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UNA. DEMOSTRA.CION DEL TEOREMA.FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA

por

JasE MANUEL BAYOD

El Teorema Fundamental del Algebra, o Teorema de D'Alemberf...suele probarse en los cursos de variable compleja y en algunos cursos de­topología. La demostración que exponemos a continuación tiene el in­terés de estar apoyada en el Teorema de la Función Inversa para fun­ciones diferenciables sobre e (un poco más laborioso es detallarlo utili­zando en Teorema de la Función Inversa para funciones diferenciablessobre na) y sobre argumentos elementales de topología conjuntista.

Hay, desde luego, otras pruebas tan elementales o más que la que­aquí se presenta, pero en ésta se utiliza esencialmente el carácter de apli­cación abierta que se sigue del Teorema de la Función Inversa y consti­tuye una interesante ilustración de la potencia de este teorema del Aná­lisis. Por otra parte, el poder mostrar consecuencias que se salen de laexposición lógica de una teoría (al igual que se hace con la presentación,totalmente clásica, de los extremos relativos dentro del cálculo diferen­cial de una o varias variables) tiene su importancia pedagógica induda­ble y aumenta el interés de la teoría en sí.

La línea argumental consiste en probar que si I es una función poli­nómica sobre e, 1II : e -+ Ro+ (conjunto de los números reales no nega­tivos) es abierta y, además, tiende a + ro siguiendo la base de filtro delos complementarios de los compactos (es decir, vale + ro en el punto delinfinito); entonces, III alcanza su ínfimo y es igual a cero.

Utilizaremos la notación exponencial para los conceptos topológico&y para el complementario: si A es un subconjunto de un espacio topoló­gico, Af es su frontera, Ai su interior, Ad su derivado y Ac su comple­mentario.

En un espacio normado E (todos los espacios normados se suponensobre R) indicaremos con [a, b] = {ta + (1 - t) bl O <, t < 1} el segmentocerrado de extremos a, b,

LEMA 1.

Sea X un espacio topol6gico TI Y A una parte de X. Si A es conexo ycon más de un punto, A CAd.

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Demostración.

Si x es un punto aislado de A, {e} es abierto en A. Como además {e}es cerrado en A, por ser éste subespacio de un T 1> A no es conexo.

LEMA 2.

Sea E un espacio normado de dimensión mayor que uno y A una partede E. Si A es cerrado y sin puntos aislados (A = A«), Al tampoco tienepuntos aislados (Af e Afd).

Demostración.

Tomemos un x E Af Y un E > 0, y veamos que en Af n B(x, E) hay'algún punto distinto de x. Es claro que existen a E A n B(x, E) - {e},lb E Ac n B(x, E). Y obsérvese que los puntos a, b pueden elegirse de ma­nera que x q; [a, b]: si x E[a, b], {x - a, x - b} es ligado, luego por lahipótesis sobre la dimensión existe h E E linealmente independiente deellos y de norma menor que E; sea c = x + h. Entonces, si c E A, se sus­tituye a por e, y si c E ss, se sustituye b por c.

Por consiguiente, el segmento [a, b] está contenido en B(x, E), esconexo y corta a A y a Ac, luego corta a Af:

(/J =f. Af n [a, b] e Af n B(x, E) - {x}

LEMA 3.

Sea E un espacio normado de dimensión finita, X, e E un conjuntocerrado cuyos puntos son todos aislados (Xod = (/J), F un espacio normadode dimensión mayor que uno, f : E - X¿ ->- F una aplicación continua,abierta y prolongable por continuidad a T: E ->- F. Entonces T es tambiénabierta.

Demostración.

Basta con probar que si X o E x o, T transforma un entorno abiertosuyo, U, en un entorno de f(xo).

Tómese una bola cerrada K = B[xo, E] contenida en U y que no con-tenga a ningún otro punto de X o• Entonces, f(K) es compacto y conexo;y con más de un punto, ya que su interior no es vacío, pues para cada.{C E Ki - {xo}, K - {xo} es entorno de z, luego ¡(x) E/(K)i.

Por el Lema 1, j(K) carece de puntos aislados, y si 7f.xo) E /(K)f (en(laso contrario, se termina la demostración), por el Lema 2 hay una su-cesión (Yn)nEN en 1[K) - {1(x o)} que tiende a 1(xo). Sea para cada n natu­ral, xn E K tal que 1(xn) = Yn. Entonces xn E Kf, ya que si xn E Ki, como.{Cn =f. X O, 1(K) es entorno de 1(xn), contra la elección de los Un.

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y como Kf es compacto, alguna subsucesíón de (Xn)neN converge enKf : xn¡ -+ X e Kf, luego f(x) = f(Xo), con x ~ x o, y U - {xo} entorno de x,

luego f(U) es e?torno de f(x) = J(xo).

Proposición 1.

Si f : e -+ e es una función polinómica de grado mayor o igual queuno, es una aplicación abierta.

Demostración.

Para cada z e e, f'(z) es otra aplicación polinómica no nula y, portanto, se anula a lo más en un conjunto finito de puntos, que llamare­mos X o• '

Aplicando entonces a g : X,« -+ e (restricción de f) el Teorema de laFunción Inversa, se sigue que g es abierta, y por el Lema 3, que f esabierta, c. q. d.

Obsérvese que la demostración de la Proposición 1 se extiende atodas las funciones analíticas.

LEMA 4.

Si X es un espacio de Hausdotf] localmente compacto y f : X -+ R escontinua y vale + OC! en el punto del infinito, f alcanza su ínfimo.

Demostración.

Tomando un X o e X cualquiera, y un compacto K tal que f(x) > f(xo)para todo x e Ke,

inf f(x)x eX

que se alcanza para un punto de K.

inf f(x)x e K

Proposición 2.

Si f : e ....... e es una aplicación polinómica de grado mayor o igual queuno, 111 alcanza su íntimo.

Demostración.

Basta observar que Ifl cumple la condición del Lema 4.

LEMA 5.

Si E es un espacio normado, X un espacio topológico y f : X -+ E esuna aplicación abierta, la composición de f con la norma de E, Ilfll : X -+

-+ R o+, no alcanza su ínfimo a menos que éste sea cero.

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Demostración.

Obsérvese, en primer lugar, que la aplicación norma es abierta, yaque la imagen de la bola abierta B(a, r) es (11aII - r, !lall + r) n Ro+.

. Entonces, Ilfll(X) es abierto en R o+, Y si su ínfimo es distinto de cerono lo alcanza, ya que entonces IIfll(X) es abierto en R.

TEOREMA DE D'ALEMBERT.

Todo polinomio con coeficientes complejos y de grado mayor o igualque uno, tiene alguna raíz en C.

Demostración.

Es consecuencia de las Proposiciones 1 y '2 del Lema 5.

Dpto. Teoria de Funciones,Facultad de Ciencias.

Santander.