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Una aplicacion del teorema de la funcionimplıcita en la estabilidad de Ulam para
ecuaciones diferenciales exactas
Sandra Patricia Fajardo Fuquene
Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas
Facultad Ciencias y Educacion
Proyecto Curricular de Matematicas
Bogota, Colombia
2015
Una aplicacion del teorema de la funcionimplıcita en la estabilidad de Ulam para
ecuaciones diferenciales exactas
Sandra Patricia Fajardo Fuquene
Trabajo de grado
Director
Luis Oriol Mora Valbuena
Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas
Facultad Ciencias y Educacion
Proyecto Curricular de Matematicas
Bogota, Colombia
2015
Dedicado a mis Padres.
Agradecimientos
Este trabajo es el culmen de un camino en el que me di cuenta que las matematicas son el regalo que
Dios me dio para crecer como mujer, ya que en el pregrado aprendı que soy miembro de una sociedad
en la que debo ser parte activa y no ser indiferente a todas los problemas que la afectan.
Agradezco a Dios por todas las bendiciones que me da, a mis padres Juan Fajardo y Patricia Fuquene
que siempre me acompanan, apoyan y guıan, de ellos he recibido la muestra de amor mas grande, no
serıa nada sin ellos. Aunque no le puedo dar las gracias a mi papa porque ahora esta en la presencia
de Dios espero que se sienta orgulloso de mı y a mi mama que me acompana le agradezco por ser
ejemplo de fortaleza.
Tambien agradezco a mis hermanas Yury, Lucero y Juanita que han sido mi apoyo y motivacion son
parte muy importante de mi vida. A mis amigos y companeros con los que compartı los momentos mas
importantes en la carrera y aprendı que en los momentos difıciles hay que sonreır y seguir adelante.
Para terminar quiero agradecer al Profesor Oriol Mora Valbuena que me enseno que para ser ma-
tematico no solo se debe saber matematicas si no que se debe ser una gran persona, es mi ejemplo a
seguir, gracias por acompanarme en esta etapa final de la carrera.
Indice general
Introduccion 2
Objetivos 3
Metodologıa 4
1. Conceptos basicos 5
1.1. Topologıa en espacios metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Continuidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Diferenciabilidad en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2. Preliminares 12
2.1. Derivabilidad en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2. Funciones de Rn en Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3. Teorema de la funcion inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4. Teorema de la funcion implıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3. Estabilidad 38
3.1. Estabilidad segun Hyers − Ulam. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2. Estabilidad segun Hyers − Ulam − Rassias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3. Metodo del punto fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4. Aplicacion 63
4.1. Ecuacion diferencial exacta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2. Aplicacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5. Conclusiones 73
v
Conclusiones 73
Bibliografıa 74
Introduccion
El objetivo principal de esta monografıa es conocer la importancia que tiene el teorema de la funcion
implıcita para determinar la estabilidad de Ulam en una ecuacion diferencial exacta de la forma
g(x, y)+h(x, y)y′ = 0. Para tal fin se propone hacer una reconstruccion del artıculo Implicit Function
Theorem and Its Application to a Ulam’s Problem for Exact Differential Equations escrito
por JUNG Soon−Mo en el ano 2010, el cual se encuentra en [1].
El autor de este escrito enuncia y demuestra dos teoremas; el primero es una generalizacion del teorema
“local”de la funcion implıcita, el cual garantiza que la ecuacion u(x, y) = 0 que esta escrita de forma
explıcita se puede resolver en terminos de y en todo el conjunto en la que esta definida; luego el
autor enuncia el segundo teorema en el que menciona las condiciones que debe cumplir la solucion de
una ecuacion diferencial exacta para ser estable segun Hyers − Ulam − Rassias. El enunciado y la
demostracion de estos teoremas se encuentran en el capıtulo 4 de este trabajo.
Pero para poder entender lo mencionado anteriormente es necesario primero comprender el teorema
de la funcion implıcita, motivo por el cual se desarrollan los capıtulos 1 y 2; en el primero se enuncian
las definiciones y teoremas basicos de topologıa en espacios metricos, continuidad y derivabilidad en
R, en el segundo se definen la derivada total, derivada direccional y parcial junto con las relaciones que
existen entre estas. Luego se mencionan y demuestran el teorema de la funcion implıcita con algunos
ejemplos.
Despues de tener claro el teorema de la funcion implıcita en el capıtulo 3 se define el concepto de
estabilidad segun Hyers − Ulam y segun Hyers − Ulam − Rassias y se ilustran estas definiciones con
la ecuacion funcional de Cauchy y finaliza con una breve descripcion del metodo del punto fijo que
sirve en muchos casos para determinar si una ecuacion es o no estable.
Al terminar este trabajo se podra identificar la importancia que tiene el teorema de la funcion implıcita
en la teorıa de la estabilidad en una ecuacion diferencial exacta.
2
Objetivos
Objetivo General
Conocer la importancia que tiene el teorema de la funcion implıcita para determinar la estabilidad de
Ulam en una ecuacion diferencial exacta de la forma g(x, y) + h(x, y)y′ = 0, basados en [1].
Objetivos Especıficos.
1. Realizar un estudio del teorema de la funcion implıcita en Rn.
2. Conocer el problema de Ulam en la teorıa de la estabilidad.
3. Estudiar la estabilidad de Ulam en ecuaciones diferenciales exactas de la forma
g(x, y) + h(x, y)y′ = 0.
3
Metodologıa
Para el optimo desarrollo de los objetivos planteados en esta monografıa, se realizara la lectura del
artıculo Implicit Function Theorem and Its Application to a Ulam’s Problem for Exact
Differential Equations, y se realizara una reconstruccion del mismo.
Para la reconstruccion del artıculo mencionado se realizara lo siguiente:
1. Buscar las referencias expuestas en el artıculo.
2. Realizar una busqueda adicional de bibliografıa que complemente y aclare las tematicas expuestas
en el artıculo.
3. Leer de la bibliografıa encontrada y se escogeran las mas adecuadas para el desarrollo de los
objetivos, segun el criterio del estudiante y del director de esta monografıa.
4. Se realizara una sıntesis teorica de las tematicas fundamentales que brindan las herramientas
necesarias para el desarrollo de los objetivos.
5. Se hace una relectura del artıculo, complementando los conceptos y justificaciones de las que no
hay claridad en este.
6. Se hacen las debidas correcciones al trabajo realizado.
4
Capıtulo 1
Conceptos basicos
Para el optimo desarrollo de la presente monografıa es necesario recordar los siguiente conceptos
basicos de topologıa en conjuntos, junto con algunos ejemplos.
1.1. Topologıa en espacios metricos
Un concepto de gran importancia en topologıa es el de metrica o distancia en cualquier conjunto X.
Definicion 1.1.1. Una metrica o distancia en un conjunto X es una funcion
d : X ×X → R
que satisface las siguientes propiedades para cualesquiera x, y, z en X
1. d(x, y) ≥ 0.
2. d(x, y) = 0 si y solo si x = y.
3. d(x, y) = d(y, x).
4. d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z).
Al numero d(x, y) se le llama distancia entre x e y. Definicion tomada de [4, p 117].
Definicion 1.1.2. Sean x, y puntos en Rn. Se define la distancia entre x e y como:
d(x, y) =
√√√√ n∑i=1
(xi − yi)2.
El punto d(x, y) en R se denota por |x− y|. Ver en [5, p 48].
5
CAPITULO 1. CONCEPTOS BASICOS 6
En las siguientes definiciones se hace uso de la definicion de distancia en Rn dada anteriormente.
Definicion 1.1.3. Sea x ∈ Rn y sea r > 0 un numero real. Se definen:
La bola abierta con centro en x y radio r como el conjunto:
{y ∈ Rn : d(x, y) < r}
este conjunto se denotara por Br(x).
El conjunto
{y ∈ Rn : d(x, y) ≤ r}.
se llama la bola cerrada con centro en x y radio r y se denotara por B∗r (x)
La frontera de una bola abierta con centro en x y radio r es el conjuto:
{y ∈ Rn : d(x, y) = r}.
Tomado de [4, p 118].
Definicion 1.1.4. Sea A un conjunto de puntos de Rn, y sea x un punto de Rn. Del punto x se dice
que es un punto interior de A si existe r > 0, con r ∈ R talque todo punto en la bola abierta con
centro en x y radio r tambien esta en A, esto es, Br(x) ⊆ A. El conjunto de todos los puntos interiores
de A se llama interior de A.
Ahora el conjunto A se dice que es un conjunto abierto si todos sus puntos son interiores, esto es,
si el interior de A es A. Definicion tomada de [5, p 49].
Ejemplo 1.1.5. Sea A = [1, 2]× (1, 2) ⊆ R2, entonces el interior de A es:
(1, 2)× (1, 2)
ası A es diferente a su interior, por lo tanto A no es un conjunto abierto.
Ejemplo 1.1.6. Sean x ∈ Rn y r > 0 entonces la bola abierta con centro en x y radio r, Br(x) es un
conjunto abierto, ya que todos sus puntos son interiores.
Teorema 1.1.7. Sea A1, A2, . . . , An una coleccion finita de conjuntos abiertos. Entonces la intersec-
cionn⋂i=1
Ai
es un conjunto abierto.
CAPITULO 1. CONCEPTOS BASICOS 7
Nota: La interseccion arbitraria de conjuntos abiertos no siempre es un conjunto abierto.
Definicion 1.1.8. Sea B un subconjunto de Rn y sea x ∈ Rn, se dice que x es un punto de acu-
mulacion de B, si para todo r ∈ R, r > 0 la bola con centro en x y radio r contiene por lo menos un
punto de B distinto de x. Esto es:
Br(x) ∩ (B − {x}) 6= ∅.
Al conjunto de todos los puntos de acumulacion de B se le llama el conjunto derivado de B.
Ahora el conjunto B se dice que es un conjunto cerrado si contiene todos sus puntos de acumulacion,
esto es, que el conjunto derivado de B este contenido en B. Definicion tomada de [5, p 52].
Ejemplo 1.1.9. Sea B = (0, 1] ⊆ R. Luego el conjunto derivado de B es el intervalo cerrado [0, 1] *
(0, 1], es decir, B no es un conjunto cerrado porque no contiene todos sus puntos de acumulacion, este
ejemplo se puede ver con mayores detalles en [4, p 96].
Ejemplo 1.1.10. Sea B = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0}. El conjunto derivado de B es B, es decir que B es
un conjunto cerrado.
Teorema 1.1.11. Sea S un subconjunto de Rn. Entonces:
1. Si S es un conjunto abierto, su complemento es un conjunto cerrado.
2. Si S es un conjunto cerrado, su complemento es un conjunto abierto.
Definicion 1.1.12. Un subconjunto S de Rn se dice que esta acotado si existen x ∈ Rn y r > 0 tales
que:
S ⊆ Br(x).
Definicion tomada de [5, p 54].
Ejemplo 1.1.13. Sean x ∈ Rn y r > 0 entonces, Br(x) es un conjunto acotado.
Definicion 1.1.14. Una coleccion F de subconjuntos de un espacio X es un cubrimiento de X si la
union de los elementos de F contiene a X.
En otras palabras la coleccion F = {A1, A2, . . .} con Ai ⊆ X e i ∈ N es un cubrimiento de X si:
X ⊆⋃Ai∈F
Ai.
Al cubrimiento F de X se le llama cubrimiento abierto si esta formado por conjuntos abiertos de
X, segun [4, p 163].
CAPITULO 1. CONCEPTOS BASICOS 8
Definicion 1.1.15. Un conjunto X se dice que es compacto si para todo cubrimiento abierto F de
X, existe una subcoleccion finita de F que tambien es cubrimiento de X. Ver en [4, p 164].
Ejemplo 1.1.16. El conjunto de los numeros reales R no es compacto, ya que el cubrimiento abierto
F = {(n, n+ 2) : n ∈ Z}
no contiene una subcoleccion finita que cubra a R.
Ejemplo 1.1.17. El conjunto S = {0} ∪ { 1n : n ∈ N} es compacto.
Teorema 1.1.18. Sea S un conjunto compacto, entonces S es un conjunto cerrado y acotado.
Teorema 1.1.19. Sea {Q1, Q2, . . .} una coleccion de conjuntos no vacıos en Rn tales que:
1. Qk+1 ⊂ Qk para k = 1, 2, 3, . . .
2. Cada conjunto Qk es cerrado y Q1 es acotado.
Entonces la interseccion A =∞⋂k=1
Qk es cerrada y no vacıa.
Definicion 1.1.20. Sea B un subconjunto de Rn, sean x, y puntos de B y sea θ ∈ (0, 1) el segmento
que une los puntos x e y es el conjunto:
{z ∈ Rn : z = θx+ (1− θ)y}
B es un conjunto convexo si para cada par de punto x, y en B el segmento que los une pertenece a
B. Definicion tomada de [5, p 355].
Ejemplo 1.1.21. Toda bola abierta en Rn es un conjunto convexo.
1.2. Continuidad.
Sea f una funcion definida en un subconjunto A de Rn con imagen en Rm, con m ≥ 1 y n ≥ 1.
Definicion 1.2.1. Sean f : A ⊂ Rn → Rm, x0 un punto de A y x′ un punto en Rn. Se dice que el
lımite de f(x0) cuando x0 tiende a x′ es F si:
Para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que si 0 <| x0 − x′ |< δ entonces | f(x0)− F |< ε.
CAPITULO 1. CONCEPTOS BASICOS 9
Este lımite se denota por:
lımx0→x′
f(x0) = F.
Definicion tomada de [5, p 75].
Definicion 1.2.2. Sea f : A ⊂ Rn → Rm y sea x0 un punto de acumulacion de A, se dice que f es
una funcion continua en x0 si:
f esta definida en x0.
Existe el lımite
lımx→x0
f(x) = F.
F = f(x0).
Esto es f es continua en x0 si:
Para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que si 0 <| x0 − x |< δ entonces | f(x0)− f(x) |< ε. La funcion f es
continua en A si es continua en cada punto de A. Ver en [5, p 78].
Teorema 1.2.3. Sean f, g dos funciones continuas en un subconjunto A de Rn, entonces las funciones
f + g y f · g son tambien funciones continuas en A [5, p 80].
Teorema 1.2.4. Sea f un funcion continua en un conjunto abierto A de Rn, y sea B el recorrido de
f . Sea U un subconjutno abierto de B, entonces la imagen inversa f−1(U) es un subconjunto abierto
de A.
Teorema 1.2.5. Sea f un funcion definida en un conjunto abierto A de Rn, y sea B el recorrido de
f . Sea U un subconjutno abierto de B. Si la imagen inversa f−1(U) es un subconjunto abierto de A,
entonces f es una funcion continua en A.
Observacion: De los teoremas anteriores se puede deducir que dados una funcion f y un subconjunto
cerrado A del conjunto de imagenes de f , la imagen inversa de A bajo f es un conjunto cerrado si y
solo si f es continua.
Teorema 1.2.6. Sea f una funcion continua en un conjunto compacto S de Rn entonces f(S) ⊂ Rm
es un conjunto compacto.
Teorema 1.2.7. Sea f una funcion continua en un conjunto compacto S de Rn tal que f(S) ⊂ Rm.
Si f es una funcion inyectiva en S entonces f−1 es continua en f(S).
CAPITULO 1. CONCEPTOS BASICOS 10
1.3. Diferenciabilidad en R
En esta seccion se tomara a f una funcion definida en el intervalo abierto (a, b) con imagen en R.
Definicion 1.3.1. Sea x un punto del intervalo (a, b). Se dice que f tiene derivada en x si existe el
lmite
lımt→0
f(x+ t)− f(x)
t.
A este lımite se le llama derivada de f en x y se denotara por f ′(x). Si existe la derivada de f en x
se dice que f es diferenciable en x. Ver en [5, p 104].
En el siguiente teorema se establece la relacion que existe entre una funcion diferenciable y la conti-
nuidad.
Teorema 1.3.2. Sea f una funcion diferenciable en el punto x ∈ (a, b), entonces f es continua en x.
Observacion El recıproco del teorema enterior es falso, porque existen funciones continuas en un
punto pero que su derivada no existe en ese punto.
Por ejemplo la funcion f definida en los numeros reales dada por:
f(x) = x sen
(1
x
)es continua en cero, pero su derivada no existe en cero.
Teorema 1.3.3. Sea f una funcion de valor real definida en el intervalo abierto (a, b). Si existe la
derivada de f en el punto x con x ∈ (a, b) y f ′(x) > 0, entonces existe r > 0 tal que Br(x) ⊂ (a, b) tal
que:
f(y) > f(x) si y > x, para y ∈ Br(x).
f(y) < f(x) si y < x, para y ∈ Br(x).
Teorema 1.3.4. Sea f una funcion de valor real definida en el intervalo abierto (a, b). Si existe la
derivada de f en el punto x con x ∈ (a, b) y f ′(x) < 0, entonces existe r > 0 tal que Br(x) ⊂ (a, b) tal
que:
f(y) < f(x) si y > x, para y ∈ Br(x).
f(y) > f(x) si y < x, para y ∈ Br(x),
[5, p 108].
CAPITULO 1. CONCEPTOS BASICOS 11
Definicion 1.3.5. Sea f una funcion de valor real definida en un subconjunto A de Rn.
Se dice que f tiene un maximo local en A si existen x en A y r > 0 tal que la bola con centro en x
y radio r satisface:
f(y) ≤ f(x) para todo y ∈ Br(x) ∩A.
Si f(y) ≥ f(x) para todo y ∈ Br(x) ∩ A se dice que x es un mınimo local de f . Definicion tomada
de [5, p 109].
Existe una relacion entre un punto mınimo o maximo y la derivabilidad de una funcion, esta relacion
se evidencia en el siguiente teorema.
Teorema 1.3.6. Sea f una funcion definida en el intervalo (a, b), si f tiene un maximo o mınimo
local en un punto interior x de (a, b) y tiene derivada finita en x. Entonces f ′(x) = 0.
Observacion 1: El recıproco del teorema anterior es falso, ya que si se tiene f ′(x) = 0 no se puede
concluir que x sea un mınimo o maximo local de f . Tal es el caso de la funcion f : R → R con
f(x) = xn ; n ∈ N fijo, porque f ′(x) = nxn−1 por lo tanto f ′(0) = 0, pero 0 no es ni mınimo, ni
maximo local de f .
Observacion 2: La condicion de punto interior para x es necesaria para que se cumpla el teorema
anterior, ya que por ejemplo para la funcion f : [a, b] → R y f(x) = x, se tiene que a es un mınimo
local de f y b es un maximo local de f , pero f ′(x) = f ′(a) = f ′(b) = 1 6= 0. a y b no son puntos
interiores de [a, b].
Teorema 1.3.7. Teorema del valor medio en R. Sea f un funcion real continua en [a, b] y
derivable en todo punto del intervalo abierto (a, b). Entonces existe un punto c ∈ (a, b) tal que
f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a).
Capıtulo 2
Preliminares
Parte de esta monografıa consiste en hacer un desarrollo teorico del teorema de la funcion implıcita,
para ello se usa la teorıa del Analisis Matematico de Tom Apostol, del cual se toman algunas nociones
basicas del concepto de diferenciabilidad en funciones de varias variables reales junto con sus principales
propiedades, el teorema de la funcion inversa y el teorema de la funcion implıcita.
Tambien se exponen algunos ejemplos convenientes para la comprension de esta sıntesis teorica.
2.1. Derivabilidad en Rn
En esta seccion se realiza una generalizacion del concepto de la derivada en Rn para n ≥ 1. Para ello se
definiran los conceptos de derivada direccional, derivada parcial y el concepto de funcion diferenciable
junto con las relaciones que existen entre ellas.
Sea f una funcion definida en un subconjunto abierto A de Rn con imagen en R y sea x un punto
interior de A.
Como x es un punto interior de A existe r > 0 talque Br(x) ⊆ A. Asi para h ∈ Rn con ‖ h ‖< r se
tiene que x+ h ∈ A. Con esto se pueden mencionar las siguientes definiciones.
Definicion 2.1.1. Sea f una funcion real definida en un conjunto abierto B de Rn y sean h 6= 0 ,
x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn. Se define la k-esima derivada parcial de f como:
∂kf(x) = lımh→0
f(x1, . . . , xk−1, xk + h, . . . , xn)− f(x1, . . . , xn)
h.
En f se pueden determinar n derivadas parciales ∂kf(x) con k = 1, 2, . . . , n. Tomada de [7, p 78].
12
CAPITULO 2. PRELIMINARES 13
Ejemplo 2.1.2. Sea f : R2 → R con
f(x, y) =
x2 − y2
x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0);
0 si (x, y) = (0, 0).
En este caso se pueden determinar dos derivadas parciales de primer orden que son:
∂1f(0, 0) = lımt→0
f(t, 0)− f(0, 0)
t= lım
t→0
1
t
∂2f(0, 0) = lımt→0
f(0, t)− f(0, 0)
t= lım
t→0
−1
t,
las derivadas parciales no existen, porque el lımite no existe.
Ejemplo 2.1.3. Sea f : R2 → R con f(x, y) = 2x2y + y2x. Se determinara la derivada parcial
∂1f(x, y).
lımt→0
2(x+ t)2y + y2(x+ t)− (2x2y + y2x)
t= lım
t→0
(2(x+ t)2 − 2x2)y + ((x+ t)− x)y2
t
= lımt→0
2y(2xt+ t2) + y2t
t
= lımt→0
(2y(2x+ t) + y2)
= 4xy + y2
por lo tanto ∂1f(x) = 4xy + y2.
Despues de definir la derivada parcial de una funcion , es necesario definir el vector gradiente de una
funcion.
Definicion 2.1.4. Sea f una funcion definida en Rn que posee n derivadas parciales en un punto
x ∈ Rn. Se define el vector gradiente de f como
(∂1f(x), . . . , ∂nf(x))
Este vector gradiente se denotara por ∇f(x). Ver en [5, p 348].
Existe otra clase de derivada en Rn que es la derivada direccional, la cual determina la razon de cambio
de f cuando el punto x se mueve en direccion del vector u ∈ Rn.
CAPITULO 2. PRELIMINARES 14
Definicion 2.1.5. Sea f una funcion real definida en un conjunto abierto B de Rn, y sea u un vector
en Rn. Se define la derivada de f en el punto x ∈ B en direccion del vector u como
Duf(x) = lımh→0
f(x+ h · u)− f(x)
h.
A este lımite se le llama derivada direccional de f en direccion del vector u. Definicion tomada de
[7, p 77].
Ejemplo 2.1.6. Sea f : R2 → R con f(x, y) =√|xy|. Se determinara la derivada direccional de f
en el punto (0, 0) en direccion del vector (1, 1).
lımt→0
f((0, 0) + t(1, 1))− f(0, 0)
t= lım
t→0
f(t, t)− 0
t
= lımt→0
√|t|2t
= lımt→0
|t|t
como este lımite no exisite, D(1,1)f(0, 0) no existe.
Ejemplo 2.1.7. Sea f : R2 → R con
f(x, y) =
x2y
x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0);
0 si (x, y) = (0, 0).
La derivada de f en el punto (0, 0) en direccion del vector v =
(1√2,
1√2
)es:
lımt→0
f((0, 0) + tv)− f(0, 0)
t= lım
t→0
1
tf
(t√2,t√2
)
= lımt→0
1
t
t3
2√
2t2
=1
2√
2.
Concluyendo Dvf(0, 0) =1
2√
2.
La deriva direccional de una funcion en un punto en cualquier direccion no implica la continuidad de
la funcion en ese punto. Tal es el caso de la funcion f : R2 → R con
f(x) =
xy
x2 + y2si (x, y) 6= 0;
0 si (x, y) = 0.
CAPITULO 2. PRELIMINARES 15
Para el punto (0, 0) existe la derivada direccional de f en toda direccion, pero no es continua en el
punto (0, 0).
El siguiente teorema menciona la realcion que existe entre la derivada parcial y la derivada direccional.
Teorema 2.1.8. Sea f una funcion real definida en un conjunto abierto A ⊆ Rn. Si existe la derivada
direccional de f en el punto x en direccion del vector u para todo u ∈ Rn, existen las n derivadas
parciales de f en x.
Demostracion. Como existe la derivada direccional de f en el punto x en direccion de todo vector u,
en particular para el vector uk = (0, . . . , 1, 0, . . . , 0) (1 en la k− esima componente) existe el lımite
lımt→0
f(x+ tuk)− f(x)
t= lım
t→0
f(x1, . . . , xk + h, . . . , xn)− f(x)
t
= ∂kf(x)
y por lo tanto la k− esima derivada parcial de f en x tambien existe. Como k = 1, 2, . . . , n, existen
las n derivadas parciales de f en x.
Observacion: El recıproco del teorema anterior es falso, ya que pueden existir las derivadas parciales
de una funcion, pero no las derivadas direccionales. Tal es el caso de la funcion f : R2 → R con
f(x) =
x+ y si x = 0 o y = 0;
1 si x 6= 0 e y 6= 0.
Para esta funcion ∂1f(0, 0) = ∂2f(0, 0) = 1, pero la derivada direccional de f en el punto (0, 0) en
direccion del vector (a1, a2) con a1 6= 0 y a2 6= 0 no existe porque el lımite
lımt→0
f(ta1, ta2)− f(0, 0)
t= lım
t→0
1
t
no existe.
Definicion 2.1.9. Sea f una funcion definida en un conjunto abierto C de Rn con valores en R, sea
x ∈ C. Se dice que f es diferenciable en x si existen las funciones Lx lineal definida en Rn de valor
real y Ex definida en Rn tales que:
f(x+ v) = f(x) + Lx(v) + ‖v‖Ex(v)
CAPITULO 2. PRELIMINARES 16
con
lımv→0
Ex(v) = 0.
Escrito de otra forma f es diferenciable en x si
lımv→0
‖f(x+ v)− f(x)− Lx(v)‖‖v‖
= 0.
A la funcion Lx se le llama derivada total de f en x. Tomado de [7, p 82].
Que Lx sea lineal quiere decir que dados u, v ∈ Rn se tiene que:
Lx(αu+ βv) = αLx(u) + βLx(v)
con α, β ∈ R.
Ejemplo 2.1.10. La funcion norma ‖ · ‖ : C ⊆ Rn → R no es diferenciable en el punto cero.
En efecto si lo fuera existen las funciones L(0,0) y E(0,0) talque para todo v ∈ Rn se tiene:
‖v‖ = L0,0(v) + ‖v‖E(0,0)(v)
con lımv→0E(0,0)(v) = 0.
Luego como
2‖v‖ = ‖v‖+ ‖ − v‖
= L(0,0)(v) + ‖v‖E(0,0)(v) + L(0,0)(−v) + ‖ − v‖E(0,0)(v)
= L(0,0)(v − v) + ‖v‖E(0,0)(v) + ‖ − v‖E(0,0)(−v)
= ‖v‖E(0,0)(v) + ‖ − v‖E(0,0)(−v)
se tiene que
lımv→0
(E(0,0)(v)− E(0,0)(−v)
)= 0 =
2‖v‖‖v‖
= 2
lo cual es una contradiccion. Por lo tanto la funcion norma no es diferenciable en el punto (0,0)[6, p
70].
Teorema 2.1.11. Sea f una funcion diferenciable en x, definida en un conjunto abierto C de Rn.
Entonces la derivada total de f en x es unica.
Demostracion. Se supone que existen dos derivadas totales Lx y Tx de f en x.
Como x es un punto interior de C, existe r > 0 tal que Br(x) ⊆ C y para v ∈ R con ‖v‖ < r se tiene
CAPITULO 2. PRELIMINARES 17
x+ v ∈ C.
Por definicion de deivada total se tiene
f(x+ v) = f(x) + Lx(v) + Ex(v)‖v‖
f(x+ v) = f(x) + Tx(v) + Fx(v)‖v‖
con
lımv→0
Ex(v) = lımv→0
Fx(v) = 0.
Para v = 0 se tiene que
Lx(v) = Tx(v) = 0.
Ahora sea h 6= 0, entonces para todo t ∈ R talque ‖th‖ < r se tiene que x+ th ∈ C.
Luego, para v = ht con t 6= 0 se tiene
f(x) + Lx(ht) + Ex(ht)‖ht‖ = f(x) + Tx(ht) + Fx(ht)‖ht‖,
lo que es igual a
Lx(ht) + Ex(ht)‖ht‖ = Tx(ht) + Fx(ht)‖ht‖
Lx(ht)− Tx(ht) = Fx(ht)‖ht‖ − Ex(ht)‖ht‖.
Entonces como t 6= 0 y Lx, Tx son lineales
Lx(h)− Tx(h) =‖h‖t‖h‖
(Fx(ht)‖ht‖ − Ex(ht)‖ht‖)
=‖h‖‖th‖
(Fx(ht)‖ht‖ − Ex(ht)‖ht‖)
= ±‖h‖(Fx(ht)− Ex(ht))
y como lımt→0 ht = 0 y lımt→0Ex(ht) = lımt→0 Fx(ht) = 0 se tiene
lımt→0
(Lx(h)− Tx(h)) = ±‖h‖ lımt→0
(Fx(ht)− Ex(ht)) = 0
es decir,
Lx(h) = Tx(h)
para todo h ∈ Rn. Obteniendo que la derivada total de f en x es unica. Ver en [6, p 65].
Teorema 2.1.12. Sea f una funcion definida en un conjunto abierto C de Rn diferenciable en un
punto x de C. Entonces la derivada direccional de f en direccion del vector u existe para todo u ∈ Rn
y
CAPITULO 2. PRELIMINARES 18
Lx(u) = Duf(x)
Demostracion. Sea u ∈ Rn.
Si u = 0 entonces
Duf(x) = lımh→0
f(x+ h · 0)− f(x)
h= 0
ademas como Tx(0) = 0 se tiene que Duf(x) = Tx(u) = 0 y se cumple el teorema para u = 0.
Como C es un conjunto abierto existe ε > 0 talque Bε(x) ⊆ C y para t ∈ R talque ‖th‖ < ε se tiene
que x+ th ∈ C.
Ahora como f es diferenciable en x, por definicion de derivada total se tiene
f(x+ th) = f(x) + Lx(th) + Ex(th)
con lımt→0Ex(ht)
‖ht‖= 0 y Tx una funcion lineal, por lo tanto con t 6= 0 se tiene
f(x+ ht)− f(x)
t− Ex(ht)
t= Tx(h)
y el lımite
lımt→0
(f(x+ ht)− f(x)
t− Ex(ht)
t
)= Tx(h).
Ademas como
lımt→0
Ex(ht)
t= ‖h‖ lım
t→0
Ex(ht)
t‖h‖
= ±‖h‖ lımt→0
Ex(ht)
‖ht‖= 0
se concluye que
Dhf(x) = lımt→0
f(x+ ht)− f(x)
t= Tx(h)
y se cumple el teorema. Tomado de [6, p 66].
El recıproco del teorema anterior es falso. Tal es el caso de la funcion f : R2 → R con
f(x, y) =
y3
x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0);
0 si (x, y) = (0, 0).
En este caso existen las derivadas direccionales de f en el punto (0, 0) en toda direccion. Pero no es
diferenciable en (0, 0), ya que si lo fuera por el teorema anterior se tiene
L(0,0)(1, 0) = lımt→0
f(t, 0)− f(0, 0)
t= 0
CAPITULO 2. PRELIMINARES 19
L(0,0)(0, 1) = lımt→0
f(0, t)− f(0, 0)
t= 1
por lo tanto como L(0,0) es una funcion lineal
L(0,0)(u, v) = L(0,0)((1, 0)u+ (0, 1)v) = v
para todo (u, v) ∈ Rn. En particular para el vector (h, h) con h 6= 0 se tiene
f(h, h) = f(0, 0) + L(0,0)(h, h) + E(0,0)(h, h)
es decir
E(0,0)(h, h) = f(h, h)− h
=h3
2h2 − h
=h
2− h
= −h2
por lo tanto
E(0,0)(h, h)
‖(h, h)‖=
−h2√
2|h|
= ± 1
2√
2
es decir, que lımh→0
E(0,0)(h, h)
‖(h, h‖)no existe, lo cual contradice la definicion de funcion diferenciable. Por
lo tanto f no es diferenciable en el punto (0, 0) y el recıproco del teorema anterior es falso.
El siguiente teorema muestra la relacion que existe entre una funcion diferenciable y la continuidad
de la funcion.
Teorema 2.1.13. Sea f una funcion definida en un conjunto abierto S ⊆ Rn. Si f diferenciable en
el punto x, entonces f es continua en x.
Demostracion. Se probara que la funcion f es continua en el punto x.
En efecto, como f es una funcion diferenciable en el punto x, existe una funcion lineal Lx definida en
Rn, talque para h ∈ Rn
lımh→0
‖f(x+ h)− f(x)− Lx(h)‖‖h‖
= 0.
CAPITULO 2. PRELIMINARES 20
Luego por la definicion de lımite, para ε = 1 existe δ0 > 0 talque si 0 < ‖h‖ < δ0 entonces
‖f(x+ h)− f(x)− Lx(h)‖ ≤ ‖h‖. (2.1)
Por otro lado,
f(x+ h)− f(x) = (f(x+ h)− f(x)− Lx(h)) + Lx(h). (2.2)
De donde
‖f(x+ h)− f(x)‖ = ‖(f(x+ h)− f(x)− Lx(h)) + Lx(h)‖
≤ ‖f(x+ h)− f(x)− Lx(h)‖+ ‖Lx(h)‖.
Por lo tanto de (1,1) y (1,2) se tiene que si ‖h‖ < δ0 entonces
‖f(x+ h)− f(x)‖ ≤ ‖h‖+ ‖Lx(h)‖ = ‖h‖C
con C = (1 + Lxh).
Finalmente para ε > 0 existe δ = mın{δ0,
ε
C
}, talque si 0 < ‖h‖ < δ ≤ δ0 entonces
‖f(x− h)− f(x)‖ ≤ ‖h‖C ≤ δC ≤ ε
CC = ε
es decir,
lımh→0
f(x+ h) = f(x)
y f es continua en x. Tomado de [7, p 85].
Para determinar si una funcion es diferenciable sin usar la definicion de diferenciabilidad se menciona
el siguiente teorema.
Teorema 2.1.14. Sea f una funcion definida en un conjunto abierto C de Rn. Si existen las n
derivadas parciales de f en el punto x y son continuas, entonces f es diferenciable en el punto x.
Demostracion. Sea v ∈ Rn tal que v = λy con ‖y‖ = 1, λ = ‖v‖ y
y = y1u1 + y2u2 + . . .+ ynun
con uk el k−esimo vector coordenado unitario.
Se probara que f es diferenciable en x expresando f(x+ v)− f(x) como
f(x+ v)− f(x) = f(x+ λy)− f(x)
=
n∑k=1
{f(x+ λvk)− f(x+ λvk−1)}
CAPITULO 2. PRELIMINARES 21
con v0 = 0, v1 = y1u1, v2 = y1u1 + y2u2,. . . ,vn = y1u1 + . . .+ ynun.
El primer termino de la suma es
f(x+ λy1u1)− f(x) = λy1∂1f(x) + λy1Ex(λ)
con lımλ→0Ex(λ) = 0.
Para k ≥ 2 el k−esimo termino de la suma es
f(x− λvk−1 + λykuk)− f(x+ λvk−1) = f(bk + λykuk)− f(bk)
con bk = x+ λvk−1. Los dos puntos bk y bk + λykuk difieren solo en la k−esima coordenada.
Aplicando el teorema del valor medio para funciones definidas en R se tiene
f(bk + λykuk)− f(bk) = λyk∂kf(ak)
con ak un punto del segmento que une los puntos bk con bk + λykuk.
Luego como lımλ→0 bk = x , lımλ→0 ak = x y cada derivada parcial ∂kf(x) es continua en x para k ≥ 2
se tiene
∂kf(ak) = ∂kf(x) + Exk(λ)
con lımλ→0Exk(λ) = 0.
Ası
f(x+ v)− f(x) = λn∑k=1
∂kf(x)yk + λn∑k=1
ykExk(λ)
= ∇f(x) · v + ‖v‖E(λ)
con
E(λ) =
n∑k=1
yk(Exk)(λ).
Es decir, f es diferenciable em x con derivada total igual a ∇f(x) · v. Tomado de [5, p 357].
El recıproco del teorema anterior es falso ya que existen funciones diferenciables en un punto, pero
con derivadas parciales discontinuas en ese punto. Tal es el caso de la funcion f definida en R2 con
valores en R2 y
f(x, y) =
(x2 + y2)sen
(1√
x2 + y2
)si (x, y) 6= (0, 0);
0 si (x, y) = (0, 0).
CAPITULO 2. PRELIMINARES 22
f es diferenciable en el punto (0, 0) con derivadas parciales
∂xf(x, y) = 2xsen
(1√
x2 + y2
)− x√
x2 + y2cos
(1√
x2 + y2
)
∂yf(x, y) = 2ysen
(1√
x2 + y2
)− y√
x2 + y2cos
(1√
x2 + y2
)las cuales no son continuas en el punto (0, 0), ya que los lımites
lım(x,y)→(0,0)
x√x2 + y2
cos
(1√
x2 + y2
)
lım(x,y)→(0,0)
y√x2 + y2
cos
(1√
x2 + y2
)no existen.
2.2. Funciones de Rn en Rm
Definicion 2.2.1. Sean f1, f2, . . . , fn funciones reales definidas en un conjunto abierto C de Rn y sea
F = (f1, f2, . . . , fm), la funcion F es diferenciable en el punto x si cada fi es una funcion diferenciable
en x, con i = 1, 2, . . . ,m.
La derivada total de f es:
Lx(v) = (L1x(v), . . . , Lmx (v))
con Lix(v) la derivada total de la funcion fi en el punto x.
Definicion 2.2.2. Sean f1, f2, . . . , fm funciones reales definidas en un conjunto abierto C de Rn, y
sea f = (f1, f2, . . . , fm).
Se llama Jacobiano de f en x a la funcion Jf (x) definida por:
Jf (x) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂1f1(x) ∂2f1(x) . . . ∂nf1(x)
∂1f2(x) ∂2f2(x) . . . ∂nf2(x)...
.... . .
...
∂1fm(x) ∂2fm(x) . . . ∂nfm(x)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣O escrito de otra forma de define Jf (x) = Det[∂jfi(x)] con i = 1, 2, . . . ,m y j = 1, 2, . . . , n. Definicion
tomada de [5, p 355].
CAPITULO 2. PRELIMINARES 23
Ejemplo 2.2.3. Sea f : R3 → R2 con f(x, y, z) = (x2 + sen(xy), xy cos(z)).
Por lo tanto f1(x, y, z) = x2 + sen(xy) , f2(x, y, z) = xy cos(z) y
∂xf1(x, y, z) = 2x+ y cos(xy), ∂yf1(x, y, z) = x cos(xy), ∂zf1(x, y, z) = 0
∂xf2(x, y, z) = y cos(z), ∂yf2(x, y, z) = x cos(z), ∂zf2(x, y, z) = −xysen(z).
Asi el jacobiano de f en el punto (x, y, z) es:
Jf (x, y, z) =
2x+ y cos(xy) x cos(xy) 0
y cos(z) x cos(z) −xysen(z)
Teorema 2.2.4. Teorema de multiplicacion de Jacobianos Sea f una funcion vectorial f =
(f1, f2, . . . , fn) definida y difereciable en un conjunto abierto S de Rn.
Sea g otra funcion vectorial g = (g1, . . . , gn) definida en un conjunto abierto T de Rn con f(S) ⊆ T ,
diferenciable en f(S).
Y sea h la funcion compuesta definida por h(x) = g(f(x)) si x ∈ S, entonces para cada x ∈ S se tiene
Jh(x) = Jg(f(x)) · Jf (x)
Demostracion. Como f y g son funciones diferenciables por la regla de la cadena se tiene que h tambien
es diferenciable. Por lo tanto existen las derivadas parciales en h y enconsecuencia el jacobiano de f
en un punto de S tambien existe.
Ademas como
Jg(f(x)) · Jf (x) = det(∂jgi(f(x))) · det(∂jfi(x))
= det
(n∑k=1
∂kgi(f(x))∂jfk(x)
)
la sumatoria de la ultima ecuacion por la regla de la cadena se tiene que es igual a ∂jhi(x). Y asi
Jh(x) = Jg(f(x)) · Jf (x).
Teorema 2.2.5. Teorema del valor medio: Sea f una funcion definida en un conjunto abierto C
de Rn diferenciable en cada punto de C. Sean x e y dos puntos de C tales que el segmento que los une
L(x, y) ⊆ C. Entonces existe un punto z de L(x, y) tal que: f(y)− f(x) = ∇f(z)(y − x)
Demostracion. Sean x e y puntos fijos en Rn con x 6= y, sea h : [0, ρ]→ Rn una funcion, ρ = ‖y − x‖
y h(λ) = f(x+ λu) donde u =y − xρ
.
CAPITULO 2. PRELIMINARES 24
Asi por definicion x+ρu = x+‖y−x‖u = y y f(y) = h(ρ), de donde f(y)−f(x) = h(ρ)−h(0). Ademas
como f es diferenciable en C, h tiene derivada en el intervalo [0, ρ]. Luego aplicando el teorema del
valor medio en R, existe δ ∈ [0, ρ] talque
h(ρ)− h(0) = ρh′(δ).
Por otro lado para λ fijo y 0 < λ < ρ se dfine la funcion g definida en el intervalo [0, ρ− λ] como
g(α) = f(x+ λu+ αu) = h(λ+ α)
por lo tanto como
g′(α) = lımh→0
g(α+ h)− g(α)
h
se tiene que
g′(0) = lımh→0
f(x+ λu+ hu)− f(x+ λu)
h= Duf(x+ λu) = h′(λ).
Ahora haciendo λ = δ, h′(δ) = Duf(x+ δu) = ∇f(z) · u con z = x+ δu.
Y asi se prueba el teorema ya que z ∈ L(x, y) y f(x)− f(y) = ‖y − x‖∇f(z). Ver en [5, p 355].
2.3. Teorema de la funcion inversa
El teorema de la funcion inversa menciona las condiciones necesarias para que una funcion f definida
en Rn con valores en Rn tenga inversa, ademas define el conjunto en el que esta definida f−1, ya que
no siempre la funcion inversa se puede definir en el rango de f . De ahı que se hable de inversa local y
no global.
Para entender de la mejor forma el teorema de la funcion inversa en Rn es necesario conocer los
teoremas que se mencionan a continuacion.
Teorema 2.3.1. Sean B = Br(a) la bola abierta con centro en a y radio r en Rn, B′ = {x ∈ Rn :
d(x, a) = r} y sea B = B ∪B′.
Sea f = (f1, f2, . . . , fn) una funcion continua en B y supongase que todas las derivadas parciales
∂jfi(x) existen si x ∈ B. Si ademas f es uno a uno en B y Jf (x) es diferente de cero para cada x en
B. Entonces f(B), imagen de B bajo f , contiene una bola abierta con centro en f(a).
Demostracion. Sea g una funcion real definida en B′ como g(x) = ‖f(x) − f(a)‖, como f es uno a
uno en B, f(x) 6= f(a) para cada x en B′ por lo tanto g(x) > 0.
Ahora como f es continua en B, f es continua en B′, por lo tanto g es continua en B′. Luego como B′
CAPITULO 2. PRELIMINARES 25
es un conjunto compacto se tiene que g(B′) es un conjunto compacto. Como es compacto es cerrado
y acotado, y por ser acotado la funcion g alcanza un valor mınimo que se notara por m > 0 ya que
g(x) > 0, y sea T = Bm2f(a).
Se probara que T ⊆ f(B).
En efecto sea y un punto fijo de T y sea h una funcion definida en B tal que :
h(x) = ‖f(x)− y‖.
Por ser f continua en B se tiene que h es continua en B, ademas como B es un conjunto compacto se
tiene que la imagen de la funcion h es un conjunto compacto, por lo tanto h alcanza un valor mınimo
en algun punto de B. En el centro de B se tiene
h(a) = ‖f(a)− y‖) < m2
ya que y ∈ T . Ası si x no es un punto mınimo de h en B se debe tener de h(x) < m2 .
Si x ∈ B′ se tiene
h(x) = ‖f(x)− y‖
= ‖f(x)− f(a)− (y − f(a))‖
≥ ‖f(x)− f(a)‖ − ‖y − f(a)‖
> g(x)− m
2
>m
2,
de donde se puede concluir que el valor mınimo de la funcion h no puede estar en B′. Asi que debe
existir un punto interior c de B en el que h alcanza su valor mınimo. En este punto la funcion h2
tambien debe alcanzar su valor mınimo, donde h2 se define como
h2(x) = ‖f(x)− y‖2
= ‖(f1(x), . . . , fn(x))− (y1, . . . , yn)‖2
=
n∑i=1
|fi(x)− yi|2.
Si c es el valor mınimo de h se debe tener que para cada k = 1, . . . , n la ∂kh2(c) se anula, esto es∑n
i=1 2(fi(c)− yi)∂kfi(c) = 0.
Ademas como por hipotesis Jf (c) 6= 0 se tiene que ∂kfi(c) 6= 0, por lo tanto fi(c) − yi = 0, esto es,
fi(c) = yi para cada i = 1, 2, . . . , n lo cual es lo mismo que decir f(c) = y, es decir que h alcanza su
CAPITULO 2. PRELIMINARES 26
punto mınimo en c.
Finalmente como f(c) = y y c ∈ B, se tiene que y ∈ f(B), asi T ⊆ B y se termina la demostracion
del teorema, ya que se encontro la bola con centro en f(a) y radio m2 . Tomado de [5, p 369].
Teorema 2.3.2. Sea f = (f1, f2, . . . , fn) una funcion en Rn, talque existen las derivadas parciales de
f y ademas son continuas en un conjunto abierto C de Rn. Si Jf (a) es diferente de cero para algun
punto a de C, existe un bola abierta con centro en a en C en la que f es uno a uno.
Demostracion. Sean Z1, Z2, . . . , Zn puntos en C y sea Z = (Z1, Z2, . . . , Zn) un punto en Rn2. Sea h
una funcion definida en Rn2como
h(Z) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂1f1(Z1) ∂2f1(Z1) . . . ∂nf1(Z1)
∂1f2(Z2) ∂2f2(Z2) . . . ∂nf2(Z2)...
.... . .
...
∂1fn(Zn) ∂2fn(Zn) . . . ∂nfn(Zn)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.
Por hipotesis las derivadas parciales existen para cada fi(Zi) y ademas son continuas luego la funcion
h es continua en Z ya que la suma y el produto de funciones continuas es continuo.
Ahora para Z1 = Z2 = . . . = Zn = a, se tiene que h(a) 6= 0 ya que Jf (a) = h(a). Ademas como h es
continua en Rn2en particular h es continua en a existe una bola con centro en a en Rn que se notara
por B tal que h(Z) 6= 0 si cada Zi pertenece a B.
Para completar la demostracion se probara por contradiccion que f es uno a uno en B.
Por lo tanto si f no es uno a uno en B existen x, y puntos de B talque y 6= x y f(x) = f(y). Ahora
como toda bola abierta en convexa se tiene que el segmento que une a los puntos x e y esta contenido
en B, y ademas como f es diferenciable en B por tener derivadas parciales continuas aplicando el
teorema del valor medio existe zi en el segmento L(x, y) tal que
fi(x)− fi(y) = ∇fi(zi)(x− y),
pero como f(x) = f(y) se tiene
0 = ∇fi(zi)(y − x)
= (∂1fi(zi), . . . , ∂nfi(zi)) · ((y1 − x1), . . . , (yn − xn))
= ∂1fi(zi)(y1 − x1) + . . .+ ∂nfi(zi)(yn − xn)).
CAPITULO 2. PRELIMINARES 27
Obteniendo asi el sistema:
∂1f1(z1)(y1 − x1) + . . .+ ∂nf1(z1)(yn)− xn) = 0
... =...
∂1fn(zn)(y1 − x1) + . . .+ ∂nfn(zn)(yn)− xn) = 0,
luego como cada zi ∈ B se tiene que ∂jfi(zi) 6= 0 para cada i = 1, 2, . . . , n, por lo tanto el determinante
del sistema anterior es diferente de cero y existe una unica solucion para el sistema, que se da cuando
yk = xk para k = 1, 2, . . . , n. Lo cual contradice la hipotesis de contradiccion que menciona que x 6= y.
Por lo tanto f es uno a uno en B y se cumple el teorema. Demostracion tomada de [5, p 370].
Observacion: El teorema anterior garantiza que la funcion es uno a uno en una vecindad del punto
en el que el jacobiano es diferente de cero, pero no garantiza que la funcion sea uno a uno en todo
el conjunto de puntos en el que el jacobiano sea diferente de cero. Tal es el caso de la funcion f :
R2 − {(0, 0)} → R2 con
f(x, y) =
(x2 − y2√x2 + y2
,2xy√x2 + y2
)ya que
Jf (x, y) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x(x2 + 3y2)
(x2 + y2)32
. . .y(3x2 + y2)
(x2 + y2)32
.... . .
...
2y3
(x2 + y2)32
. . .2x3
(x2 + y2)32
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 2
es decir, Jf (x, y) es diferente de cero en todo el dominio de la funcion, pero no es uno a uno en este
conjunto ya que f(1, 1) = f(−1,−1) = (0,√
2).
Despues mencionar y demostrar los teoremas anteriores se podra enunciar y demostrar el teorema de
la funcion inversa en Rn.
Teorema 2.3.3. TEOREMA DE LA FUNCION INVERSA
Sea f una funcion definida en Rn tal que f(x) = (f1(x), f2(x), . . . , fn(x)) con fi una funcion de Rn
en R con i = 1, 2, . . . , n.
Si f tiene derivadas parciales continuas en un conjunto abierto S de Rn, y existe x0 en S talque el
jacobiano de f en x0 es diferente de cero. Entonces para T = f(S) existe una funcion unica g y dos
conjuntos abiertos X ⊆ S e Y ⊆ T tales que
CAPITULO 2. PRELIMINARES 28
1. Si x′ ∈ X entonces f(x′) ∈ Y .
2. f(X) = Y .
3. f es uno a uno en X.
4. g esta definida en Y . Ademas g(Y ) = X y g(f(x′)) = x′.
5. g tiene derivadas parciales continuas en Y .
Demostracion. La demostracion del teorema de la funcion inversa se realizara en 3 pasos:
(a) Probar la existencia de la funcion g seguido de definir los conjuntos X e Y .
(b) Probar que X, Y e g cumplen 1, 2, 3, 4.
(c) Probar que g cumple 5.
En efecto:
(a) Como las derivadas parciales de f en S existen y son continuas el jacobiano de f es una funcion
continua en S por ser el producto y suma de funciones continuas, en particular el jacobiano de f
es continuo en el punto x0. Ademas como el jacobiano de f en x0 es diferente de cero, existe r > 0
talque
Br(x0) ⊆ S y Jf (x) 6= 0 para todo x ∈ Br(x0).
De lo anterior como Jf (x) 6= 0 en Br(x0) ⊆ S y f tiene derivadas parciales continuas en S existe
r1 > 0 talque en la bola con centro en x0 y radio r1 f es uno a uno y Br1(x0) ⊆ Br(x0).
Ahora sea r2 > 0 con r2 < r1 y
B = {x ∈ S :| x0 − x |= r2} ∪Br2(x0).
Como Br2(x0) ⊆ Br1(x0), f es continua y es uno a uno en B, ademas Jf (x) 6= 0 para todo x en
Br2(x0) por el teorema 1.6.2.
Ahora f es diferenciable en Br2(x0) por que f tiene derivadas parciales continuas y por ser di-
ferenciable es continua en Br2(x0), ademas como f es uno a uno en Br2(x0) y Jf (x0) 6= 0, por
teorema 1.6.1 existe una bola con centro en f(x0) contenida en f(Br2(x0)) que sera llamada Y .
Con la definicion anterior de Y sea
CAPITULO 2. PRELIMINARES 29
X = f−1(Y ) ∩Br2(x0).
Con esta definicion de X se tiene que X ⊆ S, y el paso a seguir es probar que X es un conjunto
abierto.
En efecto como f es continua en Br2(x0) e Y es un conjunto abierto en T , la imagen inversa de
Y es un conjunto abierto de S. Ahora como la interseccion de conjuntos abiertos en un conjunto
abierto se tiene que X es un conjunto abierto.
Ahora se probara la existencia de la funcion g.
Como B es un conjunto cerrado y acotado es compacto, y como f es una funcion continua y uno
a uno en B existe una funcion g definida en f(B) continua y g(f(x)) = x para todo x ∈ B. Con
esto se han definido los conjuntos abiertos X,Y y la funcion g.
(b) Se porbara que si x′ ∈ X entonces f(x′) ∈ Y .
En efecto como x′ ∈ X se tiene que x′ ∈ f−1(Y ) ∩ Br2(x0), y por la definicion de interseccion de
conjuntos x′ ∈ f−1(Y ), es decir, f(x′) ∈ Y y se tiene la implicacion 1.
Ahora se probara que f(X) ⊆ Y . Para ello sea x0 ∈ X, entonces x0 ∈ f−1(Y ), es decir, f(x0) ∈ Y .
Asi f(X) ⊆ Y .
Ademas Y ⊆ f(X) ya que como Y ⊆ f(Br2(x0)) existe x′ en Br2(x0) talque f(x′) ∈ Y , en
consecuencia y x′ ∈ f−1(Y ), es decir, x′ ∈ X e Y ⊆ f(X).
Por lo tanto como f(X) ⊆ Y e Y ⊆ f(X) se tiene que f(X) = Y y se cumple 2.
A continuacion se probara que f es uno a uno en X. En efecto como X = f−1(Y ) ∩ Br2(x0),
x ⊆ Br2(x0) ⊆ Br1(x0) y f es uno a uno en Br1(x0) tambien lo es en Br2(x0), ası f es uno a uno
en X y se cumple la implicacion 3.
Ahora como g esta definida en f(B) ⊇ Y , g esta definida en Y y g(f(x)) = x. De esta forma se
cumplen las implicaciones 1, 2, 3 y 4.
(c) Finalmente se probara que g tiene derivadas parciales continuas en Y .
Para ello sea h una funcion definida en Rn2a valor real talque
h(Z) = Det(∂jfi(Zi)) con Z = (Z1, . . . , Zn) y Zi ∈ S para i = 1, 2, . . . , n.
Como Zi ∈ S se tiene que las derivadas parciales ∂jfi(Zi) son continuas para cada i = 1, 2, . . . , n,
por lo tanto h es continua en S ya que es el producto y la suma de funciones continuas.
CAPITULO 2. PRELIMINARES 30
Ahora definiendo Z ′ = Z1 = Z2 = . . . = Zn = x0 se tiene que
h(Z ′) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂1f1(x0) ∂2f1(x0) . . . ∂nf1(x0)
∂1f2(x0) ∂2f2(x0) . . . ∂nf2(x0)...
.... . .
...
∂1fn(x0) ∂2fn(x0) . . . ∂nfn(x0)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= Jf (x0) 6= 0
por lo tanto por ser h continua existe r′ > 0 tal que h(Z) 6= 0 si Zi ∈ Br′(x0) para i = 1, 2, . . . , n
de tal forma que Br1(x0) ⊆ Br′(x0). Asi
Br2(x0) ⊆ Br1(x0) ⊆ Br′(x0)
y h(Z) 6= 0 si Zi ∈ Br2(x0) para cada i = 1, 2, . . . , n
Como g es una funcion continua en Rn se notara g como g(x) = (g1(x), . . . , gn(x)). Asi para probar
que g tiene derivadas paricales continuas se probara que existen las derivadas parciales de gk y
ademas que son continuas, para k = 1, 2, . . . , n.
En efecto como Y es una bola abierta con centro en f(x0) existe m > 0 talque
Y = Bm(f(x0)).
Sean ur el r−esimo vector unidad coordenada y λ ∈ R talque | λ |< m, luego y′ + λur ∈ Y con
y′ ∈ Y .
Con lo anterior se define el cociente
gk(y′ + λur)− gk(y′)
λ.
Como g(Y ) = X existen x′, x enX talque x = g(y′) y x′ = g(y′+λur). Entonces f(x′)−f(x) = λur,
es decir,
f(x′)− f(x) = (f1(x′)− f1(x), . . . , fr(x
′)− fr(x), . . . , fn(x′)− fn(x))
= (0, . . . , λ, . . . , 0)
obteniendo asi que
fi(x′)− fi(x) = 0 si i 6= r.
fi(x′)− fi(x) = λ si i = r.
CAPITULO 2. PRELIMINARES 31
Por otro lado como todo conjunto abierto es convexo se tiene que el segmento que une los puntos
x′ y x pertenece a X. Ademas como f es diferenciable en X se puede hacer uso del teorema del
valor medio en cada componente de f , para obtener que existe zi en L(x, y) talque:
fi(x′)− fi(x)
λ= ∇fi(zi)
x′ − xλ
para i = 1, 2, . . . , n. Pero comofi(x
′)− fi(x)
λtoma unicamente los valores 0 o 1 segun sea el valor
de i se tiene un sistema de n ecuaciones lineales con n incognitas de la formax′i − xiλ
. Este sistema
tiene solucion unica porque Det(∂jfiZi) = h(Z) 6= 0.
Resolviendo la k−esima incognitax′k − xk
λpor el metodo de Cramer se obtiene una solucion para
x′k − xk
λ=gk(y
′ + λur)− gk(y′)λ
como cociente de determinantes.
Como g es continua en f(B) cuando λ tiende a 0 se tiene que x′ tiende a x, por lo tanto cada zi
tiende a x ya que zi pertenece al segmento que une a los puntos x y x′.
Ahora el determinante que aparece en el denominador de la solucion del sistema tiene como lımite
el numero
Det(∂jfi(x)) = Jf (x) 6= 0
ya que x ∈ Br2(x0). Por lo tanto el lımite
lımλ→0
gk(y′ + λur)− gk(y′)
λ= ∂rgk(y
′)
existe para cada y′ en Y y cada k = 1, 2, . . . , n.
Ademas como este lımite es el cociente de dos determinantes que estan en terminos de las derivadas
parciales de cada fi las cuales son continuas se tiene que es continuo. De donde para cada K =
1, 2, . . . , n las n derivadas parciales de gk existen y son continuas, esto es que g tiene derivadas
parciales en Y .
Completando asi la demostracion del teorema de la funcion inversa. Tomado de [5, p 372].
Ejemplo 2.3.4. Sea f una funcion definida en R2 con f(s, t) = (s2 + t2, 2st) .
Para poder determinar si se puede hacer uso del teorema de la funcion inversa se encontraran los
puntos en R2 para los cuales el Jacobiano de f es diferente de cero. En efecto
Jf (s, t) =
∣∣∣∣∣∣2s 2t
2t 2s
∣∣∣∣∣∣ = 4(s2 − t2)
CAPITULO 2. PRELIMINARES 32
Entonces Jf (s, t) 6= 0 si 4(s2 − t2) 6= 0, esto es cuando s2 6= t2, es decir en todos los puntos de R2
menos en las rectas s = ±t. Asi aplicando el teorema de la funcion inversa sea
X = {(s, t) : |t| < s; s > 0}
sea Y = f(X) y sea x = s2 + t2 e y = 2st. Asi
x+ y = (s+ t)2 y x− y = (s− t2)
Despejando s y t de las ecuaciones anteriores se tiene:
s =
√x+ y +
√x− y
2
t =
√x+ y −
√x− y
2.
Definiendo asi la funcion g definida en Y como:
g(x, y) =
(√x+ y +
√x− y
2,
√x+ y −
√x− y
2
)que es la funcion inversa de f en el conjunto X, y se cumplen todas las implicaciones del teorema de
la funcion inversa para f . Ver en [7, p 141].
Ejemplo 2.3.5. Sea f : R+ × R→ R2 con f(r, ϕ) = (r cos(ϕ), r sen(ϕ)). Primero se determinara
Jf (r, ϕ) =
∣∣∣∣∣∣cos(ϕ) −r sen(ϕ)
sen(ϕ) r cos(ϕ)
∣∣∣∣∣∣ = r
por lo tanto como f esta definida en R+ × R se tiene que Jf (r, ϕ) > 0 para todo r en el dominio de
la funcion. Pero como las funciones seno y coseno son periodicas se tiene que f tambien es periodica
por lo que f no es uno a uno en todo su dominio y no existe la funcion inversa de f en su dominio.
Asi para aplicar el teorema de la funcion inversa se definen los conjuntos
U =
{(r, ϕ) : ϕ ∈
(−π2,π
2
)}V = {(x, y) ∈ R2 : x > 0}
y la funcion f : U → V con f(r, ϕ) = (x, y) = (r cos(ϕ), r sen(ϕ)), asi por lo mencionado
anteriormente Jf(r, ϕ) 6= 0 y la funcion es uno a uno en U . Luego aplicando el teorema de la
funcion inversa existe una funcion g : V → U tal que g(f(r, ϕ)) = (r, ϕ) que esta definida por
g(x, y) =(√
x2 + y2, arctan(yx
))con derivadas parciales continuas.
CAPITULO 2. PRELIMINARES 33
Observacion: En el teorema de la funcion inversa la hipotesis de que la funcion debe tener derivadas
parciales continuas es necesaria, ya que por ejemplo la funcion f de valor real con
f(x) =
αx+ x2sen
(1
x
)con 0 < α < 1 y x 6= 0;
0 si x = 0.
tiene derivada en el punto cero que es α 6= 0, pero su derivada no es continua en el punto cero. Y f
no tiene funcion inversa en ninguna vecindad del punto cero [8, p 68].
Teorema 2.3.6. Sean f , g funciones que cumplen las propiedades del teorema de la funcion inversa.
Entonces Jf (x) = (Jg(y))−1 con y = f(x).
Demostracion. Sea h(x) = g(f(x)) = x, por el teorema de multiplicacion de jacobianos se tiene
Jh(x) = Jg(f(x)) · Jf (x) = 1
Por lo tanto Jf (x) = (Jg(y))−1 y se tiene el teorema.
2.4. Teorema de la funcion implıcita
Segun [8, p 2] una funcion f con dominio X y codominio Y es el subconjunto del producto cartesiano
f = X×Y = {(x, y) : x ∈ X; y ∈ Y}
que cumple:
1. Para cada x ∈ X existe un elemento (x, y) en f .
2. Si (x, y) ∈ f y (x, y) ∈ f entonces y = y.
De esta definicion se puede decir que y esta expresado en funcion de x y se puede escribir como
y = f(x).
Por otro lado la ecuacion F (x, y) = 0 no siempre representa una funcion, generalmente porque no
cumple con la condicion 2. De esto surge la pregunta ¿Cuando la ecuacion F (x, y) = 0 es funcion?
Para dar solucion a esta pregunta el teorema de la funcion implıcita menciona que bajo ciertas con-
diciones una de las variables x o y se puede expresar en funcion de la otra en una vecindad V de un
punto (u,w) para el cual F (u,w) = 0. En otras palabras el teorema de la funcion implıcita permite
decidir cuando la ecuacion F (x, y) = 0 es funcion.
CAPITULO 2. PRELIMINARES 34
Teorema 2.4.1. TEOREMA DE LA FUNCION IMPLICITA. Sea f = (f1, . . . , fn) una fun-
cion vectorial definida en un conjunto abierto S de Rk+n con valores en Rn.
Si f tiene derivadas parciales continuas en S y existe un punto (t0;x0) de S tal que f(t0;x0) = 0 y
Jf (t0;x0) 6= 0. Entonces existen un conjunto abierto T con centro en t0 y una unica funcion vectorial
g definida en T con valores en Rn tal que
1. g tiene derivadas parciales continuas en S.
2. g(t0) = x0.
3. f(g(t); t) = 0 para todo t en T .
Demostracion. Para demostrar el teorema de la funcion implıcita es necesario hacer uso del teorema
de la funcion inversa. Para ello sea F = (F1, . . . , Fk;Fk+1, . . . , Fk+n) una funcion definida en S con
valores en Rn+k con
Fi(t;x) = ti con 1 ≤ i ≤ k
Fk+m(t;x) = fm(t;x) con 1 ≤ m ≤ n.
Ahora
JF (t;x) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂1F1(t;x) . . . ∂kF1(t;x) ∂k+1F1(t;x) . . . ∂k+nF1(t;x)...
. . ....
.... . .
...
∂1Fk(t;x) . . . ∂kFk(t;x) ∂k+1Fk(t;x) . . . ∂k+nFk(t;x)
∂1Fk+1(t;x) . . . ∂kFk+1(t;x) ∂k+1Fk+1(t;x) . . . ∂k+nFk+1(t;x)...
. . ....
.... . .
...
∂1Fk+n(t;x) . . . ∂kFk+n(t;x) ∂k+1Fk+n(t;x) . . . ∂k+nFk+n(t;x)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣por definicion de F es igual a
JF (t;x) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 . . . 0 0 . . . 0...
. . ....
.... . .
...
0 . . . 1 0 . . . 0
∂1f1(t;x) . . . ∂kf1(t;x) ∂k+1f1(t;x) . . . ∂k+nf1(t;x)...
. . ....
.... . .
...
∂1fn(t;x) . . . ∂kfn(t;x) ∂k+1fn(t;x) . . . ∂k+nfn(t;x)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
CAPITULO 2. PRELIMINARES 35
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∂k+1f1(t;x) . . . ∂k+nf1(t;x)
.... . .
...
∂k+nfn(t;x) . . . ∂k+nfn(t, x)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = Jf (t;x).
Luego como Jf (t0;x0) 6= 0 entonces JF (t0;x0) 6= 0 y ademas
F (t0;x0) = (F1(t0;x0), . . . , Fk(t0;x0);Fk+1(t0;x0), . . . , Fk+n(t0;x0))
= (t1, . . . , tk; f1(t0;x0), . . . , fn(t0;x0))
= (t0; 0)
la ultima igualdad se tiene por hipotesis.
Ası como JF (t0;x0) 6= 0 y F tiene derivadas parciales continuas en S por el teorema de la funcion
inversa existen dos abiertos X ⊆ S que contiene al punto (t0;x0) e Y ⊆ F (S) que contiene al punto
F (t0;x0) talque F es uno a uno en X e Y = F (X) y existe una funcion G definida en Y con valores
en X talque G tiene derivadas parciales continuas en Y e G(F (t;x)) = (t;x).
Ahora expresando a G como G = (w; v) con v = (v1, . . . , vn) una funcion vectorial definida en Y con
valores en Rn y w = (w1, . . . , wk) una funcion vectorial definida en Y con valores en Rk se pueden
expresar explıcitamente las funciones v y w como
(w(F (t;x)), v(F (t;x))) = (t;x)
ya que G(F (t;x)) = (t;x). Por lo tanto
v(F (t;x)) = x
w(F (t;x)) = t.
Mas aun como F es uno a uno en X y G(Y ) = X, todo punto (t1;x1) de Y se puede escribir de
manera unica como (t1;x1) = F (t′;x′) para (t′;x′) en X. Ası por definicion de F si (t1;x1) = F (t′;x′)
entonces t1 = t′ y
v(t1;x1) = v(F (t′;x′)) = x′;
w(t1;x1) = w(F (t′;x′)) = t′ = t1.
De donde G se puede escribir como
G(t1;x1) = (t1, x′)
CAPITULO 2. PRELIMINARES 36
con x′ en Rn y F (t′;x′) = (t1;x1). Por lo tanto F (t; v(t1;x1)) = F (t;x′) = (t1;x1) para todo (t1;x1)
en Y .
Con lo anterior se define T como:
T = {t : t ∈ Rk; (t; 0) ∈ Y }.
Como Y es un conjunto abierto, T tambien lo es.
Ahora sea g una funcion definida en T con valores en Rn tal que
g(t) = v(t; 0), con t ∈ T.
g tiene derivadas parciales continuas en T ya que las componentes de g tambien son componentes de
la funcion G, y G tiene derivadas parciales continuas. Con lo que queda demostrado 1.
Tambien g cumple la propiedad 2 ya que por defincion g(t0) = v(t0; 0) = x0, la ultima igualdad se
tiene porque (t0; 0) = F (t0;x0).
Ademas como F (t; v(t;x)) = (t;x) entonces f(t; v(t;x)) = x, ası tomando x = 0 por definicion de T
se tiene
f(t; g(t)) = f(t; v(t; 0)) = 0
para todo t en T y se tiene que g cumple la propiedad 3.
Por ultimo se demostrara que g es unica. En efecto si existiera otra funcion h que cumpla 1, 2 y 3
se tendria f(t; g(t)) = f(t;h(t)), pero como f es uno a uno (t; g(t)) = (t;h(t)), es decir, g(t) = h(t)
para todo t en T , por lo tanto g es unica. Terminando asi la demostracion del teorema de la funcion
implıcita. Demostracion tomada de [5, p 374].
Los siguientes ejemplos muestran el uso que tiene el teorema de la funcion implıcita.
Ejemplo 2.4.2. Sea F definida en R2 con valores en R2 talque F (x, y) = x2−y2−1. Para poder hacer
uso del teorema de la funcion implıcita primero se determina los puntos de R2 en los que F (x, y) = 0.
Para ello se define el conjunto G = {(x, y) ∈ R2 : F (x, y) = 0}, el cual es una hiperbola.
Ahora como ∂yF = −2y para (u, v) en G con v 6= 0 se tiene ∂yF (u, v) = −2v 6= 0. Asi (u, v) satisface
las hipotesis del teorema de la funcion implıcita y por lo tanto existe una vecindad S del punto u en
la cual v se puede expresar en funcion de u.
En efecto como v 6= 0 se debe tener que v > 0 o v < 0. Luego si v > 0 se define f como v = f(u) =√u2 − 1 para todo u en S, y si v < 0 se define f como v = f(u) = −
√u2 − 1 para todo u en S. En
ambos casos f es funcion y expresa a v en funcion de u.
CAPITULO 2. PRELIMINARES 37
Ahora si v = 0 entonces u = ±1 y ∂yF (u, v) = 0 y no existe ninguna vecindad de u = ±1 en el que se
puede expresar y en funcion de x. Ver en [7, p 149].
Con este ejemeplo se puede ver que si una funcion expresada en forma implıcta cumple con las
hipotesis del teorema de la funcion implıcita entonces esta funcion se puede expresar de forma explıcita,
expresando unas variables en terminos de las otras.
Ejemplo 2.4.3. Dado el sistema con variables x, y, u, v
x2 − y2 − u3 + v2 + 4 = 0
2xy + y2 − 2u2 + 3v4 + 8 = 0
se define F : R4 → R2 con F (x, y, u, v) = (x2 − y2 − u3 + v2 + 4, 2xy + y2 − 2u2 + 3v4 + 8). Para
determinar en que puntos de R2 la funcion F se puede expresar de forma explıcita se determina un
punto en el que F (x, y, u, v) = 0.
En efecto F (2,−1, 2, 1) = 0 y ademas
JF (u, v) =
∣∣∣∣∣∣−3u2 2v
−4u 12v3
∣∣∣∣∣∣ = −36u2v3 + 8uv
por lo tanto JF (2, 1) = −128 6= 0, luego por el teorema de la funcion implıcita existe una ve-
cindad T del punto (2,−1) y una funcion f = (f1, f2) definida en T con valores en R2 tal que
F (x, y, f1(x, y), f2(x, y)) = 0 para todo (x, y) en T . Por lo que se concluye que la funcion F se puede
expresar en forma explıcita.
Capıtulo 3
Estabilidad
Cuando se hace una pequena perturbacion en un sistema y el efecto que se produce no sufre cambios
muy grandes, se dice que el sistema es estable. Por ejemplo, la solucion f(x) de una ecuacion diferen-
cial se dice estable si cualquier otra funcion que comienza lo suficientemente cerca a ella cuando x = 0
tambien se mantiene cerca de f(x) para los valores de subsiguientes de x.
Otro ejemplo claro para entender el concepto de estabilidad es el pendulo simple, el cual posee dos
estados de equilibrio (posicion A, cuando el pendulo esta en reposo y el centro de gravedad de la masa
puntual esta lo mas cerca posible del suelo, y posicion B, cuando la masa se encuentra en la posicion
mas alejada del suelo). En este modelo, la posicion de equilibrio A es estable, pues si se produce una
desviacion de la posicion de equilibrio, el movimiento de la masa sera oscilatorio alrededor de dicha
posicion, mientras que la posicion B resulta ser inestable pues una pequena desviacion de dicha posi-
cion hace que la partıcula se acerque a la posicion de equilibrio A.
El concepto de estabilidad fue estudiado por primera vez por el matematico S.M. Ulam, quien en 1940
en el coloquio de matematicas de la Universidad de Wisconsin formulo la siguiente pregunta que se
encuentra en [9, p, 81]:
Sean (G1, ∗) un grupo, (G2, ·) un grupo con la metrica d(·, ·). Dado ε > 0 y f : G1 → G2 una funcion
que satisface
d(f(x ∗ y), f(x) · f(y)) < ε
para todo x, y ∈ G1 ¿ Existen δε > 0 y un homomorfismo a : G1 → G2 tal que
d(a(x), f(x)) < δε
38
CAPITULO 3. ESTABILIDAD 39
para todo x ∈ G1 ?
Si la respuesta a la pregunta anterior es afirmativa se dice que la ecuacion a(x ∗ y) = a(x) · a(y) es
estable.
3.1. Estabilidad segun Hyers − Ulam.
Varios matematicos intentaron dar respuesta a la pregunta anterior, entre ellos D. H. Hyers quien dio
respuesta cuando G1, G2 son espacios de Banach. A partir de la respuesta dada por Hyers se da paso
a la siguiente definicion de estabilidad
Definicion 3.1.1. Estabilidad segun Hyers − Ulam Sean B1, B2 espacios normados. Se dice
que la ecuacion funcional g(f) = 0 con f : B1 → B2, es estable segun Hyers − Ulam si para todo
ε > 0 y toda funcion F : B1 → B2 que satisface
‖g(F (x))‖ ≤ ε
para todo x ∈ B1 existen δε > 0 y h solucion de la ecuacion g(f) = 0 tales que
d(F (x), h(x)) ≤ δε
para todo x ∈ B1.
Para entender el conepto de estabilidad se expone la ecuacion de Cauchy y el estudio correspondiente
para determinar si es o no estable.
ECUACION FUNCIONAL DE CAUCHY.
La ecuacion funcional de Cauchy es la siguiente:
f(x+y) = f(x) + f(y)
Definicion 3.1.2. Una funcion f : E1 → E2 se dice aditiva si es solucion de la ecuacion funcional
de Cauchy.
De los estudios realizados se concluye que si una funcion aditiva cumple ciertas condiciones es lineal.
Teorema 3.1.3. Si una funcion aditiva f : E1 → E2 satisface una de las siguientes condiciones,
entonces existe una constante c talque f(x) = cx para todo x ∈ E1, es decir, f es lineal.
f es continua en un punto.
CAPITULO 3. ESTABILIDAD 40
f es acotada.
f es integrable.
f es Lebesgue medible.
[2, p 19]
Del teorema anterior se deduce que las funciones aditivas continuas en un punto son lineales, pero no
se puede concluir nada sobre las funciones aditivas discontinuas. De las soluciones no lineales solo se
ha podido enunciar y demostrar el siguiente teorema.
Teorema 3.1.4. La grafica de una funcion aditiva no lineal f : R→ R es densa en R2.
Demostracion. La grafica de f esta dada por el conjunto
G = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ R; y = f(x)}
Ahora sea x1 6= 0 un numero real. Como f es no lineal existe x2 6= 0 real talque
f(x1)
x16= f(x2)
x2
luego ∣∣∣∣∣∣x1 f(x1)
x2 f(x2)
∣∣∣∣∣∣ 6= 0
.
Por lo tanto los vectores v1 = (x1, f(x1)) , v2 = (x2, f(x2)) son linealmente independientes y generan
todo R2. Ademas como Q2 es denso en R2 existen r1, r2 ∈ Q tales que
‖v − (r1v1 + r2v2)‖ ≤ ε
para todo ε > 0. Ahora como
r1v1 + r2v2 = r1(x1, f(x1)) + r2(x2, f(x2))
= (r1x1, r1f(x1)) + (r2x2, r2f(x2))
= (r1x1 + r2x2, r1f(x1) + r2f(x2))
= (r1x1 + r2x2, f(x1r1 + r2x2))
el conjunto
G = {(x, y) ∈ R2 : x = r1x1 + r2x2; y = f(x); r1, r2 ∈ Q}
CAPITULO 3. ESTABILIDAD 41
es denso en R2.
Luego como G ⊆ G se tiene que G es denso en R2 que es lo que se queria probar. Tomado de [2, p
20]
El teorema anterior muestra la dificultad que existe para determinar las principales propiedades de
una funcion aditiva no lineal, para logarar este objetivo se puede hacer un estudio de las funciones que
se acercan a ella siempre y cuando la ecuacion funcional de Cauchy sea estable segun Hyers − Ulam.
El siguiente teorema garantiza la estabilidad de la ecucion de Cauchy entre espacios de Banach.
Teorema 3.1.5. Hyers Sea f : E1 → E2 una funcion entre dos espacios de Banach talque para todo
ε > 0
‖f(x+ y)− f(x)− f(y)‖ ≤ ε (3.1)
para todo x, y ∈ E1. Entonces el lımite
lımn→∞
f(2nx)
2n= g(x)
existe para cada x ∈ E1 y la funcion g : E1 → E2 es la unica funcion aditiva talque
‖f(x)− g(x)‖ ≤ ε
para todo x ∈ E1.
Demostracion. Para demostrar el teorema anterior se realizan los siguientes pasos.
1. Probar que g(x) existe.
2. Probar que g(x) es aditiva.
3. Probar ‖f(x)− g(x)‖ ≤ ε para todo x ∈ E1.
4. Probar que g es la unca funcion aditiva que satisface 3.
En efecto primero se probara que el lımite
lımn→∞
f(2nx)
2n= g(x)
existe. Para ello haciendo y = x en (3,1) se tiene
‖f(2x)− 2f(x)‖ ≤ ε
CAPITULO 3. ESTABILIDAD 42
y diviendo por dos ∥∥∥∥f(2x)
2− f(x)
∥∥∥∥ ≤ ε (3.2)
Ahora remplazando x por 2x y dividiendo por 2 en (3,2) se tiene∥∥∥∥f(22x)
22− f(2x)
2
∥∥∥∥ ≤ ε
22(3.3)
luego por la desigualdad triangular y por (3,2), (3,3) se tiene∥∥∥∥f(22x)
22− f(x)
∥∥∥∥ ≤ ε(1− 1
22
).
Siguiendo el proceso de remplazar x por 2x y dividir por 2 n−veces se tiene∥∥∥∥f(2n(x))
2n− f(2n−1x)
2n−1
∥∥∥∥ ≤ ε
2n
y ∥∥∥∥f(2n−1(x))
2n−1− f(x)
∥∥∥∥ ≤ ε(1− 1
2n−1
)Por lo tanto ∥∥∥∥f(2nx)
2n− f(x)
∥∥∥∥ ≤∥∥∥∥f(2n(x))
2n− f(2n−1x)
2n−1
∥∥∥∥+
∥∥∥∥f(2n−1(x))
2n−1− f(x)
∥∥∥∥≤ ε
2n+ ε
(1− 1
2n−1
)= ε
(1− 1
2n
)esto es ∥∥∥∥f(2nx)
2n− f(x)
∥∥∥∥ ≤ ε(1− 1
2n
)para todo n ∈ N. Con la desigualdad anterior se puede probar que la sucesion de funciones{
gn(x) =f(2nx)
2n
}es de Cauchy y por lo tanto es convergente ya que E2 es un espacio de Banach.
En efecto sean n > 0, m > 0 numeros naturales tales que n > m.
Remplazando x por 2mx en ∥∥∥∥f(2nx)
2n− f(x)
∥∥∥∥ ≤ ε(1− 1
2n
)se tiene ∥∥∥∥f(2n+mx)
2n− f(2mx)
∥∥∥∥ ≤ ε(1− 1
2n
)
CAPITULO 3. ESTABILIDAD 43
y dividiendo por 2m ∥∥∥∥f(2n+m(x))
2n+m− f(2mx)
2m
∥∥∥∥ ≤ ε
2m
(1− 1
2n
)Luego como lımm→∞
1
2m= 0 se tiene que la sucesion {gn(x)} es de Cauchy y es convergente, es decir
que existe el lımite
lımn→∞
f(2nx)
2n= g(x)
para todo x ∈ E1 que es lo que se queria probar en 1.
Ahora el paso a seguir es probar que g(x) es una funcion adititva. En efecto como ‖f(x+ y)− f(x)−
f(y)‖ ≤ ε si se remplazan x por 2nx e y por 2ny se tiene
‖f(2nx+ 2ny)− f(2nx)− f(2ny)‖ ≤ ε
y ahora dividiendo por 2n ∥∥∥∥f(2nx+ 2ny)
2n− f(2
nx)
2n− f(2ny)
2n
∥∥∥∥ ≤ ε
2n
luego como f es continua haciendo el lımite cuando n→∞ se tiene
‖g(x+ y)− g(x)− g(y)‖ =
∥∥∥∥ lımn→∞
(f(2nx+ 2ny)
2n− f(2
nx)
2n− f(2ny)
2n
)∥∥∥∥= lım
n→∞
1
2n‖f(2n(x+ y))− f(2nx)− f(2ny)‖
≤ lımn→∞
ε
2n= 0
para todo x, y ∈ E1, es decir, g es una funcion aditiva que es lo que se queria probar.
Despues de probar que g es aditiva se procede a probar que ‖f(x)− g(x)‖ ≤ ε para todo x ∈ E1. En
efecto
‖f(x)− g(x)‖ =
∥∥∥∥f(x)− lımn→∞
f(2nx)
2n
∥∥∥∥= lım
n→∞
∥∥∥∥f(x)− f(2nx)
2n
∥∥∥∥≤ lım
n→∞ε
(1− 1
2n
)= ε
Asi ‖f(x)− g(x)‖ ≤ ε.
Por ultimo se probara que g es la unica funcion aditiva que cumple la desigualdad anterior por
contradiccion. En efecto si se supone que existe otra funcion aditiva h : E1 → E2 tal que ‖h(x)−f(x)‖ ≤
CAPITULO 3. ESTABILIDAD 44
ε con h(x) 6= g(x) para todo x ∈ E1.
Ademas como ‖g(x) − h(x)‖ ≤ ‖g(x) − f(x)‖ + ‖f(x) − h(x)‖ ≤ 2ε para todo x ∈ E1, y g, h son
funciones aditivas existe k ∈ N talque
‖g(x)− h(x)‖ =
∥∥∥∥kg(x)
k− kh(x)
k
∥∥∥∥=
∥∥∥∥g(kx)
k− h(kx)
k
∥∥∥∥=
1
k‖g(kx)− h(kx)‖
≤ 1
k2ε
luego haciendo el lımite cuando n→∞
lımk→∞
‖g(x)− h(x)‖ ≤ lımk→∞
2ε
k= 0
es decir, g(x) = h(x) para todo x ∈ E1 lo cual es una contradiccion. Por lo tanto g es la unica funcion
aditiva que satisface ‖f(x)− g(x)‖ ≤ ε para todo x y se cumple el teorema. Ver en [10, p 18]
Rassias en 1978 hace una generalizacion del teorema anterior para funciones no acotadas.
Teorema 3.1.6. Rassias Sean E1, E2 espacios de Banach y sea f : E1 → E2 una funcion que
satisface la desigualdad
‖f(x+ y)− f(x)− f(y)‖ ≤ ε(‖x‖p + ‖y‖p)
para todo x, y ∈ E1, con ε > 0 , p ∈ [0, 1).
Entoces existe una unica funcion aditiva A : E1 → E2 talque
‖f(x)−A(x)‖ ≤ 2ε
2− 2p‖x‖p
para todo x ∈ E1.
Demostracion. Sea ε > 0 y p ∈ [0, 1) luego por hipotesis se tiene
‖f(x+ y)− f(x)− f(y)‖ ≤ ε(‖x‖p + ‖y‖p)
para todo x ∈ E1. Haciendo y = x y diviendo por 2 en la desigualdad anterior se tiene∥∥∥∥f(2x)
2− f(x)
∥∥∥∥ ≤ ε‖x‖p (3.4)
CAPITULO 3. ESTABILIDAD 45
Nuevamente remplazando x por 2x y dividiendo por 2 en la ultima desigualdad∥∥∥∥f(22x)
22− f(2x)
2
∥∥∥∥ ≤ 2p−1ε‖x‖p (3.5)
Asi por la desigualdad triangular y por (3,4), (3,5) se tiene∥∥∥∥f(22x)
22− f(x)
∥∥∥∥ ≤ 2p−1ε‖x‖p + ε‖x‖p
= ε‖x‖p(2p−1 + 1).
Con las desigualdades anteriores se procede a probar por induccion sobre n que∥∥∥∥f(2nx)
2n− f(x)
∥∥∥∥ ≤ ε‖x‖p n−1∑m=0
2m(p−1).
En efecto, por (3,4) la desigualdad se cumple para n = 1. Ahora se supone que la desigualdad es cierta
para n y se prueba para n+ 1.
Por hipotesis de induccion se tiene∥∥∥∥f(2nx)
2n− f(x)
∥∥∥∥ ≤ ε‖x‖p n−1∑m=0
2m(p−1)
luego remplazando x por 2x y diviendo por 2 se tiene∥∥∥∥f(2n+1x)
2n+1− f(2x)
2
∥∥∥∥ ≤ ε‖x‖p n∑m=1
2m(p−1), (3.6)
por la desigualdad triangular y por (3,4), (3,6) se tiene∥∥∥∥f(2n+1)
2n+1− f(x)
∥∥∥∥ ≤∥∥∥∥f(2n+1x)
2n+1− f(2x)
2
∥∥∥∥+
∥∥∥∥f(2x)
2− f(x)
∥∥∥∥≤ ε‖x‖p
n∑m=1
2m(p−1) + ε‖x‖p
= ε‖x‖pn∑
m=0
2m(p−1)
Por lo tanto ∥∥∥∥f(2nx)
2n− f(x)
∥∥∥∥ ≤ ε‖x‖p n−1∑m=0
2m(p−1)
para todo n ∈ N.
Ademas como p ∈ [0, 1) se tiene 0 ≤ 2p−1 < 1 y por lo tanto la serie∑∞
m=0 2(p−1)m converege al punto
CAPITULO 3. ESTABILIDAD 46
2
2− 2py
∥∥∥∥f(2nx)
2n− f(x)
∥∥∥∥ ≤ ε‖x‖pn−1∑m=0
2m(p−1)
≤ ε‖x‖p∞∑m=0
2m(p−1)
=ε‖x‖p22− 2p
.
Con la desigualdad anterior se procede a probar que la sucesion de funciones
{f(2nx)
2n
}converge,
para ello basta con probar que la sucesion es de Cauchy ya que E2 es un espacio de Banach.
Sean m,n > 0 numeros naturales con m− n > 0 , luego remplazando n por m− n en∥∥∥∥f(2nx)
2n− f(x)
∥∥∥∥ ≤ 2ε‖x‖p
2− 2p
se tiene la desigualdad ∥∥∥∥f(2m−nx)
2m−n− f(x)
∥∥∥∥ ≤ 2ε‖x‖p
2− 2p(3.7)
para todo x ∈ E1. Remplazando x por 2nx y dividiendo por 2n en (2,7) se tiene∥∥∥∥f(2mx)
2m− f(2nx)
2n
∥∥∥∥ ≤ 2ε
2− 2p2n(p−1)‖x‖p
Ademas lımn→∞ 2n(p−1) = 0 ya que 0 ≤ p < 1, por lo tanto
lımn→∞
∥∥∥∥f(2mx)
2m− f(2nx)
2n
∥∥∥∥ ≤ lımn→∞
2ε
2− 2p2n(p−1)‖x‖p = 0
y la sucesion
{f(2nx)
2n
}es de Cauchy que ademas como E2 es de Banach el lımite
A(x) = lımn→∞
f(2nx)
2n
existe. El paso a seguir es probar que la funcion A : E1 → E2 definida en la ultima igualdad es aditiva.
En efecto si se remplaza x por 2nx e y por 2ny y se divide por 2n en
‖f(x+ y)− f(x)− f(y)‖ ≤ ε(‖x‖p + ‖y‖p)
se obtiene ∥∥∥∥f(2n(x+ y))
2n− f(2nx)
2n− f(2ny)
2n
∥∥∥∥ ≤ 2n(p−1)ε(‖x‖p + ‖y‖p)
y si se hace tender n a infinito
lımn→∞
∥∥∥∥f(2n(x+ y))
2n− f(2nx)
2n− f(2ny)
2n
∥∥∥∥ ≤ lımn→∞
2n(p−1)ε(‖x‖p + ‖y‖p) = 0
CAPITULO 3. ESTABILIDAD 47
es decir, A(x) es una funcion aditiva. Ahora se probara que ‖f(x)−A(x)‖ ≤ 2ε
2− 2p‖x‖p. En efecto
‖f(x)−A(x)‖ =
∥∥∥∥ lımn→∞
f(2nx)
2n− f(x)
∥∥∥∥= lım
n→∞
∥∥∥∥f(2nx)
2n− f(x)
∥∥∥∥≤ lım
n→∞
2ε
2− 2p‖x‖p
=2ε
2− 2p‖x‖p
que es lo que se queria probar.
Para finalizar la demostracion se probara que A(x) es la unica funcion aditiva que cumple la desigual-
dad anterior por contradiccion, suponiendo que existe otra funcion g : E1 → E2 aditiva diferente de
A(x) talque
‖f(x)− g(x)‖ ≤ 2ε
2− 2q
para q ∈ [0, 1). Luego por la desigualdad triangular
‖A(x)− g(x)‖ ≤ ‖A(x)− f(x)‖+ ‖f(x)− g(x)‖ ≤ 2ε
2− 2p‖x‖p +
2ε
2− 2q‖x‖q
y al multiplicar por 1 =n
nse tiene
‖A(x)− g(x)‖ =
∥∥∥∥A(nx)
n− g(nx)
n
∥∥∥∥=
1
n‖A(nx)− g(nx)‖
≤ 1
n
(2ε
2− 2p‖nx‖p +
2ε
2− 2q‖nx‖q
)= np−1
2ε
2− 2p‖x‖p + nq−1
2ε
2− 2q‖x‖q
para todo n ∈ N. Por lo tanto
lımn→∞
‖A(x)− g(x)‖ = 0
es decir, A(x) = g(x) para todo x ∈ E1 lo cual es una contradiccion, por lo tanto A(x) es la unica
funcion aditiva que satisface el teorema y de esta forma se completa la demostracion. Tomado de [2,
p 24]
El teorema anterior es cierto para p ∈ [0, 1) como ya se probo, pero es falso para p = 1 como se ve en
el siguiente contraejemplo.
CAPITULO 3. ESTABILIDAD 48
CONTRAEJEMPLO p = 1 En [10, p 29] se encuentra el siguiente contraejemplo del teorema
anterior para p = 1.
Sean ε > 0, µ =ε
6y se define la funcion φ : R→ R como sigue
φ(x) =
−µ, si x ∈ (−∞,−1];
µx, si x ∈ (−1, 1);
µ, si x ∈ [1,∞).
(3.8)
a partir de φ se define la funcion f : R→ R como
f(x) =
∞∑n=0
φ(2nx)
2n. (3.9)
Para verificar que en efecto f definida en (3,9) no cumple el teorema 3,1,6 para p = 1
Se prueba que para todo x, y ∈ R
‖f(x+ y)− f(x)− f(y)‖ ≤ ε(‖x‖+ ‖y‖)
Se prueba que no existen δ ≥ 0 y una funcion aditiva A : R→ R tales que para todo x ∈ R
‖f(x)−A(x)‖ ≤ δ|x|
Para probar ‖f(x+ y)− f(x)− f(y)‖ ≤ ε(‖x‖+ ‖y‖) se divide la demostracion en tres casos.
Caso 1: Para x = y = 0 se satisface la desigualdad.
Caso 2: Para 0 < ‖x‖+ ‖y‖ < 1, existe N ∈ N talque
2−N ≤ ‖x‖+ ‖y‖ < 2−(N−1)
por lo tanto ‖2N−1x‖ < 1, ‖2N−1y‖ < 1 y ‖2N−1(x+ y)‖ < 1. Asi para cada n ∈ {0, 1, . . . , N − 1} se
cumple que 2nx, 2ny y 2n(x+ y) pertenecen al intervalo (−1, 1).
Ahora por definicion φ(x) es lineal en (−1, 1), luego para todo n ∈ {0, 1, . . . , N − 1}
φ(2n(x+ y))− φ(2nx)− φ(2ny) = 2nµ(x+ y)− 2nµx− 2nµy = 0
CAPITULO 3. ESTABILIDAD 49
y
‖f(x+ y)− f(x)− f(y)‖ =
∥∥∥∥∥∞∑n=0
φ(2n(x+ y))
2n−∞∑n=0
φ(2nx)
2n−∞∑n=0
φ(2ny)
2n
∥∥∥∥∥=
∥∥∥∥∥∞∑n=0
(φ(2n(x+ y))
2n− φ(2nx)
2n− φ(2ny)
2n
)∥∥∥∥∥≤
∞∑n=N
∥∥∥∥φ(2n(x+ y))
2n− φ(2nx)
2n− φ(2ny)
2n
∥∥∥∥≤
∞∑k=0
3µ
2k2N
=6µ
2N
=ε
2N≤ ε(‖x‖+ ‖y‖)
De esta forma se tiene que ‖f(x+ y)− f(x)− f(y)‖ ≤ ε(‖x‖+ ‖y‖) para 0 < ‖x‖+ ‖y‖ < 1.
Caso 3: Para ‖x‖+ ‖y‖ ≥ 1 se prueba que f esta acotada. En efecto
‖f(x)‖ =
∥∥∥∥φ(2nx)
2n
∥∥∥∥≤
∞∑n=0
∥∥∥∥φ(2nx)
2n
∥∥∥∥≤
∞∑n=0
µ
2n= 2µ.
luego como f esta acotada por 2µ se tiene
‖f(x+ y)− f(x)− f(y)‖ ≤ ‖f(x+ y)‖+ ‖ − (f(x) + f(y))‖
≤ ‖f(x− y)‖+ ‖f(x)‖+ ‖f(y)‖
= 6µ
= ε
≤ ε(‖x‖+ ‖y‖)
Con esta desigualdad se ha demostrado que ‖f(x + y) − f(x) − f(y)‖ ≤ ε(‖x‖ + ‖y‖) para todo x,
y ∈ R y acontinuacion se prueba que no existen δ ≥ 0 y una funcion aditiva A : R→ R tales que para
todo x ∈ R
‖f(x)−A(x)‖ ≤ δ|x| (3.10)
En efecto si exsitieran δ y A que cumplen (2,10) por ser f acotada A tambien lo serıa, y por el
teorema (3,1,3) A debe sey lineal, es decir, existe c ∈ R tal que A(x) = cx para todo x ∈ R. Por lo
CAPITULO 3. ESTABILIDAD 50
tanto ‖f(x)−A(x)‖ = ‖f(x)− cx‖ ≤ δ|x| y∥∥∥∥f(x)
x
∥∥∥∥ ≤ δ + |c| (3.11)
para todo x ∈ R. Ahora sea M ∈ N talque µM > δ+|c| y sea x ∈ (0, 2−(M−1)). Por lo tanto 2nx ∈ (0, 1)
para n ∈ {0, 1, 2, . . . ,M − 1} y
f(x) =
∞∑n=0
φ(2nx)
2n=
M−1∑n=0
µ2nx
2n+
∞∑n=M
φ(2nx)
2n
≥M−1∑n=0
µ2nx
2n
= Mµx
de esto
∥∥∥∥f(x)
x
∥∥∥∥ ≥ ‖Mµ‖ > δ + |c|, lo que contradice la desigualdad (3,11). Por lo tanto no existen
δ ≥ 0 y una funcion aditiva A tales que
‖f(x)−A(x)‖ ≤ δ|x|
Y de esta forma f es un contrajemplo del teroema 2,1,6 para p = 1. Tomado de [9, p 27].
3.2. Estabilidad segun Hyers − Ulam − Rassias
A partir del teorema anterior el matematico T. M. Rassias en 1993 da una definicion mas general de
estabailidad para una ecuacion funcional.
Definicion 3.2.1. Estabilidad segun Hyers − Ulam − Rassias Sean E1, E2 espacios normados,
y sean
gi : Eq1 → E1
G : Ep2 × Eq1 → E2
funciones con p, q ∈ N e i = 1, 2, . . . , p. Se dice que la ecuacion funcional
G(f(g1(x1, . . . , xq)), . . . , f(gp(x1, . . . , xq)), x1, . . . , xq) = 0
es estable segun Hyers − Ulam − Rassias si para toda funcion f : E1 → E2 talque para todo
x1, . . . , xq ∈ E1
‖G(f(g1(x1, . . . , xq)), . . . , f(gp(x1, . . . , xq)), x1, . . . , xq)‖ ≤ ϕ(x1, . . . , xq)
CAPITULO 3. ESTABILIDAD 51
existe una funcion H : E1 → E2 talque
G(H(g1(x1, . . . , xq)), . . . ,H(gp(x1, . . . , xq)), x1, , xq) = 0
y
‖f(x)−H(x)‖ ≤ φ(x)
para todo x ∈ E1. Lo anterior para ϕ, φ funciones definidas en Eq1 y con valores en los reales positivos.
Definicion tomada de [2, p 3]
Siguiendo esta definicion se puede decir que la ecuacion de Cauchy es estable segun Hyers − Ulam −
Rassias, como lo menciona el siguiente teorema.
Teorema 3.2.2. Rassias: Sean E1 un espacio vectorial normado, E2 un espacio de Banach, ε > 0
y ϕ una funcion definida en [0,∞) con valores en [0,∞) tal que:
1. lımt→∞ϕ(t)
t= 0.
2. ϕ(ts) ≤ ϕ(t)ϕ(s) para todo t > 0, s > 0.
3. ϕ(t) < t para todo t > 1.
Sea f : E1 → E2 una funcion que satisface
‖f(x+ y)− f(x)− f(y)‖ ≤ ε(ϕ(‖x‖) + ϕ(‖y‖)) para todo x, y ∈ E1.
Entonces existe una unica funcion aditiva A de E1 a E2 tal que:
‖f(x)−A(x)‖ ≤ 2ε
2− ϕ(2)ϕ(‖x‖)
para todo x ∈ E1.
Demostracion. Por hipotesis
‖f(x+ y)− f(x)− f(y)‖ ≤ ε(ϕ(‖x‖) + ϕ(‖y‖))
para todo x , y ∈ E1, entonces haciendo y = x y dividiendo por 2 se tiene∥∥∥∥f(2x)
2− f(x)
∥∥∥∥ ≤ εϕ(‖x‖),
ası el paso a seguir es probar por induccion sobre n que∥∥∥∥f(2n(x))
2n− f(x)
∥∥∥∥ ≤ ε ϕ(‖x‖)n−1∑m=0
(ϕ(2)
2
)m. (3.12)
CAPITULO 3. ESTABILIDAD 52
Para n = 1 se cumple 3,12 por hipotesis.
Ahora supongase que se cumple 3,12 para n y se procede a probar que∥∥∥∥f(2n+1(x))
2n+1− f(x)
∥∥∥∥ ≤ ε ϕ(‖x‖)n∑
m=0
(ϕ(2)
2
)m.
En efecto como por hipotesis de induccion∥∥∥∥f(2n+1(x))
2n+1− f(x)
∥∥∥∥ ≤ ε ϕ(‖x‖)n∑
m=0
(ϕ(2)
2
)msi se remplaza x por 2x y se divide por 2 se tiene∥∥∥∥f(2n+1)
2n+1− f(2x)
2
∥∥∥∥ ≤ εϕ(2‖x‖)
2
n−1∑m=0
(ϕ(2)
2
)m≤ ε ϕ(‖x‖)
n∑m=1
(ϕ(2)
2
)m,
luego ∥∥∥∥f(2n+1x)
2n+1− f(x)
∥∥∥∥ ≤∥∥∥∥f(2n+1x)
2n+1− f(2x)
2
∥∥∥∥+
∥∥∥∥f(2n+1x)
2n+1
∥∥∥∥− f(x)
≤ ε ϕ(‖x‖)n∑
m=1
(ϕ(2)
2
)m+ ε ϕ(‖x‖)
= ε ϕ(‖x‖)n∑
m=0
(ϕ(2)
2
)mde lo que concluye que se cumple 3,12.
Ahora como ϕ(t) < t para todo t > 1ϕ(2)
2< 1
y ademas la serie geometrica∑n−1
m=0
(ϕ(2)
2
)mconverge a
1
1− ϕ(2)
2
=2
2− ϕ(2)se tiene
∥∥∥∥f(2n)
2n− f(x)
∥∥∥∥ ≤ 2ε ϕ(‖x‖)2− ϕ(2)
.
Por otro lado para m > n > 0 numeros naturales se tiene∥∥∥∥f(2mx)
2m− f(2nx)
2n
∥∥∥∥ =1
2n
∥∥∥∥2nf(2mx)
2m− f(2nx)
∥∥∥∥ ,
CAPITULO 3. ESTABILIDAD 53
luego para y = 2nx y r = m− n se tiene que para todo x ∈ E1∥∥∥∥f(2mx)
2m− f(2nx)
2n
∥∥∥∥ =1
2n‖2−rf(2ry)− f(y)‖
≤ 1
2n2 ε ϕ(‖y‖)2− ϕ(2)
≤ 1
2n2 ε ϕ(2n)ϕ(‖x‖)
2− ϕ(2)
≤ ϕ(2n)
2n2ε ϕ(‖x‖)2− ϕ(2)
,
por lo tanto la sucesion
{f(2nx)
2n
}es de Cauchy en E2, pero como E2 es un espacio de Banach la
sucesion converge y el lımite
A(x) = lımn→∞
f(2nx)
2n
existe para todo x ∈ E1.
Despues de probar que existe la funcion A, se procede a probar que es aditiva. En efecto
‖f(2n(x+ y))− f(2nx)− f(2ny)‖ ≤ ε < (ϕ(‖2nx‖) + ϕ(‖2ny‖))
≤ εϕ(2n)(ϕ(‖x‖) + ϕ(‖y‖)),
dividiendo por 2n se tiene
2−n‖f(2n(x+ y))− f(2nx)− f(2ny)‖ ≤(ϕ(2)
2
)nε(ϕ(‖x‖) + ϕ(‖y‖))
pero comoϕ(2)
2< 1 el lımite lımn→∞
(ϕ(2)
2
)n= 0, por lo tanto
lımn→∞
2−n‖f(2n(x+ y))− f(2nx)− f(2ny)‖ = 0,
de lo que se concluye que A es una funcion aditiva.
Ademas como ∥∥∥∥f(2nx)
2n− f(x)
∥∥∥∥ ≤ 2ε ϕ(‖x‖)2− ϕ(2)
y la norma es una funcion continua
‖A(x)− f(x)‖ =
∥∥∥∥ lımn→∞
f(2nx)
2n− f(x)
∥∥∥∥ ≤ 2ε ϕ(‖x‖)2− ϕ(2)
. (3.13)
Para terminar la demostracion se probara que A es la unica funcion aditiva que satisface 3,13 por
contradiccion, suponiendo que existe otra funcion aditiva L tal que
‖L(x)− f(x)‖ ≤ 2ε ϕ(‖x‖)2− ϕ(2)
CAPITULO 3. ESTABILIDAD 54
para x ∈ E1. Como L, A son funciones aditivas para m ∈ N
‖A(mx)− L(mx)‖ ≤ ‖A(mx)− f(x)‖+ ‖f(x)− L(x)‖
≤ 2 ε ϕ(m‖x‖)2− ϕ(2)
+2 ε ϕ(m‖x‖)
2− ϕ(2)
=2(2 ε ϕ(m‖x‖))
2− ϕ(2)
≤ 2(2 ε ϕ(m)ϕ(‖x‖))2− ϕ(2)
pero como lımt→∞ϕ(t)
t= 0 y ‖A(x)− L(x)‖ ≤ 2(2 ε ϕ(m)ϕ(‖x‖))
m(2− ϕ(2))se tiene
lımm→∞
‖A(x)− L(x)‖ = 0
Por lo tanto A es la unica funcion aditiva que satisface 3,13 y se cumple el teorema. Tomado de [2, p
17].
De esta forma se obtiene que la ecuacion de Cauchy es estable segun Hyers − Ulam − Rassias.
3.3. Metodo del punto fijo
Existen varios metodos para determinar si una ecuacion es estable o no, entre ellos estan el metodo
directo, el metodo de inavriantes y el metodo del punto fijo. El metodo empleado en los ejemplos
anteriores es el directo. En esta seccion del trabajo se realiza una breve descripcion del metodo del
punto fijo el cual se basa en buscar respuesta a la siguiente pregunta:
¿ Cuando para una funcion f : A→ B existe x ∈ A tal que f(x) = x?
Definicion 3.3.1. Sea T una funcion de X en X, z ∈ X es un punto fijo de T si T (x) = x, esto es
que la imagen de z bajo T coincide con z. Tomado de [11, p 299]
Ejemplo 3.3.2. Sea f una funcion a valor real definida en los numero reales, tal que
f(x) =
x
2sen
(1
x
), si x 6= 0;
0, si x = 0.
El unico punto fijo de f es cero, ya que si existiera otro punto fijo z 6= 0 se tendrıa
z =z
2sen
(1
z
), es decir, 2 = sen
(1
z
)lo que es imposible.
CAPITULO 3. ESTABILIDAD 55
Definicion 3.3.3. Sea (X, d) un espacio metrico. Una funcion T : X → X es una contraccion en
X si existe un real positivo α < 1 tal que para todos x, y ∈ X
d(T (x), T (y)) ≤ αd(x, y),
. Definicion tomada de [11, p 300].
Ejemplo 3.3.4. Sea (X, ‖‖) un espacio de Banach, si ademas existe la operacion producto · en X tal
que para todos x, y, z ∈ X , α ∈ R se cumple
x · (y · z) = (x · y) · z
x · (y + z) = x · y + x · z
(y + z) · x = y · x+ z · x
(αx)y = α(x · y) = x(αy)
‖x · y‖ ≤ ‖x‖‖y‖,
se dice que X es una algebra de Banach.
Sean z ∈ X tal que ‖z‖ < 1 y ‖z‖ < d < 1. La funcion T : Bd(0) → Bd(0) con T (x) =1
2(x2 + z) es
una contraccion en Bd(0) ya que
‖T (x)− T (y)‖ =1
2‖x2 − y2‖
=1
2‖(x− y)(x+ y)‖
≤ 1
2‖x− y‖‖x+ y‖
≤ 1
2‖x− y‖(‖x‖+ ‖y‖)
< d‖x− y‖
y por hiptesis d < 1.
Teorema 3.3.5. Contraccion de Banach. Sea (X, d) un espacio metrico completo con X 6= ∅. Sea
T : X → X una contraccion en X, entonces T tiene un unico punto fijo.
Demostracion. La demostracion se basa en buscar una sucesion de Cauchy en X tal que su lımite sea
un punto fijo de T .
Para ello sea x0 un punto de X y sean
x1 = T (x0), x2 = T (x1) = T (T (x0)), . . . , xn = T (xn−1) = Tn(x0),
CAPITULO 3. ESTABILIDAD 56
de lo anterior se deduce que (xn) es la sucesion de las imagenes de x0 en alguna potencia de T . Ahora
como T es una contraccion existe α < 1 tal que d(T (x), T (y)) < αd(x, y) para todo x, y ∈ X, por lo
tanto
d(xm+1, xm) = d(T (xm), T (xm−1))
≤ αd(xm, xm−1)
= αd(T (xm−1), T (xm−2))
≤ α2d(xm−1, xm−2)
...
≤ αmd(x1, x0)
= αmd(T (x0), x0),
luego por la desigualdad triangular y la formula de la suma de una progresion geometrica para n > m
se tiene
d(xm, xn) ≤ d(xm, xm+1) + d(xm+1, xm+2) + . . .+ d(xn−1, xn)
≤ d(x1, x0)(αm + αm+1 + . . .+ αn−1)
= αm(
1− αn−m
1− αd(x1, x0)
),
pero como 0 < α < 1, 1− αn−m < 1 y
d(xm, xn) ≤ αm
1− αd(x0, x1).
Nuevamente como 0 < α < 1 y d(x0, x1) son fijosαm
1− αse acerca a cero a medida que m se hace lo
suficientemente grande, de esto se concluye que (xm) es una sucesion de Cauchy.
Ahora como X es un espacio completo la sucesion (xm) converge a un punto x ∈ X. Ası el paso a
seguir el probar que x es un punto fijo de T .
En efecto:
d(x, T (x)) ≤ d(x, xm) + d(xm, T (x))
≤ d(x, xm) + αd(xm−1, x)
la ultima desigualdad por ser T una contraccion, pero como (xn) converge a x, tanto d(x, xm) como
d(x, xm−1) son tan pequenas como ε, para todo ε > 0, es decir que d(x, T (x)) = 0, por lo tanto
CAPITULO 3. ESTABILIDAD 57
x = T (x) y x es un punto fijo de T .
Para terminar la demostracion se prubara que x es el unico punto fijo de T por contradiccion. Si se
supone que y 6= x es un punto fijo de T entonces y = T (y) y
d(x, y) = d(T (x), T (y)) ≤ αd(x, y)
pero como α < 1 la unica posibilidad es que d(x, y) = 0, esto es, y = x lo cual es una contradiccion.
De esta forma se prueba que x es el unico punto fijo de T . Demostracion tomada de [11, p 301].
Observacion 1: En el teorema anterior la condicion de α < 1 es necesaria, ya que por ejemplo para
I un intervalo cerrado en R y f : I → I una funcion diferenciable con |f ′(t)| < 1 para todo t ∈ I, por
el teorema del valor se satisface la desigualdad
|f(x)− f(y)| < |x− y|
para todo x, y ∈ I, ası en este caso α = 1. Pero en particular para I = [1,∞) y f(x) =√x2 + 1, f no
tiene puntos fijos.
Observacion 2: El recıproco del teorema anterior es falso, porque exsiten funciones con unico punto
fijo pero que no son contraccion, tal es el caso de la funcion T : [0, 1] → [0, 1] con T (x) = 1 − x que
tiene un unico punto fijo en1
2, pero que no es contraccion ya que
|T (x)− T (y)| = | − x+ y|.
Estabilidad de la ecuacion funcional de Cauchy.
Como ya se menciono el metodo del punto fijo se puede usar para determinar si la ecuacion funcional
de Cauchy es estable segun Hyers − Ulam − Rassias o no, para ello sean E un espacio normado, F
un espacio de Banach y ϕ : [0,∞)→ [0,∞) una funcion que satisface:
1. lımt→∞ϕ(t)
t= 0.
2. ϕ(ts) ≤ ϕ(t)ϕ(s) ; para todo t, s ∈ [0,∞).
3. ϕ(t) < t para t > 1.
Teorema 3.3.6. Con la definicion de E, F y ϕ sea X el espacio formado por todas funciones g :
E → F , y sea d la metrica en X definida por
d(f, g) = ınf{c ∈ [0,∞) : ‖f(x)− g(x)‖ ≤ cϕ(‖x‖); para todo x ∈ E},
CAPITULO 3. ESTABILIDAD 58
entonces (X, d) es un espacio completo.
Demostracion. Primero se probara que d como se definio es una metrica.
En efecto, sean f, g funciones en X, entonces
Por definicion de norma
cϕ(x) ≥ ‖f(x)− g(x)‖ ≥ 0
para todo x ∈ E, por lo tanto d(f, g) ≥ 0 para todo f, g ∈ X.
Por propiedades de norma se tiene que ‖f(x)− g(x)‖ = ‖g(x)− f(x)‖ para todo x ∈ E, luego
d(f, g) = ınf{c ∈ [0,∞) : ‖f(x)− g(x)‖ ≤ cϕ(‖x‖); para todo x ∈ E}
= ınf{c ∈ [0,∞) : ‖g(x)− f(x)‖ ≤ cϕ(‖x‖); para todo x ∈ E}
= d(g, f)
esto es, d(f, g) = d(g, f) para todo f, g ∈ X.
Supongase que d(f, g) = 0 entonces
ınf{c ∈ [0,∞) : ‖f(x)− g(x)‖ ≤ cϕ(‖x‖); para todo x ∈ E} = 0.
Si ϕ(‖x‖) = 0 entonces cϕ(x) = 0 para todo c ∈ [0,∞) y la unica posibilidad para que ‖f(x)−
g(x)‖ ≤ cϕ(‖x‖) es que ‖f(x) − g(x)‖ = 0 y por definicion de norma f(x) = g(x) para todo
x ∈ E, por lo tanto f = g.
Si ϕ(x) 6= 0 entonces sı d(f, g) = 0 es porque
ınf{c ∈ [0,∞) :‖f(x)− g(x)‖
ϕ(‖x‖)≤ c; para todo x ∈ E} = 0,
luego por definicion de ınf para todo k ∈ N existe z ∈ [0,∞) talque
0 ≤ ‖f(x)− g(x)‖ϕ(‖x‖)
≤ z ≤ 1
k;
pero como lo anterior es para todo k ∈ N
‖f(x)− g(x)‖ϕ(‖x‖)
≤ 0
para todo x ∈ E y por propiedades de ϕ(x) y de la norma se deduce que ‖f(x)− g(x)‖ = 0, es
decir, f(x) = g(x) para todo x ∈ E, por lo tanto f = g.
Ahora si se supone que f = g entonces ‖f(x) − g(x)‖ = 0 para todo x ∈ E, por lo tanto
d(f, g) = 0. De esta forma se prueba que d(f, g) = 0 si y solo si f = g para todo f, g ∈ X.
CAPITULO 3. ESTABILIDAD 59
Si f, g, h ∈ X entonces:
d(f, g) + d(g, h) = ınf{c ∈ [0,∞) : ‖f(x)− g(x)‖ ≤ cϕ(‖x‖); para todo x ∈ E}
+ ınf{c ∈ [0,∞) : ‖g(x)− h(x)‖ ≤ cϕ(‖x‖); para todo x ∈ E}
≥ ınf{c ∈ [0,∞) : ‖f(x)− g(x)‖+ ‖g(x)− h(x)‖ ≤ cϕ(‖x‖); para todo x ∈ E}
≥ ınf{c ∈ [0,∞) : ‖f(x)− h(x)‖ ≤ cϕ(‖x‖); para todo x ∈ E}
= d(f, h)
esto es, d(f, g) + d(g, h) ≥ d(f, h) para todo f, g, h ∈ X.
Con los puntos anteriores se probo que d es una metrica en X.
Para terminar la demostracion se procede a probar que (X, d) es un espacio completo. Para ello sea
(fn) una sucesion de Cauchy en X, esto es, para todo ε > 0 existe N ∈ N tal que
d(fn, fm) ≤ ε, para todo n,m ≥ N.
Ahora sea x ∈ E fijo y sea (fn(x)) una sucesion de Cauchy en E, luego como F es completo existe
yx ∈ F tal que (fn(x)) converge a yx; esto para cada x ∈ E.
De esta forma sea T : E → F una funcion tal que T (x) = yx, y se procede a probar que (fn) converge
a la funcion T .
En efecto, como:
lımn→∞
ınf{c ∈ [0,∞) : ‖fn(x)− fm(x)‖ ≤ cϕ(‖x‖); para todo x ∈ E}
es igual a
ınf{c ∈ [0,∞) : ‖T (x)− fm(x)‖ ≤ cϕ(‖x‖); para todo x ∈ E} ≤ ε,
se concluye que para todo x ∈ E y m > N ,
ınf{c ∈ [0,∞) : ‖T (x)− fm(x)‖ ≤ cϕ(‖x‖); para todo x ∈ E} ≤ ε
es decir, (fn) converge a la funcion T ∈ X y el espacio (X, d) es completo.
Con lo anterior ya se puede enunciar y demostrar el siguiente teorema, el cual muestra como usar el
metodo del punto fijo en la teorıa de la estabilidad, en particular en la ecuacion funcional de Cauchy.
CAPITULO 3. ESTABILIDAD 60
Teorema 3.3.7. Sean E un espacio normado, F un espacio de Banach y ϕ : [0,∞) → [0,∞) una
funcion que satisface:
1. lımt→∞ϕ(t)
t= 0.
2. ϕ(ts) ≤ ϕ(t)ϕ(s) ; para todo t, s ∈ [0,∞).
3. ϕ(t) < t para t > 1.
Si dada una funcion f : E → F tal que para todo ε > 0
‖f(x+ y)− f(x)− f(y)‖ ≤ ε (ϕ(‖x‖) + ϕ(‖y‖)),
entonces existe uan funcion aditiva g : E → F tal que
‖f(x)− g(x)‖ ≤ 2 ε
2− ϕ(2)ϕ(‖x‖).
Demostracion. Sea X = {g : E → F} y sea d la metrica en X definida como
d(f, g) = ınf{c ∈ [0,∞) : ‖f(x)− g(x)‖ ≤ cϕ(‖x‖); para todo x ∈ E},
el espacio (X, d) es completo por el teroema anterior, y sea A : X → X una funcion definida por
A(g(x)) =1
2g(2x)
para todo x ∈ E. Parte importante de la demostracion es demostrar que A es una contraccion en X;
para eso sean g, h ∈ X y k ∈ [0,∞) tal que d(g, h) ≤ k y ‖g(x)− h(x)‖ ≤ kϕ(‖x‖) para todo x ∈ E.
Luego
‖A(g(x))−A(h(x))‖ =
∥∥∥∥1
2g(2x)− 1
2h(2x)
∥∥∥∥=
1
2‖g(2x)− h(2x)‖
≤ k
2ϕ(‖2x‖)
=k
2ϕ(2‖x‖)
=k
2ϕ(2)ϕ(‖x‖),
pero por definicion de la funcion ınf y por serϕ(2)
2< 1, se tiene que d(A(g(x)), A(h(x))) ≤ ϕ(2)
2d(g(x), h(x))
para todo x ∈ E, por lo tanto A es una contraccion en X.
CAPITULO 3. ESTABILIDAD 61
Ası como (X, d) es completo y A es una contraccion en X por el teorema de contraccion de Banach A
tiene un unico punto fijo g ∈ X, es decir,
A(g(x)) =g(2x)
2= g(x) para todo x ∈ E,
ademas como d(An(f), g) ≤ αn
1− αd(x0, x1), al hacer el lımite cuando n tiende al infinito se tiene
d(An(f), g) ≤ 0, es decir, que la funcion g se puede expresar como
lımn→∞
An(f) = lımn→∞
(f(2x)
2
)n= g(x).
Por otro lado por hipotesis para y = x
‖f(2x) + 2f(x)‖ ≤ ε 2 ϕ(‖x‖)
que al dividir por dos se tiene la desigualdad,
∥∥∥∥f(2x)
2− f(x)
∥∥∥∥ ≤ ε ϕ(‖x‖), por lo tanto
d(f,A(f)) = ınf{c ∈ [0,∞) : ‖f(x)− f(2x)
2‖ ≤ cϕ(‖x‖); para todo x ∈ E} ≤ ε.
De esta forma
d(f, g) ≤ 1
1− ϕ(2)2
d(f,A(f))
≤ ε
1− ϕ(2)
2
=2 ε
2− ϕ(2)
y por definicion de la metrica en X, se tiene ‖g(x)− f(x)‖ ≤ 2 ε
2− ϕ(2)ϕ(‖x‖), que es lo que se querıa
demostrar.
Para terminar se demostrara que g es una funcion aditiva.
En efecto, como por hipotesis
‖f(x+ y)− f(x)− f(y)‖ ≤ ε ϕ(‖x‖+ ‖y‖)
remplzando x, y por 2nx, 2ny respectivamente se tiene
‖f(2n(x+ y))− f(2nx)− f(2ny)‖ ≤ ε ϕ(2n)ϕ(‖x‖+ ‖y‖),
que al dividirlo por 2n y haciendo n lo suficientemente grande lleva a concluir que
lımn→∞
(‖f(2n(x+ y))− f(2nx)− f(2ny)‖) ≤ 0
porque lımt→∞ϕ(t)
t= 0, por lo tanto g es una funcion aditiva y se cumple el teorema.
CAPITULO 3. ESTABILIDAD 62
Con el teorema anterior se evidencia la aplicacion del metodo del punto fijo en la teorıa de la estabilidad
y de por terminado este capıtulo en el que se mostro las definiciones de estabilidad y un ejemplo en
la ecuacion funcional de Cauchy.
Capıtulo 4
Aplicacion
Soon−Mo Jung en [1] menciona que la teorıa de la estabilidad en ecuaciones diferenciales fue estudiada
por varias personas, entre ellos Alsina y Ger quienes en 1998 prueban la estabilidad segun Hyers −
Ulam de la ecuacion diferencial y′(t) = y(t), mas tarde Takahasi, Miura y Miyajima generalizan este
resultado para ecuaciones de la forma y′(t) = λy(t). En el ano 2010 Soon − Mo Jung en el artıculo
Implicit Function Theorem and Its Application to a Ulam′s Problem for Exact Differential Equations
por medio de una generalizacion del teorema de la funcion implıcita prueba la estabilidad segun Hyers
− Ulam − Rassias de la ecuacion diferencial exacta g(x, y) + h(x, y)y′ = 0. En este capıtulo se hace
un estudio del trabajo realizado en el artıculo en mencion.
4.1. Ecuacion diferencial exacta.
Para poder aplicar la teorıa que se expondra en este capıtulo es necesario primero determinar cuando
una ecuacion diferencial es exacta. Segun Krantz en [12, p 21] una ecuacion diferencial exacta es de
la forma
M(x, y) +N(x, y)y′ = 0. (4.1)
Si existe una funcion ψ tal que
∂xψ(x, y) + ∂yψ(x, y)y′ = 0
entonces se dice que la funcion ψ es solucion de la ecuacion diferencial 4,1. Por lo tanto dada una
solucion f de 4,1 se debe tener
∂xf(x, y) = M y ∂yf(x, y) = N,
63
CAPITULO 4. APLICACION 64
entonces∂2f
∂y∂x=∂M
∂yy∂2f
∂x∂y=∂N
∂x
es decir, que se debe cumplir ∂yM(x, y) = ∂xN(x, y) para que la ecuacion diferencial sea exacta, de
ahı el siguiente teorema.
Teorema 4.1.1. Sean M , N , ∂yM , ∂xN funciones continuas en una region conexa S, entonces la
ecuacion
M(x, y) +N(x, y)y′ = 0
es una ecuacion diferencial exacta si y solo si
∂yM(x, y) = ∂xN(x, y)
en cada punto de S.
Ejemplo 4.1.2. Sea la ecuacion diferencial
2xsen ydx+ x2 cos ydy = 0 (4.2)
Lo primero que se debe hacer es determinar si la ecuacion es exacta, para ello se identifican las
funciones M(x, y) = 2xsen y, N(x, y) = x2 cos y. Luego como
∂yM(x, y) = 2x cos y = ∂xN(x, y)
se tiene que en efecto 3,2 es una ecuacion diferencial exacta.
Ahora para determinar la solucion de dicha ecuacion, se supone que existe tal funcion y se denota por
f , luego f debe cumplir ∂xf(x, y) = M(x, y) por lo tanto al integrar se tiene∫∂xf(x, y)dx =
∫2xsen ydx = x2sen y + φ(y),
pero como ademas
N(x, y) = ∂yf(x, y) = x2 cos y + φ′(y) = x2 cos y
se tiene que φ′(y) = 0, entonces φ(y) = d con d una constante, de esta forma f la solucion de la
ecuacion diferencial 3,2 se puede expresar como f(x, y) = x2sen y + d = c de forma implıcita y de
forma explıcita como y = f(x) = sen−1c
x2con c = c− d, [12, p 22].
CAPITULO 4. APLICACION 65
4.2. Aplicacion.
Segun el teorema de la funcion implıtica si la ecuacion f(x, y) = 0 satisface ciertas condiciones, tal
ecuacion se puede resolver expresando a y en terminos de x en determinados conjuntos. JUNG en [1]
hace referencia del teorema de la funcion implıcita pero global, esto es cuando la variable y se puede
expresar en terminos de x en todo su dominio y rango.
Ası como en la seccion 1,7 para demostrar el teorema de la funcion implıcita local se necesito del
teorema de la funcion inversa local, para demostrar el teorema global se necesita del teorema de la
funcion inversa global el cual se encuentra en [13].
Teorema 4.2.1. Teorema de la funcion inversa global. Sean A ⊆ Rn un conjunto abierto, f
una funcion definida en A con valores en Rn.
Si f tiene derivadas parciales continuas en A, es un a uno en A y Jf (x) 6= 0 para todo x ∈ A, entonces
el conjunto f(A) es abierto en Rn y la funcion inversa
g : f(A)→ A
tiene derivadas parciales continuas.
Demostracion. El primer paso de la demostracion es probar que f(A) es un conjunto abierto. En
efecto, como f tiene derivadas parciales continuas y Jf (x) 6= 0 para todo x ∈ A por el teorema
2,3,2 para cada x existe una bola abierta con centro en x en la que f es uno a uno. Ademas por
el teorema 2,3,1 existe una bola abierta con centro en f(x) contenida en f(A), luego como esto
es para cada x ∈ A se puede concluir que f(A) es un conjunto abierto, porque todos sus puntos
son interiores.
Como f es uno a uno en A la funcion g esta bien definida.
Ahora dado un conjunto abierto U de A por lo mencionado anteriormente f(U) = g−1(U)
tambien es un conjunto abierto de f(A), ası la imagen inversa de un conjunto abierto bajo g
tambien es un conjunto abierto en f(A) y g es una funcion continua.
Por otro lado parte de la demostracion consiste en probar que g es diferenciable en b = f(a) con
derivada total igual a J−1f (a). Para ello basta con demostrar que
lımv→0
g(b+ v)− g(b)− J−1f (a) · (v)
‖v‖= 0.
CAPITULO 4. APLICACION 66
Sea 4(v) = g(b + v)− g(b), por teorema 2,3,2 existe una bola abierta con centro en a de radio
α en la que f es uno a uno, es decir,
|f(x0, f(x1))| ≥ α|x0, x1|
para todo x0, x1 ∈ Bα(a) y por teorema 2,3,1 existe una bola abierta C en f(A) con centro en
f(a) y radio ε. Ası para v ∈ Rn con ‖v‖ < ε se tiene que b+ v ∈ C y
|(b+ v)− b| ≥ α|g(b+ v)− g(b)|
por ser g uno a uno, por lo tanto
1
α≥ |g(b+ v)− g(b)|
|v|=|4(v)||v|
y (4.3)
g(b+ v)− g(b)− J−1f (a) · v‖v‖
=4(v)− J−1f (a) · v
‖v‖
= −Jf (a)−1(v −4(v)Jf (a)
‖4(v)‖
)(‖4(v)‖‖v‖
),
esto es posible ya que 4(v) 6= 0 y v 6= 0; ademas por 4,3 se concluye
g(b+ v)− g(b)− J−1f (a) · v‖v‖
≤−J−1f (a)
α
(v −4(v)Jf (a)
‖4(v)‖
),
asi para probar que g es diferenciable, basta con probar que
lımv→0
v −4(v)Jf (a)
‖4(v)‖= 0.
En efecto como b+ v = f(g(b+ v)) = f(4(v) + g(b)) = f(a+4(v)) se tiene
lımv→0
v −4(v)Jf (a)
‖4(v)‖= lım
v→0
f(a+4(v))− f(a)−4(v)Jf (a)
‖4(v)‖
pero como g es continua cuando v tiende a cero 4(v) tambıen tiende a cero, por lo tanto
lımv→0
g(b+ v)− g(b)− J−1f (a) · (v)
‖v‖= 0,
es decir, g es diferenciable y su derivada total es J−1f .
Por ultimo como
∂kg(b) = (∂kf(g(b)))−1
se concluye que g tiene derivadas parciales continuas, porque f tambien cumple con esa propie-
dad.
De esta forma, se termina la demostracion del teorema de la funcion inversa global. Demostracion
tomada de [13, p 65].
CAPITULO 4. APLICACION 67
Para cumplir con los objetivos planteados en este trabajo, el siguiente teorema es de gran importancia,
ya que muestra la relacion que tiene el teorema de funcion implıcita con la teorıa de la estabilidad.
Esta relacion se basa en las nuevas condiciones que se adicionan al teorema de la funcion implıcita,
es importante mencionar que siguiente teorema garantiza una unica solucion global de la ecuacion
u(x, y) = 0.
Teorema 4.2.2. Sean I un subconjunto abierto de Rk diferente de vacio, J un subconjuto abierto
conexo de R. Sea u : I × J → R una funcion con derivadas parciales continuas.
Si existen a ∈ I, b ∈ J y c ∈ R tales que u(a, b) = c y
supx∈I
ınfy∈J
u(x, y) < c < ınfx∈I
supy∈J
u(x, y). (4.4)
Si ademas ∂yu(x, y) 6= 0 para todo (x, y) ∈ I × J , entonces existe una unica funcion y0 : I → J con
derivadas parciales continuas tal que:
1. y0(a) = b.
2. u(x, y0(x)) = c para todo x ∈ I.
Demostracion. Sea la funcion U : I × J → Rk+1 con
U(x, y) = (x, u(x, y)),
luego por definicion de jacobiano se tiene
JU (x, y) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂1U1(x, y) . . . ∂kU1(x, y) ∂k+1U1(x, y)...
. . ....
...
∂1Uk(x, y) . . . ∂kUk(x, y) ∂k+1Uk(x, y)
∂1Uk+1(x, y) . . . ∂kUk+1(x, y) ∂k+1Uk+1(x, y)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂1x1 . . . ∂kx1 ∂k+1x1...
. . ....
...
∂1xk . . . ∂kxk ∂k+1xk
∂1u(x, y) . . . ∂ku(x, y) ∂k+1u(x, y)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= ∂yu(x, y) 6= 0
esto es, JU (x, y) 6= 0 para todo (x, y) ∈ I × J . Para poder hacer uso del teorema 4,2,1 es necesario
probar que la funcion U es uno a uno en I × J .
CAPITULO 4. APLICACION 68
Si se supone que U no es uno a uno, existen (x1, y1), (x2, y2) ∈ Rk+1 diferentes tal que U(x1, y1) =
U(x2, y2), luego (x1, u(x1, y1)) = (x2, u(x2, y2)) y por definicion de igualdad en Rk+1 se tiene que
x1 = x2; u(x1, y1) = u(x2, y2).
Ademas como ∂yu(x, y) 6= 0 y es continua para x fijo existe una vecindad en la que u(x, y) es uno a
uno en la segunda variable por el teorema 2,3,2 , por lo tanto se debe tener que y1 = y2; ası (x1, y1) =
(x2, y2) lo que es una contradiccion ya que se supuso que eran diferentes. Entonces U es uno a uno en
I × J .
De esta forma como U tiene derivadas parciales, es uno a uno en I × J y ∂yu(x, y) 6= 0 para todo
(x, y) ∈ I × J por el teorema 4,2,1 la funcion inversa V : U(I × J) → I × J existe y tiene derivadas
parciales continuas. Luego como U(x, y) = (x, u(x, y)) se tiene que V (x, u(x, y)) = (x, y) para todo
(x, y) ∈ I × J , de esta manera la funcion V mantiene fija la primera componente y se puede expresar
como
V (z, w) = (z, v(z, w)),
con v : U(I × J)→ J para todo (z, w) ∈ U(I × J).
Ahora sean a ∈ I, b ∈ J y c ∈ R tal que u(a, b) = c y
supx∈I
ınfy∈J
u(x, y) < c < ınfx∈I
supy∈J
u(x, y),
se procede a probar que para todo x ∈ I existe yc,x ∈ J tal que
u(x, yc,x) = c. (4.5)
En efecto, si supone que 4,5 es falso es porque existe xc ∈ I tal que para todo y ∈ J , u(xc, y) 6= c, pero
com xc es fijo la funcion u(xc, y) es continua en J , ademas como J es un conjunto conexo se tiene que
u(xc, J) tambien es conexo.
Sin embargo como c satisface 4,4 el conjunto u(xc, J) se puede expresar como la union de dos conjuntos
no vacıos A y B con A ⊂ (−∞, c), B ⊂ (c,∞), lo que contradice la hipotesis que u(xc, J) es conexo,
por lo tanto
∀x ∈ I, ∃yc,x ∈ J : u(x, yc,x) = c.
Por otro lado como U(x, yc,x) = (x, u(x, yc,x)) = (x, c) se tiene que (x, c) ∈ U(I × J) para todo x ∈ I
y c ∈ R que cumple 4,4.
Por lo tanto
V (x, c) = (x, v(x, c)),
(x, c) = U(x, v(x, c)) = (x, u(x, v(x, c)))
CAPITULO 4. APLICACION 69
por definicion de funcion inversa. De esto se concluye que c = u(x, v(x, c)) para cada x ∈ I, a partir
de esto se define la funcion y0 : I → J con y0(x) = v(x, c), como U tiene derivadas parciales continuas
y v es componente de U se tiene que v tiene derivadas parciales continuas.
Ahora como u(x, y0(x)) = u(x, v(x, c)) = c para todo x ∈ I y se cumple la implicacion 2, pero como
tambien u(a, b) = c se tiene que
(a, b) = V (a, c) = (a, v(a, c)) = (a, y0(a)),
por lo tanto y0(a) = b y se satisface la implicacion 1.
Para terminar la demostracion se probara que y0 es la unica funcion que satisface las implicaciones 1
y 2. En efecto, si existe otra funcion y1 : I → J diferente a y0 tal que y1(a) = b y u(x, y1(x)) = c para
todo x ∈ I, entonces
U(x, y0(x)) = (x, u(x, y0(x))) = (x, c)
U(x, y1(x)) = (x, u(x, y1(x))) = (x, c)
para todo x ∈ I, es decir,
U(x, y0(x)) = U(x, y1(x)),
pero como U es uno a uno en I × J se debe tener que y0(x) = y1(x) para todo x ∈ I. De esta forma
se prueba la unicidad de y0 y se termina la demostracion del teorema. Tomado de [1].
Corolario 4.2.3. Sean I un subconjunto abierto de R diferente de vacio, J un subconjuto abierto
conexo de R. Sea u : I × J → R una funcion con derivadas parciales continuas.
Si existen a ∈ I, b ∈ J y c ∈ R tales que u(a, b) = c y
supx∈I
ınfy∈J
u(x, y) < c < ınfx∈I
supy∈J
u(x, y). (4.6)
Si ademas ∂yu(x, y) 6= 0 para todo (x, y) ∈ I × J , entonces existe una unica funcion y0 : I → J con
derivadas parciales continuas tal que:
1. y0(a) = b.
2. u(x, y0(x)) = c para todo x ∈ I.
Observacion. La condicion de que el conjunto J sea conexo en el teorema anterior es necesaria, ya
que por ejemplo para la funcion u : (2, 4) × (−3,−1) ∪ (4, 5) con u(x, y) = x + y se tiene I = (2, 4),
J = (−3,−1) ∪ (4, 5) un conjunto no conexo de R y
supx∈I
ınfy∈J
u(x, y) = 1
CAPITULO 4. APLICACION 70
ınfx∈I
supy∈J
u(x, y) = 7.
Ası existen (3.5,−2) ∈ I×J tal que u(3.5,−2) = 1,5 y satisface 3,4, pero la funcion y0 no esta definida
ya que para 2.5 ∈ I se tiene y0(2,5) = −1 y −1 no pertenece a J .
Para finalizar, el teorema que viene a continuacion se puede considerar como el mas importante
de este trabajo, porque garantiza que si la solucion de una ecuacion diferencial exacta de la forma
g(x, y) + h(x, y)y′ = 0 cumple la conducion 3,4 entonces es estable segun Hyers − Ulam − Rassias.
Este teorema fue enunciado y demostrado por Soon − Mo Jung en su artıculo [1].
Teorema 4.2.4. Sean I un conjunto abierto de R, J un conjunto conexo de R, sean g, h funciones
continuas de I × J a R con h(x, y) 6= 0 para todo (x, y) ∈ I × J .
Sea la ecuacion diferencial exacta
g(x, y) + h(x, y)y′ = 0 (4.7)
y sea u : I × J → R una funcion tal que para todo (x, y) ∈ I × J
∂xu(x, y) = g(x, y); ∂yu(x, y) = h(x, y). (4.8)
Dadas las funciones ε : I → [0,∞) continuamente diferenciable e y : I → J que satisfacen
|g(x, y(x)) + h(x, y(x))y′(x)| ≤ ε(x) (4.9)
para todo x ∈ I, si ademas existe α ∈ I tal que
supx∈I
ınfy∈J
u(x, y) < u(α, y(α)) < ınfx∈I
supy∈J
u(x, y) (4.10)
entonces existe una unica funcion continuamente diferenciable y0 : I → J tal que
1. y0(α) = y(α),
2. u(x, y0(x)) = u(α, y(α)),
3. |u(x, y(x))− u(x, y0(x))| ≤∣∣∫ xα ε(t)dt
∣∣para todo x ∈ I.
CAPITULO 4. APLICACION 71
Demostracion. Por las hipotesis 4,8 y 4,9 para todo x1, x2 ∈ I se tienen las siguientes desigualdades∣∣∣∣∫ x2
x1
d
dtu(t, y(t))dt
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∫ x2
x1
{∂xu(t, y(t)) + ∂yu(t, y(t))y′(t)
}dt
∣∣∣∣≤
∣∣∣∣∫ x2
x1
|g(t, y(t)) + h(t, y(t))y′(t)|dt∣∣∣∣
≤∣∣∣∣∫ x2
x1
ε(t)dt
∣∣∣∣ ,por lo tanto
|u(x2, y(x2))− u(x1, y(x1))| ≤∣∣∣∣∫ x2
x1
ε(t)dt
∣∣∣∣ . (4.11)
Pero como ε(t) es continua en I, ε(t) es integrable en todo subintervalo compacto de I, entonces para
todo x ∈ I
|u(x, y(x))− u(α, y(α))| ≤∣∣∣∣∫ x
αε(t)dt
∣∣∣∣ . (4.12)
Por otro lado como u(x, y) tiene derivadas parciales continuas, ∂yu(x, y) = h(x, y) 6= 0 para todo
(x, y) ∈ I ×J y por 4,10 existe una funcion y0 : I → J tal que y0(α) = y(α) y u(x, y0(x)) = u(α, y(α))
segun el teorema 4,2,2, de esta forma se satisfacen las implicaciones 1 y 2.
Para finalizar por 4,12
|u(x, y(x))− u(α, y(α))| = |u(x, y(x))− u(x, y0(x))| ≤∣∣∣∣∫ x
αε(t)dt
∣∣∣∣y de esta forma se termina la demostracion. Ver en [1]
De este teorema se puede deducir que para determinar si una ecuacion diferencial exacta es estable se
debe llevar el siguiente proceso:
1. Determinar si la ecuacion diferencial es exacta.
2. Suponer que existe las funciones ε e y que satisfacen 4,9.
3. Hallar la solucion de la ecuacion diferencial, en forma explıcita u(x, y) = c.
4. Encontrar α que cumpla 4,10.
5. Aplicar el teorema 4,2,4.
Los ejemplos a continuacion ilustran este proceso.
CAPITULO 4. APLICACION 72
Ejemplo 4.2.5. Dada la ecuacion diferencial
(y + 4) + xy′ = 0 (4.13)
Siguiendo los pasos mencionados, primero se determina si la ecuacion diferencial es exacta.
Para ello sean M(x, y) = y + 4 y N(x, y) = x, asi
∂yM(x, y) = 1 = ∂xN(x, y),
luego por teorema 4,1,1 se concluye que la ecuacion 4,13 es exacta.
Ahora sea ε : (0,∞)→ (0,∞) una funcion continua, y supongase que existe una funcion continuamente
diferenciable y : (0,∞)→ R tal que
|y(x) + 4 + xy′(x)| ≤ ε(x)
para todo x > 0.
Por otro lado la solucion de la ecuacion 4,13 es u(x, y) = xy + 4x, por lo tanto
supx∈(0,∞)
ınfy∈R
u(x, y) = −∞; ınfx∈(0,∞)
supy∈R
u(x, y) =∞
y existe α > 0 tal que u(α, y(α)) satisface 4,4, por lo tanto se puede hacer uso del teorema 4,2,4 y se
concluye que para todo α > 0 existe una unia funcion yα : (0,∞)→ R continuamente diferenciable tal
que
yα(α) = y(α)
u(x, yα(x)) = xyα(x) + 4x = u(α, y(α)) = αy(α) + 4α
y
|u(x, y(x))− u(x, yα(x))| = |xy(x) + 4x− xyα(x)− 4x|
= |xy(x)− xyα(x)|
= |x||y(x)− yα(x)|
≤∣∣∣∣∫ x
αε(t)dt
∣∣∣∣ |Por lo tanto
|y(x)− yα(x)| ≤ 1
|x|
∣∣∣∣∫ x
αε(t)dt
∣∣∣∣para todo x > 0.
En particular para α > 0 y ε(t) = ε se tiene que para todo ε > 0 y x > 0
|y(x)− yα(x)| =∣∣∣∣y(x)− αy(α) + 4α
x+ 4
∣∣∣∣ ≤ ε ∣∣∣1− α
x
∣∣∣ .
Capıtulo 5
Conclusiones
I Al terminar este trabajo se puede concluir que el teorema de la funcion implıcita indıca las con-
diciones necesarias bajo las cuales una funcion escrita de forma explıcita se puede expresar de
forma implıcita, esto es, expresar unas variables en funcion de otras. Es importante aclarar que
lo anterior pasa en determinado conjunto, que no siempre es el mismo en el que estan definidas
las variables.
Pero en el capıtulo 4 se muestra una generalizacion del teorema de la funcion implıcita cuando
n = k = 1, que se puede aplicar en una ecuacion f(x, y) = 0 que satisface las condiciones necesa-
rias del teorema 4,2,2. Esta generalizacion muestra que las variables que se pueden expresar en
funcion de otras no estan restringidas a un conjuto si no que son todas en las que esta definida la
funcion. Su importancia se basa en que es la herramienta principal para la deduccion de cuando
una ecuacion diferencial exacta es estable o no.
I La teorıa de la estabilidad es de gran importancia en muchas ramas de las matematicas, ya que
cuando en determinado sistema es muy difıcil casi imposible determinar su comportamiento, si
el sistema es estable a partir de los sistemas que resultan de hacer una pequena variacion se
puede llegar a las conclusiones que se desean obtener. Esta teorıa tiene muchas aplicaciones en
la solucion de ecuaciones diferenciales, ya que muchas situaciones de la vida cotidiana se pueden
describir por medio de una ecuacion diferencial y no siempre es facil realizar el analisis deseado.
La ecuacion funcional de Cauchy es un ejemplo muy importante en la comprension del concepto
de estabilidad.
73
CAPITULO 5. CONCLUSIONES 74
I Para determinar si una ecuacion diferencial exacta de la forma g(x, y) + h(x, y)y′ = 0 es estable,
primero se debe encontrar una aproximacion de dicha ecuacion que se pueda expresar de forma
explıcita y que ademas exista un punto α que satisfaga 4,4, para depues por el teorema de la
funcion implıta (global) garantizar que la ecuacion diferencial es estable segun Hyers − Ulam
− Rassias. De la desigualdad 4,4 se puede decir que es la que garantiza la estabilidad de la
ecuacion.
Bibliografıa
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