Un nuovo metodo per determinare i numeri primi e per fattorizzare i numeri naturali

Francesco Cappellini 1, Francesco Fornaini 2, Andrea Baglini 3

9/05/2020

Abstract. In questo articolo proponiamo un nuovo metodo per fattorizzare gli interi positivi e per determinare i numeri primi. Il metodo si basa sul metrizzare, utilizzando un apposito indice, uno specifico sottoinsieme dei numeri naturali in cui si pongono in evidenza i quadrati perfetti: vedremo poi come da questi quadrati perfetti è possibile creare delle formule polinomiali per determinare la scomposizione o la primalità di un qualsiasi intero positivo. Proporremo infine due nuove formule per generare numeri primi.

1. Introduzione

La sfida della fattorizzazione e del riconoscimento dei numeri primi è un argomento che è stato affrontato

frontalmente sin dall’antichità. Il primo algoritmo deterministico che abbia mai consentito sia di trovare

tutti i fattori di un dato numero e sia di trovare tutti i numeri primi uguali o inferiori ad un dato numero risale a Eratostene di Cirene (300 a.c. circa) che ideò il così detto Crivello di Eratostene. L’idea alla base di

tale Crivello è selezionare l’insieme di tutti i numeri naturali pari o inferiori ad un numero naturale dato: si

parte quindi da 2 (il primo numero primo) e si eliminano dall’insieme selezionato tutti i multipli di 2, si

passa quindi al primo numero successivo a 2 che non è stato eliminato, ovvero 3, e si itera nuovamente il

procedimento eliminando tutti i multipli di 3. E così via. Alla fine i numeri che non sono stati eliminati da

tutti i procedimenti sono esattamente tutti i numeri primi uguali o inferiori al numero naturale dato.

Questo semplice algoritmo è efficiente per determinare i fattori di un numero naturale o i numeri primi in

ordini di grandezza relativamente piccoli, tuttavia quando occorre fattorizzare un numero naturale molto

grande o ricercare un numero primo molto grande il costo che l’algoritmo richiede in termini di risorse di

sistema e di costi computazionali diviene troppo elevato.

Più adatti per la ricerca di numeri primi molto grandi sono invece gli algoritmi basati sui così detti numeri

di Mersenne, in onore di Marin Mersenne (monaco e matematico del 1600), che pose l’attenzione sui

numeri primi nella forma 2𝑝 − 1 con 𝑝 primo; tali numeri assunsero un’importanza cruciale nel 1870 quando Édouard Lucas ideò un test di primalità specifico estremamente efficiente per testare esattamente

i numeri primi di questa forma. Test che venne successivamente ottimizzato nel 1930 da Derrick Norman

Lehmer e da allora noto come test di Lucas-Lehmer.

Questi strumenti vennero ampiamente implementati ed utilizzati a partire dal 1951 quando la ricerca dei

numeri primi molto grandi divenne esclusivo appannaggio dei computer. Divennero infine di inestimabile

importanza dal 1970 in poi quando venne sviluppato il concetto di crittografia a chiave pubblica: ovvero

quando venne sviluppato il primo protocollo di sicurezza che di fatto sfrutta la difficoltà di fattorizzare

semi-primi molto grandi, l’RSA (dalle iniziali dei tre ideatori Rivest, Shamir e Adleman). E per creare semi-

primi molto grandi i numeri primi molto grandi non bastavano mai.

Ad oggi sono stati concepiti molti altri espedienti per fattorizzare i numeri naturali e per riconoscere i

numeri primi in modo deterministico ma la stragrande maggioranza di essi purtroppo funziona solo su

numeri di una particolare forma. Gli algoritmi più utilizzati come test di primalità sono quelli probabilistici,

come il test di Miller-Rabin che dà una risposta certa solo quando afferma che il numero non è primo, mentre invece se si ottiene dal test che il numero è primo allora c’è un’alta probabilità che il numero

effettivamente lo sia.

Tra i vari test di primalità deterministici più efficienti per numeri di qualsiasi forma vale la pena citare

l’algoritmo AKS (dalle iniziali dei tre ideatori Agrawal, Kayal e Saxena), famoso per essere stato il primo

algoritmo a provare che il problema di stabilire se un dato numero è primo o composto sta nella classe di

complessità P e l’algoritmo ECPP (Elliptic Curve Primality Proving), ad oggi il più veloce test di primalità

deterministico noto, che tuttavia a differenza dell’AKS necessita di alcune assunzioni euristiche per essere

applicato e la cui complessità computazionale non è di fatto nota nel caso peggiore.

Per quanto invece riguarda il problema della fattorizzazione per numeri di una qualunque forma, la

situazione si prospetta ancora più drammatica: ad oggi non è noto alcun algoritmo polinomiale per

risolvere questo problema (se si esclude l’algoritmo di Shor per computer quantistici); il più efficiente

algoritmo per fattorizzare numeri di una qualsiasi forma è considerato dunque il GNFS (General Number

Field Sieve) che ha complessità esponenziale rispetto al numero di cifre dell’input.

2. Il Metodo base

Il metodo di seguito esposto utilizza strumenti molto elementari: per questa ragione, indipendentemente

dall’implementazione algoritmica che se ne può derivare, richiede tipicamente pochissime risorse

computazionali.

Il tentativo iniziale è stato quello di concettualizzare il territorio matematico secondo una metrica discreta,

interamente basata sui numeri naturali, di modo da offrire un modello semplice ed intuitivo per

classificare ed ordinare in un unico schema omnicomprensivo le relazioni ad albero che sottendono i

principi della fattorizzazione e quindi per poter discriminare la condizione o meno di primalità nel modo

più efficiente possibile. Abbiamo così individuato una struttura gerarchica ben precisa che abbiamo

formalizzato utilizzando esclusivamente delle speciali funzioni d’onda chiamate onde-setaccio.

In estrema sintesi abbiamo creato un insieme di Cantor in cui abbiamo evidenziato alcune coordinate

chiave che ci consentono di abbassare significativamente la complessità computazionale di molti problemi

tra i più noti, tipicamente basati sulla difficoltà di fattorizzare numeri naturali e sulla difficoltà di

determinare i numeri primi.

2.1 Concetti fondamentali

Si consideri la funzione di successione:

𝑓(𝑛) = 3𝑛 − 2, 𝑖𝑓 𝑛 𝑜𝑑𝑑 3𝑛 − 1, 𝑖𝑓 𝑛 𝑒𝑣𝑒𝑛

𝑝𝑒𝑟 ∀𝑛 ∈ 𝑁* 𝑁*:= Insieme dei numeri naturali, escluso lo 0

Se visualizzassimo la successione delle operazioni di input-output in ordine crescente otterremmo uno

schema del seguente tipo:

INPUT OUTPUT CLASSE DI RESTO

𝟏 → 𝟏 (−𝟐)

𝟐 → 𝟓 (−𝟏)

𝟑 → 𝟕 (−𝟐)

𝟒 → 𝟏𝟏 (−𝟏)

[ … ]

Si noti che le classi di resto si alternano con un andamento periodico, contribuendo alla classificazione degli oggetti

L’insieme ordinato di tutte le possibili operazioni di input-output viene definito Spazio Tesla.

Rappresentando la successione ordinata di questi oggetti su di un’apposita retta si osserva che l’insieme

dei possibili input (insieme input) può essere virtualmente utilizzato come un indice che di fatto determina

la metrica dell’insieme dei possibili output associati (insieme output):

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 [ … ]

|___ |___|___ |___|___ |___ |___|___ |____|____|____ |____|____ |____ |____ |____|___ | _ → +∞

1 5 7 11 13 17 19 23 25 29 31 35 37 41 43 47 49 53 [ … ]

-2 -1 -2 -1 -2 -1 -2 -1 -2 -1 -2 -1 -2 -1 -2 -1 -2 -1

I punti sono da considerarsi equidistanti tra loro, la rappresentazione è solo indicativa

Ogni elemento dell’indice può essere quindi pensato come il punto di origine di una particolare funzione

d’onda (detta onda-setaccio) che, seguendo la metrica dell’indice stesso, si azzera solo e soltanto per tutti

quei valori che sono esattamente multipli del valore di output associato all’elemento dell’indice posto

come origine.

Ognuna di queste funzioni così definita è caratterizzata da tre (3) parametri: sorgente (S), ampiezza (A) e

frequenza (F).

- La sorgente coincide con il numero d’indice posto come origine.

- L’ampiezza è data dal valore di output (o da un suo divisore) associato al numero d’indice che identifica

la sorgente: quel numero, o un suo divisore, coinciderà con il fattore che quell’onda-setaccio simbolizza.

- La frequenza, che oscilla tra due (2) valori attraverso la distribuzione dell’indice, esprimerà invece il

“passo” della lunghezza d’onda.

I due (2) valori di una qualunque frequenza Ω(𝑛), per un qualunque indice 𝑛 ∈ 𝑁*, sono dati dalle

funzioni:

Ω(𝑛) = 4𝑛 − 3 2𝑛 − 1

𝑖𝑓 𝑛 𝑜𝑑𝑑

Ω(𝑛) = 4𝑛 − 1 2𝑛 − 1

𝑖𝑓 𝑛 𝑒𝑣𝑒𝑛

𝑝𝑒𝑟 ∀𝑛 ∈ 𝑁*

Ognuna delle due funzioni con un (1) input determina i due (2) valori d’onda corrispondenti in output

Si noti che nelle frequenze l’ordine conta, pertanto (per convenzione) è sempre l’output superiore che si

associa al primo valore d’onda indicato con ¥′(𝑛) mentre l’output inferiore si associa sempre al secondo

valore d’onda indicato con ¥′′(𝑛).

La frequenza si scrive in forma estesa come Ω(25)[3,7] e si legge “l’omega di 2” o identicamente “la

frequenza di 5”; segue un esempio di rappresentazione, con relativi parametri di sorgente (S= 𝑛),

ampiezza (A= 𝑓(𝑛)) e frequenza (F= Ω(𝑛)):

Rappresentazione simbolica di un’onda-setaccio che lungo la dimensione dell’indice intercetta tutti i multipli dell’elemento trasformato associato alla sorgente

Congettura 1° (Principio di Eratostene). Nello Spazio Tesla l’insieme degli indici tracciati da tutte le possibili onde-setaccio generabili, escludendo le sorgenti, determina l’insieme di tutti i numeri composti: i numeri che non sono tracciati da nessuna onda-setaccio sono solo e soltanto i numeri primi.

2.2 I Quadrati Critici

Supposto che,

1) La sorgente è dinamica: ogni elemento dell’indice può essere virtualmente posto come sorgente,

tuttavia a seconda del problema che siamo chiamati a risolvere ne possiamo individuare alcune più

“strategiche” di altre.

2) L’ampiezza segue uno schema frattale: l’ampiezza di un’onda-setaccio non deve essere necessariamente

in funzione del valore di output associato alla sorgente ma può essere in funzione anche di un suo divisore

pur mantenendo come sorgente la stessa sorgente.

3) Le frequenze seguono uno schema frattale: la frequenza di una data onda-setaccio non devono

necessariamente essere in funzione del valore di output associato alla sorgente ma possono essere in

funzione di un suo divisore pur mantenendo come sorgente la stessa sorgente.

Si consideri la seguente Congettura,

Congettura 2° (Principio della quadratura). Nello Spazio Tesla per verificare i divisori di un dato numero è sufficiente considerare solo e soltanto quelle onde-setaccio tali che la loro sorgente è associata ad un quadrato perfetto dell’insieme output pari o inferiore al numero dato; questo è vero a condizione che

l’ampiezza 𝑓(𝑛) di dette onde-setaccio sia pari a √𝑓(𝑛) e le relative frequenze Ω (𝑛) siano calcolate in

funzione dell’indice corrispondente a quell’ampiezza.

Si ricorda che ad ogni onda-setaccio corrisponde un fattore e quindi un potenziale divisore del numero da

testare: se il numero da testare viene tracciato da quell’onda-setaccio allora significa che è divisibile per

quel fattore, in quanto deve necessariamente essere un suo multiplo, altrimenti non è divisibile per quel

fattore; numeri intercettati da più onde-setaccio sono divisibili per ognuno dei fattori che li intercetta.

La Congettura 2° afferma in sostanza che si può setacciare l’intera distribuzione dei numeri naturali a

partire dai quadrati dei numeri naturali piuttosto che a partire dai numeri naturali stessi, senza timore di

non verificare fattori, a patto che il passo del setaccio sia pari alla radice di quei quadrati.

Ad esempio posso verificare gli elementi a partire dal quadrato di 5 𝑜𝑣𝑣𝑒𝑟𝑜 25 (25 = 52) che corrisponde

all’indice 9 (𝑖𝑛𝑓𝑎𝑡𝑡𝑖 25+2

3= 9) fissando 9 come sorgente a patto che da essa in poi imponga la frequenza

di 5 (𝑖𝑛𝑓𝑎𝑡𝑡𝑖 √25 = 5) 𝑜𝑣𝑣𝑒𝑟𝑜 Ω(25)[3,7] invece di quella di 25 𝑜𝑣𝑣𝑒𝑟𝑜 Ω(925)[33,17]: questa

condizione, da osservazioni sperimentali, sembra uniformare e linearizzare la metrica del setaccio,

rompendo di fatto il ciclo tipico di molti algoritmi ridondanti che spesso esitano in una complessità

esponenziale.

Nello Spazio Tesla questi particolari elementi dell’indice che sono associati a quadrati perfetti nell’insieme

output vengono definiti quadrati critici e sono delle coordinate estremamente importanti in quanto, se ben

sfruttate, sono in grado di semplificare significativamente una grande quantità di scenari.

Output visualizzato della 𝑓(𝑛) 𝑐𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑝𝑢𝑡 → 𝑜𝑢𝑡𝑝𝑢𝑡 (𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑑𝑖 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜) , posta come successione

ordinata che determina la metrica dello Spazio Tesla:

(3*1) -2 = 1 [1]

(3*2) -1 = 5 [2]

(3*3) - 2 = 7 [3] (3*61) - 2 = 181 [61] (3*119) - 2 = 355 [119] 9 3 7

(3*4) - 1 = 11 [4] (3*62) - 1 = 185 [62] 9 3 7 (3*120) - 1 = 359 [120]

(3*5) - 2 = 13 [5] (3*63) - 2 = 187 [63] 41 7 15 (3*121) - 2 = 361 [121] <121> 25 13 19

(3*6) - 1 = 17 [6] (3*64) - 1 = 191 [64] (3*122) - 1 = 365 [122] 9 3 7

(3*7) - 2 = 19 [7] (3*65) - 2 = 193 [65] (3*123) - 2 = 367 [123]

(3*8) - 1 = 23 [8] (3*66) - 1 = 197 [66] (3*124) - 1 = 371 [124] 17 9 5

(3*9) - 2 = 25 [9] <9> 3 7 5 (3*67) - 2 = 199 [67] (3*125) - 2 = 373 [125]

(3*10) - 1 = 29 [10] (3*68) - 1 = 203 [68] 17 9 5 (3*126) - 1 = 377 [126] 57 17 9

(3*11) - 2 = 31 [11] (3*69) - 2 = 205 [69] 9 3 7 (3*127) - 2 = 379 [127]

(3*12) - 1 = 35 [12] 9 3 7 (3*70) - 1 = 209 [70] 41 7 15 (3*128) - 1 = 383 [128]

(3*13) - 2 = 37 [13] (3*71) - 2 = 211 [71] (3*129) - 2 = 385 [129]9 3 7 17 9 5 41 7 15

(3*14) - 1 = 41 [14] (3*72) - 1 = 215 [72] 9 3 7 (3*130) - 1 = 389 [130]

(3*15) - 2 = 43 [15] (3*73) - 2 = 217 [73] 17 9 5 (3*131) - 2 = 391 [131] 97 11 23

(3*16) - 1 = 47 [16] (3*74) - 1 = 221 [74] 57 17 9 (3*132) - 1 = 395 [132] 9 3 7

(3*17) - 2 = 49 [17] <17> 9 5 7 (3*75) - 2 = 223 [75] (3*133) - 2 = 397 [133]

(3*18) - 1 = 53 [18] (3*76) - 1 = 227 [76] (3*134) - 1 = 401 [134]

(3*19) - 2 = 55 [19] 9 3 7 (3*77) - 2 = 229 [77] (3*135) - 2 = 403 [135] 57 17 9

(3*20) - 1 = 59 [20] (3*78) - 1 = 233 [78] (3*136) - 1 = 407 [136] 41 7 15

(3*21) - 2 = 61 [21] (3*79) - 2 = 235 [79] 9 3 7 (3*137) - 2 = 409 [137]

(3*22) - 1 = 65 [22] 9 3 7 (3*80) - 1 = 239 [80] (3*138) - 1 = 413 [138] 17 9 5

(3*23) - 2 = 67 [23] (3*81) - 2 = 241 [81] (3*139) - 2 = 415 [139] 9 3 7

(3*24) - 1 = 71 [24] (3*82) - 1 = 245 [82] 9 3 7 17 9 5 (3*140) - 1 = 419 [140]

(3*25) - 2 = 73 [25] (3*83) - 2 = 247 [83] 57 17 9 (3*141) - 2 = 421 [141]

(3*26) - 1 = 77 [26] 17 9 5 (3*84) - 1 = 251 [84] (3*142) - 1 = 425 [142] 9 3 7 97 11 23

(3*27) - 2 = 79 [27] (3*85) - 2 = 253 [85] 41 7 15 (3*143) - 2 = 427 [143] 17 9 5

(3*28) - 1 = 83 [28] (3*86) - 1 = 257 [86] (3*144) - 1 = 431 [144]

(3*29) - 2 = 85 [29] 9 3 7 (3*87) - 2 = 259 [87] 17 9 5 (3*145) - 2 = 433 [145]

(3*30) - 1 = 89 [30] (3*88) - 1 = 263 [88] (3*146) - 1 = 437 [146] 121 25 13

(3*31) - 2 = 91 [31] 17 9 5 (3*89) - 2 = 265 [89] 9 3 7 (3*147) - 2 = 439 [147]

(3*32) - 1 = 95 [32] 9 3 7 (3*90) - 1 = 269 [90] (3*148) - 1 = 443 [148]

(3*33) - 2 = 97 [33] (3*91) - 2 = 271 [91] (3*149) - 2 = 445 [149] 9 3 7

(3*34) - 1 = 101 [34] (3*92) - 1 = 275 [92] 9 3 7 <41> 7 15 (3*150) - 1 = 449 [150]

(3*35) - 2 = 103 [35] (3*93) - 2 = 277 [93] (3*151) - 2 = 451 [151] 41 7 15

(3*36) - 1 = 107 [36] (3*94) - 1 = 281 [94] (3*152) - 1 = 455 [152]9 3 7 17 9 5 57 17 9

(3*37) - 2 = 109 [37] (3*95) - 2 = 283 [95] (3*153) - 2 = 457 [153]

(3*38) - 1 = 113 [38] (3*96) - 1 = 287 [96] 17 9 5 (3*154) - 1 = 461 [154]

(3*39) - 2 = 115 [39] 9 3 7 (3*97) - 2 = 289 [97] <97> 11 23 17 (3*155) - 2 = 463 [155]

(3*40) - 1 = 119 [40] 17 9 5 (3*98) - 1 = 293 [98] (3*156) - 1 = 467 [156]

(3*41) - 2 = 121 [41] <41> 7 15 11 (3*99) - 2 = 295 [99] 9 3 7 (3*157) - 2 = 469 [157] 17 9 5

(3*42) - 1 = 125 [42] 9 3 7 (3*100) - 1 = 299 [100] 57 17 9 (3*158) - 1 = 473 [158] 41 7 15 121 25 13

(3*43) - 2 = 127 [43] (3*101) - 2 = 301 [101] 17 9 5 (3*159) - 2 = 475 [159] 9 3 7

(3*44) - 1 = 131 [44] (3*102) - 1 = 305 [102] 9 3 7 (3*160) - 1 = 479 [160]

(3*45) - 2 = 133 [45] 17 9 5 (3*103) - 2 = 307 [103] (3*161) - 2 = 481 [161] 57 17 9

(3*46) - 1 = 137 [46] (3*104) - 1 = 311 [104] (3*162) - 1 = 485 [162] 9 3 7

(3*47) - 2 = 139 [47] (3*105) - 2 = 313 [105] (3*163) - 2 = 487 [163]

(3*48) - 1 = 143 [48] 41 7 15 (3*106) - 1 = 317 [106] (3*164) - 1 = 491 [164]

(3*49) - 2 = 145 [49] 9 3 7 (3*107) - 2 = 319 [107] 41 7 15 (3*165) - 2 = 493 [165] 97 11 23

(3*50) - 1 = 149 [50] (3*108) - 1 = 323 [108] 97 11 23 (3*166) - 1 = 497 [166] 17 9 5

(3*51) - 2 = 151 [51] (3*109) - 2 = 325 [109] 9 3 7 57 17 9 (3*167) - 2 = 499 [167]

(3*52) - 1 = 155 [52] 9 3 7 (3*110) - 1 = 329 [110] 17 9 5 (3*168) - 1 = 503 [168]

(3*53) - 2 = 157 [53] (3*111) - 2 = 331 [111] (3*169) - 2 = 505 [169] 9 3 7

(3*54) - 1 = 161 [54] 17 9 5 (3*112) - 1 = 335 [112] 9 3 7 (3*170) - 1 = 509 [170]

(3*55) - 2 = 163 [55] (3*113) - 2 = 337 [113] (3*171) - 2 = 511 [171] 17 9 5

(3*56) - 1 = 167 [56] (3*114) - 1 = 341 [114] 41 7 15 (3*172) - 1 = 515 [172] 9 3 7

(3*57) - 2 = 169 [57] <57> 17 9 13 (3*115) - 2 = 343 [115] 17 9 5 (3*173) - 2 = 517 [173] 41 7 15

(3*58) - 1 = 173 [58] (3*116) - 1 = 347 [116] (3*174) - 1 = 521 [174]

(3*59) - 2 = 175 [59] 9 3 7 17 9 5 (3*117) - 2 = 349 [117] (3*175) - 2 = 523 [175]

(3*118) - 1 = 353 [118] (3*176) - 1 = 527 [176] 97 11 23

(3*60) – 1= 179[60]

2.3 Verso una prima implementazione

Passiamo ora all’ambito procedurale e supponiamo di voler isolare i componenti che ci consentono di

implementare un algoritmo efficiente per raccogliere qualche prova sperimentale della Congettura 2°:

nello specifico voglio implementare un test di primalità ed un algoritmo di fattorizzazione.

Ci occorre innanzitutto un criterio per selezionare delle sorgenti 𝑛, da cui deriveremo i rispettivi valori

d’ampiezza 𝑓(𝑛) e frequenza Ω(𝑛) per assemblare il modello teorico sulla base del quale andremo poi a

scrivere gli pseudocodici.

La Congettura, tra le altre cose, afferma che i quadrati critici sono una buona scelta come sorgenti, in

quanto si suppone che semplifichino la metrica del setaccio e quindi portino ad una semplificazione dei

calcoli: dunque decidiamo di selezionare proprio i quadrati critici come sorgenti.

Per selezionare solo e soltanto i quadrati critici, ovvero quegli elementi dell’indice che sono associati ad un

quadrato perfetto nell’insieme output, utilizziamo la seguente funzione:

𝑄(𝑛) = 3𝑛2 − 4𝑛 + 2 𝑖𝑓 𝑛 𝑜𝑑𝑑

3𝑛2 − 2𝑛 + 1 𝑖𝑓 𝑛 𝑒𝑣𝑒𝑛

𝑝𝑒𝑟 ∀𝑛 ∈ 𝑁*

Ricordiamo che, se quanto afferma la Congettura è vero, vanno verificati tutti i quadrati critici inferiori al

numero dato in input, per poter stabilire se quel numero è composto oppure è primo.

Dobbiamo ora occuparci dell’ampiezza 𝑓(𝑛) che corrisponderà esattamente al valore di output associato

alle varie sorgenti e in questo caso particolare sarà necessariamente il quadrato di un qualche numero

naturale: tuttavia la Congettura 2° ci dice anche che si suppone sufficiente prendere la √𝑓(𝑛) di detta

ampiezza.

Ricordo che posso imporre un’ampiezza e una frequenza diversa mantenendo la stessa sorgente per le

supposizioni fatte al punto 2) e 3) del paragrafo precedente [2.2], a patto che detta ampiezza imposta sia

un divisore di quella associata; nel caso della radice lo è per definizione.

Tratterò quindi ad esempio il quadrato critico 17, che è associato a 49, come se fosse associato a 7 che

corrisponde a 3; calcolo quindi la frequenza Ω(37) in funzione dell’indice 3 e non di 17 e ottengo,

Ω(3) = 4(3) − 3 2(3) − 1

𝑛 𝑜𝑑𝑑 → Ω(37)[9,5]

𝑝𝑒𝑟 ∀𝑛 ∈ 𝑁*

Adesso che ho scelto la forma delle sorgenti su cui mi voglio appoggiare e so come calcolare i rispettivi

parametri, non ci resta che implementarlo.

Tenendo presente che:

- Il calcolo dei quadrati critici è un calcolo deterministico, quindi posso calcolare e verificare ogni onda-

setaccio singolarmente per poi passare alla successiva; in questo modo non devo calcolare uno “stock” di

oggetti a priori e preservo significativamente le risorse di memoria.

- Parto a verificare i quadrati critici (corrispondenti a potenziali divisori) “dal basso”, poiché le frequenze

con valori d’onda più piccoli sono quelle che hanno la massima probabilità di dividere un dato numero

casuale. In questo modo testo in ordine tutte quelle onde-setaccio, dunque tutti quei fattori, che hanno la

massima probabilità di essere divisori, seguendo una sorta di “gradiente aritmetico”; un esempio grafico:

Rappresentazione simbolica del concetto di variabilità della probabilità di divisione a priori per un dato numero casuale, estrapolato sulla base dei vari valori d’onda che caratterizzano le diverse frequenze

Di seguito un test di primalità basato sul Metodo in pseudocodice:

/*******************************************************************************

* Name: Primality test *

* Language: Pseudocode *

* Author(s): Francesco Cappellini *

* Francesco Fornaini *

* Andrea Baglini *

* Date: 5/09/2018 *

* *

* *

* Description: This algorithm uses the prime number search theorem on *

* the set of natural numbers to discriminate whether the number input *

* by the user is first or not. Primality_test, the main function, *

* cyclically calls check_number, which is a secondary function that *

* performs calculations on the parameters index, criticalsq, f1, and f2 *

* passed by main function until it turns out that the number entered by *

* the user is not prime. If the execution of the program exits the *

* infinite loop "while", then the number entered is prime. *

* *

*******************************************************************************/

/******************************PRIMALITY_TEST**********************************/

main function Primality_test

read n from user

if (n divisible by 3 or n divisible by 2)

print “n is not prime”

else if ( (n + 1) divisible by 3)

index = ( n + 1 ) / 3

else

index = ( n + 2 ) / 3

gamma = 0

firstsq = 9 firstf1 = 3 firstf2 = 7

secondsq = 17 secondf1 = 9 secondf2 = 5

while (forever)

if (this is not the first iteration)

firstsq = 8*((secondsq - 1)/8 + 3 + 2*gamma) + 1

firstf1 = firstf1 + 4

firstf2 = firstf2 + 8

gamma = gamma + 1

if (firstsq > index) exit_program

call check_number( index, firstsq, firstf1, firstf2)

if (this is not the first iteration)

secondsq = 8*((firstsq - 1)/8 + 1 + gamma) + 1

secondf1 = secondf1 + 8

secondf2 = secondf2 + 4

if (firstsq > index) exit_program

call check_number( index, secondsq, secondf1, secondf2)

print “n is prime”

exit_program

/******************************************************************************/

/******************************CHECK_NUMBER************************************/

function check_number (index, criticalsq, f1, f2)

if (index = criticalsq)

print “n is not prime”

exit_program

if ((index >= criticalsq + f1) AND (index – criticalsq - f1) is divisible

by (f1 + f2))

print “n is not prime”

exit_program

if ((index – criticalsq) is divisible by (f1 + f2))

print “n is not prime”

exit_program

else return to Primality_test

/******************************************************************************/

Studio sulla complessità del suddetto Test di Primalità:

Numero di operazioni necessarie per lo studio di primalità (Y) per un numero naturale in un determinato

intervallo (X), per numeri inferiori a 10 9

La funzione che meglio approssima tale andamento è:

𝑦 = 30,283𝑥0,5046

Di conseguenza è lecito affermare che la complessità computazionale dell'algoritmo è pari a circa

Computational Complexity: 𝑶(√𝒏)

Dove 𝑛 è la grandezza dell’input e lo storage complexity non varia nel tempo, assestandosi a circa 10 Mb.

Si noti che con √𝑛 si osserva il caso peggiore, ovvero il caso in cui ogni 𝑛 in input è un numero primo e

quindi il caso in cui devono essere verificati tutti i quadrati critici prima di stabilire che il numero

effettivamente sia primo; per determinare un composto, in cui la determinazione di un singolo fattore è

sufficiente, il caso migliore può virtualmente essere di √𝑛𝑧

con 𝑧 ∈ 𝑁*.

Proseguiamo ora con un esempio di pseudocodice di un algoritmo di fattorizzazione basato sul Metodo:

/*******************************************************************************

* Name: Factorization *

* Language: Pseudocode *

* Author(s): Francesco Cappellini *

* Francesco Fornaini *

* Andrea Baglini *

* Date: 5/09/2018 *

* *

* *

* Description: This algorithm uses the prime number search theorem on *

* the set of natural numbers to factorize the number input by the user. *

* The main program, Factorization, cyclically calls check_factorization *

* which calculates, based on the arguments passed by the main function, *

* whether to add the criticalsq value to the set criticalsq_array[]. *

* When the main function exits the “while” loop, it calls the function *

* remove_power to remove from criticalsq_array[] all the values that *

* are powers of other values, as they are not important for the *

* purposes of factorization. Finally, the algorithm extracts all the *

* factors that make up the factorization of the number n. *

* *

*******************************************************************************/

/******************************FACTORIZATION***********************************/

main function Factorization

read n from user

while (n is divisible by 2)

n = n / 2

print “2 n”

while (n divisible by 3)

n = n / 3

print “3 n”

if ( (n + 1) divisible by 3)

index = ( n + 1 ) / 3

else index = ( n + 2 ) / 3

gamma = 0

firstsq = 9 firstf1 = 3 firstf2 = 7

secondsq = 17 secondf1 = 9 secondf2 = 5

criticalsq_array[]

while (forever)

if (this is not the first iteration)

firstsq = 8*((secondsq - 1)/8 +3 + 2*gamma) + 1

firstf1 = firstf1 + 4

firstf2 = firstf2 + 8

gamma = gamma + 1

if (firstsq > index) exit from while

call check_factorization( index, firstsq, firstf1, firstf2)

if (this is not the first iteration)

secondsq = 8*((firstsq - 1)/8 +1 + gamma) + 1

secondf1 = secondf1 + 8

secondf2 = secondf2 + 4

if (firstsq > index) exit_program

call check_factorization( index, secondsq, secondf1, secondf2)

call remove_power(criticalsq_array[])

for each element in criticalsq_array[]

while (n is divisible by criticalsq_array[i])

n = n / criticalsq_array[i]

print “criticalsq_array[i] n”

exit_program

/******************************************************************************/

/**************************CHECK_FACTORIZATION*********************************

/

function check_factorization (index, criticalsq, f1,

f2) if (index = criticalsq)

store index in criticalsq_array[]

return to Factorization

if ((index>= criticalsq+f1) AND (index-criticalsq-f1) is divisible

by (f1+f2))

store index in criticalsq_array[]

return to Factorization

if ((index – criticalsq) is divisible by (f1 +

f2)) store index in criticalsq_array[]

return to Factorization

else return to Factorization

/******************************************************************************

/

/*************************** REMOVE_POWER

*************************************/

function remove_power(criticalsq_array[])

if (criticalsq_array[i] is power of criticalsq_array[z] with

i!=z) remove criticalsq_array[i] from criticalsq_array[]

/******************************************************************************

/

2.4 Traslazione della complessità computazionale e riduzione dei calcoli

Riportiamo adesso un semplice studio in cui è possibile apprezzare molto bene come il numero dei

quadrati critici da calcolare, per determinare la primalità o meno dell’input successivo, diminuisca

molto rapidamente in proporzione alla grandezza degli elementi da verificare che si succedono nella

progressione: è possibile in effetti, osservando il monitor del PC in tempo reale, vedere il numero degli

output che accelera a vista d’occhio (prendendo come punto di riferimento un intervallo temporale

fissato a piacere).

Poiché il numero dei quadrati critici da calcolare per un dato numero coincide esattamente con il

numero dei divisori minimi sufficienti da testare per verificare la primalità o meno di quel dato numero,

quello che osserviamo appare come una sorta di allineamento spontaneo dell’apparato dei divisori i

quali, come se si “ordinassero” in modo autonomo, fanno sì che il sistema massimizzi ad ogni nuova

iterazione la probabilità che il successivo numero da verificare sia divisibile per un fattore sempre più

piccolo: il sistema quindi è come se tendesse alla soluzione ad energia minore, come direbbero i fisici,

laddove per soluzione ad energia minore s’intende il minor numero di calcoli per ottenere un certo

output desiderato (nel nostro caso, estrarre numeri primi).

Tutto questo determina verosimilmente un progressivo schiacciamento dell’errore massimo commesso

e del limite minimo dei divisori da testare per ottenere un certo output desiderato.

Ovvero in modo più chiaro stiamo affermando che dato il presente Metodo iterativo, la rispettiva

successione di soluzioni approssimate 𝑥𝑛𝑛 converge alla soluzione esatta del problema 𝑥*; per

ciascuna iterazione definiamo l’errore dato dalla differenza tra la soluzione esatta e quella iterativa:

𝑒𝑛 = |𝑥𝑛 − 𝑥*|

E supponiamo che:

lim𝑛→+∞

|𝑒𝑛| = 0

Cioè ci aspettiamo di avere:

lim𝑛→+∞

𝑥𝑛 = 𝑥*

Ed effettivamente l’algoritmo, almeno dalle osservazioni empiriche riportate nella raccolta dati poco

sotto, sembra “ripulire” l’entropia del suo stesso errore facendola tendere a 0. Lo fa oltretutto seguendo

uno schema omotetico, tipico delle dinamiche frattali, che lavora sempre sul residuo.

Di seguito lo studio:

/****************************************************************

* *

* Study of the percentage of occurrence of critical squares *

* *

****************************************************************/ # critical_sq Number Percentage 1 9 25 4%

2 17 49 4.08163%

3 41 121 2.47934%

4 57 169 2.36686%

5 97 289 1.7301%

6 121 361 1.66205%

7 177 529 1.32325%

8 209 625 1.28%

9 281 841 1.07015%

10 321 961 1.04058%

11 409 1225 0.897959%

12 457 1369 0.876552%

13 561 1681 0.773349%

14 617 1849 0.757166%

15 737 2209 0.67904%

16 801 2401 0.666389%

17 937 2809 0.605198%

18 1009 3025 0.595041%

19 1161 3481 0.54582%

20 1241 3721 0.53749%

21 1409 4225 0.497041%

22 1497 4489 0.490087%

23 1681 5041 0.456259%

24 1777 5329 0.450366%

25 1977 5929 0.421656%

26 2081 6241 0.4166%

27 2297 6889 0.391929%

28 2409 7225 0.387543%

29 2641 7921 0.366115%

30 2761 8281 0.362275%

31 3009 9025 0.34349%

32 3137 9409 0.3401%

33 3401 10201 0.323498%

34 3537 10609 0.320483%

35 3817 11449 0.305704%

36 3961 11881 0.303005%

37 4257 12769 0.289764%

38 4409 13225 0.287335%

39 4721 14161 0.275404%

40 4881 14641 0.273205%

41 5209 15625 0.2624%

42 5377 16129 0.260401%

43 5721 17161 0.250568%

44 5897 17689 0.248742%

45 6257 18769 0.239757%

46 6441 19321 0.238083%

47 6817 20449 0.22984%

48 7009 21025 0.2283%

49 7401 22201 0.220711%

50 7601 22801 0.219289%

51 8009 24025 0.212279%

52 8217 24649 0.210962%

53 8641 25921 0.204467%

54 8857 26569 0.203244%

55 9297 27889 0.19721%

56 9521 28561 0.196072%

57 9977 29929 0.190451%

58 10209 30625 0.189388%

59 10681 32041 0.184139%

60 10921 32761 0.183145%

61 11409 34225 0.178232%

62 11657 34969 0.1773%

63 12161 36481 0.172693%

64 12417 37249 0.171817%

65 12937 38809 0.167487%

66 13201 39601 0.166662%

67 13737 41209 0.162586%

68 14009 42025 0.161808%

69 14561 43681 0.157963%

70 14841 44521 0.157229%

71 15409 46225 0.153597%

72 15697 47089 0.152902%

73 16281 48841 0.149465%

74 16577 49729 0.148807%

75 17177 51529 0.145549%

76 17481 52441 0.144925%

77 18097 54289 0.141834%

78 18409 55225 0.14124%

79 19041 57121 0.138303%

80 19361 58081 0.137739%

81 20009 60025 0.134944%

82 20337 61009 0.134406%

83 21001 63001 0.131744%

84 21337 64009 0.131232%

85 22017 66049 0.128692%

86 22361 67081 0.128203%

87 23057 69169 0.125779%

88 23409 70225 0.125311%

89 24121 72361 0.122994%

90 24481 73441 0.122547%

91 25209 75625 0.120331%

92 25577 76729 0.119903%

93 26321 78961 0.11778%

94 26697 80089 0.117369%

95 27457 82369 0.115335%

96 27841 83521 0.114941%

97 28617 85849 0.112989%

98 29009 87025 0.112611%

99 29801 89401 0.110737%

100 30201 90601 0.110374%

101 31009 93025 0.108573%

102 31417 94249 0.108224%

103 32241 96721 0.106492%

104 32657 97969 0.106156%

105 33497 100489 0.104489%

106 33921 101761 0.104166%

107 34777 104329 0.10256%

108 35209 105625 0.102249%

109 36081 108241 0.100701%

110 36521 109561 0.100401%

111 37409 112225 0.0989084%

112 37857 113569 0.0986185%

113 38761 116281 0.0971784%

114 39217 117649 0.0968984%

115 40137 120409 0.0955078%

116 40601 121801 0.0952373%

117 41537 124609 0.0938937%

118 42009 126025 0.0936322%

119 42961 128881 0.0923332%

120 43441 130321 0.0920803%

121 44409 133225 0.0908238%

122 44897 134689 0.090579%

123 45881 137641 0.0893629%

124 46377 139129 0.0891259%

125 47377 142129 0.0879483%

126 47881 143641 0.0877187%

127 48897 146689 0.0865777%

128 49409 148225 0.0863552%

129 50441 151321 0.0852492%

130 50961 152881 0.0850335%

131 52009 156025 0.0839609%

132 52537 157609 0.0837516%

133 53601 160801 0.0827109%

134 54137 162409 0.0825077%

135 55217 165649 0.0814976%

136 55761 167281 0.0813003%

137 56857 170569 0.0803194%

138 57409 172225 0.0801277%

139 58521 175561 0.0791748%

140 59081 177241 0.0789885%

141 60209 180625 0.0780623%

142 60777 182329 0.0778812%

143 61921 185761 0.0769806%

144 62497 187489 0.0768045%

145 63657 190969 0.0759286%

146 64241 192721 0.0757572%

147 65417 196249 0.0749048%

148 66009 198025 0.074738%

149 67201 201601 0.0739084%

150 67801 203401 0.073746%

151 69009 207025 0.0729381%

152 69617 208849 0.0727799%

153 70841 212521 0.0719929%

154 71457 214369 0.0718387%

155 72697 218089 0.0710719%

156 73321 219961 0.0709217%

157 74577 223729 0.0701742%

158 75209 225625 0.0700277%

159 76481 229441 0.0692989%

160 77121 231361 0.069156%

161 78409 235225 0.0684451%

162 79057 237169 0.0683057%

163 80361 241081 0.0676121%

164 81017 243049 0.0674761%

165 82337 247009 0.0667992%

166 83001 249001 0.0666664%

167 84337 253009 0.0660056%

168 85009 255025 0.0658759%

169 86361 259081 0.0652306%

170 87041 261121 0.0651039%

171 88409 265225 0.0644736%

172 89097 267289 0.0643498%

173 90481 271441 0.0637339%

174 91177 273529 0.063613%

175 92577 277729 0.0630111%

176 93281 279841 0.0628929%

177 94697 284089 0.0623044%

178 95409 286225 0.0621888%

179 96841 290521 0.0616134%

180 97561 292681 0.0615004%

181 99009 297025 0.0609376%

182 99737 299209 0.060827%

183 101201 303601 0.0602765%

184 101937 305809 0.0601683%

185 103417 310249 0.0596295%

186 104161 312481 0.0595236%

187 105657 316969 0.0589963%

188 106409 319225 0.0588926%

189 107921 323761 0.0583764%

190 108681 326041 0.0582749%

191 110209 330625 0.0577694%

192 110977 332929 0.05767%

193 112521 337561 0.0571749%

194 113297 339889 0.0570775%

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4679 65697841 197093521 0.002374%

4680 65716561 197149681 0.00237383%

4681 65754009 197262025 0.00237299%

4682 65772737 197318209 0.00237282%

4683 65810201 197430601 0.00237197%

4684 65828937 197486809 0.0023718%

4685 65866417 197599249 0.00237096%

4686 65885161 197655481 0.00237079%

4687 65922657 197767969 0.00236995%

4688 65941409 197824225 0.00236978%

4689 65978921 197936761 0.00236894%

4690 65997681 197993041 0.00236877%

4691 66035209 198105625 0.00236793%

4692 66053977 198161929 0.00236776%

4693 66091521 198274561 0.00236692%

4694 66110297 198330889 0.00236675%

4695 66147857 198443569 0.00236591%

4696 66166641 198499921 0.00236574%

4697 66204217 198612649 0.0023649%

4698 66223009 198669025 0.00236474%

4699 66260601 198781801 0.0023639%

4700 66279401 198838201 0.00236373%

4701 66317009 198951025 0.00236289%

4702 66335817 199007449 0.00236273%

4703 66373441 199120321 0.00236189%

4704 66392257 199176769 0.00236172%

4705 66429897 199289689 0.00236088%

4706 66448721 199346161 0.00236072%

4707 66486377 199459129 0.00235988%

4708 66505209 199515625 0.00235971%

4709 66542881 199628641 0.00235888%

4710 66561721 199685161 0.00235871%

4711 66599409 199798225 0.00235788%

4712 66618257 199854769 0.00235771%

4713 66655961 199967881 0.00235688%

4714 66674817 200024449 0.00235671%

4715 66712537 200137609 0.00235588%

4716 66731401 200194201 0.00235571%

4717 66769137 200307409 0.00235488%

4718 66788009 200364025 0.00235471%

4719 66825761 200477281 0.00235388%

4720 66844641 200533921 0.00235372%

4721 66882409 200647225 0.00235289%

4722 66901297 200703889 0.00235272%

4723 66939081 200817241 0.00235189%

4724 66957977 200873929 0.00235172%

4725 66995777 200987329 0.00235089%

4726 67014681 201044041 0.00235073%

4727 67052497 201157489 0.0023499%

4728 67071409 201214225 0.00234973%

4729 67109241 201327721 0.00234891%

4730 67128161 201384481 0.00234874%

4731 67166009 201498025 0.00234791%

4732 67184937 201554809 0.00234775%

4733 67222801 201668401 0.00234692%

4734 67241737 201725209 0.00234676%

4735 67279617 201838849 0.00234593%

4736 67298561 201895681 0.00234577%

4737 67336457 202009369 0.00234494%

4738 67355409 202066225 0.00234478%

4739 67393321 202179961 0.00234395%

4740 67412281 202236841 0.00234379%

4741 67450209 202350625 0.00234296%

4742 67469177 202407529 0.0023428%

4743 67507121 202521361 0.00234198%

4744 67526097 202578289 0.00234181%

4745 67564057 202692169 0.00234099%

4746 67583041 202749121 0.00234082%

4747 67621017 202863049 0.00234%

4748 67640009 202920025 0.00233984%

4749 67678001 203034001 0.00233902%

4750 67697001 203091001 0.00233885%

4751 67735009 203205025 0.00233803%

4752 67754017 203262049 0.00233787%

𝒚 = 𝟒𝒆−𝟏.𝟐𝟖𝟒𝟔𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐𝒙

2.5 Upgrade: selezionare la classe

Si noti che,

1)Tutti i quadrati critici appartengono alla classe di resto (−2).

2)Ogni frequenza, ad ogni passo, si alterna periodicamente tra la classe di resto (−2) e la classe di

resto (−1).

Sulla base di questi due aspetti è possibile restringere per la verifica degli stati di un dato 𝑥, per

ridurre i calcoli e rendere il nostro algoritmo ancora più efficiente, ad una sola classe di resto (creando

di fatto un Test di Primalità specifico per gli elementi di una certa classe di resto): per farlo è

sufficiente introdurre un nuovo oggetto che definiamo come somma-frequenza e che indichiamo con la

notazione 𝜃(𝑛).

(3*3) - 2 = 7 [3]

(3*4) - 1 = 11 [4]

(3*5) - 2 = 13 [5]

(3*6) - 1 = 17 [6]

(3*7) - 2 = 19 [7]

(3*8) - 1 = 23 [8]

(3*9) - 2 = 25 [9] <9> 3 7 5 (3*10)

- 1 = 29 [10]

(3*11)

- 2 = 31 [11]

(3*12) - 1 = 35 [12] 9 3 7 (3*13)

- 2 = 37 [13]

(3*14)

- 1 = 41 [14]

(3*15)

- 2 = 43 [15]

(3*16)

- 1 = 47 [16]

(3*17) - 2 = 49 [17] <17> 9 5 7 (3*18)

- 1 = 53 [18]

(3*19) - 2 = 55 [19] 9 3 7 (3*20)

- 1 = 59 [20]

(3*21)

- 2 = 61 [21]

La somma-frequenza è la somma dei due valori d’onda ¥′(𝑛) 𝑒 ¥′′(𝑛) di una data frequenza Ω(𝑛);

ad esempio nel caso di 5 associato a 2, i cui valori d’onda sono rispettivamente Ω(25)[3,7] avremo

𝜃(25) = 10 (𝑖𝑛𝑓𝑎𝑡𝑡𝑖 3 + 7 = 10). L’applicazione è la seguente:

𝜃(𝑛) = 6𝑛 − 4 𝑖𝑓 𝑛 𝑜𝑑𝑑 6𝑛 − 2 𝑖𝑓 𝑛 𝑒𝑣𝑒𝑛

𝑝𝑒𝑟 ∀𝑛 ∈ 𝑁*

Si può facilmente dimostrare che la somma-frequenza di un dato indice è sempre uguale al doppio del

valore di output a cui quell’indice è associato, infatti:

4𝑛 − 3 + 2𝑛 − 1 = 6𝑛 − 4 = 2(3𝑛 − 2) 𝑖𝑓 𝑛 𝑜𝑑𝑑

2𝑛 − 1 + 4𝑛 − 1 = 6𝑛 − 2 = 2(3𝑛 − 1) 𝑖𝑓 𝑛 𝑒𝑣𝑒𝑛

Si noti: 3𝑛 − 2 𝑖𝑓 𝑛 𝑜𝑑𝑑 𝑒 3𝑛 − 1 𝑖𝑓 𝑛 𝑒𝑣𝑒𝑛 𝑠𝑜𝑛𝑜 𝑙𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒 𝑑𝑒𝑔𝑙𝑖 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑖 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑛𝑒𝑙𝑙𝑜 𝑆𝑝𝑎𝑧𝑖𝑜 𝑇𝑒𝑠𝑙𝑎

Ciò detto ricordiamo che,

1)I quadrati critici sono selezionabili come sorgenti.

2) Tutti i quadrati critici appartengono esclusivamente alla classe di resto (−2) che per definizione

dalla funzione generatrice 𝑓(𝑛) degli output corrisponde ad un indice dispari (in modo analogo la

classe di resto (−1) corrisponde ad un indice pari).

3)Tutte le somme-frequenza corrispondono al doppio del valore di output associato alla sorgente

selezionata: quindi poiché tutti i valori di output sono numeri dispari, allora anche tutti i valori di

output associati a qualunque sorgente selezionabile saranno numeri dispari e un numero dispari

raddoppiato darà sempre come risultato un numero pari.

Quindi possiamo dedurre che,

Se fisso le sorgenti sui quadrati critici ed utilizzo la funzionalità somma-frequenza: stiamo di fatto

parlando di un indice dispari a cui viene sommata una quantità pari che per definizione darà sempre

come risultato un numero dispari (indipendentemente dal numero di iterazioni), ovvero le onde-

setaccio generate dai vari quadrati critici posti come sorgenti (tutti in classe di resto (−2)) a cui venga

applicata la somma-frequenza testeranno solo e soltanto valori esclusivamente nello spazio dedicato

alla classe di resto (−2). Ho ottenuto una condizione specifica per la classe (−2).

Per porre invece un vincolo analogo in classe di resto (−1) sarà sufficiente “shiftare” indietro tutti i

quadrati critici posti come sorgenti di un fattore pari esattamente al secondo valore d’onda ¥′′: in

questo modo le onde-setaccio manterranno gli stessi parametri ma la loro sorgente diverrà un indice

pari (quindi in classe di resto (−1)) e poiché da quella sorgente pari sommerò sempre una quantità

pari otterrò sempre un indice pari, ovvero testerò solo e soltanto valori esclusivamente nello spazio

dedicato alla classe di resto (−1).

3. Il Metodo avanzato: costruzione dei Polinomi

Sulla base dei principi fondamentali fin qui esposti possiamo pensare di formalizzare le varie onde-

setaccio sottoforma di polinomi più o meno complessi. Ogni onda-setaccio, nella sua forma più

elementare, si riduce di fatto alla verifica di uno o più stati per cui può esistere o può non esistere una

soluzione intera per una certa variabile indipendente (che chiameremo 𝑎): se esiste allora il numero

che viene testato (che chiameremo 𝑥) è tracciato, dunque è composto, se non esiste allora il numero

potrebbe essere primo; prima di stabilire definitivamente che un numero testato sia primo è

necessario verificare che per tutti i quadrati inferiori al numero dato si abbia una soluzione non intera

per 𝑎.

Un Polinomio di questo tipo ha la seguente struttura:

𝑇(𝑛) = 𝑛 + 𝜃(𝑛)𝑎 = 𝑥 𝑖𝑓 𝑛 𝑜𝑑𝑑

𝑛 + 𝜃(𝑛)𝑎 = 𝑥 𝑖𝑓 𝑛 𝑒𝑣𝑒𝑛

𝑜𝑣𝑣𝑒𝑟𝑜,

𝑇(𝑛) = 𝑛 + 𝜃(𝑛)𝑎 − 𝑥 = 0 𝑖𝑓 𝑛 𝑜𝑑𝑑

𝑛 + 𝜃(𝑛)𝑎 − 𝑥 = 0 𝑖𝑓 𝑛 𝑒𝑣𝑒𝑛

𝑇(𝑛) ≔ 𝑓𝑢𝑛𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑖 𝑡𝑒𝑠𝑡𝑖𝑛𝑔

𝑛 è una sorgente generica e 𝜃(𝑛) è la somma-frequenza associata a quella sorgente. 𝑥 deve essere

posto in forma d’indice e deve essere della stessa classe di resto di 𝑛. 𝑎 è la variabile indipendente,

ovvero il numero virtuale di “balzi” che la somma-frequenza deve compiere per tracciare o non tracciare l’elemento da testare: per cui può esistere soluzione intera, ovvero il numero è tracciato, o

può non esistere

Riducendo la forma generalizzata al caso particolare dei quadrati critici si avrà:

𝑇(𝑛) = 𝑄(𝑛) + 𝜃(𝑛)𝑎 − 𝑥 = 0 𝑖𝑓 𝑛 𝑜𝑑𝑑

𝑄(𝑛) + 𝜃(𝑛)𝑎 − 𝑥 = 0 𝑖𝑓 𝑛 𝑒𝑣𝑒𝑛

𝑃𝑒𝑟 𝑔𝑙𝑖 𝑥 𝑖𝑛 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑑𝑖 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 (−2)

𝑇(𝑛) = 𝑄(𝑛) − ¥′(𝑛) + 𝜃(𝑛)𝑎 − 𝑥 = 0 𝑖𝑓 𝑛 𝑜𝑑𝑑

𝑄(𝑛) − ¥′(𝑛) + 𝜃(𝑛)𝑎 − 𝑥 = 0 𝑖𝑓 𝑛 𝑒𝑣𝑒𝑛

𝑃𝑒𝑟 𝑔𝑙𝑖 𝑥 𝑖𝑛 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑑𝑖 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 (−1)

In forma estesa:

𝑇(𝑛) = 3𝑛2 − 4𝑛 + 2 + (6𝑛 − 4)𝑎 − 𝑥 = 0 𝑖𝑓 𝑛 𝑜𝑑𝑑

3𝑛2 − 2𝑛 + 1 + (6𝑛 − 2)𝑎 − 𝑥 = 0 𝑖𝑓 𝑛 𝑒𝑣𝑒𝑛

𝑃𝑒𝑟 𝑔𝑙𝑖 𝑥 𝑖𝑛 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑑𝑖 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 (−2)

𝑇(𝑛) = 3𝑛2 − 6𝑛 + 3 + (6𝑛 − 4)𝑎 − 𝑥 = 0 𝑖𝑓 𝑛 𝑜𝑑𝑑

3𝑛2 − 6𝑛 + 2 + (6𝑛 − 2)𝑎 − 𝑥 = 0 𝑖𝑓 𝑛 𝑒𝑣𝑒𝑛

𝑃𝑒𝑟 𝑔𝑙𝑖 𝑥 𝑖𝑛 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑑𝑖 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 (−1)

Per ogni dato 𝑥 da testare, in forma d’indice, vanno verificati tutti gli 1 < 𝑛 ≤ [√ 3𝑥 − 2 ] + 1 se 𝑥 è

in classe di resto (−2) oppure tutti gli 1 < 𝑛 ≤ [√ 3𝑥 − 1 ] + 1 se 𝑥 è in classe di resto (−1). Se per

tutti gli 𝑛 verificati 𝑎 ha soluzione non intera allora 𝑥 primo; se invece per tutti gli 𝑛 verificati 𝑎

ha almeno una volta soluzione intera allora 𝑥 è composto.

Meno 𝑛 devo verificare per ogni dato 𝑥 più l’algoritmo sarà efficiente; quest’affermazione può

sembrare banale tuttavia è estremamente importante da sottolineare poiché, come vedremo a breve, è

possibile ridurre significativamente il numero dei quadrati critici da testare attraverso delle tecniche

specifiche: a patto che si sia in grado di modificare in modo corretto la struttura dei Polinomi per

verificare gli stati dell’𝑥 .

3.1 Upgrade: compressione dei Quadrati Critici

Si consideri la seguente Congettura,

Congettura 3°. Si può sempre individuare il punto medio tra due quadrati critici 𝑝 𝑒 𝑞, ovvero posso

sempre individuare un elemento dell’indice 𝑐 tale che l’uguaglianza 𝑐 =𝑝+𝑞

2 (𝑐𝑜𝑛 𝑝, 𝑞, 𝑐 ∈

𝑁) sia soddisfatta; si può sempre altresì trovare un ulteriore punto medio 𝑚 tra il punto medio 𝑐 ed

un altro punto medio 𝑘 analogo a 𝑐 tale che l’uguaglianza 𝑚 =𝑐+𝑘

2 (𝑐𝑜𝑛 𝑚, 𝑐, 𝑘 ∈ 𝑁) sia

soddisfatta; si possono in effetti individuare infiniti punti medi di questo tipo. Ogni punto medio offre la possibilità di combinare l’informazione delle onde-setaccio associate alle sorgenti che lo hanno determinato, divenendo a sua svolta sorgente di un’onda setaccio più complessa.

Un elemento dell’indice che può essere espresso come punto medio tra due quadrati critici o come

punto medio di punti medi tra quadrati critici assume una proprietà addizionale: diviene un quadrato

critico di livello superiore. Il livello è in funzione del numero dei dimezzamenti (a partire da quadrati

critici “standard”, o detti anche di livello 0) con cui può essere espresso; si parlerà quindi di quadrati

critici di livello 1 (ovvero 1 dimezzamento a partire da quadrati critici di livello 0), livello 2 (2

dimezzamenti a partire da quadrati critici di livello 0), livello 3 e così via.

Il processo di dimezzamento progressivo non cancella la struttura coerente dei quadrati critici,

piuttosto la “compatta”, preservando il contenuto informativo delle onde-setaccio ma non la loro

forma: ogni dimezzamento determina infatti delle alterazioni nella metrica spaziale e

conseguentemente nella struttura della verifica polinomiale degli stati per testare un dato numero 𝑥.

Tale processo ha quindi fondamentalmente un aspetto positivo ed un aspetto negativo.

L’aspetto positivo è che vengono dimezzati gli elementi effettivi da calcolare (si dice che l’𝒏 si

compatta) per stabilire la primalità o meno di un dato numero in input:

Confronto tra numero dei quadrati critici calcolati, di livello 0, nella prima implementazione (linea tratteggiata) con il numero dei quadrati critici calcolati, stavolta di livello 1, nella seconda

implementazione (linea continua)

L’aspetto negativo invece è che la struttura della verifica polinomiale degli stati diviene sempre più

articolata e complessa.

Si noti che il processo di dimezzamento si ritiene iterabile in modo arbitrario, a patto che si sia in

grado di modificare la struttura della verifica polinomiale degli stati in modo corretto ad ogni passaggio: se questo è vero significa che deve necessariamente esistere un numero finito di

dimezzamenti per ogni punto della distribuzione numerica che possiamo considerare; quindi deve

esistere una Funzione di Testing 𝑇(𝑛) che corrisponde ad un Test di Primalità esatto per ogni punto

dell’indice:

Congettura 4°. Se è vera la Congettura 3°, allora per ogni numero da testare 𝑥 deve esistere un unico

quadrato critico di livello 𝐿 pari o inferiore ad 𝑥, indicato con SL e detto punto di singolarità

quadratica, il cui livello dipenderà dalla grandezza di 𝑥 e tale che generi un sistema 𝑇(𝑛) in grado di

determinare la primalità o meno di 𝑥 con un singolo 𝑛 .

Di seguito un esempio di come si modificata la struttura polinomiale della verifica degli stati quando si

utilizza quadrati critici di livello superiore:

𝑇(𝑛) = 12𝑛2 + 1 + 12𝑛𝑎 + 4𝑛 + 2𝑎 − 𝑥 = 0

12𝑛2 + 1 + 12𝑛𝑎 − 4𝑛 − 2𝑎 − 𝑥 = 0

𝑃𝑒𝑟 𝑔𝑙𝑖 𝑥 𝑖𝑛 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑑𝑖 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 (−2), 𝑐𝑜𝑛 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑖 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑖 𝑑𝑖 𝐿𝑉𝐿 1

𝑇(𝑛) = 12𝑛2 + 2 + 12𝑛𝑎 + 12𝑛 + 2𝑎 − 𝑥 = 0

12𝑛2 + 2 + 12𝑛𝑎 + 12𝑛 − 2𝑎 − 𝑥 = 0

𝑃𝑒𝑟 𝑔𝑙𝑖 𝑥 𝑖𝑛 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑑𝑖 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 (−1), 𝑐𝑜𝑛 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑖 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑖 𝑑𝑖 𝐿𝑉𝐿 1

Per ogni dato 𝑥 da testare, in forma d’indice, vanno verificati tutti gli 1 ≤ 𝑛 ≤ [√3𝑥−2]+1

2 se 𝑥 è

in classe di resto (−2) oppure tutti gli 1 ≤ 𝑛 ≤[√3𝑥−1]+1

2 se 𝑥 è in classe di resto (−1). Se

per tutti gli 𝑛 verificati 𝑎 ha soluzione non intera allora 𝑥 primo; se invece per tutti gli 𝑛

verificati 𝑎 ha almeno una volta soluzione intera allora 𝑥 è composto.

In caso di soluzione intera di 𝑎 in un sistema di verifica polinomiale con quadrati critici superiori al

livello 0, per individuare i fattori associati ai vari 𝑛 compattati si fa convenzionalmente riferimento al

seguente diagramma ad albero:

Al livello 0 ogni 𝑛 corrisponde ad un (1) solo 𝑓(𝑛), nel 1° livello corrisponde a due (2), nel 2° a

quattro (4) e così via

3.2 Upgrade: scegliere la forma da testare

Un’altra variabile decisiva che determina l’efficienza degli algoritmi di questo tipo è il numero effettivo

di elementi da testare, ovvero la forma di 𝑥 e la densità dei numeri primi che ci si aspetta di trovare

nella distribuzione di quella forma.

Ovvero se voglio generare numeri primi testando una serie di elementi, una forma degli elementi

selezionata casualmente è poco probabile che mi porti dei vantaggi significativi: al contrario una forma

degli elementi selezionata con un criterio preciso seguirà più probabilmente una struttura coerente e

renderà possibile estrarre numeri primi in modo più efficiente.

Possiamo quindi creare delle verifiche polinomiali “ibride”, di fatto basate su partizioni e sottoinsiemi

dello Spazio Tesla, che ereditano gli stessi principi per strutturare il sistema ma impongono una forma

più selettiva all’input 𝑓(𝑥):

𝐶𝑜𝑛 𝑓(𝑥) = 24𝑥 + 1 𝑝𝑒𝑟 ∀𝑥 ∈ 𝑁*

𝑇(𝑛) =

∑3𝑘

𝑛

𝑘=1

+ 7𝑛𝑎 − 𝑛 − 𝑎(𝑛 − 1) − 𝑓(𝑥) = 0

∑ 3𝑘

𝑛

𝑘=1

+ 7𝑛𝑎 − 2𝑛 − 2𝑎 − 𝑎(𝑛 − 1) − 𝑓(𝑥) = 0

𝑇𝑢𝑡𝑡𝑖 𝑔𝑙𝑖 𝑓(𝑥)𝑠𝑜𝑛𝑜 𝑖𝑛 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑑𝑖 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 (−2), 𝑐𝑜𝑛 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑖 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑖 𝑑𝑖 𝐿𝑉𝐿 1

𝑓(𝑥):= 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑔𝑙𝑖 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑖 𝑑𝑎 𝑡𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟𝑒

Per ogni dato 𝑓(𝑥) da testare, in forma d’indice, vanno verificati tutti gli 1 ≤ 𝑛 ≤ [√3𝑥−2]+1

2.

Se per tutti gli 𝑛 verificati 𝑎 ha soluzione non intera allora 𝑓(𝑥) primo; se invece per tutti gli 𝑛

verificati 𝑎 ha almeno una volta soluzione intera allora 𝑓(𝑥) è composto.

Tutti gli Upgrade fin qui esposti nell’articolo (ovvero la selezione della classe, la compressione dei

quadrati e la scelta della forma) possono essere combinati tra loro in modo flessibile e sinergico per

creare strumenti più eleganti e più accurati; ad esempio la seguente verifica polinomiale combina tutti

e tre gli aspetti:

𝐶𝑜𝑛 𝑓(𝑥) = 80𝑥2 − 24𝑥 + 2

80𝑥2 + 24𝑥 + 2 ∀𝑥 ∈ 𝑁

𝑇(𝑛) =

12𝑓(𝑛)

2 + 78𝑓(𝑛) + 128 + 48(𝑛 + 1)𝑎 − 72(𝑛 + 1) − 10𝑎 − 𝑓(𝑥) = 0

12𝑓(𝑛)2 + 78𝑓(𝑛) + 126 + 48(𝑛 + 1)𝑎 − 24(𝑛 + 1) − 2𝑎 − 𝑓(𝑥) = 0

12𝑓(𝑛)2 + 78𝑓(𝑛) + 128 + 48(𝑛 + 1)𝑎 + 24(𝑛 + 1) + 2𝑎 − 𝑓(𝑥) = 0

12𝑓(𝑛)2 + 78𝑓(𝑛) + 122 + 48(𝑛 + 1)𝑎 + 72(𝑛 + 1) + 10𝑎 − 𝑓(𝑥) = 0

𝑇𝑢𝑡𝑡𝑖 𝑔𝑙𝑖 𝑓(𝑥)𝑠𝑜𝑛𝑜 𝑖𝑛 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑑𝑖 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 (−1), 𝑐𝑜𝑛 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑖 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑖 𝑑𝑖 𝐿𝑉𝐿 2

Per ogni dato 𝑓(𝑥) da testare, in forma d’indice, vanno verificati tutti gli 0 ≤ 𝑛 ≤ [√3𝑓(𝑥)−1]+1

8 .

Se per tutti gli 𝑛 verificati 𝑎 ha soluzione non intera allora 𝑓(𝑥) primo; se invece per tutti gli 𝑛

verificati 𝑎 ha almeno una volta soluzione intera allora 𝑓(𝑥) è composto.

4. Rappresentazione geometrica

I due (2) valori d’onda di una qualsiasi frequenza Ω(𝑛) sono inscrivibili in un periodo di lunghezza 𝜋,

quindi possono essere rappresentati come i due cateti di un triangolo inscritto in una

semicirconferenza che ha per lato il diametro della circonferenza: il triangolo in questione deve essere

un triangolo rettangolo per il Teorema di Talete.

Teorema Talete (Geometria). Il triangolo inscritto in un cerchio (o in una semicirconferenza) e che ha per lato il suo diametro deve essere un triangolo rettangolo.

A tale forma, dunque per tutte le frequenze che possiamo considerare Ω(𝑛), possiamo quindi

applicare il Teorema di Pitagora,

Teorema Pitagora (Geometria). In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente all'unione dei quadrati costruiti sui cateti.

Secondo il Teorema di Pitagora vale quindi la relazione 𝐴𝐶 2 + 𝐶𝐵 2 = 𝐴𝐵 2, ovvero:

¥′ 2+ ¥′′

2= ∆2

Questo è l’anello di congiunzione cruciale che ci permette di traslare il problema da una prospettiva

lineare ad una prospettiva decisamente non lineare.

La nostra retta dei numeri naturali indicizzata diviene improvvisamente l’intorno indicizzato di un

cerchio in cui un problema prettamente aritmetico diviene chiaramente un problema di “forma”.

Se dunque il problema della distribuzione dei numeri primi è conciliabile con un intorno allora stiamo

di fatto affermando che debba necessariamente essere coinvolto il 𝜋 a qualche livello.

5. Formule per i numeri primi

In questo scritto, come già avrete notato, non pubblichiamo alcuna dimostrazione delle formule

proposte. Semplicemente, sulla base delle prove sperimentali, poniamo questi applicativi come oggetti

da verificare.

5.1. Formula J

(𝒏, 𝒌) = √(𝟔𝒏±𝟏)𝟐+𝟑𝒌(𝟕𝟐𝟎𝒏𝟐±𝟐𝟒𝟎𝒏+𝟐𝟎)

(𝟔𝒏±𝟏)𝟐

𝟒

𝒄𝒐𝒏 𝒏, 𝒌 ∈ 𝑵 𝒆𝒅 𝒊 𝒔𝒆𝒈𝒏𝒊 𝒅𝒆𝒗𝒐𝒏𝒐 𝒆𝒔𝒔𝒆𝒓𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒄𝒐𝒓𝒅𝒊

Congettura 5°. Indipendentemente dai valori assegnati ad 𝒏 e 𝒌, se il risultato è un numero intero

allora quell’intero è certamente un numero primo.

Rappresentazione intuitiva della formula J:

5.2 Formula del 3:

𝓔(𝒏, 𝒌) =(𝟔𝒏 ± 𝟏)𝟐 + (𝟕𝟐𝟎𝒏𝟐 ± 𝟐𝟒𝟎𝒏 + 𝟐𝟎) + 𝟑𝒌(𝟕𝟐𝟎𝒏𝟐 ± 𝟐𝟒𝟎𝒏 + 𝟐𝟎)

(𝟔𝒏 ± 𝟏)𝟐

𝒄𝒐𝒏 𝒏, 𝒌 ∈ 𝑵 𝒆𝒅 𝒊 𝒔𝒆𝒈𝒏𝒊 𝒅𝒆𝒗𝒐𝒏𝒐 𝒆𝒔𝒔𝒆𝒓𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒄𝒐𝒓𝒅𝒊

Congettura 6°. Il risultato di 𝓔(𝒏, 𝒌) deve essere diviso per 3 finchè è possibile dividerlo per 3

(iterando la divisione) se il risultato (il residuo) è diverso da 1 allora si applica la radice ( √ ) e si possono avere due casi:

- Non esiste soluzione intera, quindi il risultato si scarta

- Esiste soluzione intera, quindi il risultato è un numero primo o è la potenza di un primo

Per risolvere il secondo punto è sufficiente applicare la radice per la seconda volta:

- Se non esiste soluzione intera, allora il risultato è certamente un primo

- Se esiste un’altra soluzione intera ripetere il procedimento finchè non si ottiene una soluzione non intera: l’ultima soluzione intera trovata sarà certamente un primo

I primi generati con 𝓔(𝒏, 𝒌) sono generati in ordine relativamente casuale. Il residuo della divisione enne-sima per 3 viene finito “polvere di Tesla” .

Per vedere le prove sperimentali collezionate dalle sopracitate formule vi invitiamo a prendere visione

degli allegati “Dati di output formula J e 3”, accompagnati al presente articolo.

6. Conclusioni

In questo articolo abbiamo affrontato un lungo viaggio che inizia con la scoperta di un insieme dalle

proprietà interessanti, attraversa le sconfinate lande della complessità frattale e culmina nel

ricondurre tutto ad un sistema ciclico in continuo divenire.

L’aspetto centrale tuttavia è il deciso cambio di prospettiva che propone nell’osservare il problema

della distribuzione dei numeri primi non più come una scomposta successione di elementi disordinati

ma come l’elegante prodotto di una straordinaria armonia integrata.

I fondamenti del nuovo modello algebrico ed aritmetico, che in questo scritto sono stati suggeriti, si

spera innanzitutto che possano offrire per il futuro di tutti un valido spunto per una migliore analisi ed

una migliore comprensione dei fenomeni naturali.

Tutte le applicazioni del modello, come si può intuire, sono particolarmente adatte ad essere impiegate

nel mondo dell’ICT (Information and Communications Technologies): potenzialmente declinabili

nell’infinità dei protocolli basati sulla teoria dei segnali che spaziano da quelli per la codifica e la

decodifica delle informazioni fino ad arrivare a quelli di acquisizione, compressione e trasformazione

del dato a tutti i livelli.

E’ importante ricordare però che la totalità del materiale proposto è ancora privo di una

dimostrazione rigorosa e dunque manca una conferma definitiva sulla sua completa bontà; tutto ciò

che abbiamo sollevato sono di fatto Congetture, Ipotesi e prove sperimentali.

Ma come si dice, noi ci crediamo.

Note

Il materiale riportato in questo scritto è stato tutelato, archiviato e storicizzato a partire dal 2016.

Nasce da un’idea di Cappellini Francesco, con le implementazioni algoritmiche di Fornaini Francesco e

con la partecipazione di Baglini Andrea.

Contatti

www.sigmamethod.com

cappellinifrancesco@virgilio.it

F.francesco183@gmail.com

ing.andreabaglini@gmail.com

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