Un ejercicio de ejemplo sobre límites forma e 

a) 0 

2 lim 3 

x 

x 

x x →

+ −  

intentaremos llegar a una forma 0 

1 lim 1 x 

x e 

x →

+ =  

sumamos un cero conveniente con el propósito de llegar a la forma 1 + algo (el cero conveniente es sumar 1 y restar 1) 

0 

2 lim 1 1 3 

x 

x 

x x →

+ + − −  

Ahora, sumamos 

0 

2 3 lim 1 3 

x 

x 

x x x →

+ − + + −  

0 

2 1 lim 1 3 

x 

x 

x x →

− + −  

Dentro del argumento del límite ahora tenemos  2 1 1 3 x x

− +

− , lo que se parece al argumento 

de la “forma e” (vamos bien). 

Ahora sabemos que para hacer la “forma e” debe ser 1 

algo (1 algo) +  . 

En este caso, nuestro “algo” es:  2 1 3 x x

−− 

, por lo tanto nuestro  1 algo 

es  3 2 1 

x x − − 

Para lograr hacer la “forma e” debemos “elevar por un uno conveniente” , que para 

nuestro caso es  2 1 3 3 2 1 x x x x

− − − −

i

2 1 3  3 2 1 

0 

2 1 lim 1 3 

x  x x  x x 

x 

x x

− − − −

→

− + −

i 

algo  1/algo  vamos bien

Ya podemos visualizar el límite “forma e”. Lo que hacemos es aplicar la siguiente propiedad. 

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) x a g x g x x a x a 

f x f x → → →

= 

0 2 1 lim  3 3 

2 1 

0 2 1 lim 1  3 

x x  x x x 

x 

x x x

→ −

− − −

→

− + −

i 

El resto es evaluar  0 

2 1 lim 3 x 

x  x x →

−

− i 

cuyo resultado es 0, lo que da como resultado 

final  0  1 e = 

Es decir, 

0 

0 

2 lim 1 3 

x 

x 

x  e x →

+ = = −  Este es solo un ejemplo algo informal de como resolver estos límites. Ahora queda hacer ejercicios. Las dos cosas claves son sumar el cero conveniente y lego elevar por el uno conveniente, en este tipo de ejercicios. 

0 

2 1 lim 3 x 

x  x x e →

− −

i