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Un Modelo Estoc´ astico para un Brote de Dengue Cl´ asico Cristian Garc´ ıa Cubillos * Grupo de Modelaci´ on Matem´ atica en Epidemiolog´ ıa (GMME) Director: Dr. An´ ıbal Mu˜ noz Loaiza Facultad de Educaci´ on Programa de licenciatura en matem´ aticas Universidad del Quind´ ıo Armenia - Colombia RESUMEN En este art´ ıculo se construye, interpreta y analiza la din´ amica de un brote de dengue cl´ asico correspondiente a un proceso estoc´ astico markoviano continuo. En el modelo propuesto se utiliza la teor´ ıa de las funciones generadoras de (probabilidad, momen- tos, cumulante) para deducir las ecuaciones diferenciales con variables estoc´asticas, en el cual se mostraran simulaciones de un modelo estoc´ astico para un brote de denguecl´asico. Palabras claves: Proceso Estoc´astico, Proceso MarKoviano, Proceso Continuo, funciones generadoras, Modelo din´ amico. 1. Introducci´ on El Aedes aegypti es el agente transmisor de la enfermedad viral conocida como dengue en los seres humanos. El virus es de la familia flaviviridae del grupo o genero flavivirus y del complejo o subgrupo II. Se conocen cuatro serotipos del virus del dengue antig´ eneticamente diferentes DEN (I,II,III,IV). la primera vez que una per- sona es contagiada por cualquiera de estos cuatro virus adquiere el dengue cl´ asico, el cual genera inmunidad especifica contra este serotipo [19]. El mosquito hembra A.aegypti es hematof´ ofago, es decir se alimenta de sangre de los mam´ ıferos entre ellos el ser humano. La diseminaci´on de la enfermedad est´ a in- fluenciada por el desplazamiento del humano infectado, como ocurre con los viajeros * Correspondencia [email protected] 1

UN MODELO ESTOCASTICO PARA UN BROTE DE DENGUE CLASICO

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En este artIculo se construye, interpreta y analiza la dinIamica de un brote de dengue clasico correspondiente a un proceso estocastico markoviano continuo.

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Page 1: UN MODELO ESTOCASTICO PARA UN BROTE DE DENGUE CLASICO

Un Modelo Estocastico para un Brote de DengueClasico

Cristian Garcıa Cubillos *

Grupo de Modelacion Matematica en Epidemiologıa (GMME)Director: Dr. Anıbal Munoz Loaiza

Facultad de EducacionPrograma de licenciatura en matematicas

Universidad del QuindıoArmenia - Colombia

RESUMEN

En este artıculo se construye, interpreta y analiza la dinamica de un brote de dengueclasico correspondiente a un proceso estocastico markoviano continuo. En el modelopropuesto se utiliza la teorıa de las funciones generadoras de (probabilidad, momen-tos, cumulante) para deducir las ecuaciones diferenciales con variables estocasticas,en el cual se mostraran simulaciones de un modelo estocastico para un brote dedengue clasico.

Palabras claves: Proceso Estocastico, Proceso MarKoviano, Proceso Continuo,funciones generadoras, Modelo dinamico.

1. Introduccion

El Aedes aegypti es el agente transmisor de la enfermedad viral conocida comodengue en los seres humanos. El virus es de la familia flaviviridae del grupo o generoflavivirus y del complejo o subgrupo II. Se conocen cuatro serotipos del virus deldengue antigeneticamente diferentes DEN (I,II,III,IV). la primera vez que una per-sona es contagiada por cualquiera de estos cuatro virus adquiere el dengue clasico,el cual genera inmunidad especifica contra este serotipo [19].

El mosquito hembra A.aegypti es hematofofago, es decir se alimenta de sangre delos mamıferos entre ellos el ser humano. La diseminacion de la enfermedad esta in-fluenciada por el desplazamiento del humano infectado, como ocurre con los viajeros

*Correspondencia [email protected]

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o turistas, ya que se pueden desplazar, rapidamente de un lugar a otro por medio decualquier transporte aereo o terrestre, y ası poder volver a infectar otras personassusceptibles y propagar el virus de una forma rapida y efectiva. [6] [15] [27].

En relacion a modelos estocasticos, en el ano 1999. El frances Rachid Lounes y Elcubano Hector de Arazoza, han trabajado sobre un modelo de VIH/SIDA para elprograma nacional cubano. Pero Actualmente se desconocen estudios matematicosreferentes a un proceso Estocastico continuo bivariado no homogeneo con estadosdiscretos y tasas de flujos de poisson que interprete la dinamica de un brote dedengue clasico [1].

En la epidemiologıa matematica es de gran interes estudiar fenomenos epidemiologi-cos que tienen una rapida evolucion en intervalos cortos de tiempo, considerandoloscomo procesos estocasticos continuos de estados discretos mediante ecuaciones difer-enciales ordinarias para las variables promedio.

La presente investigacion considera la dinamica de un brote de dengue como un pro-ceso estocastico continuo bivariado no homogeneo, con estados discretos y tasas deflujos de poisson, el cual mediante la teorıa de las funciones generadoras (probabil-idad, momentos, cumulantes) se transforma en sistema de ecuaciones diferencialesordinarias para los primeros momentos (promedios, varianzas, covarianzas).

La descripcion metodologica del modelo matematico se realiza mediante la inter-pretacion del fenomeno biologico y un sistema de ecuaciones de probabilidad detransicion infinitesimal del cual se deduce la ecuacion diferencial en diferencias parala funcion de distribucion de probabilidad y la Ecuacion diferencial parcial de dichafuncion de la cual se obtiene la E.D.P correspondiente a la funcion generadora cu-mulante, la cual se expande utilizando series de taylor e igualando coeficientes paralos momentos, se obtiene el sistema determinıstico con variables estocasticas.

2. El Modelo

Se interpreta la dinamica de transmision del dengue clasico como un proceso bi-variado, continuo no homogeneo con estados discretos y tasas de flujos de poisson.donde (X(t), Y(t)) son variables aleatorias (v.a) y µ, θ, ω, β son tasas de transicion.La dinamica se describe en el siguiente diagrama compartimental.

Las variables y parametros del modelo son:

X : Numero promedio de personas susceptibles en un tiempo t.

Y : Numero promedio de personas infectadas en un tiempo t.

µ : Tasa de natalidad constante igual a la tasa de muerte natural.

θ : Tasa de recuperacion de las personas infectadas.

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µN // onmlhijkX(t)ρ(t)x //

��

Y (t)

��

// θy

µx µy

Figura 1: Dinamica de un brote de dengue clasico

ρ(t) : Funcion periodica de transmision del virus del dengue.

3. Analisis del Modelo Matematico

(1.) Ecuaciones de probabilidad de transicion infinitesimal

El sistema de ecuaciones de probabilidad de transicion infinitesimal de la dinamicaes:

P{X(t+δt) = x+1, Y (t+δt) = y / X(t) = x, Y (t) = y} =

= µNδt+ σ(δt) (1)

P{X(t+δt) = x−1, Y (t+δt) = y+1 / X(t) = x, Y (t) = y} =

= ρ(t)xδt+ σ(δt) (2)

P{X(t+δt) = x−1, Y (t+δt) = y / X(t) = x, Y (t) = y} =

= µxδt+ σ(δt) (3)

P{X(t+δt) = x, Y (t+δt) = y−1 / X(t) = x, Y (t) = y} =

= ωyδt+ σ(δt) (4)

P{X(t+ δt) = x, Y (t+ δt) = y / X(t) = x, Y (t) = y} =

= 1− {µN + ρ(t)x+ µx+ ωy}δt+ σ(δt) (5)

donde, ω = θ + µ.

(2.) Ecuacion diferencial en diferencias

La ecuacion diferencial en diferencias de la distribucion de probabilidad:

px,y(t+ δt) =∑x,y≥0

P{X(t+ δt) = x, Y (t+ δt) = y/X(t) = x, Y (t) = y}px,y(t)

(6)del sistema anterior y la definicion se obtiene:

px,y(t+δt) = µNpx−1,y(t)δt+ρ(t)(x+1)px+1,y−1(t)δt+µ(x+1)px+1,y(t)δt+

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+ω(y + 1)px,y+1(t)δt+ {1− [µN + ρ(t)x+ µx+ ωy]δt}px,y(t) (7)

donde, lımδt→0

σ(δt)δt

= 0, X(0) = x0, Y (0) = 0.

px,y(t+ δt)− px,y(t)δt

= µNpx−1,y(t)+ρ(t)(x+1)px+1,y−1(t)+µ(x+1)px+1,y(t)+

+ω(y + 1)px,y+1(t)− µNpx,y(t)− ρ(t)xpx,y(t)− µxpx,y(t)− ωypx,y(t) (8)

Si δt→0 entonces, se obtiene la ecuacion diferencial en diferencias:

dpx,y(t)

dt= µNpx−1,y(t)+ρ(t)(x+1)px+1,y−1(t)+µ(x+1)px+1,y(t)+

+ω(y + 1)px,y+1(t)− µNpx,y(t)− ρ(t)xpx,y(t)− µxpx,y(t)− ωypx,y(t) (9)

(3.) Funcion generadora de probabilidad (f.g.p)

La funcion generadora de probabilidad (f.g.p) para un proceso bivariado, ((X(t), Y (t)) :t ≥ 0 : esta definida ası:

φ(u, v, t) =∑x,y≥0

uxvypx,y(t) (10)

se deduce la ecuacion diferencial parcial correspondiente a dicha funcion. Derivandoparcialmente la ecuacion (3.10) con respecto a t, obtenemos:

∂φ

∂t=

∑x,y≥0

uxvydpx,y(t)

dt(11)

sustituyendo la ecuacion (3.9) en la ecuacion (3.11) obtenemos:

∂φ

∂t=

∑x,y≥0

uxvy{µNpx−1,y(t)+ρ(t)(x+1)px+1,y−1(t)+µ(x+1)px+1,y(t)

+ω(y+ 1)px,y+1(t)−µNpx,y(t)−ρ(t)xpx,y(t)−µxpx,y(t)−ωypx,y(t)} (12)

distribuyendo la sumatoria en cada factor y factorizando las constantes obtenemos:

∂φ

∂t= µN

∑x,y≥0

ux+1vypx,y(t) + ρ(t)∑x,y≥0

ux−1vy+1xpx,y(t) + µ∑x,y≥0

ux−1vyxpx,y(t)

+w∑x,y≥0

uxvy−1ypx,y(t)− µN∑x,y≥0

uxvypx,y(t)− ρ(t)∑x,y≥0

uxvyxpx,y(t)

−µ∑x,y≥0

uxvyxpx,y(t)− ω∑x,y≥0

uxvyypx,y(t) (13)

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Page 5: UN MODELO ESTOCASTICO PARA UN BROTE DE DENGUE CLASICO

retomando la ecuacion (3.10) tenemos:

uφ(u, v, t) =∑x,y≥0

ux+1vypx,y(t) (14)

∂φ

∂u=

∑x,y≥0

xux−1vypx,y(t) (15)

v∂φ

∂u=

∑x,y≥0

xux−1vy+1px,y(t) (16)

∂φ

∂v=

∑x,y≥0

uxyvy−1px,y(t) (17)

u∂φ

∂u=

∑x,y≥0

xuxvypx,y(t) (18)

v∂φ

∂v=

∑x,y≥0

yuxvypx,y(t) (19)

sustituyendo las ecuaciones (3.14) a la (3.19) y (3.10) en la ecuacion (3.13)obtenemos:

∂φ

∂t= µNuφ+ρ(t)v

∂φ

∂u+µ

∂φ

∂u+ω

∂φ

∂v−µNφ−ρ(t)u

∂φ

∂u−µu∂φ

∂u−ωv∂φ

∂v(20)

factorizando µNφ, ∂φ∂u

y ∂φ∂v

obtenemos:

∂φ

∂t= µNφ(u− 1) + [ρ(t)v+ u]

∂φ

∂u− (ρ(t) + µ)u

∂φ

∂u+ (1− v)ω

∂φ

∂v(21)

la ecuacion diferencial parcial correspondiente a la (f.g.p)

∂φ

∂t= µNφ(u−1)+[ρ(t)(v−u)+u(1−µ)]

∂φ

∂u+(1−v)ω

∂φ

∂v(22)

(4.) E.D.P de la funcion generadora cumulante (f.g.c)

Por definicion la funcion generadora cumulante (f.g.c) es el logaritmo natural de la(f.g.p)

K(α, λ, t) = lnφ(u, v, t) Donde, u = eα, v = eλ (23)

derivando la ecuacion (3.23) con respecto a t, α, λ y despejando en terminos de φobtenemos:

5

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∂K

∂t=

1

φ

∂φ

∂t⇔ ∂φ

∂t= φ

∂K

∂t(24)

∂K

∂α=

1

φ

∂φ

∂ueα ⇔ ∂φ

∂u= φe−α

∂K

∂α(25)

∂K

∂λ=

1

φ

∂φ

∂veλ ⇔ ∂φ

∂v= φe−λ

∂K

∂λ(26)

reemplazando las ecuaciones (3.23) a la (3.26) en la ecuacion (3.22) obtenemos:

φ∂K

∂t= µNφ(eα−1)+[ρ(t)(eλ−eα)+eα(1−µ)]φe−α

∂K

∂α+ω(1−eλ)φe−λ∂K

∂λ(27)

dividiendo entre φ y distribuyendo u = eα y v = eλ. La ecuacion diferencialparcial para la (f.g.c)

∂K

∂t= µN(eα − 1) + [ρ(t)(eλ−α − 1) + (1− µ)]

∂K

∂α+ ω(e−λ − 1)

∂K

∂λ(28)

(5.) Expandir en series de Taylor

Expandiendo las funciones eα, e−α, eλ, e−λ en series de Taylor, tenemos:

eα =∞∑i=0

αi

i!= 1+α+

1

2!α2+· · · , e−α =

∞∑i=0

(−1)iαi

i!= 1−α+

1

2!α2−· · · (29)

eλ =∞∑j=0

λj

j!= 1+λ+

1

2!λ2+· · · , e−λ =

∞∑j=0

(−1)iλj

j!= 1−λ+

1

2!λ2−· · · (30)

ademas, la definicion de la funcion generadora cumulante (f.g.c)

K(α, λ, t) =∑x,y≥0

kx,y(t)αxλy

x!y!(31)

o lo que es igual

K(α, λ, t) = k00(t)+k10(t)α+k01(t)λ+k20(t)α2

2!+k02(t)

λ2

2!+k11(t)αλ+· · · (32)

donde,k00(t) = 0 (33)

k10(t) = µx(t), k01(t) = µy(t) (34)

k20(t) = σ2x(t), k02(t) = σ2

y(t) (35)

k11(t) = covxy(t) (36)

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Page 7: UN MODELO ESTOCASTICO PARA UN BROTE DE DENGUE CLASICO

Reemplazando las ecuaciones (3.33) hasta la (3.36) en la ecuacion (3.32), obtenemos:

K(α, λ, t) = αµx(t) + λµy(t) +1

2α2σ2

x(t) +1

2λ2σ2

y(t) + αλcovxy(t) + · · · (37)

Derivando parcialmente con respecto a t, α, λ en la ecuacion (3.38) donde, el puntoen µx(t), µy(t), σ2

x(t), σ2y(t), ˙covxy(t) es la derivada con respecto al tiempo.

∂K(α, λ, t)

∂t= αµx(t)+λµy(t)+

1

2α2σ2

x(t)+1

2λ2σ2

y(t)+αλ ˙covxy(t)+· · · (38)

∂K(α, λ, t)

∂α= µx(t)+ασ2

x(t)+λcovxy(t)+ · · · (39)

∂K(α, λ, t)

∂λ= µy(t)+λσ2

y(t)+αcovxy(t)+ · · · (40)

Finalmente, reemplazando las ecuaciones (3.38) a la (3.40) en la ecuacion (3.28) eigualando los coeficientes α, λ, 1

2α2, 1

2λ2, αλ, obtenemos:

αµx(t) + λµy(t) +1

2α2σ2

x(t) +1

2λ2σ2

y(t) + αλ ˙covxy(t) + ... = µNα + µN1

2α2+

[−ρ(t)α+ ρ(t)1

2α2 + ρ(t)λ− ρ(t)αλ+ ρ(t)λ

1

2α2 + ρ(t)

1

2λ2− ρ(t)α

1

2λ2 + ρ(t)λ2 1

2α2−

−µα+µ1

2α2][µx(t) +ασ2

x(t) +λcovxy(t)] + [−ωλ+ω1

2λ2][µy(t) +λσ2

y(t) +αcovxy(t)]

(41)

(Finalmente

Se obtiene el sistema de ecuaciones diferenciales correspondiente al proceso estocasti-co:

µx(t) = µN − ρ(t)µx(t)− µµx(t)

µy(t) = ρ(t)µx(t)− ωµy(t)

σ2x(t) = µN + ρ(t)µx(t) + µµx(t)− 2σ2

xρ(t)− 2µσ2x(t)

σ2y(t) = ρ(t)µx(t) + µy(t)ω + 2ρ(t)covxy − 2ωσ2

y(t)

˙covxy(t) = −ρ(t)µx(t) + ρ(t)σ2x(t)− ρ(t)covxy(t)− µcovxy(t)− ωcovxy(t)

Con condiciones iniciales µx(0) = N , µy(0) = µy0 , σ2x(0)

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4. Resultados y Conclusiones

4.1. Simulaciones

Se realiza la simulacion del sistema estocastico utilizando el programa MAPLE, con-siderando los valores de los parametros y la funcion ρ(t) = αr[1−µ sin (ωt+ ϕ)], em-pleado por Caetano y Yoneyama [6]. Con t = 0 . . . 200, µx(0) = 10,000, µy(0) = 1,σ2x(0) = 0, σ2

y(0) = 0, covxy(0) = 0 µ = 0,1, ω = 0,5, ϕ = 0, δ = 0,8,α = 0,1,ξ = 0,12.

Figura 2: Promedio µx(−) y varianza σ2x(· · · ) de personas susceptibles.

Figura 3: Promedio µy(− − −) y varianza σ2y(· · · ) de personas infecciosas en el

tiempo.

Se puede observar en la figura (2) que el numero promedio de personas susceptiblesva disminuyendo en el tiempo, mientras que la varianza tiene un comportamiento

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Page 9: UN MODELO ESTOCASTICO PARA UN BROTE DE DENGUE CLASICO

Figura 4: Covarianza en el tiempo de µx contra µy

tal que crece inicialmente y despues decrece para t > 40 dıas aproximadamente, elcomportamiento simultaneo de estos dos parametros se puede evaluar a traves delcoeficiente de variacion esta dado por cv = σ

µ, el cual tiene un valor el menor o igual

de 1 cuando t=50 y de ahı en adelante es mayor de 1. Ası que el metodo predicerazonablemente para t < 50, pero despues del dıa 50 se empieza a perder la precisiondel coeficiente de variacion y no se puede dar una precision exacta del promedio delas personas susceptibles.Desde el punto de vista epidemiologico, una poblacion promedio de 10.000 per-sonas susceptibles en un tiempo de 200 dıas, esta decreciendo debido a que algunosadquieren la infeccion a medida que pasan los dıas, por lo tanto la precision es con-fiable hasta el dıa 50.En la figura (3) se observa como el numero promedio de personas infectadas creceaproximadamente en t < 50 dıas, pero despues el promedio de personas infectadasva disminuyendo junto con la varianza lo que hace pensar en un comportamiento dePoisson donde µy ≈ σ2

y .

Es decir a medida que crece la infeccion el coeficiente de variacion es muy confiable,ya que la estimacion es muy pequena entre 0 y 70 dıas, pero despues de los 70 dıasse empieza a perder la precision ya que el coeficiente de variacion es muy grande yno se puede dar una precision exacta del numero promedio de personas infectadas.

En la figura (4) se muestra la covarianza entre µx y µy la cual es negativa o inversaentre 0 y 70 dıas, es decir que tiene un comportamiento en el tiempo donde a medidaque decrecen las personas susceptibles se va incrementando el numero promedio depersonas infectadas en un tiempo de 0 a 70 dıas, pero despues de las 70 dıas se puedever que la covarianza es positiva, que a medida que crece el numero promedio depersonas susceptibles esta decreciendo el numero promedio de personas infectadases decir que la fuerza de infeccion se esta disminuyendo.

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5. Conclusiones

De la Investigacion se concluye:

Una serie de pasos metodologicos, que permite la interpretacion de un brote dedengue clasico, por medio de un proceso estocastico continuo no homogeneo,con estados discretos y tasas de transicion de flujos de Poisson.

Utilizando la teorıa de las funciones generadoras de probabilidad y cumulantese deduce el sistema de ecuaciones diferenciales correspondiente al procesoestocastico continuo no homogeneo de la dinamica de un brote de dengueclasico, con tasas de transicion de flujos de Poisson. Estas son:

µx(t) = µN − ρ(t)µx(t)− µµx(t)

µy(t) = ρ(t)µx(t)− ωµy(t)

σ2x(t) = µN + ρ(t)µx(t) + µµx(t)− 2σ2

xρ(t)− 2µσ2x(t)

σ2y(t) = ρ(t)µx(t) + µy(t)ω + 2ρ(t)covxy − 2ωσ2

y(t)

˙covxy(t) = −ρ(t)µx(t) + ρ(t)σ2x(t)− ρ(t)covxy(t)− µcovxy(t)− ωcovxy(t)

Las dos primeras ecuaciones del sistema de ecuaciones diferenciales correspon-dientes a los promedios coinciden con las ecuaciones diferenciales deterministasque describen la dinamica. Estas son:

dX

dt= µN − ρ(t)X − µX

dY

dt= ρ(t)X + ωY

con condiciones iniciales X(0) = x0, Y (0) = y0, ω, µ > 0.

Las simulaciones del sistema con variables estocasticas permiten conocer lavariabilidad en el tiempo de las variables promedio, correspondiente a laspoblaciones de personas susceptibles e infectadas como tambien la covarianzapor la relacion entre estas.

6. Perspectivas

Tomando como base el presente trabajo para posteriores investigaciones se planteandos problemas diferentes:

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Utilizar informacion epidemiologica sobre la incidencia de personas infectadas,para ajustar la fuerza de la infeccion del modelo empleado.

Modelar la dinamica no lineal como un proceso estocastico, continuo, nohomogeneo, bivariado, con tasas de flujo de poisson.

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[28] http://news.uns.purdue.edu/UNS/images/rossmann.dengue.jpeg.

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