Universidad Autónoma de Yucatán Facultad de matemáticas

Un estudio sobre el carácter situado de la matemática escolar

Tesis que presenta: Andrés Gregorio Chi Chablé

Para obtener el titulo de: Licenciado en Enseñanza de las Matemáticas

Asesor de tesis: M. en C. Eddie de Jesús Aparicio Landa

Mérida, Yucatán Abril de 2007

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Índice

Introducción 4

Capítulo Primero

1.1 Planteamiento del estudio 8

1.2 Justificación 11

1.3 Hipótesis de investigación 12

1.3.1 Lo situado de la matemática 12

1.3.1.1 Sobre la producción de conocimiento matemático 13

1.3.1.2 Matemática escolar 15

1.4 Síntesis 16

Capítulo Segundo

2.1 Introducción 18

2.2 Reformas y el DME del profesor 18

2.3 Creencias sobre el saber matemático 20

2.4 Lo secuencial y epistemología del saber 21

2.5 Selección de saberes 22

2.6 La producción de conocimiento matemático 23

2.7 Usos de la matemática 26

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Capítulo Tercero

3.1 Introducción 29

3.2 Aspectos relativos a la selección de teorías 29

3.3 La socioepistemología y las prácticas sociales 33

3.4 Lo social y lo cultural 36

3.5 Determinación de algunos términos clave para el estudio 39

3.5.1 Lo situado 39

3.5.1.1 ¿Lo situado o lo universal? 42

3.5.2 El currículo 44

3.5.2.1 Hacia una concepción del currículo 44

3.5.2.2 Consecuencias 49

3.5.2.3 El currículo frente a la globalización 51

3.6 Metodología del estudio 53

Capítulo Cuarto

4.1 Una percepción del escenario de la comunidad estudiada 58

4.1.1 Desarrollo curricular: el caso de la facultad de ingeniería 60

4.1.2 Innovación educativa: el caso de la facultad de ingeniería 61

4.2 Entrevistas 62

3

4.2.1 Notación 62

4.2.2 La cultura entorno a la enseñanza del cálculo 63

4.2.3 La concepción del cálculo 63

4.2.4 Apreciación del currículo 65

4.2.5 La práctica docente 66

4.2.6 La organización de los currículos de cálculo 68

4.2.7 Percepción de los cambios en el currículo y la práctica docente 70

4.2.8 Cambio de concepciones sobre el currículo de cálculo 72

Capítulo Quinto

5.1 Sobre la práctica docente en el aula 75

5.2 Conocernos y reconocernos: El caso de la cultura 78

5.3 Lo normativo del currículo: socioculturalmente 80

5.4 Concepciones del currículo de cálculo 83

5.5 Conclusiones 85

Bibliografía

4

Introducción al estudio

Podemos establecer que existen, principalmente, dos creencias entorno a la forma

en como se concibe y/o se desarrolla un currículo. La primera de ellas, es la

relacionada a que éste se desarrolla bajo las creencias personales de los

profesores de matemáticas, así, para algunos profesores la matemática es, como

un lenguaje, de modo que los contenidos se centrarán en presentar las reglas de

sintaxis validas universalmente. En consecuencia, la matemática como lenguaje

tiene como función primordial ser aplicada en otras áreas del conocimiento, como

la física, entre otras áreas del saber o si la matemática es concebida como un

conjunto de axiomas estructurados de manera formal, se ubicaría en la llamada

escuela logicista; ello supondría en el plano de las situaciones de aprendizaje, que

el docente consideraría para la organización de los contenidos el orden lógico

establecido por la comunidad académica de la matemática (Ruiz,1987; citado en

Parra, 2004) o más aún, habrá profesores quienes conciban a la matemática como

una herramienta, la cual sirve para la resolución de ciertas tareas específicas y por

consiguiente, centrarán sus clases en mostrar sus diversas aplicaciones.

Más, si el funcionamiento o el desarrollo del currículo de matemáticas y en

particular el de cálculo estuviese dado en función de estas creencias, podríamos

encontrar hoy en día, clases diferentes de un salón a otro, pues estás depende de

cómo el profesor conciba a la matemática, por ejemplo, pensemos en tres

profesores de una misma escuela que crean en el currículo de cálculo como en

cada uno de las formas como lo hemos señalado, luego entonces, en dicha

escuela podríamos encontrar que los saberes de cálculo escolar tienen

5

características y finalidad diferente y a su vez podríamos señalar lo mismo con

respecto a la práctica docente, empero, estudios como los de García (2006a) y

García (2006b), permiten vislumbrar cómo en una misma escuela, existe entre los

profesores, cierta homogeneidad en cuanto a la forma de impartir clases de

matemáticas, de estructurar sus clases, etc.

Por otra parte, se tiene la creencia, de que las acciones de los profesores están

reguladas por el currículo escolar o por la institución (a través, de la filosofía

educativa), que hace que funcione, de la manera en como funciona. Es decir, es

en el currículo en donde se plasma qué, en qué momento enseñar y cómo

enseñarlo (versión del saber a elegir). Y se podría pensar que, esto efectivamente

es así, pues encontramos como lo habíamos dicho en el párrafo anterior, cierta

globalización entre las acciones de los profesores. Sin embargo, es necesario

observar cómo la mayoría de las acciones desarrolladas no es del todo

congruente con lo que queda plasmado ya sea en el currículo o en el modelo

educativo. Luego entonces, ¿de dónde provienen ese conjunto de acciones

desarrolladas? Es decir, si no fueran en buena medida las creencias personales,

ni la institución escolar vía los currículos o el modelo educativo quienes hacen

actuar como lo hacen al profesorado, ¿qué es lo que los rige? para que aun de

salón en salón, o de institución en institución, siga habiendo cierta homogeneidad

en las prácticas y el pensamiento a la hora de poner en funcionamiento el currículo

de cálculo.

Es al seno de este tipo de reflexiones al que nos acogimos con la finalidad de

desarrollar este estudio, el cual lo estructuramos de la siguiente manera:

6

En el capítulo primero, el lector podrá encontrar el problema, pregunta y objetivo

de la investigación, así como una breve reseña histórica de la producción de

conocimiento y con base en ella hemos de postular nuestra hipótesis de

investigación.

En el capítulo segundo, se podrá encontrar una serie de investigaciones que son

los antecedentes inmediatos a este estudio, éstos mismos, en un segundo

instante, nos servirán a manera complementaria de nuestros datos recabados.

En el capítulo tercero, encontraremos aspectos relativos a la determinación de

nuestro marco teórico y los aspectos que nos han interesado de la aproximación

teórica que hemos tomado. Acogidos al seno de esta aproximación, tratamos de

precisar algunos de los términos que son de nuestro interés y que tienen una

connotación diversa. En este apartado, describimos la forma de proceder de inicio

a fin e ilustramos la forma en que nos basamos para obtener nuestros datos.

En el capítulo cuarto, presentamos nuestros datos y una breve reseña del grupo

que consideramos para desarrollar nuestro estudio, posteriormente hacemos un

análisis de los datos recabados.

En el capítulo quinto, reflexionamos acerca de la evidencia recabada e ilustramos

algunos de los resultados. Finalmente, con base en dichas reflexiones postulamos

nuestras conclusiones.

7

Capítulo Primero

8

1.1 Planteamiento del estudio

Investigaciones como las desarrolladas por Arrieta; Buendía; Ferrari; Martínez;

Suárez; (2004), Buendía (2003), Covian (2006), dan evidencia de que lo que le da

sentido y significado a la matemática escolar, no es en si el concepto o su

estructura axiomática, sino un conjunto de prácticas de naturaleza social que el

ser humano desarrolla por voluntad propia y que permiten generar aprendizajes.

Claro está, no se refieren a cualquier tipo de prácticas, sino a un conjunto en

específico, pues; por ejemplo, el vestir es una práctica social pues todo ser

humano la realiza, “obligadamente”, más esta actividad por si sola, en la mayoría

de los casos, no desarrolla ningún conocimiento (en nuestro caso, conocimiento

matemático), pues la colectividad de los seres lo hace por cuestión de pudor. Más

adelante, trataremos de detallar a que nos referimos con práctica social.

Por su parte, Moreno (1999) citado en D’Amore (2000) y Brousseau (1997), nos

ofrecen indicios para pensar que el aprendizaje responde a escenarios

específicos, por ejemplo, Brousseau señala que las acciones y el pensamiento de

los estudiantes en situación escolar, responden a las cláusulas del contrato

didáctico que se ha establecido entre profesor y alumno.

Más aun, haciendo un ejercicio de análisis sobre nuestras vivencias, no es difícil

percibir que en ellas podemos encontrar otro conjunto de acciones que tienden a

tener un carácter situado, por ejemplo, la gesticulación, el habla, el

comportamiento, la forma de vestir, etc.

9

A través de revisiones históricas y de lo que sucede en los sistemas didácticos,

emerge evidencia de cómo el discurso matemático escolar suele favorecer sólo

algunos aspectos de los conceptos matemáticos, dejando de lado elementos

presentes en la construcción social del conocimiento (Arrieta, 2004). Es decir, la

forma de enseñar y aprender matemáticas regularmente se basa en un modelo

“tradicional-formal” que con frecuencia limita la apropiación de los conceptos

matemáticos. Por ejemplo, se dota a los conceptos matemáticos de un tratamiento

escolar que parte por definir el objeto y sus propiedades, y en ocasiones, se le da

un valor funcional.

Sin embargo, el valor funcional del concepto matemático, histórica y

epistemólogicamente, antecede al valor teórico, esto es, el último paso para

concretar un concepto matemático es exactamente definirlo en términos de

estructuras en las cuales éste interviene y de las propiedades que satisface

(Brousseau, 1997). En otras palabras, el concepto matemático “vive” y es usado

durante largo tiempo por una sociedad hasta que a través de los años dicho

concepto es formalizado e incluso, institucionalizado. Muestra de ello es que el

concepto de función y los conceptos de análisis, eran ya utilizados aun antes de

que Euler y otros matemáticos los dotaran de rigor o que la geometría era ya

conocida o utilizada aun antes de que Euclides publicara los elementos. Así

también, tomemos como un ejemplo más, el hecho de que los seres humanos ya

tenían y usaban nociones como las distancia, antes de su definición formal

(matemáticamente hablando).

10

Es entonces, que este estudio se centró en analizar las relaciones que se

establecen entre el sistema didáctico, la producción de conocimiento matemático y

el carácter situado de la práctica escolar matemática, es decir, nos preguntamos:

¿cuál es la relación del sistema didáctico? , con la práctica escolar y el carácter

situado de la matemática escolar?

De manera que ello nos permitiera conocer y reconocer las posibles relaciones

que guardan el proceso cultural con el carácter situado y la función de la

matemática escolar en una comunidad específica. Particularmente, vislumbrar las

circunstancias que favorecen la aparición de ciertas costumbres entorno a la

matemática escolar y su incidencia en el sistema didáctico.

Actualmente en diversas instituciones educativas han optado por desarrollar una

cultura de trabajo colegiado, es decir, desarrollar como principio y norma, la idea

de que una participación conjunta en asuntos académicos y administrativos

permitirá dar una mejor atención a las exigencias que nuestra misma sociedad

plantea, como ejemplo tenemos la globalización y los cuerpos académicos.

De manera que, nuestra tesis consiste en plantear que son las circunstancias las

que proveen de sentido a las acciones que en algún momento realizan o dejan de

hacer los individuos o grupos de éstos. Incluso, la misma cultura, se ve alterada

por tales circunstancias, pues éstas deben evolucionar a fin de adaptarse a las

nuevas formas de entender y explicar la realidad.

? entenderemos por ello, el conjunto de relaciones que se establecen o son establecidas entre profesor y alumnos con la intencionalidad explícita de comunicar y generar aprendizaje vía una enseñanza.

11

Para el caso en que nos instauramos, diremos que precisamente a nivel

institucional educativo, son las comunidades de profesores y estudiantes (en

menor medida los administrativos) quienes proveen de sentido a la educación

matemática. Empero, tales comunidades sostenemos esta idea, no son ajenas e

independientes de su escenario sociocultural y de sus propias formas de entender

y explicar las realidades. De esta manera y concretamente, buscamos información

sobre la forma en que una comunidad académica específica, dice impartir,

entender y explicar la educación en cálculo.

Esto es, indagamos sobre los mecanismos que se establecen y emplean en los

procesos de organización y difusión de una producción matemática con fines

didácticos o instruccionales. Específicamente, nos centramos en el área de

cálculo.

1.2 Justificación

El contexto del saber como el de la sociedad en donde se encuentra inmerso las

instituciones, nos provee de elementos importantes que permiten dar cuenta de la

construcción de la formación del discurso matemático escolar (dme). Sin embargo,

no basta con mirar hacia a nuestro alrededor sino hay que saber reconocerlos,

describirlos y relacionarlos. Nuestro estudio, en otras palabras, pretende dar

evidencia sobre ello, a través de las relaciones que se establece entre el sistema

didáctico, la producción de conocimiento y la cultura en una comunidad. De

manera que ello nos provea de explicaciones sobre algunos fenómenos como lo

12

son el discurso tradicional formal y la cultura didáctica, que ocurren entorno al

funcionamiento del currículo de cálculo y cuáles son algunas de sus causas.

El hecho de conocernos y recocernos nos ayudará a implementar estrategias

acordes a nuestras circunstancias y no a implementar acciones que queden fuere

de nuestro alcance, este estudio se encamina a aportar información sobre ello a

partir del análisis de los datos recabados. Por ejemplo, la evidencia empírica que

recabamos apunta a que los mecanismos por los cuales se desarrolla y concibe el

currículo de cálculo tiene más bien su origen en lo sociocultural, que en las

creencias personales de los ejecutores o en los decretos puestos en el currículo o

modelo educativo, luego entonces, deberíamos encaminarnos, antes bien, ha ver

la forma de incidir en esa cultura, que en hacer decretos de naturaleza platónica.

Por otra parte, este estudio es un producto de las tendencias que ciertas

investigaciones en Matemática Educativa empiezan a eregir, es decir, a través de

nuestro trabajo se puede mirar una cantidad considerable de evidencia que da

cuenta de la incidencia del aspecto sociocultural sobre el funcionamiento de los

sistemas escolares y didácticos.

1.3 Hipótesis de investigación

1.3.1 Lo situado de la matemática

A continuación, mostramos algunos resultados existentes sobre los aspectos

socioculturales que intervienen en la formación de los sistemas de producción y

escolarización (o institucionalización) de los conocimientos científicos, en

13

particular, los de índole matemática. Esto nos permite vislumbrar que estos

sistemas responden a escenarios particulares. Tomamos como referencia los

cambios de era más significativos y divulgados que hay en la historia; con la

finalidad de hacer notar esto de manera un tanto más evidente.

1.3.1.1 Sobre la producción de conocimiento matemático

Montiel (2005), señala que en el papiro de Rhind (1700 a. C.), una fuente de

información importante de los egipcios, se observa que en ese entonces ya se

tenía un conocimiento entorno al cálculo de áreas de diversas figuras, y algunos

rudimentos de trigonometría que se basan en cálculos necesarios para la

construcción de pirámides y monumentos, dichos conocimientos fueron

introducidos en Grecia por Thales, en donde junto a la medición y el cálculo, se

volvió importante la observación de los cuerpos celestes, el cálculo de sus

tamaños y las distancias entre ellos (la astronomía). Hay que señalar que la

observación y el registro del movimiento de los cuerpos celestes, en particular las

estrellas, le corresponden a culturas anteriores a la griega, los babilónicos y

egipcios, más fueron los griegos quienes buscaron teorías explicativas de los

datos observados, incluso trataron de sistematizarla, luego entonces, su objeto de

estudio era la matemática misma y no los fenómenos en sí. En este caso, el uso

de la matemática estaba más enfocado a una forma de filosofar, de manera que el

centro de las reflexiones estaba centrado en el individuo mismo.

A finales del siglo XVI, el conocimiento matemático y su producción empieza a ser

utilizado por algunos grupos sociales como una forma de explicar su realidad,

14

aunque los grupos eran muy reducidos, puesto que se tiene en ese entonces un

pensamiento religioso que de alguna manera establecía límites. Fueron los

trabajos de astronomía desarrollados por Copernico los que empezaron a incurrir

en esa dirección, por ejemplo, él se preguntaba ¿Somos nosotros el centro del

universo? ¿De qué manera se mueve nuestro planeta? Años más tarde, serían

otras personas quienes generarían conocimiento científico bajo este paradigma,

por ejemplo, entre los más destacados en está línea se encuentra Newton, quien

se interesa; principalmente, en el movimiento de los cuerpos. De esta manera, se

empieza a dar una descentralización sobre el individuo, en contraposición de la

época griega, trasladando el centro de atención hacia la naturaleza.

Muestra de este cambio de mentalidad es el hecho de que a esta época se le

conoció como la revolución científica, esta transformación ha sido el resultado de

un cambio de mentalidad hacia la naturaleza, de un nuevo pensamiento

científico… de manera que, la tarea de la ciencia del siglo XVII fue encontrar

técnicas precisas para tener el control racional de la experiencia y mostrar cómo

conceptos matemáticos se pueden utilizar para explicar los fenómenos naturales

(Wikipedia, 2006a).

A mediados del siglo XX, la producción de conocimiento estuvo en función de la

generación de nuevas tecnologías, en pro de la defensa o ataque de los países

por causas como, por ejemplo, la primera o la segunda guerra mundial. Después

de la cantidad de conocimientos y tecnologías producidas en esta época, en el

ámbito militar, se pensó en cómo serían útiles estos mismos avances al resto de la

sociedad, avances tales como los ordenadores, el Internet, los aeroplanos, etc.

15

Actualmente investigaciones como las de Covián (2006), Cantoral y Farfán (2003),

Cordero (2000), entre otros; señalan que la producción de conocimiento científico

está ligado a ciertas prácticas de carácter normativo que tienen su propia

identidad, son dinámicas, dependen del contexto y realidad a la que pertenecen.

1.3.1.2 Matemática escolar

Castañeda (2006) muestra que las obras de L’Hospital y Maria G. Agnesi,

responden a ciertas prácticas difundidas desde el entorno social y cultural de esa

época, a saber, el ejercicio de difusión que al ser vertidas sobre el saber

matemático hace que adopte significados y formas específicas, por ejemplo, la

exposición de las ideas matemáticas atendiendo a una secuencia lógica, así como

la necesidad de más formas de caracterizar el saber (gráficas, explicaciones

verbales, ejemplos, etc.) para garantizar que los lectores no necesariamente

expertos pudieran acceder al saber.

Por su parte D’Amore (2000), muestra a través de una serie de ejemplos, cómo el

saber matemático escolar se hace dependiente de los contextos sociales y

culturales donde uno se encuentre, si bien el valor de una almeja multiplicado por

el número de almejas es sensato escolarmente, en el ámbito de los pescadores

esta operación es inadmisible, pues jamás se contarían las almejas contenidas en

una caja. Pero, por otra parte, si bien el contar es una práctica muy racional en el

contexto de nuestro vivir diario, esto mismo es inadmisible escolarmente,

imagínese ¡contar seis veces doce! en vez de multiplicar seis por doce. Este

hecho señala el autor, se debe a que las manipulaciones sintácticas de la escuela

16

vuelven sensato en ausencia de un contexto real, las operaciones que se puedan

realizar. Así, el saber vuelto institucional condiciona las normas no sólo del acceso

a él sino también las normas de uso.

1.4 Síntesis

Los datos reportados en este primer capítulo dan muestra de que la producción de

conocimiento científico se rige bajo la lógica de ciertos escenarios, por nuestra

parte, consideramos que la matemática escolar no es la excepción, pues al igual

en ella encontramos situaciones particulares que hacen que el saber adquiera un

significado. Esto es, hablamos de una influencia de los entornos sociales y

culturales para la formación de una propia sociedad y cultura, empero,

escolarmente hablando.

De esta manera mantenemos la idea de que la producción y la escolarización del

conocimiento matemático tienen una lógica (o sociocultura) propia, y por tanto son

dos sistemas que si bien tienen un eje común, no se rigen bajo las mismas normas

y leyes de funcionamiento. Es decir, si bien la forma axiomática tiene sentido

cuando se habla de la validación, generalización e institucionalización de la

producción del conocimiento matemático, ésta no tendría porque tener el mismo

sentido cuando deseamos o procuramos el aprendizaje o difusión de la misma.

17

Capítulo Segundo

18

2.1 Introducción

En este apartado mostramos algunos de los trabajos que nos permitieron

reflexionar, vislumbrar y delimitar nuestro estudio. Hemos dispuesto seis

subapartados y en todos ellos nos tratamos de enfocar a dilucidar la forma en

cómo las investigaciones muestran lo situado del conocimiento matemático ya sea

a través de factores socioculturales o bien personales. Se comenta sobre los

escenarios y describimos los principales rasgos que caracterizan a la matemática

en dicha situación.

2.2 Reformas y el discurso matemático escolar en el profesor

La supuesta secuencialidad de contenidos temáticos en los programas escolares,

presupone una supuesta secuencialidad en el aprendizaje o construcción de

conocimiento. ¿Es el proceso de construcción del conocimiento “secuencial”?

¿Qué evidencia hay de que esto sea así? La literatura especializada (Chevallard,

1998) muestra cómo la organización de contenidos obedece y se rige bajo la

lógica de la economía del “funcionamiento” del sistema ya sea educativo o

didáctico, empero, no bajo la lógica de construcción o aprendizaje de la

matemática. Durante mucho tiempo, las instituciones escolares (en el nivel

superior) han optado por la costumbre de favorecer la enseñanza de los conceptos

matemáticos a través del paradigma de un discurso en forma axiomática-formal.

Es decir, la enseñanza de la matemática se piensa debe hacerse de una forma

axiomática en donde primero es A, luego B, luego C… . y así sucesivamente y que

19

el aprendizaje por su parte, es una reflexión profunda sobre el saber matemático

(ya establecido) de la forma: proposición entonces afirmación ( qp ? ).

A través de los años, este discurso formalista ha sido objeto de diversas

transformaciones y de un estudio sistemático de los fenómenos que conlleva, a la

luz de esto se dio lugar a diversos paradigmas y con ello a diversas teorías, de tal

forma que en cada una de ellas se argumentaba y sostenía una forma de lo que

es aprender o de lo que es construir o hacer matemáticas en situación escolar.

Podemos mencionar entre estas corrientes teóricas una de las que tuvo un gran

impacto y aceptación por diversas instituciones escolares fue el constructivismo,

donde a la luz de esta corriente hacer matemáticas es igual al paradigma

formalista anterior, es decir, de manera axiomática y aprender por su parte, es la

reflexión profunda acerca de la veracidad de una afirmación dada, de esta manera

se realizaron producciones de “situaciones didácticas” (no en el sentido estricto

referido por Brousseau, 1997) por parte de los profesores, de tal suerte que se

resguardasen bajo verbos como: conjeturar, establecer, hipotetizar, estimar,

desestimar, verificar, bosquejar, representar, modelar,… (Cantoral, 2004). Otras

visiones en contraposición de la anterior, en vez de establecer la veracidad de

que qp ? , se preguntaba ¿será qué qp ? ?

Este decreto por parte de las instituciones escolares de acogerse bajo una visión o

la otra, debieron movilizar la forma y la estructura de como dar clases de

matemáticas. Sin embargo, a pesar de ello las clases hoy en día siguen

conservando rasgos esencialmente iguales a algunas décadas atrás. Clases

20

inscritas en el uso excesivo de técnicas expositivas y discursivas; centralizadas en

el profesor como “único” responsable de la enseñanza (¿y del aprendizaje?).

2.3 Creencias sobre el saber matemático

El ser humano por naturaleza se presenta como dos seres, individual y social

(Durkheim, 1996). En el que a ciencia cierta estos dos seres que coexisten en uno

solo, no son iguales, pero tampoco son ajenos, esto es, no podemos decir que el

ser humano es totalmente individual y que sus reflexiones son productos

exclusivamente de su cognición, empero, tampoco podemos decir que sus

pensamientos son totalmente sociales, es decir, los individuos aun en una misma

sociedad actuán y se desenvuelven de diferente manera logrando conservar

rasgos esencialmente iguales de comportamiento.

En Arrieta (2003), se establece que:

Cada individuo en una sociedad es una parte de un todo, que es la

sociedad, pero esta interviene, desde el nacimiento del individuo, con su

lenguaje, sus normas, sus prohibiciones, su cultura, su saber; el todo

está en la parte. Y, sin embargo, somos singulares puesto que “el todo

esta en la parte” no significa que la parte sea un reflejo puro y simple

del todo. Cada parte conserva su singularidad y su individualidad pero,

de algún modo, contiene el todo (pp.21).

A través de este y otros argumentos se sostiene que el aprendizaje: es una

actividad humana situada en contextos sociales y culturales, donde los actores

21

sociales ejercen prácticas usando y construyendo herramientas, modificando con

esta actividad, las mismas prácticas, su entorno, sus realidades, sus herramientas

y su identidad.

Por otra parte, podemos emplear este mismo argumento para el caso del profesor

de matemáticas, en él, el todo y las partes, se torna aun más complejo, es decir, él

está constituido en al menos tres “todos”: la sociedad, la práctica laboral y las

instituciones escolares, pero a su vez, éste conserva su individualidad e

independencia, sus creencias personales de cada una de los tres “todos”

anteriores. Estos “todos” en ocasiones son opuestos, por ejemplo, hacer

matemáticas. ¿Puede pensarse en enseñar la integral antes que la derivada? y/o

contradictorios; Cómo se utiliza y aplica la matemática, ¿habrá problemas reales

en donde los datos se presentan organizados, tal como se presentan en la

escuela? Es decir, el sistema didáctico versus la práctica laboral.

Todo esto de alguna u otra manera, establecemos que incide en un proceso de

enseñanza-aprendizaje de las matemáticas, o bien ¿podemos pensar que el

profesor al dar su clase de matemáticas lo hace libre de algunos de los preceptos

anteriores?

2.4 Lo secuencial y epistemología del saber

El discurso matemático escolar (dme), por años se ha organizado bajo el

paradigma de que el conocimiento se da en forma secuencial o bien en forma

axiomática, de tal manera que para resolver un problema es necesario tener las

22

herramientas necesarias para ello. O que es necesario primero definir y luego usar

un objeto matemático.

Sin embargo, el valor funcional del concepto matemático, epistemólogicamente,

antecede al valor teórico, esto es, el último paso para concretar un concepto

matemático es exactamente definirlo en términos de estructuras en las cuales este

interviene y de las propiedades que satisface (Brousseau, 1997).

Castañeda (2006) a través de un análisis de los libros de texto para el caso de la

formación del discurso sobre el máximo y mínimo de las funciones, establece que

el fenómeno se remonta, en ese caso, al hecho de que se pensó en llegar a un

número mayor de personas, mediante un lenguaje accesible a la población no

especializada. Él dice: esto produjo una transposición didáctica del cálculo en el

que las ideas aparecieron adaptadas a una circunstancia específica <<la

difusión>> y se organizaron en una secuencia lógica atendiendo a la evolución y

profundidad de las ideas. Por tanto, no se entendió el ejercicio de difusión como la

reimpresión y publicación en gran escala de los originales.

2.5 Selección de saberes

El primer paso para la realización de currículos escolares es una dialéctica entre

los saberes matemáticos a estudiar y las necesidades sociales a satisfacer, pues

como lo indica Chevallard (1997), (… ) todo proyecto social de enseñanza se

establece mediante la identificación y designación de saberes (...), de modo que

dentro toda la gama de saberes se elegirán unos con la finalidad de ser

enseñados. Esta elección no es única, por el contrario, es múltiple, es decir, una

23

vez elegido el saber a enseñar, se tendría que establecer ¿qué del saber se ha de

enseñar?, ¿con qué profundidad? y más aun ¿qué versión (creación didáctica) del

saber se habrá de enseñar? Por ejemplo, supóngase que estamos interesados en

enseñar cálculo, en específico, derivadas, cuál versión debemos enseñar la de

Leibniz (como curvas poligonales) o la de Newton (como velocidades de cambio)*,

o tal vez ninguno de los dos, (si nos situamos en nuestra era y didácticamente

hablando, el de Leithold, el de Spivak o el de D’ Alambert). Sin duda alguna, esto

es algo que los diseñadores de currículos deben elegir, si se piensa en ello; sino,

por el contrario cada profesor lo tendría que hacer. Por lo que, un saber

matemático pasa de la función que le dio origen a cumplir una función social, que

puede o no ser la misma a la de su génesis.

2.6 La producción de conocimiento matemático

La matemática en situación escolar es “construida” y dada a conocer con la

característica intrínseca, es decir, se pone en apariencia que la matemática es

construida a partir de una serie de afirmaciones evidentes que no necesitan ser

demostradas (axiomas), que nos llevan a construir una matemática de un nivel

más elaborado que al anterior, pero, cuya verdad es demostrada a través de los

axiomas, siguiendo esta construcción se dan otros conocimientos en un nivel más

sofisticado que los anteriores, pero, que su verdad es puesta en evidencia a través

de las afirmaciones del nivel anterior. De manara que, la producción de

conocimiento matemático, se puede dar bajo una lógica propia, gracias a su

método axiomático, a partir de cuestionarse profundamente sobre la veracidad de

* Tomado del libro “Desarrollo conceptual de cálculo” Cantoral y Farfán (2004). No textualmente.

24

tal afirmación, esto da muestra de la autonomía que posee la matemática por si

misma, es decir, es una ciencia que se puede generar así misma, tal es el caso

por ejemplo, de la producción de conocimiento matemático cuando se negó o

afirmó el quinto postulado de Euclides.

Por otra parte, cuando en su caso, la matemática entabla la relación con otras

ciencias se deja percibir que la matemática es preexistente a las demás puesto

que ella es la herramienta para que las demás funcionen; ¿de qué manera pues,

podría resolver la física sus problemas sino hubiera matemáticas? La creencia de

que la matemática es una disciplina más antigua e importante que la física,

astronomía, química, etc. es muy divulgada en nuestro entorno social, Sin

embargo, es el saber matemático el que surge a través del planteamiento de

preguntas en cada uno de los contextos de las ciencias, es decir, la matemática

muchas veces, no se crea así misma, por el contrario, surge cuando el ser

humano se enfrenta a la resolución de tareas específicas o a la explicación de

fenómenos de su vida cotidiana, por ejemplo, preguntas como: “si el ser humano y

nuestro planeta están sometidos constantemente a los rayos del sol” ¿cómo es

que no se ha quemado la tierra? llevaron a plantearse modelos, favoreciendo con

ello el surgimiento de las series de Fourier.

En este orden de ideas, diremos que el pensamiento matemático, suele

interpretarse de distintas formas; por un lado se le entiende como una reflexión

espontánea que los matemáticos realizan sobre la naturaleza de su conocimiento

y sobre la naturaleza del proceso de descubrimiento e invención en matemáticas.

Por otra, se entiende como parte de un ambiente científico en el cual los

25

conceptos y las técnicas matemáticas surgen y se desarrollan en la resolución de

tareas; finalmente, una tercera visión considera que el pensamiento matemático se

desarrolla en todos los seres humanos en el enfrentamiento cotidiano a múltiples

tareas (Cantoral, et al, 2000).

Actualmente bajo esta última visión, podemos encontrar estudios sobre los

contextos socioculturales que dan evidencia de cómo el saber matemático

responde a escenarios particulares, por ejemplo, en Cantoral (2001) citado en

Castañeda (2006), él muestra que por lo menos existen tres versiones de la

integral, la de Cauchy-Riemann, la de Newton-Leibniz y la de Wallis, las tres

presentaciones no solo difieren por la época en la que fueron desarrolladas sino

también respecto de las explicaciones de las que echan mano. Esto da cuenta de

que el saber matemático es constantemente creado según las necesidades

sociales de la era, porque en este sentido no podemos hablar de una evolución de

un concepto matemático, es decir, no es que la integral de Wallis halla sucedido a

la de Newton o viceversa, sino que en sí, cada una responde a necesidades

sociales diferentes. O como lo muestra Montiel (2005) para el caso de la función

trigonométrica, donde ésta estuvo asociada a prácticas sociales como la

anticipación, la predicción y la formalización, a su vez asociadas a las prácticas de

referencia como la matematización de la astronomía, la matematización de la

física y la matematización de la transferencia del calor, respectivamente.

26

2.7 Usos de la matemática

La matemática puede ser usada de diversas formas en diversos contextos,

cualquiera que sea el uso, el saber puesto en juego adquirirá un carácter situado

específico, por ejemplo, situándonos en un contexto escolar, es evidente que la

matemática nunca se hizo pensando en ser enseñada, puesto que ella surge y se

construye a través de las actividades a las que el ser humano se enfrenta. Más las

necesidades sociales de enseñanza obligaron a una escolarización de los

saberes, luego entonces, a que el saber adquiera un carácter específico, como por

ejemplo, una estructura axiomática.

Por ejemplo, en Marcolini (2005) se muestra como respecto a la serie de Taylor

hoy en día en las aulas de clases se favorece su aprendizaje como un instrumento

de convergencia en lugar de ser utilizada como una herramienta de predicción

como original fue concebida. Este hecho hace que el saber matemático puesto en

juego adquiera características específicas como que sea preexistente (forma) y

que sea utilizada como un instrumento de convergencia (uso).

En Parra (2003) se señala que, algunos profesores creen que la matemática es un

lenguaje y como tal enfocan sus clases de matemáticas a que los estudiantes se

aprendan la sintaxis valida universalmente, otros piensan que la matemática es un

conjunto de axiomas estructurados de manera formal y enfocan sus esfuerzos en

este rubro, algunos piensa que es un conjunto de ideas independientes del mundo

y otros pocos, entiende a la matemática como producto de una realidad concreta y

de la experiencia. En cualquiera de los casos, son las creencias sobre el uso del

27

saber matemático entre los profesores lo que hace que la matemática sea utilizada

para un objetivo específico.

Pero no acaso es la matemática puesta en escenarios escolares por alguna razón

más que lo que de ella se reinterpreta por los agentes de este sistema, de qué

manera se hace este proceso, es decir, cómo es que la matemática pasa de ser

un objeto de predicción, en el caso de la serie de Taylor, a ser un objeto de

convergencia.

Este estudio se centró en parte a ello, poniendo énfasis no en aspectos intrínsecos

a la(s) persona(s), tal como presenta Parra (2004), sino más bien en los aspectos

sociales, puesto que suponemos ellos también intervienen. Por ejemplo, a lo largo

de los años diversas investigaciones en el campo de la sociología y recientemente

en matemática educativa (Arrieta, 2003; Buendía, 2004; Montiel, 2005), muestran

que el pensamiento humano no es intrínsecamente propiedad de un individuo,

sino que ello más bien responde a una forma socialmente compartida de un grupo,

comunidad o sociedad, incluso, cuando el ser humano piensa matemáticamente.

28

Capítulo Tercero

29

3.1 Introducción

El proceso de selección de los problemas de investigación en cualquier disciplina

científica debe estar conectada con un marco teórico y con teorías específicas que

den significación a los mismos, de modo que los conocimientos aportados

contribuyan a la compresión global de los fenómenos didácticos (Aparicio, 2003)

de esta manera a lo largo de este capítulo se discutirá primero algunos aspectos

relativos a la selección de teorías acordes al objetivo de la investigación.

Centraremos la discusión en la aproximación teórica de la socioepistemología o el

acercamiento socioepistemológico (Cantoral y Farfán, 2003). Una vez acogidos al

seno de este marco teórico de investigación en matemática educativa, veremos

cómo algunos de los términos que comúnmente manejamos en el ámbito

educativo y que hemos utilizado en capítulos anteriores adquieren un nuevo

significado, por ejemplo, la práctica social.

3.2 Aspectos relativos a la selección de teorías

Considerando el problema y objetivo de investigación dado en capítulos

anteriores, se puede observar el carácter social de los fenómenos que hemos

estudiado. En efecto, dado que se desea reconocer las relaciones que guardan los

individuos y la cultura entorno a la organización y práctica del currículo de cálculo.

Se puede decir que en cada uno de

nosotros existen dos seres.... el ser

individual y el ser social.

Émile Durkheim. Educación y sociología

30

Empero, queremos decir que no es propiamente el carácter social del estudio lo

que hace que sea de competencia de teorías antropológicas o sociológicas, más

que, de teorías en matemática educativa, pues en efecto, puede pensarse que un

sociólogo o antropólogo con conocimientos de matemática y dotado de

metodologías afines, puede hacer dicha labor. Luego entonces, ¿cuál es la razón

para que sujetos con estudios en matemáticas se centren en estudiar fenómenos

de índole social? Viendo la investigación de esta manera, se acepta que es labor

de teorías sociales, sin embargo, pasamos por alto el enfoque y el centro de

atención que le daría cada uno, es decir, mientras que el antropólogo se interesará

en el origen y la evolución de la sociedad, el sociólogo se interesará en explicar el

hecho social, en tanto que, por su parte el matemático educativo pondrá su

atención en dar cuenta de la matemática en situación escolar a través de lo social,

es decir, lo social es un medio (y no precisamente el objeto de estudio, como si lo

sería para el sociólogo o antropólogo) que permite ampliar las reflexiones y

explicaciones entorno a los diversos fenómenos que ocurren en la educación

matemática.

De esta manera, más que necesitar de teorías antropológicas y de antropólogos o

sociólogos, es necesario la labor de teorías que permitan estudiar de manera

sistémica al profesor, al alumno y el saber, estas componentes, son reconocidas

en matemática educativa como los vértices del triángulo didáctico (en un primer

nivel). Además, en nuestro caso, viendo los elementos en que hemos puesto

nuestro interés, hemos de situar estas componentes en un entorno sociocultural.

31

Actualmente el triángulo didáctico se ha generalizado, por ejemplo, en vez del

profesor puede referirse al rol que juega éste, que es el de normar el saber al

interior del aula (constituida por estudiantes) y de esta manera situar en su lugar a

la institución, que juega a su vez el mismo rol en las comunidades, en vez de

hablar del alumno hablemos de una comunidad, y en lugar de saber hablemos de

currículos (Ver figura 2).

Dicho triángulo o su generalización, en la actualidad es reconocido como la unidad

mínima de análisis de las investigaciones en didáctica de las matemáticas o en

matemática educativa, como es llamada la disciplina por nuestra ubicación

geográfica.

Por otra parte, se puede mencionar que existen diversos paradigmas que permitan

guiar las investigaciones en matemática educativa, por ejemplo, la teoría de los

campos conceptuales (Vergnaud, 1991), la de las representaciones semióticas

(Duval, 1999), la de la transposición didáctica (Chevallard, 1998), las situaciones

didácticas (Brousseau, 1997), la aproximación teórica de la socioepistemología

(Cantoral y Farfán, 2003), etc. Estas teorías se centran, cada una, sobre alguno de

Profesor

Alumno Saber

Institución

Comunidad Currículo

Figura 2

32

los vértices o lados del triángulo didáctico, explicando los fenómenos en didáctica

de las matemáticas desde esa visión.

Por ejemplo, la teoría de los campos conceptuales de Vergnaud (1991) y la de las

representaciones semióticas de Duval (1999), permiten explicar los fenómenos en

didáctica de las matemáticas tomando como centro de sus reflexiones al alumno y

su relación con el saber matemático en situación escolar, así, permiten explicar el

comportamiento cognitivo de los estudiantes ante ciertas actividades matemáticas

específicas (Cantoral y Farfán, 2003), por ejemplo, se permite explicar por qué si

algunos estudiantes pueden hacer la suma de dos medidas de una misma serie de

objetos con gran facilidad, hasta cierto punto, ante el cambio de situación como

realizar la suma de una cantidad inicial de objetos más la de una cantidad final,

después de sufrir una transformación, ellos no pueden hacerlo con la misma

destreza que en la primera situación. O explicar, bajo la visión de Duval, porque el

estudiante puede tener un gran dominio en un contexto algebraico para hallar

raíces de polinomios, pero ante el cambio a un contexto geométrico, en muchas

ocasiones, ellos tienen un gran fracaso. De esta manera, dichas teorías permiten

establecer una relación cognitiva entre alumno y saber.

Por otro lado, teorías como la de situaciones didácticas de Brousseau (1997)

permiten establecer un contrato didáctico entre el profesor y el alumno. Y teorías

como las de Chevallard dejan entre ver los efectos de transposición didáctica de

las que son objeto los saberes, estableciendo de esta manera una relación entre

profesor y saber, de transposición. Dichas relaciones establecidas son tomadas en

ocasiones como los lados del triángulo didáctico.

33

Sin embargo, dichas aproximaciones aunque explican las relaciones que desean

explicar, no asumen que este triángulo es situado. Dejando de lado los efectos del

entorno sociocultural sobre los agentes del sistema educativo, como establece la

teoría Socioepistemológica al proponer la tesis, de que las prácticas sociales

tienen una función normativa en las actividades de los seres humanos. Y de esta

manera, dichas relaciones retomarían nuevos significados. Es decir, la relación

alumno-profesor es percibida como un producto de la cultura donde se encuentra

inmerso el individuo.

Al percibir el carácter sociocultural de los fenómenos en didáctica de las

matemáticas y con ello el del triángulo didáctico, se permite hacer referencia a la

aproximación teórica de la socioepistemología la cual permite hacer estudios de

corte sociocultural de tal manera que en ella se perciba que el triángulo didáctico

es situado social y culturalmente, y de esta manera darle un enfoque diferente a

los vértices y lados del triángulo didáctico, además de un tratamiento sistémico se

concibe a su vez los escenarios socioculturales. De esta manera, una vez

discernido y argumentado la razón por la cual nos acogemos por una teoría y no

por otra, veamos lo que se entiende por ello y qué de particular nos interesó tomar

de dicha teoría.

3.3 La socioepistemología y las prácticas sociales

Recientemente un grupo de investigadores de matemática educativa en nuestro

país comparten la visión de plantearse como tarea fundamental el examen del

conocimiento situado, aquel que atiende a las circunstancias y escenarios

34

socioculturales particulares, caracterizando al conocimiento como fruto entre

epistemología y factores sociales (Cantoral, 2002; citado en Montiel, 2006). Esto

supone el problematizar al saber matemático a través de la atmósfera donde ésta

surge, escenarios sociales, con la finalidad de proveer explicaciones a los

fenómenos didácticos, esta visión rompe de principio con los paradigmas

preexistentes a él, pues de principio pone en cuestionamiento el saber matemático

y en segunda, porque se enfoca al estudio de elementos sociales presentes

cuando el ser humano construye matemática y no, en la matemática misma. Por

ejemplo, se piensa que cuando el ser humano hace matemáticas solo intervenían

él y el saber puesto en juego, hoy en día se sabe, que igual intervienen factores

como la institución donde está inmerso, el profesor (Brousseau, 1997) y la

sociedad en la que desenvuelve (Cantoral, 2000).

Es entonces como un grupo de investigadores en nuestro país proceden a

investigar como sigue, si el conocimiento matemático es de la forma qp ? ,

entonces se ocupa, dice Cantoral (2004), de problematizar el saber, por ejemplo,

¿p?, ¿será p el punto de partida?, ¿de donde provino p? en este caso se ocupa de

desnaturalizar o desmatematizar el saber matemático al aceptar que antes que

hablar de p, habrá que hacerlo sobre un complejo de prácticas, de naturaleza

social, que den sentido y significado al saber matemático escolar. De esta manera,

se acepta que se puede generar matemática externa a ella, es decir, por medio de

una praxis que evoluciona y que se convierta en lo que norma la actividad

matemática (práctica social).

35

Esta visión y forma de hacer investigación en matemática educativa es conocido

actualmente no solo en México, sino en otras partes del mundo como una

aproximación socioepistemológica. Por ejemplo, en Wikipedia (2006b) se dice: La

socioepistemología (del latín socialis y el griego ep?st?µ?, episteme,

"conocimiento" o "saber", y ?????, logos, "razonamiento" o "discurso"), también

conocida como epistemología de las prácticas o filosofía de las experiencias, es

una rama de la epistemología que estudia la construcción social del conocimiento.

Y aunque, es una teoría, que esta en proceso de construcción, existe ya una gran

diversidad de trabajos que la toman como marco teórico, véase por ejemplo,

Aparicio (2006) y (2003), Buendía (2003), Covian (2006), entre otros.

Covian (2006) propone y muestra un modelo de la evolución de la práctica, la cual

se presentará en tres etapas, a saber, etapa inicial, etapa primaria y etapa teórica.

Es en está última donde se hace visible el concepto de práctica social, la cual no

es sólo la evolución de la actividad humana y la praxis, sino que goza de un poder

coercitivo sobre los individuos de la sociedad. Por ejemplo, una práctica social

encontrada a través de un estudio de corte socioepistemológico es la práctica de

la predicción, que a falta de controlar el tiempo a voluntad, obliga a los grupos

sociales a predecir, a anticipar los eventos con cierta racionalidad y de la cual

deriva todo un cuerpo teórico de conocimientos y un aparato herramental como lo

es el cálculo infinitesimal.

En Arrieta, et al, (2004), se postula que son las prácticas sociales las que permiten

a los individuos generar conocimiento, pues son ellas un conjunto de acciones

voluntarias que intencionalmente desarrolla el ser humano para construir

36

conocimiento. Es decir, es algo que los incita a hacer lo que hacen y no por ser

una mera obligación preestablecida sino porque es una actividad social y como tal

está investida de un poder coercitivo que se establece por medios sociales.

Es así, como la socioepistemología se ha a dado a la tarea de encontrar las

prácticas sociales en algunos temas de matemáticas, muestra de ello son las

diversas prácticas sociales halladas a través de las investigaciones, como por

ejemplo, la de predicción, la de comparación, la de aproximación y la de

estimación (Aparicio, 2003).

3.4 Lo Social y lo cultural

Estamos tan acostumbrados en nuestra hablar cotidiano a utilizar la palabra

sociedad y se nos ha enseñado a distinguir bien entre una y otra, a través de

meramente examinar si se tiene una característica observable, del tipo físico;

principalmente, el grupo al que nos referimos, es decir, cuando nos referimos a la

sociedad yucateca aceptamos el término tal vez porque es “obvio” que se refiere a

las personas que viven en el estado de Yucatán, cuando se habla de la sociedad

mexicana, nos referimos a las personas que viven en México, aun en otras

situaciones distinguimos bien una sociedad, por ejemplo, cuando hablamos de la

alta o baja sociedad son distinguibles estas por la cantidad de dinero o por la

apariencia que tienen las personas en cada uno de los casos mencionados.

Pero, si distinguir entre una y otra sociedad se reduce a la observación de

características físicas, de qué manera podemos hablar de sociedades de

mexicanos viviendo en estados unidos de Norteamérica, o incluso de qué manera

37

hablar de una sociedad yucateca sin una delimitación geográfica, dónde acaba

una sociedad y comienza otra sino hay una delimitación geográfica, más aun,

cuántas personas podemos decir que forman una sociedad.

Puesto que aun dentro de una misma sociedad podemos encontrar sociedades de

otros estilos, es de nuestro parecer que dicho término puede ser definido en

términos de cosas no cuantificables, ni físicas. Es decir, existen fenómenos

totalmente exteriores al individuo, al lugar y al número de personas que hicieron

que tal sociedad sea hoy en día como es y que de esta manera se pueda distinguir

entre una y otra sociedad.

Observemos que una de las características de toda sociedad (que no es física y ni

geográfica) es el poder normativo con el que actúa sobre los individuos que la

conforman, por ejemplo, quién osaría ir vestido con pantaloncillos cortos y una

chamarra a una fiesta de gala en la noche. Ciertamente no existe una legislación

que lo impida, ni que las demás personas lo hagan directamente, pero hay algo

fuera de ellos que les dice como ir, pues sino están propensos a las burlas y

críticas de los individuos. Es la sociedad la que habla por boca de aquellos que las

afirman en presencia nuestra: es ella la que oímos oyéndoles y la voz de todos

tiene un acento que no podría tener la de uno solo… ella tiende a rechazar las

representaciones que la contradicen, las mantiene a distancia; impone, al

contrario, actos que la realizan, y esto no por una coerción material o por la

perspectiva de una coerción de este tipo, sino por el simple brillo de la energía

mental que está en ella (Durkheim, 2000).

38

Esta imposición no se limita solo a decirnos como vestir, como comer o que

comer, sino que, abarca muchos otros aspectos, más de los que podemos

imaginar, imponiéndonos sus condiciones y sus formas de realizarlo, inclusive

eligiéndonos las carreras que hemos de estudiar, caracterizando lo bueno, lo

malo, estableciendo qué es lo normal y qué lo anormal, hacia a donde debemos

encaminar nuestros esfuerzos para contribuir al objetivo social (por cierto, más

bien, implícito), la religión a profesar, como comportarnos, como pensar, etc.

¿Cómo pensar? En efecto, pensar es un acto de naturaleza intrínseca a la

persona, pero dada la normatividad de la sociedad, se vuelve un acto social,

aunque claro está, no todos los individuos de una sociedad piensan de la misma

manera, pues existen particularidades, pero, tampoco es posible encontrar por

encima de la media, formas de pensar radicales.

Es por ello que pensamos en lo social como aquellas formas de pensamiento

externas al individuo, que son compartidas por encima de la media y que están

investidas de un poder normativo.

Por otra parte, existen ciertas prácticas preexistentes a la sociedad (siempre y

cuando ella no sea la elemental, en el sentido de Durkheim (2006)), es decir, son

aquellas trasmitidas y/o que permanecen con la evolución de la sociedad, ellas

por ejemplo, nos dicen cómo hacer ciertas cosas, o cómo se hacían, y las formas

de apreciar algo, en este sentido es que concebimos que una de las formas en

como se caracteriza a la cultura es como lo hace Taylor (1995) citado en

Wikipedia (2006) siendo para él, aquel todo complejo que incluye el conocimiento,

39

las creencias, el arte, la moral, el derecho, las costumbres, y cualesquiera otros

hábitos y capacidades adquiridos por el hombre.

En síntesis, mientras que la sociedad es caracterizada principalmente por su

poder normativo sobre los individuos que la conforman, la cultura por su parte es

caracterizada principalmente por aquellos conocimientos acumulados a través de

los años de existencia de dicha sociedad (aunque actualmente están siendo

aceptados, los conocimientos producto de otras sociedades como parte de la

cultura de una sociedad, por ejemplo, el conocimiento matemático).

3.5 Determinación de algunos términos clave para el estudio

En este apartado nos centráramos principalmente en la determinación,

dialectización y caracterización de aquellos términos que son los que nos

interesan sobremanera en este estudio. Con base en el marco ya definido

trataremos precisamente de lograr esta caracterización y a su vez de reflexionar

acerca de los fenómenos que conlleva desde esta misma perspectiva.

3.5.1 Lo situado

Situar, localizar y ubicar en muchas ocasiones son tomados como sinónimos,

aunque a decir verdad, es el escenario donde nos hallemos el que nos limita, en

ocasiones, asignar cierto significado a estas u otras palabras. Para fines de

profundidad y alcance de este estudio, nos es preciso el delimitar el significado de

cada uno de los términos a utilizar, en particular, el significado de la palabra situar.

Al menos que se desee que las palabras se han reinterpretadas a gusto y placer

40

del lector, tal y como sucedía en la sociología según señala Durkheim (2006)

cuando se habla de términos como la familia, el delito, la sociedad, etc., que por

considerarse cotidianos en nuestro hablar eran innecesario definir. Sin embargo,

cuando el sociólogo diga, por ejemplo, “la familia es la base central de una

sociedad”, ¿qué debemos entender por familia? aquella formada por padre, madre

e hijo (s), según la concepción (ideal) católica, empero no acaso en oriente o en el

pasado podemos encontrar que la estructura de las familias es diferente a la

anterior o tal vez en una concepción, un tanto más platónica, deberíamos entender

por familia aquel conjunto de personas que contribuyen al desarrollo de cada uno

de los elementos del conjunto, aceptándolos, aconsejándolos, dándole hogar, etc.

De esta manera, así como en sociología es preciso el uso de un lenguaje para

denominar ciertos fenómenos u objetos propios de ella, al igual en la matemática

educativa es necesaria la definición de los términos propios a utilizar, así cuando

alguien utilice palabras tales como escenario, contexto, contrato, conversión,

transponer, etc., se puede entender el alcance y profundidad de dichos términos.

En nuestro caso, cuando a lo largo de este escrito digamos situar o carácter

situado, se debe entender algo más que localizar y ubicar, que cotidianamente se

podrían pasar por sinónimos todos ellos.

En el diccionario de la academia española de la lengua (Versión Web), localizar,

es tomado en un sentido de delimitar, fijar o encerrar a alguien en un lugar

determinado. Ubicar se refiere a instalar en determinado espacio o lugar y situar

es poner a alguien en determinado sitio o situación.

41

De manera simplista vemos que las tres palabras refieren a la noción de lugar,

espacio o las coordenadas donde se puede encontrar un determinado objeto, en el

sentido de localizar se refiere al hecho de que el objeto ya está en un espacio

predeterminado al cual solo tenemos que hallar sus coordenadas en un plano, en

tanto que ubicar, más que el objeto esté en dicho lugar de manera

predeterminada, hace referencia a instalar o poner un objeto en algún lugar. De

manera que, mientras en el primer caso el objeto se encuentra de manera

anticipada en el lugar en el segundo es el resultado de la acción de quien lo pone

en un lugar.

En tanto que situar no solo se refiere a ubicar o localizar un objeto haciendo

referencia al espacio físico, sino que su significado va más allá, al hacer referencia

a la situación, es decir, en sí todo un escenario en el cual es puesto, ubicado o

localizado un objeto, en nuestro caso, matemático. Tal y cual dice Cantoral (2002),

citado en Martínez (2005), lo situado se refiere aquel que a tiende a circunstancias

y escenarios particulares.

Luego entonces, por el carácter situado de la matemática escolar (caso específico,

el currículo de cálculo) entenderemos a la forma y uso que adquiere la matemática

escolar, o una forma de pensamiento matemático, cuando esta responde a los

escenarios donde es puesta en juego. Por ejemplo, situando a la matemática en el

aula de clases, podremos decir que el carácter situado que la matemática

adquiere es de una matemática que responde a circunstancias y escenarios

específicos, por ejemplo, responde a una forma axiomática de presentación y

tratamiento de contenidos, la cual es usada única y exclusivamente para cubrir

42

una necesidad de enseñanza, misma que puede pensarse como la actividad que

ha de conducir a que el alumno se apropie de ciertos algoritmos y técnicas

algebraicas para la resolución de tareas escolares.

3.5.1.1 Lo situado o lo universal

Concibiendo así lo situado, se nos pone en el camino, al menos dos vías para

concebir los hechos tanto cotidianos como inusuales; una es percibirlos

precisamente como que responde a circunstancias particulares y la otra, pensar

que se da por cuestiones de tipo universal o mejor dicho, descontextualizado. Por

ejemplo, en el primer caso podemos pensar en cuestiones como el estado de

ánimo, las creencias religiosas, la lengua que hablamos, el tipo de moneda que

utilizamos, etc., en el segundo caso, la verdad no hemos hallado hasta el

momento ejemplos que repodan a este orden de cosas, es decir, cómo pensar en

algo que se da por espontaneidad y que no tiene circunstancias asociadas que lo

hacen ser como es y no de otra manera.

Pensemos por ejemplo en la risa, esta podríamos decir que denota el compartir la

alegría, la felicidad o el agrado de una situación, de manera universal, y hay que

recalcar que hablamos de una risa sincera y no aquella que tiene la intención de

hacer mofa de los demás, más qué pasaría si soltáramos una risa en una

situación, como un funeral, inmediatamente seriamos presa de esa presión del

grupo de individuos que nos exige el comportarnos de la manera “correcta”. En

nuestro quehacer cotidiano no acaso podemos interactuar y convivir con otra

persona sin poder asegurar que nuestras palabras o gestos van a tener otra

43

interpretación más de la que nosotros le quisimos dar, cuan problemático es a

veces esta situación.

En ocasiones, se piensa que la matemática es una abstracción de una realidad

descontextualizada para responder a diversas situaciones, empero aun así, las

proposiciones o teoremas que de ella emanan, están condicionadas, valga la

expresión, por las condiciones a las que estén sujetos los susodichos, por

ejemplo, los postulados en geometría están sujetos al plano en el que se esté

trabajando, los teoremas de la forma qp ? ; la veracidad de q esta sujeta a las

condiciones de p, etc., y más aun, la forma y el establecimiento de un teorema o

postulado responde a una situación específica, por ejemplo, el cálculo escolar, no

es más que la respuesta a una necesidad de enseñanza de los trabajos de Leibniz

y Newton, donde el primero surge de la situación de medir curvas y en el segundo

el interés por el movimiento de los cuerpos.

Pero si los significados y las acciones son más particulares que universales

¿cómo es que nos entendemos? Cómo es qué “donde uno ve blanco, la mayoría,

sino es que todos, ven al igual blanco”, de qué manera nos podemos comunicar

por medio de un lenguaje. Son aquellas imposiciones sociales que actúan de

manera conciente o inconciente para rendir tal efecto, es decir, creemos en ellas

sin razón alguna, sólo por el simple hecho de que tienen un efecto normativo

sobre nosotros, por ejemplo, no podemos salir a la calle sino es de la forma usual

en como es tradicional vestir en nuestra sociedad, es pues lo normativo que nos

hace actuar e incluso entender lo mismo que otras personas, pero no lo normativo

visto desde las leyes, decretos o normas preescritas, sino visto a través de lo

44

social y en efecto, esto es social, pues cuando hablamos en nuestra ciudad, con

los términos que la sociedad nos ha impuesto regionalmente, nos es fácil

comunicarnos y entendernos, pero si se da el caso de que salimos de nuestra

región, en muchas ocasiones se nos presentan dificultades para entender lo que

nos quieren decir aun hablando el mismo idioma (por ejemplo, el español).

3.5.2 El currículo

3.5.2.1 Hacia una concepción del currículo

A través de los años, en educación se han venido desarrollando diversas

definiciones de lo que es un currículo, o éste se ha ido entendiendo de diversas

maneras, por ejemplo para Arnaz (1981) citado en Díaz (2004), el currículo es, el

plan que norma y conduce explícitamente un proceso concreto y determinante de

enseñanza-aprendizaje que se desarrolla en una institución educativa (… ) Es un

conjunto interrelacionado de conceptos, proposiciones y normas, estructurado en

forma anticipada a acciones que se quiere organizar; en otras palabras, es una

construcción conceptual destinada a conducir acciones, pero no las acciones

mismas, si bien, de ellos se desprenden evidencias que hacen posible introducir

ajustes o modificaciones.

Mientras que para Arredondo (1981) citado en Díaz (2004), dice que el currículo

es el resultado de a) el análisis y reflexión sobre las características del contexto,

del educando y de los recursos b) la definición (tanto explicita como implícita) de

los fines y los objetivos educativos c) la especificación de los medios y los

45

recursos humanos, materiales, informativos, financieros, temporales y

organizativos de manera tal que se logren los fines propuestos.

Y para Glazman y De Ibarrola (1978) citado en Díaz (2004), lo definen como el

conjunto de objetivos de aprendizaje, operacionalizados, convenientemente

agrupados en unidades funcionales y estructuradas de tal manera que conduzcan

a los estudiantes a alcanzar un nivel universitario de dominio de una profesión,

que normen eficientemente las actividades de enseñanza y aprendizaje que se

realizan bajo la dirección de las instituciones educativas responsables, y permitan

la evaluación de todo el proceso de enseñanza.

En tanto que para la propia Díaz (2004), el currículo es la conclusión deducida de

un proceso dinámico de adaptación al cambio social y al sistema educativo. Es el

resultado del análisis del contexto, del educando y de los recursos, implica

también la definición de fines, objetivos, medios y procedimientos para asignar los

recursos.

Pero estas definiciones no sólo difieren por las palabras y con ello lo que implica el

uso de estos términos, por ejemplo, como usar enseñanza o aprendizaje, sino al

igual por la función que cumple el currículo en cada caso; por ejemplo, como sí

éste tiene una carácter normativo o no, o si se concibe al currículo como un

proceso dinámico o estático. Además, a nuestro parecer, todas estas definiciones

son construidas sobre un idealismo en aras de establecer una metodología para la

elaboración de un currículo, pues inmediatamente, dada su definición, proceden a

establecer una forma de realizar esto. Pero, bien podríamos nosotros haber

46

pasado por alto las bondades que estos autores nos señalan, por ejemplo, como

que todos ellos tienen en común que el currículo es un acto de planeación.

En aras de establecer una caracterización del currículo, en particular de la función

a cumplir y el carácter de éste, procedamos a reflexionar en los inicios de la

educación y cómo ella fue evolucionando hasta llegar a lo que hoy en día es. De

esta manera, debiéramos comenzar por establecer las formas elementales de la

educación, pero a nuestro parecer podemos saltar este gran camino gracias a los

trabajos realizados en esta dirección del sociólogo Émilie Durkheim, para más

referencia consúltese “educación y sociología” de mencionado autor. Es así en

que simplemente nos fijaremos en la definición de educación, basados en los

hechos propuestos por el autor antes citado, para que posteriormente nos fijemos

en los medios de cómo llevar ésta acabo con la masificación de la educación, y de

esta manera, vislumbrar alguna forma del currículo.

La educación puede ser entendida de diversas formas, una de ellas es como lo

dice Stuart Mill, todo lo que hacemos por voluntad propia y todo cuanto hacen los

demás a favor nuestro con el fin de aproximarnos a la perfección de nuestra

naturaleza, o como James Mill diría, hacer del individuo instrumento de dicha para

sí mismo y para sus semejantes. Pero estas definiciones pecan de subjetividad,

por ejemplo, ¿qué es aquello que los demás hagan a favor nuestro? O ¿qué es la

dicha? Una definición un poco más satisfactoria obtenida a través de un análisis

crítico de la historia de las sociedades en las cuales se encontró formas

elementales de lo que hoy llamamos así, es la que Durkheim (1996) establece: la

educación es la acción ejercida por las generaciones adultas sobre aquéllas que

47

no han alcanzado todavía el grado de madurez necesario para la vida social.

Tiene por objeto el suscitar y desarrollar en el niño un cierto número de estados

físicos, intelectuales y morales, que exigen de él tanto la sociedad política en su

conjunto, como el medio ambiente específico al que está especialmente destinado.

Lo anterior, implícitamente acepta y postula que la educación es eminentemente

un hecho social y a su vez, los fines de la misma. Aunque de esta misma manera

hace emerger preguntas tales como, ¿de qué manera proceder para alcanzar

dichos fines?, es decir, aunque quedase claro que de lo que trata la educación “es

la socialización de las generaciones jóvenes para formar mentes”, aquí queda al

aire qué es formar mentes, como si todos supiesen lo que es hacer esa labor, o

más aun, a través de qué vías llegar a ello.

En un primer instante, la educación era desarrollada a través de los padres, eran

ellos a los que se les reservaba el derecho de cómo hacerlo y por qué vías,

después, por fenómenos como la diversificación, la división, la agrupación de los

individuos en mayor número y con ello acentuar el hecho de que un solo hombre

no podía hacer todo, es decir, no podía ser carpintero, carnicero, alfarero, etc., y

con la complejidad de las tareas a las que se enfrentaba, la sociedad misma

despertó en el individuo la necesidad de saber, pues ya sus necesidades son

mayores y no tan simples, necesidad de un médico, un dentista, un veterinario,

etc., entonces, la cultura científica se tornó imprescindible, y éste es el motivo por

el cual la sociedad la exige en sus miembros y se la impone como una obligación

(Durkheim, 1996).

48

Es entonces, que la educación pasa de ser un acto familiar para convertirse a uno

social, pero este acto; pensamos, es el que lleva implícito la pérdida del proceso y

las vías para alcanzar estos fines, es decir, mientras que para los padres es claro

lo que esperan de su hijo, podría no quedarle claro eso mismo para hijos ajenos.

Pensemos además, en que ya no es un profesor sobre el que recae toda la

educación, sino es sobre un conjunto de ellos, por ejemplo, los de nivel primaria,

secundaria o más aun, situándonos a nivel superior cada profesor desarrolla una

materia, de qué manera estas convergerán para lograr el fin de la educación. En el

liceo de Francia, con la finalidad de sortear esto (acaso un rasgo de currículo) un

ministro instituyó asambleas mensuales en las que todos los profesores asistían

para discutir acerca de las diferentes cuestiones que les atañían a todos… se

acudía con toda puntualidad e interés, pero pronto se pudo constatar que nada

tenían que hablar, dado que todo objetivo común les era ajeno (Durkheim, 1996).

Esto no es más que la muestra de que cada individuo posee un ideal, en muchas

ocasiones, distinto a los que poseen el resto de los demás, por decir, mientras que

para algún profesor lo importante es que la derivada sea vista como variación,

para otro lo importante será que el alumno conozca los símbolos y el lenguaje

involucrado en la derivada, ¿qué de común hay entre estas dos visiones? En el

medioevo, el maestro de la faculté des Arts quería ante todo hacer de sus alumnos

unos dialécticos. En el renacimiento, los jesuitas y los regentes se dieron como

meta la de hacer humanistas (Durkheim, 1996). Es decir, por lo menos cada

profesor tenía trazado un ideal para la educación (de lo que debiera ser), y aunque

49

la forma de llevarlo no es clara, esto es poco relevante, (en este caso), pues no

importa la forma de alcanzar dicho ideal sino el alcanzarlo.

¿Y si es por decreto la forma de alcanzar el ideal? Los reglamentos y los decretos

no pasan de ser meras palabras que no pueden convertirse en realidades más

que con la colaboración de aquellos que son encargados de aplicarlos… más sino,

se aceptan más que a regañadientes, si se someten a su autoridad aun cuando no

comulguen con ellos, no pasaran de ser letra muerta y sus resultados serán

estériles (Durkheim, 1996)

En todo este discurso que acabamos de realizar, encontramos el hilo conductor

que nos guía a establecer en una forma de concebir el currículo, lo primero que

hay que observar es que es de carácter social y debe responder a las necesidades

sociales; en segunda; que trata de establecernos un ideal para formar a los

individuos de cierta sociedad, y que finalmente es una forma de homogenizar los

ideales, más no, de coartar ni de imponer ideales. En síntesis, el currículo no es

más que, como diría Chevallard (1998), un proyecto social de enseñanza y

aprendizaje.

3.5.2.2 Consecuencias

El currículo no es más que un ideal, una utopía, un plan de lo que el alumno debe

aprender o debe ser, más de ninguna manera una imposición, ni algo con carácter

normativo. Y si es así, ¿De qué manera alcanzar el fin último de la educación?

¿No debería ser normativo el currículo? Es decir, piénsese en el proyecto de

construir un edificio de veinte pisos (plantas), no acaso necesitaremos terminar de

50

construir el tercero, para terminar la obra, que seria de una planta que no tuviera el

piso o sus paredes, ¿no acaso sería un proyecto inconcluso? O más aun, un

fracaso de ingeniería. Pero claro está, que el ejemplo precedente responde a un

orden de cosas distintas al que nosotros nos queremos enfocar, pues ello está

centrada en el reino de los objetos físicos, en donde el orden de las bases

(cimientos, principios, raíces, etc.) puede llegar a jugar un papel trascendental

además de que en este reino tratamos con objetos que podemos modificar a

antojo y capricho, en tanto que en el otro, tratamos con personas, es decir,

hablamos del reino de las ideas socialmente compartidas. Pero aun así, que tal si

desearemos aplicar las mismas reglas a este reino, y terminar dicho proyecto en el

tiempo y lugar previstos, ¿podemos despertar en el individuo, una idea de un día a

otro, o en seis meses? Y es que aquí entra en juego la complejidad del

pensamiento del ser humano, es decir, nos referimos al hecho de que, a veces,

tan sólo una circunstancia (o un conjunto de ellas) puede ser un motor para una

serie de cambios en su forma de pensar y actuar. Es decir, en este reino, no es

tan importante y necesario un orden específico para alcanzar la meta, basta con

tener algunos elementos que sean los detonantes para alcanzar nuestro fin o en

pensar de que dichos elementos no necesariamente son alcanzados en los

mismos tiempos, pero que con el tiempo es posible alcanzarlos.

Aun cuando pensemos, en que el carácter normativo del currículo es sui generis,

no sería más que una nueva utopía, pues como ya hemos establecido los decretos

no funcionan, o más aun, pensando que funcionarán en las personas que les

corresponde ejercer el currículo, qué pasaría con las personas que están inmersos

51

en este proyecto, es decir, qué sería de los estudiantes, por ejemplo, piénsese en

un grupo de personas que asiste a un teatro, ¿todos aprenden lo mismo de la

puesta en escena?, o dicho de otra manera ¿ven lo mismo todos? Como si un ser

humano que tiene habilidades para la medicina se le obligara a ser ingeniero, es

decir, como si el ser humano fuera capaz de modificar su intención (de

aprendizaje) y responder a una externa, esto es, no tratamos con objetos que

podamos modificar a antojo y capricho.

Por otro lado, el currículo al tratar de responder a las necesidades sociales trae

consigo una problemática relacionada con el saber, puesto que para responder a

necesidades sociales al momento de realizar el currículo, necesitamos de

antemano tener ya concebidas las herramientas que debemos utilizar, es decir, de

qué manera podemos pretender enseñar cálculo, sino existe un saber matemático

que le designemos de esa manera, en otras palabras, enseñamos sólo aquello

que es explícito o que es preexistente. Aun cuando vayamos a enseñar cálculo no

vamos a enseñar todo el cálculo, así que debemos remitirnos a establecer qué del

cálculo vamos a enseñar.

3.5.2.3 El currículo frente a la globalización

El problema del currículo actualmente, no solo se reduce a responder a las

necesidades particulares de una sociedad específica, ni a las relaciones que ha de

establecer con los sujetos o el saber, pues en el marco de la globalización se

necesita tener también una estrategia para hacerle frente a ello. Y no solamente

pensando en aquel proceso de globalización a nivel mundial o entre naciones que

52

trata de “homogenizar”, sino al igual en los distintos niveles en el sistema

educativo, por ejemplo, las universidades y en nuestro caso particular la autónoma

de Yucatán, hoy en día se busca por mantener en todas sus facultades y

preparatorias adscritas, el regirse bajo el modelo educativo propuesto, que sus

reglas y normas se han usadas, salvo; en ocasiones; de particularidades, y esto

no sólo afecta a los estudiantes y personal académico, sino al igual a los

currículos, pues en ella se percibe que sus programas de estudio deben estar

orientados a conformar una estructura flexible y dinámica, y en otro lado trata de

imponer una forma en cómo dar las cátedras, incorporación en los académicos de

nuevos papeles como facilitadores y promotores del aprendizaje y del trabajo en

grupo (Modelo Educativo Vigente), entre otras acciones que trata de regular. En el

caso de la facultad de ingeniería ésta se mantiene adscrita, adicionalmente, a un

organismo que evalúa y designa lo que se ha de enseñar (CACEI).

Si bien la globalización institucional se da de manera explícita a través de los

diversos documentos que emite un organismo o la universidad a través del modelo

educativo, la filosofía de la universidad, la misión, el reglamento, los objetivos

institucionales, etc., por otro lado la globalización en el contexto de los demás

países y/o estados se da en una relación más bien implícita, pues lo único que se

trata de conciliar es que debiera existir una perfecta relación laboral entre

individuos de cualquier parte del mundo, de esta manera, la gente necesita

aprender un poco de matemática para ser un pueblo independiente, para no

depender de otras naciones. Para que la gente pueda comenzar su propia

53

organización, nuestro propio trabajo, nuestros propios recursos. Y a la vez para

homogeneizar pensamientos (Navarro, 2002).

Es por eso que el currículo, en particular el de matemáticas, hoy en día lucha con

diversas y variadas formas de globalización, tratando de responder a estas

exigencias, pero, y ¿las necesidades particulares? Es decir, aun teniendo en

cuenta a la globalización, la educación para un yucateco no puede ser la misma

que para un poblano, ni que para un japonés. Primero por la forma de

pensamiento de cada uno, segundo por sus costumbres, su lenguaje, y por sobre

todo por sus necesidades sociales de cada uno, por ejemplo, un México con

potencial en cuanto a la diversidad de climas, de recursos naturales y de tierras

por cosechar no puede obligarse a convertirse en un país industrializado vía la

educación; como la haría un país, tal vez, como Japón, dejando de lado sus

potencialidades.

3.6 Metodología del estudio

En este apartado nuestro interés está en hacer explícito la manera de proceder

para desarrollar este estudio, desde su inicio hasta su fin.

De inicio, con fines de difusión nos hemos visto en la necesidad de ordenar este

escrito no según la evolución de las ideas y del análisis de los hechos, sino según

un orden axiomático, es decir, partimos de dar un breve bosquejo de la tesis a

manera de introducción, seguido de ello en el primer capitulo planteamos el

problema de investigación y así sucesivamente hasta llegar a lo que deseamos

mostrar.

54

La forma para contestarnos la pregunta de investigación consistió en el hecho de

considerar una comunidad y aplicar una serie de entrevistas clínicas a los

individuos pertenecientes a este sistema social, estudiar brevemente su historia y

su contexto actual. Una vez recabados dichos datos, procedimos a su trascripción

y organización, para posteriormente hacer un análisis de ellos y unas pequeñas

reflexiones sobre ellos.

Como nuestro interés se centró en el simple hecho de verificar lo que ya de por si,

las tendencias de las investigaciones apuntaban <<el carácter situado de algunos

fenómenos didácticos>> en un primer instante, en el capitulo segundo tomamos

estas investigaciones, a manera de antecedentes, esto mismo, en un segundo

instante nos serviría como un complemento de nuestros datos recabados a

manera de esclarecer las nociones que encontramos a través de nuestras

entrevistas. Es decir, un tipo de investigación documental complementada con la

técnica de entrevistas clínicas.

En capítulos anteriores hemos ya establecido la forma en cómo entendemos el

carácter situado de las cosas, en particular el de la matemática y la matemática

escolar y, la forma en que hemos llegado a esto es a través de un análisis de las

investigaciones ya existentes y las diversas posturas que ellas asumen y no

olvidemos que nuestro interés fue el de recabar información sobre la relación del

sistema didáctico con la práctica escolar y el carácter situado de la matemática

escolar a fin de validar o refutar nuestra hipótesis, la cual consistió en asumir que

son los factores de índole sociocultural los que norman la práctica y la

funcionalidad del currículo de cálculo en una comunidad específica.

55

Por ello la forma de proceder que encontramos viable para llegar a este fin, es el

tomar una sociedad o grupo social específico, en nuestro caso; la comunidad de

maestros de ingeniería del área de cálculo, luego entonces proceder a hacer

entrevistas clínicas, haciendo preguntas que nos dieran cuenta de la relaciones

existentes entre profesor, institución, sociocultura y el saber matemático puesto en

juego. Dichas preguntas fueron hechas pensando en el esquema que se muestra

en la figura 2.

Una vez que las entrevistas fueron llevadas a cabo, procedimos a hacer la

trascripción de éstas de manera textual. Teniendo todas las entrevistas transcritas,

era pues hora de aplicar un análisis de dicha información. Mediante la

triangulación que describe la figura 2, observando de esta manera relaciones o

disociaciones entre estos vértices del triángulo, así, de esta manera podríamos

entender de dónde proceden o donde tienen sus orígenes las prácticas que

desarrollan los profesores al momento de difundir y organizar los temas de cálculo.

Tratando de establecer qué es lo que los hace hacer lo que hacen de esa manera,

Figura 2

Funcionamiento del Sistema Didáctico

Producción de la matemática

Carácter situado de la “matemática”

Mecanismos de Difusión

Usos y condiciones

Cultura

56

y es en este punto entraría en juego nuestro marco teórico definido en términos de

las prácticas sociales.

De manera que una vez hecho el análisis, nos dimos a la tarea de ilustrar y

argumentar la forma en que hicimos nuestras interpretaciones y en los efectos que

tenían al seno de la educación matemática esas interpretaciones, para finalmente

hacer nuestras conclusiones.

Es de señalar que muchas de las cosas que se dicen y se establecen en este

estudio pueden tener diversas connotaciones y de hecho el estudio pudo haber

tomado diversas vertientes, que de ninguna manera negamos que influyan, más

sólo fue de nuestro interés los aspectos tomados en cuenta.

57

Capítulo Cuarto

58

4.1 Una percepción del escenario de la comunidad estudiada

Los inicios de la facultad de ingeniería estuvo dado por el C. Manuel Cepeda

Peraza en 1867, quien funda el instituto literario y a su vez una escuela para la

enseñanza de la ingeniería que al parecer dependía del departamento de

educación pública, posteriormente con la formación de la universidad nacional del

sureste (antecedente inmediato de la universidad autónoma de Yucatán) en 1922,

la escuela de ingeniería se integra a ella de manera económica y académica. Esto,

después de más de medio siglo de gozar de una vida independiente de la

universidad, ahora se tiene que encaminar según lo diga la universidad naciente.

Los organismos externos jugaron un papel importante en la formación de la

facultad de ingeniería pues debido a la intervención de la asociación de

constructores de Yucatán es que la universidad se encamina a poner en

funcionamiento nuevamente a la facultad, después de cerca de un semestre de

figurar como inexistente en los documentos de la universidad.

En 1936, la facultad de ingeniería se dice ver obligada a crear la preparatoria

especial para ingeniería con la finalidad de elevar el nivel académico en los

estudiantes que entran a ingeniería, y como una repuesta a que la eficacia se

logra a través de una buena preparación previa y que luego entonces esta no sólo

es circunstancial.

En 1996, se obtiene una acreditación por parte del CACEI después de años de

pasar de tener a pocas personas interesadas en la docencia. En el ámbito de la

investigación los resultados se dieron años más tarde a través de diversos

59

proyectos con financiamiento externo como CONACYT, FOMIX y becas PRIORI,

además de empezar a imprimir su propia revista de divulgación científica que hoy

en día se indexó en LATINDEX y PERIODICA y afiliada a la red REDALYC.

Después de haber vivido todo un proceso basado en la fuerza y el impulso de

cada uno de sus académicos, de suerte que ellas tuvieran un mismo fin. En el año

2000, se hace una evaluación diagnostica en la que se definieron los indicadores

para medir la calidad de su desempeño y en el año 2001, se planteó su plan de

desarrollo de la facultad de ingeniería, el cual tomó como marco de referencia el

plan institucional de desarrollo, el PIFI y el nuevo modelo educativo y académico

de la universidad, de manera que fue adoptado oficialmente en el 2002 y a partir

de este año, parte de los planes de estudio de toda la universidad ha ido

paulatinamente conformándose a este modelo. Es pues que se decide hacer

diversos proyectos donde se planea el tratar de sistematizar e institucionalizar

metas a largo y corto plazo idénticas y que ya no fueran las visiones, la fuerza y el

impulso de cada uno, los que guiaran la educación en la facultad de ingeniería.

Como resultado de todo éste plan, se desarrollan proyectos tales como la

organización de los profesores por academias, mejorar su planta académica,

desarrollo de la investigación, desarrollo de los programas educativos, etc., bajo la

premisa de que es necesario realizar: la docencia, la investigación y la extensión,

de una manera integrada como NO se ha realizado previamente. Y en otra parte

se dice que, se reconoce lo indispensable de todos los recursos pero se da una

especial importancia a la planta académica por ser la directamente involucrada en

utilizar los demás recursos… Además, se delibera que los procesos de educación

60

deben ser cada vez más integrales y centrados en el aprendizaje, dar más

importancia al aprender, a ser más que la simple transmisión de conocimientos.

Este proceso o el plan de desarrollo de la facultad de ingeniería, inició en el año

2001, y se estableció de una visión, con horizonte de 5 años (2006): la facultad de

ingeniería de la UADY consolidará su liderazgo académico regional en la

formación de ingenieros, se proyectará sobre todo el territorio nacional y estará en

capacidad de competir exitosamente fuera de las fronteras de México. Nuestros

graduados estarán a la vanguardia y serán líderes en el siglo XXI en la creación

de la infraestructura y la modernización tecnológica de México. Utilizando sus

conocimientos, habilidades y liderazgo, crearán y utilizarán la tecnología para

atender las demandas de desarrollo, crecimiento y bienestar de la sociedad,

teniendo un especial compromiso con ella a través de una práctica profesional

ética y de calidad, que optimice los recursos y sea consciente del impacto que

puede causar en el medio ambiente, tratando en todo momento de minimizarlo.

4.1.1 Desarrollo curricular: el caso de la facultad de ingeniería

Como hemos ya mencionado en el marco del programa de desarrollo de la

facultad, se elaboró un proyecto enfocado al desarrollo de los currículos, en éste

se plasma que con la finalidad de contar con programas actualizados, modernos y

flexibles que concordaran con el nuevo modelo educativo de la UADY y asimismo,

dieran cumplimiento a todas las recomendaciones de los organismos evaluadores

externos… Además se consideró que se debería diversificar la oferta educativa

aprovechando las fortalezas de la institución y de la facultad.

61

Según lo que se establece en el portal de la dependencia, se alcanzaron las

siguientes metas: se evaluaron y actualizaron los planes de estudio de ingeniería

civil y física, con modificaciones de flexibilidad, actualización y conformación al

nuevo modelo educativo y académico de la UADY, así como avances en la

formación integral de los estudiantes de la licenciatura de ingeniería y que sean

congruentes con las tendencias locales, nacionales y con las tendencias

mundiales. Por otra parte, se desarrolló un estudio de factibilidad para ofrecer la

licenciatura en mecatrónica y como resultado se diseñó su plan de estudios.

Siempre en este mismo sitio se estipula que, algunas de las características más

notables incluidas en los nuevos planes de estudio, son: flexibilidad, integración de

un tronco común, metodologías orientas hacia el aprendizaje y al logro del estudio

independiente, facilidad en la movilidad estudiantil, formación integral de los

estudiantes, vinculación con el entorno, facilidad de una titulación temprana,

participación de estudiantes en proyectos de investigación, inclusión de evolución

de trayecto.

4.1.2 Innovación educativa: el caso de la facultad de ingeniería

Por otra parte, siempre en el marco de sus proyectos que desarrollaron estaba

inmerso el programa de innovación educativa, el cual para su desarrollo se dieron

a la tarea de incorporar nuevos enfoques en las estrategias de enseñanza-

aprendizaje que hagan uso de las nuevas tecnologías de la información y la

comunicación, y que en general promuevan un aprendizaje de calidad. En este

sentido, fue por el que se impartieron diversos cursos, diplomados y talleres como:

estrategias de aprendizaje, estrategias para la enseñanza con un enfoque

62

constructivista (en 2 ocasiones), computación educativa, ¿quiero mejorar mi clase

de física?, competencias educativas para el siglo XXI, constructivismo en

ingeniería, sistema de educación en línea.

4.2 Entrevistas

Los entrevistados, en nuestro caso, son 3 profesores que han impartido la materia

de cálculo en la facultad de ingeniería, a los que llamaremos en lo sucesivo,

profesor A (PA), profesor B (PB) y profesor C (PC), sus años de estar laborando

en esta facultad son de 4, 20 y 48 años respectivamente. Se realizaron 5

preguntas a todos, y a los dos últimos les hicimos dos más. Las entrevistas se

hicieron en diferentes días y de manera individualizada.

4.2.1 Notación

Los códigos de notación utilizados en nuestras transcripciones de las entrevistas

realizadas son como se indica a continuación:

Letra de molde: Entrevistado

(Cursivas): Entrevistador

[… ]: Silencio de más de tres segundos.

//: Corte de la oración o de la palabra, por parte del otro interlocutor o por el mismo

sujeto.

63

4.2.2 Sobre la cultura entorno a la enseñanza del cálculo

Pregunta: En su opinión, ¿en esta facultad se podría decir que hay o existe una

cultura sobre la enseñanza del cálculo?

PA: [… ] Tanto como una cultura, yo creo que no.

PB: Sí hay una cultura, (si hay una cultura cómo de qué), en cuanto a que

normalmente los maestros siempre tratamos de buscar los mejores

métodos de aprendizaje para los muchachos.

PC: Sí, sí existe.

Observemos que dos de los tres profesores reconocen que existe una cultura

entorno a la práctica docente de la enseñanza del cálculo, aunque al tratar de

explicar en que sentido era ello; les fue difícil el expresarla, por otra parte, vemos

que el único que no reconoció una cultura es el profesor que tiene apenas cuatro

años laborando en la facultad.

4.2.3 La concepción del Cálculo

Pregunta: Imagine que tuviera que explicarle a un estudiante qué es el cálculo,

¿Qué le diría?

PA [… ] bueno el cálculo al que creo que te refieres el cálculo diferencial e

integral, básicamente le diría que es una herramienta matemática que se

64

encarga de estudiar los cambios, los cambios [… ] que sufre alguna [… ]

función o relación.

PB: [… ] En mi caso particular, como siempre he dado clase a los alumnos de

ingeniería pues les diría que es una materia básica para poder hacer sus

aplicaciones en ingeniería.

PC: [… ] No creo que te pueda decir en pocas palabras, tendría que ser una

cosa muy extensa, algo extenso. [… ] Te repito que no te lo podría decir

en una entrevista así, tendría que explicarlo con más detalle al

estudiante.

Nótese como los profesores de la misma dependencia poseen diferentes

concepciones sobre lo que es el cálculo (aquel que enseñan), a saber, una

herramienta, una materia y algo (tan complejo) que no se puede decir en una

entrevista, aunque este mismo profesor, profesor C, dejo entrever en otros lados

de la entrevista que el cálculo es un antecedente, cuando decía cosas, como por

ejemplo, es lo que ellos necesitan como fundamento para sus asignaturas…

Notamos en estas respuestas dadas por los profesores al menos dos

concepciones sobre la enseñanza del cálculo, 1) aquella que mira al estudio del

cálculo como el conjunto de conocimientos teóricos y herramentales que son

antecedente al estudio de las ecuaciones diferenciales o el análisis o asignaturas

avanzadas en general y 2) aquella que entiende al cálculo como una forma de

estudiar, explicar y resolver fenómenos de variación y cambio.

65

De la misma manera resaltamos el hecho de que los dos profesores que

coincidieron en sus respuestas, es decir, los dos que perciben al cálculo como un

antecedente a otras materias, son los mismos que aceptaron la existencia de una

cultura entorno a la enseñanza del cálculo y más aun, son los que llevan más de

veinte años laborando en la dependencia educativa.

4.2.4 Apreciación del currículo

Pregunta: ¿Cuál sería una apreciación de usted hacia los programas de cálculo en

esta dependencia?

PA: [… ] En lo que respecta al programa y los temas que se ven yo digo que

están muy bien.

PB: Que realmente están enfocados a las carreras de ingeniería, al cálculo

aplicado.

PC: Los programas están diseñados de tal manera que le den base al

estudiante para que pueda continuar con sus estudios de ingeniería, no

es una interpretación es considerar la clase de cálculo se trata, se trata

de que el alumno aprenda lo que ya está diseñado como parte de su

formación profesional.

En este apartado, se puede inducir de la respuesta de los tres profesores que el

currículo tiene un carácter normativo, de hecho en el último profesor (PC), el de

mayor antigüedad en la dependencia, es aun más evidente cuando dice: no es

66

una interpretación es considerar la clase de cálculo… . Y eso mismo podemos

entre ver en otras partes de la entrevista, cuando se utilizan palabras como

cumplir, adaptar o cuando tratan de ver si la respuesta es coherente con él.

Por otra parte, se habla que el currículo de cálculo y el modelo educativo es lo que

los guía o “norma” a hacer lo que hacen, más sin embargo, como podemos ver en

el siguiente apartado su práctica docente difiere de lo que se dice tanto el

currículo, como en el modelo educativo. Esta misma “normatividad” tiene como

consecuencia el hacer rígidos y estrictos los contenidos temáticos a desarrollar,

pues, si ellos son incuestionables tal cual están, luego entonces, con uno menos,

sería difícil que adquiera dicha categoría, es decir, si el currículo de cálculo es

aquel formado por la colección de saberes A, B, C, D y E, luego entonces, si

faltará alguna letra (saber), entonces, dicho currículo sería cuestionable.

4.2.5 La práctica docente

Pregunta: ¿Cómo caracterizaría su práctica docente que realiza hoy en día?

PA: Lo tradicional ¿no?, respecto, ¿a dar clases te refieres?, (aja), lo

tradicional una exposición de los temas, en lo que se refiere en cuando

quiero hacer una graficación pues llevo algo una maquina, para

proyectar la gráfica porque siempre es difícil hacerlo sobretodo si es en

tres dimensiones y de allí, bueno es todo.

PB Este, normalmente siempre, trato de buscar el mejor método para que el

67

alumno entienda, pero siempre me queda esa espinita de que hay algo

mejor, normalmente cuando sale uno de una clase tu dices esto si lo

entendieron esto no lo entendieron, esta clase si sentí que lo

entendieron, pero hay días en que sales y vez sus caritas así como de

extrañeza ¿no?, entonces desde mi perspectiva es tratar siempre buscar

el mejor método de aprendizaje para ellos, (pero ese lo varia conforme

los días que van pasando), trato de variarlo a veces es solo clase

expositiva, a veces pues combinada con ejercicios ¿no?, a veces que

ellos pasen a la pizarra, a veces dinámicas de grupo y a veces trato de

llevarlos al centro de computo usando el SWP, scientific word places,

para poder comprender un poquito y no sientan lo abstracto de las

matemáticas.

PC: No entiendo esa palabra, (caracterizaría sí, ¿qué hace?), ¿Qué hago?,

pues trato de que el alumno aprenda, (de que manera realiza esto),

bueno ahorita estamos tratando de cumplir con el nuevo meto// modelo

educativo de la universidad el constructivismo es lo que estamos

tratando de adaptar al dar las clases de cálculo.

En este aspecto nos parece pertinente mencionar que el profesor que dice

reconocer la existencia de una cultura entorno a la enseñanza del cálculo, profesor

C, es el único que dice tratar de implementar el constructivismo, en tanto que los

otros dos en sus respuestas dejaban entre ver que sus clases eran, en su

mayoría, de manera expositiva, sin embargo, el profesor C, en otras partes de la

68

entrevista nos dio indicios para inferir basados en la concepción del currículo de

cálculo y el cálculo que su práctica es de manera tradicional-formal.

Aunque el único que fue abierto y explicito en declarar éste hecho fue el profesor

A, mismo que no reconoce una cultura entorno a la enseñanza del cálculo, mismo

que percibe al cálculo de manera diferente.

Por otra parte, se logra percibir el hecho de que se sienten evaluados por algo, al

hacer expresiones lingüísticas del tipo ¿no?, que no es más que una forma de

preguntar si fue correcto o incorrecto lo que había el dicho en la entrevista. Esto

mismo, ocurre en otras partes de la entrevista, y le atribuimos el mismo sentido a

está expresión.

Es de notar de forma declarada como lo hizo el profesor A o en forma implícita

como se infiere de los otros dos profesores que la práctica docente se da en forma

tradicional formal, pues son ellos quienes buscan el mejor método de aprendizaje,

exponen de diversas formas o dicen tratar de implementar un constructivismo, eso

significa que se trata de modificar lo tradicional-formal en que se desarrolla la

práctica docente actualmente.

4.2.6 La organización de los currículos de cálculo

Pregunta: En su opinión, ¿Cómo se organiza un programa o currículo de cálculo?

Es decir, ¿cuáles son las consideraciones o aspectos que se toman como ejes

para llevar a cabo el programa?

69

PA: En el caso de la facultad de ingeniería, hay un organismo que se

encarga de las evaluaciones, hace poco vinieron los miembros del

CASEI, que es el cuerpo que evalúa la enseñanza de la ingeniería,

básicamente ellos tienen un estándar nacional donde dicen que temas

son los apropiados y creen convenientes que se vean, eso es lo que se

sigue.

PB: Primero que nada hacer una revisión de los estándares nacionales, de lo

que pide CASEI, de lo que pide CENEVAL, y en función de eso, de los

temas que supuestamente son los mínimos para una carrera de

ingeniería y en función de eso hacemos el currículo de la materia, claro

que también vemos las materias que van a estar seriadas, es decir, lo

que ellos necesitan en las materias de aplicación de ciencias de la

ingeniería.

PC: Pues lo que se ha hecho siempre, es este [… ] investigar [… ] en las

asignaturas correspondientes de la ingeniería básica y la ingeniería

aplicada, qué es lo que ellos necesitan como fundamento para sus

asignaturas y en base a eso se han hecho los programas de cálculo.

Algunas de las posibles respuestas en este caso, se podían vislumbrar aun antes

de que ellos nos la contestasen, pero aun así, nos pareció pertinente hacerlas

para observar la conciencia sobre este aspecto. El profesor C, es el único en no

hacer mención de dichos organismos externos implicados en la organización. Esto

70

habla de una globalización y una regulación de parte de ciertas instituciones,

organismos y decretos (por el modelo educativo) que tratan de hacer que, la

enseñanza del cálculo se propicie de una manera y no de otra.

Esto es, se trata de presidir maneras de proceder y de actuar reconocidas y

aceptadas por una comunidad. Más de ninguna manera, se habla, por ejemplo, de

las tendencias y necesidades sociales, de las circunstancias en las que se puede

desarrollar la práctica docente, de la situación cognitiva de los estudiantes o de la

epistemología del saber matemático.

Notemos, como la concepción del cálculo como un antecedente a otras materias

es más evidente aquí, principalmente; en los profesores B y C, y este mismo

hecho, es en el cual se basan para organizar sus programas. Pues el cálculo es

una base para acceder a sus materias de ingeniería básica o aplicada.

4.2.7 Percepción de los cambios en el currículo y la práctica docente

Pregunta: En retrospectiva y en sus años de docente en esta dependencia, ¿Nota

alguna diferencia entre lo que se hacia antes y lo que se hace hoy?

PB: Definitivamente sí, porque al principio cuando una empieza, ya sabes

que no somos profesores de formación, sino que somos ingenieros que

nos dedicamos a dar clase, entonces al principio me acuerdo que sí

realmente como que uno daba su clase y no te importaban tanto lo que

ellos entendieran, ahora, las clases en cuanto a que antes eran clases

puramente expositivas ¿no? eran solamente gis y pizarrón ¿no? Ahorita

71

nos sirven exposiciones en PowerPoint y nos sirven a veces las

funciones a la hora de clases por medio del SWP, entonces si ha

cambiado en cuanto a la metodología; antes era el cien por ciento de los

parciales, ahora no, hay el sesenta-cuarenta, sesenta en el parcial y

cuarenta por ciento en trabajos y participaciones y todos hasta un

proyecto. (Y en la forma de estructurar el cálculo), en la forma de

estructurar pues allá no creo que haya mayor cambio (y por ejemplo sino

ha habido mayor cambio, ¿se siguen manteniendo esos objetivos que se

tenían al inicio?), bueno lo que se ha visto que desde que se inició el

bachillerato general, antes empezábamos con ejercicios de derivadas, a

partir de allá era el cálculo, el caso de una variable y el caso de dos

variables, inclusive cuando yo empecé a dar clase solamente se daba

cálculo de una variable, no se daba cálculo de dos variables, entonces

hoy que se da cálculo de dos variables, la forma de estructurarlo al

incluir el bachillerato general de la prepa incluimos ahora a partir de

límites ¿no? Por que veíamos que ellos traían un poquito de deficiencia

en la parte de límites cuando no llevaban materias optativas ¿no? Que

estaban relacionadas con la parte del cálculo.

PC: hay mucha diferencia claro, (¿En que sentido va esa diferencia?),

Bueno, al principio el alumno tenía que aprender por su cuenta casi

exclusivamente, pero se han ido mejorando las situaciones para que el

alumno aprenda a aprender, claro que guiado por los profesores, (y esto

72

va en el sentido de la enseñaza ¿no?, y ahora en el sentido de

estructurar, de la estructura que lleva el cálculo, hay alguna diferencia en

como estaba estructurado antes a como está estructurado hoy en día), si

creo que ha habido más avances en tecnología en las áreas de las

ingenierías y en base a eso hay más requerimientos en la enseñanza del

cálculo.

En el caso de la organización del currículo, las respuestas obtenidas son

“contradictorias”, es decir, mientras que por un lado se asevera la existencia de

cambios en la estructura del cálculo por otro lado se “niegan” dichos cambios,

aunque después, el profesor B, se retracto en su respuesta, y le atribuyó los

cambios a cuestiones de una falta de conocimiento previos en los estudiantes, en

tanto que el otro, el profesor C, atribuyó los cambios a avances en la ingeniería.

Esto hace evidente, hasta cierto punto, una falta de conocimiento acerca de la

cultura.

Con respecto a la enseñanza del cálculo, los dos argumentaron poner en práctica

cosas novedosas, como el aprender a aprender o clases con ayuda de la

tecnología. En sí, cambiar de la enseñanza al aprendizaje.

4.2.8 Cambios de concepciones sobre el currículo de cálculo

Pregunta: ¿La interpretación hacia el currículo de cálculo que lleva hoy en día es

la misma que la que tenía al inicio de laborar aquí? Sí o No ¿Cuál sería la

diferencia?

73

PB: La interpretación es que antes estaba más que nada centrada para el

método de enseñanza y ahorita esta enfocada al método de aprendizaje

¿no? Más que nada al aprendizaje, antes era más bien al de enseñanza.

PC: Ya te respondí anteriormente con el cambio que ha habido del cálculo la

concepción tiene que ser diferente, pero la que usted tenía ¿vario?, ya te

lo respondí anteriormente ya te dije que es muy diferente la enseñanza

del cálculo de hace 40 años a la enseñanza del cálculo ahora la

concepción tiene que ser diferente

El profesor B, argumentó que el cambio está en pasar de la enseñanza al

aprendizaje, en tanto que el profesor C, no dijo si él cambió su concepción, sólo

dijo: tiene que ser diferente, pero, con respecto a la suya nada dejó entrever.

En ambos podemos extraer que se sienten evaluados por algún tipo de factores o

mecanismos, que los obliga a hacer lo que hacen de la manera en lo que hacen,

sino de otra manera ellos serían blanco de críticas, por ejemplo, cuando dicen

¿No? o tiene que ser diferente.

74

Capítulo Quinto

75

Una vez expuestos las circunstancias, los datos de la comunidad que nos interesó

entrevistar y hecho un breve análisis de sus respuestas, es menester nuestro

ahora el explicar ellos para dar cuenta y ver el alcance de algunos de los aspectos

que encontramos presentes en los datos recabados. No es nuestra intensión el

refutar y echar todo su sistema abajo, pues; de otra manera, ¿qué incongruentes

seriamos con nuestra hipótesis y tesis?

5.1 Sobre la práctica docente en el aula

A través de los hechos precedentes, podemos notar como la práctica docente en

el aula se ve envuelta en toda una noosfera de índole sociocultural que les incita a

hacer y dejar de hacer ciertas cosas, pues, el profesor A, el único que no reconoce

la existencia de una cultura entorno a la enseñanza del cálculo, es el que

abiertamente declara que su práctica docente es tradicional y que el uso que le da

a la tecnología es el expositivo, en tanto, que los otros dos profesores trataron de

atribuir cuanto decían que hacían a cuestiones de un cambio de pasar de la

enseñaza al aprendizaje o a un seguimiento del modelo educativo, pero en si, lo

que ellos hacían en el aula, se puede percibir que es apegarse al método

tradicional-formal de enseñanza. Y en efecto, está noosfera es de índole

sociocultural, pues, dichas acciones no son escritas en el currículo, ni el modelo

educativo, luego entonces, no hay lugar mejor donde tenga su origen para que los

hagan actuar por encima de la media a los profesores con cierta homogeneidad,

que no sean los mecanismos socioculturales.

76

Bajo este mismo esquema, sobre todo para aquellos que siente y reconocen la

existencia de una sociocultura, pero más allá de esto; para los que ya llevan más

años en esta dependencia, se sienten incluso evaluados o en la necesidad de

reproducir discursos, y ¿qué no será de las acciones? aceptados por éste sistema

de creencias y prácticas de naturaleza social. De manera que esto no sólo regula

las actividades que ellos realizan, sino que las rige, así, lo que hacen o dejan de

hacer, como, exponer temas en la pizarra o con tecnología, marcar ejercicios,

hacer que el alumno aprenda, etc. es normado por prácticas de está índole. Que,

como ya dijimos, no son provenientes o tienen su origen en el currículo formal

(escrito) de cálculo.

La práctica docente en el aula se ha convertido en algo sociocultural, al grado que

hoy en día se le denomina tradicional, pero, ¿qué es lo que pasa? quizá el

individuo no puede luchar en contra de todo este sistema de creencias y normas

que imponen las instituciones escolares. Es decir, si desde el inicio de la escuela,

al nivel básico, hasta la universidad son pocos los profesores o las ocasiones que

se nos da una clase diferente, esta tradición que se va construyendo en los

estudiantes y futuros profesores ¿no se puede destruir? O acaso, podemos

encontrar profesores que den su clase de forma radical en comparación con los

demás; llevándoles objetos, tales como un sensor para medir la variación que hay

cuando una persona camina o ir a un rió para estudiar el flujo del agua; acaso no

es verdad que aun estando en aulas diferentes la práctica docente, en el caso del

profesor, sigue conservando una cierta homogeneidad.

77

En efecto, en este punto podemos vislumbrar la influencia de factores

socioculturales sobre las relaciones que se entablan entre profesor, alumno y

saber, como diría D’ Amore (2000) una escolarización de las relaciones. Es decir,

no acaso cuando el profesor hace algo fuera de lo cotidiano para que el alumno

aprenda, como por ejemplo, medir el llenado de un vaso, el mismo alumno dice,

“¿y las matemáticas?” eso que me mostró “¿son matemáticas?”. O en el caso del

profesor, que burla recibiría de sus pares si estando en una facultad de ciencias se

les observara a sus pupilos medir el llenado de un vaso. Claro está, que el

carácter normativo del currículo, en las formas de enseñar, no es intrínseco a él si

no más bien viene de fuera, en específico de factores socioculturales.

Si hoy construimos no trasmitimos, no enseñamos hacemos que aprenda, no

acaso, es un decreto e imposición del nuevo modelo educativo de la universidad

basado en una filosofía constructivista, invirtiendo esfuerzos de toda índole en

cursos de actualización, que antes bien son decretos, que no tienen por sí solos

este carácter normativo de actuar sobre los individuos, pues la evidencia apunta a

que la práctica no responde a todas estos decretos, pero que bien son

acompañados de “decretos” de orden sociocultural para rendir otros frutos. Pues,

no hay nada preescrito que haga a los profesores actuar en la manera que lo

hacen, y sobre todo, haciendo que sus acciones sean hasta cierto punto

homogenizadas.

78

5.2 Conocernos y reconocernos: el caso de la cultura

En los datos recabados es posible observar cómo sólo dos profesores,

reconocieron la existencia de una cultura entorno a la enseñanza del cálculo y en

estos es posible observar cómo las respuestas de lo que decían que hacían y

pensaban, son muy análogas. Por ejemplo, ambos decían tratar de pasar de

enseñar a hacer que el alumno aprenda, ambos perciben la organización del

currículo de cálculo como un antecedente y ambos dicen realizar su práctica

docente de manera análoga. Aunque, lo importante en este punto no es notar si

ellos reconocen o no a la cultura, si no el poder con el que actúa sobre ellos de

manera que esto es lo que nos permite ver lo trascendental que resulta el conocer

y reconocer a lo cultural y lo social, cuando tratamos de hacer reformas en el

currículo o en la práctica docente.

Uno de los objetivos fundamentales de todo sistema educativo en el mundo es la

formación de cuadros capaces de responder a las demandas de una sociedad.

Las formas para lograrlo dependen de los marcos culturales, de las prácticas

sociales y de las historias de las instituciones. Cada sociedad tiene que reconocer

sus condiciones, recursos y posibilidades, establecer sus estrategias, medios y

escenarios, formular acciones y teorizar (hacer conocimiento) para trazar

orientaciones y entender lo que se desarrolla (Cordero, 2006)

En síntesis, lo que plantea todo lo anterior es que conocer y reconocernos es algo

fundamental. ¿Qué sería de nosotros si sólo actuamos por actuar sin saber porqué

hacemos lo que hacemos? Decimos hoy necesitamos cambiar la concepción del

79

currículo o la práctica docente, y los medios inmediatos por los que se quiere

lograr esto es por medio de decretos y normas escritas basadas en teorías que

tienen un carácter situado, pero; más aun, sin saber si ello queda dentro de los

alcances, posibilidades y es acorde a las tendencias de la práctica educativa de la

comunidad en la que deseamos incidir.

Por ejemplo, siendo nuestro país uno con grandes extensiones territoriales, y por

cierto muy productivas, por qué basar nuestra economía en ser un país

industrializado, en lugar de ser uno productor o el decir, hoy somos

constructivistas en lugar de conductistas, el decir que hoy el alumno aprende y no

se le enseña. Sin, siquiera pensar en si está en nuestras posibilidades, o mejor

dicho, en nuestras circunstancias el poder realizar esto.

Nos “empeñamos” en decir, tratamos de cumplir con el nuevo modelo educativo,

sin saber si ello tendría que aplicarse necesariamente de la misma manera como

se aplica aquí, que como se aplica allá, por ejemplo, si la guerra en Irak, o la

invasión a otros países; en general, le resulta a los Estados Unidos de

Norteamérica, acaso eso mismo nos funcionaría a nosotros. Cómo construiría un

estudiante, por si mismo, el concepto de derivada cuando para que Newton o

Leibniz lo hicieran necesitaron de todo un ambiente fenomenológico y de años de

intentos de otros grandes matemáticos, cómo en hora veinte minutos, esperamos

que el estudiante resuma lo que hiciera la humanidad en casi un siglo, y más aun,

sino podemos el resumir en dos palabras lo que la humanidad hiciera con el

cálculo: estudiar cambios. Claro está, no por ello objetamos que no se pueda

hacer, simplemente lo que tratamos de resaltar es el hecho de que más bien cada

80

cosa responde a una circunstancia específica, que los grandes logros se basan en

un estudio y entendimiento de la realidad, mejor dicho, de los hechos o sucesos

históricos en los que nos hemos venido desenvolviendo; por no ser subjetivos.

Es decir, si bien el constructivismo ha funcionado en diversos países, o si la

aplicación de tecnologías para la enseñanza funciona en estados unidos de

Norteamérica, no necesariamente tendría que tener los mismos efectos en nuestro

país. Es decir, no por ello, nuestro nuevo modelo educativo tendría que ser uno de

esos estilos, solo por el hecho de que son las exigencias producto de la

globalización. Puesto que, tal vez nuestra fortaleza radica en otras cosas, y

nuestras debilidades son precisamente las fortalezas de los otros países. Para

lograr cambios significativos en todo los ámbitos, es menester no solo el

considerar la existencia de una cultura en torno al currículo y a la práctica docente,

sino el conocerla y reconocerla, pues no creamos y construimos sobre la nada, por

el contrario, construimos sobre tradiciones y costumbres, que son ahora

inherentes a los individuos, que en muchas ocasiones están investidos de un

poder coercitivo que nos obliga a modificar nuestras conductas e incluso nuestro

pensamiento.

5.3 Lo normativo del currículo: socioculturalmente

Hemos ya establecido cómo la práctica docente no tiene su razón de ser, en gran

parte, en las necesidades que plantea y exige “didacticamente” hablando un

currículo escolar, y en general cómo lo que se piensa y se realiza en torno a la

enseñanza del cálculo, parece tampoco tener su origen en éste, en un segundo

81

instante observamos el papel trascendental que juega éste, pues actúa

normativamente sobre las acciones del docente, pero cabe señalar de que los

medios sobre los cuales actúa en los individuos no es por represión o coerción

física, ni penal, ni psicológica (aunque con tantos cursos podríamos pensar que es

de está manera, dichos cursos son centrados en el constructivismo y la práctica es

distinta), ante esto, nos queda por aceptar que uno de las medios que tendría

como efecto las acciones ya dichas, son los mecanismos socioculturales.

Pudiéramos verificar tal aseveración a través de la evidencia recabada, pues

podemos encontrar por encima de la media, acciones y pensamientos

homogeneizados.

Ante esto, se nos presenta el carácter normativo del currículo en su faceta

sociocultural, donde dicho carácter puede ser entendido, al menos, en dos

sentidos, uno de ellos es por cómo ya hemos mostrado en la forma con la que

actúa sobre los individuos de la comunidad para que se hagan ciertas cosas

entorno a la práctica docente y no otras, y por otra parte, en el papel normativo

que juegan los contenidos temáticos a desarrollar.

Sin embargo, ¿de que manera normar y aplicar la misma lógica en un escenario o

en otro, cuando ello procede, en ocasiones, de situaciones distintas? Pues, como

hemos establecido en capítulos anteriores muchas de las acciones, hechos e

incluso el pensamiento responde más bien a circunstancias específicas, por

ejemplo, el habla, los gestos, etc. De la misma manera, las necesidades

responden a escenarios específicos, pero, qué sería de nosotros si resistiéramos a

dichos cambios, es decir, pensemos hoy en día, en una sociedad o grupo que

82

trate de desvincularse de los medios tecnológicos al grado de rechazarlas,

seguramente su futuro no es muy prometedor. O más aun, pensemos en un

medico cirujano que siga operando como lo hacia hace 20, 5 o incluso 2 años

atrás, ¡imposible! la misma sociedad le impediría esto. ¿Por qué pensar en que las

acciones a las que se debe encaminar el profesor en el ámbito educativo deben de

ser la excepción? Es decir, si el currículo es aquel que responde a las

necesidades sociales y estas como ya expusimos líneas arriba son variables, por

qué pensar en que los objetivos y fines del currículo tendrían que seguir siendo los

mismos. ¿Es una necesidad social a lo que encaminamos nuestros esfuerzos?

¿El currículo normativo?, suponiendo que, en efecto, el currículo es de carácter

normativo, enfrentamos de cara otros aspectos a sortear, por ejemplo, pensemos

en los estudiantes frente a esta normatividad y su situación cognitiva, o en la

normatividad y la epistemología del profesor, en este último punto es posible, a

través de otros estudios, la forma en cómo se ha conservado el discurso

matemático del profesor, es decir, en que dicho discurso hoy en día es casi

idéntico al del pasado, es decir, lo que el profesor hace y dice en el aula de clase

no es algo que halla variado en gran medida, de generación en generación, por el

contrario, esta situación se reproduce casi de manera fiel en las instituciones

escolares, aun cuando el papel que se plantea en los modelos educativos o en los

currículos escolares que debe jugar el profesor es otro.

A nuestro parecer, este carácter normativo, que hoy en día se le ha imprimído al

currículo responde más bien a factores socioculturales, pues tenemos indicios

83

para pensar, según capítulos anteriores, que el currículo sui generis no tiene este

carácter.

5.4 Concepciones del currículo de cálculo

Los resultados muestran cómo los profesores, concibe al currículo de cálculo

como un antecedente a las materias de ingeniería básica o aplicada. Por la forma

en como se presentó este tipo de pensamiento y por lo que hemos establecido en

capítulos anteriores podemos decir que ello es un pensamiento de naturaleza

sociocultural, además, nada se dice al respecto en el currículo y luego entonces

esta idea tiene su origen en otro lugar, el cual tiene el poder de actuar

normativamente sobre los individuos. De manera que no sería extraño que dentro

de algunos años, que el profesor que concibe al cálculo de manera distinta

empiece a concebirlo como un antecedente a las materias de ingeniería en lugar

de la rama de la matemática que se encarga de estudiar los cambios.

Empero, ¿cuándo las matemáticas son enseñadas para el ahora? Pues en nuestro

ambiente social siempre se enseña matemáticas para el nivel siguiente (a

excepción, podríamos decir, de la primaria donde todas las matemáticas son

“aplicables en la vida cotidiana”), es decir, enseñamos matemáticas en la

secundaria porque es la que nos va a servir en la preparatoria, enseñamos

matemáticas en la preparatoria, pues, es la que nos ha de servir en nuestros años

de universidad. Pero, qué hay acerca de los preparatorianos o bachilleres que no

continúen sus estudios y se incluyan en el mercado laboral, ¿qué sentido tendría

para ellos el saber matemáticas? O más aun ¿Con qué finalidad enseñar

84

matemáticas? O en nuestro caso particular, sí el cálculo, es una materia básica

para poder hacer sus aplicaciones o es fundamento para sus asignaturas, ¿Cómo

debiera interpretarse el currículo de cálculo?

De manera que, en muchas ocasiones; como podemos observar en nuestros

datos, la interpretación de los currículos, en particular, los de cálculo, son tomados

como un mero antecedente, por ejemplo; a las ecuaciones diferenciales o al

análisis. De forma que lo sociocultural dice que, el cálculo, es un antecedente a

materias posteriores.

En nuestra opinión y por los datos recabados, decimos que es lo sociocultural lo

que le da sentido y significado al saber matemático escolar, de manera que ello

nos forma cierta visión que en ocasiones es difícil de quitar, más aun si ella no se

reconoce o conoce, que hace que terminemos creyendo una cosa, que en muchas

ocasiones es transpuesta, por ejemplo, el soldado que muere por su bandera,

muere por su patria; pero de hecho, en su conciencia, es la idea de la bandera la

que está en primer plano… se pierde de vista que la bandera no es más que un

signo, que no tiene valor por sí mismo, sino que no hace más que recordar la

realidad que representa; se le trata como si él mismo fuera esta realidad

(Durkheim, 2000). Y lo mismo podríamos decir del valor que le damos a nuestra

moneda (ella por si sola no vale, el valor que nosotros le asignamos) y esto

mismo, en el caso de la interpretación de los currículos de cálculo, ello no es que

sean ahora lo que son, un antecedente y que gozan de un carácter normativo, sino

es lo que al final de cuentas lo social y/o cultural le ha venido asignado a éste y es

en lo que creemos.

85

5.5 Conclusiones

El interés puesto en este estudio estuvo centrado en reconocer las relaciones que

guarda el proceso cultural y lo social, en la función de la matemática escolar, de

suerte que ello nos permitiera entender y vislumbrar la manera en que aparecen

ciertas costumbres entorno al sistema didáctico. En particular nos centramos en

estudiar el funcionamiento del currículo de cálculo sabiendo que tanto la

producción de conocimiento matemático erudito, como escolar y el sistema

didáctico, responden a escenarios y lógicas diferentes, que en ocasiones “son

contradictorias”.

Acogidos al seno del paradigma socioepistemológico, tratamos de dar explicación

de esta problemática, indagando sobre el carácter social de éste. Aunque, bajo

este paradigma de investigación fue posible mostrar cierto conjunto de acciones

que los humanos desarrollan y sobre qué los incita a hacerlo, a ciencia cierta, no

pudimos establecer una práctica social asociado a ello, pues sería necesario

investigar si se genera o no conocimiento en la escuela, lo cuál sería objeto de

otro estudio. Sin embargo, aunque fuera del objetivo de este estudio, es posible

observar cómo la aproximación teórica en la que nos acogimos, se puede aplicar a

un nuevo conjunto de situaciones para la cual ella nos pueda dar explicaciones,

como son los escenarios socioculturales de índole escolar, es decir, si bien lo que

le da sentido y significado al saber erudito son los escenarios socioculturales, de la

misma manera, lo que la da sentido y significado a los saberes escolares y a la

práctica docente, son precisamente los escenarios socioculturales, de la misma

naturaleza. De manera que aplicándola en éste tipo de escenarios, tal

86

aproximación nos permita dar sentido a las prácticas escolares que desarrollan los

seres humanos, es decir, antes de hablar de un saber matemático de naturaleza

escolar, es necesario hablar sobre un conjunto de prácticas que le dan sentido y

significado a este saber, de la misma naturaleza.

Para alcanzar los resultados expuestos fue necesario apegarnos al modelo que

plantea la teoría, es decir, mostrar cierto conjunto de acciones que las personas

dicen realizar (actividad humana) a qué está ligado (práctica de referencia) y qué

los norma a hacer lo que hacen (práctica social). Para ello nos dimos a la tarea de

hacer una serie de entrevistas clínicas, de suerte que ello nos permitiera

corroborar ciertas pesquisas que las investigaciones y las situaciones actuales,

daban indicios.

Con base en la información recabada es posible vislumbrar cómo en lo que se

dice hacer, se deja de hacer o piensan los profesores, es normado por los

mecanismos socioculturales de la escuela donde se encuentran inmersos, más

que, por los decretos o normas escritas, esto nos permite reflexionar sobre el

hecho de que el funcionamiento del currículo de cálculo se da en gran medida a

través de estos mecanismos, pues ellos hacen que exista cierta homogeneidad

entre lo que se dice, se hace y piensa. Así pues, entendemos que lo que le da

sentido y significado al saber matemático escolar son precisamente dichos

mecanismos, pues de ellos devienen las concepciones del cálculo como un

antecedente y no como el estudio de las variaciones o cambios, esto de alguna

manera, consideramos incita a hacer una práctica docente de manera tradicional-

formal y no tipo constructivista.

87

De manera conclusiva, bajo el esquema del marco teórico al que nos acogimos es

posible ver alguna de las actividades humanas que los docentes desarrollan: dan

clase, interpretan el currículo de cálculo, organizan los saberes que dicen

corresponder al cálculo, cambian las concepciones que se tienen sobre el mismo

currículo a través de los años, usan el saber con una finalidad específica, usan la

tecnología de la misma manera, ligada a la práctica de referencia de la enseñanza

del cálculo, aunque con respecto a la práctica social tal cual establece la

aproximación teórica en la que nos acogimos nada podemos decir, como ya

habíamos establecido, más en su lugar, obtuvimos evidencia significativa que

apunta a establecer que lo sociocultural juega un papel normativo en las

actividades humanas que ellos desarrollan.

Para finalizar, diremos que las relaciones que se entablan entre profesor y saber,

proviene de factores socioculturales más que de factores institucionales. Es decir,

no son los decretos dados vía la misión, la visión, el modelo educativo, etc. lo que

hace que el profesor diga y piense como piensa, sino que son los “decretos”

socioculturales los que producen este efecto. Y que son precisamente este tipo de

factores los que le imprimen un carácter situado a la matemática escolar. De

manera que si lo que pretendemos es modificar la práctica docente sería

necesario el que incidamos en lo sociocultural para que ella evolucione y llegue al

estado del cual deseamos que se lleve a cabo dicha práctica.

88

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