuità Una volta stimata la funzione della curva è

possibile determinare la struttura sui nodi scelti, sostituendo i valori delle scadenze alle variabili indipendenti

La curva è continua in ogni punto che rappresenta le scadenze

13

Stima della continuità (es.) Si prenda la prima curva stimata

Il rendimento dell’attività con scadenza a 3 mesi si determina nel seguente modo

Si calcola il valore di t. Nel caso specifico

r tt 5 028 0 154, ,

t mesimesi

3

120 25,

14

Stima della continuità (es.) Si sostituisce il valore i t alla funzione di

stima

Si procede in questo modo su tutte le scadenze desiderate

%07,525,0154,0028,5r 25,0

15

Stima della continuità (es.) Nel caso delle funzioni stimate, fino al

quarto grado, le strutture dei rendimenti sono le seguenti

Nodi Modello 1 Modello 2 Modello 3 Modello 4 1 mese 4.998 5.043 5.418 5.468 3 mesi 5.025 5.067 5.386 5.425 6 mesi 5.066 5.101 5.345 5.371 1 anno 5.146 5.172 5.290 5.298 2 anni 5.307 5.316 5.276 5.268 3 anni 5.468 5.464 5.366 5.362 5 anni 5.790 5.773 5.742 5.769

10 anni 6.595 6.619 6.517 6.871

16

Stima logaritmica Per ottenere migliori risultati in termini di

stima è possibile operare mediante logaritmi

La soluzione più semplice per stimare la curva dei rendimenti è quella proposta da Bradley e Crane i quali trasformano rendimenti e scadenze in forma logaritmica ln(T)χTβαr)ln(1 ++=+

17

Modello di Bradley-Crane

Questo modello di stima ( =96,29) permette di ottenere la seguente serie di rendimentiTln()Tln(*)1rt rt

*rt

0,0493-0,0019 10,001920,0000,0515,2555,2800,0493-0,0019 20,001920,6930,0525,3145,3000,0493-0,0019 40,001921,3860,0545,5775,4700,0493-0,0019 70,001921,9460,0596,0726,2500,0493-0,0019100,001922,3030,0646,6116,530

R2

18

Modello Cohen-Kramer-Waugh

Nel modello proposto da Cohen, Kramer e Waugh, il rendimento diventa funzione della scadenza, della scadenza al quadrato e del quadrato del logaritmo sempre della vita residua r T T TT 2 2

log

FOGLIOEXCEL

19

Modello Cohen-Kramer-Waugh

Sostituendo alle variabili dell’equazione i coefficienti stimati, si ottiene il valore del TRES stimato [r*(t)].TT2(log)T2rt

*rt5,75035-0,483410,0121514,436210,000005,2795,2805,75035-0,483420,0121544,436210,090625,2345,3005,75035-0,483440,01215164,436210,362485,6195,4705,75035-0,483470,01215494,436210,714196,1306,2505,75035-0,4834100,012151004,436211,000006,5686,530

20

Difetti dei modelli L’esistenza di flussi eterogenei I fattori di imposizione fiscale Le tipologie degli emittenti Misura del TRES

21

Modello di Echols-Elliot Echols ed Elliot propongono una

funzione di regressione che corregge la distorsione dovuta alle caratteristiche delle cedole

dove i indica il titolo i-esimo e C è l'ammontare della sua cedola

ln ,11

r

TT CT i

ii i

22

Modello di Echols-Elliot Il modello stimato sull’esempio ( =96,85) permette di ottenere i

risultati seguenti

1Ti

TCiln(*)1rt rt*rt

0,053910,001571,0000,001461-0,0006100,0515,2625,2800,053910,001570,5000,001462-0,0006100,0525,3335,3000,053910,001570,2500,001464-0,0006110,0545,5375,4700,053910,001570,1430,001467-0,000690,0596,0796,2500,053910,001570,1000,0014610-0,000680,0646,6186,530

R2

23

Il metodo TRES/duration

La duration approssima la scadenza finanziaria di un titolo con cedola

Per ottenere una curva continua è utilizzare i modelli di stima già proposti in precedenza

24

Interpolazione statistica

r Dt

r D Dt 2

r D D Dt 2 3

r D D D Dt 2 3 4

25

Interpolazione statistica. Il modello TRES/Duration

M O D E L L O D I S T I M A D E L L A C U R V A D E I R E N D I M E N T I

C O E F F I C I E N T E D I D E T E R M I N A Z I O N E ( R 2 )

r Dt 5 012 0 225, , 9 2 , 2 1 % r D Dt 5 331 0 096 0 047 2, , , 9 8 , 8 5 %

r D D Dt 5 723 0 691 0 247 0 0192 3, , , , 9 9 , 9 3 %

r D D Dt 5 606 0 485 0 147 0 0012 4, , , , 9 9 , 9 8 %

26

Altri modelli TRES/duration

Oltre ai modelli statistici presentati si possono applicare quelli già visti per la vita residua

Bradley e Crane Cohen, Kramer e Waugh

27

Difetti dei modelliTRES/duration

La variabile temporale è dipendente dal rendimento stesso

Il valore in ascissa varia per effetto del tempo ma anche per la variazione del TRES

Con la duration si accorcia sensibilmente l’intera struttura dei rendimenti

28

Calcolo tassi spot

Rendimenti di titoli zero-coupon Problema della stima in assenza di titoli

senza cedola Metodo del coupon stripping

29

Calcolo tassi spot (es.) Formula di calcolo

T

i

tTTri rFTtP

1

)(, )1(),(

dove

TtP, è il prezzo al tempo t del titolo con scadenza T;

Fiè il flusso corrisposto al tempo ti, con ttTi;

rtT, è il tasso spot che si vuole stimare.

30

Calcolo tassi spot (es.)

Tabella 1 - Titoli zero coupon sul mercato

Scadenza (anni) Prezzo Rendimento (%)1 91,50 9,292 84,36 8,883 77,89 8,694 68,12 10,075 57,64 11,65

31

Calcolo tassi spot (es.) Se sul mercato esiste un titolo a 6 anni con

cedola annuale del 10% (coincidenti con la scadenza dei titoli zero coupon) e un prezzo pari a 97,56 è possibile determinare il tasso spot attualizzando le prime cinque cedole con i tassi della tabella precedente

32

Calcolo tassi spot (es.)97 56 10 1 0 0929 10 1 0 0888 10 1 0 08691 2 3, ( , ) ( , ) ( , )

66,0

54 )1(110)1165,01(10)1007,01(10 s

66,0 )1(11095,3756,97 s

%75,10100195,3756,97

110 61

6,0

s

33

Stima struttura continua Una volta calcolati i tassi spot, è possibile

stimare la continuità della curva con uno dei metodi di interpolazione precedenti

Il rischio è quello di forzare la minimizzazione dell’errore, alterando la configurazione dell’intera curva

34

Stima struttura continua Si ipotizzi di volere stimare la curva dai

seguenti tassi spotDurata Spot Durata Spot Durata Spot

1 7,50 11 8,20 21 9,202 7,80 12 8,50 22 9,103 7,70 13 8,60 23 8,904 7,50 14 8,65 24 8,705 7,35 15 8,75 25 8,506 7,15 16 9,00 26 8,357 7,00 17 9,20 27 8,108 7,80 18 9,30 28 8,709 7,90 19 9,35 29 8,95

10 8,30 20 9,40 30 9,30

35

Il modello degli splines Una soluzione ampiamente utilizzata è

quella degli spline Si tratta di un insieme di funzioni

polinomiali separate rispetto a nodi predefiniti, in corrispondenza dei quali si garantisce la derivabilità

36

Il modello degli splines I benefici sono:

il cambiamento degli input in un segmento non altera i segmenti contigui

i tassi che esprimono le aspettative degli operatori sono attendibili nel lungo termine e la loro curva è differenziabile

l’interpolazione non introduce oscillazioni ulteriori alla configurazione originaria

37

Il modello degli splines I problemi sono:

occorre definire in modo soggettivo il numero e la posizione dei nodi

se ci sono troppi nodi si torna alla stima dei tassi di mercato (overfitting)

se i nodi sono pochi si rischia di allontanarsi eccessivamente dai dati di mercato, commettendo un errore elevato

38

Il limite dei modelli di stima

Rimane un limite: i modelli ipotizzano che il rendimento rappresenti la relazione fra i tassi di mercato e le relative scadenze

Il prezzo dei titoli obbligazionari è caratterizzato da altri elementi (emittente, flusso cedolare, tassazione sulle componenti di capitale e di interesse)

39

Il modello matriciale Il modello matriciale permette di

interpretare la relazione fra titoli e scadenze, grazie al vettore dei rendimenti coerente con il set delle scadenze cedolari e di capitale dell’intero mercato

40

Il modello matriciale Partendo dalla matrice F degli m

flussi degli n titoli

Si deve risolvere il sistema

dove P è il vettore degli n prezzi e v è il vettore degli m fattori di sconto

F f i k,

F v P

41

Il modello matriciale Per verificare l’affidabilità di questo

modello ci si deve accertare che sia in grado di risolvere un sistema di equazioni caratterizzato da titoli zero coupon determinando il vettore v dei fattori di sconto effettivamente calcolabili mediante la formula

11( )

r

PVNt

42

Il modello matriciale Ripartiamo dall’esempio dei titoli

zero coupon

Tabella 1 - Titoli zero coupon sul mercato

Scadenza (anni) Prezzo Rendimento (%)1 91,50 9,292 84,36 8,883 77,89 8,694 68,12 10,075 57,64 11,65

43

Il modello matriciale Le matrici del modello sono le seguenti

F

100 0 0 0 00 100 0 0 00 0 100 0 00 0 0 100 00 0 0 0 100

P

91 5084 3677 8968 1257 64

,,,,,

44

Il modello matriciale Occorre quindi risolvere il sistema

lineare per ottenere i valori del vettore v dei fattori di sconto

100 0 0 0 00 100 0 0 00 0 100 0 00 0 0 100 00 0 0 0 100

91 5084 3677 8968 1257 64

vvvvv

1

2

3

4

5

,,,,,

45

Il modello matriciale Per ottenere il valore di v(1) si deve

anzitutto risolvere il determinante della matrice

91 50 0 0 0 084 36 100 0 0 077 89 0 100 0 068 12 0 0 100 057 64 0 0 0 100

91 50 100 100 100 100 9 150 000 000

,,,,,

( , ) . . .

46

Il modello matriciale Quindi occorre calcolare il

determinante della matrice F

100 0 0 0 00 100 0 0 00 0 100 0 00 0 0 100 00 0 0 0 100

100 100 100 100 100 10 000 000 000 ( ) . . .

47

Il modello matriciale A questo punto si risolve il

rapporto fra i due determinanti, ottenendo il valore della funzione di sconto in corrispondenza del primo anno

v19 150 000 000

10 000 000 0000 915

. . .. . .

,

48

Il modello matriciale Per ottenere il rendimento del titolo

senza cedola a 1 anno si risolve la formula seguente

r0 1

111

0 9151 100 9 29%, ,

,

49

Il modello matriciale In modo del tutto analogo, il valore

di v(2) si ottiene calcolando il determinante della matrice

100 91 50 0 0 00 84 36 0 0 00 77 89 100 0 00 68 12 0 100 00 57 64 0 0 100

84 36 100 100 100 100 8 436 000 000

,,,,,

( , ) . . .

50

Il modello matriciale Rapportando il determinante

riportato nel lucido precedente con quello della matrice F si ottiene

v28 436 000 000

10 000 000 0000 8436

. . .. . .

,

51

Il modello matriciale Il rendimento del titolo a due anni si

ottiene nel modo seguente

r0 2

121

0 8441 100 8 88%, ,

,

52

Il modello matriciale La bontà del modello è confermata

dalla coincidenza dei rendimenti originari

r0 3

131

0 7791 100 8 69%, ,

,

r0 4

141

0 6811 100 10 07%, ,

,

r0 5

151

0 5761 100 11 65%, ,

,

53

Il modello matriciale Si consideri un esempio concreto

Prezzi dei titoli monetari e obbligazionari (BOT, CTZ e BTP quotati il 26.3.1997)

Titolo Prezzo Titolo PrezzoBOT 30.9.97 97.00 BTP 1.9.2002 119,00BOT 16.3.98 93.61 BTP 1.3.2003 117,90BTP 1.10.98 102,5 BTP 1.10.2003 106,40CTZ 15.02.99 87,29 BTP 1.4.2004 103,86BTP 1.10.99 101,08 BTP 1.8.2004 103,76BTP 15.2.2000 97,33 BTP 1.4.2005 115,13BTP 1.11.2000 109,66 BTP 1.9.2005 116,39BTP 1.3.2001 116,65 BTP 1.2.2006 110,35BTP 1.9.2001 116,51 BTP 1.11.2006 101,20BTP 1.3.2002 95,92 BTP 1.2.2007 93,95

54

Il modello matricialeFlussi dei titoli monetari e obbligazionari (BOT, CTZ e BTP quotati il 26.3.1997)

0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4,5 4,5 104,5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

3,75 3,75 3,75 3,75103,75 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 03 3 3 3 3 103 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25105,25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 06,25 6,25 6,25 6,25 6,25 6,25 6,25106,25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

6 6 6 6 6 6 6 6 106 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 03,125 3,125 3,125 3,125 3,125 3,125 3,125 3,125 3,125103,125 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 106 0 0 0 0 0 0 0 0 05,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75105,75 0 0 0 0 0 0 0 04,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 104,5 0 0 0 0 0 0 04,25 4,25 4,25 4,25 4,25 4,25 4,25 4,25 4,25 4,25 4,25 4,25 4,25104,25 0 0 0 0 0 04,25 4,25 4,25 4,25 4,25 4,25 4,25 4,25 4,25 4,25 4,25 4,25 4,25 4,25105,25 0 0 0 0 05,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25105,25 0 0 0 05,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25105,25 0 0 04,75 4,75 4,75 4,75 4,75 4,75 4,75 4,75 4,75 4,75 4,75 4,75 4,75 4,75 4,75 4,75 4,75104,75 0 03,875 3,875 3,875 3,875 3,875 3,875 3,875 3,875 3,875 3,875 3,875 3,875 3,875 3,875 3,875 3,875 3,875 3,875103,875 03,375 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375103,375

55

Il modello matriciale Il determinante della prima matrice

è il seguente

97 00 0 0 093 61 100 0 0

101 20 3 875 103 87593 95 3 375 3 375 103 375

2 1206 1040

, ..., ...

... ... ... ... ..., , ... , ..., , ... , ,

,

56

Il modello matriciale Il determinante della matrice F è il

seguente

100 0 0 00 100 0 0

3 875 3 875 103 8753 375 3 375 3 375 103 375

2 1862 1040

...

...... ... ... ... ...

, , ... , ..., , ... , ,

,

57

Il modello matriciale Il fattore di sconto v(0,5) si individua

rapportando i due determinanti

mentre il rendimento è dato da

v0,5 2 12062 1862

0 97,,

,

r0 0 5

10 51

0 9701 100 6 092%; ,

,

,,

58

Il modello matriciale Il risultato completo è riprodotto di

seguitoScadenza sconto term structure scadenza sconto term structure

0,5 0,970 6,092 5,4 0,655 8,0871,0 0,936 7,025 5,9 0,630 8,0921,5 0,899 7,284 6,5 0,607 7,9532,0 0,873 7,144 7,0 0,582 8,0032,5 0,841 7,103 7,4 0,552 8,4032,9 0,813 7,403 8,0 0,531 8,2143,6 0,776 7,290 8,4 0,516 8,1453,9 0,739 8,007 8,9 0,494 8,2814,4 0,712 7,968 9,6 0,496 7,5774,9 0,701 7,462 9,9 0,474 7,869

59

Il modello matriciale La rappresentazione grafica delle

curve mostra le differenze

6,00

6,50

7,00

7,50

8,00

8,50

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

2,9

3,6

3,9

4,4

4,9

5,4

5,9

6,5

7,0

7,4

8,0

8,4

8,9

9,6

9,9

SCADENZA

REN

DIM

ENTI

TERMMODELLO CUBICOCUBIC SPLINES

60

Limite del modello matriciale

Dipende dall’esistenza di una matrice F non ridondante, cioè non caratterizzata da titoli che possano essere perfettamente replicati con portafogli di altri titoli anch’essi considerati nella matrice