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Un modello di programmazione stocastica perl’emissione ottimale dei titoli di Stato
Francesco Castelli
Universita di Padova
3 Ottobre 2011
Un modellodi program-
mazionestocastica per
l’emissioneottimale dei
titoli di Stato
FrancescoCastelli
Introduzione
Struttura delmodello
Misurecoerenti
Analisi delproblema
Qualcheesempionumerico
Modello a treperiodi
Esempionumerico
Piano della presentazione
1 Introduzione
2 Struttura del modello
3 Misure coerenti
4 Analisi del problema
5 Qualche esempio numerico
6 Modello a tre periodi
7 Esempio numerico
Francesco Castelli (Universita di Padova) Un modello di programmazione stocastica per l’emissione ottimale dei titoli di Stato3 Ottobre 2011 2 / 24
Un modellodi program-
mazionestocastica per
l’emissioneottimale dei
titoli di Stato
FrancescoCastelli
Introduzione
Struttura delmodello
Misurecoerenti
Analisi delproblema
Qualcheesempionumerico
Modello a treperiodi
Esempionumerico
Introduzione
I titoli di Stato sono obbigazioni emesse periodicamente dalMinistero del Tesoro per ottenere liquidita necessaria perpagare, per esempio, pensione e stipendi.In Italia i piu importanti titoli sono i BOT che possonodurare dai 3 ai 12 mesi e i BTP che durano da 2 a 30 anni.I tassi di interesse dipendono per esempio dalle decisionidella BCE e dal rating dell’emittente: maggiore e il rischio didefault (insolvenza) di uno Stato, maggiori devono essere itassi di interesse che deve offrire per riuscire a vendere i suoititoli
Obiettivo del modello
Decidere l’emissione ottimale dei titoli di Stato in maniera daminimizzare il costo ad un certo tempo finale, cercando dilimitare il rischio e supponendo che i tassi di interesse sievolvano in maniera aleatoria.
Francesco Castelli (Universita di Padova) Un modello di programmazione stocastica per l’emissione ottimale dei titoli di Stato3 Ottobre 2011 3 / 24
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l’emissioneottimale dei
titoli di Stato
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Introduzione
Struttura delmodello
Misurecoerenti
Analisi delproblema
Qualcheesempionumerico
Modello a treperiodi
Esempionumerico
Introduzione
I titoli di Stato sono obbigazioni emesse periodicamente dalMinistero del Tesoro per ottenere liquidita necessaria perpagare, per esempio, pensione e stipendi.In Italia i piu importanti titoli sono i BOT che possonodurare dai 3 ai 12 mesi e i BTP che durano da 2 a 30 anni.I tassi di interesse dipendono per esempio dalle decisionidella BCE e dal rating dell’emittente: maggiore e il rischio didefault (insolvenza) di uno Stato, maggiori devono essere itassi di interesse che deve offrire per riuscire a vendere i suoititoli
Obiettivo del modello
Decidere l’emissione ottimale dei titoli di Stato in maniera daminimizzare il costo ad un certo tempo finale, cercando dilimitare il rischio e supponendo che i tassi di interesse sievolvano in maniera aleatoria.
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Un modellodi program-
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Introduzione
Struttura delmodello
Misurecoerenti
Analisi delproblema
Qualcheesempionumerico
Modello a treperiodi
Esempionumerico
Introduzione
I titoli di Stato sono obbigazioni emesse periodicamente dalMinistero del Tesoro per ottenere liquidita necessaria perpagare, per esempio, pensione e stipendi.In Italia i piu importanti titoli sono i BOT che possonodurare dai 3 ai 12 mesi e i BTP che durano da 2 a 30 anni.I tassi di interesse dipendono per esempio dalle decisionidella BCE e dal rating dell’emittente: maggiore e il rischio didefault (insolvenza) di uno Stato, maggiori devono essere itassi di interesse che deve offrire per riuscire a vendere i suoititoli
Obiettivo del modello
Decidere l’emissione ottimale dei titoli di Stato in maniera daminimizzare il costo ad un certo tempo finale, cercando dilimitare il rischio e supponendo che i tassi di interesse sievolvano in maniera aleatoria.
Francesco Castelli (Universita di Padova) Un modello di programmazione stocastica per l’emissione ottimale dei titoli di Stato3 Ottobre 2011 3 / 24
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Introduzione
Struttura delmodello
Misurecoerenti
Analisi delproblema
Qualcheesempionumerico
Modello a treperiodi
Esempionumerico
Introduzione
I titoli di Stato sono obbigazioni emesse periodicamente dalMinistero del Tesoro per ottenere liquidita necessaria perpagare, per esempio, pensione e stipendi.In Italia i piu importanti titoli sono i BOT che possonodurare dai 3 ai 12 mesi e i BTP che durano da 2 a 30 anni.I tassi di interesse dipendono per esempio dalle decisionidella BCE e dal rating dell’emittente: maggiore e il rischio didefault (insolvenza) di uno Stato, maggiori devono essere itassi di interesse che deve offrire per riuscire a vendere i suoititoli
Obiettivo del modello
Decidere l’emissione ottimale dei titoli di Stato in maniera daminimizzare il costo ad un certo tempo finale, cercando dilimitare il rischio e supponendo che i tassi di interesse sievolvano in maniera aleatoria.
Francesco Castelli (Universita di Padova) Un modello di programmazione stocastica per l’emissione ottimale dei titoli di Stato3 Ottobre 2011 3 / 24
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Introduzione
Struttura delmodello
Misurecoerenti
Analisi delproblema
Qualcheesempionumerico
Modello a treperiodi
Esempionumerico
Spazio di probabilita finito (Ω,A,P)Insieme dei tempi:I = 0, t1, · · · , tH |ti = ti−1 + K , i ≤ H, K > 0.rtiti∈I variabile aleatoria a valori in RModelliamo questo spazio di probabilita con uno scenario adalbero non necessariamente ricombinante : al tempo 0abbiamo il nodo radice N0.ogni nodo n al tempo ti avra un unico padre α(n) ∈ Nti−1 eun numero generico di figlio c(n) ∈ Nti+1 .Filtrazione Fti adattata alla partizione dei nodi Nti .Probabilita ottenuta assegnando dei pesi pn > 0 ai nodifinali tali che
∑n∈NtH
pn = 1 e ricorsivamente:
pn =∑
m∈c(n)
pm
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Introduzione
Struttura delmodello
Misurecoerenti
Analisi delproblema
Qualcheesempionumerico
Modello a treperiodi
Esempionumerico
Spazio di probabilita finito (Ω,A,P)Insieme dei tempi:I = 0, t1, · · · , tH |ti = ti−1 + K , i ≤ H, K > 0.rtiti∈I variabile aleatoria a valori in RModelliamo questo spazio di probabilita con uno scenario adalbero non necessariamente ricombinante : al tempo 0abbiamo il nodo radice N0.ogni nodo n al tempo ti avra un unico padre α(n) ∈ Nti−1 eun numero generico di figlio c(n) ∈ Nti+1 .Filtrazione Fti adattata alla partizione dei nodi Nti .Probabilita ottenuta assegnando dei pesi pn > 0 ai nodifinali tali che
∑n∈NtH
pn = 1 e ricorsivamente:
pn =∑
m∈c(n)
pm
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Struttura delmodello
Misurecoerenti
Analisi delproblema
Qualcheesempionumerico
Modello a treperiodi
Esempionumerico
Spazio di probabilita finito (Ω,A,P)Insieme dei tempi:I = 0, t1, · · · , tH |ti = ti−1 + K , i ≤ H, K > 0.rtiti∈I variabile aleatoria a valori in RModelliamo questo spazio di probabilita con uno scenario adalbero non necessariamente ricombinante : al tempo 0abbiamo il nodo radice N0.ogni nodo n al tempo ti avra un unico padre α(n) ∈ Nti−1 eun numero generico di figlio c(n) ∈ Nti+1 .Filtrazione Fti adattata alla partizione dei nodi Nti .Probabilita ottenuta assegnando dei pesi pn > 0 ai nodifinali tali che
∑n∈NtH
pn = 1 e ricorsivamente:
pn =∑
m∈c(n)
pm
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Introduzione
Struttura delmodello
Misurecoerenti
Analisi delproblema
Qualcheesempionumerico
Modello a treperiodi
Esempionumerico
Nel nostro modello, ipotizziamo che i tassi di interesse shortabbiano la seguente dinamica con rt0 = r0:
rti+1 =
rti + σ
√K con probabilita qti
rti − σ√K con probabilita 1− qti
dove σ > 0 e un parametro arbitrario e qti e la probabilita che itassi salgano in ti , probabilita fatta rispetto alla misuramartingala Q che dipende dallo stato in cui siamo e cheandremo a determinare.
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Struttura delmodello
Misurecoerenti
Analisi delproblema
Qualcheesempionumerico
Modello a treperiodi
Esempionumerico
Definendo il fattore di sconto D(tn, tN) =∑N−1
i=n exp(−Krti )e con p(th, tk) il prezzo di un T-bond che in th ci garantisceun unita monetaria in tk , si ha:
Teorema
p(th, tk) = EQ [D(th, tk)|Fth ]
ponendo h = 0, k = 2 si ha che:
p(0, t2) = EQ [exp(−K (r0 + rt1))] =
exp(−2Kr0)(exp(−Kσ√K )qt1 + exp(Kσ
√K )(1− qt1))
Esplicitando qt1 si ha:
qt1 =exp(Kσ
√K )(exp(Kσ
√K )− p(0, t2) exp(2Kr0))
exp(2Kσ√K )− 1
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Struttura delmodello
Misurecoerenti
Analisi delproblema
Qualcheesempionumerico
Modello a treperiodi
Esempionumerico
Definendo il fattore di sconto D(tn, tN) =∑N−1
i=n exp(−Krti )e con p(th, tk) il prezzo di un T-bond che in th ci garantisceun unita monetaria in tk , si ha:
Teorema
p(th, tk) = EQ [D(th, tk)|Fth ]
ponendo h = 0, k = 2 si ha che:
p(0, t2) = EQ [exp(−K (r0 + rt1))] =
exp(−2Kr0)(exp(−Kσ√K )qt1 + exp(Kσ
√K )(1− qt1))
Esplicitando qt1 si ha:
qt1 =exp(Kσ
√K )(exp(Kσ
√K )− p(0, t2) exp(2Kr0))
exp(2Kσ√K )− 1
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Introduzione
Struttura delmodello
Misurecoerenti
Analisi delproblema
Qualcheesempionumerico
Modello a treperiodi
Esempionumerico
Definendo il fattore di sconto D(tn, tN) =∑N−1
i=n exp(−Krti )e con p(th, tk) il prezzo di un T-bond che in th ci garantisceun unita monetaria in tk , si ha:
Teorema
p(th, tk) = EQ [D(th, tk)|Fth ]
ponendo h = 0, k = 2 si ha che:
p(0, t2) = EQ [exp(−K (r0 + rt1))] =
exp(−2Kr0)(exp(−Kσ√K )qt1 + exp(Kσ
√K )(1− qt1))
Esplicitando qt1 si ha:
qt1 =exp(Kσ
√K )(exp(Kσ
√K )− p(0, t2) exp(2Kr0))
exp(2Kσ√K )− 1
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Struttura delmodello
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Analisi delproblema
Qualcheesempionumerico
Modello a treperiodi
Esempionumerico
Figura: esempio di albero non ricombinante con la dinamica dei tassiche useremo nel modello
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Analisi delproblema
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Modello a treperiodi
Esempionumerico
Misure coerenti
Nella finanza moderna e diventato importante controllare ilrischio che puo derivare dagli investimenti, per prevenireperdite elevate. Una misura di rischio coerente ρ(z) con zche varia tra i possibili investimenti, deve godere di alcuneproprieta matematiche:
1 subadditivita ρ(z1 + z2) ≤ ρ(z1) + ρ(z2)
2 omogeneita βρ(z1) = ρ(βz1) β ∈ R3 monotonia ρ(z1) < ρ(z2) se z1 < z2
4 invarianza ρ(z1 + β) = ρ(z1)− β β ∈ R
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Struttura delmodello
Misurecoerenti
Analisi delproblema
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Modello a treperiodi
Esempionumerico
Misure coerenti
Nella finanza moderna e diventato importante controllare ilrischio che puo derivare dagli investimenti, per prevenireperdite elevate. Una misura di rischio coerente ρ(z) con zche varia tra i possibili investimenti, deve godere di alcuneproprieta matematiche:
1 subadditivita ρ(z1 + z2) ≤ ρ(z1) + ρ(z2)
2 omogeneita βρ(z1) = ρ(βz1) β ∈ R3 monotonia ρ(z1) < ρ(z2) se z1 < z2
4 invarianza ρ(z1 + β) = ρ(z1)− β β ∈ R
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Struttura delmodello
Misurecoerenti
Analisi delproblema
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Modello a treperiodi
Esempionumerico
Misure coerenti
Nella finanza moderna e diventato importante controllare ilrischio che puo derivare dagli investimenti, per prevenireperdite elevate. Una misura di rischio coerente ρ(z) con zche varia tra i possibili investimenti, deve godere di alcuneproprieta matematiche:
1 subadditivita ρ(z1 + z2) ≤ ρ(z1) + ρ(z2)
2 omogeneita βρ(z1) = ρ(βz1) β ∈ R3 monotonia ρ(z1) < ρ(z2) se z1 < z2
4 invarianza ρ(z1 + β) = ρ(z1)− β β ∈ R
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Struttura delmodello
Misurecoerenti
Analisi delproblema
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Modello a treperiodi
Esempionumerico
Misure coerenti
Nella finanza moderna e diventato importante controllare ilrischio che puo derivare dagli investimenti, per prevenireperdite elevate. Una misura di rischio coerente ρ(z) con zche varia tra i possibili investimenti, deve godere di alcuneproprieta matematiche:
1 subadditivita ρ(z1 + z2) ≤ ρ(z1) + ρ(z2)
2 omogeneita βρ(z1) = ρ(βz1) β ∈ R3 monotonia ρ(z1) < ρ(z2) se z1 < z2
4 invarianza ρ(z1 + β) = ρ(z1)− β β ∈ R
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Struttura delmodello
Misurecoerenti
Analisi delproblema
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Modello a treperiodi
Esempionumerico
Misure coerenti
Nella finanza moderna e diventato importante controllare ilrischio che puo derivare dagli investimenti, per prevenireperdite elevate. Una misura di rischio coerente ρ(z) con zche varia tra i possibili investimenti, deve godere di alcuneproprieta matematiche:
1 subadditivita ρ(z1 + z2) ≤ ρ(z1) + ρ(z2)
2 omogeneita βρ(z1) = ρ(βz1) β ∈ R3 monotonia ρ(z1) < ρ(z2) se z1 < z2
4 invarianza ρ(z1 + β) = ρ(z1)− β β ∈ R
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Struttura delmodello
Misurecoerenti
Analisi delproblema
Qualcheesempionumerico
Modello a treperiodi
Esempionumerico
Preliminari e CVaR
sia z = f (x ,Y ) la funzione perdita, con x ∈ X cherappresenta l’insieme delle possibili decisioni e Y unavariabile aleatoria (nel nostro modello Y = rtiti∈I ).Definendo la funzione da X × R a valori in R:
Fβ(x , t) = t +1
1− βEP
[f (x ,Y )− t]+
si ha che una misura di rischio importante in finanza e laseguente:
CVaRβ(z) = mint∈R
Fβ(z , t)
con β ∈ (0, 1) e detto livello di confidenza del CVaR.Nel caso discreto, in cui Y puo assumere solo valoriy1, · · · , yn con probabilita p1, · · · , pn allora:
CVaRβ(z) = mint∈R
t +1
1− β∑j
[f (z , yj)− t]+pj
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Struttura delmodello
Misurecoerenti
Analisi delproblema
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Modello a treperiodi
Esempionumerico
Preliminari e CVaR
sia z = f (x ,Y ) la funzione perdita, con x ∈ X cherappresenta l’insieme delle possibili decisioni e Y unavariabile aleatoria (nel nostro modello Y = rtiti∈I ).Definendo la funzione da X × R a valori in R:
Fβ(x , t) = t +1
1− βEP
[f (x ,Y )− t]+
si ha che una misura di rischio importante in finanza e laseguente:
CVaRβ(z) = mint∈R
Fβ(z , t)
con β ∈ (0, 1) e detto livello di confidenza del CVaR.Nel caso discreto, in cui Y puo assumere solo valoriy1, · · · , yn con probabilita p1, · · · , pn allora:
CVaRβ(z) = mint∈R
t +1
1− β∑j
[f (z , yj)− t]+pj
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Modello a treperiodi
Esempionumerico
Preliminari e CVaR
sia z = f (x ,Y ) la funzione perdita, con x ∈ X cherappresenta l’insieme delle possibili decisioni e Y unavariabile aleatoria (nel nostro modello Y = rtiti∈I ).Definendo la funzione da X × R a valori in R:
Fβ(x , t) = t +1
1− βEP
[f (x ,Y )− t]+
si ha che una misura di rischio importante in finanza e laseguente:
CVaRβ(z) = mint∈R
Fβ(z , t)
con β ∈ (0, 1) e detto livello di confidenza del CVaR.Nel caso discreto, in cui Y puo assumere solo valoriy1, · · · , yn con probabilita p1, · · · , pn allora:
CVaRβ(z) = mint∈R
t +1
1− β∑j
[f (z , yj)− t]+pj
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Struttura delmodello
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Analisi delproblema
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Modello a treperiodi
Esempionumerico
La funzione perdita che andremo a limitare con il CVaR e laseguente:
zn = Cn − EP [C ] n ∈ NtH
La funzione che decidiamo di minimizzare e il valor mediodei costi finali usando una probabilita uniforme , ovvero:
EP [C ] =
∑n∈NtH
Cn
|NtH |
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Struttura delmodello
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Analisi delproblema
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Modello a treperiodi
Esempionumerico
Analisi del modello nel caso generale
Lo Stato al tempo t0, per coprirsi da un debito precedentequantificato con K0 puo emettere j titoli: BOT a scadenzain t1 e BTP a scadenza in t2, · · · , tj che prevedonopagamento di cedola ad ogni istante.
Vettore delle uscite dello Stato al tempo tn del j-esimo titoloe: d j
tn,tm = 1A(n)(j) 1D(tn,tm) + c jtm1B(n)(j)
A(n) = BOT che scadono al tempo tn;B(n) = BTP con pagamento di cedola al tempo tn;c jtm = cedola per il BTP emesso alla pari a scadenza in tmIl valore della cedola per un titolo emesso in tn e a scadenzain tm e determinato dalla seguente espressione:
ctn(tm) =1− p(tn, tm)
K (∑m
j=n+1 p(tn, tj))
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Introduzione
Struttura delmodello
Misurecoerenti
Analisi delproblema
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Modello a treperiodi
Esempionumerico
Analisi del modello nel caso generale
Lo Stato al tempo t0, per coprirsi da un debito precedentequantificato con K0 puo emettere j titoli: BOT a scadenzain t1 e BTP a scadenza in t2, · · · , tj che prevedonopagamento di cedola ad ogni istante.
Vettore delle uscite dello Stato al tempo tn del j-esimo titoloe: d j
tn,tm = 1A(n)(j) 1D(tn,tm) + c jtm1B(n)(j)
A(n) = BOT che scadono al tempo tn;B(n) = BTP con pagamento di cedola al tempo tn;c jtm = cedola per il BTP emesso alla pari a scadenza in tmIl valore della cedola per un titolo emesso in tn e a scadenzain tm e determinato dalla seguente espressione:
ctn(tm) =1− p(tn, tm)
K (∑m
j=n+1 p(tn, tj))
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Introduzione
Struttura delmodello
Misurecoerenti
Analisi delproblema
Qualcheesempionumerico
Modello a treperiodi
Esempionumerico
Analisi del modello nel caso generale
Lo Stato al tempo t0, per coprirsi da un debito precedentequantificato con K0 puo emettere j titoli: BOT a scadenzain t1 e BTP a scadenza in t2, · · · , tj che prevedonopagamento di cedola ad ogni istante.
Vettore delle uscite dello Stato al tempo tn del j-esimo titoloe: d j
tn,tm = 1A(n)(j) 1D(tn,tm) + c jtm1B(n)(j)
A(n) = BOT che scadono al tempo tn;B(n) = BTP con pagamento di cedola al tempo tn;c jtm = cedola per il BTP emesso alla pari a scadenza in tmIl valore della cedola per un titolo emesso in tn e a scadenzain tm e determinato dalla seguente espressione:
ctn(tm) =1− p(tn, tm)
K (∑m
j=n+1 p(tn, tj))
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Un modellodi program-
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titoli di Stato
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Introduzione
Struttura delmodello
Misurecoerenti
Analisi delproblema
Qualcheesempionumerico
Modello a treperiodi
Esempionumerico
Modello a due periodi: j = 2
Lo Stato emette BOT a scadenza in t1 e BTP a scadenza in t2
con pagamento di cedola al tempo t1. Per coprirsi da questipagamenti, in t1 emette ulteriori BOT a scadenza in t2. Sia u1
il numero di BOT emessi, u2 numero di BTP emessi(u1 + u2 = K0). Si ha che:
d1u,0 = d1
d ,0 = exp(Kr0), d2u,0 = d2
d ,0 = c0(t2)
Dunque i BOT emessi al tempo t1 sono:u3 = exp(Kr0)u1 + c0(t2)u2
I costi totali in t2 sono due e dipendono se il mercato tra[t1, t2] e salito o sceso.Cuu = exp(K (2r0 + σ
√K ))u1 + (exp(K (r0 + σ
√K ))c0(t2) +
1 + c0(t2))u2
Cdd = exp(K (2r0 − σ√K ))u1 + (exp(K (r0 − σ
√K ))c0(t2) +
1 + c0(t2))u2
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Un modellodi program-
mazionestocastica per
l’emissioneottimale dei
titoli di Stato
FrancescoCastelli
Introduzione
Struttura delmodello
Misurecoerenti
Analisi delproblema
Qualcheesempionumerico
Modello a treperiodi
Esempionumerico
Modello a due periodi: j = 2
Lo Stato emette BOT a scadenza in t1 e BTP a scadenza in t2
con pagamento di cedola al tempo t1. Per coprirsi da questipagamenti, in t1 emette ulteriori BOT a scadenza in t2. Sia u1
il numero di BOT emessi, u2 numero di BTP emessi(u1 + u2 = K0). Si ha che:
d1u,0 = d1
d ,0 = exp(Kr0), d2u,0 = d2
d ,0 = c0(t2)
Dunque i BOT emessi al tempo t1 sono:u3 = exp(Kr0)u1 + c0(t2)u2
I costi totali in t2 sono due e dipendono se il mercato tra[t1, t2] e salito o sceso.Cuu = exp(K (2r0 + σ
√K ))u1 + (exp(K (r0 + σ
√K ))c0(t2) +
1 + c0(t2))u2
Cdd = exp(K (2r0 − σ√K ))u1 + (exp(K (r0 − σ
√K ))c0(t2) +
1 + c0(t2))u2
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Struttura delmodello
Misurecoerenti
Analisi delproblema
Qualcheesempionumerico
Modello a treperiodi
Esempionumerico
Modello a due periodi: j = 2
Lo Stato emette BOT a scadenza in t1 e BTP a scadenza in t2
con pagamento di cedola al tempo t1. Per coprirsi da questipagamenti, in t1 emette ulteriori BOT a scadenza in t2. Sia u1
il numero di BOT emessi, u2 numero di BTP emessi(u1 + u2 = K0). Si ha che:
d1u,0 = d1
d ,0 = exp(Kr0), d2u,0 = d2
d ,0 = c0(t2)
Dunque i BOT emessi al tempo t1 sono:u3 = exp(Kr0)u1 + c0(t2)u2
I costi totali in t2 sono due e dipendono se il mercato tra[t1, t2] e salito o sceso.Cuu = exp(K (2r0 + σ
√K ))u1 + (exp(K (r0 + σ
√K ))c0(t2) +
1 + c0(t2))u2
Cdd = exp(K (2r0 − σ√K ))u1 + (exp(K (r0 − σ
√K ))c0(t2) +
1 + c0(t2))u2
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Struttura delmodello
Misurecoerenti
Analisi delproblema
Qualcheesempionumerico
Modello a treperiodi
Esempionumerico
Soluzione a due periodi
p(0, t2) verra scambiato con questi vincoli:exp(K (−2r0 − σ
√K )) < p(0, t2) < exp(K (−2r0 + σ
√K )).
i) Emissione ottimale u1 = 0, u2 = K0 se
p(0, t2) >(1− K ) exp(K (r0 − σ
√K )) + 1 + K exp(−Kr0)
exp(K (r0 − σ√K ))(1 + K exp(Kr0)) + 1− K
ii) Emissione ottimale u1 = K0, u2 = 0 se:
p(0, t2) <(1− K ) exp(K (r0 + σ
√K )) + 1 + K exp(−Kr0)
exp(K (r0 + σ√K ))(1 + K exp(Kr0)) + 1− K
iii) Se non valgono le precedenti, allora l’emissione ottimale edata dal rischio ρ che decidiamo di correre. Il vincolo e:
u2 =
2βρ exp(K(−r0+σ√K))
(1−β)(exp(2Kσ√K)−1)
− K0 exp(Kr0)
c20 − exp(Kr0)
, u1 = K0 − u2
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Struttura delmodello
Misurecoerenti
Analisi delproblema
Qualcheesempionumerico
Modello a treperiodi
Esempionumerico
Supponiamo di avere i seguenti dati numerici:
K = 1; r0 = 0.03; σ = 0.01; K0 = 100;
Sostituendo i dati numerici abbiamo:
0.932394 < p(0, t2) < 0.951229
La i) e la ii) del teorema sono rispettivamente:
p(0, t2) > 0.951229
p(0, t2) < 0.932394
nessuna delle due puo essere soddisfatta: non esiste un valoredi p(0, t2) accettabile per cui convenga emettere solo BOT oBTP. Il vincolo sull’indice di rischio diventa:
u2 = 98.6514− 468.586ρ
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Struttura delmodello
Misurecoerenti
Analisi delproblema
Qualcheesempionumerico
Modello a treperiodi
Esempionumerico
20 40 60 80 100 120 140rho
20
40
60
80
100bond emessi
Figura: Grafico delle emissioni ottimali che minimizza il costo medioall’aumentare dell’indice di rischio sull’asse x (varia da 0.3 a 15 apassi di 0.1) con p(0, t2) = 0.955
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Struttura delmodello
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Qualcheesempionumerico
Modello a treperiodi
Esempionumerico
Modello a tre periodi
Lo Stato emette in t0 BOT a scadenza in t1 e BTP a scadenzain t2 e t3 per coprire un debito creato precedentemente.In t1 emette BOT a scadenza in t2 e BTP a scadenza in t3.In t2 emette BOT a scadenza in t3.u1=BOT emesso in t0; u2=BTP in t0 a scadenza in t2
u3=BTP in t0 a scadenza in t3
u4=BOT emesso in t1 se rt1 = ru; u5 BTP emesso in t1 sert1 = ruu7=BOT emesso in t1 se rt1 = rd , u8 BTP emesso in t1 sert1 = rdCedole:
c0(t2) =1− p(0, t2)
K (exp(−Kr0) + p(0, t2))
c0(t3) =1− p(0, t3)
K (exp(−Kr0) + p(0, t2) + p(0, t3))
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Modello a treperiodi
Esempionumerico
La cedola per i BTP emessi in t1 e a scadenza in t3 dipende setra [t0, t1] i tassi sono saliti oppure scesi. Si ha che:
cu(t3) =1− pu(t1, t3)
K (exp(−K (r0 + σ√K )) + pu(t1, t3))
cd(t3) =1− pd(t1, t3)
K (exp(−K (r0 − σ√K )) + pd(t1, t3))
Abbiamo che:
pu(t1, t3) = EQ [D(t1, t3)|rt1 = ru]
pd(t1, t3) = EQ [D(t1, t3)|rt1 = rd ]
I quali devono soddisfare alle seguenti condizioni:
exp(K (−3r0 − 3σ√K )) < pu(t1, t3) < exp(K (−3r0 − σ
√K ))
exp(K (−3r0 + σ√K )) < pd(t1, t3) < exp(K (−3r0 + 3σ
√K ))
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Qualcheesempionumerico
Modello a treperiodi
Esempionumerico
Al tempo t1 le spese dello Stato sono date del BOT scaduto edal pagamento delle cedole. Questa spesa e la stessa in tutti gliscenari perche non dipende dall’andamento dei tassi.
d1u,0 = exp(Kr0) = d1
d ,0 d2u,0 = c0(t2) = d2
d ,0
d3u,0 = c0(t3) = d3
d ,0
u4 + u5 = u7 + u8 = exp(Kr0)u1 + c0(t2)u2 + c0(t3)u3
Al tempo t2 scade u2 e u4 oppure u7. Detto u6 il BOT emessoin t2 se rt1 = ru e u9 il BOT emesso se rt1 = rd si ha:
u6 = exp(K (r0 +σ√K ))u4 +cu(t3)u5 +(1+c0(t2))u2 +c0(t3)u3
u9 = exp(K (r0−σ√K ))u7 +cd(t3)u8 +(1+c0(t2))u2 +c0(t3)u3
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Modello a treperiodi
Esempionumerico
Costi finali
In t3 scadono il BOT emesso in t2 e i BTP emessi in t1 e in t0
Abbiano in definitiva 4 possibili scenari e dunque costi:Cuuu = (1 + c2
0 ) exp(K (r0 + 2σ√K ))u2+
exp(K (r0+2σ√K ))c0(t3)+1+c0(t3))u3+(exp(K (2r0+3σ
√K ))u4+
(exp(K (r0 + 2σ√K ))cu(t3) + 1 + cu(t3))u5;
Cudu = (1+c0(t2)) exp(Kr0)u2 +(exp(Kr0)c0(t3)+1+c0(t3))u3
(exp(K (2r0 + σ√K ))u4 + (exp(Kr0)cu(t3) + 1 + cu(t3))u5;
Cduu = (1+c0(t2)) exp(Kr0)u2 +(exp(Kr0)c0(t3)+1+c0(t3))u3
(exp(K (2r0 − σ√K ))u7 + (exp(Kr0)cd(t3) + 1 + cd(t3))u8;
Cddu = (1 + c0(t2)) exp(K (r0 − 2σ√K ))u2+
(exp(K (r0−2σ√K ))c0(t3)+1+c0(t3))u3+(exp(K (2r0−3σ
√K ))u8
+(exp(K (r0 − 2σ√K ))cd(t3) + 1 + cd(t3))u8;
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Modello a treperiodi
Esempionumerico
Emissioni ottimali in t1 nel caso rt1= ru
i) Emissione u5 = exp(Kr0)u1 + c0(t2)u2 + c0(t3)u3, u4 = 0se
pu(t1, t3) >(1− K ) exp(Kr0) + 1 + K exp(−K (r0 + σ
√K ))
1− K + exp(Kr0)(1 + K exp(K (r0 + σ√K ))
ii) Emissione u5 = 0, u4 = exp(Kr0)u1 + c0(t2)u2 + c0(t3)u3
se pu(t1, t3) <
(1− K ) exp(K (r0 + 2σ√K )) + 1 + K exp(−K (r0 + σ
√K ))
1− K + exp(K (r0 + 2σ√K )))(1 + K exp(K (r0 + σ
√K ))
iii) Nel caso non dovessero valere i),ii), vincolo CVaRβ:
t +λ1 + λ2 + λ3 + λ4
2(1− β)< ρ
Cuuu−E [C ]−t < λ1, λ1 > 0; Cudu−E [C ]−t < λ2, λ2 > 0;Cduu−E [C ]−t < λ3, λ3 > 0; Cddu−E [C ]−t < λ4, λ4 > 0;
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Struttura delmodello
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Modello a treperiodi
Esempionumerico
Emissioni ottimali in t1 nel caso rt1= ru
i) Emissione u5 = exp(Kr0)u1 + c0(t2)u2 + c0(t3)u3, u4 = 0se
pu(t1, t3) >(1− K ) exp(Kr0) + 1 + K exp(−K (r0 + σ
√K ))
1− K + exp(Kr0)(1 + K exp(K (r0 + σ√K ))
ii) Emissione u5 = 0, u4 = exp(Kr0)u1 + c0(t2)u2 + c0(t3)u3
se pu(t1, t3) <
(1− K ) exp(K (r0 + 2σ√K )) + 1 + K exp(−K (r0 + σ
√K ))
1− K + exp(K (r0 + 2σ√K )))(1 + K exp(K (r0 + σ
√K ))
iii) Nel caso non dovessero valere i),ii), vincolo CVaRβ:
t +λ1 + λ2 + λ3 + λ4
2(1− β)< ρ
Cuuu−E [C ]−t < λ1, λ1 > 0; Cudu−E [C ]−t < λ2, λ2 > 0;Cduu−E [C ]−t < λ3, λ3 > 0; Cddu−E [C ]−t < λ4, λ4 > 0;
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Modello a treperiodi
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Emissioni ottimali in t1 nel caso rt1= ru
i) Emissione u5 = exp(Kr0)u1 + c0(t2)u2 + c0(t3)u3, u4 = 0se
pu(t1, t3) >(1− K ) exp(Kr0) + 1 + K exp(−K (r0 + σ
√K ))
1− K + exp(Kr0)(1 + K exp(K (r0 + σ√K ))
ii) Emissione u5 = 0, u4 = exp(Kr0)u1 + c0(t2)u2 + c0(t3)u3
se pu(t1, t3) <
(1− K ) exp(K (r0 + 2σ√K )) + 1 + K exp(−K (r0 + σ
√K ))
1− K + exp(K (r0 + 2σ√K )))(1 + K exp(K (r0 + σ
√K ))
iii) Nel caso non dovessero valere i),ii), vincolo CVaRβ:
t +λ1 + λ2 + λ3 + λ4
2(1− β)< ρ
Cuuu−E [C ]−t < λ1, λ1 > 0; Cudu−E [C ]−t < λ2, λ2 > 0;Cduu−E [C ]−t < λ3, λ3 > 0; Cddu−E [C ]−t < λ4, λ4 > 0;
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Struttura delmodello
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Analisi delproblema
Qualcheesempionumerico
Modello a treperiodi
Esempionumerico
Emissioni ottimali in t1 nel caso rt1= rd
i) Emissione ottimale u8 = exp(Kr0)u1 + c0(t2)u2 + c0(t3)u3
u7 = 0 se pd(t1, t3) >
(1− K ) exp(K (r0 − 2σ√K )) + 1 + K exp(−K (r0 − σ
√K ))
1− K + exp(K (r0 − 2σ√K ))(1 + K exp(K (r0 − σ
√K ))
ii) Emissione ottimale data da u8 = 0u7 = exp(Kr0)u1 + c0(t2)u2 + c0(t3)u3 se:
pd(t1, t3) <(1− K ) exp(Kr0) + 1 + K exp(−K (r0 − σ
√K ))
1− K + exp(Kr0)(1 + K exp(K (r0 − σ√K ))
iii) Nel caso non dovessero valere i),ii), vincolo CVaRβ:
t +λ1 + λ2 + λ3 + λ4
2(1− β)< ρ
Cuuu−E [C ]−t < λ1, λ1 > 0; Cudu−E [C ]−t < λ2, λ2 > 0;Cduu−E [C ]−t < λ3, λ3 > 0; Cddu−E [C ]−t < λ4, λ4 > 0;
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Struttura delmodello
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Analisi delproblema
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Modello a treperiodi
Esempionumerico
Emissioni ottimali in t1 nel caso rt1= rd
i) Emissione ottimale u8 = exp(Kr0)u1 + c0(t2)u2 + c0(t3)u3
u7 = 0 se pd(t1, t3) >
(1− K ) exp(K (r0 − 2σ√K )) + 1 + K exp(−K (r0 − σ
√K ))
1− K + exp(K (r0 − 2σ√K ))(1 + K exp(K (r0 − σ
√K ))
ii) Emissione ottimale data da u8 = 0u7 = exp(Kr0)u1 + c0(t2)u2 + c0(t3)u3 se:
pd(t1, t3) <(1− K ) exp(Kr0) + 1 + K exp(−K (r0 − σ
√K ))
1− K + exp(Kr0)(1 + K exp(K (r0 − σ√K ))
iii) Nel caso non dovessero valere i),ii), vincolo CVaRβ:
t +λ1 + λ2 + λ3 + λ4
2(1− β)< ρ
Cuuu−E [C ]−t < λ1, λ1 > 0; Cudu−E [C ]−t < λ2, λ2 > 0;Cduu−E [C ]−t < λ3, λ3 > 0; Cddu−E [C ]−t < λ4, λ4 > 0;
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Introduzione
Struttura delmodello
Misurecoerenti
Analisi delproblema
Qualcheesempionumerico
Modello a treperiodi
Esempionumerico
Emissioni ottimali in t1 nel caso rt1= rd
i) Emissione ottimale u8 = exp(Kr0)u1 + c0(t2)u2 + c0(t3)u3
u7 = 0 se pd(t1, t3) >
(1− K ) exp(K (r0 − 2σ√K )) + 1 + K exp(−K (r0 − σ
√K ))
1− K + exp(K (r0 − 2σ√K ))(1 + K exp(K (r0 − σ
√K ))
ii) Emissione ottimale data da u8 = 0u7 = exp(Kr0)u1 + c0(t2)u2 + c0(t3)u3 se:
pd(t1, t3) <(1− K ) exp(Kr0) + 1 + K exp(−K (r0 − σ
√K ))
1− K + exp(Kr0)(1 + K exp(K (r0 − σ√K ))
iii) Nel caso non dovessero valere i),ii), vincolo CVaRβ:
t +λ1 + λ2 + λ3 + λ4
2(1− β)< ρ
Cuuu−E [C ]−t < λ1, λ1 > 0; Cudu−E [C ]−t < λ2, λ2 > 0;Cduu−E [C ]−t < λ3, λ3 > 0; Cddu−E [C ]−t < λ4, λ4 > 0;
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Esempio numerico
r0 = 0.05;σ = 0.02;K = 1; K0 = 100p(0, t2) = 0.9078. Con questi dati, esplicitando p(0, t3) si hache:
0.858449 < p(0, t3) < 0.870176
Le i) dei teoremi precedenti (caso rt1 = ru e rt1 = rd) sonorispettivamente soddisfatte se:
p(0, t3) > 0.870176 p(0, t3) > 0.894904
Che non possono essere soddisfatte.Le ii) dei teoremi precedenti (caso rt1 = ru e rt1 = rd) sonosoddisfatte se:
p(0, t3) < 0.837844 p(0, t3) < 0.858449
Che non vengono soddisfatte. Quindi valgono le iii) dei teoremi.Supponiamo p(0, t3) = 0.86 e facciamo variare l’indice dirischio ρ tra 0.35 e 5 a passi di 0.01.
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Struttura delmodello
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Analisi delproblema
Qualcheesempionumerico
Modello a treperiodi
Esempionumerico
100 200 300 400rho
20
40
60
80
100
bond emessi in t0
Figura: Linea rossa BOT a scadenza t1. Blu BTP scadenza t2, gialloBTP scadenza t3
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Struttura delmodello
Misurecoerenti
Analisi delproblema
Qualcheesempionumerico
Modello a treperiodi
Esempionumerico
100 200 300 400rho
20
40
60
80
100
bond caso ru
Figura: Se rt1 = ru conviene emettere in t1 BTP a scadenza in t3.
100 200 300 400rho
20
40
60
80
100
bond caso rd
Figura: Emissioni nel caso rt1 = rdFrancesco Castelli (Universita di Padova) Un modello di programmazione stocastica per l’emissione ottimale dei titoli di Stato3 Ottobre 2011 24 / 24
