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UN IVERSI DAD AUTO IU O MA METRO PO LlTAN A Casa abierta al tiempo UNIDAD IZTAPBLAPA División de Ciencias Básicas e Ingeniería

MA TjEMA TICAS

ÁREA 1IE ,4LGEBRA

(7. B. I.

APLICACIONES DE L[Aj Y EL ORDEN DE MICHELL

DR. LUIS MIGUEL VILLIEGAS S. Y JULIO ERNESTO SOLIS D.

Aplicaciones de LEA] y el orden de Mitchell

Luis Miguel Villegas Silva, Julio Ernesto Solís Daun Author address:

DEPTO. MATEMÁTICAS, UNIVERSIDAD AUT~NOMA METROPOLITANA IZTAPALAPA, IZTAPALAPA, D.

E-mail address: lmvs@xanum. uam. mx, jesd@xanum. uam. mx F., CP 09340, MÉXICO

Índice

CAPfTULO I. Modelos construidos mehante sucesiones de medidas 1 Sucesiones de medidas 2 Cambio de coñnalidades 3 4 Cardinales Ramsey y constructibilidad 5 6 El orden de Mitchell

Modelos construidos a partir de sucesiories de medidas

Un modelo interno con muchos cardinales medibles

Ejercicios

Bibliografía

3 3

11 20 24 25 28 40

45

... 111

~NDICE 1

introducción

El curso de Temas Selectos de Topología en el posgrado en matemáticas de la UAIvíI fue dedicado al estudio de las aplicaciones del modelo L[A]. Utilizamos este modelo para demostrar el principio + de Jensen e investigamos las propiedades de este modelo. Ante la necesidad de construir modelos con varios cardinales medibles, no sólo uno, y modelos que tengan otros grandes cardinales, debemos desarrollar otros modelos incorporando inas medidas. En particular, construimos modelos a partir de sucesiones de medidas, que es el objeto de estas notas. Hemos incorporado numerosos ejercicios que serán de gran ayuda para el lector.

f

2 I. INTRODUCCIÓN

CAPíTULO I

Modelos construidos mediante sucesiones de medidas

En este capítulo damos un paso más en la construcción de modelos internos y formamos modelos esta vez a partir de sucesiones de ultrafiltro o de medidas. Varios resultados importantes se pueden derivar en el modelo L [p ] (véase [SoVi]) pero &te no es suficientemente poderoso para permitir varios resultados sobre consistencia relativa. Esto se consigue considerando modelos del tipo L[7"1, donde y es una sucesión de ultrafiltros (o m'edidas). Entre los logros de esta construcción se destacan la construcción de modelos con varios cardinales medibles y el cambio de cofinalidades de cardinales medibles. Además estudiaremos el orden de Mitchell que contribuye enormemente a destacar las propiedades del modelo L [ y ] .

T Sección Sucesione:s de medidas

En este capítulo, a menos que se especifique lo contrario, un ultrafiltro en K significa un ultrafiltro libre, normal y K-completo. Si U y U' son ultrafiltros en K, escribimos U > U' si U E UZtUt ( V ) , lo que equivale a decir que existen I E U' y una sucesión (U, : i E I) tal que Ui es un ultrafiltro en i y, para toda x E K, x E U si y sólo si {i E í : x ri i E Vil E U' .

PROPOSICIÓN 1.1. es un orden parcial bien fundado.

DEMOSTRACI~N. La transitividad de se deduce sin mayor dificultad de la segunda caracter- ización de *. Para probar que está bien fundado es suficiente probar que si j , es el encaje canónico de V en U l t u ( V ) , entonces U * U' implica ~ u ( K ) < ~ u , ( K ) . Ya que los subconjuntos de K en V y en Ultut(V) son los mismos, j U ( K ) tambicin es la imagen de K respecto al encaje de UZtu, ( V ) en UZtu , (Ul tu (V) ) . Pero ~ u , ( K ) es inaccesible en U l t u f ( V ) , por lo que queda fijo por este encaje,

O así que ~ u ( K ) < j u r ( K ) .

Se sigue de la Proposición 1.1 que podemos definir o ( U ) como el rango de U respecto al orden * , por recursión sobre una relación bien fundada: o ( U ) = sup{o(U') + 1 : U' U}.

Si K es un cardinal entonces O(K) = { o ( U ) : IJ es un ultrafiltro en K]. P R O P O S I C I ~ N 1.2. Pura todo K, O(K) I (ZK)+.

DEMOSTRACI~N. Si U es un ultrafiltro en K, entonces IPot(Pot(K)) n UZtu(V)I < (a")', así que O o ( U ) < (2K)+. Por lo tanto, O(K) 5 (2K)+.

3

4 I. MODELOS CONSTRUIDOS MEDiAN‘E SUCESIONES DE MEDIDAS

PROPOSICI~N 1.3. Sig = Av < K O ( V ) entonces [glu = o ( U ) .

DEMOSTRACI~N. o ( U ) es igual a (U’ : U‘ es una rnedida en K en UZtu(V)} y como no cambia O en UZtu(V), O(K) en Ultu(V) es igual a o ( U ) . Pero [ : ~ I U es O(K) en UZtu(V).

La proposición 1.3 se puede utilizar para dar una definición alternativa de O(K) y o(U) : suponga que o ( v ) se ha definido para toda v < K . Entonces o ( U ) = [Av < K O ( V ) ] U u O ( K ) = ( o ( U ) : U es una medida en K } . Se desprende de la Proposición 1.3 que o ( U ) < (2K)+ para toda medida U en K , así que O ( K ) 4 (2K)+.

Sea K : 6 - OR. Una K-sucesión de filtros es una función Y con dominio ((a, B) : a < 6,/3 < K ( a ) } talquecadaY(a,B)esunfi i troena. Escribim.osY t a p a r a r t {(a ’ , /3) :a ’<a,Bf<K(a’) l y Y t ( a , B ) p a r a Y t ( ( a ’ , j ? ’ ) : ( a ’ < a ~ 8 ’ < K ( a ’ ) ) v ( a ‘ = a ~ 8 ’ < B ) } . SiYesunaK-sucesión de filtros entonces L[Y] es la clase de conjuntos construibles a partir de ((a, 8, x) : a < 6 , /3 < K( a), x E Y (a, 8) }. Una K-sucesión Y es coherente si., para cada pareja (a, /3) en el dominio de Y,

(1) Y(a,/3) nL[Y] esunultrafiltroenaenL[Y], (2) si i : L[Y] - L[Y]@/Y(a, 6) es el encaje canónico entonces

i (Y) t a + 1 = Y t (a , f l ) .

DEFINICI~N 1.4. y es una sucesión coherente si: (a) Y es una función cuyo dominio es {(a, 0) : /3 <c o l f (a ) } para alguna función os(,).

(c) Toda medida en L ( 7 ) es igual a F ( a , 8) para alguna pareja (a, 8). Vamos a generalizar la noción de ultrapotencia it’erada. En lugar de tomar la ultrapotencia res-

pecto al mismo ultrafiltro, efectuamos la iteración respecto a una sucesión arbitraria de ultrafiltros que no necesariamente estaban en el modelo original. Una ultrapotencia iterada de 332 es cualquier elemento de una sucesión (m, : y < A ) que se construye como sigue, donde escribimos Mk en lugar de M k n M si 1131 es un modelo estándar de ZF.

My+i = M T / U , para algún ultrafiltro U, en K, en M,. Hacemos iy,,+l igual al encaje canónico My - My+l y si y‘ < y entonces i,~,y+l = iY,Y+liY,,Y. Si y es límite entonces My es el límite directo dti los M,. para y‘ < y respecto a los encajes

i,.,,,,. Si y‘ < y entonces i,,, es igual al encaje M,, -. My. Escribiremos i , en lugar de ioy, que llamaremos el encaje canónico. Si My está bien fundado

(como lo asegura el Lema 1.5 para los casos que nos conciernen) identificamos M, con su colapso.

LEMA 1.5. Si 9.X está bien fundado entonces todo ultraproducto irerado de M definible en -in está bien fundado.

Primero generalizamos los resultados de [SoVi] pira probar

LEMA 1.6. Si 9X está bien fundado entonces todo ui’trnproducro iterado de 332 definible en Cm está

Después utilizaremos absolutez para mostrar que el Lema 1.6 implica el Lema 1.5 Definimos por recursión en a una sucesión k , de funciones cuyo rango está contenido en OR

de tal suerte que K~~ es la clase de equivalencia de k , en el ultraproducto apropiado. EL dominio de k , será

D, = { p E OR& n M : V a’ < o:p(a’) < k,,(p I a’)}. Un conjunto finito F c a es el soporte de una función f con dominio D, (o de un subconjunto

X de D,) si p I F = p‘ i F implica f ( p ) = f ( p ’ ) (o p E X si y sólo si p‘ E X). Hacemos DF = {p I F : p E O,}. Puesto que no queremos suponer que ( K ~ : a < A ) E M , abusamos de la notación

(b) L ( 7 ) I= V l x $ j 2 t- t f ~ t ? ~ ( * ‘ ] - > ( , ( Y , [’‘i es t m i meciidñ de oriten 1: (‘11 NI.

Mo = M ,

bien fundado,

11. SUCESIONES DE MEDIDAS 5

~ F N

al escribir f E M s i f tiene soporte F tal que la función f' con dominio DF definida mediante f'(p t F ) = f ( p ) pertenece a M. Entonces

FTL, = r f E ~~a n M : f tiene soporte finito), Pa = {x E Pot(D,) ri M : X tiene soporte finito}.

Si a < a', hacemos las identificaciones apropiadas para lograr que Fn,. c Fn, y P,? G P,. Si U es un ultrafiltro en el álgebra booleana P,, podemos definir el modelo F n , / U de clases de equivalencia módulo U de funciones kp, un ultrafiltro UB en Pp y un isomorfismo j p : Mp = Fnb / Up de tal forma que se cumple: (1) Si B' < B entonces up' = U D n p. (2) Si i s r p j p < = j ~ i p p . ( 3 ) j a ( K g ) = [ksl-

Si a es límite, hacemos U" = Up,, Up. Entoiices j , está dado por ( j , : /3 < a) por (2). Si a = o+ 1 escogemos g p E jp(UB) . En consecuencia, { p E Dg : gp(p) es un ultrafiltro en kg(p)l E Up. Para X E Pa, sea X E U" si y sólo si

{P E Dp : 15 < kp(P) : rv-(S) E XI E g p ( P ) l E UpI

donde ~ ~ ( 5 ) es la función tal que p-(z) t B = p y p-(E)(B) = 5. El isomorfismo j , está dado por la composición

Ma = M T / U B z (FHB/U~)~'/UB z Fn"/Ua, donde el primer isomorfismo está inducido por j p y el segundo de la definición de U". El caso a = O es trivial pues Do = {O}. Finalmente sea k , un elemento arbitrario de j ( ~ ~ ) .

Si F es un conjunto finito entonces existe un conjunto finito F' 2 F tal que si a E F' entonces F' n a es un soporte para k N y g,. En lo sucesivo soporte significa un soporte con esta propiedad. Si F E a es un soporte, Fnr = { f E Fn, : f tiene soporte F ) y MF = F n F / ( U a n PF). Podemos decir informalmente que MF es el modelo que se logra después de una cantidad finita de iteraciones de ultraproductos especificados por F. Si F c a, G c 8, F G G, y o( 5 B entonces existen encajes elementales tales que el siguiente diagrama conmuta:

- MG iFG

MF ___

M N ~ * M b i nB

Esto propicia la definición de un ultraproducto iterado como el límite directo de ultrapotencias iteradas finitas. En particular, si toda ultrapotencia de M numerablemente iterable está bien fundada entonces toda ultrapotencia de M iterable está bien fundada.

Por ejemplo, si F = { ao, al, a-} es un soporte y x E PF entonces x E UF si y sólo si

{Eo < k N , , : 151 < k N , ( S @ ) rz- < k & ' , ( < @ t g l ) : ( z o * 5 1 , 5 ? ) E X } E g C i , ( ~ o ~ ~ l ) } EgN,(Eo)j Eg,Yo-

Si las sucesiones ( x , ~ : a < A ) y ( U , : o( < A) están en M , dado que U,, es numerablemente

TEOREMA 1.7. Si la intersección de una cantidad numerable de elementos de UF no es vacía,

completo en M, podemos demostrar que:

entonces M,, está bien fundada para toda a.

f

6 1. MODELOS CONSTRUIDOS MEDIANTE SUCESIONES DE MEDIDAS

lo que completa la demostración del Lema 1.6. Ahora completamos la prueba de Lema 1.5. Suponga que w1 c M y MA es una iteración de M

con una sucesión decreciente (a, : n E w) de ordinales. Podemos suponer que h es numerable, así que podemos elegir una sucesión (F, : n E w) till que F, es un soporte para an, Fn+i 2 F,, y h = U,,, F,. Sea b, E MF,, tal que s i i ~ , h ( b , ) = Un. Entonces la sucesión ((Fn, MF,, b,) : n E (u)

es una sucesión infinita decreciente en un orden parcial D = (D, I) definido en M como sigue: los elementos de D son ternas (F, N, b ) donde F = {al,. . . , an) para ordinales O < a1 < . - . < a, < A, N es una n-iteración de M (pensando que las iteraciones están indexadas por al,. . . , en lugar de por 1,. . . , n) y b es un ordinal en N. Si s = ( F , N , b) y s’ = (F ’ , N’, b’) están en D entonces s < s’ si y sólo si s y s’ están relacionados como lo están (F,+I, M F , , ~ , b,+1) y (F,, MF,, bn); es decir, si y sólo si F’ c F , F‘ es un soporte en N de tal suerte que NF‘ está definido, N’ = NFT así que la función canónica i p ~ : N‘ = Np - N está definida, y b < E F ~ F ( ~ ’ ) .

Suponga que (s, : n < cu) es una sucesión decreciente en D, donde s, = (Fn, N,, b,). Entonces existen funciones canónicas N, - Nm para n < m y tomamos N como el límite directo de los N , respecto a estas funciones. Entonces N es ultrapotencia iterada de M ya que el conjunto de índices U,,, F, está bien fundado, y N no está bien fundado porque las imágenes de los b, forman una sucesión decreciente. En consecuencia, el Lema 1.6 implica que D está bien fundado en M y por la absolutez de la propiedad de ser bien fundado habrhmos terminado excepto que D no pertenece a M. Regresamos a la iteración original MA, y observamos que la clase { in (6) : 6 E M} es cofinal en M A , así que existe una 6 en M tal que M A tiene una sucesión infinita decreciente debajo de in(@. Por lo tanto, podemos suponer que M A se eligió de tal suerte que K, < i,(6) para toda a < A, por lo que si las restricciones correspondientes se hacen a íl entonces MA sigue definiendo una sucesión decreciente. Pero estas restricciones convierten a D e:n un elemento de M.

Si W y W‘ son sucesiones coherentes de ultrafiltros, entonces W es un segmento inicial de W‘ si existe 6 tal que W n L[W] = (W’ t 6 ) n L[W t 61.

LEMA 1.8. Sea U y U‘ sucesiones coherentes. Entonces existen sucesiones coherentes-AJ y W’ tales que una es un segmento inicial de la otra y tal que L[Wl y L [ W ’ l son iteraciones de L[U] yL[U’ ] , con encajes canónicos i e i‘ respecrivurnente, tules que L(U n L[Ul) = W e i’(U‘ n L[U‘]) = W‘.

DEMOSTRACI~N. Definimos sucesiones ( M A : A < y ) y (M,; : A‘ < y ) de iteraciones de L[U] y L[U’] respectivamente por inducción en A. Hacem’os MO = L[U] y Mó = L[U’] y si A es límite entonces MA = injLím (MA, : A‘ < A ) y M i = injLím ( M i : A‘ < A ) . Ahora supongamos que Ma y Mi ya se han definido. Sean U y U‘ k y K‘ sucesiones, respectivamente. Podemos tomar W = in(U) y MI‘ = i i ( U ’ ) a menos que exista una pareja (m, 8) tal que E d o m ( i n ( K ) ) n dom(i(K’)) y una de las siguientes afirmaciones es cierta:

(1)

(2)

(3)

B = i x (K) (a ) < i;(K‘)(a),

0 = i i ( K ’ ) ( a ) < i ~ ( K ) ( a ) , 0 < i / l (K)(a) n ii(K’)(a)

iA(U)(a,B)nMAnM,\ + i i ( U ‘ ) ( a , B ) n M ~ n M i .

Si existe tal pareja, sea (a, 8) = ( a , ~ , f l ~ la menor y definimos Mn+1 y Mici de acuerdo a que se

( 1 )

(2)

cumpla (l), (2) ó (31, mediante

M A + l = fiJA Y MA+1 = M : / i i ( U ’ ) ( m , b ) , M,;+, = y; Y MA+l = M,f%,dU)(m,B),

M.\+i = M , ~ / i . l ( U ) ( a , b ) y = M,; / i j , (U ’ ) (a ,B) . (3)

Debemos exhibir que este proceso realmente termina; supongamos que no es así y llegaremos a una contradicción.

f

11. SUCESICiNES DE MEDIDAS 7

Existe una clase estacionaria A c OR tal que si Al, h2 E A y Al < A2 entonces i h l h 2 ( a h l , a h l =

( ~ A ~ , B A ~ ) . Para verificar esto, sea f : OR - OR mediante f ( h ) el menor A' tal que (ah, ah) = in' (a, /3) para alguna (a,B) E dom(ip(U). Como M A se construyó tomando uniones en los límites, f ( h ) < h para toda h límite. Así que para alguna ho, f ( h ) = ho en un conjunto estacionario, por lo que existe una pareja (a,B) E dom(i~,(U)) tal que A = { A : (ah,B~) = in,~(a,B)} es estacionario. Repetimos este argumento y obtenemos una clase estacionaria B E A tal que s i Al, A2 E B y hl < A2 entonces ( O ( A 2 $ B A , ) = ihlnz(an,,Bnl) = iilnz(a~l~Bnl)-

Observe que U y U' son sucesiones coherentes, por lo que la sucesión ( O ( A : h f O R ) es estrictamente creciente. Si el caso (1) ocurre en h y A l > h entonces ihAl (ah, SA) = (ah, PA) así que (l), y en forma similar (Z), no pueden ocimir para h E B. Sea h un punto límite de B que pertenece a B, y sea C = {ahlhl E B n A} y F = {x c a , ~ : 3y E a^(C t y G y ) ] . Argumentos típicos, usando que ( a h l : Al < A) es creciente, nos permiten concluir que ih(U)(an, fin) = F n M A e iA(U')(an, fin) = F n Mi así que el caso (3) tampoco ocurre, lo que contradice nuestra hipótesis de que el proceso no se interrumpe.

O

DEFINICIÓN 1.9. Una sucesión coherente U es cp-mínima para una fórmula Q, si L[U] b Q, pero si U t S + U entonces L[U t 61 k '9.

LEMA 1.10. SiU escoherenteycp- mínima,^ E Pot(a)nL[U], yT esunaclasepropiadeordinales, entonces x = y n a para alguna y definible en L[U] con parúmetros en o( u {U} u r.

DEMOSTRACI~N. Sean A una clase de conjuntos definibles de esa manera y X la clase transitiva isomorfa a A. Como r c A, X es una clase propia y X = L[U'] para alguna sucesión U'. Por el Lema 1.8 existen encajes elementales

2' : x - L[W'], i : L[U] - L[W]

tal que W' = 2'(U'), W = i ( U ) , y (por 9-minimalidad) W = W'. Además, a c A así que if I a = i t a = id y x = i(x) n a E L[W]. Entonces x E X, pero entonces x = y n a para alguna y E A. O

TEOREMA 1 . 1 1 . Si U es coherente entonces todo ultrafiltro en L[U] es de la forma U(a, fl). DEMOSTRACI~N. Si el teorema es falso entonces sea U 9-mínimo. donde p es el enunciado que

asegura que algún ultrafiltro no es de la forma l U ( a , O), sea o( el menor ordinal tal que existe dicho ultrafiltro en a E L[U], y sea U uno de tales ultrafdtros *-mínimo.

Caso 1. Para toda 0 < K(a), U(a, fl) U . Aplicamos el Lema 1.8 a L[U] y L [ j ( U ) ] = L[U]"/U. Como U y j(U) son p-mínimos, se pueden enca.jar elementalmente en el mismo L[W] y puesto que U t a + 1 = j(U) t a + 1 los encajes son la identidad en P o t ( P o t ( a ) ) , lo que contradice el hecho U E L[Ul Y U L í j ( U ) l .

Caso 2. Para alguna 0 < K ( a ) , U ( a , 0) + U . Mostraremos que s i 0 es el menor ordinal tal que U = U(a, 0). Por el Lema 1.8 y la p-minimalidati de U existen encajes elementales

i;

I t * L[WI i', L[UI"IU(a, 0)

tales que i l i O ( U ) = i ; ió (U) = W, ioil t a = iói; t o( = id, y ii(a) = i ;(a) = a. Sean x E P o t ( a ) n L[Ul y r la clase de ordinales que quedan fijos por i o , i l , ió o i;. Por el Lema 1.8, x = y n a

8 11. MODELOS CONSTRUIDOS MEDIAN‘IE SUCESIONES DE MEDIDAS

donde y está definido en L[U] mediante una fórmula con parámetros en a u r u {U}. Entonces x E U si y sólo si a E io(x), si y sólo si a E io(y), si y sólo si ilio(y), y x E U(a, 81, si y sólo si

O a E i;ió(y). Pero ilio(y) = i;ió(y) así que U = U(a,/3) .

COROLARIO 1.12. Si O(K) 2 n entonces existe un modelo interno L[U] en el que K tiene exactamente n ultrafiltros.

DEMOSTRACIÓN. Para a a K, sea K ( a ) = o(00 si o ( a ) < n y K ( a ) = n en otro caso. Si K ( a ) > O entonces sea U, un ultrafiltro en a tal que o(U, ) = K ( a ) - 1. Sea U ( a , K ( a ) - 1) = U, y si m < K ( a ) - 1 entonces x E U ( a , m) si y sólo si

{a‘ < a : K ( a ’ ) = m + 1,x n a‘ E U,,] E U,.

Una sencilla verificación demuestra que U es coherente, por lo que el corolario se deduce del Teorema 1.1 1. O

El corolario se desprende para n < K de la siguiente conjetura: Conjetura. Si K ( a ) = ínf(o(a), a) para toda a i K , entonces toda K-sucesión U de UltrafiZtros

tal que o(U(a, /3>) = p para toda pareja (a, 8) es cohwente.

TEOREMA 1.13. Si U y U’ son K-sucesiones coherentes, U es 9-mínima para aZguna fórmula QI, entonces U’ es cp’mínirna para alguna fórmula QI‘ o L[U‘ I 61 + 9 para alguna 6, entonces L[U] = L[U’] yU n L[U] = U’ n L[U‘].

DEMOSTRACI~N. Suponga lo contrario, y sea (a, /3) la menor pareja tal que

u(a, 6) n L[Ul n L[U’] * U’(IX, fl) n L[Ul n L[U’].

Considere los encajes

L[U] -.L[U],/U(a, [I) 2. L[WJ

L[U’] -.L[U’I”jv‘(a, B) 5 L[W’]

dados por el Lema 1.8. Las hipótesis implican que para alguna 6, W’ = W 1 il io(@ o W = W’ t i; ió(6); podemos suponer la primera situación. Sean x E P o t ( & ) n L[W’] y r la clase de los ordinales que quedan fijos respecto a ii io o iii;. Entonces x = y ’ ri a para alguna y’ definible en L[U’] a partir de a u {U’} u r. Sea y definida por la misma fórmula en L[U f 61. Entonces i l io (y) = i;ió(y) y el argumento del Teorema 1.11, caso 2, muestra que x := y n a = y’ n a está en U ( a , B ) si y sólo si esta en U’(oc, B). Puesto que x fue arbitrario,

U ( a , 0) n L[U] n L[U‘l = U‘(cu, 8) n L[ül n L[U’].

O

La demostración del Teorema 1.13 exhibe la validez de la conclusión excepto en “una cantidad finita de lugares” en el siguiente sentido: sean

z . L[U] - L[W], I ‘ : L[lJ’] - L[W : y ]

los encajes del Lema 1.8 y suponga que (3) de la demostración del Lema 1.8 ocurre en la etapa h. Entonces h es un soporte para y en el ultraproducto iterado de L[U‘].

Nuestro siguiente teorema nos permitirá extender el resultado de L [ U ] a L[U]. Antes requerimos una defmicion. Considere que U ( V ( ~ ) ) es una parte finita de ZFE suficientemente grande junto con

I

11. SUCESIONES DE MEDIDAS 9

DEFINICIÓN 1.14. Un a, U-modelo es una pareja ( M , V ( % ) ) tal que M es un conjunto transitivo, E M , M i= o(V(%)), V(%) I a = (U t a)' n M , y todo ultrapotencia iterada de M está bien

En particular, note que si L,(U) satisface o ( U ) y ( M , V ( % ) ) es isomorfo a una subestructura

TEOREMA 1.15. Suponga que x , y G a, x si? construye anres que y en L[U] y M es un a + 1,U-

DEMOSTRACIÓN. Aplicamos el Lema 1.8 (que sin problemas se extiende a este caso), para obtener

fundada.

elemental de (L,[U],U) que contiene a a, entonces M es un oc,U-modelo.

modelo tal que y E M . Entonces x E M.

i ; M - La[W], i' : L[U] - LIW'],

donde i f a + 1 = i' f a + 1 = id. Si W es un segmento inicial de W' entonces, tomando más ultraproductos si es necesario, podemos asegura que W' f W. En consecuencia, y E Lb[W] = Lb[W] así que x E Lb[W] y x E M. Si W' es un segmento inicial de W entonces sea v tal que x E L,[W']. De ser necesario formamos ultraproductos, para poder afirmar que 6 > v y x E Lb[WI, por lo que x E M . O

E l siguiente teorema extiende, como se mencionó, resultados de L[U] a L[U].

TEOREMA 1.16. SiU es coherente lo siguiente es cierto en L[U]: (a) La HCC. (b) +, En particular, existe un árbol de Soudin.

DEMOSTRACIÓN. (a) Si O ( K ) = O entonces el Lema 1.15 la prueba en LEU] se puede efectuar en

(b) EL lector puede extender, sin ninguna diticultad, la prueba de la validez de + en L[ U] a L[U]. O

L[Ul. Si O ( K ) > O , 2" = K' en L[U]"/U(K,O) y, por cosiguiente, en L[U].

Supongamos que existe una clase transitiva 9X y un encaje elemental j : V - 9X tal que K es el primer ordinal que no queda fijo respecto a j y Ix c K : K E j(x)) E 9X. Existe tal encaje si, por ejemplo, K es supercompacto'.

TEOREMA 1.17. Sea y un cardinal I K o I K' o 5 K++. Existe una sucesión W, tal que en L[W,] existen exactamente y ultrafiltros normales en K.

DEMOSTRACIÓN. Definimos una función K con dominio K y una K-sucesión U por recursión en (a, 0) . Suponga que K t a y U t (a, 0) ya están definidos. Si existe un ultrafiltro U en a tal que:

(a) Para toda f E a" si {a' < a : f(a') < K ( a ' ) } E U entonces existe 0' < 0 tal que para toda

(b) Para toda 0' < B existe f E an n L[U(a,B)] tal que {a' < a : f ( a ' ) < K(a')l E ü y, para

Entonces U(oc,o) está definida de tal forma que es uno de tales U . En caso contrario, K(a) se - define como B. La construcción asegura que para toda (a, B), U f (a, 0) es coherente. Hacemos K = j ( X ) t ( K + 1) y Ü = j ( U ) t ( K + 1).

Afirmación. En L[ü], K ( K ) = K + + .

Demostración de la afirmación. Sea U = {x E K : K E j(x)}. Entonces U es un Ultrafiltro normal en K . Definamos k : L[Ü]"/U - L [ j ( Ü ) ] mediante k ( [ f ] ) = j(f)(~). Entonces k es un

x E a, x E U ( a , p ' ) si y sólo si {a' < a : ;c n a' E U(a',f(oc'))} E U.

toda x c a, x E U ( a , B ' ) si y sólo si {a' <: a : x n a' E U ( a ' , f ( o c ' ) ) } E U .

lPara su definición el lector puede consultar [Kan97].

t

10 I. MODELOS CONSTRUIDOS MEDIANTE SUCESIONES DE MEDIDAS

encaje elemental y el siguiente diagrama conmuta:

L[j(U)I Además, k ( K ) = K y k(i(Ü) t ( K + 1)) = j(ü) t ( K + 1) = v. Si h < K + en L[ü] entonces

existe un buen orden de K de tipo ordinal h en L[Ü], en consecuencia, en L[E(Ü)], así que k(h) = h. S i h = K' en L[i(Ü) t ( K + i)], entonces k ( h ) = K + en L[Ü]. Por consiguiente, h < k ( h ) , lo que implicaría h = k(h), por lo que se debe cumplir h = k(h) . Así, si h es el primer ordinal que mueve k , entonces h es al menos K++ en L[E(U) t ( K + 111. Mostraremos que ~ ( K ) ( K ) 2 A , por lo que K ( K ) = k(z(K(K)) 2 k(h) 2 K++ en L[Ü]. La Proposiciión 1.2 y la validez de la HCC en L[Ü] implican K ( K ) = K + + en ~ [ ü ] .

Si B = ~ ( K ) ( K ) < A, entonces K ( K ) = k(B) = B. Puesto que j es un encaje elemental, Ü y K están definidos en M como U fue definido en V. Con (a, /3) = ( K , K ( K ) ) , U satisface (a) en cualquier caso ya que B' se puede tomar como j ( f ) ( ~ ) . Pero dado que < h todo ordinal menor que /3 es de la forma k([f]) = j ( f ) ( K ) para alguna f E L[Ü], así que U satisface (b). Esto contradice la elección de /3 como E( K ) , por lo que i ( K ) 2 h y la afirmación queda demostrada. 4

Si y = K + + tomamos simplemente W, = U y si y < K entonces W, = U t ( K , y). Si y = K + entonces definimos una sucesión por recursión en v: si <ov< : V I < v ) ya está definida entonces Bv = K + en L[U t ( K , U,,,, B y ' ) ] . Por lo tanto, para alguna v 5 K + enL[U], Bv+i = BV. En conclusión L[wK+] I= O ( K ) 1 K + , donde WK+ = U / ( K , B v ) . O

1.1 Ultrafiltros numerablemente completos . Vamos a caracterizar los ultrafiltros numerablemente compactos en L[U]. Como antes, U, V(B) y W son sucesiones coherentes de ultrafiltros normales, pero supondremos que U es numerablemente completo. Si 'U y U' son ultrafiltros en I e 1', respectivamente, entonces U es equivalente a U' si y sólo si existe un isomorfismo (T : I - I' tal que si x c I' entonces x E U' si y sólo si f-'(x) E U . Suponga que U es un ultrafiltro en I, ( (J, : i E I) es una sucesión ajena de conjuntos, y Ui E'S un ultrafiltro en i para cada i E I. Entonces iiierUi/U está definido como {X G UiErJi : { i : x n Jj E U i } E U } .

TEOREMA 1.18. En L[U], todo ultrafiltro numerablemente completo está en la clase más pequeña que contiene a los ultrafiltros principales y a los normales, y es cerrada respecto a equivalencia, y la formación de CiEl U, /U.

DEMOSTRACIÓN. Si el teorema es falso, consideramos a U pmínimo respecto al enunciado Q, que afirma que el teorema es falso en L[U]. Sea U un ultrafiltro numerablemente completo en I en LCUI. Podemos formar el diagrama:

L.[U]'/U = L[I!(U)]

/// '\ - L[WI

i donde 1 es el encaje canónico e i , j los proporciona el Lema 1.8. El diagrama conmuta: en caso contrario sea o( el menor ordinal tal que, para algún ultrafdtro numerablemente completo W, si iw, lW

L[UI

11. CAMBIO DE COFINAUDADES 1 1

y kW se definen como antes con W en lugar de U, entonces kWIW(cx) + iw(a). En consecuencia, a es definible en L [ U ] , y como ambos lados son encajes elementales, k W I W ( a ) = iw(a).

Se afirma que k es la identidad. En otro caso, sea p el menor ordinal tal que k(p) > p. Sea g un representante de p en L [ W ] y F un soporte para g. Como a < a' implica K~ < K,. y la prueba del Teorema 1.13 implica que el caso (3) del Lema 1.8 no ocurre, podemos suponer que K~ < p para toda a E F. Sea K el menor ordinal tal que Z ( K ) 2 p, Ó l ( ~ ) < p y k&K) > Z ( K ) lo que contradice la suposición de que p es el menor Ordinal que k mueve. Así que DF G K , y ~ [ D F ] G K , por lo que del Lema 1.10 sabemos que g es la retricción a P de una función definible en L [ U ] con parámetros en K u { U } u r, donde i t r = k i r = id. Por consiguiente, p = [ g ] = i ( g ) ( ~ ~ ~ , . . . , K a n ) donde F = {al,. . . , a,}, por lo que p está definido en L[W] mediante una fórmula con parámetros en p u { W } u r. Sea p' definida en L [ l ( U ) ] por la nnisma fórmula. En consecuencia, k(p') = p así que p' i p. Si p' < p, entonces p' = k ( p 0 = p, por 10 que p' = p y k(p) = k(p') = p, lo que contradice la elección de p.

Por lo tanto, L[U] ' /U es una ultrapotencia de L [ U ] . Se afirma que es una iteración finita. De no ser así y puesto que L [ U ] ' / U es cerrado respecto a sucesiones numerables, contiene a ( K n : n E (u).

Sea [g] un elemento de la ultrapotencia iterada y g tiene soporte F con n o 4 F. En consecuencia, [h ,p(no)] = Kno = [ g ] ( n o ) = [ h , g ( p ) ( n o ) ] , así que p(no) = g(p)(no) para casi toda n. Puesto que g(p)(no) es independiente de p(no), esto implicaría que U,, es principal. Por tanto, L [ U ] ' / U es isomorfo a L[UIDn/Un, donde Un es el ultrafiltro definido en la demostración del Lema 1.6 y en particular Un pertenece a la clase definida en el 1:eorema. Sea [Ld'lu = d = [ g l p . Por consiguiente,

U = { X c I : d E Z ( X ) } = {X E I : d E Z ( X ) } = {X c I : g - ' ( X ) E U n }

y en forma similar existe f tal que Un = {x c_ IIn : f-'(x) E U } . En consecuencia, g es inyectiva en algún conjunto en U n , por lo que si U es uniforme entonces U es equivalente a Un. Pero si U no es uniforme, U tiene la forma CjEJ U j / U , donde U,,, es uniforme para alguna j 0 , Uj es principal si ij + j o , y U es principal. O

f Sección Cambio de cofinalidades

En esta sección presentamos una aplicación de la técnica de iteración de ultrapotencias para

Probaremos el siguiente resultado:

TEOREMA 2.1. Suponga que a es un ordinal límite, que (Up : B < a) es una sucesión de ultrafiltros completos en K > a en el modelo No, y para B contenido en a sea NE la ultrapotencia de No módulo aquellos Us con B en B. Si para toda y < B < o( se cumple U, E N;pl, es decir, si U, > Up, las siguientes afirmaciones son ciertas:

(i) La intersección M, de todos los Nb para b un subconjunto finito de a es un modelo de ZFE que contiene a N,;

(ii) Las cardinalidades se preservan de N, a Mot, y para toda T la cofinalidad de T es la misma en N, y en Ma, excepto si existe un ordinal lírnite B contenido en a tal que la cofinalidad de T en N, es KB, la imagen de K en Nb; en ese ca.so la cofinalidad de T en M, es la cofinalidad de B; más aún, todo conjunto de ordinales en M l , está cubierto por la unión de a conjuntos en N,, con la misma cardinalidad;

(iii) El modelo M, está generado en N, medimre la adición de una sucesión ,y de ordinales de longitud a, cofinal en K, (si Up es normal, entonces xfi = KB).

El siguiente razonamiento exhibe la necesidad de considerar una sucesión de ultrafiltros y no solamente uno: Si U es normal en K en No y si M es cualquier modelo que contiene a N,,, y que contiene una subsucesión infinita (KB : B E B) de (: KP : B E w ), entonces M contiene la ultrapotencia

cambiar la cofinalidad de un cardinal medible a una cofinalidad inumerable.

12 1. MODELOS CONSTRüiDOS MEDIANTE SUCESIONES DE MEDIDAS

de No calculada con aquellos índices que pertenecen a .B, por lo que no puede preservar los cardinales de N,, . Por lo tanto, M se debe definir sólo con la ayuda de ultrapotencias finitamente iteradas. Pero con sólo un ultrafiltro, la imagen de K en la ultrapoti-ncia finita siempre permanece debajo de K,

y nunca alcanza a K ~ , En consecuencia, debemos usar una sucesión de ultrafiltros de complejidad creciente (para hacer crecer a K) .

Todas nuestras construcciones se efectuarán en el modelo base NO de ZFE, y a es un ordinal límite fijo en NO. Para cada modelo interno M cerrado respecto a or-sucesiones y toda a-sucesión no decreciente x, sea, para B c a, F ~ B ( M , x) la clase calculada en M de las funciones con dominio xB = npEB KB y soporte finito. Supongamos que U = ( Us : /3 < or) es una sucesión de ultrafiltros en x: para B c a definimos U B como el producto tensorial de los üp para /3 E B, es decir,:

(i) Urp} = Up (formalmente ü { B } es la copia de Us en K;");

(ii) Si y < B, entonces U(Y.pl = U{rl 8 U{B1, es decir, para X c x { Y v K } , X E U(Y.p} si y sólo si

(iii) Para toda B, U B es un ultrafiltro definido por indlucción en los subconjuntos de x B con soporte

Sean =, i la relaciones en F ~ B ( M , x) definidas por: f-g si y sólo si el conjunto de las s E xB tales que f ( s ) y g(s) son iguales en UB (lo correspondiente para E). Si E está bien fundado, sean Ult(JB ( M ) y las Únicas clase y función sobre de F ~ B (Mx) sobre esta clase tal que (UkUfI (M), E) es isomorfa a

{x E .{Y} : {y E : x u y E X} E W } } E U { Y ) ;

finito.

(FTIB(M, x ) / & , € / e ) . Para B E C, la función canónica de Ultu~(M) en U l t u c ( M ) está contenida en z;?, si ambos

LEMA 2.2. Supongamos que K~ I K~ y que, parca /3 = O , 1 , Up es un M-ultrafiltro en ~p tal que Ultulro.li (M) exi.cte y Ultu, ( M ) esta contenida en M. Entonces U, es un Ultu,(M)-ultrafiltro, U¿tu, (Ultu, ( M ) ) existe y es igual a Ultuio.lr, M ) , y las siguientes son iguales:

existen.

e

DEMOSTRACIÓN. Puesto que ü¿tu,(M) y M tienen los mismos subconjuntos de KO y las mismas KO-sucesiones de elementos de üitui (M), üo es )un ültu, (M)-ultrafiltro, existe la ultrapotencia Ultuo(U¿tu, ( M ) ) , y por unicidad de la función sobre, mlol uo'uLtul(M) es la restricción de .rr$;9M a Fn{o\ (ültu , ( M ) , x) . Definimos la función

H : F T I { ~ ~ (UltUl ( M I , X : I - U¿tuio.il)

como sigue: fijemos k : K / " - ~1 tal que K~ = ~ ( ~ i k , y notemos que el conjunto de s E xiOvil tal que s(0) pertenece a k ( s ( 1 ) ) está en sea f E Fn(o}(ültu , (M),x) : existe F E Fn{ l ; (M,x ) tal que f es T [ ~ ~ F , y podemos suponer que para toda t E xi'', F ( t ) es una función con dominio k ( t ) ; entonces defina F', un elemento de

F'(s) =

( M , x ) , mediante:

io. (en otro caso. F(s(l))(s(O)), sir(()) E k ( s ( 1 ) )

>- asociamos a f el elemento ~ T { ~ , ~ ] F ' . Es fácil probar que f = g (respectivamente E ) si y sólo si en U l t ( M , U i o , l } ) se cumple: f " g (respectivamente it), usando que io(i} deja fijos los elementos

o t E KO". Por unicidad deducimos que H es igual a ni,,; Uo.Ulto, (AI) , lo que demuestra el lema.

Compare el Lema 2.2 con el siguiente resultado esizándar:

11. CAMBIO DE COFINALIDADES 13

LEMA 2.3. Suponga que K~ I K~ y que, para B = O, 1, Up es un M-ultrafiltro en KB tal que Ult(M, U { O J ) ) existe. Entonces existe un Ultuo(l.I)-ultrafiltro U; en Z O { O } X I , igual a ZO{O]U~ si U1 está en M , tal que Ultu; (Ultuo(M)) existe, es igual a U Z t u ~ o , ~ ~ ( M ) y los siguientes son iguales

DEMOSTRACI~N. Ejercicio. fl

Mediante una combinación de los lemas 2.2 y 2.3 se demuestra el resultado a continuación: LEMA 2.4. Suponga que x es una a-sucesióri no decreciente con rango finito, KO > a, y que U es

tal que para toda B E o( Up es un ultrafiltro ~p -completo en ~p en M. Para todo subconjunto finito b G a definimos las sucesiones x ( b ) y U(b) mediante:

x(b)y = ZObnyxy!

U(b)y = iObriyUy para Y 4 b. Entonces:

(i) Para y B b, ü ( b ) y es un Ultub (MI-ultrafiltro en x(b)y ; (U) para todo C s a y ajeno a b, Ultu:(b,l ( U l t y b ( M ) ) existe y es igual a UitubuC (M) y las funciones

. u ( b i ~ u l t c , b ( M ) .U M zoc e ZbhuC son iguales.

DEMOSTRKIÓN. Ejercicio. O

Nuestra meta es describir la intersección de ültub ( M ) para un subconjunto finito de a. Para probar que esta clase es un modelo, mostraremos que para c ajeno a b la clase üZtut3LL ( M ) es un modelo interno de Ultub ( M ) y que, más aún, la silcesión de tales U l t u b v c ( M ) está definida de manera uniforme en Ultub ( M ) . Por el Lema 2.4, ü l t u b u - (MI es la ultrapotencia de UZtuh (M) módulo ütb)

está en Ultu17 ( M ) . Es claro que esto implica que para y < el ultrafiltro U, pertenece a Ultcrfi ( M ) , es decir, en EI U , * Ug. Veremos que esta condición es suficiente.

Del Lema 2.1 obtenemos: LEMA 2.5. Con las hipótesis del Lema 2.4, si;, además, cada B en b es mayor que toda y E C,

, zoc t U l t U b ( M ) e i b b u C f ü l t U 1 7 ( M ) . La U f b ) , u l t ( j l > ( M ) .U,M U M entonces las funciones siguientes son iguales: ioc

Última igualdad ocurre incluso para b infinito. DEMOSTRACIÓN. Ejercicio. o

COROLARIO 2.6. Con las hipótesis del Lema .2.4 y si para cualesquier b, C c B c a, b finito, tal que toda 0 E h - C es mayor que toda y E C, se cumple

i b B = ihuCBibi,CC f U¿tUb(M). DEMOSTRACI~N. Se sabe que i t 7 B = z h u C B i b h ~ , C . Entonces:

l., c ? b ) ,u 11 ,, Cr I > F.f ) - - ‘OC-b - 1 - iCqhC

por el Lema 2.5 que se cumple por la hipótesis adicional en C’ por el Lema 2.4 pues C = C n B u C - b .

(3

I. CAMBIO DE COFINALIDADES 15

2.2 Encajes elementales . Para controlar a los elementos de N , y Nb debemos estudiar cómo

LEMA 2.13. La sucesión ( K S : B < a) es estrictamente creciente y pura todo B, KB es el supremo

DEMOSTRACIÓN. Se sabe que para C E B K,C I Kg, y que para h límite, KA es el supremo de los

Suponga que B es cofinal en h límite: entonces se cumple KB L KB para todo #3 en B, y por otra

se transforman las cofinalidades con la acción de los encajes iba.

de los K I P } para fl E B.

KO para /? E h (pues NA es el límite directo de los Ng e ~ B A t KB es la identidad).

parte:

K B I KA = sup K B , ~ para B E h = sup K { B ) para B E h = sup KB para B E B pues la sucesión ( K { B ) : B < a) no es decreciente.

Finalmente, mostraremos que la sucesión ( K B : fl < 00 es estrictamente creciente: porque si para alguna fl, KB y K { B ) fueran iguales, obtendríamos que ~p = i O p ( ~ ) queda fijo respecto a i op , una contradicción. O

COROLARIO 2.14. Pura B E a, KB es medible en N,, con o ( K ~ ) 2 8. Por io tanto, ninguna sub- sucesión infinita de ( K B : B < a) puede pertenecler a N, .

DEMOSTRACI~N. Para y < 6, U, es un ultrafdtro completo en K según N{g} . Por consiguiente, iop(U,) es un ultrafiltro completo en KB en U l t i , , B ( u ~ ~ ~ (Ng), es decir, en NB+~. Además, ig+ia restrin- gido a VKBCl n NB+~ es la identidad, y K B + ~ es menor que K B + ~ , así que iopU, es igual a ip+i,iopU, y es un ultrafiltro completo en K B en N,. Mas aún, para 6 < y < fl, U6 U, se cumple en No y también en N { B } : para U6 E U l t ~ , , ( N { p ) ) = ü l t , , , , , , ( ~ ~ ~ ) ( N { ~ } ) , pues US E NI,}. De esto concluimos

O que iop(U6) iop(U,) se cumple en NP+~. Por 10 tanto, también pertenece a N,.

LEMA 2.15. Las siguientes afirmaciones se cumplen para todo b # 0:

2. Si fl E b, entonces i b < x K { B } = K , , donde y es el primer elemento de b mayor que fl s i existe; en

3. Si 8 es Zímite, i b , ( K B ) 2 L O B K ~ > KO.

1. i h a K = Kinfb.

otro caso y = a.

i b i en

DEMOSTRACI~N. , y a ~ y = K~ pues el forma similar con

Por el Corolario 2.6 i b n K { B ) = i h v y a i b n y y K [ p } y K { B } = Kbny, así que i b , K ( B } = .primer elemento de o( - (1; ) u y ) es 2 y + 1. Esto prueba (2) y (1) se demuestra y = ínf b.

Ahora suponga que B es límite y b G 6: para y E fl mayor que cada elemento de b sabemos que i o h ~ ( y ; , por lo que i o b K B = KB pues ~ f i es el supremo de K { , ) para y E fl. Entonces i o B K B = i b o K B , en consecuencia

16 I. MODELOS CONSTRUIDOS MEDiANTE SUCESIONES DE MEDIDAS

Pero ibBubK(B} = zbuBflK[B} (Corolario 2.6), así que K I B } (es decir, K B + ~ ) . Npub es la ultrapotencia de módulo el ultrafiltro ioo+iUb-(~+i ) en K B + ~ . Esta operación no cambia la propiedad de tener

cofinalidad K B + ~ en Ng+i. Finalmente,

N ~ + I i= c f ( i b f l u b ( t ) ) ) f Kg+1.

O

COROLARIO 2.17. Suponga que j? E b, y que c f ( 0 ) 4 K{@} en N b ; entonces para todo y > la

DEMOSTRACIÓN. Ejercicio. O

función ig+iy es continua en ibBub(0) .

LEMA 2.18. Suponga que en Nb c f (6) es distinto (de K y de KB para toda B E b; entonces iba es

DEMOSTRACIÓN. Sean 61 < . . . < Bn los elementos de b. Ya que cf(O) f K en NO o en N b , i o g ,

continua en O.

es continua en 8, es decir,

o<e Hacemos Bn+l = a, y por inducción en k = 1,. . . ,IT + 1, ibgkub es continua en 8. Para k = 1, ibBlub = ibvBIBl (Corolario 2.6) el resultado ha sido demostrado. Suponga que lo hemos probado hasta k: por el Lema 2.5 ig,ug,+,ub es i g ~ + i g k + i t Ngkukt, así que

ioB, e = sup (0).

ibgk+,ube = i&ubSk+,ubibgkube = i g k + : i s k + i ibgkube

= sup L P ~ + ~ ~ ~ + , T (Corolario 2.17) T<lbSkubB

Hemos probado que zbgn+,ub es continua en 8, es decir, iba es continua en 8. O

PROPOSICI~N 2.19. Sea p la cofinalidad de T en NIa, y suponga que p f KO para toda p I a. Entonces existe b tal que la cofinalidad de T en Nb es LI o es mayor que K.

DEMOSTRACI~N. Existen b y e tal que T E i b a 8 , y entonces p es i b , C f N b ( e ) . Por el Lema 2.4 deducimos que c f N b O es distinto de K o de KB para toda 6 en b, por el Lema 2.18 iba es continua en O. Por otra parte zha t 8 es un elemento de N b , por lo que en Nb las cofinalidades de T y 8 son iguales. Si p es menor que K , p queda fijo respecto a iba, y la cofinalidad de T en Nb es p. Si p > K,

O también cfNb ( 8 ) > K y lo mismo ocurre para cfNb ( T).

2.3 La sucesión 2 . Para probar que un conjunto pertenece a la extensión de N , generada por una &-sucesión dada, la idea es usar la siguiente herramienta para describir los elementos de las ultrapotencias.

LEMA 2.20. Para f E Fnb(No, K) y B E h , sea (b, b ) * f la función en F ~ B ( N ~ , K) tal que

( ( b , B ) * f ) ( s ) = . f (s 1 b). Entonces n~((b,B) * f ) = i ~ ~ f ( n ~ [ s - s 1 bl.

DEMOSTRACI~N. Para toda s E K ~ , (s t b , f ( r t b)) E f , así que por el Teorema de tos ( T T B [ S - O s f b ] , n ~ [ s - f ( s t b)]) E q [ s - f ] , es decir, es un elemento de i o ~ f .

11. CAMBIO l3E COFINALIDADES 17

DEFINICIÓN 2.21. (i) Hacemos I = (xg : B < O0 con x g = n,[s - s(B)I;

Podemos reformular el Lema 2.20 como: para f E Fnb(N0, K ) , ?-ra((b, o() * f) E i O , f ( x b ) .

LEMA 2.22. Para toda B, KB I xg < K{B) , y 1~z igualdad ocurre precisamente en el caso en que UB es normal.

DEMOSTRACI~N. Para toda B, K 5 n(g} id <' ~ ( 8 1 . Entonces aplicamos i{~},: i{g},m{p}id = XB, i {g } ,K = KP por el Lema 2.15. Además, iog-r(B)id < i obK{g} = K I P ] , es decir, np+i[s - s(B)] < K{g}.

O

(U) Sea xb = It b - n,[s - s t b].

Finalmente, ZP+~, t K { B } es la identidad, esto es xg = n ~ + i [ s - s(B))1.

Del Lema 2.22 se desprende que E es cofinal en K,, por lo que no puede pertenecer ella ni

Retornemos la sucesión U. Por definición se cumple que: LEMA 2.23. Suponga que y < 6, n ( g ) k = K , y que X s K : ~ I P ' : entonces

ninguna de sus subsucesiones infinitas a N,.

x E ü'y'.B' ts { X E K T : {Y E K t p } : X U y E x} E U'')} E u"' e {Y E K'" : { X E k(J / ) ' r l : X U y E x] E U I g ; ( y ) } E ü"'.

DEMOSTRACI~N. Ejercicio. O

Es posible iterar este resultado como sigue: DEFINICIÓN 2.24. (i) Para cada b escogemos una función kg en a tal que K es m(B}kB; entonces

para b, C ajenos y 5 E K~ sea K ~ / S el subconjuiito de K~ constituido por los t tales que para todo y E C, t ( y ) E kp(s(B)) , donde es el menor elemento de b mayor que y si es que existe.

(ii) Para b, c ajeno (b posiblemente vacío), d c c y s E

tlfCd(X) es l a rruza de X en K ~ .

PROPOSICI~N 2.25. Existe R s Uh K~ tal que para todo b R n K~ E U b y para todo s E R n K ~ ,

cualquier c ajeno a b, cada d E c , cada X c K'/s, X E u:(s ) s i y sólo si t&(X) E u; ( s ) . En particular, cada x c K C pertenece a uC si y sólo si tT;d(x) E ud.

Fara X E K~ / s hacemos: tT:d(x) = { y E K d / S : { X E KC--d/S U y : X U y E x} E U z v d ( S ) } .


COROLARIO 2.26. Sib, c son ajenos, X E Pot (K&)) n Nb, entonces las siguientes afirmaciones son

(i) X E Utb,; (ii) xc E Lba(X),'

(iii) nhUc[s - 5 t cl E i b b u c x .

DEMOSTRACI~N. Escribimos X = n b f . Entorices X E

equivalentes:

e { S E K h : f ( S ) E &Lh(3)} E U b

tj ( 5 E K h : { t : t E f ( S ) } f U b ( S ) } E üb ¢j {.s u t E K~~~ : t E f ( s ) } E Ubuc !por Proposición 2.25

tj { X E Khuc : X I C E f ( X 1 b ) } E UL'uc, es decir, TT[X - X C ] E ibhuc-nhf

e {y E K" : y I c E f ( y i b)} E U", es decir, n,[y - y t c] E z b a n b f .

f

18 11. MODELOS CONSTRUIDOS M E D I N E SUCESIONES DE MEDIDAS

O

2.4 Construcción del modelo M,

DEFINICIÓN 2.27. La clase M, es la intersección de los Nb para todo b c a finito.

PROPOSICIÓN 2.28. La clase Ma es un modelo ini‘emo de Nb para toda b, y N, es un modelo

DEMOSTRACI~N. Se deduce del Corolario 2.12 O

interno de M,.

LEMA 2.29. El modelo M, es cerrado respecto a b:-sucesiones. En particular, ( K B : fl < a) y E

DEMOSTRACIÓN. Simplemente note que las mismas propiedades de cerradura se verifican para cada Nb. O

pertenecen a M,.

LEMA 2.30. Para fl I a, KP es un cardinal límite en Ma, y para sucesores B, KB es regular en M,.

DEMOSTRACI~N. Si B = y + 1, entonces KB = ~ ( ~ 1 , por lo que es medible en N { y } . Por lo tanto, O es un cardinal inaccesible débil en el submodelo interno Ma c N,.

COROLARIO 2.31. EL modelo Ma es una extensión de N, que transforma el cardinal medible K,

en un cardinal límite de cofinalidad a.

Nuestro objetivo es probar que las cardinalidades se preservan de N, a M , y que M, se construye añadiendo la sucesión 2 a N,.

Hemos visto que zba está definido en Nb como el encaje canónico del universo en su Idtrapo- tencia módulo U ( b ) , así que & ( i b a ) es la clase (definible) en N, que es el encaje canónico de N, en su ultrapotencia módulo zbau(b), es decir, la sucesión ( z b a ( ü ( b ) y : y 4 b).

LEMA 2.32. Para toda p la sucesión (zba(zba) t V, n N, : b G a) pertenece a N,[E]. DEMOSTRACI~N. Con la observación anterior, es suficiente mostrar que la sucesión (zbaU(b) :

b G a) pertenece a N,[E]. Para b y T 6 b sabemos que U:;; = nbub’, así que = n,(b, O0 I

up ’ , es decir, por el Lema 2.20, i o n u b r i ( X b ) . Como o: < K , la sucesión (io,uh’ : b c a, y 4 b) es O precisamente Lo,((ub’ : b c a, y 4 b ) ) , por lo que pertenece a Nn.

LEMA 2.33. Six E M,, entonces (LbaX : b E a) c iJ,[Z.].

DEMOSTRACI~N. Para cada b escogemos una función f b E Fnb(No , K ) tal que X = n b f b , es decir, por el Lema 2.20, iobfb(nbid). Obtenemos entonces ibaX = zbLviOafb(zbnnbid), esto es, zo,fb(E’). Puesto que la sucesión (Loafb : b c a) = zom((fb : b G a)) pertenece a N,, y la sucesión (ibax : b G o() pertenece a N,[E]. O

LEMA 2.34. Para toda x E NU, existe b tal que para toda c 2 b, ic,x = ic,(zc,)(x).

DEMOSTRACIÓN. Existen b y y en N b tal que x = ¡ ! b a y , es decir, es igual a Lcnzbc- para toda c que contenga a b. Puesto que ic, es elemental, logramos deducir que

&ax = & a ( z c m ( i b c y ) ) = ( k m ( & C Y ) (ita ( i h c y ) ) = (zca(zca) ) ( X I .

O

11. CAMBIO DE COFINALIDADES 19

DEFINICIÓN 2.35. Para X E Ma con X G N,, hacemos, para b G o(:

cb(x) = {x E & : i b a ( i b a X E ibax}.

LEMA 2.36. (i) La sucesión ( C b ( x ) ) b pertenece a N,[E] y está contenido en N,. (ii) para toda b el conjunro X está contenido en Ubcc c,(X); de hecho, es igual a U b n b c c cc (XI.

DEMOSTRACIÓN. (i) Se deduce de los Lemas 2.32 y 2.33, y por otra parte cb(x) E N, pues i b a ( i b a ) a donde también pertenece ibax.

(U) Suponga que x E N,: por el Lema 2.34 existe b tal que para toda c 2 b se cumple ic,x = ic,(ic,)x, así que x E X si y sólo si x E c , (X) , por lo que X G U b n b s c c,(X). Recíprocamente, supongamos que x E n c i b ' Cb(X) para alguna b': entonces x pertenece a Chub' (X) (donde b siempre tiene el mismo significado respecto a x), así que x E X. O

TEOREMA 2.37. El modelo M, satisface el axioma de elección y es igual a N,[Z].

DEMOSTRACI~N. Puesto que E está bien ordjenada el modelo N,[I] satisface el AE, y para probar que M, y N,[E] son iguales, es suficiente mostrar que ambos tienen los mismos conjuntos de ordinales. Pero esto se probó en el Lema 2.36(ii), porque si X es un conjunto de ordinales en Ma se

O cumple X = U b cc(X), y este último pertenece a N , [ l ] .

LEMA 2.38. Si en M , la cofinalidad de T es IC 8, entonces al menos una de las siguientes afirma-

1. en M , la cofinalidad de T es -< a; 2. en N , la cofinalidad de T es 5 8.

DEMOSTRACI~N. Fijemos b tal que &(T , 8:) = zba(zba)(T, 81, y escogemos una función cofinal f : 8 - T en M,. Retomamos la definición para probar que para c 2 b el conjunto c , ( f ) es una función de algún X, G 8 a T. Entonces alguna de las siguientes situaciones se satisface: (1) existe C 2 b tal que c , ( f ) es cofmal en T, y , como c , ( f ) E N,, obtenemos que en N,, c ~ ( T ) I 8;

(2) para cada c 2 b el supremo T , de c,(f) es e: T, pero como f G U,,, c,(f) y f es cofinal en T, deducimos que T es el supremo de T, para c z! b. Por lo tanto, en M, la cofinalidad de T es a lo sumo a. O

ciones se cumple:

O

PROPOSICI~N 2.39. Los modelos N, y M , tienen los mismos cardinales, y para todo T:

(i) si existe un cardinal límite B 5 a tal que í f Nm (T) = K P , entonces c f M m ( ~ ) = c f (0 1; (ii) s i no es así T tiene la misma cofinalidad en N, que en M , .

DEMOSTRACIÓN. Sea T un cardinal regular tm N, y suponga que T > K ; por el Lema 2.38 T es un cardinal regular en M, o c f M . ( ~ ) I T, así que para toda b, c ~ ( T ) I a en Nb. La proposición 2.19 nos informa que este Último caso sólo es posible cuando c ~ " ( T ) , es decir T, es un elemento de {KP : 0 I a}. En consecuencia, M , y N, tilene los mismos cardinales regulares excepto para {KO : 0 I a } , y esos casos se describieron en el Lema 2.30. 0

Para terminar la sección damos una reformulación del Lema 2.36 como un lema de cubierta.

P R O P O S I C I ~ N 2.40. S i x E M , y X G N,, entonces existe una sucesión ( x b : b E a) en M, tal que para toda b: (i) x b E N, y IX? I I IXM, 1; 00 X c UcZh X,.

20 I. MODELOS CONSTRUIDOS MEDIANTE: SUCESIONES DE MEDIDAS

DEMOSTRACI~N. Sea T = 1x1 en M, y f una biyección entre T y X. Hacemos xb = c b ( f ) [ ~ ] : entonces (i) es evidente, y (U) lo deducimos de que para toda b el conjunto f E UcZb c , ( f ) f T.

Finalmente, note que para toda fl < a la restriccibn 1 t fl genera el modelo Ms (la intersección de Nb para b G B) en Np, así que tiene la propiedad de cambiar la cofinalidad del cardinal medible KO en cf(#3) sin colapsar ningún cardinal en N,.

El caso límite a = K++ conduciría a una extensión (Nm, Ma) donde K ~ ( = K++) es medible en Nm O y sigue siendo regular en Ma.

Sección 3 Modelos construidos a partir de sucesiones de medidas

En esta sección demostraremos el siguiente resultado:

TEOREMA 3.1. Existe una sucesión coherente y tal que o ~ ( K ) = l'nf(o(K), ( K + + ) ~ [ Y ] para todo

De acuerdo a 1.16 LET] satisface la HGC, así que o ~ ( K ) = ( o ( K ) ) ~ ~ ~ ] no puede ser mayor que

El Teorema 3.1 tiene un corolario inmediato:

COROLARIO 3.2. Si O ( K ) 2 A, h I K , entonces existe un modelo con exactamente h medidas en K .

DEMOSTRACI~N. Sea 7 como en el Teorema 3.1. Entonces L [ 3 ' I K / T ( ~ , h) tiene exactamente las O

ordinal K .

( ( 2 K ) + ) L [ 3 1 = ( K + + ) ~ [ T ] . A este respecto, el Teorema 3.1 es lo mejor posible.

medidas {T(K,v) : v < A) en K .

DEFINICIÓN 3.3. Un conjunto U de medidas es cerrado si, siempre que U, V son medidas en algún ordinal K , si U E U y V E iu(U), donde i" es el encaje en la ultrapotencia módulo U, entonces V E U. El orden >u se define en forma similar a > : si ü y U' son medidas en K en U entonces u ' > ~ u si U' E iu (u) .

Es claro que U' VU implica U' > U, así que U está bien fundado y la función ou( a) y ou(U) se puede definir a partir de > U como o (a ) y o ( U ) fueron definidas a partir de >. Note que la implicación recíproca no es necesariamente cierta, por ejemplo, si U = U1, U2 entonces Vi + uU2 aún si U1 > U2. Definimos l(U), la longitud de U como el menor ordinal v tal que a < v para cada a con ou(oc) + O.

LEMA 3.4. Suponga que M y N son modelos transitivos de ZFE y que U , V son conjuntos cerrados de medidas iterables en M y N, respectivamente. Entonces existen ultraproductos iterados i : M - M' y j : N - N' tales que, si v = ínf(l(i(U)), Z( j (V(B) ) ) ) , mtonces

(i) para toda a < v O ' ( ~ ) ( O ( ) = O J ( ~ ' " ' ) ( ~ ) ,

(ii) para toda U E i(U) y V E j ( V @ ) ) , si U y V soti medidas en O( < v y o i ( " ) ( ü ) = oJ("'"')(V), entonces

u n (M'nN') = V n ( M ' n N ' ) .

DEMOSTRACI~N. Definamos i, : M - My y j , : R, - N , por recursión sobre y: suponga que i, y j , ya se definieron. Si i , y j , son como se exige, nos detenemos y hacemos i = i, y j = j , . En caso contrario existe un ordinal a tal que a < Z(i,(U)), a < Z ( i , ( v ( a ) ) ) Y

(a) o ' y ( U ) ( a ) + oJy("'"')(a), o (b) 3U E Z,(U)3V E j , ( V ( " ) ) (ü y V son medidas en a, O ' ~ ( ~ ) ( U ) = O J Y ( " ' ~ ' ) ( V ( ~ ) ) , y para

alguna x E M, n N,, x E U Pf x E v).

I. MODELOS CONSTRUIDOS A PARTIR DE SUCESIONES DE MEDIDAS 21

Sea a, el menor de tales ordinales a. Si (b) ocurre en ay, escogemos las medidas U, y V, tal que = oj~(~("')(V~) sea tan pequeño con10 sea posible, y definamos iy,y+l : M, - M?/U, =

M,+1 Y &,,+I : Ny - Nyy/V, = N,+l. Si solamente (a) ocurre en a,, digamos j3 = O ~ ~ ( ~ ) ( U , ) < ~ j y ( ~ ' ~ ' ) ( a , ) , entonces sea iy,y+l la identidad y : N , - N?/V, donde V es una medida v E v(B) tal que o j y ( V ' " ' ) ( ~ ) = 6. si, en cam'tiio, o j y ( V ( " ' ) ( a y ) < o i y ( U ) ( a y ) , entonces j,,,+l es la identidad y es una ultrapotencia.

Debemos probar que este proceso debe terminar alguna vez; supongamos lo contrario, que i, y j , están definidos para todos los ordinales y, y obtenedremos una contradicción. Se afirma que existe una clase estacionaria r de ordinales tales que si v < v' son ordinales en r entonces ivvf (a,) = j , , ~ (a , = a,. Para probar esto, primero noteirnos que para cada v límite existen ordinales V < v y ü tales que iclvv(ü) = a,. Puesto que V < v para toda v, existe una clase estacionaria rl de ordinales tales que 7 es constante para v E ri. Para toda v E r,, ü es menor que el ordinal Z(i, (U)), así que podemos comprimir r1 a una clase estacionaria r2 con ü constante para v E r,. Entonces para v < v' en r2 tenemos i v ~ , ( a v ~ ) = i,~,(i~,~ (Z)) = iY , (ü ) = a,. Repetimos este argumento con j en lugar de i para conseguir una subclase estacionaria r de r2 tal que j,<, (a,. ) = a, para v' < v en r. Entonces r es la clase que buscamos.

El caso (a) puede no ocurrir nunca para v E r; en caso contrarío si, por ejemplo, O ~ ~ ( ~ ) ( U , , ) < oJv(v'"')(a,), podría ocurrir ivv~(av) = iv+i,v~(iv,,r+l(a,)) = iv+l,v~(av) = a, < j v v ~ ( a , ) así que ivv,(av) f j,,,~(a,), por lo que el caso (b) puede ocurrir para toda v E r. Para v E r escogemos X, E M , n Nv tal que X, E U, f X , E V,. Por el mismo argumento que antes, podemos reducir r a una subclase estacionaria r' tal que i,,! (X,) = jvvf (X,) = X,. para v < v' en I". Escogemos v < v' en r'. Se cumple X, E U, = a, E ivvl (X,) 3 a, E j , , , ~ ( X , ) X, E V,, contrario a la elección de X.

O

U

Por lo tanto, el proceso debe detenerse en algún ordinal, como se afirmó.

DEFINICIÓN 3.5. Una sucesión 'J es cohereirfe débil si (i) Cada y(a, B) es una medida en a.

(U) Para cada a < Z(F), fi < oy(a) se cumple [Av < ao- ' (v) ]y( , ,~> = B o en forma equivalente,

Un ejemplo sencillo de una sucesión coherente débil y con (a) = o( a) para toda o(, se obtiene haciendo, para 6 < o ( a ) , y ( a , 6 ) una medida en U en a tal que o ( U ) = 6. Si 3'(a,6) se escoge arbitrariamente, pero sólo definida para 6 < a entonces conseguimos una sucesión coherente débil con OF ( a) = ínf (o (a), a). Como en este caso las únicas funciones involucradas en coherencia débil son las funciones constantes, este segundo ejemplo es coherente débil dentro del modelo L [ y ] . Esto no es siempre cierto para el primer ejemplo. Debe observarse que el siguiente teorema exige coherencia débil solamente respecto al mundo real no respecto a L['J].

TEOREMA 3.6. Suponga que y y Cj son coheimte débiles yo-T(a) = &(a) para toda a. Erzfonces L i y l = L[G1 y Y ( a , 8) n L[T] = ~ ( a , 0) n ~ [ 3 ] para cualesquier a < ¿(Y) y 0 < oy(a).

DEMOSTRACI~N. Definamos a U como el mmor conjunto cerrado conteniendo a {y( a, B) : 0 < oy ( a )} U{G(a ,B) : B < oy(a)} . Para comprobar que tal U existe, construimos por recursión: suponga que U n R,, el conjunto de medidas en U en cardinales menores que a, ya se construyeron. Si U es una medida en a entonces ponemos U en U si y sólo si existe < oF(a) tal que U = y(a, b), U = G(a, B), o U E i(U n R,), donde i es el encaje en la ultrapotencia módulo y(a, B) o G(a, 6). Se verifica sin mayores sobresaltos que U es cerrado y que todo conjunto cerrado que contenga a y y a Cj también debe contener U. En consecuencia, U es el menor conjunto cerrado que contiene a 3' y G.

Afirmamos que para toda a, oy(a) = oG(a) = ou(a). y para toda pareja (a, o ) , o u ( F ( a , 0)) =

oU(G(a,B)) = B. La prueba es por inducción en a: suponga que o'(v) = o y ( v ) para toda v < a.

si i : V(B) - V b " / T ( a , B ) entonces oi (3) (a) = B.


Entonces

por coherencia débil. En forma similar ou(G(a,B)) = B. Para toda U E U, se se cumple que U es igual o )u-menor que algún elemento ~ ( a , B) o !;(a, B). Entonces oU(v) I B y, en particular, #(U) < oy(o(). Por consiguiente, ou(a) = {oU(ü) : IT E U} 5 oy(a). Pero ou(a) 2 {ou(_í f (a,B)) : B < o-T(a)} = o-T(a), así que ou(a) = OF(&) = oG(a). 4

Ahora aplicamos el Lema 3.4, con M y N iguales al universo V y tanto U como V son iguales a la clase U definida antes. Podemos suponer que U es un conjunto, pues si el teorema es falso existe un contraejemplo con l(y) = l (G) un ordinal.. Con ello obtenemos encajes i : V - M y j : V - N tal que, si v = ínf(Z(i(U)),Z(j(U))), entalnces = ~ j ( ~ ) ( a ) para toda a < v y U n (M n N) = U' n ( M n N) siempre que U E i(U) y U' E j(U) son medidas en a < v y O ~ ( ~ ) ( U ) = O J ( ~ ) ( U ' ) . Podemos suponer que v = l(i(U)) I l(j<U)). Mostraremos que L [ i ( ' f ) ] = L[i(S)] y que para cada a, B, i ( F ) ( a , 8) n L [ i ( F ) ] = i(Cj)(a, B) n Lli(331. Como i es un encaje elemental se deduce que L['J] = L[G] y Cj(a, B) n L [ T ] = y(a, n L [ y ] para cada (a, 81, que es exactamente lo que queríamos probar.

Mostraremos por inducción en los ordinales y que L Y [ i ( 3 3 ] = LY[ i (G) l = L y [ j ( y ) t V I y que

oU(F(a,B)) = [Av < aoU(v)Igr(a,B> = [Av < ao-T(v)I-T(a,B) = B

. para cada a,B,

i(y)(a,B) n LY[ i (T) l = i (G ) (a ,B ) n L Y l : i ( y ) l = j(F)(a,B) n LYiK7')1. Suponga que esta afirmación es cierta para toda y' < y . Si y es límite, la validez de la afirmación

para y se deduce inmediatamente. Ahora suponga que y = h + 1 y que la afirmación es cierta para h. Entonces L ~ + ~ [ i ( y ) ] es el conjunto de subconjuntos cle L ~ [ i ( 3 3 ] definibles en L A [ i ( y ) ] a partir de ( i ( ~ ) ( a , B ) n L ~ ( F ) : (Y < A,B < ot(Y)(a) ) . Puestoquei(T)(a,/3), i ( G ) ( ( ~ , f i ) y j('f)(oc,B)coinciden en L ~ [ i ( 3 7 l = LA[Z(G)] = L ~ [ j ( y ) t V I , se cumplirá que

LA+I[ i (371 = LA+i[i(G)I == LA+l[j(.n 1 VI.

~ n t o n c e s i . A + ~ [ i ( ~ ) ] s MnN. Perooi(Ub)( i (F)(a , f i ) ) = B = ~ J ( ~ ) ( j ( y ) ( a , B ) ) y o i ( " ) ( i ( ~ ) ( a , B ) ) = B = d ( " ) ( a , 0) ), así que

i (Y)(a,B) LY+1[2(371 = j( .Y)(a,B) n LY+l[i(Y)l = i ( G ) ( a , B ) n LY+1í i (3 ' ) l ,

lo que se quería demostrar. O

En el Teorema 1.13 llegamos a la misma conclusión suponiendo que y y G eran sucesiones coherentes en L[37 y L[G], respectivamente, pero no necesariamente medidas en el universo real. N o obstante, en ese resultado, las longitudes de 7 y

El axioma de elección se puede evitar en el Teorema 3.6, hasta cierto punto, trabajando en LIT', Cjl en tanto 7 y Cj no sean demasiado grandes para ser coherentes débiles en L[-T, GI. El Teorema 3.6 es cierto sin el axioma de elección si, por ejemplo, oY(00 I (Y para toda a. Desafor- tunadamente, sólo sabemos construir tales sucesiones usando el axioma de elección, así que la prueba del Teorema 3.1 sí requiere el axioma de elección. Será motivo del siguiente volumen, la construcción de los modelos núcleo que nos permite eliminar el axioma de elección en ciertas circunstancias.

no son necesariamente definibles.

COROLARIO 3.7. Si y es una sucesión coherente débi2 en L [ 7 ] , entoncesy es cerrado en L[3"3.

DEMOSTRACI~N. Debemos probar que si f : K - h: está en L[_T] y [f]y7coc,~> = 8' < fi, entonces [Av < ( ~ y ( v , f ( v ) ) ] y ~ ~ , p ) = T(a,B'). Suponga que IU = [Av < a y ( v , f ( v ) ) ] y ( , , p > . Entonces si definimos Cj idéntico a y excepto que G(a,B') es igual a U , entonces G sigue siendo coherente débil en L[F]. El Teorema 3.6, aplicado en L [ y ] , muestra que U n L I T 1 = G(oc,B') n L[YI =

O y(a, B') n L[_T]. Dado que trabajamos dentro de L [ y ] , esto nos indica que U = ~ ( c x , ~ ' ) .

f

I. MODELOS CONSTRUIDOS A 'PARTIR DE SUCESIONES DE MEDiDAS 23

LEMA 3.8. Si y es coherente débil en L [ y ] entonces y es coherente.

DEMOSTRACI~N. Se nos exige probar que toda medida a en L [ F 1 es igual a algún y(a,#?). Suponga que existe un contraejemplo y y escogemos y tal que ningún F t v es un contraejemplo para v < l(y). Trabajamos dentro de L[y]. Sea a el menor tal que existe una medida en a que no es igual a ninguna y(a, #?), y escoja tal medida ü mínima en el orden >. Sea k : L [ y ] - L [ y ] " / ü = L[k(Y)l . Por el Corolario 3.7 el rango de 7 y k ( y ) son cerrados, así que podemos aplicar el Lema 3.4 con M = L [ y ] , U =el rango de 7, N = L [ k ( y ) ] y V = el rango de k ( 3 ' ) . Esto da la ultrapotencia iterada i : L [ k ( y ) ] - L[ik( . f3] tal que alguno de ik( ' f ) y j ( T ) es un segmento inicial del otro. Ningún segmento inicial de i k ( : y ) o de j ( Y ) puede ser un contraejemplo al lema, así que Z k ( 7 ) = j ( F ) y tenemos el triágulo

L[Fl"IU = L[k(Y)l

Este triángulo conmuta: en caso contrario el menor conjunto x tal que ik(x) f j(x) es definible en L[y] (ya que el triángulo está definido dentro de L[y]), pero esto es imposible ya que el triángulo conmuta para cualesquiera de tales conjuntos JC definibles.

ok(T)( a) debe ser entonces menor que o3(,x). En otro caso, puesto que todo U' b ü está entre las medidas y(a,#?), para /? < of(a), se tendría k(' j ' ) (a ,#?) = y(a,#?) para toda #? < oy(a) = ok(T) (a) y no habría razón para que la ultrapotencia iterada j moviése a, lo que contradice el hecho de que j (a) = i k ( a ) 2 k ( a ) > a. Sea #? = ok(-F)(a) < o ~ ( a ) . Entonces por el mismo argumento k ( F ) (a, /?') = y( a, B') (pues j involucra solamente ultrapotencias módulo medidas en y), seguido de una ultrapotencia iterada j , : L [ j 0 ( 3 7 ] - I.[j(y)] que, otra vez, deja fijo a a. En consecuencia, para cualquier x c a se cumple x E U si y sólo si a E k ( x ) si y sólo si a E ik(x), puesto que i (a ) = a, y x E y(a,/?) si y sólo si a E jo(x) a E j i j o ( x ) = j ( x ) . Pero i k ( x ) = j(x) para cualquiera de tales x , así que U = y(a, #?I, contrario a nuestra suposición.

O

Para sucesiones relativamente pequeñas la coherencia débil en L[y] no es un problema. Por ejemplo, si y está definido haciendo d ( a ) = xnf(o(a), a) y y(a, 6) un ultrafiltro U en a tal que o ( ü ) = 6, entonces es fácil corroborar que 'f es coherente. Las sucesiones con ordinales K tales que O ( K ) > K necesitan funciones no constantes para ser coherentes, por lo que se requiere poner más cuidado en qué funciones pertenecen a L[:F]. El Teorema 3.1 exige la construcción de una de esas sucesiones:

Demostración del Teorema 3.1. Requerimos una sucesión coherente y tal que para todo ordinal K, o ~ ( K ) = ínf(K++L[gl, o ( K ) ) . Por el Lema 3.8 es suficiente encontrar una sucesión '3 de medidas que sea coherente débil en L [ y ] . Definimos ,F en etapas comenzando con la sucesión vacía y añadimos una medida en cada etapa. Sea y la sucesión de medidas que se añadieron antes de la etapa 8. Entonces yo = O, y si 8 es un ordinal límite entonces y b = Fp. En la etapa B tenemos

y buscamos añadir una medida para definir 'JB+~. Si oyB(v) = í n f ( o ( v ) , ~ + + ~ [ Y ~ ) , para toda v entonces podemos detenernos y hacer = y[;. En otro caso, sea v el menor cardinal tal que si 6 = oy~(v) entonces 6 < o ( v ) y 6 < v++ en L[yfi], y sea UD una medida en v con o(ü0) = 6. y[{+, se logra añadiendo Up a y b , es decir, y~+; es lo mismo que y b excepto que oYO(v) = 6 + 1 y 3-'8+1 (v, 6 ) = u,.

Afirmación. Para toda 8,

24 I. MODELOS CONSTRUiDOS MEDIANTE SUCESIONES DE MEDIDAS

(i) yfi es coherente en L [ y f i ] . (ii) {v' < v : o(v) = oy~(v') < (v')++ e n ~ [ y f i ] } E US.

(iii) Para cada 6' < 6 existe una función f en L['ffi] tal que [flu, = 6' en V K / U ~ . Demostración de la afirmación. La afirmación se demuestra por inducción en B. Supongamos que es cierta para 8' < B. Escribimos y para yfi y U en lugar de Us.

Hacemos y = FOR = U ~ ~ ~ ~ y f i . Entonces 'J es coherente por el argumento de (i). Si 6 = o-7(v) # ínf(~++(~[Fl), o(v)) para aiguna v entonces existen v y B tales que

OS(,') = O+') < ínf(a1(v), (V)++L[Ffl])

6 = oYB(v) = oY(v) <ínf(o(v), (V)++L[T'). para toda v' < v y

Pero por la defmición de y añadiríamos una medida en v en la etapa 8, haciendo olfs+1 (v) = 6+ 1. O

En cierto sentido el Teorema 3.1 es lo más que podemos lograr ya que para cualquier sucesión coherente

r Sección Cardinales Ramsey y constructibilidad 1

Así que d ( v ) = ínf(o(v), v++~[F]) para toda v.

se cumple o - ~ ( K ) 5 K++ en L[y] para todos los ordinales K .

Para todo cardinal p, escribimos Q ( p ) para U{Pot(p") : n < col. Si F c Q ( p ) entonces un

1. U n Pot(pn) es un filtro uniforme en Pot(pn) para n E w. 2. Si n E w y x 6 F n Pot(pn), entonces x E U ó pn - x E U. 3. Sin = m + m ' y x E pnentoncesx E Usiysólos i{a E pm : {a' E pm' : aa' E XI E U) E U ,

donde aa' es la concatenación de las sucesiones a y a'. La condición 3 significa que si U, = U n Pot(pn), entonces U, = Um x Urn?. Junto con la

uniformidad de U,, 3 implica que {(CXO, . . . , ( ~ ~ - 1 ) : a 0 < . . . < an-11 E U, así que podemos identificar pn y [pin módulo Un.

Decimos que ü es A completo si para cada n E to (o en forma equivalente, para n = l), cada A' < A y cada sucesión (xv : v < A') de conjuntos en Un, n { x , : v < A'} # 0.

TEOREMA 4.1. p esRarnseysiysóiosi todoF E Q ( p ) de cardinalidadp tiene un ultrafiltro iterabIe p -completo.

DEMOSTRACI~N. La prueba de que todo cardinal medible es Ramsey no usa la normalidad de la medida; muestra que si los ultrafiltros requeridos existen entonces p es Ramsey. Ahora suponga que p es Ramsey y F E Q ( p ) tiene cardinalidad p.

Si p es Ramsey entonces para toda función f con dominio [ Q ] < ~ o existen una sucesión (In : n E w) y X E p tal que I, s n, 1x1 = p y para toda (NO,. . . , & , - I ) , (ah,. .. ,

ultrafiltro iterable en F es un conjunto U c Q ( p ) tal clue

E [XI",

f ( a o ,... , an-1) = f (aó ,... e V i E I , = ai. (9 Sea (Fa : a < p) una enumeración de F y defina

f ( a o ,... , a n - 1 ) = fa < :Fa c pn, (al, .. . , a n ) E Fa} .

Si ( I r l : n E w) y X son tales que (*) se cumple, es fácil verificar que In = {O} para toda n y si a < y y y E X entonces X - (y + 1) es homogéneo para Fa. Definamos

üi = (x c p : X - x está acotado} y para x s pn+l, x E si y sólo si

(CYO E p {(al,. . . ,a,) : ( a o , . . . , a n ) E X) E U n } E U1.

f

I. UN MODELO INTERNO CON MUCHOS CARDINALES MEDIBLES 25

Entonces U = U{ Un : n E co} es el ultrafiltros iterable en F que buscamos. O

Sea Z* un fragmento de ZF que no especificaremos excepto que tiene una cantidad suficiente

Si N es un modelo estándar de Z* entonces un N-ultrafiltro iterable es un ultrafiltro iterable en

4. si f : pl+n - p es una función en N entonces

de axiomas como para probar los resultados siguientes.

Q ( p ) n N tal que

{BB’ E p2n : v a < Bo(f(a,B> < B o * f ( B , B > = f ( a , B ’ ) ) } E u, d o n d e b = (Bo ,... ,Bn-i)~Bb‘=(Bo,...,bn-i,Bó,... +bk-~) .

El caso especial de f : pn - A, h < p, muestra que U es p-completo en N y el caso f : pn - p muestra que U es un ultrafiltro en Q ( p ) n N. La propiedad de ser un N-ultrafiltro iterable es más débil que la de ser N-ultrafiltro normal, pero nuestra definición es lo que se requiere para poder hablar de ultrafiltro iterado. Decimos que ü está bien fundado si Ult,(N, U ) , y por lo tanto toda U l t , ( N , U), está bien fundada. Ya vimos que todo ultrafiltro iterable numerablemente completo (y por consiguiente, todo ultrafiltro iterable p-completo para p > NO) está bien fundado.

LEMA 4.2. Si p es Rarnsey entonces para todo modelo estándar N de Z* con IPot(p) n N) -.p existe un N-ultrafiltro iterable en p bien fundado.

DEMOSTRACIÓN. Primero mostramos que el parámetro en 4 se puede eliminar: suponga que D es un ultrafiltro iterable en Q(p) n N tal que

5. para toda g E N, g : pn - p, si {x E: pn : g(x) < xo} E D entonces existe bo tal que {x E pn : g(x) = B o } E D.

Entonces 4 se cumple. Suponga lo contrario, que existe f E N con f : pl fn - p tal que C = (xx‘ : 3 o( < xf(o(x) < xo,f(otx) + f ( o ( r c : ’ ) } E D. Sea h(xx‘) = el menor o( tal que o( < xo, f (ax) < XO, y f(o(x) + f(cxx’) si tal a existe y está indefinida en otro caso. Entonces h E N y {xx’ : h(xx’) < XO} E D para alguna m0, A = {xx’ : ~ ( x x ’ ) = 0101 E D. Entonces {x : f(aox) < XO} E D así que para alguna BO, B = {x : f(cwox) = bo} E D. Por consiguiente, C n A n B x B = 0 lo que contradice nuestra suposición de que C, A, y B están en D.

Sea U un ultrafdtro p-completo e iterable en Q ( p ) n N; construiremos un ultrafiltro iterable D que satisface 5. Si f , g E N, f , g : pn - p entonces decimos que f < g si {x E pn : f (x) < g(x) 1 E D. Esta definición se puede extender a f y g con dominios pn y pm con n + m introduciendo variables inofensivas. Como U es numerableniente completo, < es un buen orden. Sea f la <- menor función tal que {x ,x ’ E p2n : f (x) + f (x’ )} E U. Entonces, otra vez por la completez numerable de U, {xx’ : f (x ) < f (x’ )} E U. Sea D = ( X c ps : s E w, ( X I . . . x , E (pnIs : ( f (xl) , . . . ,f(x,)) E XI E U}. Entonces D es un ultrafiltro iterable p-completo en Q ( p ) n N. Si es g tal que {y E p’ : g(y) < y} E D entonces {x, . . . x, E (p“)’ : g(f(xl) , . . . ,f(x,)) < f (x l )} E U y s i g * ( x l . . . x , ) = g ( f ( x l ) , ... , f(x,))entoncesg* < f . Porlotanto, (zz‘:g*(z) =g* ( z ‘ ) } E U así que para alguna BO, { z : g*( z ) = Bo} E U,

(Xi . . .Xs :g ( f (x1 ) , . . . , f(x,)) = B o l E u, por lo que {y : g ( y ) = Bo} E D. O

Sección 5 Un modelo interno con rnuchos cardinales medibles

El objetivo de esta sección será la demostración del siguiente teorema:

TEOREMA 5.1 (ZF). Suponga que C es un ulrrfilrro numerablemente completo en col. Entonces para cualquier ordinal 6 existe un modelo interno con 6 cardinales medibles.


Comenzamos la empresa de demostar este teorema mostrando que si este es cierto para toda 6 < col entonces se cumple para toda 6. Si podemos encontrar un modelo M en el que K es medible y el teorema se cumple para toda 6 < K , el resto es sencillo, ya que para cualquier 6 E OR podemos construir la ultrapotencia iterada M' de M tal que el encaje elemental asociado i : M - M' conlleva L( K ) > 6. Entonces en M' existen modelos internos con 6 cardinales medibles.

Si existe una función f tal que para cada 6 < wl, .L[ f (S) ] tiene 6 cardinales medibles entonces M = L[f, C] como se requiere. Puesto que el axioma de elección falla, requerimos un truco para definir tal f. Dado que 6 + 1 < col, existe un modelo interno con 6 + 1 cardinales medibles. Podemos usar estos 6 + 1 cardinales medibles para construir 6 + 1 conjuntos de indiscernibles para el universo construido a partir de ultrafiltros en los primeros 6 cardinales medibles. Estos indiscernibles se ponen a trabajar para conseguir un modelo canónico con 6 cardinales medibles. Por ejemplo, sea f ( 6 ) = (Fa : a < 6) , donde Fa es el filtro de clubes en K , + ~ . Los indiscemible se pueden emplear para probar que en L [ { F , : a < a} ] cada Fa es una medida K,+i-completo en N , + ~ .

Fijemos un 6 < col y procedamos a probar que existe un modelo interno con 6 cardinales medibles. Podemos suponer, sin perder generalidad, que V = L[Po t (w i ) ] pues si C es un ultrafiltro numerablemente completo en col, entonces C conserva esta propiedad en LIPot(col)]. En LIPot (wl )] , todo x es ordinal definible a partir de un subconjunto de w l r como se comprueba por inducciónenlosnivelesL,[Pot(col)], (a E O R ) . Necesitamosunlemaque concierne aLIPot(wl)].

LEMA 5.2. Si V = L I P o t ( w l ) ] y 6 2 sup(v : 3 f : Pot(cul)

DEMOSTRACI~N. En caso contrario, sea 6' = U,<Q u,. miesto que todo conjunto enLIPot(wl)]

v}, entonces 6+ es regular.

es ordinal definible a partir de un subconjunto de wl, podemos definir una función sobre

f : p o t ( w l ) x e x e - e+ y escogemos, para cada x G col y o( < 6 , el menor g tal que g : 8 - a , sobre y g es ordinal definible a partir de x, si tal g existe. Definamos para a, 0 E 6 , f , ,~ (x) = f ( x , a, 0). Para cada a, /3 E 6 , ran ( f , ,~ ) es un conjunto de ordinales con tipo ordinal < 8 por la definición de 6. Así que no se requiere el axioma de elección para mostrar que

I U ~ r a n ( f , , ~ : OC,B E sil I 8.

Pero esto contradice el hecho de que U { r u n ( f , , p ) : a , B E e } = e+. O

Ahora podemos construir un modelo con 6 cardinales medibles. Sea KO = (v . v es límite fuerte, c f ( v ) > col}. Se deduce del Lema 5.2 que KO no está acotado

en OR. Para una clase de ordinales K , K' = ( v . IK n V I = V I , y K" = ( K ' ) ' . Por recursión, definimos,

empezando con KO, Ka+l = KE, y KJ = UnEo K , para I? > O límite. Entonces para toda a > O, K, es una clase cerrada y no acotada de cardinales límite fuertes.

Definimos (un, : n E w , a E 6) tal que un, < unin si n < m, una, < urn, si n , m E cu, a' < a < 6, y an, E K,+l. Sea b, = UnEwunn, f, = {x c b , . 3 m V n > m(a,, E x)} y C C Y = U,,<,b,,.

Finalmente, sea Fa = (Fa, a' 5 a) y A" = (unu, n E LU, a < a' < 61. Probamos por inducción en a que: (1) Si X , = ( x E L[F",A"] : x es definible en L[FU,An] a partir de parámetros en 6 u {Fa,A"} u K, - ca entonces X, n c , es numerable }. (2) L[F'Y,A"] I= I . t'\ i l l 1 i ~ l t i , t t ~ i t i r , i t ~ ~ i ~ ~ c t i %' '*'*p:* \

Puesto que L[ (F , . a < S ) ] es definible en L [ P , A n ] para toda a < 6 , (2) implicará que L [ ( F , a < 6)1 es el modelo requerido.

I. UN MODELO INTERNO CON MUCHOS CARDINALES MEDIBLES 27

Si o( = O ó o( es un ordinal límite entonces (1) es inmediato, por lo que supongamos que o( = 8 + 1 y Ca = bg. Nuestra prueba de (1) se efectúa en dos etapas. La primera etapa es probar que si

Xi ={x E LIFfl,Ag] : x es definible enL[Fp,Ag]

entonces el tipo ordinal de X i n bg es a lo sumo wl. La segunda etapa y la mas dificil es mostrar que Xa n bg es numerable.

Sea i i g : Xg z Mg donde M p es transitivo. Por la hipótesis de inducción, ng(cg) < w1. Por otra parte, i i p ( v ) = v para toda v E K i - cg y, en particular, l l g ( U n v ) = Un, para v 1 8. Así que Mp = L[Gg, Fp, Ab], donde Gg es una sucesión de longitud fi de ultrafiltros en Mg. Si L E es el encaje en la E-ésima ultrapotencia iterada módulo el idtrafiltro de clubes C entonces para todo v E KO, ig(v) = v para cada 5 < v. Así que i f ( F g ) = Fg e ig(AB) = AB. Supongamos que v E X i , por lo que v' = iig(v) es definible en Mg con parámetros en

con parámetros en oí u {FB,AB) u K; - bo}.

i ig (6u(FB,AB)uKi-bg ' , =6u{Gp,Fg,Ap}uKb-bg.

En consecuencia, ig(v') = v' para toda 5 < bg, así v' < col Ó v' 2 bg. Puesto que v fue arbitrario, hemos demostrado que i ig(v) < w1 para toda v E X i n bg, por lo queel tipo ordinal de X i n bp es a lo sumo wl. Si fuera menor que ml, entonces Xa n bp c Xb n bp es numerable y (1) se cumple. Suponga que tiene tipo ordinal col. Sea n$ : Xi = M i donde Mi es transitivo. Entonces

M$ = L[Gi.,n,(Fg),Ag]. Encontraremos un filtro F en un ordinal y , n,(cg) < y < w1, tal que L[GB,F,Ab] k 1,' PS u11

iilírat ' iltro n t > i - i n a l )*-c'onipleto. Como an,, E KA para cada n E w, v < 6 para alguna v, M i =

üZt,(L[G$,F,Ag]). Puesto que w1 es inaccesible en L[Gh,F,AB], v = wl. Pero entonces F es un Mi-ultrafiltro y el mismo argumento que usamcis en la primera etapa muestra que nb(v) < y para toda v E X , n Bp. Dado que bg = ca y y es num.erable esto completará la prueba de (1).

Primero observe que L[G$, C,AB] también satisface que < - es u t i ulrrafiltro normal cn (ti !. Se puede probar que II$(Fg) = C n M i y M i = L[G,,C,Ab]. Puesto que B' = Iv < w1 : M$ k

tsiblc) pertenece a C , podemos escoger un club B E B'. Sea N = L [ B , C , Gi,AB]. Entonces N k AE y M$ es definible en N a partir de un elemento en M i . Se afirma que j ( c o l ) > L, (col ).

Suponga lo contrario, que j ( w l ) < i,,(cul ). La prueba de Kunen Teorema 6.7 funciona aquí así que j ( M i ) - i n ( M i ) para alguna n E LO. Puesto que o1 es inaccesible en M$ y AB es numerable se

puede probar que M i b 2" = ~ 2 f . Así que j (w1) = c , i ( w ~ 1 < WI Definamos f : w1 - col mediante f ( y ) = el ( y + 1)-ésimo miembro de B. Entonces j ( f ) ( w l ) es

regular en j ( M $ ) = & ( M i ) , por lo que tiene cofiinalidad LO: en M i . Por otra parte, tiene cofmalidad

co en N, con lo que concluimos que cul tiene cofinalidad LO en N y no es un cardinal. En consecuencia, j ( col ) >

Si a = ( a n : n E co) es una sucesión creciente de ordinales, definimos F(a) = {x G U a : 3 n V rn > nun E X I . Como ( i n ( W 1 ) : n E LO) E j ( N ) ,

n$(bp) = col y

++(Mi)

+(M;)

. La contradicción muestra que j(cu1) > zw(wl). ++(AI&)

2 cul

j ( N ) k 3 a(u a < j ( c o l ) A F(u) es un ultrafiltro normal en L[Gi, F(u) , AB]. Pero entonces N, y por consiguiente el universo real, satisface que existe tal a con U a < LO].

Ahora probamos que F, es un ultrafiltro en M,, en consecuencia en L [ F u , A&]. Como n,(c,) < y ii,(a,,) = any para toda y 2 a, ig : M , - M , para cada 5 < b,. Sea x el menor subconjunto

Entonces F(a) es el filtro que buscamos lo que concluye la prueba de (1).


de b, en Ma tal que x 4 Fa y b, - x 4 F,. Puesto que x es definible en Ma a partir de {G,, Fa, A"}, ig(x) = x para todo 5 < b,. Supongamos que ua0 E x. Ya que i$(wi) = v para toda v E KO,

acln = t a a n ( o l ) = ia,oa,,(atxo) E i&amn(x) = x para toda n E w, lo que contradice x 4 For. En fomia similar, si U,O B x entonces aan 4 x para cada n E o, lo que contradice b - x 4 Fa.

Con argumentos similares se demuestra que Fa es b,-completo y normal en Ma>. Lo que termina O

,C C

la demostración de (2) y del Teorema 5.1.

Sección 6 El orden de Mitchell

En esta sección estudiaremos con mayor profundidad el comportamiento del orden de Mitchell

DEFINICIÓN 6.1. Si K es un cardinal, sea P, = { U G P o ~ ( K ) : U es un ultrafiltro normal en K}, y

En consecuencia, P, + 0 si y sólo si K es medible. Sea <331 un modelo interno y U = ( U ( t ) : t E T ) una sucesión de M-ultrafiltros para algún

conjunto T de índices. Si U E Cm no hay problema en iterar ultrapotencias, pero si U 4 332, como ya vimos, requerimos exigir la presencia de ciertas hipótesis para poder iterar.

>.

ordenamos parcialmente P, mediante .

Sean U* un ultrafiltro en K (en V ) y U. = U* n M. Formamos el diagrama conmutativo N* = Ultl,;: (rn)

M lk

donde N* se forma usando todas las funciones JF : K - 9Jl y N usa sólo funciones en M, y k está definido mediante k ( [ f ] ~ , ) = [ f l u ; . Es fácil definir un análogo de i ( T ) e i (U) : simplemente hacemos i ( T ) = k - l ( j ( T ) ) y para t E L(T) sea X E i ( U ) ( t > si y sólo si k ( X ) E (j(U))(k(t)), y ( t (U) ( t ) : t E i ( T ) ) es una sucesión de N-ultrafiltros.

DEFINICIÓN 6.2. Sean N* un modelo interno de ZFE o bien un conjunto transitivo que satisface una cantidad suficientemente grande de axiomas de ZFE, k : N - N* un encaje elemental, T E N, í = ( I ( t ) : t E T ) E N una sucesión de conjuntos no vacíos, T" = k ( T ) , I* = k ( í ) , y para cada t E T * , U * ( t ) un ultrafiltro en el conjunto de índices I* (t) . Por una ultrapotencia iterada de N a partir de U* entendemos un modelo N, que se puede generar mediante el siguiente proceso: sea NO = N, N,* = N*, M,* = V , U,* = U*, 1, = I , To = T . Suponga que M:, N:, N, y los encajes iy6, j y 6 ( y < 6 5 o() y k , ( y I a) se han definido ya. Sea U; == i o n ( U * ) y en forma similar para Ua,í,, etc. Escogemos t , E T, y sea

MU+1 = Ultu:(k,(t,))(M:), N,;,, = U J n , n - i ( V y nN:), t'

donde j,,,,, : M,* - M:+l es el encaje canónico. Defina U , ( t > mediante X E U , ( t ) si y sólo si k , ( X ) E U , * ( k , ( t ) ) para t E T, y sea = Ult(Ncy, Ucy(t,y)) (usando sólo funciones en N,),

I. EL ORDEN DE MITCHELL 29

donde hemos cambiado la notación de ültua(ta)l(Na) a UZt(N,, Va(t,)) para simplificar la lectura. Finalmente definamos ka+l : - Na+l por

En ordinales límite, tomamos el límite directo. ka + I ( [ f 1 U, ( t , ) 1 = k a ( f 1 1 U: ( k , ( t u ) ) .

Es fácil verificar que todo está bien definido y que los diagramas resultantes conmutan. Hay algunas dificultades que limitan la utilización de esta construcción: dada una sucesión

(U( t ) : t E T ) , los ultrafiltros U* ( t ) siempre se pueden obtener extendiendo los U( t ) a ultrafiltros, pero, por supuesto, no hay ninguna garantía de que estos ultrafiltros sean numerablemente completos, así que las Na no son necesariamente bien fundadas (note, sin embargo, que aún en este caso las Ni pueden ser bien fundadas). Además, tenemos el problema obvio de que esta construcción puede no ser independiente de la elección de 1’0s U*. Así que esta construcción sera de utilidad solamente cuando tenemos una elección natural de los U*.

Vamos a modificar un poco la construcción de la ultrapotencia iterada para un sólo ultrafiltro. Sea M un modelo interno de ZFE, I E !TI, I + 0, y sea U un ultrafiltro en Pot (Z ) n M. Entonces

La razón para esta definición es sencilla: aún si U 4 !TI podemos definir i ( U ) mediante: U es M-iterable si para toda f E I‘ n M, {x E I : f(x) E U1 E M .

[flu E i ( U ) - {x E I : f ( x ) E U } E U, que tiene sentido pues el último conjunto pertenece a 311.

Ahora suponga que T E M, ( I ( t ) : t E T:I E !TI es una sucesión de conjuntos no vacíos y U = ( U ( t ) : t E T ) es una sucesión tal que para cada t E T, U ( t ) es un ultrafiltro en P o t ( i ) n M. Entonces si i : M - Ult(M, U ( t ) ) , quisieramos, que i ( U ) tuviese algún significado razonable. Es claro que debemos tener ( i ( U ) ) = i ( T ) , pero no es suficiente para que cada U ( t ) sea iterable. En particular, si existe alguna s E L(T) tal que s 4 ran( i) (es decir,’s no puede estar representado por una función constante), entonces no hay una mainera inmediata de definir i ( U ) (3).

En primera instancia, parecería que la generalización apropiada debe ser: Para toda g : I ( t ) - T y para toda f tal que f ( s ) G I ( g ( s ) ) para cada -i, {s E I ( t ) : f ( s ) E U ( g ( s ) ) ) } E !TI. Sin embargo, suponga que lI(tl)lm 2 IPot(I(to))lm. Entonces sea f : T ( t l ) - Pot(l(to)) sobre (con g ( s ) = t o para toda s), la condición de arriba propiciaría [ / ( t o ) E 332. Sin embargo, al aplicar esta definición requeriremos que U ( t ) 4 M para muchos valores de 1 (en particular, para t con I ( t ) pequeños). Evadimos este problema con la siguiente definición estableciendo que la propiedad mencionada no tiene que cumplirse para cualesquiera f y g , sino sólo para una cantidad suficiente de ellas.

DEFINICIÓN 6.3. Sea !TI un modelo interno de ZFE y suponga que ( Z ( t ) : t E T ) E M. Entonces U = ( U ( t ) : t E T ) es una sucesión 1 - M-iterablse de ultrafdtros suponiendo que para cada t E T:

(a) U ( f ) es un ultrafiltro en Pot(í (t ) ) n M. (b) Si f, g E CJX son funciones con dominio I ( t ) , entonces existe una función f ’ E 331 con dominio

I ( t ) talque {a E I ( t ) : f(a) = f’(a)l E üi:t) y {u E í ( t ) : g ( a ) E T , f ’ ( a ) E U ( g ( a ) ) ) } em.

Sea it : M - Ult(331, U ( t ) ) el encaje canónico. Definimos i t ( U ) tal que d o m í i t ( U ) ) = i t ( T ) y si s E i t ( T ) y X c [Zt(I)1(s), sean f , g E 331 tales que = X y [ g ] ~ < ~ ) = s, f ’ como en (b), y definamos X E i t ( U ) ( s ) si y sólo si {a : g ( a ) E T , f ’ ( a ) E ü(g(u))] E U ( t ) . Es fácil notar que ésta es independiente de la elección de f , g y f ’ , así que it (U ) está bien definido.

Ahora afrontamos un problema menor pero fastidioso: ¿Qué pasa si i ( U ) no es 1 - UZt(M, U ( T ) 1- iterable? Superarla fue fácil para un sólo ultrafiltro, pero la flexibilidad que permitimos con las f hace más difícil la solución. Lo logramos mediante una etapa inductiva:

- N es una ullrapotencia irerada de !TI módulo U de longitud i si N = üZt(m, U( t ) ) para alguna t E T y j = it. Definimos por inducción en n E u: suponga que los enunciados U es una sucesión n - 9X-íteruble y

D E F I N I C I ~ N 6.4. Sean !TI, T,Z, U como en la definición 6.3. Decimos que j :

f


j : %I - N es una ultrapotencia iteradu de !Dl módulo IJ de iongitudn ya han sido definidos. Suponga que U es n - m-iterable y que j ( U ) se ha definido para todo j : %I - N de longitud n. Decimos que U es una sucesión (n + 1) - !Dl-iterabie si j(U) es una sucesión 1 - N- iterable para todo j : 337 - N que sea una ultrapotencia iterada de 337 módulo U de longitud n. Decimos que j : !Dl - N es una ultrapotencia iterada de %I módulo U de longitud n i- 1 si existe j ' : !Dl - N de longitud n tal que j = i t j ' para alguna t E j ' ( T ) , y si U es una sucesión (n + 1) - %I-iterable, definimos j(U) mediante j(U) = i t (j'(U)). Finalmente, U es una sucesión %I-iterable si es n-iterable para toda n E w.

Es innecesario que la inducción sobrepase w, pue:s las ultrapotencias iteradas se pueden expre- sar como un límite directo de una familia dirigida de ultrapotencias finitamente iteradas.

Note que en la definición 6.3 (b) se puede remplazar por: (b') Si f , g E tin son funciones con dominio I ( t ) , entonces {a E i ( t ) : g ( a ) E T , f ( a ) E U ( g ( a ) ) } contiene o es ajeno a algún elemento de U( t ) .

Las definiciones anteriores son tan generales como lo permite la situación. Sin embargo, en el resto de la sección restringiremos nuestra atención a sucesiones que contienen únicamente ultrafiltros de cierto tipo.

DEFINICIÓN 6.5. Sean M un modelo interno de ZFE y U un ultrafiltro en P o ~ ( K ) n M. U es %I- normal si para toda f E %I con { a-< K : f ( a) < a} E U existe y < K tal que { a < K : f( a) = y} E U.

El siguiente resultado garantiza que los ordinales se pueden representar mediante funciones en las ultrapotencias iteradas.

PROPOSICIÓN 6.6. Sean U un uZtrafiZtro M-normd en K y f E M una función vaIuada en los ordinales con dominio K . Entonces existe f' E tin tal que {a < K : f(a) = f ' ( a ) } E U y f ' es la identidad o una función constante o una función estrictamente creciente con f ' (a) > a para toda

DEMOSTRACIÓN. El caso {a < K : f ( a ) = a} E U es obvio, y el caso {a < K : f(a) < a) E U se deduce de la tin-normalidad, así que suponga que { a < K : f ( a) > a} E U. Sea 6 el menor ordinal tal que {a < K : f(a) < ó ] E U; podemos suponer que f(a) < 6 para toda a < K . Si 6 = 0 + 1, entonces {a < K : f(a) = b} E U porque 6 es mínima y terminamos; por lo que suponga que 6 es un ordinal límite. Para cada a < K defina g(a) como cil menor y I a tal que f(y) 2 f ( a ) . Es claro que g E !?JL

Caso I. {a : g(a0 < a} E U. Por lin-normalidad existe B < K tal que {a < K : g(a) = b} E U, es decir, {a : f(a) I f @ ) } E U, así que {a : f(a) < j ' (0) + i} E U. Como 6 es un ordinal límite y f ( B > < (5, se contradice la elección de 6.

Caso 11. {a : g(a) = a} E U. Entonces f es estrlctamente creciente en este conjunto, lo que simplifica encontrar f' que funcione.

o[ < K.

O

DEFINICIÓN 6.7. Sea Ou una función de un ordinal a OR. Si U es una sucesión con dominio d o m ( U ) = { ( o I , ~ ) : a E d o m ( O u ) , b < O"(a)} , defina U t (a ' ,B ' ) = U f {a ,b) : a < a' v (a =

a' A B < 0 ' ) 1. Sea tin un modelo interno. U es tin-cohwenre si U es una sucesión 1 - M-iterable de ultrafiltros )' para cada (a, B) E d o m ( U):

(i) ü(a, 0 ) es un ultrafiltro lin-normal en a. (ii) S i i : g t - Ult(!JX, U(a, 0)) es el encaje canónico, entonces

(a,B) e d o m ( i ( U ) ) y i ( U ) 1 (KB) = (1 1 (a,B). Aunque estamos interesados solamente en modelos bien fundados, no hemos requerido que

U¿t(flJ?, Uía, sea bien fundado, pues la tin-normalidad de cada U ( a , 0 ) es suficiente para garantizar que segmentos iniciales suficientemente grandes de Uit(m, U(a, B)) sea bien fundado para que (ii) tenga sentido.

I. EL ORDEN DE MiTCHEU 31

Sabemos que todo orden parcial bien fundado se puede extender a un buen orden, así que cuando tratemos con conjuntos parcialmente ordenados bien fundados podemos retringirnos a conjuntos que son ordinales y cuyo orden parcial es un subconjunto del orden usual en el ordinal. Si P = (p , sp) es tal conjunto parcialmente ordenado podemos definir una función s : p - Pot(p) mediante s( a) = {y < p : y < p a}, y se observa que s (a) G a para cada a. Esta idea nos permite caracterizar los conjuntos parcialmente ordenados que nos interesan.

DEFINICIÓN 6.8. Sean p un ordinal y s : p -* Pot(p) tal que s ( a ) 5 a para cada a < p y tal que o( E s(B) y j3 E s(y) implica s(y). Defina Ps como el conjunto parcialmente ordenado con universo p y orden parcial <s definido mediante a <s 6 si y sólo si a E s(B).

Un conjunto parcialmente ordenado (P, <) es un pre-buen orden si existe una función f : P - OR tal que para p, q E P, p < q si y sólo si f(p) < f ( q ) . Sin embargo, para nuestros propósitos requerimos una caracterización mediante la función s.

donde la función s satisface Io siguiente:

PROPOSICI~N 6.9. (P, <) es un pre-buen orden si y sólo si es isomorfo a algún (Ps,

1. ran(s) E O R y s ( s ( a ) ) = s(a) para rod61 a. 2. Si o( I B, entonces $(a) E s (B) .


Esta caracterización puede parecer, cuando menos extraña, pero será de utilidad cuando tratemos con conjuntos parcialmente ordenados. Puesto que <s y s son defmibles en términos del otro, es conveniente redefinir un pre-buen orden como una pareja (p , s), donde p es un ordinal y s satisface la definición 6.8 y 6.9.

Suponga que queremos encontrar unmodelo! Dl tal que 331 != ZFE+ I\ t’s cl ~ i i ~ r t o carclinnl i-iwchhlc~ \ mi\tw ~ ~ ( t ~ w x w i ~ do4 iiiii htii:l-os noi’nidcs e11 K .

Empezamos con el modelo de Mitchell para el que sabemos que existe un cardinal medible K con al menos dos ultrafiltros normales. Sean U. y U1 tales ultrafiltros y los usamos para construir modelos internos. LIUo, U,] no es adecuado, pues es lo mismo que L[üO], pero suponga que A E K tal que A E Ul - U,. Entonces es fácil corroborar que L[Uo, ül, A] tiene al menos dos ultrafiltros normales, pero al tratar de mostrar que no hay otros es obvio cómo proceder. Además, si existen cardinales medibles debajo de K , A debe codificar a alguno de ellos (o todos), por lo que no podemos esperar que una elección arbitraria de üo, Ul y A funcione.

Suponga que UI es un ultrafiltro normal en K tal que A = (a < K . a es medible} E üi. Sean U0 un ultrafiltro normal en K tal que E U,, y MO = L[Uo, U1, A ] . Ma aparece como el candidato más lógico para el modelo que buscamos, el que limite el número de ultrafiltros normales; pero no se sabe si funciona o no. No obstante, el modelo que construiremos será esencialmente MO con algo extra, por lo que primero examinaremos en detalle Mo. Por simplicidad, suponga que V = L[U], donde U es la sucesión coherente tal que U(K,CI) = UO, U(K, 1) = Ul y U t (&,O) es un ultrafiltro normal en a para cada a E A. Si a E A , sea U - o( = U t { t : t f (a, O) }. U - a también es coherente, y existe un encaje elemental j n : L[U] - L[U - tx] (véase el Lema 6.13) con punto crítico a. Si nos restringimos a Mo logramos

ja : L [ U O , U I , A I - .L [Uo ,Ui ,A- fall, es decir, jc< . Mo - Mo. Es claro que j , t Ma no es definible en Mo con parámetros en Mo, pero MO sabe un poco sobre los encajes ja, como lo demuestra el siguiente teorema:

TEOREMA 6.10. Sean h 2 K + tul que j a ( ~ ) = h para todu a E A, y SA = {x E VA ri MO . x esdefinible en V#\nMo con parúmetrosen { U o r ~ M o , U ~ n M o , A ) ) . Entonces (ja t S,] : a E Al E Mo.


DEMOSTRACI~N. Dado x E SA definido mediante 1.a fórmula q, j,(x) esta definido por lamisma fórmula usando A - {a} en lugar del parámetro a. Note que podríamos haber usado todos los

O parámetros menores que el menor elemento de A.

Sin embargo, no todas las propiedades de L[U] se reproducen en Mo: TEOREMA 6.11.

DEMOSTRACI~N. Supongamos que QI (x, y) es una fórmula (sin parámetros) tal que MO i= (I> í x, y bien ordena el unh erso. Sean C = {B G K : A, b difieren en un conjunto finito} E Mo, Bo el QI- menor elemento de C. Escogemos a E A tal que A -- a = Bo - a. Entonces j , ( A ) = A - {a}, así ja(Bo) = BO - {a). Pero j ,(C) = C, por lo que j , : Mo - Mo, Mo != ,j,ytB(,j es el q)-mcnor elemento de C, da lugar a una contradicción pues j,(Bo) f Bo. O

Mo i= V * CID.

Sean D E Mo tal que Mo k I> es ut i rrit rafiltrri norrid CII u i i C ~ I cIinal rncdible (Y y j : MO - MI = Mf /D el encaje canónico. Queremos mostrar que D = ü k n Mo, donde k es O Ó 1, y lo que queremos hacer es aplicar el Ejercicio 5 a Mo y MI. Pero para lograrlo debemos mostrar que j(U) tiene sentido y es una sucesión Ml-coherente; aquí encuentra nuestra teoría un escollo difícil de superar pues no podemos demostrar que j(U) (suponiendo que tiene sentido) es MI-iterable. (Si j(U) tiene sentido y tiene ultrapotencias iteradas bien fundadas, todo lo que haremos a continuación funciona para MO).

Para evadir la dificultad consideramos un modela de la forma L[ U,, U1, A, y], donde ’J se usa para garantizar que para una cantidad “suficiente” de funciones f’ habrá un conjunto que satisface la Definición 6.3(b). Sin embargo, al realizar este proceso estamos añadiendo más información a nuestro modelo, por lo que lo haremos tan cuidadosainente que para cada j , : L[U] - L [ ü - a] se cumple j a ( y n M ) = y n M , con lo que argumentos como los del Teorema 6.10 funcionan.

Ahora procedemos al caso general. Fijemos un pre-buen orden P = (q , s) para alguna q E w y alguna s : q - q que satisface 6.8 y 6.9. El caso infinito se efectúa con modificaciones menores que se proponen posteriormente.

Si N es un modelo interno y W es una sucesión N-coherente que llamamos Wq-mínima si existe exactamente una A tal que O w (A) = q y Ow(oc) = O para toda a > A. Para construir un modelo con P, = P necesitamos suponer la existencia (al menos en algún modelo interno) de una sucesión V-coherente U tal que O u ( ~ ) = q para alguna K . Si es necesario pasamos a un modelo interno mas pequeño, pero aseguramos que U es q-mínimo y que V = L[U]. En este orden de ideas U y K quedan fijos para el resto de la sección.

Abusamos de la notación en el siguiente sentido. sabemos que si A es un conjunto y A* = A n L [ A ] , entonces L [ A ] = L[A*] y A* E L [ A ] (aunque suele ocurrir que A 4 L[A]). Esto se utilizara con frecuencia sin hacerlo notar, y escribiremos A pensando en A* si es claro que estamos trabajando dentro de L[A]. Otro hecho que usaremos en ocasiones es que si A es un conjunto fijo debajo del primer cardinal medible de U, entonces todos los argumentos a continuación para L[U] funcionan para L[U, A ] , ya que A queda fijo respecto a todos los encajes involucrados.

DEFINICIÓN 6.12. Suponga que W es una sucesión coherente q-mínima en algún modelo interno con Ow(A) = q. Sean m < n < @ y f , g funciones con dominio A. Entonces f es una función (W, m, n,g)-estandar si existe un conjunto finito Ff E A tal que las siguientes condiciones se satisfacen:

(a) g es estrictamente creciente, g : h - A. (b) Para cada q E A, f ( q ) E g ( ~ ) . (c) Si q + 1 E F f , entonces q E F f . (d) Para toda rl E h - Ff, O w ( g ( q ) ) = n.

I. EL ORDFN DE MITCHELL 33

(e) Para toda q E h - Ff, f ( q ) E W ( g ( q ) , m ) s i y sólo si

f ( q + 1) E ‘W(g(r1 + I) , m). Si f es (W, m, n, 9)-estándar, entonces Xf está defmido como el único subconjunto de A tal que

q E Xf si y sólo si q + 1 E Xf y Xf - Ff = {I? E A - Ff : f ( q ) E W ( g ( q ) , m ) l . Note que Xf es independiente de Fj .

Entonces definimos

YW= { ( f ,m,n ,g ,q) : f e s ( W , m , n , g ) - esestándaryqEXf}.

PROPOSICIÓN 6.13. Si W y W‘ son sucesiones q-mínimas que difleren en un conjunto finito, entonces YW = Ywf.

DEMOSTRACI~N. Para cada f , incrementamos FJ para que incluya el conjunto donde ellas difieren. O

Note que se puede extraer del conjunto 7~ que f es o no (W, m, n, 9)-estándar como lo es Xf si f es (W, m, n, 9)-estándar para ciertas m, n. S i n embargo, es importante darse cuenta de que este no es el caso para Ff.

DEFINICI~N 6.14. Para toda sucesión W q-nlínima, definimos wp = w 1 {(a, B) : (ow(oC) = 4 ) V (Ow(a) < 4 A B E S(ow(oC)))}.

Escribimos B E s ( O w ( a ) ) en lugar de B < : ; (Ow(a)) pues después distinguiremos qué ocurre

Ahora podemos definir nuestro modelo M con M k PK = P: en las pocas ocasiones en que s no es una función a OR.

Sea = i.[uP, O ~ , Y ~ ] . (+ 1 Es claro que la presencia de 0” en M garantiza que todos los ultrafiltros U ( a , B) n M, (a, B) E

dom(UP) , son diferentes. La dificultad que aiín prevalece es mostrar que estos son los Únicos ultrafiltros normales en rni.

LEMA 6.15 . Sean W E L[U] tul que L [ W ] k ’it’ (’5 L I M ~ ~ S M C S ~ W J c o / w * ( ~ t ? f ~ ~ q - m f 1 1 1 1 1 1 7 y sea (a, m ) la menor (lexicográficumente) pareja tul que (a, íyn) E dom(U) - dom(W). Entonces existe un encaje elemental j : L [ U ] - L [ W ] con punto crítico o( tul que J ( U ) = W y U ( a , m ) = { X E Pot(oc) n M : a E ~ ( a ) ) . Sidom(U) - d o m ( W ) = 0, entoncesU = W .

DEMOSTRACI~N. Usamos el Ejercicio 5 y q-nlinimalidad para obtener L[WI \

/ L[UI

para cierto U* q-mínimo y ultrapotencias iteradas io, il. Para algún 6 regular sea r = { y : c f ( y ) =

6, y es límite fuerte] y nos aseguramos de que 6 es suficientemente grande para que io(y) = i l ( y ) =

y para toda y E i‘. Supongamos que r es una clase de L[U], pues toda la construcción puede transcurrir dentro de L[U]. Por consiguiente, todo elemento de L[U] es definible en L[UI con parámetros en (U} u r, ya que si X es la clase de conjuntos así definible, entonces X es una clase

34 11. MODELOS CONSTRUIDOS MEDUNE SUCESIONES DE MIBIDAS

i

M

de L[U], por lo que si M* 2 X , M* transitivo, existe un encaje elemental M* - L[U] definible en L[U] que debe ser la identidad. Puesto que r 5 ran(il) , éste induce un encaje j : L[U] - L[W] tal que io = i~ 0 j . El resto es fácil y el lector puede concluir la demostración. O

k

DEFINICIÓN 6.16. Sean x c K finito y m < q. Definimos U,, = U t {(a,/3) : (a B x) v (a E x A B < m)} , es decir, U,, es U con algunos ultrafiltros cortando la punta de cada a E x. Es fácil verificar que U,, sigue siendo coherente y q-mínimo, así que por el Lema 6.15 existe un encaje elemental j,, : L[U] - L[U,,]. Para evitar notación engorrosa escribimos J,, y U,, para jta), y Note que a es un punto crítico de j,, (a menos que Ou(a) I rn, en cuyo caso j a m es la identidad). Si @(a) = n > m para toda o( E x, jam se conoce como un (m,n)-encaje.

PROPOSICI~N 6.17. Sean a < K , m < Ou(a) tal que s(m) = s(Ou(a)) . Entonces

mJP,OU,FUI = mJp,,m,ou"m,3,u,,l, asíque j , , : M - M.

DEMOSTRACI~N. Es inmediato de la Proposición 6.13 pues Up = U:, y Ou = Ou"m difieren tan sólo en un lugar. Es claro que la proposición se vale también para todo (m, n)-encaje tal que s ( m ) = s ( n ) . O

1V conmuta para alguna k .

La conclusión con i en lugar de j se cumple clararnente, y el resto es sencillo. O

Una herramienta muy importante es una generalización apropiada del Teorema 6.10.

TEOREMA 6.19. Sean M < n tales que s(m) = s(n) , y X E M definible en M con parúrnerros en {Up, Ou,_Ipvl u z para algún z tal que j ( z ) = z para todo (m, n)-encaje j . Entonces

{ ( x , j s m ( X ) ) : x E [ {O( < K : O'(O() - n)]""} E M.

DEMOSTRACI~N. Si X es el Único elemento de M tal que M k p ( X , Up, Ou,Yu, z), entonces por la Proposición 6.17, j s m ( X ) es el Único elemento de 1\.I tal que M I= ~ ( ( j , , ( X ) , U P , O u x m , ~ ~ , z ) , y

O terminamos, pues la función x - OUxm pertenece claramente a M.

I. EL ORDEN DE MITCHELi 35

Note que s(m) I s (n) es todo lo que realmente necesitamos, ya que en este caso la función x - U:, pertenece a M y un argumento similar funciona. Además, si el requisito (1) de la Proposición 6.9 se elimina, concluiríamos lo mismo suponiendo solamente s(m) G s(n). Esta observación también concierne al Teorema 6.19.

TEOREMA 6.20. Sean M < n < q, f , g E M y suponga que f y g satisfacen (a), (b), (c) y (d) de la Definición 6.1 2 (con W remplazado por 'U) y suponga que existe un conjunto x G K tal que f (q) = x n q siempre que g (q) = q (note que este último requisito es vacío para muchas f ). Entonces existe una función (U, m, n, 9) -estándar f' E M que coincide con f en todo ordinal límite < K.

DEMOSTRACIÓN. Estoesevidentesi { q < K : f ( q ) E U ( g ( q ) , m ) } E M,puesfsepuederedefinir en sucesores para que se cumpla 6.12(e). Así clue el caso m < r(n) no presenta ningún problema, ya que se cumple (U(g(q), m) : q < K) E M excepto posiblemente por un conjunto finito. Entonces el caso m = s (n) (que implica s (m) = s (n)) es el único problema. Suponga que el teorema es falso. Entonces como {f E M : f es (U, m, n) - estiidar} E M , existe un contraejemplo f E M que es definible en M a partir de los parámetros {Up, C ~ u , ~ u } , por lo que el Teorema 6.19 es aplicable. Pero s i g h ) = 0, entoncesf(q1 E U ( g ( q ) , m ) siysólosig(q) E j ,(,),(f(q)) siysólosig(r7) E jg(,mx, pues U(g(q), m) es el primer ultrafiltro usado en laultrapotencia irerada que define el (m, n)-encaje jg(,),. En forma similar, si g ( q ) > q, entonces f ( q ) E U ( g ( q ) , m) si y sólo si g ( q ) E j g ( , ) m ( f ( q ) si Y sólo si g ( q ) E (jg(,),(F))(jg(,,),(f ) ) ( q ) . En consecuencia, i q < K : f ( I ) ) E U(g(q),m)l E M , y la observación al principio de la demostración se puede utilizar. O

LEMA 6.21. (En M) sea g : K - K estrictamente creciente tal que g ( q ) > q para toda q < K Y Ou(g(q)) = n para toda q < K excepto una cantidad finita. Sean m < n y h una función con dominio K tal que para cada q < K, h(q) < E [.Pot(g(q))]g(q). Entonces (escribimos estándar para (U, m, n, 9)-estándar):

(a) Existe una función estándar f tal que siempre que fo E n q < K Q ( ~ ) y fi es estándar tal que f i ( q ) = (h(q))(fo(q)) en todos los límites q, entoncesxf, y { q < K : f o ( q ) E f ( q ) } coinciden en todos los ordinales límite excepto una cantidad finita.

(b) Sea f o estándar tal que f o ( q ) = A h ( q ) pura todo límite q (donde A es la intersección diagonal usual para una g(q)-sucesión de subconjuntos ~ ( 0 ) ) . Entonces existe f E n,, ,g(q> y una función estándar f i coincidiendo con ( h ( q ) ) ( f ( q ) ) en todos los ordinales límie tal que Xh, =

X f , .

DEMOSTRACI~N. El caso s ( m ) < s (n) es fácil pues ( U ( g ( q ) , m ) : q E K - F ) E M para algún conjunto fmito F; supongamos que s(m) = s ( n ) y que el lema es falso. Entonces existe h para el que se presenta la falla y que es definible en M con parametros Up, Ou,Yu y el Teorema 6.19.

(a) Sea f ( q ) = { y < g ( q ) : g(q) E ( ( j g ( , , ) m h ) ( q ) ( y ) l ; entonces f E M y y E f ( q ) si y sólo si ( h ( q ) ) ( y ) E Ug(,,),ni), y el resto es sencillo.

(b) Sea f ( q ) = el menor y tal que g(q) E ( j17 (q )mh) (q ) ) (y ) si tal y existe y O en otro caso. 0

Cuando usemos el Teorema 6.20 y el Lema 6.21, en ocasiones quisieramos que los dominios de las funciones involucradas sea un ordinal límite 6 < K en lugar de K. En tales situaciones simplemente extendemos las funciones en forma arbitraria a K , aplicamos el resultado, e ignoramos la parte extra.

LEMA 6.22. Cada U( a, m ) es M-iterable.

36 I. MODELOS CONSTRUIDOS MEDIANTE SUCESIONES DE MFDIDAS

DEMOSTRACIÓN. Sea n = O”(&). Si m f s ( n ) , entonces U(a , m) n M E M y terminamos; así que supongamos m = s ( n ) , tal que s(m) = s(n) . Considere el siguiente diagrama conmutativo:

;-M Jotm M

donde el encaje en la diagonal es j,. Aquí la ultrapotencia iterada j,, está dividida entre la primera ultrapotencia j o , que usa el

ultrafiltro U(a, m) y el resto ji (calculada usando funciones en L[U] y restringiendola a M), mientras que UZt(M,U(a,m)) usa sólo funciones en M. Del diagrama es claro que P o t ( a ) n M = P o t ( a ) n

O Ult(M,U(a,m)) , así que U(a, m) es M-iterable.

LEMA 6.23. Sean j : M - N una ultrapotencia iterada heredada de U, y U* = j(U). Entonces (a) Pava cada (a, B) E dom(U* ), U* (a, 8) es N-ireruble. (b) Para cada (a, 0) E dom(U*), U* (a, B) es N-ncirmal. (c) U* es 1 - N-iterable.

DEMOSTRACI~N. Es suficiente probar el lema para todas las ultrapotencias iteradas de longitud finita, así que suponga que el lema se cumple para todas las ultrapotencias iteradas de longitud k y sea j : M - N de longitud k + 1, digamos

N M - ) N ’ J 1

donde j o nos da las primeras k ultrapotencias, U’ = jo (U) , y N = UZt(N’,U’(a’,B’)) para alguna (a’, B’) E dom(U’). Puesto que U’(@‘, B’) es N’-iterable por hipótesis de inducción, Pot(a’) n N’ =

Pot(”) n N, así que (a) y (b) se cumplen si a I a‘ ya que ellas son válidas para U’ y N‘. Note que como cada U‘(&, B) es “-normal, U’ debe ser ”-coherente, una simple consecuencia de los ultrafiltros inducidos que el lector debe verificar).

Suponga que a > a‘, a E dom(U*), y sea g con dominio (u tal que [ g l ~ t ( , f , ~ , ) = a y g es constante Ó g(q) > q para toda q con g estrictamente creciente. Sean n = O’* ((u) y ni < n. Note que el Teorema 6.21 y el Lema 6.22 se cumplen en N‘.

(a) Sea (xr : y < a)) E M . Entonces existe h E M con [h] = (xy : y < a) tal que h ( ~ ) E

[ P o t ( g ( q ) ) ] g ( ‘ ) para toda q < a’. Si g es estrictamente creciente, aplicamos el Lema 6.21 para obtener f y se verifica con facilidad que [f 1 = { y < a : xy E U* (a, m)}. Si g es constante con valor a*, entonces

í ( q , y ) E a‘ x cyx : [ h ( q ) ] ( y ) E U’(a* ,m)} E N‘

I. U. ORDIN DE MiTCHEU. 37

porque U'(a*,m) es N'-iterable (pues la' x ct* I = a* en N'), así que si hacemos f ( q ) = {y : [h (q ) ] (y ) E U'(a*,m)} , entonces [ f ] = {y < a : xy E U*(a,m)} . En consecuencia, U*(a,m) es N-iterable.

(b) Supongamos que (x, : y < a) G U*i :a ,m) pero A(x, : y < a) e U * ( a , m ) . Si g es estrictamente creciente, sea h como en (a). Entonces si f o , f , f i son como en el Lema 6.21(b), se cumple [fo] = A(xy : y < a) 4 U*(a,m), pero [ f ~ ] = xy E U * ( a , m ) para alguna o( < m. Pero esto es una contradicción ya que para toda función f', [f'] E U* (a, m) si y sólo si X f f E U'( a', 8') (una consecuencia trivial de la definición de X f f ) , lo que contradice Xf,, = Xfl. Si 9 es una función constante el hecho (por (a)) de que {(q,y) E a' x a* : [h(q)](y) f U'(a* ,m) } E N' se puede usar para obtener fo y fi propiciando la contradiccitjn anterior.

(c) Sean (ao,mo) E dom(U*), y f , g E N funciones con dominio a. tales que f ( q ) c g(q) para toda q < ao. Podemos suponer que Ou* (g (q ) ) = n para toda q (para alguna q fija). Por la Proposición 6.6, podemos suponer además que g es constante, la identidad o estrictamente creciente tal que g(q) > q para toda 0, y por el Lema 6.22 podemos suponer que si g es la identidad, entonces f ( q ) = x n q para x fija. Sea m < n fijo.

Caso I. g no es constante. Entonces por el Teorema 6.20 existe una función f ' (U*,m, n,g)- estándar con

por lo que

pues este conjunto difiere de X f en un conjunto frnito, y Xf E N.

{n < a : f ' ( q ) = f ( q ) l E U*(ao,m~)

Iq < a 0 : f'(q) E U * ( ~ ( q ) , m ) l E N,

Caso 11. g es constante con valor < ao. Entonces existe una función constante f'

{ r 7 < a 0 : f ' ( r 7 ) = , f ( r 7 ) 1 E u* ( B o , mo).

Caso 111. g es constante con valor 2 ao. Eritonces i q < a. : f ( q ) E U*(g(q)) U*(g(q),m) es N-iterable.

tal que

E N porque O

COROLARIO 6.24. U es una sucesión M-iterable, y para toda ultrapotencia iterada j : M - N del

TEOREMA 6.25. Sea D E M con i : M - Ma0 ,'D el encaje natural. Entonces

M módulo U, j(U) es N-coherente y N está bien fundada.

i ( ~ ) t { ( a , m ) : m < ( Z ( O " ) ( ~ ) , a B ran(i)I E M.

DEMOSTRACI~N. Si f , g E M con g no equivalente (mod D) a una función constante, entonces [f]D E i ( U ) ( [ g l ~ , n z ) si y sólo si { q : f ( q ) = f ' ( q ) l E D para alguna f' (U,m,n,g)-estándar tal

O que X f , n a. E D. Esta definición se puede efectuar dentro de M.

DEFINICIÓN 6.26. Sean A < p < K tal que O u ( y ) I 1. Definamos

U[h#) = u t { (a, /z) : a < x v a 2 p,O < OU(a)l

O[h,#) = O " [ A . V l 'v' .T[X.v> = 3 J [ h . r i , .

MtA,v> = ~[u~,,~,~,o[,~,v),~[,~,v)l.

(es decir, se eliminan todos los ultrafiltros en algún cardinal en [A, p)). Además, definimos

Note que U [ A , ~ ) sigue siendo q-mínima y coherente. Defina

Es faCil corroborar que M[A,# ) es una clase definible en M con parámetros en {Up, O', TU, A, y}.


TEOREMA 6.27. Suponga que X es definible en M con parámetros {Up, Ou,Yu}, y sea 43 una fórmula tal que M F -1 e5 el único .yf tul que cp[*~ ' , U!', O[., g c i , y sea Y el único conjunto tal que

~ n , p ) ~ P ( Y ~ u P ~ , ~ ) ~ O [ a , p ) i F [ h , p ) )

(A, p como en la Definición 6.26). Entonces X n h = Y n A. DEMOSTRACIÓN. Aplicamos el Ejercicio 5 a L[U] ' y L[U[A,,)], X n h y Y n A no se mueven. O

DEFINICI~N 6.28. Sea M* = u l t ( M , U ( ~ , U ) ) (usando sólo funciones en M) con j : M - M * , y

TEOREMA 6.29. Para toda A < K , U* es M[,,p, -ireruble. Además todas esas ultrapotencias iteradas

DEMOSTRACIÓN. Es inmediato del Corolario 6.24 (dentro de Uit ( M , U( K , O) 1, con la parte de 0

sea U* = ( ~ ( U ) ) [ O , ~ ) .

j : MC,, , - N están bien fundadas, y cada j(U*) es N-coherente.

MG,p , debajo de K considerada como parámetro fijo.

Note que por el Teorema 6.25,

(U* (a, B) M;'h,K) : (a, B) E dom(U* 1 I E M

y el teorema se puede establecer dentro de M .

TEOREMA 6.30. M 6 i r I ) p l Y L ? Oii f I l l ) ' ? I (Y. ill \ < Í O t ! t { t

DEMOSTRACI~N. Suponga que no. Sea a 5 K el menor tal que algún contraejemplo D es un ultrafiltro normal en a. Además, podemos suponer que m < q es el menor tal que { q < a : Ou(q ) = m} E D. Suponga que D es el menor de tales ultrafiltros en el buen orden canónico de M definido por los parametros { U p , O u , F ~ } . Sea N = M a / D y sea j : M - N el encaje canónico. Sea N* = U i t ( N , j ( u ) ( j ( ~ ) , O ) ) . Como el Teorema 6.29 se puede formular dentro de M , obtenemos (usando j ) que j ( U ) es N;",,,(K,,-iterable con todas las ultrapotencias iteradas bien fundadas y coherentes, donde h = a + 1. Aplicamos el Lema 5 a N&+i, , (K)) y M, logramos las ultrapotencias iteradas:

M \

Sabemos que para cada m' < m, j(U)(a, m) E M por el Teorema 6.25, así que j(U) t (a, m ) =

U t (a, m) por que 712 es mínima. Por consiguiente, el punto crítico de i es mayor que a. Como a es definible en M con parámetros {Up, Ou, TU} y el elemento correspondiente de N ~ y + l v j ~ K ~ ~ ) es mayor que a, io tiene punto crítico a, así que U(a,nz) fue el primer ultrafiltro que se usó en el encaje io : M - M. Puesto que hemos supuesto que L) f U(a,m) , sea X c o( el menor en el buen orden canónico con parámetros {U", O", TU} tal que 13 y U ( a , m) difieren en X. Entonces sean Y

-

1. EL 0RT)F.N DE MITCHELL 39

el elemento correspondiente de N&+,, j (K)) y 2 el elemento correspondiente de M. Por el Teorema 6.27(dentrodeN)sabemosquej(X)n(oc+l) = Y n ( a + l ) . AsiqueXEDsiysólosicxE j (X) , s i y sólo si o( E Y , si y sólo si o( E il ( Y ) , si y sólo si cx E Z, si y sólo si X E U ( a , m), una contradicción. En consecuencia, D = U( a, m). El único problema que resta es la posibilidad de que m 2 s(Ou(a)) . Pero entonces el (m, OU(a))-encaje j , , : M -. M mueve a, lo que contradice que a sea mínima. O

COROLARIO 6.31. N P, z P.


TEOREMA 6.32. M I= HGC.

DEMOSTRACI~N. Sea h un cardinal en M. Podemos suponer que h no es medible en M y en consecuencia por el Teorema 6.30 que = O. Sea x E Pot(h) n M, y sea U' tal que MG,K, , =

L [ u ' ~ , oU, FLY] Y note que = U* E M y x E MG,,,,. Sean 6 regular, 6 > A u (2"), y X x L6[UfP, O U ' , y u r ] tal que {x} u h G X E M y M contiene a todo testigo de normalidad e iterabilidad en L6[U", O u ' , y u / ] . Puesto que U* n M E M esto se puede realizar en M para obtener X E M y M k 1x1 = A.

Sea Lh[Wp, Ow, y w ] el colapso transitivo de X. Entonces por el Ejercicio 5 existen

i : M - L[Z(U)~,~(O~),Z(YU)I y j : L , [ w ~ , o ~ , T ~ I - L,[j(wP),j(ow), j ( ~ w ) I

para alguna (note que el Lema 6.21 es aplicable en este caso) tal que los puntos críticos de i y j están por encima de A y (usando q-minimalidad) i(U) = j ( W ) (módulo los subconjuntos comunes de los dos modelos). Así que i(Up) = j (Wp) (otra ve7 módulo subconjuntos comunes) e i(Ou) = j ( O w ) . Además, usamos el hecho de que todas las ultrapotencias se heredaron de ultrapotencias de L[U] (donde la conexión entre U y 'fu es definible) obtenemas que i('fu) = 3 i ( u ) y j ( y w ) = T~(w). Por lo tanto, el buen orden canónico de P o t ( h ) n Ln[WP, O w , T w ] (usando los parámetros Wp, Ow, Fw) es un segmento inicial del orden canónico de Pot(h) n M (usando los parámetros Up, Ou, TU), puesto que estos órdenes no se cambiaron por i y j , En consecuencia, como 1x1 = Ihl, la posición asignada

O a x en este buen orden es menor que es decir, ( 2 h ) ) M =

Hemos hecho la suposición de que P es finito, así que ahora haremos las modificaciones nece- sarias para P infinito. Sean P un pre-buen orden infinito y s como en 6.8 y 6.9. Sea A un conjunto de ordinales (digamos A s 6) que codifica ( P , s ) , y suponga que U es coherente tal que 6 < mín lK,OU(~)} . Entonces todos los argumentos se pueden aplicar añadiendo el parámetro adicional A , con la única excepción en la prueba de que la HGC se cumple encima de 6. Esto no debe sorprendernos, ya que si la HC falla en V, por ejemplo, entonces es fácil encontrar un pre-buen orden que codifica la violación. Obtenemos entonces:

TEOREMA 6.3 3. Sea P un pre-buen orden codificado por algún A G 6. Supongamos que P se puede extender a un buen orden de tipo 6 y que existe ,una sucesión U tal que L[U, A ] e ti L'S \ - ~ ~ i : ~ ~ w ~ ~ f ( ~ * ~ . ' (5 <:, j ) ; j i ; ' :, , { i[ i i í ~ t i . Entonces existe un modelo interno M tal que P E M y M k P, z P.


COROLARIO 6.34. Si Y 6 3 K ( O ( K ) > 6) , entonces para todo pre-buen orden P existe un modelo interno M tal que P E M y M k 3 K ( P ~ = P ) .

7

40 I. MODELOS CONSTRUIDOS MEDIANTE SUCESIONES DE MFDIDAS

I* Ejerci'cios

1. Una función f E K~ es casi inyectiva si y sólo si I f - l ((a}) I < K para toda a < K . Si U es un ultrafiltro, una función f E K~ es inyecma (mód U) (casi inyecriva (mód U), respectivamente) si y sólo si f es igual a una función inyectiva (casi inyectiva,resp.) en K~ en un conjunto miembro de U. Un ultrafiltro en K libre y K-completo se denota como K-ultrafiltro. Un K-

ultrafiltro U es un p-punto si y sólo si f E K~ es constante (mod ü), O casi inyectiva (mod U). Definamos el orden de Rudin-KE.isler (RE:) entre ultrafiltros. Si U es un K-ultrafiltro y f E K ~ , sea f,(U) el ultrafiltro definido por: X E f*(U) si y sólo si f - l ( X ) E U. f,(U) es un K-ultrafiltro exactamente en el caso en que f no es constante (mod U). Si U y V son K-ultrafdtros, entonces U <RK V si y sólo si existe una función f E K~ tal que f * ( V ) = U. U E R K V si y sólo si U IRK V y V IRK U. U <RK V si y sólo si U S R K V y U # R K V. Cuando K > KO, un K-ultrafiltro RK-mínimo es precisamente uno que es RK-equivalente a un K-ultrafiltro normal.

Si K > N O y U es un K-ultrafiltro, MU es el <colapso de UZtu(V). (i) Demuestre que todo K-ultrafiltro normal es u n p-punto.

(ii) Pruebe que U ERK V si y sólo si existe una biyección f E K , tal que f * ( V ) = U. (Ui) Muestre que si V es un K-ultrafiltro p-punto, existe miúnico K-ultrafiltro normal ~ R K V. (iv) Si f : K - V y f r (VI = U, pruebe que existe un encaje elemental k : MU - MV defmido

por k ( [ g l u ) = [ g f ] ~ . Este encaje satisface ZV = kiu. (v) Suponga que V es un K-ultrafdtro p-punto y sean U IRK V, digamos f* ( V ) = U. El en-

caje elemental correspondiente ~ ( Z U ( K ) ) - ~ V ( K ) . Pruebe que i U ( K ) s i V ( K ) . Demuestre que ~ [ Z U ( K ] = { [ g f l v : g E K ~ } es coíinal en ~ v ( K ) . Vamos a estudiar el caso Z U ( K ) < i V ( ~ ) .

.

(vi) (**;':*)Si a I B < (2K)+, pruebequeexisteunafuncióninyectivaf E K , talquej(f)(B) =

Suponga que existe un encaje elemental j : V - M , donde M es un modelo interno cerrado respecto a 2K-sucesiones, K es el primer ordinal que mueve j y que 2, < j ( ~ ) .

a.

(vii) Si K I 0 < j ( ~ ) y US está definido mediante

X E e X G , 8 E j ( K ) ,

pruebe que U0 es un K-ultrafiltro. Hagamos U = U,. h e b e que U es un K-ultrafiltro normal j7 que L u ( K ) < (2,)+.

(viii) Demuestre que

(2K)M = 2K < (2K)+ = < j ( K ) .

Fije 6 tal que Z U ( K ) < 8 < (2,)+, muestre que V = U6 es un K-ultrafiltro. Más aún, verifique que V es un p-punto tal que U <RK V.

(ix) Demuestre que ~ u ( K ) < Z V ( K ) . [Sugerencia: note que si e : MV - M está definido mediante e ( [ f l v ) = j ( f ) < ó ) entonces e es un encaje elemental tal que eiv = j . Se cumple e(K) = K , pues j(fI(8) = K si y sólo si f es la función no constante más pequeña (mod V). Pruebe que

(2K)M" = 2, < ( (2K) ' )M" < Z17(K) < (2 , ) ' .

Asíque ( (2")+IM" eselprimerordinalquemuevee (a (2,)+). Sinembargo, e ( [ i d ] v ) = 6 por la definición de e . Como 8 < ( 2,) +, se sigue que [ id] l~ = 6 , y se deduce la conclusión

Ahora estudiamos el caso Z U ( K ) = L v ( K ) .

(x) Suponga que K es medible y límite de cardinales medibles. Sea U un K-ultrafiltro normal, y para I-( < K medible, sea Np un p-ultrafiiltro normal. Para o( < K hagamos m ( a ) = el

~ u ( K ) < 6 < Z"(K).]

I. EJERCICIOS 41

menor cardinal medible > a. Defma V mediante

X E V CJ X E K A {a < K : X n m(oc) E Nm(a) I E U.

Si A E K es la cerradura (en la topología del orden) del conjunto de cardinales medibles debajo de K , A E U pues U es nonnal y A es un club, además B = {B : 3 a E A(& < B < m(a))} E V . EnBdefinaunafunciónfpor:f(B) = a s i y s ó l o s i a <B < m ( a ) , a ~ A . Verifique que f es la menor funci6n no constante (mod V), f* ( V ) = U, y U <RK V.

(xi) Demuestre que ~ U ( K ) = E V ( K ) . [Sugerencia: muestre que ([gf lv : g E K ~ } es cofinal en i V ( K ) , es decir, los ordinales representados por funciones en K~ constantes en el intervalo (a, m(a) ) para a E A son cofinales en Z V ( K ) , y el conjunto de estos ordinales tiene tipo ordinal iu ( K ) . Por lo tan to, es suficiente probar la siguiente afmnación: Si g E K ~ , entonces existe una inytwión que presewa el orden de [gflv en iu ( K ) . Por la afirmación [gflv I Z U ( K ) para toda g E K ~ ; se cumple Z V ( K ) = sup{[gf]v : g E K ~ } I ~ u ( K ) lo que resuelve el ejercicio. Para probar la afirmación fije g E K ~ . Note que [ h ] ~ < [gf lv si y sólo si {a E A : {b E m ( a ) : h(B) < g(a)} E E U. Así que si una función Q, con dominio [ g f ] ~ está definida mediante:

q ( [h ]v ) = [ ( [ h I IN,,,, : a E A ) l u ,

entonces Q, es una inyección que preserva el orden de [g f lv sobre la sucesión [ (ya : a E A)]u, donde ya es el tipo ordinal del conjunto { [ . S ] N ~ ( ~ ) : s E g(a )m"Y)} . Sin embargo, ya < K para a E A , por 10 que Q, realmente inyecta [ g f l v en Z U ( K ) . ]

(mi) Si U es un K-ultrafiltro normal, en L[ U] K es medible. Pruebe que los únicos p-puntos son aquellos RK-isomorfos al K-ultrafiltro U n L[ U]. Por lo que requerimos hipótesis más fuertes que la existencia de un cardinal medible, para probar que existen p-puntos que no sean RK-mínimos. Ketonen [Ket73] construyó tal K-ultrafiltro suponiendo que K es medible y límite de cardinales medibles. Menas [Men741 probó que K en el ejemplo de Ketonen se puede tomar como el menor cardinal medible y se tiene un p-punto que no es RK-mínimo V que por lo anterior tiene U < R KV tal que i u ( K ) = Z V ( K ) .

Si M es una clase y E es un M-ultrafiltro, U l t E ( M ) denota la a-iteración de M módulo E, con UZtg(M) = M . Si E es un ultrafiltro numerablemente completo en V, entonces para a 5 B, i& : ültf<v> - u@(v> es el encaje elemental.

(xiii) Suponga que U I R K V son K-ultrahltros con f* ( V ) = U , y k : MU - MV es el encaje natural correspondiente. Entonces si existe un menor ordinal que k mueve, digamos p , pruebe que p es medible en un modelo interno. [Sugerencia: Fije una sucesión estrictamente creciente de cardinales (A , : n E w) tal que cada A, es un cardinal límite fuerte con c f (A , ) > K , y p < Ao. Para cualquier K-ultrafiltro E (véase [Ku70]):

(a) i ; , , , % ( ~ ) = A,; (b) if,,(A,) = A, para a < A,.

Sea F un filtro en A = sup& generado por (A, : n E w), es decir,

X E F e X c A / \ 3 m V n > m ( A , E X )

Use las propiedades de los A, junto con los encajes ita para a I A y E un K-ultrafdtro para probar que en L [ F ] , F n L[F] es un A-ultrafiltro normal. Defina W E Pot(p) mediante:

X E W X E P o t ( p ) n L[F] A p E k ( X ) .

Como ZU e L V dejan fijos a ( A n : n E w), verifique que Lu(L[FI) = L[FI = ZV(L[FI) . En consecuencia, k t L[F] : L [ F ] - L[F] es elemental. Basta probar que W es un L[F]-ultrafiltro en p.

H

42 I. MODELOS CONSTRiJiDOS MEDIANTE SUCESIONES DE MEDIDAS

Como M u es cerrado respecto a K-sucesiones, muestre que intersecciones arbitrarias numerables de elementos W son no vacías. Por consiguiente, üZt&(L[F]) está bien fundada para toda a. Finalmente, de lo anterior concluya que L [ F ] es un modelo interno en el que h > p es medible, y W es un L[F]-ultrafiltro en p tal que U l t & ( L [ F ] ) está bien fundada para toda a. Pruebe que W es ultrafiltro normal en L [ W ] , por lo que p es medible en un modelo interno.] En relación al Ejercicio (xiii), suponga que U <RK V, digamos con f * (V) = U, y aún ~ u ( K ) = Lv(K). Entonces el primer ordinal que mueve el encaje elemental correspondiente k : MU - MV es < Z U ( K ) .

Por ejemplo, el ordinal id]^ no está en el rango de k: en caso contrario, si [ g f ] ~ =

[idlv para alguna 9, entonces f es inycxtiva (mod V), lo que contradice U <RK V . Puesto que id]^ < L v ( K ) y k ( i U ( K ) ) = i V ( K ) , lo que significa que debe existir un ordinal < ~ u ( K ) que mueve k.

(xiv) Suponga que U < R K V son K-ultrafiltros tales que i u ( K ) - i v ( K ) . Demuestre que existe un modelo interno con dos cardinales medibles. [Sugerencia: como antes, sea f,(V) =

U, k : Mu - Mv el correspondiente encaje y p el primer ordinal que mueve k . Verifique que p < i u . ( K ) . Si Pn = k n ( p ) para n E w, es Claro que pn < pm pira n < rn. Pero k ( i u ( ~ ) ) = L v ( K ) = i U ( K ) por hipótesis; pruebe que Pn < ~ u ( K ) para cada n. Sea G el filtro sobre p = sup{pn : n E w} generado por la sucesión (pn : n E w), es decir,

Sea (A, : n E w) exactamente como en el Ejercicio (xiii), con F el filtro en A = suph, generado por esta sucesión. Haga c = G ri L[G, FI y F = F n L[G, FI. La prueba se logra una vez que demuestre lo siguiente: En L[G, F], G es un P-ultrafiltro y F es un A-ultrafiltro normal. Para probar la afirmación: note que MU y MV son cerrados respecto a sucesiones numerables, (pn : n E o) y ( A n : n E w) son elementos de ambos modelos internos. Así que G n MU E MU y F n MU E MU tal que L[G, FI G MU, y algo similar para Mv. Observe que k ( L [ G , F ] ) = L [ G , F ] pues k preserva los segmentos finales de (pn : n E w) por lo que preserva pertenencia en G, y k deja fija a (An : n E w), por lo que también lo hacen iu e iv. Muestre que en L[G,F], G es un p-ultrafiltro normal. La prueba de que F es un A-ultrañltro normal en L[G, FI procede en forma análoga a la sugerida para el Ejercicio (xiii) con las siguientes modificaciones: observe que ü l t b ( V ) es otro nombre para Mv y ya se demostró que L[G,FI s Mv. Para cy L 1, el primer ordinal que mueve el encaje usual Lyfl : MV - UítG(V) es ~ v ( K ) . Como la sucesión (pn : n E w) E MV pero L v ( K ) es inaccesible en Mv, debe ocurrir que p = sup pa < i v ( K ) . Por las propiedades de los An, siempre que o( < A, i:, deja fijo al segmento final de ( A n : n E w), por lo que deja fijo a L[G, F I . Concluya la prueba demostrando que F es un A-ultrafiltro normal en L [ G , F] usando argumentos sobre los encajes.]

2. Demuestre la siguiente afirmación: existe S c LJh K' tal que para toda b el conjunto S n K' pertenece a üb, y para toda s E S n K ~ , u b ( s ) es un ultrafiltro en K ~ / s , y para toda sucesión (X, : c ) tal que para toda c ajena a b el conjunto Yc c X, pertenece a ub( s ) y para toda d G c t?'&(YC) = yd. [Sugerencia: se deduce de la Proposición 2.25.1

) ¿Existe un modelo interno rni y una sucmión U que sea 1 - m-iterable pero no %I- iterable? - - - - - ) Sean j ; 3;n - N elemental, K E m, U * un ultrafiltro 3n-normal en j ( ~ ) , y U = {x E

P o ~ ( K ) n

queda fijo por zya para toda o[ L 1.

3 . ( *- ;> .> $< <.

4. (A .._.I. > __,.

: j (x ) E U * } . ¿Es U necesariamente 9X-normal?

11. 0 EJERCICIOS 43

5. Demuestre las siguientes afirmaciones: Sean !IRo y !DIi modelos internos de ZFEy suponga que U0 y U1 son sucesiones mo-iterables <M i-iterables respectivamente tales que si j : Mn - N es una ultrapotencia iterada de Mn mód.ulo U, (n E {O, l}), entonces N está bien fundado y j(Un) es N-coherente. Suponga además que U0 I (a,/3) = Ui t (a,/3) (en el sentido de que ellos coinciden en todos los conjuntos en MO n MI) para o( y /3 fijos.

Entonces existen uitrapotencias iteriidas io : MO - NO e io : Mi - N I , cada una teniendo punto crítico 2 a con &(Un) t (a, /3) = [Jn t (a, 6 ) (n = O, 1) tal que alguno i,(Uo) y il (U,) es un segmento inicial del otro (otravez, en el sentido de que consideramos solamente conjuntos en NO n Ni).

6. (****) Además de pre-buenos ordenes, ¿qué conjuntos parcialmente ordenados bien fundados (si hay alguno) son posibles para P,?

7. (****) ¿Es posible tener a K como único cardinal medible y tener a la vez exactamente K (o exactamente K + ) ultraíiltros normales en K?

8. (****) ¿Es cierto que Con(ZFE + existe un cardinal medible) Con(ZFE + existe un cardinal medible con exactamente dos ultrafiltros normales)?

9. Si K es Ramsey, pruebe que N~ es inaccesible en L. [Sugerencia: muestre que P o t L [ x ] ( ~ ) es numerable para toda x c w.1

44 11. MODELOS CONSTRUIDOS MEDL4"iT SUCESIONES DE MEDIDAS

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