Un Enfoque de Modelado de Promedios Bayesiano Para

5/12/2018 Un Enfoque de Modelado de Promedios Bayesiano Para - slidepdf.com

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Un Enfoque de Modelado de

promedios bayesiano para

optimización multirespuesta

Resumen de artículo de SZU HUI NG.

Dr Juan Cevallos



Introducción

• Tradicionalmente los métodos de superposiciónde respuestas de medias y funciones dedeseabilidad son usados para encontrar valorescon los que los resultados de procesos serán

optimizados.• El método de superposición de medias se basa en

graficar contornos de superficies de respuestas.Los valores de los factores son seleccionados en

la región donde las respuestas de mediassatisfacen los requerimientos de calidad delexperimentador.



• Las funciones de deseabilidad convierten las

respuestas múltiples en respuestas simples. El

inconveniente es que ignoran las posiblescorrelaciones entre las respuestas y la variación

en la estimación de los modelos de respuesta.

• Otra falla de este enfoque es la dificultad en la

interpretación de los criterios de calidad.

• Hamada y Chiao (2001) propuso un criterio de

calidad para respuestas múltiples que es la

probabilidad que todas las respuestassimultáneamente cumplan sus especificaciones

respectivas.



• Toman en cuenta las correlaciones entre las

respuesta múltiples y enfocan el problema de

optimización primero modelando los

parámetros de las distribución de respuestas y

luego encontrando la configuración de

factores que optimiza el criterio de calidad.

• Peterson (2004) propone un enfoque

predictivo a posteriori que toma en cuenta las

correlaciones entre las respuestas múltiples yla incertidumbre en las respuestas de los

parámetros de los modelos.



• Su enfoque utiliza la distribución posterior predictivade las respuestas para estudiar y mejorar los criteriosde calidad como la probabilidad de conformidad,deseabilidad y funciones de pérdida cuadráticas.

• Miroquesada et al (2004) aplica este enfoque enpresencia de variables ruido.

• El problema de los enfoques anteriores está en queignoran la incertidumbre.

• Los ejemplos 1 y 2 en el estudio ilustran como lasdecisiones sobre diseño de experimentos y sobre laconfiguración de variables de control óptimas puedendiferir cuando son asumidos modelos de repuestacompetitiva diferentes en problemas de respuestamúltiple.



• Del Castillo y Rajagopal (2005) consideran laincertidumbre de modelos para procesos de respuestasimple e incorporan Promedios de Modelos Bayesianos

BMA en el enfoque predictivo a posteriori de Peterson(2004) para obtener configuración de control robustosde modelos.

• Como su enfoque fue formulado para problemas de

respuesta simple, un enfoque separado se requiere para para problemas de respuesta múltiple paraadecuarlo tomando en cuenta respuestas concorrelaciones y objetivos múltiples.

• En este trabajo se amplia esta consideración arespuestas múltiples y se amplían los trabajosanteriores tomando en cuenta las incertidumbres paraoptimizar respuestas múltiples.



• Se adopta el enfoque bayesiano para modelary optimizar las respuestas múltiples que

toman en cuenta la correlación entre lasrespuestas, la variabilidad de lascorrelaciones, la incertidumbre de losmodelos de respuesta y la incertidumbre de

los parámetros de los modelos.• Nuestro enfoque utiliza la función pérdida que

puede ser directamente relacionada con la

definición de Taguchi de Calidad y utiliza elenfoque de BMA para tomar en cuenta laincertidumbre en los modelos.



• Se consideran todas la incertidumbres del

problema, tomadas en cuenta para las

respuestas correlacionadas y permite la

consideración de muchos tipos de criterios de

características de calidad.

• Se va más allá de seleccionar inputs para

optimizar procesos sugiriendo como mejorar

la calidad del sistema.



Contenido

1. Revisión de la configuración multivariada para laformulación de decisiones bayesianas; seadoptan y describen varias funciones pérdida de

calidad.2. Búsqueda de configuración operativas óptimas y

discusión de configuraciones generales y lasolución de estos problemas de optimización

para funciones pérdida específicas. Ampliacionesha otras funciones de utilidad o pérdida sondirectas.



3. Descripción de como calcular con modelos deincertidumbre con BMA.

4. Respuesta a la pregunta donde hacer el sgte.

experimento si recursos adicionales estándisponibles.

5. Se incorpora el diseño óptimo para el

seguimiento del experimento en el problemade decisión con el objetivo de minimizar lapérdida esperada de respuestas futuras.



Enfoque de Modelado• Se supone que n puntos de datos iniciales y han sido

observados en un primer experimento (ej. un exp.factorial fraccional) y el modelo de regresiónmultivariado clásico relaciona k variables dependientescorrelacionadas para p variables independientesusando relaciones lineales:

yi = αi + Xβi +ei, i=1,…,k (1)

donde:

y1,…,yk son (nx1) vectores representando n

observaciones independientes sobre cada una de las krespuestas dependientes correlacionadas y X es lamatriz predictora (nxp), la cual es la misma para cadatipo de respuesta.



• La ecuación 1 puede ser reescrita como:

Y = 1nαt +XB + E, (2)

Donde:Y(nxk) = (y1 y2 … yk)

X(nxp) = (x1 x2 … xp),

α (kx1) = (α1 α2 … αk),

B (pxk) = (β1 β2 … βp)t

E (nxk) = (e1,…,ek)

1n = vector (nx1) de 1’s

Se asume que cada fila i de E es normal multivariada con

media 0 y matriz de covarianza ∑ y cada columna j de Enormal multivariada con media 0 y matriz decovarianza σ j

2In; implicando que los n conjuntos deobservaciones son independientes



Incertidumbre de Parámetros de

Modelado

• Para el modelo de regresión (2), para tomar en

cuenta la incertidumbre en los parámetros del

modelo (α,B,∑), un enfoque Bayesiano para

identificar esta incertidumbre es asignar unadistribución a priori ƒ(α,B,∑) para el vector de

parámetros.

• Se adopta la notación de matriz de Dawid(1981) y las a priori conjugadas jerárquicas:



donde:

α0 y B0 son las matrices medias apriori. La notación Z ~ N(P,R)

Significa que la matriz aleatoria Z tiene una matriz de distribución

normal, donde cada elemento de Z tiene una media 0 y piiR y r jjP son las matrices de la covariancia de las ith fila y jth columna de Z

respectivamente.

Cuando Z es un vector, la distribución se reduce a unamultivariada normal con media 0 y covarianza pR.

∑ ~ IW(δ0,Q 0) significa que ∑ tiene una distribución Wishart

inversa con parámetro de la forma δ0 , donde E(∑) = Q 0/(δ0 -2).

Ver Brown et al (1988) y el Apéndice A de Brown (1993)



• La distribución predictiva posterior para una

observación futura posterior Yf de k respuestas

para un nuevo conjunto de regresores xf (1 x p) esuna distribución de t multivariada con densidad:



K=XtX + H0-1, G=Q 0+YtY – YtXK-1XtY, B ̂̂ =K-1H0

-1

(XX)-1XtY. Ver brown et al (1998).

Para reflejar la información apriori débil de ∑, δ0 es deseable que sea pequeña. Esto es por lo

tanto δ0 =3, que es el menor valor entero que

existe para:

Similarmente establecemos, Q 0=mIk, donde m es

seleccionada para ser un pequeño valor

comparable en tamaño con el error probable de Y.



Selección de Configuración Optima

• El enfoque de la teoría de decisión Bayesiana se basaen maximizar la utilidad esperada o, equivalentemente,minimizar la pérdida esperada.

• En este enfoque la función pérdida L es especificadacomo una medida de calidad de un producto oproceso, y el nivel operativo de los factorescontrolables dxf es seleccionado para minimizar lapérdida esperada L ,̄



• Aquí dxf denota los niveles de factorescontrolables sobre los cuales dependen los

regresores xf .• Porque el objetivo es encontrar el mejor nivel

operativo para operaciones futuras, lasexpectativas son tomadas con respecto a

observaciones futuras Yf a niveles de control dxf ,y por lo tanto para el conjunto de regresores xf .

• Este conjunto puede ser adoptado para cualquierfunción de pérdida de calidad L(d

xf

, Yf

), y sediscuten 2 funciones de pérdida de calidadcomunes en la siguiente sección.



• Con el objeto de encontrar los conjuntos

óptimos para futuras operaciones, un

conjunto dxf * debe ser seleccionado de unconjunto de posibles factores controlables D

que minimizan la ec. 5. La pérdida mínima

esperada está dada por:



Funciones de Pérdida de Calidad

• Taguchi (1986) define la calidad como lapérdida a la sociedad causada por ladesviaciones del producto de los objetivos

buscados del producto, e introduce funcionespérdida para calcular estas desviaciones.

• Funciones pérdida ha sido usadas paradescribir las características de calidad típicas

en problemas sobre “mejor lo mayor” LTB ,”mejor lo más pequeño” STB y “lo nominalmejor” NTB.



• La pérdida entre 0-1 ha sido usada como unamedida de la calidad cuando una región

específica S es dada para la respuesta desalida Yf . Cuando la región específica es dada ,una medida de calidad puede ser definida conla función pérdida entre 0- 1 como:

La pérdida esperada L (̄dxf ) = E{L(dxf ,Yf )} es la probabilidad queobservaciones futuras de Yf caigan fuera de S; ejemplo, la

probabilidad de no conformidad de observaciones futuras.



• La función pérdida cuadrática es comúnmente usada

cuando la pérdida puede ser definida como

desviaciones desde los requisitos (valores objetivoY*) en términos de unidades monetarias, Esta

función pérdida es definida como:

donde C es una matriz definida positiva determinada

por las consideraciones tales como costos o pérdidas

financieras. La función pérdida cuadrática puede ser justificada como una aproximación a la función

pérdida verdadera usando la expansión de las series

de Taylor (Vining, 1998).



Ejemplo 1: Requisito de calidad el

valor objetivo lo mejor

• Para ilustrar el enfoque teórico de decisión paraseleccionar configuraciones óptimas de respuestamúltiple, se usa el ejemplo de Pignatiello (1993).

• En este ejemplo hay un par de características decalidad requeridas para cumplir ciertos valoresobjetivos, y los costos están bien definidos cuandoestos objetivos no son cumplidos.

• El experimento consiste de 3 factores controlables,

cada uno observado a 2 niveles.

• Para cada combinación de factores controlables , 4réplicas de las 2 variables de respuesta son tomadas.



• Los datos del experimento están dados en la

tabla 1. Los valores objetivo para el vector

respuesta Yf están dados mediante Y*={103

73}t, y la matriz de costos es dada como:



Tabla 1



• El objetivo del estudio original es determinar lascondiciones óptimas de operación para elproceso dentro de la región de operación de losfactores controlables.

• Para este ejemplo de “el valor objetivo lo mejor”donde los costos pueden ser definidos, unafunción pérdida de calidad apropiada para

adoptar es la “función pérdida cuadrática”. • Considerando todos los efectos estimados como

en el enfoque directo de Pignatiello (1993) yusando la configuración de parámetros apriori

débil (δ=3;c=10; m=16) los modelos de regresiónobtenidos desde el enfoque Bayesiano (con B ˆdela ec. 4) para las 2 respuestas son:



Aquí, c es seleccionado usando el método sugerido en Meyer y

Box (1992), variando desde 10 hasta 100, y m es establecido

como el promedio de varianzas en la matriz de covarianza de Y.

Sustituyendo los parámetros en la ec. A3 y usando la función

fmincon de MATLAB, la configuración de factores óptima se

muestra en la Tabla 2. Esto difiere de la solución de Pignatiello(1993), como es permitida la búsqueda sobre el total del espacio

continuo de factores en lugar de solo en los puntos de diseño

final; haciendo ello posible obtener la menor pérdida.





Tomando en cuenta la incertidumbre

del modelo

• El procedimiento anterior asume un subconjuntofijo de predictores para describir los resultados Y,y seleccionar una condición de operación óptimabasada en esta asunción.

• A menudo los predictores útiles de Y no sonconocidos con certeza y puede estar variasconfiguraciones de predictores compitiendo que

pueden explicar Y.• Los ajustes óptimos de d*xf pueden ser sensibles

al asumido modelo de configuración.



• La Tabla 3 muestra los ajustes óptimos cuando

9 diferentes subconjuntos de predictores son

asumidos.

• Basar las inferencias y decisiones en un

modelo de configuración “el mejor” único

como si fuera verdad, ignora incertidumbre demodelos , los cuales pueden resultar en

subestimar incertidumbre cuando se tomen

inferencias sobre cantidades de interés. Y porlo tanto afecten a las decisiones basadas en

estas cantidades.



Tabla 3



• El enfoque de Modelo Bayesiano PromedioBMA ha sido desarrollado para superar estapreocupación.

• Promedios sobre los posibles configuracionestambién proveen mejor habilidad de predecircomo medición mediante una regla de puntaje

logarítmico que usando cualquier modelosimple.

• Se amplia nuestro enfoque adoptando el BMA

para considerar todas las incertidumbres en elproceso de toma de decisión para optimizar ymejorar la calidad.



BMA Promedio de Modelos Bayesianos.

• Se considera el caso donde hay un conjunto de p variables

explicativas potenciales x1 a xp para predecir las krespuestas.

• En la sección previa se asume que el modelo de regresiónes conocido con una configuración fija de predictores X.

• Sin embargo, en muchos casos, el modelo de regresión

exacto es desconocido, y el subconjunto de predictoresútiles es incierto.

• En el modelo de regresión lineal múltiple descrito en laecuación 2 , hay 2p posibles configuraciones de X paraexplicar el output Y.

• Donde cada configuración es definida mediante si lainfluencia de cada coeficiente predictor β es pequeño ogrande, respectivamente.



• Se denota cada uno de los 2p posiblesconfiguraciones mediante el vector γ =(γ1, γ2,… γ

p)t.

• Este enfoque de modelos definidos se basa en laidea incluir y excluir cada predictor i en unmodelo basado en un “umbral de significación

práctica”. (George y McCulloch- 1997).• Este vectorp γ binario latente está incrustado en

la distribución de B para cada modelo, con el jth elemento de γ establecido en 0 si la influencia de

β j es suficientemente pequeña que el predictor x j no es necesario en el modelo, y establecido en 1si la influencia es grande.



.γ juega un rol de identificador del modelo M descrito enRajagopal y Del Castillo (2005).

• El γth modelo se distingue por la influencia pequeña/

grande de los β ‘s en dicho modelo. • Con la configuración a priori para el modelo completo en laecuación (3) y la configuración a priori débil, Brown et aldemuestran que la distribución posterior de γ está dadacomo:

.p(γ|Y,X) α g(γ) =(|H γ||K γ |)-k/2|G γ|

-(δo+n+k-1)/2. p(γ) (7)

.donde:

H γ=c(Xt γ Xγ)-1

K γ = (Xt

γ Xγ+ H-1

γ)G γ= Q + YtY-YtX γ K γ

-1 X

t γY

X γes la matriz cuyas columnas corresponden al subconjuntoγth de x1,…,xp y …



• … p(γ) es la probabilidad a priori de los γth

subconjuntos. .p(γ|Y,X) puede ser entonces

ser obtenida por la división de cada g(γ) por la

constante de normalización, la cual es

obtenida sumando g(γ) para cada valor γ.

• Esta distribución aposteriori provee una

representación del modelo incierto después

de haber observado los datos Y.



Selección de aprioris

• La formulación de arriba se basa en aprioris conjugadasadecuadas para los parámetros en la ecuación (3), conajustes apriori débiles.

• Aprioris alternativas incluyen las aprioris no informativas enPress (2003).

• Aunque las aprioris no informativas son deseables, por queevita el problema de selección de hiperparámetros, paraBMA, esto lleva a constantes normalizadas arbitrarias quecomplican la especificación e interpretación de lasprobabilidades del modelo apriori.

• También resulta en favorecer el modelo nulo en el cálculoaposteriori.



• Para la especificación del modelo de espacio a

priori, la mayoría de las implementaciones de

modelos de selección Bayesianos, usan la

independencia apriori de la forma

.p(γ) = ∏wiγi(1-wi)

1- γi; donde wi es la

probabilidad que el predictor i sea

significativo.



Distribución Predictiva BMA de Y f

• En lugar de asumir un modelo subconjunto

simple en el análisis, BMA es un enfoque para

incorporar incertidumbre en el modelo.

• Para tomar en cuenta esta incertidumbre en la

predicción de Y f , la distribución predictiva

BMA de Y f para un nuevo conjunto de

regresores x f está dada por:



• Lo cual es una mezcla ó combinación ponderadaa posteriori de la distribución predictivacondicional de cada modelo subconjuntopotencial f (Y

f |Y,x

f ,γ)

• Promediando todos los modelos de subconjuntospotenciales, f (Y f |Y,xf ) incorpora formalmente laincertidumbre del modelo en la distribución

predictiva de Y f .• La distribución combinada también es conocida

como MAP en Rajagopal y Del castillo (2005)



Enfoque de BMA para seleccionar la

configuración óptima

• Formalmente incorporando la incertidumbre del modelo en laecuación (6), la pérdida mínima esperada es dada como:

La ecuación 9 se conoce como la pérdida BMA

promedio de modelos bayesianos. Describe laincertidumbre en L debido a incertidumbre del modelo,

incertidumbre de parámetros y variabilidad natural.

.d* xf es seleccionada para minimizar la pérdida esperada

total.



Aspectos prácticos de calculo 1

• Un tema práctico importante para implementar elenfoque BMA para determinar la configuración óptimaes que el número de posibles subconjuntos creceexponencialmente en el número de predictores,haciendo los sumandos en la ec. 9 prohibitiva.

• Para superar este tema , los sumandos para ֿ LBMA (d* xf )en (9) pueden ser calculados usando solo los modelosde subconjuntos más probables después delexperimento inicial.

• Hay típicamente mucho menos de 2p subconjuntosdiferentes cuya probabilidad p(γ|Y) tendrá unainfluencia significativa en la ec. 9.



Ej 1 continua

• En el ejemplo 1 hay 7 predictores posibles (3 efectosprincipales,3 interacciones de 2 factores y 1 interacción de3 factores).

• Con estos predictores, hay potencialmente 27 subconjuntosde predictores.

• La tabla 2 muestra sólo 1 de los modelos de subconjuntosposibles, uno con todos los posibles predictores.

• Considerando todos los 27 subconjuntos como modelosexplicativos potenciales para describir los datos y usando

wi=w=0.05, calculamos la probabilidad a posteriori de cadasubconjunto con la ec. 7.

• Las probabilidades de los 4 modelos de subconjuntos másimportantes están dados en la tabla 4.



• Los predictores en los subconjuntos top son losmismos predictores significativos identificadosmediante la estrategia de modelo de respuestade Pignatiello (1993).

• Las últimas filas de la tabla 3 presentan laconfiguración óptima y pérdida esperada cuandoestos subconjuntos son asumidos.

C d l lt d d l t bl 3



• Comparando los resultados de la tabla 3, vemosque la configuración óptima cuando diferentessubconjuntos de predictores son usados puede

diferir.• La pérdida esperada puede ser sub o sobreestimada cuando diferentes conjuntos depredictores son asumidos.

• En la situación donde el modelo respuestasubyacente es incierto, el enfoque BMA puedeser aplicado.

• Considerando todos los posibles subconjuntos 27

de predictores, el promedio de modelos esobtenido sumando los ֿ L (d xf ) calculados con laec. A3 para todos los subconjuntos, cada pesopor su respectiva probabilidad a posteriori.



• La función fmincon de MATLAB es usada paradeterminar d* xf para ֿ LBMA(d* xf ) y la

configuración óptima está dada en la tabla 5.

Comparando con la tabla 3 la perdida esperada del modelo

promedio es ligeramente mayor que el subconjunto mejorsólo. Pero la pérdida promedio de los modelos es menor que

el modelo global o modelo de solo los efectos principales

(modelo top).

b ó d d d l



Obtención de datos adicionales.

Seleccionar corridas adicionales

• Con el objeto de mejorar la pérdida de calidadesperada el experimentador puede:

a. Observar más corridas en la región experimentalactual, o

b. Explorar fuera de la región experimental actual.En la presente investigación se seguirá con a. Si se sigue

con b, se puede seguir el método de gradientedescendente.

Para el caso a, que trataremos a continuación, la idea esmejorar la perdida esperada mediante la mejora de laestimación del modelo y disminución de laincertidumbre en Y f .



• Los datos iniciales se denotan son y1puntos(matriz nxk),

• Los nuevos resultados son Y2 (n2 corridasadicionales).

• Se requiere seleccionar un nuevo diseño eantes de obtener datos.

• Resolver esto es un análisis preposteriori en laestructura Bayesiana.

• Para un γdado, como Y2 no ha sido observado,

la perdida esperada es luego tomada sobreY2:



• Donde e y Y2 están incluidos para indicar quedatos adicionales serán tomados con el diseño e.

• El diseño óptimo e* es el diseño que minimiza al

ec. 10.En el problema del diseño del modelolineal, la selección de e es equivalente aseleccionar la matriz para las corridas adicionalesX2.

• Con las configuraciones a priori en la ec. 3 lospredictivos Y2 de X2 tiene una matriz T condistribución con densidad:



donde:

Como caca corrida en Y2 se asume independiente de las otras

corridas, , cada corrida Y2 tiene una distribución t multivariada

que tiene la misma forma que la ec. 4, con x f remplazada con la

respectiva corrida en X2.

Condicionado sobre Y2, f(Yf|Y2,y1) también tendrán la misma

forma que la ec. 4, con Xγ ahora consistiendo de Xt aumentado

con X2, Y consistiendo de y1 aumentado en Y2, y …



… δ= δ0 + n+ n2. El d*xf es determinado basado en lapredicción a posteriori f(Yf|Y2,y1).

Cuando el modelo fundamental es incierto, en lugar de

asumir un modelo subconjunto único, el enfoque BMApuede ser aplicado teniendo en cuenta laincertidumbre.

Considerando la distribución predictiva BMA de Yf e Y2:

d l d b ó d



Donde: la distribución predictiva BMA para Y2 e

Yf son:

Para evaluar la ec. 12 para cualquier diseño e, la

distribución f(Y2|y1,e) y f(Yf|Y2,y1,e) son requeridas.

Para cada γ, f(Y2|y1,e, γ) tiene la forma de la ec. 11 y

f(Yf|Y2,y1,e) tiene la misma forma de la ec. 4. La selección

de e es equivalente a seleccionar X2.



• Para funciones pérdida específicas como lapérdida cuadrática, para cada γ en lasumatoria, la función entre llaves de la ec. 12puede ser obtenida de los resultados delapéndice A, con ˆβ j remplazado con ˆβ2j , elestimado posterior del coeficiente j después

del segundo de experimentos.• Por lo tanto, para evaluar la ec. 12 para

cualquier diseño e, muestras de Monte Carloson primero extraídas de f(Y2|y1,e).

• El Anexo B describe un algoritmo paramuestras de la forma f(Y2|y1,e).

• Entonces cada muestra Y2 i es combinada con



• Entonces cada muestra Y2,i es combinada con

el original y1, y para cada γ, sustituida en los

resultados en el Apéndice A con el objeto de

obtener d*xf, y ֿ L(Y2,i,e,d*xf).

• ˝LBMA(e,d*xf ) es entonces aproximada por:



Aspectos prácticos de cálculo 2

• Cuando el número de factores y las n2

corridas adicionales son pequeñas, es posible

calcular la perdida esperada para todos los

posibles diseños y seleccionar el diseñooptimo e*.En el caso que sean demasiados los

cálculos para evaluar la ec. 12 se sugiere

realizar simulaciones bajo diferentes pares dediseños y observar la pérdida., ver Muller y

Parmigiani- 1995.



Ej. 1 continuación

• Suponga, que después de los experimentosiniciales, adicional presupuesto es disponiblepara conducir corridas adicionales.

• Para ello se recomienda, considerar los puntosfinales de la región como puntosexperimentales potenciales.

• Para cada diseño potencial e, X2 esdeterminado y un enfoque de muestreo MCcon N=1000 muestras es usado para calcular

)*,( xf d e L

• La tabla 6 (sgte Diapositiva) da los diseños



• La tabla 6 (sgte. Diapositiva) da los diseños

experimentales óptimos para n2=2 a 4

corridas adicionales cuando se asumen

diferentes modelos. Cuando un γ es asumido,

el muestro es hecho como sigue:

• Para cada diseño e, obtener el

correspondiente X2.

• Entonces para cada muestra i,

= Para cada corrida x* en X2

, la muestra Y2,i

, que

tiene la misma predicción posterior en la ec.

(4) con xf remplazado con x*.





= aumentando el nuevo dato con los datos

iniciales y calculando la ecuación A3 para

determinar d*xf y ֿ L(d*xf )(denotado aquí como ֿ L(Y2,i,e,d*xf ) para indicar datos

adicionales Y2 tomados y diseño e)

• Repetir esto para i=1,…,1000 y luego calcular

Donde e* es el diseño que minimiza˝ L(e,d*xf )



• Cuando se tiene en cuenta para modelos de

incertidumbre usando el enfoque BMA, para

cada corrida x*,Y2,i es calculado con la ec. 8.

Con los datos combinados

en la ec. A3 y calculados para cadaγ para

determinar d*xf , y

• A continuación usar el enfoque de ajustar la

curva de Muller y Parmigiani para determinar

una buena corrida n2=2 diseñado bajo laincertidumbre del modelo.

E t f i l é did



• Este enfoque requiere que la pérdida seaevaluada para una muestra de diseños delespacio de diseño, una función suavizada

ajustada a través de los puntos de muestreo y elestimado diseño óptimo de la función.

• Para muestrear el espacio de diseño, los nivelesde factor para x1, x2 y x3 para la primera ysegunda corridas fue determinada en una mallade espacios iguales [-1,-.5,0,.51]3. Entonces:

• Para cada diseño ev sobre la malla, calcular Y2 con

ec. (11) como se describe en el Apéndice B. Conel valor de Y2, calcular con la ec. (A3) yp( γ|Y2,y1) para cada γ y determinar d*xf .



• Ajustar una función de interpolación suavizada spline(por ejemplo, interpn en MATLAB) a través de lospuntos muestreados y encontrar el mínimo de

la superficie ajustada.• La función suavizada ajustada sirve como un estimado

de la superficie de pérdida ajustada en la ec. (12) y eldiseño óptimo puede ser estimado del mínimo de la

superficie ajustada.• El diseño óptimo estimado de esta superficie ajustadatiene x1 establecido en 0.75 y -1 para la primera ysegunda corridas, y x2 establecido en .65 y .75 para la1ª y 2ª corridas, x3 establecido en -.6 y 1 para la 1ª y 2ª

corridas, respectivamente.• La pérdida esperada estimada de esta superficie

ajustada fue 2.87



• Una evaluación de la pérdida esperada de una

muestra grande MC fue realizada con este diseño

estimado , y la pérdida esperada obtenida fue2.97.

• Como el enfoque de ajuste de curvas permite

buscar en el espacio de diseño continuo, el

diseño obtenido con este enfoque resulta en una

pérdida esperada más pequeña que cuando sólo

los puntos finales fueron buscados en la tabla 6.

• Ver figura 1, que muestra la superficie ajustadacuando ajustes para la 2ª corrida son fijados.





• Este enfoque de ajuste de curva provee unenfoque alternativo para estimar el diseñoóptimo cuando el espacio de diseño es

grande.• En lugar de evaluar todos los diseños y

conducir simulaciones MC para cada uno,muestrea un conjunto de diseños y

observaciones y fija una superficie sobre ellospara estimar el mejor diseño.

Ej 2 probabilidad de criterio de calidad



Ej 2 probabilidad de criterio de calidad

de conformidad

• Este ejemplo es un ejemplo de proceso químico

donde una región de aceptación es definida por

subproductos del proceso químico.

• Wold describe el proceso y da los datos delexperimento para reducir la cantidad de

subproductos del procesos químico.

• Se consideran los datos con 4 factorescontrolables y 4 respuestas. Esto es dado en la

Tabla 7.



• La región de especificación para las 4 respuestas



• La región de especificación para las 4 respuestases {y1≥91.0, y2 ≤11.5, y3 ≤6.5, y4 ≤ 5.5}.

• Una función pérdida razonable refleja la

conformidad a estas especificaciones es lafunción pérdida 0-1, y la pérdida esperadaentonces las probabilidades de fuera deespecificaciones.

• Considerando el modelo de primer orden coninteracciones de 2 factores y una configuración apriori débil de δ=3, c=20, y m=16, la multivariableentera t de la perdida esperada en (A1) es

evaluada usando las funciones de Genz y Bretz yla configuración óptima es determinada usandola función fmincon en MATLAB.



• Las primeras 2 filas en la tabla 8 muestran laconfiguración óptima de este enfoquemultirespuesta bayesiano cuando todos los

efectos principales y las interacciones de 2factores son consideradas, y cuando sólo losefectos principales son considerados.

• Las configuraciones óptimas pueden diferir

bastante (especialmente para x2 y x4) cuandodiferentes predictores se asumen.



• Considerando todos los 10 predictores



• Considerando todos los 10 predictores

posibles de efectos principales e interacción

de 2 factores.• La tabla 9 muestra las probabilidades a

posteriori de los 5 subconjuntos más grandes.



• En este ejemplo, el mejor modelo subconjuntopara usar no está claro, debido a que lasprobabilidades a posteriori de los pocossubconjuntos de modelos no son altas.

• Sin embargo, estos 5 toman en cuenta más del80% de las probabilidades a posteriori.

• El subconjunto completo con todos los efectos einteracciones de 2 factores es clasificado de 1024th.

• Las últimas 2 filas de la tabla 8 muestran lasconfiguraciones óptimas para el mejorsubconjunto y cuando el promedio de modelos seaplica con los 5 mejores subconjuntos predictoresen la tabla 9.

• En esta tabla se ve claro que las



• En esta tabla se ve claro que lasconfiguraciones óptimas difieren cuandodiferentes modelos de subconjuntos sonasumidos.

• Para ilustración, considerando cada respuestaseparadamente y aplicando el enfoque

univariado propuesto por Rajagopal y DelCastillo (2005) sobre cada uno.

• Los resultados son los de la tabla 10.

• Aquí los top models cubren el 80% de laposteriori.



Los top models difieren para respuestas diferentes.

Si la pérdida esperada (probabilidad de no conformidad) es

considerada demasiado alta y los datos actuales son limitados,

uno puede considerar experimentos d corridas adicionalespara mejorar.

Un promedio de más de



5 modelos, tabla 11

muestra la parte

superior del seguimiento

de los diseños

experimentales

obtenidos de la

enumeración total de

todos los posiblesdiseños de corridas

n2=2,3, y los diseños

obtenidos con el

enfoque de ajuste de

curva.

E l t bl t i i



• En las tablas anteriores se aprecia quetomando corridas adicionales se puede

reducir la perdida esperada de 0.675 a cercade 0,635.

• La tabla 12 muestra la mejora de la pérdidaesperada cuando las especificaciones para

cada respuestas son “relajadas”.• Las columnas 2 y 3 muestran las perdidas

esperadas cuando las especificaciones son

relajadas en 1 y 2% de lo original,respectivamente.



Otros enfoques para modelos



Otros enfoques para modelos

promedio

• A diferencia de lo hecho en el presente

estudio, se pueden aplicar otros enfoques de

promedios bayesianos.

• También hay varios enfoque s de promediosno bayesianos.

ó l



Discusión y conclusiones

• La mayoría de productos y procesos tiene múltiplescaracterísticas.

• En este trabajo, se presenta una estructura unficada mejoray control de calidad de estos productos y procesos.

• Se cuantifica la medición de la calidad con funcionesperdida y se adopta un enfoque teórico para determinar lascondiciones óptimas de operación y los planes deexperimentación futuros.

• En este trabajo supera los enfoques actuales deoptimización de respuesta múltiple tomando en cuenta laincertidumbre del modelo de respuesta.

• Se presentan 2 ejemplos.



• En este trabajo se consideran experimentosadicionales a ser realizados dentro de la regiónexperimental actual y provee varias técnicas debúsqueda del diseño óptimo, con corridas

adicionales.

• Los códigos MATLAB para determinar laconfiguración óptima para pérdida entre 0-1 y

cuadrática vía BMA ver en:• URL http://www.ise.nus.edu.sg/staff/ngsh/

download/matlabdocs/index.php.

é di



Apéndices.

• Apéndice A. Selección de la Configuración

óptima.

• Apéndice B. Simulación de distribuciones

predictivas de BMA

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Un Enfoque de Modelado de Promedios Bayesiano Para