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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD DEL ZULIA
FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE ESTUDIOS PARA GRADUADOS
PROGRAMA DE POSTGRADO EN INGENIERÍA DE CONTROL DE PROCESOS
UN ENFOQUE PREDICTIVO-ADAPTATIVO PARA LA OPTIMIZACIÓN DINÁMICA DE PROCESOS DE RECUPERACIÓN DE PETRÓLEO POR
INYECCIÓN DE AGUA
Trabajo Especial de Grado presentado ante la Ilustre Universidad del Zulia
para optar al grado académico de
ESPECIALISTA EN INGENIERÍA DE CONTROL DE PROCESOS
Autor: Daniel Alberto Reyes Vílchez
Tutor: José Canelón
Maracaibo, enero de 2014
4 Reyes Vílchez, Daniel Alberto. Un enfoque predictivo-adaptativo para la optimización dinámica de procesos de recuperación de petróleo por inyección de agua (2014). Trabajo Especial de Grado. Universidad del Zulia. Facultad de Ingeniería. División de Postgrado. Maracaibo, Venezuela. 73 p. Tutor: PhD. José Canelón.
RESUMEN
En este trabajo se desarrolló un enfoque predictivo-adaptativo para la optimización dinámica de procesos de recuperación de petróleo por inyección de agua. Este enfoque incluye (i) la identificación y actualización continua, utilizando datos medidos de inyección/producción, de un modelo ARMAX basado en redes neuronales (RN-ARMAX) del proceso de inyección de agua (ii) linealización óptima local del modelo RN-ARMAX y construcción de un modelo Kalman MIMO, (iii) uso de un algoritmo de optimización para determinar las tasas de producción (deseadas) de los pozos productores que maximicen el valor presente neto del proyecto al final de un horizonte de producción y (iv) una estrategia de control predictiva-adaptativa para determinar las tasas de inyección para alcanzar las tasas deseadas de producción. El desempeño del enfoque propuesto se comparó con prácticas convencionales frecuentemente utilizadas en la industria petrolera y con el ajuste empírico de los valores deseados. Se utilizó un modelo de simulación de un yacimiento con un pozo inyector y un pozo productor. Las ventajas de la estrategia propuesta fueron, entre otras: (i) no es necesario conocer los parámetros físicos del yacimiento, ya que el modelo no lineal se identifica a partir de datos (ii) las redes neuronales tienen la capacidad de aproximar, con precisión arbitraria (Cybenko, 1988), la dinámica no lineal del yacimiento, (iii) la estrategia de control se diseña en base a un modelo lineal, (iv) el esquema predictivo compensa la dinámica lenta del yacimiento, (v) se logra mayor rentabilidad en el proceso de recuperación secundaria por inyección de agua. Palabras Claves: optimización dinámica, inyección de agua, control predictivo-adaptativo. Correo electrónico: [email protected]
5 Reyes Vílchez, Daniel Alberto. A predictive-adaptive approach to dynamic process optimization of oil recovery by water injection (2014). Trabajo Especial de Grado. Universidad del Zulia. Facultad de Ingeniería. División de Postgrado. Maracaibo, Venezuela. 73 p. Tutor: PhD. José Canelón.
ABSTRACT
This paper presents a predictive-adaptive optimization for dynamic processes oil recovery by water injection approach was developed. This approach involves (i) identification and continually updated using data measured injection / production of a ARMAX model based on neural networks (RN-ARMAX) of the water injection process (ii) local optimum linearization RN-ARMAX model and building a model Kalman MIMO, (iii) use of an optimization algorithm to determine production rates (desired) from the producing wells to maximize the net present value of the project at the end of a production horizon and (iv) a strategy-adaptive predictive control to determine injection rates to achieve desired production rates. The performance of the proposed approach compared to conventional practices commonly used in the oil industry and the empirical fit of the desired values. A simulation model of a reservoir with an injection well and a production well was used. The advantages of the proposed strategy were, among others : (i) is not necessary to know the physical parameters of the site , since the nonlinear model is identified from data (ii) the neural networks are capable of approximating accurately arbitrary (Cybenko, 1988), the nonlinear dynamics of the reservoir, (iii) the control strategy to a linear model based design, (iv) the predictive scheme compensates for the slow dynamics of the site, (v) increased profitability is achieved in the process of secondary recovery by water injection.
Keywords: dynamic optimization, water injection, adaptive-predictive control. E-mail: [email protected]
6
AGRADECIMIENTO
A Dios por sobre todas las cosas, por brindarme salud, energía y bienestar para enfrentar
cada uno de los retos que ofrece la vida.
A mi abuela Lola, por su espíritu que me acompaña siempre.
A mis padres y hermana, por el apoyo incondicional en todas mis metas personales y
profesionales, este logro, también es de ustedes.
A mi esposa Yilenmi, por su gran amor, colaboración y apoyo prestado en esta nueva fase
tan importante de mi vida.
A la Ilustre Universidad del Zulia, División de Postgrado de Ingeniería por la formación
implementada y dejar en mí un alto nivel de conocimientos en esta línea de investigación.
Al Prof. José Canelón, por brindarme la oportunidad de tener una valiosa experiencia en el
área de identificación y control de procesos, no sólo en el ámbito profesional sino también en el
ámbito personal, sus exigencias como docente siempre me servirán de guía para alcanzar el
cumplimiento de metas firmes con calidad y eficiencia.
En especial, al Ing. Alexis Ortega, por prestar su gran colaboración y sus conocimientos en el
aporte técnico e invaluable que me facilitaron las bases fundamentales para la realización de este
trabajo de investigación.
A los Ingenieros Robner Bohorquez, Tulio Yrausquin y Adolfo García por el gran aporte
Industrial y Técnico prestado durante el desarrollo de este programa de adiestramiento en el
ámbito de instrumentación y control de procesos productivos.
A todos Mil Gracias.
Daniel Reyes
7
TABLA DE CONTENIDO
Página
RESUMEN…… …………………...…………………………………………………...……….... 4
ABSTRACT………… ……………………………………………………………………….....… 5
AGRADECIMIENTO..………...……………………………………………………………...…... 6
TABLA DE CONTENIDO …..………………………………………………………………..…. 7
LISTA DE TABLAS ……..……………………………………………………………………..... 9
LISTA DE FIGURAS …………………………………………………………………………..… 10
INTRODUCCIÓN.…………………………………………………………………………………
12
CAPÍTULO I. EL PROBLEMA
1.1 Planteamiento y formulación del problema………………………...………………………….. 16
1.2 Objetivos de la investigación………………….……………….....…………….……….…..…. 18
1.2.1 Objetivo general de la investigación…….………………….………………………..…… 18
1.2.2 Objetivos específicos de la investigación…...……………………….…...…..………….... 18
1.3 Justificación de la investigación……………...........................……………………...……...…. 18
1.4 Delimitación de la investigación……………………………….………………….…...……… 19
1.5 Viabilidad de la investigación...……..-…………………….…………………….…….……… 19
1.6 Estructura de trabajo especial de grado…..…………………………………………………….
19
CAPÍTULO II. MARCO TEÓRICO
2.1 Optimización de procesos de inyección de agua………………..…….……….……...……… 20
2.2 Modelos ARMAX basados en redes neuronales (RN-ARMAX)……………………………. 22
2.2.1 Redes neuronales de propagación hacia adelante…………………………………………. 22
2.2.2 Modelos ARMAX basados en redes neuronales de propagación hacia adelante…....……. 30
2.2.3 Modelos espacio-estado de innovación de Kalman para sistemas MIMO……..…………. 30
2.3 linealización óptima de un modelo basado en una red neuronal de propagación hacia
adelante…………………………………………………………..…………………………………
32 2.4 Algoritmos de optimización…………………………………….………………………..……. 33
2.4.1 Métodos del punto interior……………………….………………………………………. 34
2.4.1 Método de punto interior – primal dual para la optimización no lineal…………………. 34
8
2.5 Estrategia de control predictivo-adaptativo basada en modelos RN ARMAX......................... 37
2.5.1 Control MPC para sistemas MIMO.……………………………………………………. 39
CAPÍTULO III. DISEÑO E IMPLEMENTACIÓN DE ENFOQUE PREDICTIVO-
ADAPTATIVO PARA LA OPTIMIZACIÓN
3.1 Introducción……………..………………………………………………………….…………. 45
3.2 Descripción del caso de estudio…...……………………..………………….……………….… 46
3.3 Parámetros que deben especificarse previo a la aplicación de la estrategia…………………… 47
3.4 Descripción de la estrategia de optimización propuesta…………………………….……….… 48
3.4.1 Actualización del modelo RN-ARMAX………………………………………………….. 50
3.4.2 Linealización del modelo RN-ARMAX y construcción del modelo MIMO Kalman
lineal………………………………………………………………………………………….……..
51 3.4.3 Aplicación de un algoritmo de optimización que maximice el valor presente neto……….. 52
3.4.4 Cálculo de la tasa de inyección de agua…………………………………………….…….. 52
3.4.5 Implementación digital de la tasa de inyección sobre el yacimiento …………………….. 52
3.5 Criterios de comparación……………………………………………………...…………….… 54
CAPÍTULO IV. RESULTADOS DE LA INVESTIGACIÓN
4.1 Introducción………..…...…………………………………………………………….….……. 55
4.2 Resultados ……….……………………………………..…………………………….….……. 55
4.2.1 Valor inicial de referencia: 800 STB…….…..………………………………….….……. 56
4.2.2 Valores de producción e inyección diaria acumulada y contribución de términos.……... 61
CONCLUSIONES.……………....…………………………….………………………….….……. 68
RECOMENDACIONES……………..………………………………………………….….……. 70
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS..…………………………………………………………… 71
9
LISTA DE TABLAS
Tabla Página
1 Parámetros que deben especificarse antes de aplicarse el enfoque de
optimización…………………..………………………………………...…………..
47
2 Valores de los parámetros a utilizarse en las pruebas…………………………. 55
3 Resultados entre el enfoque de optimización y las prácticas
convencionales…………………………………………………….…..……….
61
10
LISTA DE FIGURAS
Figura Página
1 Distribución de reservas de petróleo a nivel mundial…..…..………….…..…. 16
2 Representación de una red neuronal de alimentación hacia adelante con I
unidades en la capa entrada, J unidades en la capa oculta y O unidades en la
capa de salida..…………………………………………………………………
24 3 Estructura RN-ARMAX de un sistema MIMO de un proceso de recuperación
de petróleo por inyección de agua…………………………………………….
38
4 Planificación diaria con la implementación de la ley de control predictivo
utilizando estado estimado de la salida…………………………..…………….
39
5 Modelo de simulación representativo del yacimiento con la ubicación de un
pozo productor y un pozo inyector…….…………………………………….……
46
6 Representación gráfica de los pasos de cada iteración de la estrategia de
optimización propuesta en este trabajo…….…………………………………….
49 7 Diagrama esquemático del enfoque predictivo-adaptativo basada en la
estrategia de optimización propuesta en este trabajo…………..………...…….
50
8 Modelo RN-ARMAX para el caso de un pozo productor y un pozo inyector... 52
9 Primera Prueba: Señal de Control (Inyección de Agua) y Producción de
Petróleo para el caso de un pozo productor y un pozo inyector con estrategia
de optimización…………………………………………………………….…..
57 10 Primera prueba: producción de petróleo, agua y gas para el caso de un pozo
productor y un pozo inyector con estrategia de optimización……………....…..
57 11 Segunda prueba: señal de control (inyección de agua) y producción de
petróleo para el caso de un pozo productor y un pozo inyector con estrategia
de control sin optimización………………………………………………………
58 12 Segunda prueba: producción de petróleo, agua y gas para el caso de un pozo
productor y un pozo inyector con estrategia de control sin optimización....……
59 13 Tercera prueba: señal de control (inyección de agua constante máxima) y
producción de petróleo para el caso de un pozo productor y un pozo inyector
con estrategia sin control ni optimización…………….……………..……….….
59
11
14 Tercera prueba: producción de petróleo, agua y gas para el caso de un pozo
productor y un pozo inyector sin estrategia de control ni optimización….…….
60 15 Primera prueba: producción acumulada de petróleo, agua y gas para el caso de
un pozo productor y un pozo inyector con estrategia de optimización…….
62 16 Primera prueba: valor presente neto para el caso de un pozo productor y un
pozo inyector con estrategia de optimización...........................................…….
62 17 primera prueba: contribución de los términos producción de petróleo, gas y
agua e inyección de agua para el caso de un pozo productor y un pozo
inyector con estrategia de optimización…..........................................................….
63
18 Segunda prueba: producción acumulada de petróleo, agua y gas para el caso
de un pozo productor y un pozo inyector con estrategia de control sin
optimización…….….….….….….….….….….….….….….….….….….….….….
64
19 Segunda prueba: valor presente neto para el caso de un pozo productor y un
pozo inyector con estrategia de control sin optimización........................…….
64 20 Segunda prueba: contribución de los términos producción de petróleo, gas y
agua e inyección de agua para el caso de un pozo productor y un pozo
inyector con estrategia de control sin optimización…......................................….
65
21 Tercera prueba: producción acumulada de petróleo, agua y gas para el caso de
un pozo productor y un pozo inyector sin estrategia de control ni
optimización…….….….….….….….….….….….….….….….….….….….….….
66 22 Tercera prueba: valor presente neto para el caso de un pozo productor y un
pozo inyector sin estrategia de control ni optimización........................…….
66 23 Tercera prueba: contribución de los términos producción de petróleo, gas y
agua e inyección de agua para el caso de un pozo productor y un pozo
inyector sin estrategia de control ni optimización…........................................….
67
12
INTRODUCCIÓN
De acuerdo a cifras oficiales, Venezuela es el país con las mayores reservas de petróleo.
Ahora bien, el factor de recobro promedio de los yacimientos en Venezuela es 15%, menos de la
mitad del promedio mundial de 35%. Por tal motivo, la industria petrolera nacional se ha
planteado aumentar el factor de recobro y reducir los ciclos de explotación para satisfacer una
creciente demanda energética a nivel mundial.
Esto da lugar, a profundizar el conocimiento en la descripción de los diferentes métodos de
recuperación utilizados para lograr aumentar el factor de recobro (i.e., métodos de recuperación
primaria o natural, métodos secundarios y métodos de recuperación mejorada). Adicionalmente,
se deben identificar los principales problemas que se presentan al utilizar estos métodos de
recuperación, incluyendo el que será objeto de este trabajo: la selección apropiada de las tasas de
inyección y producción.
El proceso de recuperación secundaria más utilizada es la inyección de agua, debido a que (i)
el agua está disponible fácilmente y (ii) su costo de tratamiento es bajo. Además tiene poco
impacto, tanto a la formación productora, como en el sistema de inyección. El método de
inyección de agua permite alcanzar factores de recobro de hasta 67% y tuvo sus comienzos en el
año 1865 en EUA, es el método de recuperación secundaria más utilizado en la actualidad. Para
el año 2001, el 22% de la producción de petróleo en Venezuela era obtenida con este método, en
consecuencia, la inyección de agua es una alternativa para alcanzar la meta de incrementar el
factor de recobro. La clave para el éxito de un tratamiento de inyección de agua es establecer
apropiadamente, a lo largo del horizonte de producción: (i) las tasas de inyección de agua en los
pozos inyectores y (ii) las tasas de producción en los pozos productores.
En los últimos años, se han propuesto el uso de técnicas de optimización para establecer las
tasas de inyección y producción, de manera que se maximicen medidas de desempeño como
factor de recobro o valor presente neto, lo que demuestra un creciente interés en la solución de
este problema. Estas técnicas requieren el uso de un modelo para simular la dinámica del
yacimiento, y en los trabajos reportados se han utilizado diferentes tipos de modelo.
Luigi Saputelli (2003) propuso una estrategia para maximizar el valor presente neto (NPV)
de un proceso de inyección de agua, a lo largo de un horizonte de producción. El esquema se
13 implementa en dos etapas: una de optimización, en la que se determina el perfil de producción
que maximiza el VPN, y otra de control, en la que se determina la presión de fondo fluyente para
alcanzar la producción deseada. La etapa de control utiliza un esquema de control predictivo
basado en un modelo lineal caja gris de la dinámica del yacimiento; los parámetros de este
modelo se actualizan mediante regresión lineal. Considerando que la dinámica de un yacimiento
es altamente no lineal, el desempeño de este modelo podría degradarse significativamente si el
punto de operación se aleja de la condición para la cual fueron generados los datos.
Brouwer (2004) utiliza una formulación discreta de la teoría de control óptimo, para
maximizar el valor presente neto de un proceso de recuperación por inyección de agua, mediante
el ajuste de las válvulas que controlan la presión de inyección. El modelo espacio-estado se
obtuvo linealizando y discretizando las ecuaciones diferenciales (en derivadas parciales) que
describen la dinámica del yacimiento, y el vector de estado está constituido por la presión de la
fase de petróleo, saturación de agua y la saturación de gas en cada celda del modelo de
simulación. Considerando que los modelos típicos de simulación constan de varios miles de
celdas, la dimensión del vector de estado es muy alta, lo que podría traducirse en una demanda
computacional significativa. Adicionalmente, considerando que se trata de un modelo basado en
principios físicos y de muy alto orden, se hace difícil la determinación y actualización continua
de sus parámetros. Por último, extender esta metodología a otros procesos de recuperación
(secundaria o mejorada) puede ser complicada, debido a la dificultad de obtener modelos basados
en principios físicos.
Pérez y García (2007) desarrollan una metodología basada en la teoría de control óptimo,
para la optimización dinámica de procesos de recuperación secundaria de petróleo por inyección
de agua. En este trabajo se utilizan métodos sub-espacio para identificar, a partir de datos, un
modelo espacio-estado lineal que describe la dinámica del yacimiento. Sin embargo, los métodos
sub-espacio requieren gran cantidad de datos para su convergencia; además, un modelo lineal
presenta los inconvenientes explicados anteriormente.
Por otro lado, Pineda (2008) implementó una metodología que ayude en la selección de las
tasas de producción en un proceso de recuperación de petróleo por inyección de agua. En
particular, el enfoque propuesto tuvo como objetivo encontrar las tasas de inyección (y sus
variaciones a lo largo del período de producción) que permitan maximizar medidas de desempeño
14 tales como, valor presente neto o producción acumulada de petróleo. Para esto, se utilizó la teoría
de control óptimo, que ofrece una forma sistemática de integrar la compleja dinámica del
yacimiento en un procedimiento de optimización relativamente sencillo. Sin embargo, el enfoque
de control óptimo fue aplicado a modelos bidimensionales con flujo de dos fases (petróleo y
agua) y debido a la complejidad del algoritmo utilizado el desempeño de trabajo presentó mucha
sensibilidad a los parámetros iniciales y fue necesario realizar corridas adicionales para calibrar
estos valores.
El trabajo de Añez (2011) propuso una estrategia, basada en redes neuronales, para el control
predictivo de la producción de petróleo en procesos de recuperación secundaria por inyección de
agua.
Ortega (2013) plantea una estrategia predictiva-adaptativa para el control de la producción
(e.g., producción total preestablecida en un horizonte de producción) en un yacimiento con
múltiples pozos inyectores y productores (control MIMO). La estrategia propuesta compara
favorablemente con una estrategia empírica de tasa de inyección constante (máxima tasa posible
de acuerdo a las facilidades de superficie) y una estrategia de control PID, considerando
yacimientos sintéticos con dos arreglos diferentes de pozos productores e inyectores y medidas de
desempeño tales como tiempo que tarda cada pozo en alcanzar su valor de producción deseado, el
error cuadrático medio relativo en la producción de cada pozo y el error relativo sobre la
producción total deseada.
Se aprecia, que algunos de estos trabajos presentan dificultades para describir la dinámica
variante en el tiempo, son dependientes de la aplicación, computacionalmente costosos, no
manejan mediciones con ruido, o no garantizan que las estrategias sean las mejores desde el
punto de vista económico.
En este trabajo es una extensión al trabajo de Añez (2011), para desarrollar un enfoque
predictivo-adaptativo de la optimización dinámica de procesos de recuperación de petróleo por
inyección de agua. Este enfoque incluye (i) la identificación y actualización continua, utilizando
datos medidos de inyección/producción, de un modelo ARMAX basado en redes neuronales
(RN-ARMAX) del proceso de inyección de agua (ii) linealización óptima local del modelo RN-
ARMAX y construcción de un modelo Kalman, (iii) uso de un algoritmo de optimización para
determinar la tasa de producción deseada del pozo productor que maximice el valor presente neto
15 del proyecto al final de un horizonte de producción y (iv) una estrategia de control predictiva-
adaptativa para determinar la tasa de inyección para alcanzar la tasa deseada de producción.
El resto de la tesis está dividido en cinco capítulos. El Capítulo I corresponde al planteamiento y
formulación del problema, objetivos, justificación, delimitación y viabilidad de la investigación.
El Capítulo II presenta el marco teórico, el Capítulo III describe de manera detallada, las fases del
diseño y la implementación de la estrategia de optimización propuesta. El Capítulo IV incluye los
resultados obtenidos al aplicar dicha estrategia a un caso de estudio sintético de un pozo
productor y un pozo inyector. Por último, el Capítulo V corresponde a las conclusiones y
recomendaciones, donde se incluyen posibles temas de investigación que surgen para continuar
este trabajo.
16
CAPÍTULO I
EL PROBLEMA
1.1 Planteamiento y formulación del problema
Actualmente, el factor de recobro promedio a nivel mundial de los campos de petróleo oscila
entre 30 y 35% (frente al 20% en 1980). El aumento de sólo un uno por ciento la tasa de
recuperación puede aumentar las reservas de 35 a 55 mil millones de barriles - alrededor de uno o
dos años de producción mundial de petróleo.
De acuerdo a cifras oficiales, Venezuela es el país con la mayor reserva de petróleo, con
297,6 billones de Barriles probados que representa 17,83% de 1668,9 billones de barriles
probados a nivel mundial, tal como se muestra en la Figura 1. Ahora bien, el factor de recobro
promedio de los yacimientos en Venezuela es 15%, menos de la mitad del promedio mundial. Por
tal motivo, la industria petrolera nacional se ha planteado como meta incrementar ese factor en
los próximos años.
Fuente: Resumen estadístico de energía mundial bp (junio 2013)
Figura 1. Distribución de reservas de petróleo a nivel mundial.
17
Para lograr esta meta, se propone el uso de modelos no lineales identificados a partir de
datos, optimización dinámica del proceso de recuperación secundaria y control de la producción
utilizando dichos modelos. Se extendió el trabajo de Añez (2011) para desarrollar un enfoque
predictivo-adaptativo de la optimización dinámica de procesos de recuperación de petróleo por
inyección de agua. La estrategia propuesta utiliza el esquema de control predictivo basado en
modelo (model predictive control, MPC, por sus siglas en inglés) propuesto por Wang (2009) y el
enfoque de modelado y linealización propuesto por Canelón y sus colaboradores (2009).
Se formula el problema de la investigación como:
Dado un yacimiento con un pozo inyector y un pozo productor, y un horizonte de producción de
N años dividido en K instantes de muestreo, se desea encontrar la tasa de inyección de agua
(k)u , donde min max(k) uu u< < y 1,...,k K= que maximicen la siguiente función objetivo:
( ) ( )( )
2
0 02
1 365
1( )
1k
k k k k k k kK g g wp wp wi wi k T F
k Tk
q P q P q C q C T I C rNPV
i⋅Δ
=
⎧ ⎫⎡ ⎤+ − − Δ − − −⎪ ⎪⎣ ⎦= ⎨ ⎬⎪ ⎪+⎩ ⎭∑
(1.1)
Sujeto a 0NPV > y ( ) ( )
k k kwi mín wi wi máxq q q< <
donde, 0
kq , kgq y k
wpq son la producción diaria de crudo [STB/D], agua [STB/D] y gas [MCF/D]
respectivamente, en el k-ésimo intervalo de tiempo, kwiq es la inyección diaria de agua [STB/D]
en el k-ésimo intervalo de tiempo; 0P [$/STB] y gP [$/MCF], son los ingresos netos de venta de
petróleo y gas respectivamente, (el precio de venta menos costos de producción asociados tales
como el presupuesto operacional (nóminas, suministros, mantenimiento, tratamiento y transporte)
y regalías de producción); wpC es el costo de tratamiento y eliminación del agua producida por
barril [$/STB]; wiC es el costo de tratamiento y compresión del agua inyectada por barril [$/STB];
kTI es la inversión total de capital en activos de campo (pozos, instalaciones de superficie, otros)
en el k-ésimo intervalo de tiempo; kFC son los costos fijos totales (gastos generales, contratos de
arrendamiento, costos de capital) en el k-ésimo intervalo de tiempo; kr es la tasa impositiva en el
k-ésimo intervalo de tiempo; kTΔ es el tamaño de duración del intervalo de tiempo en días; i es
el factor de descuento anual; y K es el número de intervalos de tiempo que dura el proyecto.
18 1.2 Objetivos de la investigación
1.2.1 Objetivo general de la investigación
Desarrollar un enfoque predictivo-adaptativo para la optimización dinámica de procesos de
recuperación de petróleo por inyección de agua.
1.2.2 Objetivos específicos de la investigación
- Identificar un modelo no lineal, basado en redes neuronales, que describa la dinámica del
proceso de recuperación por inyección de agua.
- Seleccionar un algoritmo de optimización que permita calcular las tasas de producción de
petróleo que maximizan el valor presente neto.
- Desarrollar la implementación de un enfoque de control predictivo-adaptativo que permita
alcanzar las tasas de producción deseadas.
- Comparar el desempeño de la metodología propuesta con prácticas convencionales y con
el ajuste empírico de los valores deseados, utilizando un modelo de simulación de un yacimiento.
1.3 Justificación de la investigación
A pesar de que han utilizado numerosas estrategias para establecer tasas de inyección de
agua en un yacimiento, algunas de ellas son empíricas como por ejemplo, inyectar la máxima
cantidad de agua permitida por las facilidades de superficie y el yacimiento. Sin embargo, no hay
manera de garantizar que este tipo de estrategias sean las mejores desde el punto de vista
económico, lo cual puede traducirse en desperdicio de recursos humanos y materiales. Además,
pueden presentarse algunos eventos perjudiciales como: (i) arenamiento del pozo (debido a
niveles de producción por encima de la tasa crítica de conificación), lo que conlleva a la
reducción de los niveles de producción, erosión de los equipos de completación y facilidades de
superficie, y (ii) alta relación agua-petróleo, lo que provoca una rápida declinación de la
productividad de los pozos, aumento de los costos de manejo del agua producida y mayor
dificultad para deshidratar el petróleo. Por lo anteriormente expuesto, la presente investigación
propone un enfoque predictivo-adaptativo para la optimización dinámica de procesos de
recuperación de petróleo por inyección de agua, que tiene pertinencia en la industria petrolera
nacional.
19 1.4 Delimitación de la investigación
La investigación se llevó a cabo en la Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Facultad de
Ingeniería de La Universidad del Zulia, ubicada en la Av. 16 con Calle 67, Maracaibo, Edo.
Zulia. El desarrollo de este proyecto de investigación tuvo un periodo de duración estimado de
seis (6) meses, desde julio 2013 hasta diciembre de 2013.
1.5 Viabilidad de la investigación
La viabilidad de este proyecto está garantizada debido a que:
- Se dispone de los recursos materiales necesarios. Estos recursos materiales incluyen el
software Matlab, el simulador Boast 3 y un computador.
- El Tutor tiene experiencia previa en los enfoques de optimización de control de procesos
no lineales, o lo que se demuestra por sus publicaciones en el área.
1.6 Estructura de trabajo especial de grado
El resto de la tesis está dividido en cuatro capítulos. El Capítulo II, corresponde al marco
teórico, que presenta (i) Revisión de la literatura asociada a los fundamentos de procesos de
recuperación secundaria de petróleo por inyección de agua, (ii) la identificación y actualización
continua, utilizando datos medidos de inyección/producción, de un modelo ARMAX basado en
redes neuronales (RN-ARMAX) del proceso de inyección de agua, (iii) la linealización óptima
local del modelo RN-ARMAX y construcción de un modelo Kalman MIMO, (iv) la aplicación de
un algoritmo de optimización para determinar las tasas de producción (deseadas) de los pozos
productores que maximicen el valor presente neto del proyecto final de un horizonte de
producción y (v) descripción de una estrategia de control predictiva-adaptativa para determinar
las tasas de inyección y alcanzar las tasas deseadas de producción.
El Capítulo III describe, de manera detallada, las fases del diseño y la implementación del
enfoque predictivo de la estrategia de optimización propuesta. El Capítulo IV incluye los
resultados obtenidos al aplicar la estrategia de optimización propuesta en un caso de estudio
sintético. Por último, el Capítulo V corresponde a las conclusiones y recomendaciones, donde se
incluyen posibles temas de investigación que surgen para continuar este trabajo.
20
CAPÍTULO II
MARCO TEÓRICO
2.1 Optimización de procesos de inyección de agua
La producción de petróleo involucra dos sistemas íntimamente relacionados: el yacimiento y
las estructuras artificiales, que incluyen el pozo y las facilidades de superficie. El yacimiento, que
se encuentra en el subsuelo, se caracteriza principalmente por:
- Su porosidad, que es una medida de la capacidad del yacimiento para almacenar fluidos
(petróleo, gas y agua).
- Su permeabilidad, que mide la facilidad con que los fluidos pueden desplazarse desde el
yacimiento hacia el fondo del pozo. El valor de la permeabilidad establece, en gran
medida, la tasa de inyección de un fluido que se puede mantener en un pozo de inyección,
para una presión determinada en la cara de la arena.
- Su saturación de petróleo, que es la fracción de petróleo en el volumen total de fluido
presente en el yacimiento. Observe que la suma de la saturación de petróleo, la saturación
de agua y la saturación de gas es uno. A medida que transcurre el proceso de recuperación
de petróleo, las saturaciones de petróleo y gas disminuyen, mientras que la saturación de
agua aumenta.
- Su presión, que se reduce progresivamente desde un valor inicial, a medida que se extrae
petróleo del yacimiento.
La porosidad y permeabilidad se consideran variables estáticas, mientras que la presión y las
saturaciones son variables dinámicas. La cantidad de petróleo presente en el yacimiento viene
dado por el producto entre la porosidad y la saturación de petróleo.
Por otro lado, el pozo constituye el camino que sigue el petróleo para llegar desde el
yacimiento a la superficie. Las facilidades de superficie involucran los procesos, equipos y
materiales requeridos en superficie para la inyección, recolección, separación y tratamiento de
fluidos, así como la caracterización y medición de cada una de las corrientes de fluidos
provenientes de los pozos productores, bien sea crudo, gas o agua.
21
El recorrido del petróleo hasta la superficie está formado por dos trayectos: desde el
yacimiento hasta el fondo del pozo, y desde el fondo del pozo hasta la superficie. En cada uno se
requiere que la presión en el punto de partida sea mayor que la presión en el punto destino.
Las operaciones de recuperación de petróleo se llevan a cabo en tres etapas: primaria,
secundaria y terciaria (París 2001). En la etapa primaria, la energía natural del yacimiento es
suficiente para llevar el petróleo hasta la superficie. Los mecanismos de recuperación primaria
utilizan alguna de las fuentes de energía natural del yacimiento para llevar el petróleo hasta la
superficie. Estos mecanismos incluyen el empuje por agua, el empuje por gas en solución, la
expansión de la roca y de los fluidos, el empuje por capa de gas y el drenaje por gravedad. El
lector interesado en una descripción de estos mecanismos, puede consultar París (2001).
Cuando la energía natural del yacimiento es capaz de transportar los fluidos hacia el fondo
del pozo, pero no es suficiente para levantarlos hasta la superficie, se utilizan métodos de
levantamiento artificial. Algunos de estos métodos son: levantamiento artificial por gas (LAG),
bombeo electrosumergible, bombeo mecánico, bombeo hidráulico, y bombeo por cavidad
progresiva.
Una vez que la energía natural del yacimiento no es capaz de producir los fluidos, se inicia la
etapa de recuperación secundaria, en la que se inyecta agua o gas, con el fin de mantener o
aumentar la presión y empujar el petróleo hacia los pozos productores. Por último, una vez que la
etapa secundaria no es rentable, se inicia la etapa terciaria en la que se utilizan gases miscibles,
química y/o energía térmica para desplazar petróleo adicional (París 2001).
En la mayoría de los casos, una vez que se decide iniciar un tratamiento de inyección de
agua, no se perforan nuevos pozos, sino que se convierten a pozos inyectores uno o más de los
pozos productores existentes. Por lo tanto, la configuración y ubicación de los pozos es rígida
hasta cierto punto y la clave para el éxito del tratamiento es establecer apropiadamente las tasas
de inyección de agua en los pozos inyectores, a lo largo del horizonte de producción.
El esquema más comúnmente utilizado en la optimización de procesos de inyección de agua
se describe a continuación:
22
1. Establecer la estructura del modelo sustituto de producción en base a relaciones físicas
conocidas. Para establecer esta estructura es necesario, determinar las variables de
entrada, salida y estado del modelo.
2. Expresar el índice de desempeño en función del modelo sustituto diseñado.
3. Obtener datos de las variables de entrada y salida provenientes del campo o de un
simulador de yacimientos.
4. Entrenar el modelo sustituto utilizando los datos disponibles.
5. Utilizar el modelo sustituto junto con un algoritmo de optimización apropiado para
obtener valores de tasa de inyección de agua que maximicen el índice de desempeño.
El procedimiento de optimización se dividió en dos etapas: en la primera etapa se utilizó un
algoritmo de optimización para obtener valores de las tasas de producción e inyección que
maximizaran el índice de desempeño en un horizonte de tiempo determinado, mientras que en la
segunda etapa se utilizaron los valores óptimos de las tasas como valores de referencia de un
controlador predictivo, para obtener valores de variables de control (presiones de fondo fluyente)
que permitieran alcanzar dichos valores óptimos.
El enfoque de la estrategia de optimización involucra los siguientes pasos: (i) identificación y
actualización del modelo, (ii) linealización del modelo, (iii) resolver el problema de optimización
planteado para determinar los valores deseados de producción y (iv) estrategia de control
predictivo para establecer tasas de inyección y alcanzar valores deseados de producción.
2.2 Modelos ARMAX basados en redes neuronales (RN-ARMAX)
2.2.1 Redes neuronales de propagación hacia adelante
Hecht-Nielsen (1990) define una Red Neuronal como una estructura de procesamiento
paralelo y distribuido de información, formada por elementos de procesamiento denominados
neuronas, unidades o nodos, que pueden poseer memoria local y que están interconectados a
través de canales unidireccionales denominados conexiones o pesos.
Las redes neuronales han sido utilizadas para resolver exitosamente tareas complejas como:
clasificación y reconocimientos de patrones y aproximación de funciones complejas. En esta
última se incluye la identificación de sistemas dinámicos no lineales.
23
Existen varios modelos de redes neuronales, entre los que pueden mencionarse la red
neuronal con funciones de activación de base radial y la red neuronal de propagación hacia
adelante. Estas dos redes son modelos paramétricos de regresión no lineal bastante flexibles,
cuyos parámetros pueden determinarse a partir de datos. Debido a su capacidad de aproximar
cualquier función no lineal con precisión arbitraria, (Cybenko, G. 1988), son apropiadas para
identificar sistemas dinámicos no lineales.
La red neuronal de propagación hacia adelante es el modelo que reporta mayor cantidad de
trabajos publicados, en aplicaciones de identificación de sistemas dinámicos no lineales
(Canelón, J. I., Shieh, L. S., Zhang, Y. y Akujuobi, C. M., 2009). En este trabajo se utilizaron
redes neuronales de propagación hacia adelante, para identificar modelos de la dinámica de un
yacimiento sometido a un proceso de recuperación secundaria por inyección de agua.
Una red neuronal de propagación hacia adelante está constituida por una capa de entrada, en
la que se coloca el vector de entrada a la red, una o varias capas ocultas y una capa de salida, en
la que aparece el vector de salida que produce la red. Las capas ocultas se ubican entre la capa de
entrada y la capa de salida. El flujo de la información en la red es unidireccional y se produce
desde la capa de entrada hasta la capa de salida.
Cybenko, G. (1988), demostró que una red neuronal artificial de una sola capa oculta con
función de activación sigmoidal (e.g. la tangente hiperbólica), es capaz de aproximar cualquier
función continua con precisión arbitraria, siempre que no exista restricción en el número de
nodos y la magnitud de los pesos. Por lo tanto, en este trabajo se utilizan redes neuronales de
propagación hacia adelante con una sola capa oculta.
La Figura 2 muestra una red neuronal de alimentación hacia adelante con un vector de
entrada de dimensión I, un vector de salida de dimensión O y una capa oculta de J nodos. Cada
nodo de una capa está conectado a todos los nodos de la capa siguiente, y cada conexión tiene
asociado un peso. El peso de la conexión entre la i-ésima unidad de entrada y la j-ésima unidad
oculta se denota como jiν , mientras que el peso de la conexión entre la j-ésima unidad oculta y la
o-ésima unidad de salida se denota como ojw . Además, cada unidad de la red tiene un umbral que
se denota como el peso 0jv para la j-ésima unidad oculta, y el peso 0ow para la o-ésima unidad de
salida; estos pesos están conectados a entradas cuyo valor se mantiene igual a 1.
24 Figura 2. Representación de una red neuronal de alimentación hacia adelante con I unidades en
la capa entrada, J unidades en la capa oculta y O unidades en la capa de salida.
Dado el vector de la entrada
[ ]TIδδδδ ,...,, 21= (2.1)
la respuesta de la j-ésima unidad oculta está dada por
( )δρ)T
jh vh = j = 1,…,J (2.2)
donde 0 1 2, , ,...,T
j j j j jIv v v v v⎡ ⎤= ⎣ ⎦ es el vector de los pesos que conectan dicha unidad oculta con las
unidades de entrada, mientras que la respuesta de la o-ésima unidad de salida está dada por:
OT wh=0ζ o = 1,…,0 (2.3)
donde [ ]1 21, , ,..., T
Jh h h h= y [ ]0 0 1 2 3, , , ..., To o o o oJw w w w w w= es el vector de pesos de la o-ésima
unidad de salida donde 0ow es el umbral de esa unidad, y oJw el peso que conecta la j-ésima
unidad oculta con la o-ésima unidad de salida.
La función de transferencia de la red neuronal hacia adelante está dada por las ecuaciones:
( )δρ)
Vh h= (2.4)
( )hWo
)ρζ = (2.5)
donde:
1δ
2δ
Iδ
1ζ
2ζ
Oζ
1ν
2ν
Jν
1w
2w
Jw
0 1δ =0 1h =
1h
2h
JhM M
25
10 1
0
I
j jI
v vV
v v
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
L
M O M
L
(2.6)
es la matriz que agrupa los pesos entre la capa de entrada y la capa oculta,
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
OJO
J
ww
wwW
L
MOM
L
0
110
(2.7)
es la matriz que agrupa los pesos ente la capa oculta y la capa de salida,
[ ] [ ]TIT δδδδδ ,...,,,1,1 21==
) (2.8)
y
[ ] [ ]TJT hhhhh ,...,,,1,1 21==
) (2.9)
son vectores que se obtienen aumentando δ y h , respectivamente (se agrega un 1 como elemento
inicial, que corresponde a la entrada conectada al umbral), hρ y oρ son las funciones de
activación de las unidades de la capa oculta y de salida, respectivamente. En este trabajo se
utilizó )tanh()( γγρ =h y σσρ =)(o .
Los pesos son los parámetros de la red que deben ajustarse para que la misma tenga el
comportamiento deseado. El algoritmo que se utiliza para ajustar los pesos se conoce como
algoritmo de entrenamiento.
En el caso de aplicaciones de identificación de sistemas dinámicos no lineales, se busca
ajustar los pesos para que la red “capture” la dinámica del sistema a partir de un conjunto de
datos de entrada-salida. En este trabajo se utilizó el algoritmo secuencial en línea de aprendizaje
extremo de máquina (on-line sequential extreme learning machine, OS-ELM por sus siglas en
inglés) para el entrenamiento de la red. Este algoritmo se caracteriza por su rápida convergencia,
debido a que los pesos entre la capa de entrada y la capa oculta se seleccionan aleatoriamente y
los pesos entre la capa oculta y la capa de salida pueden determinarse utilizando mínimos
cuadrados lineales.
26
El algoritmo OS-ELM fue desarrollado por Liang y sus colaboradores (2006), como una
versión recursiva del algoritmo de aprendizaje extremo de máquina (extreme learning machine,
ELM por sus siglas en inglés) desarrollando por Huang y compañía (2006). A continuación se
presenta una descripción de estos algoritmos (Canelón, J. I., Shieh, L. S., Zhang, Y. y Akujuobi,
C. M., 2009).
Consideremos una red neuronal de alimentación hacia adelante con I unidades de entrada,
una capa oculta de J unidades y O unidades de salida. El número de entradas I a la red neuronal
es 2n, donde n es el número de valores anteriores de la salida y de la entrada que se incorporan en
el modelo NN-ARMAX y se le define como orden del modelo. Según los vectores δ y δ)
definidos en las ecuaciones 2.1 y 2.8, respectivamente, la respuesta de la j-ésima unidad oculta
está dada por:
( )δρ
)Tjh vh = j = 1,…,J (2.10)
donde 0 1 2, , ,...,
T
j j j j jIv v v v v⎡ ⎤= ⎣ ⎦ mientras que la respuesta de la o-ésima unidad de salida está dada
por:
OT wh=0ζ o = 1,…,0 (2.11)
donde [ ]1 21, , ,..., T
Jh h h h= y [ ]0 0 1 2 3, , , ..., To o o o oJw w w w w w= es el vector de pesos de la o-ésima
unidad de salida donde 0ow es el umbral de esa unidad, y oJw el peso que conecta la j-ésima
unidad oculta con la o-ésima unidad de salida.
El algoritmo de aprendizaje extremo ELM supone que se dispone de S datos de entrada-
salida ( , )( 1,..., )S S s Sδ ζ = , donde Sδ es el vector de entrada de dimensión I x 1 y Sζ es el vector de
salida de dimensión O x 1. Típicamente S > J.
En la etapa inicial del entrenamiento se asignan valores aleatorios a los pesos que conectan la
capa de entrada y la capa oculta. Entonces se calculan las respuestas de las J unidades ocultas a
los S datos de acuerdo con la ecuación (2.10), y se construye la matriz.
27
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
SJS
J
hh
hhH
L
MOM
L
1
111
(2.12)
donde el primer y el segundo subíndice se refieren al número de muestra del conjunto de datos y
a la unidad oculta, respectivamente.
El vector de salida (respuesta), que se calcula aplicando (2.11) para cada uno de los datos de
entrenamiento, viene dado por:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
SO
O
O
SJS
J
SO
O
O
hh
hh
ς
ςς
ς
ςς
ML
MOM
L
M2
1
1
1112
1
(2.13)
que puede expresarse de forma equivalente como:
OHw=0ζ)
(2.14) donde [ ]020100 ,...,, Sζζζζ
))))= .
Para la o-ésima salida de la red, se busca el vector de pesos ow que minimice la función del error.
( ) ( )00000 ζζζζ
))−−=
TE (2.15)
donde 0 10 20 0, ,..., Sζ ζ ζ ζ⎡ ⎤= ⎣ ⎦
) ) ) ). Entonces ow que ser calculado, de acuerdo al método de mínimos
cuadrados, como:
( ) 01
0 ζTT HHHw −= o = 1,…,0 (2.16)
Ahora, ELM es un algoritmo fuera de línea, es decir, supone que todos los datos de
entrenamiento están disponibles al momento de entrenar la red. Liang y sus colaboradores (2006)
utilizaron el método recursivo de mínimos cuadrados para desarrollar el algoritmo de aprendizaje
OS-ELM. Este algoritmo, que es la versión en línea del ELM, se utiliza cuando los datos para
entrenar la red llegan en grupos sucesivos.
Después de haber seleccionado el número J de unidades ocultas, OS-ELM involucra dos fases:
28
1. Inicialización
El grupo inicial de S0 datos de entrenamiento se usa para inicializar el aprendizaje, de acuerdo
al siguiente procedimiento:
- Se asignan valores aleatorios a los pesos que conectan las unidades de entrada con las
unidades ocultas.
- Se calcula la matriz H(0) , dimensión S0 x J, utilizando (2.10) y (2.12).
- Para la o-ésima unidad de salida, se calcula el vector inicial de pesos como:
( ) ( ) ( ) ( )0000 00 ζTHPw = (2.17)
donde:
( ) ( ) ( )[ ] 10 000 −
= HHP T (2.18)
y ( )00ζ se calcula aplicando (2.17) al grupo inicial de datos.
- Se hace k = 1.
2. Aprendizaje Secuencial
- Se toma el k-ésimo grupo de Sk datos de entrenamiento.
- Se calcula la matriz, H(k) datos de dimensión Sk x J.
- Para cada unidad de salida, se utiliza el método de mínimos cuadrados para actualizar el
vector de pesos que conecta esa unidad y todas las unidades ocultas. En este trabajo se
utilizó el algoritmo extendido de mínimos cuadrados, Ljung, L. (1999) (también llamado
método de máxima verosimilitud), según el cual el vector de pesos se actualiza de acuerdo
a la ecuación:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ]11
11 0000 −−×−+
−+−= kwkHk
kHkPkHkkHkPkwkw T
T
ζλ
(2.19)
donde,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+
−−+−×=
kHkPkHkkPkHkHkPkP
kkP T
T
11111
λλ (2.20)
y ( )kλ es un factor de olvido dado por la ecuación en diferencias:
29
( ) ( ) ( )λλλλ −+−= 110 0 k (2.21)
con ( ) 100 << λ , y el factor de actualización 0λ en el intervalo de (0,1). Este determina la rapidez
con la que el factor de olvido alcanza el valor de 1, a partir de su valor inicial.
El factor de olvido da mayor importancia a los datos recientes, lo cual produce mejores
resultados de entrenamiento, en sistemas cuya dinámica varía con el tiempo. Además, el
algoritmo extendido de mínimos cuadrados, es más eficiente desde el punto de vista
computacional, ya que el cálculo de P(k) no requiere inversión de matrices.
- Se hace K = K + 1.
Antes de entrenar la red neuronal se normalizan linealmente los datos de entrada-salida de
acuerdo a la fórmula:
máx
mín
θθθ −
+−=Θ 21 (2.22)
donde Θ y θ representan los valores original y normalizado, respectivamente, mientras que
mínΘ y máxθ son los valores mínimos y máximos, respectivamente de los datos. La normalización
se aplica a todos los componentes del vector de datos, considerando mínΘ y máxθ correspondiente
a cada componente. Entonces, los elementos del vector de datos normalizados quedan contenidos
en el intervalo [-1,1].
A partir de la ecuación (2.22) se obtienen las funciones de normalización y desnormalización
( )mínmáx
mínmáx
mínmáx
norθθθθ
θθθ
−+
−Θ−
=Θ=2 (2.23)
( )22
mínmáxmínmáxdnorθθθθ
θ+
−Θ−
=Θ= (2.24)
Si se considera la función de normalización, el vector aumentado de entrada puede
expresarse como:
( ) ( ) ( )[ ]IInornornor ΔΔΔ= ,...,,,1 2211δ)
(2.29)
30 donde iΔ y inor representan el valor original y la función de normalización correspondiente a la
i-ésima entrada, respectivamente. Por otra parte el valor denormalizado de la o-ésima salida de la
red está dado por:
( )00 whdnorZ T=)
o = 1,…,0 (2.26)
2.2.2 Modelos ARMAX basados en redes neuronales de propagación hacia adelante
Considere un sistema de una entrada y una salida (SISO). Su modelo RN-ARMAX tiene la
forma
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 ,..., 1 , ,..., 1 ,e , , e 1y k F y k y k n u k u k n k k n+ = − + − + − +⎡ ⎤⎣ ⎦)
K (2.27)
donde ( )ky representa el vector de salida medido, ( )ku es el vector de entrada, y ( )e k es el
vector de error de innovación, todos en el instante k, F representa el modelo de la red neuronal
actualizado utilizando S vectores de datos, ( )1+ky) es el estimado de ( )1y k + y n es el número
de valores anteriores de la salida, la entrada y el error de innovación que se consideran en el
modelo.
Después de escoger el número J de unidades ocultas, la red se entrena utilizando el algoritmo
OS-ELM descrito anteriormente.
Al finalizar el entrenamiento utilizando S datos, el modelo no lineal RN-ARMAX se
linealiza localmente en el último vector de datos.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),..., 1 , ,..., 1 ,e , ,e 1y S y S n u S u S n S S n− + − + − +⎡ ⎤⎣ ⎦K (2.28)
y se obtiene un modelo lineal ARMAX de la forma: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 1 1 1n n ny k A y k A y k n B u k B u k n D e k D e k n+ = − − − − + + + + − + + + + − +)
L L L
(2.29)
2.2.3 Modelos espacio-estado de innovación de Kalman para sistemas MIMO
El filtro de Kalman es un observador que se utiliza cuando se requiere reconstruir el estado
de un sistema, a partir de mediciones con ruido. En las aplicaciones reales, donde existen
imprecisiones en los modelos, perturbaciones y ruido, el filtro de kalman permite reducir la
31 incertidumbre debido a estos factores y mejorar la estimación del estado del sistema.
Consideremos un sistema MIMO lineal con r salidas y p entradas, con modelo ARMAX
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 1 1n n r ry k A y k A y k n B u k B u k n I e k D e k×= − − − − − + − + + − + + − + +L L L
( )nD e k n+ − , (2.30)
donde ( ) 1ry k ×∈R es el vector de salida, ( ) 1pu k ×∈R es el vector de entrada, ( ) 1re k ×∈R es el vector error de innovación, n es el número de valores anteriores de salidas, entradas y de errores, y iA , iB y ( )1, ,iD i n= K son matrices de dimensión r r× , r p× y r r× , respectivamente.
El modelo de Kalman de innovación del sistema MIMO en la forma canónica observable por
bloques, está dado por
( ) ( ) ( ) ( )1 m m m mx k A x k B u k K e k+ = + + (2.31)
( ) ( )m my k C x k= (2.32)
donde ( ) 1m
mx x ×∈R , ( ) 1pu x ×∈R , ( ) 1re x ×∈R y ( ) 1ry x ×∈R son los vectores de estado, entrada,
error y salida, respectivamente, en el instante k
1
2
0 00 0
0 0 0
r r r
r r r m m
n r r r
A IA I
A
A
×
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥= ∈⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
L
L
M M M O M
L
R r,
1
2 m p
n
BB
B
B
×
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ∈⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
MR r,
1 1
2 2 m rm
n n
D AD A
K
D A
×
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥= ∈⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
MR r
0 0 r m
m p p pC I ×⎡ ⎤= ∈⎣ ⎦L R r
(2.33) con r r
rI ×∈R la matriz identidad y 0 r rr
×∈R una matriz de ceros. A mK se le conoce como
ganancia de Kalman.
En la implementación del filtro, ( )u k es la entrada de control en el késimo instante de
tiempo y
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ m me k y k y k y k C x k= − = − (2.34)
32 2.3 Linealización óptima de un modelo basado en una red neuronal de propagación hacia adelante
En el esquema de control propuesto, el diseño de la estrategia de control se realiza en base a
una versión lineal, localmente equivalente, al modelo no lineal basado en la red neuronal de
propagación hacia adelante.
Este modelo no lineal, puede expresarse en forma general como:
( )Δ= 00 fZ)
(2.35)
donde [ ]TJΔΔΔ=Δ ,...,, 21 es el vector de entrada y 0 : If →R R es la función vectorial no lineal
correspondiente a la o-ésima salida de la red. Dado un punto de operación Δ=Δ , se desea
encontrar un modelo lineal de la forma
0TZ F= Δ
) (2.36)
donde [ ]TJF φφφ ,...,, 21= , que sea localmente equivalente a (2.35) alrededor de Δ . En este
trabajo se utiliza el enfoque de linealización óptima, propuesto por Teixeira y Zak (2009) para
determinar este modelo lineal.
De acuerdo a este enfoque, en el punto de operación Δ debe satisfacerse que
( ) Δ=Δ TFf 0 (2.37)
mientras que en la vecindad de dicho punto de operación debe satisfacerse que
( ) Δ≈Δ TFf 0 (2.38)
donde Δ representa un punto en la vecindad de Δ . Se puede demostrar que TF puede calcularse
minimizando la función objetivo aumentada (Canelón, J. I., Shieh, L. S., Zhang, Y. y Akujuobi,
C. M. 2009)
( ) ( )[ ]Δ−Δ+−Δ∇=Γ ΔTT
a FfFf 0
2
2021 λ (2.39)
donde λ es un multiplicador de Lagrange. Si se hacen igual a cero los gradientes de aΓ respecto
a TF y λ , y se elimina λ de las ecuaciones resultantes, se obtiene que
( ) ( ) ( ) TT
T fffF
TΔ
ΔΔ
ΔΔ∇−Δ+Δ∇= Δ
Δ00
0 (2.40)
donde
33
( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ∂Δ∂
Δ∂Δ∂
Δ∂Δ∂
=Δ∇Δ
I
ffffT
0
2
0
1
00 K (2.41)
donde, de acuerdo a ( )Δ0f dada por (2.10) y (2.26),
( ) ( ) ( )⎭⎬⎫⋅⋅
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡×=
Δ∂∂ ∑ =
=
θθ
γρθθ
norddv
dydwdnor
ddf
jiJ
jyy
ji
1 00
)
(2.42)
con
( )∑ =Δ⋅=
J
i iiij norv1
γ (2.43)
y, a partir de (2.23) y (2.24),
( )ii mínmáx
nordd
θθθ
θ −=
2 (2.44)
( )OO mínmáx
nordd
θθθ
θ −=
2 (2.45)
donde
imáxθ y imínθ representan los límites superior e inferior de la i-ésima entrada, mientras que
Omáxθ y Omínθ representan los límites superior e inferior correspondientes a o-ésima salida. La
selección de estos límites no es un aspecto crítico para el desempeño de la estrategia, pero, debe
garantizarse que los valores se mantengan dentro de sus límites correspondientes.
2.4 Algoritmos de optimización
Un problema de optimización consiste en maximizar o minimizar una función real por la
elección sistemática de los valores de entrada desde el interior de un conjunto permitido y
calculando el valor de la función. En general, la optimización incluye la búsqueda de valores
óptimos de alguna función objetivo dado un dominio definido o restricciones conocidas,
incluyendo una variedad de tipos de funciones objetivos y diferentes tipos de dominios.
La formulación estándar de los problemas de optimización está dada por una función
( )ni xxxz ,,, 2 K
encontrar las variables ni xxx ,,, 2 K tal que z es maximizada (o minimizada)
donde los valores de las variables satisfagan un conjunto de restricciones
34
( )minmax ( )ni xxxz ,,, 2 K
Sujeto a ( ) ,,,, 2 inii bxxxg ≤K para mi ,,2,1 K=
(2.46)
La función z es llamada función objetivo, las restricciones están dadas por ig , y
ni xxx ,,, 2 K son denominadas variables de diseño o variables de control.
Existen diferentes tipos de problemas de optimización: (i) lineales y (ii) no lineales. Para la
optimización lineal se utiliza normalmente el método simplex, que se refiere a un conjunto de
métodos muy usados para resolver problemas de programación lineal, en los cuales se busca el
máximo de una función lineal sobre un conjunto de variables que satisfaga un conjunto de
inecuaciones lineales. En el caso de optimización de una función no lineal sujeta a restricciones
de igualdad y desigualdad no lineal existen varios métodos disponibles. El método de punto
interior se ajusta a problemas de optimización con restricciones de gran escala, programación no
lineal, método primal, iteración SQP y el método de región de confianza, y es el seleccionado en
esta investigación para calcular las tasas de inyección necesarias que maximicen el índice de
desempeño.
2.4.1 Métodos del punto interior
Los métodos de punto interior (también conocidos como métodos de barrera) son un grupo
de algoritmos para resolver problemas de optimización convexa lineal y no lineal, basados en
buscar puntos solución en el interior del espacio de soluciones posibles.
2.4.2 Descripción del algoritmo de punto interior utilizado
Consideremos el problema de optimización no lineal con restricciones
Minimizar ( )f x sujeto a ( ) 0h x = y ( ) 0≤xg , nRx∈ , ( ) mRxg ∈ (2.47)
Para cada escalar 0μ> , el problema es aproximado a
( ) ( ) ( ), ,
min , min ln ix s x s if x s f x sμ μ μ= − ∑ , sujeto a ( ) 0h x = y ( ) 0g x s+ = (2.48)
Hay muchas variables de holgura is , ya que hay restricciones de desigualdad g. El valor de
is se limita a ser positivo para mantener la expresión ( )ln is acotada. Cuando μ disminuye a cero,
35 el mínimo de fμ debe acercarse al mínimo de f . El término logarítmico añadido se llama una
función de barrera (Byrd, Gilbert y Nocedal 1996).
Para resolver el problema de la ecuación (2.48), el algoritmo utiliza uno de los dos
principales tipos de pasos en cada iteración:
a) Paso directo en ( ),x s . Este paso intenta resolver las ecuaciones KKT (Karush-Kuhn-Tucker)
(Byrd, Gilbert y Nocedal 1996), la ecuación para el problema aproximado a través de una
aproximación lineal. Esto también se llama un paso Newton.
La ecuación que define el paso directo en ( ),x sΔ Δ :
00 0
0 00
T T T Th g h g
h
g
H J J x f J y JS S s S e
J I y hJ S I g s
λλ μ
λ
⎡ ⎤ Δ ⎡ ⎤∇ − −⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥Λ − Δ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− −Δ +⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
(2.49)
donde H se limita denota el Hessiano del Lagrange de fμ , gJ es el Jacobiano de la función de
restricción g, hJ es el Jacobiano de la función de restricción h, ( )S diag s= , λ denota el vector
multiplicador de Lagrange asociado con limitaciones de g, ( )diag λΛ= , y denota el vector
multiplicador de Lagrange asociado con h, finalmente e se refiere al vector identidad del mismo
tamaño que g. Por otra parte, H se calcula a partir de
( ) ( ) ( )2 2 2i i j j
i jH f x g x h xλ λ= ∇ + ∇ + ∇∑ ∑
(2.50)
La ecuación (2.53) viene directamente de intentar resolver las ecuaciones de KKT usando una
función de Lagrange linealizado. Este es el paso más costoso computacionalmente, ya que
como resultado de una factorización, determinar si el Hessiano proyectado es definido
positivo o no, el algoritmo utiliza el paso de gradiente conjugado.
b) Paso CG (gradiente conjugado), utilizando una región de confianza.
De forma predeterminada, el primer algoritmo primero dar un paso directo. Si no puede, se
intenta un paso CG. En el caso que no hace falta hacer un paso directo es cuando el problema
36 aproximado no es localmente convexo cerca de la iteración actual.
En cada iteración el algoritmo disminuye una función de mérito, tal como
( ) ( ) ( )( ), ,f x s v h x g x sμ + +
(2.51)
El parámetro v puede aumentar con el número de iteración con el fin de forzar a la solución hacia
la viabilidad. Si un intento de paso no disminuye la función de mérito, el algoritmo rechaza el
intento de paso e intenta un nuevo paso. Si cualquiera de las funciones bien sea la función
objetivo o una función de restricción no lineal devuelve un valor complejo, NaN, Inf, o un error
al iterar xj, el algoritmo rechaza xj. El rechazo tiene el mismo efecto que si la función de mérito
no disminuyó suficientemente: el algoritmo intenta entonces un paso diferente, más corto.
El enfoque de gradiente conjugado para resolver el problema aproximado de la ecuación (2.48).
En este caso, el algoritmo se ajusta tanto x como s , manteniendo holguras positivas. El enfoque
consiste en minimizar una aproximación cuadrática para el problema aproximado en una región
de confianza, sujeto a las restricciones linealizadas.
A partir de R, que denota el radio de la región de la confianza, y dejando otras variables definidas
como en el paso directo, el algoritmo obtiene los multiplicadores de Lagrange mediante la
resolución de las ecuaciones de KKT
( ) ( ) ( ) 0x x i i j j
i jL f x g x y h xλ∇ = ∇ + ∇ + ∇ =∑ ∑ ,
(2.52)
en el sentido de mínimos cuadrados, sujeto a que λ es positivo. Luego, se da un paso
( ),x sΔ Δ para resolver aproximadamente
2 1 1
,
1 1min2 2
T T T Txxx s
f x x L x e S s x S sμ − −
Δ Δ∇ Δ + Δ ∇ Δ + Δ + Δ ΛΔ
(2.53)
sujeto a las restricciones linealizadas
( ) 0gg x J x s+ Δ + Δ = , ( ) 0hh x J x+ Δ =
(2.54)
37 Para resolver la ecuación (2.54), el algoritmo intenta minimizar una condición de las limitaciones
linealizadas dentro de una región con un radio de escalado por R. Entonces, la ecuación (2.53) se
resuelve con las limitaciones para que coincida con la expresión residual de la solución de la
ecuación (2.54), permaneciendo dentro de la región de confianza de radio R, y s se mantiene
estrictamente positivo.
2.5 Estrategia de control predictivo basada en modelos ARMAX a partir de una red neuronal
En este trabajo se utiliza una estrategia basada en modelos de control predictivo para el
control de la producción de petróleo en procesos de inyección de agua.
En cada período de muestreo la estrategia de control basada en redes neuronales involucra
los siguientes pasos:
- Identificación y actualización continua de un modelo discreto ARMAX basado en una red
neuronal (RN-ARMAX), del yacimiento sometido a un proceso de inyección de agua para
no pozos productores y ni pozos inyectores, las entradas y salidas son:
( ) ( ) ( )1T
noy k y k y k= ⎡ ⎤⎣ ⎦L producción medida, (2.55)
( ) ( ) ( )1T
niu k u k u k= ⎡ ⎤⎣ ⎦L inyección, (2.56)
( ) ( ) ( )1T
noe k e k e k= ⎡ ⎤⎣ ⎦L error de innovación. (2.57) En la Figura 3, se ilustra la estructura de la red neuronal mencionada anteriormente para
la estimación de las salidas de un sistema MIMO de un proceso de recuperación de
petróleo por inyección de agua.
- Linealización de cada modelo RN-ARMAX en el punto actual de operación.
Dado un punto de operación Δ = Δ se desea obtener un modelo lineal ARMAX de la
forma
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1ˆ 1 1 B B u 1k k k kn ny k A y k A y k n u k k n+ = − − − − + + + + − + +L L
( ) ( ) ( ) ( )1 e 1k knD k D e k n+ + + − +L (2.58)
que sea localmente equivalente al modelo de la red
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ 1 , , 1 , , , u 1 , e , , 1kTy k F y k y k n u k k n k e k n+ = − + − + − +⎡ ⎤⎣ ⎦L L L
(2.59)
en el punto de operación a Δ .
38
- Construcción del modelo MIMO Kalman lineal
A partir de la ecuación (2.59) se construye la estructura del modelo MIMO Kalman lineal
que se indica en la Figura 3.
Figura 3. Estructura RN-ARMAX de un sistema MIMO de un proceso de recuperación de petróleo por inyección de agua.
- Cálculo e implementación de la ley de control de modelo predictivo utilizando el estado
estimado de la salida.
( )2 21
1 1
ˆmincP NN
k j k j ku j jQ y r R u+ + +Δ
= =
⎡ ⎤− + Δ⎢ ⎥
⎣ ⎦∑ ∑
(2.60)
En la Figura 4, se muestra un ejemplo de la Planificación diaria con la implementación de
esta Ley de control.
- Implantación de las tasas de inyección
Para el caso multivariable la función objetivo queda
( ) ( )T Ts sJ R Y Q R Y u R u= − − + Δ Δ (2.61)
El caso lineal tiene solución cerrada
M
( )
( )
( )
( )( )
( )
( )
( )( )
( )
( )
( )
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
n o
n o
n i
n i
n o
n o
y k
y k
y k n
y k nu k
u k
u k n
u k ne k
e k
e k n
e k n
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
M
M
M
M
M
M
M
M
M
Entrada a las Redes
Neuronales
Red Neuronal del Pozo
Productor 1
Red Neuronal del Pozo Productor
no
( )1y k
( )ˆ n oy k
39
( ) ( )1T Tsu Q R Q R Fx k
−Δ = Φ Φ + Φ −⎡ ⎤⎣ ⎦
(2.62)
( ) ( )1u k u k u= − + Δ (2.63)
Figura 4. Planificación diaria con la implementación de la ley de control predictivo utilizando el estado estimado de la salida.
2.5.1 Control MPC para sistemas MIMO
Ahora, consideremos un sistema de orden n, con p entradas y r salidas. Se supone que r p≤ ,
ya que de lo contrario no podemos esperar controlar cada una de las salidas de manera
independiente, con cero error en estado estacionario.
Consideremos de nuevo el modelo espacio-estado de innovación de Kalman de las
ecuaciones (2.31) y (2.32), donde ( ) 1pu k ×∈R es el vector de entrada, ( ) 1ry k ×∈R es el vector de
salida, ( ) 1ry k ×∈R es el vector de estado y ( ) 1re k ×∈R es el vector de error, todos en el instante de
tiempo k, y mA , mB , mC y mK son matrices de dimensión n n× , n p× , r n× y n r× ,
respectivamente.
Una vez identificado el modelo, se supone que ( )e k es una secuencia de ruido blanco de
media cero. A partir de la ecuación (2.31) se obtiene
pk N+
Pasado Futuro
PNCN
1k + 2k +k
( )y k
( )y k
( )Pu k N+
Referencia
40
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1m m m m mx k x k A x k x k B u k u k K e k e k+ − = − − + − − + − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (2.64)
Si definimos,
( ) ( ) ( )1m m mx k x k x kΔ = − − (2.65)
( ) ( ) ( )1u k u k u kΔ = − − (2.66)
( ) ( ) ( )1e k e k e kΔ = − − (2.67) la ecuación (2.64) puede reescribirse como,
( ) ( ) ( ) ( )1 m m m mx k A x k B u k K e kΔ + = Δ + Δ + Δ . (2.68)
Por otro lado, a partir de la ecuación (2.32) se tiene que
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1m m m my k y k C x k x k C x k+ − = + − = Δ +⎡ ⎤⎣ ⎦ .
(2.69) Sustituyendo (2.68) en (2.69) y despejando ( )1y k + se obtiene
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1m m m m m m my k C A x k C B u k C K e k y k+ = Δ + + Δ + Δ + . (2.70) Si definimos el estado aumentado
( ) ( ) ( ) TTmx k x k y k⎡ ⎤= Δ⎣ ⎦ ,
(2.71) de dimensión ( ) 1n r+ × , se obtiene el modelo espacio-estado aumentado
( )( )
( )( ) ( ) ( )
1 01
Tm m m mm m
m m m mm m r
x k x k B KAu k e k
y k y k C B C KC A IΔ + Δ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= + Δ + Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (2.72)
( ) [ ] ( )( )
1 0 1 mm
x ky k
y kΔ⎡ ⎤
+ = ⎢ ⎥⎣ ⎦
(2.73)
( ) ( )( )
11
1mx k
x ky k
Δ +⎡ ⎤+ = ⎢ ⎥+⎣ ⎦
, 01
Tm m
m m
AA
C A⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
, ( ) ( )( )mx k
x ky k
Δ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
, m
m m
BB
C B⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
m
m m
KK
C K⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
, [ ]0m rC I= (2.74)
41 donde rI es la matriz identidad de dimensión r r× , donde r es el número de salidas, y 0m es una matriz cero de dimensión r n× .
El modelo espacio-estado dado por (2.72) y (2.73) puede reescribirse como
( ) ( ) ( ) ( )1x k Ax k B u k K e k+ = + Δ + Δ (2.75)
( ) ( )m my k C x k= (2.76)
La ecuación característica del modelo espacio-estado aumentado es
( ) ( )01 0
1
Trn n m m
r rm m r r
zI AzI A z zI A
C A z I×
××
⎡ ⎤−− = = − − =⎢ ⎥− −⎣ ⎦
(2.77)
ya que el determinante de una matriz triangular inferior es el producto de los determinantes de las
matrices en la diagonal principal. Por lo tanto, los valores propios del modelo aumentado son los
valores propios del modelo de la planta y los r valores propios en z = 1. Esto indica que se han
incorporado r integradores en el modelo aumentado, y de esta manera se obtiene la acción
integral en el esquema MPC.
Considerando que el diseño de la estrategia de control MPC se hace utilizando el modelo
aumentado, se requiere que este modelo sea:
(i) controlable, para poder alcanzar el desempeño deseado a lazo cerrado,
(ii) observable, para poder diseñar un observador en caso que así se requiera.
En el esquema MPC se desea calcular el vector
( ) ( ) ( ) 11 1 cT pN
pU u k u k u k N ×⎡ ⎤Δ = Δ Δ + Δ + − ∈⎣ ⎦L R
(2.78)
que contiene cN valores futuros de la señal de control, de manera que se minimice la diferencia
entre el valor de referencia y el valor estimado de la variable de salida, a lo largo de un horizonte
de predicción de pN muestras.
Para resolver el problema de optimización es necesario pronosticar, a partir del estado actual
( )x k , pN estados futuros
( ) ( ) ( ) ( )1 , 2 , , , , px k k x k k x k m k x k N k+ + + +K K
(2.79)
42 donde ( )x k m k+ denota el pronóstico del estado en k m+ , dada la información del estado actual
( )x k .
Utilizando recursivamente la ecuación (2.75), los Np estados futuros, vienen dados por:
( ) ( ) ( ) ( )1x k k Ax k B u k K e k+ = + Δ + Δ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 1 1 1x k k Ax k k B u k A x k AB u k AK e k B u k+ = + + Δ + = + Δ + Δ + Δ + M ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1p p p p cN N N N N
p cx k N k A x k A B u k A B u k A B u k N− − −+ = + Δ + Δ + + + Δ + − +L
( ) ( ) ( )1 2 1 1p p p cN N N NcA K e k A K e k k A K e k N k− − −+ Δ + Δ + + + Δ + −L
(2.80) Considerando que ( )e k es una secuencia de ruido blanco de media cero, sus valores futuros
( )e k i k+ son cero, siendo el ruido una variable aleatoria, los valores futuros de los estados y las
salidas son sus valores esperados.
En consecuencia, los pN valores futuros de la salida son
( ) ( ) ( )1y k k CAx k CB u k+ = + Δ
( ) ( ) ( ) ( )22 1y k k CA x k CAB u k CB u k+ = + Δ + Δ +
M ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1p p p p cN N N N N
p cy k N k CA x k CA B u k CA B u k CA B u k N− − −+ = + Δ + Δ + + + Δ + −L
(2.81)
Estos valores futuros de salida pueden expresarse en forma matricial compacta como
( )Y Fx k Uφ= + Δ (2.82)
donde
( ) ( ) ( ) 11 2 pT rNT T T
pY y k k y k k y k N k ×⎡ ⎤= + + + ∈⎣ ⎦L R
(2.83)
( )p
p
rN n r
N
CCA
F
CA
× +
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ∈⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
MR ,
1 2
0 00
p c
p p p c
rN pN
N N N N
CBCAB CB
CA B CA B CA B
φ ×
− − −
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ∈⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
L
L
M M O M
L
R
(2.84)
43 Puede demostrarse que UΔ está dado por (2.78)
( ) ( ) ( ) 11 1 cT pN
pU u k u k u k N ×⎡ ⎤Δ = Δ Δ + Δ + − ∈⎣ ⎦L R
Como se mencionó anteriormente, dado un valor de referencia ( )ir k , se desea calcular CN
valores futuros de la señal de control de manera que se minimice la diferencia entre dicho valor
de referencia y el valor medido de la variable controlada a lo largo de un horizonte de predicción
PN muestras.
Si se supone que ( )ir k se mantiene constante a lo largo de la ventana de optimización, la
función objetivo a minimizar puede expresarse como:
( ) ( ) URUYRYRJ T
ST
S ΔΔ+−−= (2.85)
donde TSR es el vector:
[ ] ( ) ( )iSiN
TS krRkrR
P== ×1111 L (2.86)
y R es la matriz diagonal,
CC NNwS IrR ×= (2.87)
donde wr es una constante. El primer término en (2.85) está relacionado con el objetivo de
minimizar el error entre el valor de referencia y el valor estimado de la salida, mientras que el
segundo término se agrega con el propósito de reducir la magnitud de la señal de control UΔ . El
valor wr establece la importancia relativa que tiene cada uno de estos términos en el diseño de la
estrategia de control predictivo: si 1<wr se le da mayor importancia al primer término.
Puede demostrarse (Wang, L. 2009) que la señal de control que minimiza J, está dada por:
( ) ( )( )iS
TT kFxRRU −+=Δ−φφφ
1 (2.88)
que puede reescribirse como:
( ) ( ) ( )( )iiSTT kFxkrRRU −+=Δ
−φφφ
1 (2.89)
44
( ) ( )1T TsU R R Fx kφ φ φ
−Δ = + −⎡ ⎤⎣ ⎦
(2.90) Si el estado ( )x k no se mide, UΔ se calcula como
( ) ( )1ˆT T
sU R R Fx kφ φ φ−
Δ = + −⎡ ⎤⎣ ⎦ (2.91)
donde ( )x k es el estado estimado por un filtro de Kalman.
Una vez generado el vector UΔ , se implementa en el modelo del yacimiento el primer
elemento de dicho vector.
45
CAPÍTULO III
DISEÑO E IMPLEMENTACIÓN DEL ENFOQUE PREDICTIVO-ADAPTATIVO PARA
LA OPTIMIZACIÓN
3.1 Introducción
El enfoque predictivo-adaptativo propuesto para la optimización dinámica de procesos de
recuperación de petróleo por inyección de agua, incluye la ejecución de los siguientes pasos en
cada iteración:
(i) identificación y actualización continua, utilizando datos medidos de
inyección/producción, de un modelo ARMAX basado en redes neuronales (RN-ARMAX)
del proceso de inyección de agua. Se utiliza una red neuronal de propagación hacia
adelante, que se entrena utilizando la versión en línea del algoritmo de aprendizaje
extremo de máquina (online sequential extreme learning machine, OS-ELM, por sus
siglas en inglés).
(ii) linealización óptima local del modelo RN-ARMAX y construcción de un modelo
Kalman SISO (una entrada y una salida).
(iii) aplicación de un algoritmo de optimización para determinar las tasas de producción
deseadas de los pozos productores que maximicen el valor presente neto del proceso de
inyección de agua al final de un horizonte de producción.
(iv) aplicación de una estrategia de control predictiva-adaptativa para determinar las tasas
de inyección para alcanzar las tasas deseadas de producción. La estrategia propuesta se
implementa utilizando el software Matlab y el simulador de yacimientos Boast 3.
Específicamente, se desarrollará un programa en Matlab que, en cada iteración, (i) lee un
archivo de salida del Boast, (ii) determina el valor de la variable de control y (iii) crea un
archivo de entrada al simulador. El Boast 3 lee el archivo de entrada, y simula el
comportamiento del yacimiento por un período de muestreo.
La estrategia de optimización propuesta se compara con otras dos prácticas de operación de
procesos de inyección de agua: (i) sin control, fijando la señal de control a su máximo valor y (ii)
valores de referencia fijo con control, sin optimización.
46
La Figura 6 ilustra la ejecución de los pasos de la estrategia de control propuesta en este
trabajo. A continuación se describe, de forma detallada, cada uno de estos pasos.
Figura 6. Representación gráfica de los pasos en cada iteración de la estrategia de optimización
propuesta en este trabajo. Como se puede observar el paso del algoritmo de optimización se ejecuta en un período
tiempo considerado lento en relación tiempo en realizarse el resto de los pasos incluidos en la
estrategia general propuesta, esto indica la activación de los tiempos de muestreo en el sistema.
La Figura 7 ilustra el diagrama esquemático enfoque predictivo de la estrategia de
optimización propuesta que incluye las rutinas de optimización en período de tiempo más largos
que la duración de los ciclos de identificación y control. Cuando el número de iteraciones de las
rutinas de control alcanzan el número de períodos de optimización se activan los pasos del
algoritmo de optimización seleccionado y se inicia el cálculo de la tasas de inyección de agua con
el nuevo valor de referencia calculado para el próximo ciclo de la estrategia de control
implementada.
Aplicación del Algoritmo de Optimización para determinar las
Tasas de producción deseadas que Maximicen el NPV de un horizonte
de producción
Construcción de un Modelo SISO Kalman lineal a partir del Modelo ARMAX Lineal
Cálculo del Modelo ARMAX Lineal mediante la
Linealización Óptima del Modelo RN-ARMAX
Actualización del Modelo RN-ARMAX No Lineal
Cálculo de la Tasa de Inyección de Agua, mediante el Diseño de la Estrategia de Control
Predictivo
Implementación digital de la Tasa de inyección de Agua
en el yacimiento
Inyección de Agua
Producción de Petróleo, Agua
y Gas Simulador
Boast 3
MATLAB
T Lento
T Rápido
47
Figura 7. Diagrama esquemático del enfoque predictivo-adaptativo basada en la estrategia de
optimización propuesta en este trabajo.
3.2 Descripción del caso de estudio
En este trabajo se implementa la estrategia de optimización propuesta y se evalúa su
desempeño utilizando un caso de estudio sintético, que corresponde a un modelo desarrollado en
el simulador de yacimientos Boast 3.
El modelo de simulación, que se ilustra en la Figura 5, corresponde a un yacimiento es un
bloque que tiene 280 pies de largo (length, L, por sus siglas en inglés), 280 pies de ancho (width,
W, por sus siglas en inglés), y 30 pies de profundidad (depth, D, por sus siglas en inglés). Este
yacimiento se discretizó en una malla que consta de 10 celdas en la dirección y (largo), 10 celdas
en la dirección x (ancho) y 3 celdas en la dirección z (profundidad). Por lo tanto, las dimensiones
de cada celda son 28Lx28Wx3D pies. En el yacimiento se ha ubicado un pozo inyector, que tiene
coordenadas (1,1,3), y un pozo productor, con coordenadas (9,9,1).
48
Figura 5. Modelo de simulación representativo del yacimiento con la ubicación de un pozo productor y un pozo inyector.
En importante señalar, que la estrategia propuesta es aplicable al caso de múltiples pozos
inyectores y productores, sin embargo, en esta primera etapa en el desarrollo de la estrategia se
seleccionó un caso de estudio con un pozo inyector y un pozo productor.
3.3 Parámetros que deben especificarse previo a la aplicación de la estrategia En la estrategia de optimización predictivo-adaptativa propuesta intervienen un conjunto de
parámetros que deben especificarse antes de su aplicación. Estos parámetros pueden agruparse de
acuerdo a seis aspectos: (i) arquitectura de la red neuronal de propagación hacia adelante, (ii)
normalización de los datos de entrenamiento de la red neuronal, (iii) algoritmo OS-ELM para el
entrenamiento de la red neuronal, (iv) aplicación del algoritmo de optimización, (v) cálculo de la
señal de control y (vi) implementación digital de la estrategia de control. La Tabla 1 muestra los
parámetros correspondientes a cada uno de los seis grupos.
Al inicio del control el desempeño de la estrategia propuesta puede ser poco satisfactorio
mientras el modelo logra capturar la dinámica del yacimiento. Para superar este inconveniente, se
sugiere pre-entrenar la red utilizando datos de entrada-salida, en caso que estos datos estén
disponibles. De esta manera puede iniciarse la aplicación de la estrategia con un modelo RN-
ARMAX de mejor calidad, lo que permite un control preciso en menor tiempo.
49
Tabla 1. Parámetros que deben especificarse antes de aplicar el previo el enfoque de
optimización
ASPECTO PARÁMETRO Arquitectura de la red neuronal de propagación hacia adelante
‐ Orden del modelo ( )n ‐ Número de unidades ocultas ( )hn
Normalización de los datos de entrenamiento
‐ Límite superior de: Tasa de producción de petróleo
Tasa de inyección de agua
‐ Límite inferior de: Tasa de producción de petróleo
Tasa de inyección de agua
Algoritmo OS-ELM para el entrenamiento de la red neuronal
‐ Valor inicial del factor de olvido ( )( )0λ ‐ Factor de actualización del factor de olvido ( )0λ
Algoritmo de optimización Activación del algoritmo de Punto Interior
‐ Código MatLab Método del Punto Interior options=optimset('GradObj','off',
'Hessian','off',...'Display','off',
'Algorithm','interior-point',
'OutputFcn', @output);
[x,fval]=fmincon(@npv_functionSqr,
x0,A,b1,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,
options);
‐ Tiempo de muestreo para la optimización ( )oT ‐ Valor de referencia inicial de la tasa de producción
de petróleo (r1): en STB/d
Cálculo de la señal de control ‐ Horizonte de Predicción, pN : en días
‐ Horizonte de Control, cN : en días
‐ Factor de ponderación en la función objetivo ( )wr ‐
Implementación digital de la estrategia de control Predictiva - Adaptativa
‐ Tiempo de muestreo para la identificación, ( )iT : en días
‐ Tiempo de muestreo para el control, ( )cT : en días ‐ Número de iteraciones de control ( )cK
‐ El horizonte de producción ( )ph : en días
50 3.4 Descripción de la estrategia de optimización propuesta
Una vez definidos los parámetros especificados en la sección anterior, la estrategia propuesta
de optimización incluye la ejecución secuencial de los siguientes pasos en cada iteración:
1. Actualización de los parámetros de un modelo ARMAX no lineal que describe la
dinámica del proceso de inyección de agua. Este modelo está basado en una red neuronal
de propagación hacia adelante, y se denota como NN-ARMAX (Neural Network-Based
autoregressive moving average with exogenous inputs, por sus siglas en inglés).
2. Cálculo de un modelo lineal Auto regresivo de promedio móvil con entradas externas
(Autoregressive moving average with exogenous inputs, ARMAX, por sus siglas en
inglés), a través de la linealización óptima del modelo RN-ARMAX.
3. Construcción del modelo SISO Kalman lineal de la dinámica del proceso de inyección de
agua, a partir del modelo ARMAX lineal.
4. Aplicación de un algoritmo de optimización para determinar las tasas de producción
deseadas de los pozos productores que maximicen el valor presente neto del proyecto
final de un horizonte de producción.
5. Cálculo de la tasa de inyección de agua (señal de control), mediante el diseño de la
estrategia de control predictivo.
6. Implementación digital de la tasa de inyección de agua en el yacimiento.
3.4.1 Actualización del modelo RN-ARMAX
Considerando que en el trabajo se seleccionó 30n = y 20hn = , el modelo RN-ARMAX está
dado por:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 ,..., 30 , 1 ,..., 30 , 1 , , 30y k RN y k y k u k u k e k e k= − − − − − −⎡ ⎤⎣ ⎦K (3.1) donde RN representa la red neuronal de propagación hacia adelante.
En cada iteración de control, este modelo se actualiza utilizando los últimos α datos de
entrada-salida medidos; estos datos deben normalizarse antes de usar el algoritmo OS-ELM para
la actualización del modelo.
51 3.4.2 Linealización del modelo RN-ARMAX y construcción del modelo SISO Kalman lineal
Una vez actualizado el modelo RN-ARMAX, se aplica el método de linealización óptima para
obtener un modelo ARMAX lineal de la forma:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 30 1 30 1 301 1 30 1 30 1 30y k a y k a y k b u k b u k d e k d e k+ = − − − − − + − + + − + − + + −)L L L
(3.2) a partir de la cual se obtiene el modelo SISO Kalman lineal
( ) ( ) ( ) ( )1m m m m mx k A x k B u k K e k+ = + + (3.3) ( ) ( )kxCky mm= (3.4)
donde
nn
n
n
m R
a
aa
A ×∈
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
=
000
010001
2
1
L
MOMMM
L
L
(3.5)
12
1
×∈
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
= n
n
m R
b
bb
BM
(3.6)
[ ] nm RC ×∈= 1001 L (3.7)
1 1
2 2 1nm
n n
d ad a
K
d a
×
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥= ∈⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
MR r
(3.8)
La Figura 8 ilustra el modelo RN-ARMAX actualizado con la linealización SISO Kalman
para el caso de estudio de esa investigación para un pozo productor y un pozo inyector.
52
Figura 8. Modelo RN-ARMAX para el caso de un pozo productor y un pozo inyector
3.4.3 Aplicación de un algoritmo de optimización que maximice el valor presente neto
En este trabajo se maximiza el cuadrado del valor presente neto, es decir
( )( ) ( )
( )
2
0 02
1 365
1
1k
k k k k k k kN g g wp wp wi wi k T F
k Tk
q P q P q C q C T I C rNPV
i⋅Δ
=
⎧ ⎫⎡ ⎤+ − − Δ − − −⎪ ⎪⎣ ⎦= ⎨ ⎬⎪ ⎪+⎩ ⎭∑
(3.9)
con la restricción de que dicho valor presente neto sea positivo. Se utiliza el método de
optimización del Punto Interior para obtener el valor de referencia de la producción de petróleo
para los siguientes cT días. Con el código de Matlab fmincon y la estructura descrita en la Tabla 1,
el algoritmo se ejecutará considerando los cálculos asociados al algoritmo de optimización
descrito en el punto 2.4.2 del marco teórico.
3.4.4 Cálculo de la tasa de inyección de agua
A partir de las matrices (3.5), (3.6) y (3.7), se construyen las matrices:
53
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
10
mm
Tmm
ACA
A (3.10)
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
mm
m
BCB
B (3.11)
[ ]10mC = , (3.12)
donde [ ] nm ×= 10000 L
m
m m
KK
C K⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦ (3.13)
del modelo espacio-estado aumentado.
Luego, se construyen las matrices:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
PNCA
CACACA
FM
3
2
(3.14)
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
−−−− BCABCABCABCA
CBCABBCACBCAB
CB
CPPPP NNNNN L
LMMM
L
L
L
321
2
0000000
φ (3.15)
y se calcula la secuencia de cN acciones de control mediante la ecuación:
( ) ( )( )iSTT kFxRRU −+=Δ
−φφφ
1 (3.16) 3.4.5 Implementación digital de la tasa de inyección sobre el yacimiento
El primer elemento del vector UΔ dado por (3.16) se aplica al yacimiento y se mantiene
durante cT días.
54 3.5 Criterios de comparación
Cada prueba realizada con el enfoque predictivo-adaptativo propuesto para la optimización
dinámica de procesos de recuperación de petróleo por inyección de agua se compara con otras dos
prácticas operacionales: (i) selección empírica de las tasas de producción deseadas (sin
optimización) aplicando control predictivo y (ii) sin control, fijando la tasa de inyección al
máximo valor posible (práctica convencional).
Los criterios utilizados para hacer la comparación son:
1. Valor Presente Neto.
2. Seguimiento de la Referencia: el tiempo de alcance del valor deseado de producción diaria
del pozo, hasta que la producción alcanza la referencia dentro de una tolerancia
preestablecida y ante los cambios generados en la señal de control.
3. Desempeño de la variable de entrada: cantidad diaria de agua inyectada.
4. Desempeño de la variable de salida: cantidad diaria de petróleo producido, agua producida y gas producido.
55
CAPÍTULO IV
RESULTADOS DE LA INVESTIGACIÓN
4.1 Introducción
En este capítulo se presentan los resultados obtenidos al aplicar la metodología de
optimización propuesta. El desempeño de dicha metodología se compara con el de otras dos
prácticas operacionales: (i) control de la producción de petróleo, con valor de referencia
constante de 800 STB, y (ii) tasa de inyección de agua constante igual a 1500 STB (máximo
valor posible). El valor inicial de la tasa de producción del yacimiento es de 2787 STB.
4.2 Resultados
La Tabla 2 incluye los valores de los parámetros previos mencionados en el capítulo III.
Tabla 2. Valores de los parámetros a utilizarse en las pruebas
ASPECTO PARÁMETRO Arquitectura de la red neuronal de propagación hacia adelante
‐ 30n = para la red neuronal de Petróleo, Agua y Gas.
‐ 20hn = Normalización de los datos de entrenamiento
‐ Límite superior de: Tasa de producción de petróleo: 2000 STB.
Tasa de inyección de agua: 1500 STB.
‐ Límite inferior de: Tasa de producción de petróleo: 0 STB
Tasa de inyección de agua: 0 STB
Algoritmo OS-ELM para el entrenamiento de la red neuronal
‐ ( )0 0.05λ = ‐ 0 1λ =
Implementación de la Estrategia para maximizar el NPV y Aplicación del Algoritmo de Optimización
‐ Valor Inicial de la Referencia: 200 STB. ‐ Valor Máximo de la Referencia: 1000
STB. ‐ Valor Máximo de Inyección de Agua:
1500 STB. ‐ 300oT = : en días
Parámetros Económicos ‐ 100oP = : en $/STB
56
ASPECTO PARÁMETRO ‐ 10gP = : en $/STB ‐ 10wpC = : en $/STB
‐ 10wiC = : en $/STB ‐ 5000000k
TI = : en $ ‐ 3000k
FC = : en $ ‐ 34kr = : en % ‐ 2190kTΔ = : en días ‐ 15i = : en %
‐ K = 2190: en días
‐ N = 6: en años
Cálculo de la señal de control ‐ 10pN = : en días ‐ 10cN = : en días ‐ 0.00025wr =
Implementación digital de la estrategia de control Predictiva - Adaptativa
‐ 1iT = : en días ‐ 1cT = : en días ‐ 2190ph = : en días
4.2.1 Valor inicial de referencia: 800 STB
a) Estrategia de optimización propuesta
La Figura 9(b) muestra la variación de la producción de petróleo y su valor referencia a lo
largo del horizonte de producción, mientras que la Figura 9(a) muestra la señal de control
correspondiente. Se observa que la producción de petróleo trata de seguir el valor de referencia,
mientras que la señal de control varía entre 0 y 1500 STB a lo largo del horizonte de producción,
es decir, se mantiene entre sus límites.
Por otro lado, las Figuras 10(a), 10(b) y 10(c) muestran el comportamiento de cada de las
fases de Petróleo, Agua y Gas, respectivamente, y los valores pronosticados por el modelo RN-
ARMAX. El modelo RN-ARMAX logra capturar la dinámica luego de los primeros 200 días.
Adicionalmente, se observa que la cantidad de agua producida es muy bajos en relación a la
cantidad de petróleo y gas producido.
57
Figura 9. Primera prueba: señal de control (inyección de agua) y producción de petróleo para el
caso de un pozo productor y un pozo inyector con estrategia de optimización.
Figura 10. Primera prueba: producción de petróleo, agua y gas para el caso de un pozo productor
y un pozo inyector con estrategia de optimización.
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000
500
1000
1500
2000Señal de Control
días
Inye
cció
n S
TB
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000
500
1000
1500
2000Producción de Petróleo (Pozo 1)
días
Pro
ducc
ión
STB
0 500 1000 1500 2000 25000
1000
2000
3000Petróleo Producido
STB
RealRed neuronal
0 500 1000 1500 2000 2500-2
0
2
4Agua Producida
STB
RealRed neuronal
0 500 1000 1500 2000 25000
1000
2000
3000Gas Producido
días
STB
RealRed Neuronal
58 b) Control de la producción de petróleo, con valor de referencia constante de 800 STB
La Figura 11 muestra el desempeño de la producción de petróleo y la señal de entrada
respectivamente. Por su parte, la Figura 12 señala el comportamiento de cada una de las fases del
fluido Petróleo, Agua y Gas durante el horizonte de predicción propuesto.
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000
500
1000
1500
2000Señal de Control
días
Inye
cció
n S
TB
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000
500
1000
1500
2000Producción de Petróleo (Pozo 1)
días
Pro
ducc
ión
STB
Figura 11. Segunda prueba: señal de control (inyección de agua) y producción de petróleo para el
caso de un pozo productor y un pozo inyector con estrategia de control sin optimización.
Para este caso particular, durante los primeros 300 días el modelo RN-ARMAX logra
capturar la dinámica del proceso para mantenerse estable a partir de los 1200 días considerando la
referencia constante. De la misma manera, la señal de control alcanza un valor constante de
inyección alrededor de 1200 STB/d luego de los cambios bruscos alcanzados inicialmente. De la
misma manera alcanzada en la prueba anterior, el desempeño de respuesta esperada del sistema
se ve reflejado en los cambios similares en la señal de control, manteniendo en este caso la
referencia como restricción.
59
Figura 12. Segunda prueba: producción de petróleo, agua y gas para el caso de un pozo productor
y un pozo inyector con estrategia de control sin optimización. c) Tasa de inyección de agua constante igual a 1500 STB (máximo valor posible)
Haciendo referencia a la tercera prueba, desactivando el método de optimización y sin la
aplicación de la estrategia de control, se mantiene la tasa de inyección en su valor máximo de
1500 STB/d, la Figura 13 muestra el desempeño de la producción de petróleo y la tasa de
inyección respectivamente. La Figura 14 señala el comportamiento de cada una de las fases del
fluido Petróleo, Agua y Gas durante el horizonte de predicción propuesto.
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000
500
1000
1500
2000Señal de Control
días
Inye
cció
n S
TB
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000
500
1000
1500
2000Producción de Petróleo (Pozo 1)
días
Pro
ducc
ión
STB
Figura 13. Tercera prueba: señal de control (inyección de agua constante máxima) y producción
de petróleo para el caso de un pozo productor y un pozo inyector con estrategia sin control ni optimización.
0 500 1000 1500 2000 25000
1000
2000
3000Petróleo Producido
STB
RealRed neuronal
0 500 1000 1500 2000 25000
1
2
3
4Agua Producida
STB
RealRed neuronal
0 500 1000 1500 2000 25000
1000
2000
3000Gas Producido
días
STB
RealRed Neuronal
60
En la figura 14, se observan las tasas de producción de petróleo, agua y gas obtenidas al
mantener la tasa de inyección en el valor máximo constante de 1500 STB/d. La producción de
petróleo se estabiliza en un valor constante alrededor de 1000 STB/d que a pesar de ser alto no
genera el mayor beneficio económico como se describe a continuación.
Figura 14. Tercera prueba: producción de petróleo, agua y gas para el caso de un pozo productor
y un pozo inyector sin estrategia de control ni optimización.
La Tabla 3 muestra los índices de desempeño obtenidos en las pruebas realizadas, que se
utilizan como criterios comparativos entre el enfoque predictivo con optimización y los casos
asociados a las prácticas convencionales. Como se puede observar, el Valor Presente Neto más
elevado corresponde al caso con optimización aplicando el algoritmo de Punto Interior y los
valores referenciales de los parámetros económicos mostrados en la Tabla 2.
Esto ratifica un mejor aprovechamiento del proceso de recuperación de petróleo con
inyección de agua para el enfoque con optimización, a pesar de que la diferencia porcentual es
muy pequeña con respecto a la estrategia de control predictivo con referencia constante y en
comparación con el caso de inyección máxima. También se aprecia en el caso optimizado, que a
pesar de producir menos petróleo se obtiene un beneficio económico mayor.
0 500 1000 1500 2000 25000
1000
2000
3000Petróleo Producido
STB
RealRed neuronal
0 500 1000 1500 2000 2500-2
0
2
4Agua Producida
STB
RealRed neuronal
0 500 1000 1500 2000 25000
1000
2000
3000Gas Producido
días
STB
RealRed Neuronal
61
Tabla 3. Resultados entre el enfoque de optimización y las prácticas convencionales
Estrategias Propuestas VPN (millones de $)
Diferencia Porcentual
(%)
Volumen de Petróleo
Producido STB
Volumen de Agua
Producida STB
Volumen de Agua
Inyectada STB
Enfoque de Optimización con estrategia de control predictivo basado en un modelo RN-ARMAX para SISO
437,04
-
1,0883E+06
1307,4
1,3321E+06
Estrategia de Control Predictivo basado en un modelo RN-ARMAX con Referencia constante de 800 STB para SISO
436,25
- 0,18
2,1874E+06
2187,4
2,3865E+06
Estrategia Sin Control con inyección máxima constante de 1500 STB para SISO
418,02
- 4,35
2,5614E+08
3157,2
3,4631E+06
4.2.2 Valores de producción e inyección diaria acumulada y contribución de términos
a) Caso: Estrategia de optimización propuesta
En la figura 15 se muestra el Recobro de crudo acumulado diario para los 6 años de
horizonte de producción con un volumen total de 1,09 millones de STB en Petróleo, 1307,4 STB
en Agua Producida y 816,2 mil mcf en Gas producido para el caso con optimización aplicando el
algoritmo de Punto Interior. En la figura 16 se observa que para esta estrategia, el NPV se
incrementa en los primeros 100 días de producción y luego se mantiene constante en todo el
período de tiempo de la simulación con un valor de 437,04 $ tal como se indicó en la Tabla 3.
62
0 500 1000 1500 2000 25000
5
10
15x 105 Petróleo Producido Acumulado Diario
días
Pro
ducc
ión
(stb
)
0 500 1000 1500 2000 25000
500
1000
1500Agua Producida Acumulada Diaria
días
Pro
ducc
ión
(stb
)
0 500 1000 1500 2000 25000
5
10x 105 Gas Producido Acumulado Diario
días
Pro
ducc
ión
(mcf
/d)
Figura 15. Primera prueba: producción acumulada de petróleo, agua y gas para el caso de un pozo
productor y un pozo inyector con estrategia de optimización.
0 500 1000 1500 2000 25000.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5x 10
8 Valor Presente Neto
días
Uni
dade
s m
onet
aria
s ($
)
Figura 16. Primera prueba: valor presente neto para el caso de un pozo productor y un pozo
inyector con estrategia de optimización.
En la figura 17 se muestra el desempeño de la contribución de los términos asociados a la
función objetivo. Con la producción de petróleo se alcanza 418,8 millones de $ diariamente, 46,2
millones de $ con el gas producido, y se gasta 73,2 mil $ con la producción de agua y 287,2 mil $
63 por la inyección de agua respectivamente, para el mismo caso de estrategia de optimización
aplicando el algoritmo de Punto Interior.
0 500 1000 1500 2000 25000
5x 108 Contribución de la Producción de Petróleo
Tiempo (días)
Uni
dad
mon
etar
ia ($
)
0 500 1000 1500 2000 25000
5x 107 Contribución de la Producción de Gas
Tiempo (días)
Uni
dad
mon
etar
ia ($
)
0 500 1000 1500 2000 2500-1
0
1x 105 Contribución de la Producción de Agua
Tiempo (días)
Uni
dad
mon
etar
ia ($
)
0 500 1000 1500 2000 2500-5
0
5x 105 Contribución de la Inyección de Agua
Tiempo (días)
Uni
dad
mon
etar
ia ($
)
Figura 17. Primera prueba: contribución de los términos producción de petróleo, gas y agua e
inyección de agua para el caso de un pozo productor y un pozo inyector con estrategia de optimización.
b) Caso: Estrategia sin optimización y control predictivo con referencia constante
En la figura 18 se muestra el Recobro de crudo acumulado diario para los 6 años de
horizonte de producción con un volumen total de 1,84 millones de STB en Petróleo, 2187,4 STB
en Agua Producida y 134,12 mil mcf en Gas producido para el caso sin optimización aplicando
control predictivo y referencia constante. En la figura 19 se observa que para esta estrategia, el
NPV se incrementa en los primeros 100 días de producción y luego se mantiene constante en
todo el período de tiempo de la simulación con un valor de 436,25 $ tal como se indicó en la
Tabla 3.
En la figura 20 se muestra el desempeño de la contribución de los términos asociados a la
función objetivo. Con la producción de petróleo se alcanza 418,6 millones de $ diariamente, 46,2
millones de $ con el gas producido, y se gasta 73,2 mil $ con la producción de agua y 1,05
millones de $ por la inyección de agua respectivamente, para el mismo caso de estrategia sin
64 optimización con control predictivo y referencia constante.
0 500 1000 1500 2000 25000
0.5
1
1.5
2x 106 Petróleo Producido Acumulado Diario
días
Pro
ducc
ión
(stb
)
0 500 1000 1500 2000 25000
1000
2000
3000Agua Producida Acumulada Diaria
días
Pro
ducc
ión
(stb
)
0 500 1000 1500 2000 25000
5
10
15x 105 Gas Producido Acumulado Diario
días
Pro
ducc
ión
(mcf
/d)
Figura 18. Segunda prueba: producción acumulada de petróleo, agua y gas para el caso de un
pozo productor y un pozo inyector con estrategia de control sin optimización.
0 500 1000 1500 2000 25000.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5x 108 Valor Presente Neto
días
Uni
dade
s m
onet
aria
s ($
)
Figura 19. Segunda prueba: valor presente neto para el caso de un pozo productor y un pozo
inyector con estrategia de control sin optimización.
65
0 500 1000 1500 2000 25000
5x 108 Contribución de la Produccion de Petróleo
Tiempo (días)
Uni
dad
mon
etar
ia ($
)
0 500 1000 1500 2000 25000
5x 107 Contribución de la Producción de Gas
Tiempo (días)
Uni
dad
mon
etar
ia ($
)
0 500 1000 1500 2000 2500-1
0
1x 105 Contribución de la Producción de Agua
Tiempo (días)
Uni
dad
mon
etar
ia ($
)
0 500 1000 1500 2000 2500-2
0
2x 106 Contribución de la Inyección de Agua
Tiempo (días)
Uni
dad
mon
etar
ia ($
)
Figura 20. Segunda prueba: contribución de los términos producción de petróleo, gas y agua e
inyección de agua para el caso de un pozo productor y un pozo inyector con estrategia de control sin optimización.
c) Caso: Estrategia sin control y máxima inyección
En la figura 21 se muestra el recobro de crudo acumulado diario para los 6 años de horizonte
de producción con un volumen total de 2,56 millones de STB en Petróleo, 3157 STB en Agua
Producida y 1,9 millones mcf en Gas producido para el caso de máxima inyección sin
optimización (práctica convencional). En la figura 22 se observa que para esta estrategia, el NPV
se incrementa en los primeros 100 días de producción y luego se mantiene constante en todo el
período de tiempo de la simulación con un valor de 418,02 $ tal como se indicó en la Tabla 3.
En la figura 23 se muestra el desempeño de la contribución de los términos asociados a la
función objetivo. Con la producción de petróleo se alcanza 422,9 millones de $ diariamente, 46,7
millones de $ con el gas producido, y se gasta 74.2 mil $ con la producción de agua y 19,6
millones de $ por la inyección de agua respectivamente, para el mismo caso de máxima inyección
sin optimización (práctica convencional).
66
0 500 1000 1500 2000 25000
1
2
3x 106 Petróleo Producido Acumulado Diario
días
Pro
ducc
ión
(stb
)
0 500 1000 1500 2000 25000
1000
2000
3000
4000Agua Producida Acumulada Diaria
días
Pro
ducc
ión
(stb
)
0 500 1000 1500 2000 25000
0.5
1
1.5
2x 106 Gas Producido Acumulado Diario
días
Pro
ducc
ión
(mcf
/d)
Figura 21. Tercera prueba: producción acumulada de petróleo, agua y gas para el caso de un pozo
productor y un pozo inyector sin estrategia de control ni optimización.
0 500 1000 1500 2000 25000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5x 108 Valor Presente Neto
días
Uni
dade
s m
onet
aria
($)
Figura 22. Tercera prueba: valor presente neto para el caso de un pozo productor y un pozo
inyector sin estrategia de control ni optimización.
67
0 500 1000 1500 2000 25000
5x 108 Contribución de la Produccion de Petróleo
Tiempo (días)
Uni
dad
mon
etar
ia ($
)
0 500 1000 1500 2000 25000
5x 107 Contribucion de la Producción de Gas
Tiempo (días)
Uni
dad
mon
etar
ia ($
)
0 500 1000 1500 2000 2500-1
0
1x 105 Contribución de la Producción de Agua
Tiempo (días)
Uni
dad
mon
etar
ia ($
)
0 500 1000 1500 2000 2500-2
0
2x 107 Contribución de la Inyección de Agua
Tiempo (días)Uni
dad
mon
etar
ia ($
)
Figura 23. Tercera prueba: contribución de los términos producción de petróleo, gas y agua e
inyección de agua para el caso de un pozo productor y un pozo inyector sin estrategia de control ni optimización.
68
CONCLUSIONES
Este trabajo presentó un enfoque predictivo-adaptativo de la estrategia de optimización
propuesta para el control de la producción de petróleo en un yacimiento con múltiples pozos
productores e inyectores, que supera reconocidas limitaciones de enfoques precios en el área.
Esta estrategia incluye: el uso de modelos ARMAX basado en redes neuronales (RN-ARMAX),
que se actualizan continuamente utilizando el algoritmo OS-ELM, la aplicación de un algoritmo
de optimización para determinar los valores deseados de producción, y el cálculo de las tasas de
inyección y producción con la implementación del control MPC basado en una versión
linealizada de los modelos RN-ARMAX y un filtro de Kalman para estimar los estados del
sistema.
Para evaluar el desempeño de la estrategia de optimización y control se utilizó un caso de
estudio sintético, correspondiente a un modelo de simulación desarrollado en el simulador de
yacimientos Boast 3. En dicho caso de estudio, el yacimiento tenía un pozo productor y un pozo
inyector.
Los resultados obtenidos sobre los casos de estudio muestran que en general, la estrategia
propuesta superó de manera significativa a otras prácticas con control predictivo sin optimización
y un esquema de inyección constante (práctica convencional), bajo medidas de desempeño tales
como, valor presente neto, volúmenes de agua inyectada y producida y diferencia porcentual
sobre la producción total deseada.
Se comparó el índice de desempeño de cada estrategia según el valor presente neto
calculado, superando en un +0,18% y +4,35% de diferencia porcentual los casos de optimización
a los casos de control con referencia constante y práctica convencional de máxima inyección
constante respectivamente. Esto ratifica la rentabilidad y un mejor aprovechamiento del proceso
de recuperación de petróleo con inyección de agua para el enfoque con optimización, aun cuando
la diferencia porcentual es muy pequeña con respecto a la estrategia de control predictivo con
referencia constante y en comparación con el caso de inyección máxima. También se aprecia en
el caso optimizado, que a pesar de producir menos petróleo se obtiene un beneficio económico
mayor. Por otra parte, los resultados obtenidos para las tres pruebas indicaron que durante el
horizonte de producción proyectado, el volumen diario acumulado de petróleo, gas, agua
69 producida y agua inyectada es el menor para el enfoque de optimización, intermedio para el caso
con control predictivo y referencia constante, y los valores son máximos para la tercera prueba o
práctica convencional.
Las características de la estrategia propuesta facilita enormemente su utilización en el marco
de la aplicación de un algoritmo de optimización de los métodos del Punto Interior para
maximizar el cuadrado del valor del presente neto, en virtud de que (i) es fácil de implementar y
de bajo costo computacional, pues el problema de optimización con control predictivo tiene una
solución cerrada (modelo lineal), (ii) puede adaptarse a cualquier proceso de recuperación
secundaria o mejorada, porque su formulación sólo requiere medidas de tasas de inyección y
producción, y (iii) puede aplicarse a yacimientos reales con técnicas de recolección de datos y de
modelado integrado.
Futuros trabajos evaluarán la estrategia propuesta en modelos de yacimientos con mayor
cantidad de pozos (inyectores y productores) y considerando otros procesos de recuperación de
petróleo y en la selección de los valores deseados de producción diaria de manera que se
maximicen reconocidas medidas de desempeño (e.g., factor de recobro).
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RECOMENDACIONES
En futuros trabajos de investigación se recomienda:
Analizar con más profundidad el efecto que tienen los parámetros involucrados sobre
el desempeño del enfoque propuesto, para así definir criterios para la selección de
estos parámetros.
Evaluar el desempeño de otros algoritmos de optimización.
Extender el enfoque de optimización al caso de yacimientos con múltiples pozos
inyectores y productores.
Analizar con mayor profundidad el tiempo de muestreo dual.
Evaluar las mejoras que podrían obtenerse al pre-entrenar la red neuronal.
Aplicar el enfoque de control óptimo a procesos más complejos, tales como modelos
tridimensionales con flujo de tres fases (petróleo, agua y gas) o modelos
composicionales.
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