Una Invitación a La Matematoca de La Musica II

7/24/2019 Una Invitacin a La Matematoca de La Musica II

1/11

Una invitacin a la teora matemtica de la msica.II. Armona y contrapunto

Octavio A. Agustn y Emilio Lluis Puebla

En el primer libro de su tratado De Musica, San Agustn deHipona dice que la msica es laciencia de la buena modulacin.Y no cabe duda que esto efundamental para la teora de la modulacin tonal, un aspecto de la armona occidental,donde se pasa de una tonalidad de origen s a una tonalidad destino t en un buenmodo.

Por supuesto, la sencilla definicin de modulacincomo un agradable trnsito de unatonalidad a otra no es muy precisa y ejemplifica el problema del encapsulamiento. Paraempezar: qu es una tonalidad? Decir que es unsistema musical en el que hay relacionesjerrquicas entre los tonos respecto de un centro tonal o tnicano parece un serio intento

por aumentar la precisin del concepto.

Si partimos del hecho de que la materia de la msica son los tonos (en particular los de laafinacin equitemperada de doce tonos), que una escala es una eleccin peridica (es decir,que se repite octava tras octava) de estos tonos, y que los acordes son conjuntos de tonos,entonces una tonalidad es un conjunto de acordes elegidos apropiadamente entre los tonosde una escala. A los acordes de una tonalidad tambin se le llaman grados,y generalmentese les numera de acuerdo con su posicin en la escala de un tono particular que le pertenece

Algunos ejemplos pueden ilustrar esto. Cabe recordar que en la notacin empleada: c

=

do,d=re, e=mi, f=fa, g=sol, a=la y b=si; cuando se acompaan del signo # significa que e

sostenido (c#

=

do sostenido).

Ejemplo 1. El conjunto c = {c, d, e, f, g, a, b} repetido en todas las octavas es la llamada escalde c mayor (y se puede escuchar tocando sucesivamente todas las teclas blancas del piano).La tonalidad de c mayor est integrada por los acordes: ic= {c, e, g}, iic= {d, f, a}, iiic= {e, g,b}, ivc= {f, a, c}, vc= {g, b, d}, vic= {a, c, e}, viic= {b, d, f}.

Otro ejemplo sera el conjunto d = {d, e, f#, g, a, b, c#} repetido en las octavas, que es laescala de d mayor. La tonalidad de d mayor est integrada por los acordes: id= {d, f#, a}, iid{e, g, b}, iiid= {f#, c#, a}, ivd= {g, b, d}, vd= {a, c#, e}, vid= {b, d, f#}, viid= {c#, e, g}.

Segn Arnold Schnberg, para iniciar una modulacin se utilizan primero algunos acordesque pertenezcan tanto a la tonalidad de salida como a otras (y por eso se denominanneutros).Un ejemplo de acorde neutro sera el quinto grado de la tonalidad de c mayor, ques vc= {g, b, d}, que coincide con el cuarto grado de la tonalidad de d mayor ivd= {g, b, d}. Acontinuacin, en una etapa de transicin, se usan acordes que funcionan como pivotes,anticipando la tonalidad de llegada. Por ltimo, se despliega una cadenciapara afirmar latonalidad de llegada: es decir, se presenta una sucesin de acordes que pertenezcanexclusivamente a la tonalidad de llegada. Para formalizar matemticamente todo lo anterior


2/11

primero hemos de identificar los tonos con el anillo Z12, que modela la llamada aritmticadreloj(figura 1). Esto es porque en la msica se suman y multiplican tonos como se suman omultiplican las horas para transponer escalas o invertir acordes. De este modo, tendramosque c = 0 (o las 12 en punto), c# = 1, d = 2, d# = 3, e = 4, f = 5, f# = 6, g = 7, g# = 8, a= 9, a# 10, b = 11.

Figura 1.Los doce tonos de laafinacin equitemperada, sin tomaren cuenta las octavas. En gris, lostonos de la escala de c mayor.

Figura 2.La banda armnica.

Ejemplo 2. El acorde que es el primer grado de la tonalidad de c mayor en: ic= {c, e, g} y ennmeros corresponde a ic= {0, 4, 7}. Si transponemos en 2 a este acorde, tenemos: ic+ 2 ={0+2, 4+2, 7+2} = {2,6,9} = {d, f#, a} = id, que es el primer grado de la tonalidad de d mayorPara invertir id, lo multiplicamos por 1 y as 1id= {12, 16, 19} = {10, 6 ,3} = {d#, f#,a#}. El lector puede comprobar fcilmente que si transponemos en 2 a toda la escala de cmayor obtenemos la escala de d mayor, esto es, c + 2 = d.

Ahora nos restringiremos a las escalasmayores,que son c y todas sus transposiciones.Dada una escala mayor x, definimos una tonalidad x(3)x, iix, ,viix(que son transposiciones dlos grados que ya mencionamos en un ejemplo anterior) que recubre toda la escala x, de laque se toman sus tonos. As obtenemos las doce tonalidades mayores c(3), c#(3), e(3), ,b(3). Elconjunto de estas tonalidades lo denotaremos como Dia(3); tambin se les llamainterpretacionestridicas de las escalas diatnicas.como el conjunto de grados i

Si a los acordes de x(3)

los representamos como puntos en el espacio tridimensional yconectamos con una lnea dos acordes que comparten al menos un tono, luego rellenamos lotringulos que se obtienen si los tres acordes en sus vrtices comparten al menos un tono,resultauna superficie triangulada que es una banda de Mbius (figura 2). El orden cclico delos acordes que surge de recorrer su borde es el llamado crculode quintas(sin tomar encuenta sostenidos o bemoles). Es interesante notar que Schnberg tambin descubri estaconstruccin y la denomin Harmonisches Band, o bandaarmnica.


3/11

Otro aspecto interesante de la banda armnica es que representa objetos musicales (acordes

o grados de una tonalidad) y sus relaciones (cmo comparten tonos). Tales relaciones sonoperaciones lgicas, pues finalmente son intersecciones de conjuntos (que a fin de cuentasestn definidas por predicados lgicos). Esto significa que la banda armnica es unarepresentacin geomtrica de un hecho lgico, idea que se extiende a toda la msica pormedio de la teora de topos (que, repetimos, es una amalgama de la lgica y la geometra).

Podemos enseguida definir rigurosamente qu es una cadencia: es un conjunto mnimo degrados de una tonalidad x(3)tales que las triadas que lo conforman no pertenezcan a otratonalidad. A continuacin listamos todas las cadencias posibles: k1= {iix,vx}, k2= {iix,iiix}, k3={iiix, ivx}, k4= {ivx, vx}, k5= {viix}.

Llama la atencin la cadencia k4, pues est conformada por los grados que tradicionalmentese denominan subdominantey dominante,respectivamente. Son un mecanismo clsicopara afirmar la tonalidad en la msica occidental, omnipresente en la msica popular actual

Disponemos ya de los ingredientes para describir el modelo de modulacin propuesto porMazzola. Parte de la modulacin debe ser una funcin m (o llamada tambin simetra)quetransforme la tonalidad de partida s(3)en la tonalidad de llegada t(3), y que llamaremosmodulador.Pedimos que sea de la forma m(x) = ax + b, donde a = 1, 5, 7, 11 sonprecisamente los elementos de Z12que tienen inversos multiplicativos, y que adems mande ala escala s de la tonalidad s(3)en la escala t de t(3). Se puede ver que hay exactamente dosfunciones de este tipo. Puede ser que o bien t(3)= s(3)+ t para algn t; o que t(3)= ass(3)+ t para

algn t, donde as es la nica inversin que deja la escala s invariante. Se puede comprobarque solamente hay diez funciones que transforman a s(3)en t(3)como se ha descrito.

Ejemplo 3. Ya vimos que c + 2 = d, y evidentemente c(3)+ 2 = d(3). Si s es la escala de c mayorc, entonces ac(x) = 4 x. En efecto, {0, 2, 4, 5, 7, 9, 11} + 4 = {0 + 4, 2 + 4, 4 + 4, 5 + 4,7 + 4, 9 + 4, 11 + 4} = {4, 2, 0, 11, 9, 7, 5}.

El modulador nos dice cmo ir de una tonalidad a otra, pero falta decir cmo debecomportarse respecto de las cadencias de las tonalidades. Es decir, debemos establecer culegrados sern los pivotes. Para tal fin, se introduce el concepto de cuantode modulacinrespecto de la cadencia k y el modulador m, que es un conjunto de tonos m con las siguiente

propiedades: a) el modulador debe ser una simetra de m, es decir, m(m) = m; b) los tonos dlos grados de la cadencia k de T(3)deben estar contenidos en m; c) el conjunto de los tonosque pertenecen tanto a m como a t debe ser rgido, es decir, no tiene simetras distintas a laidentidad; d) el conjunto m es el que tiene la menor cantidad de elementos, de modo que secumplan las dos primeras condiciones.

Ejemplo 4. Supongamos que tenemos el modulador m(x) = 11x + 6 que lleva a la tonalidad dc en la tonalidad de d y la cadencia clsica k={iv, v}. Entonces el cuanto de modulacin


4/11

respecto de (m,k) es m = {1, 2, 4, 5, 7, 9, 11}. Efectivamente, m({1, 2, 4, 5, 7, 9, 11}) = 11{1, 2,4, 5, 7, 9, 11} + 6 = {5, 4, 2, 1, 11, 9, 7}. Los tonos que pertenecen tanto a m como a d son {1, 24, 7, 9, 11}, y si se opera con todas las simetras de la forma f(x) = ax + b con a = 1, 5, 7 11 se vque solamente f(x) = x la deja invariante. Tambin es un clculo (largo y tedioso, perosencillo) ver que no hay otro conjunto ms pequeo que satisfaga esto.

De lo anterior se desprende el siguiente teorema: para dos tonalidades diferentes, s(3)y t(3),existe un cuanto de modulacin m respecto de (m,k). Adems, tiene las siguientespropiedades: a) el conjunto m es una unin de los grados de s(3)y t(3); stos definen a lainterpretacin tridica m(3)de m; b) los grados comunes de t(3)y m(3)se denominan gradospivotes de la modulacin(k,m); c) el modulador m est determinado de forma nica por losgrados de la modulacin.

Ejemplo 5. La interpretacin tridica del m del ejemplo anterior es viid= {1, 4, 7}, iic= {2, 5,9}, iiic= iid= {4, 7, 11}, vc= ivd= {7, 11, 2}, vd= {9, 1, 4} y viic= {11, 2, 5}, pues son los gradosde c(3)y d(3)cuyos tonos estn contenidos en m. Los grados comunes entre d(3)y m(3)son iid, iv

vd

y viid

, por lo que stos son los grados pivotes en la modulacin de c(3)

a d(3)

.

Los pivotes predichos por este modelo coinciden con los propuestos por Schnberg en sutratado Harmonielehre. Pero lo importante del enfoque matemtico no es su concordanciacon las ideas de Schnberg o las de cualquier otro terico de la msica, pues en ese casoresultara superfluo. Lo fundamental es que descansa en pocos principios bien definidos yque se puede extender a otros mbitos de manera natural: funciona para las escalasarmnicas menores, las escalas de tonos enteros o en todo lo anterior pero en afinacionesjustas, pitagricas o microtonales. Inclusive pueden reemplazarse los tonos por los golpes demetrnomo en un comps de doce octavos (por tomar un metro particular) para efectuarmodulaciones rtmicas! Un ejemplo de ellas puede escucharse en la obra Synthesis deGuerino Mazzola.

Contrapunto

El contrapunto, parafraseando a K. Jeppesen, es el arte de preservar, de manera balanceadaarmnica, la independencia de las voces en una composicin polifnica. Por ello, si en laarmona los protagonistas son los acordes y las modulaciones, en el contrapunto son losintervalos y las consonancias, que son finalmente las relaciones que existen entre las voces duna composicin polifnica.

Ahora bien, un intervaloes la distancia que existe entre un tono y otro. En ese sentido, haysolamente doce distancias posibles (sin tomar en cuenta octavas) y por eso tambin podemo

modelarlas con Z12. Tambin tienen nombres musicales tradicionales (cuadro 1). En elcontrapunto clsico descrito por Johann Fux en su obra clsica Gradus ad Parnassum, lasconsonancias son el unsono (que engloba a las octavas), la quinta justa y las terceras y sexta(tanto menores como mayores). El resto son disonancias. Si se codifican como los elementosde Z12vemos que las consonancias son k = {0, 3, 4, 7, 8, 9} y las disonancias son d = {1, 2, 5, 10, 11}, cada conjunto con seis intervalos.


5/11

Intervalo Nombre Intervalo Nombre

0 unsono u octava 6 tritono

1 segunda menor 7 quinta perfecta

2

segunda mayor

8

sexta menor

3 tercera menor 9 sptima menor

4

tercera mayor

10

sptima menor

5 cuarta perfecta 11 sptima mayor

Cuadro 1.Nombres de los intervalos.

Una observacin fundamental de Mazzola es que la transformacin p(x) = 5x + 2 transformaconsonancias en disonancias y recprocamente: p(k) = d, p(d) = k. Adems, es la nicasimetra con esta propiedad (y por eso es denominada polaridad).Con esto se pone demanifiesto que las simetras deben incluir ahora multiplicacin por quintas y cuartas, ademde la inversin que se emplea en la armona. Sin embargo, estas operaciones no se puedenvisualizar tan fcilmente en la aritmtica del reloj. Pero cambiando un poco la perspectiva(como aconseja la filosofa de Yoneda), hay una manera de resolver esto usando el llamadotorode terceras(figura 3), que resulta de ver cada intervalo como una suma de tercerasmenores (nmero 3 en el cuadro 1) y mayores (4). Con este objeto geomtrico se puede verque: a) la inversin (11) corresponde a rotar 180 grados respecto del eje que atraviesa el toro

b) la multiplicacin por cuartas (5) es la reflexin respecto de un plano horizontal que corta la mitad al toro, y la multiplicacin por quintas (7) la reflexin respecto de un plano verticalque pasa por la tercera menor; c) transponer en una tercera menor equivale a rotar 90 gradoy transponer una tercera mayor en un giro de 120 grados.


6/11

Figura 3.Simetras del toro de terceras.

El contrapunto de la primera especie es la composicin polifnica ms simple, dondesolamente hay dos voces que emiten notas de idntica duracin y son tales que los intervalosentre ellas siempre son consonancias (figura 4). Al componer contrapunto de la primeraespecie, generalmente una de las voces est dada de antemano y se le llama cantus firmus,mientras que la otra se construye de acuerdo con ciertas reglas y se denomina discanto.Adems, es deseable que el discanto permanezca siempre por debajo, o bien siempre porarriba del cantus firmus. Cuando no sucede as, se dice que las voces se cruzan, por lo que se

evita en la medida de lo posible. Por ello, en lo sucesivo supondremos que siempre el cantusfirmus est por debajo del discanto y que entonces todos los intervalos entre ambas voces soascendentes.

Figura 4.Ejemplo de contrapunto de la primera especie. El cantusfirmus est en la voz inferior.


7/11

Para modelar el contrapunto de la primera especie y formalizar matemticamente las reglaspara componerlo se requiere solamente una voz (el cantus firmus) y asociarle intervalos, puede esta manera queda determinada unvocamente el discanto. Esto se logra utilizando elanillo de los nmerosdualessobre Z12, que es el anillo cociente Z12[e] = Z12[x]/(x2) = {a + eb

a, b pertenecen a Z12

}. Cada nmero dual a + eb representa un intervalo de contrapunto,donde a es el tono del cantus firmus y b el intervalo entre el cantus firmus y el discanto. Por tanto, el tono del discanto es a + b.

Vale recalcar que los intervalos que se emplean en el contrapunto de la primera especie son:k[e] = {a + ec, a pertenece a Z12y c es una consonancia}. El resto de los intervalos decontrapunto son los intervalos disonantes d[e] = {a + ec, a pertenece a Z12y c es unadisonancia}.

Es posible multiplicar intervalos de contrapunto de la siguiente manera: (a + xb)(c + xd) =(ac + x)(ad + bc). Tambin pueden sumarse: (a + xb) + (c + xd) = (a+c) + e(b + d).

Tales operaciones algebraicas no son vanos caprichos matemticos, pues son musicalmentesignificativas: representan algunas de las transformaciones comunes en el contrapunto doblpermiten reinterpretar los intervalos cuando se cruzan las voces y son un elemento crucialpara obtener el modelo matemtico del contrapunto clsico de la primera especie. Paraentender el por qu de esto ltimo, empezaremos por notar que la multiplicacin deintervalos de contrapunto permite definir simetras de los intervalos de contrapunto,anlogas a las de los intervalos sencillos. En este caso, una simetra es de la formasiguiente:f(a + eb) = (u + ey)(a + eb) + (s + et), donde u = 1, 5, 7, 11.

As como existe una transformacin p(x) = 5x + 2 que intercambia los intervalos consonantepor disonantes, para cada cantus firmus a existe una transformacin pa(c + ed) = 5(c + ed) +8a + e2 que intercambia los intervalos de contrapunto consonantes por disonantes, es decir,pa(k[e]) = d[e]. Adicionalmente, deja invariantes los intervalos con cantus firmus a (esto es,pa(a + eb) = a + eb).La llamaremos una polaridadrelativa(respecto de a). Por ejemplo, elintervalo de una quinta justa sobre d es 2+e7, y p2lo manda a p2(2 + e7) = 5(2 + e7) + 82 + e= (10 + e11) + 4 + e2 = 10+4 + e(11 + 2) = 2 + e1, que es una segunda menor sobre d y es,desde luego, una disonancia.

Una simetra de intervalos de contrapunto f permite deformarlas consonancias k[e] (figur5), de modo que los elementos de f(k[e]) son consonanciasdeformadas;algunas siguensiendo consonancias, pero otras no. Supongamos ahora que elegimos algn intervaloconsonante a + eb que no es una disonancia deformada por f, es decir, a + eb no pertenece a

f(k[e]). Entonces todos los restantes elementos que pertenecen a f(k[e]) y a k[e] sonconsonancias que suavizanla disonancia deformada a + eb. Esto permite introducir unatensin horizontal en el contrapunto, a pesar de que en el contrapunto de la primera especiedebemos restringirnos a utilizar consonancias. Efectivamente: a un intervalo de contrapuntoque es una consonancia podemos verlo como disonancia deformada, y entoncescontraponerle un sucesorque sea al mismo tiempo un intervalo de contrapunto consonanty una consonancia deformada.


8/11

Figura 5.Efecto de las simetras de intervalos decontrapunto.

Naturalmente, nos gustara que para un intervalo de contrapunto a + eb la simetra f sea talque dispongamos de la mayor cantidad posible de elecciones para el intervalo de contrapuntsucesor. Tambin es deseable que la polaridad relativa respecto de a intercambie a f(k[e]) yf(d[e]), es decir, que el mismo modo de intercambiar consonancias por disonanciasintercambie consonancias y disonancias deformadas.

Entonces, dado el intervalo de contrapunto a + eb, diremos que f es una simetradecontrapuntopara dicho intervalo si se satisface lo siguiente: a) el intervalo a + eb no es unaconsonancia deformada por f, es decir, a + eb no est en f(k[e]); b) la polaridad relativa pa(x)intercambia consonancias deformadas por disonancias deformadas, esto es, pa(f(k[e])) =f(d[e]); c) el conjunto de consonancias que tambin son consonancias deformadas por f es elms grande posible, tal que f tiene las dos propiedades anteriores.

Dada una simetra de contrapunto f para un intervalo de contrapunto a + eb, todos loselementos que son tanto consonancias como consonancias deformadas por f son sucesoresadmisiblesde a + eb. Tenemos entonces como resultado un teorema de contrapunto:cualquier intervalo de contrapunto consonante a + eb tiene al menos 36 sucesoresadmisibles. En particular, cada intervalo de contrapunto tiene una simetra de contrapunto.Adems, si se elige de antemano el cantus firmus del intervalo sucesor, siempre existe almenos un sucesor admisible para dicho cantus firmus.

Ejemplo 6. Consideremos el intervalo de contrapunto 0 + e7 (la quinta perfecta sobre c) y lasimetra g(a + eb) = 7(a + eb). sta es una simetra de contrapunto para el intervalo, puesg(k[e]) = Z12+ e{0, 1, 3, 4, 8, 9}, as que 0 + e7 no es una consonancia deformada.

Es fcil verificar que ste satisface el resto de las propiedades, y que el nmero de sucesoresadmisibles es de 60, lo cual significa que todos los intervalos consonantes pueden suceder a


9/11

una quinta perfecta, salvo la quinta justa. sta es una regla que tambin da Fux en su tratadla gran diferencia es que aqu es una consecuencia del modelo, y no un prerrequisito.

El teorema de contrapunto nos dice que para cualquier cantus firmus podemos componer undiscanto exclusivamente con consonancias que son sucesores admisibles. Tambin es

interesante que, si restringimos a los tonos del cantus firmus y el discanto para quepermanezcan en cierta escala, la escala que nos da la mayor libertad de elecciones para lossucesores es la escala mayor; solamente en dos casos el sucesor admisible es nico. Locontrario pasa con la escala meldica menor: en 16 casos el sucesor es nico. stas sonconsecuencias que podran deducirse de las reglas del contrapunto clsico, pero vale enfatizaque fueron deducidas de unos cuantos principios bien definidos.

En un anlisis detallado realizado por Muzzulini y Mazzola, descubrieron que las reglas deFux restringidas a una octava (el que denominan estiloestricto restringido)arrojan un totde 54 progresiones de contrapunto inadmisibles. El modelo matemtico da 37 prohibicionesy coincide con los de Fux en 21 ocasiones. La probabilidad de que alguien, sin saber nada de

contrapunto, acierte a dar 21 prohibiciones de las 54 posibles en 37 intentos es menos de 2en cien millones!

Si bien este argumento favorece el modelo matemtico, lo importante otra vez no es atinarlelas ideas de Fux, Palestrina u otros tratadistas o practicantes del contrapunto. Lo importantees la simplicidad, la precisin y la capacidad del modelo para extenderse a otros mbitos. Poejemplo, en su tesis de maestra, Jens Hichert demostr que (adems de las consonancias ydisonancias del contrapunto clsico occidental) existen otras cinco formas de bipartir losintervalos en consonanciasy disonancias,de modo que el modelo funciona de maneraidntica. Una de esas biparticiones es: i = {2, 4, 5, 7, 9, 11}, j = {0, 1, 3, 6, 8, 10}, esto es, lallamada dicotomajonia.Obsrvese que los elementos de i son los intervalos de cualquierescala mayor tomados a partir de su primer tono.

Usando el modelo del contrapunto con la dicotoma jonia y si restringimos el cantus firmus yel discanto a permanecer en una escala, la escala que nos da la mayor libertad de eleccin desucesores admisibles es k*

=

{0, 3, 4, 7, 8, 9, 11}. Esta escala es casi el conjunto de lasconsonancias occidentales, y tambin es casi idntica a una escala bsica para las ragashindes: {0, 1, 3, 4, 7, 8, 9}. Resulta as que la msica occidental y la hind son antipodales,en el sentido de que intercambian los papeles de las consonancias y las escalas en suscomposiciones, y se pone de manifiesto que la seleccin histrica del material musical endistintas culturas tiende a optimizar algunos parmetros abstractos.

Para finalizar, cabe mencionar que este modelo de contrapunto se ha verificado parcialment

a nivel neurolgico. Los anlisis con electroencefalogramas profundos hechos por un equipoliderado por el epilepsilogo HeinzGregor Wieser y Guerino Mazzola han revelado que elcerebro responde fuertemente a la confrontacin de las consonancias y las disonancias queresultan de aplicarle la polaridad. Adems, han arrojado algo de luz sobre la interrelacin delas emociones y la msica: la conclusin es que la msica por s misma no produceemociones, sino que las recupera y las reactiva de entre aquellas presentes en la memoria.


10/11

Comentarios finales

Nuestro ejemplo final sobre la fructfera relacin entre la matemtica y la msica pertenece la teora enumerativa, que constituye un acercamiento cuantitativo a la clasificacin decomposiciones locales va acciones de grupos de permutaciones. El trabajo pionero en el re

es de Harald Fripertinger. Esta teora trata de contar las rbitas de acciones de grupos finitoen conjuntos finitos, los cuales representan objetos particulares especiales, es decir, acordesparticiones de conjuntos de clase de notas o de altura, motivos, sucesiones de 12 notas,etctera. Los grupos consisten en transformaciones musicales interesantes, tales como latransposicin y la inversin.

Un teorema de Fripertinger muestra, en particular, que el nmero de clases de los motivos d72 elementos es de: 2 230 741 522 540 743 033 415 296 821 609 381 912 = 2.231036lo cuaindica que no hay escasez de motivos para ser introducidos en la composicin musical. Vistode otra manera, a cada estrella de la Va Lctea podramos dedicarle una nica meloda dems de un millardo de millardos de motivos distintos de 72 tonos.

La msica pertenece a los humanos y no aparece ya como una revelacin de las divinidadesde cualquier ndole. Esta renovacin se debe tambin al inmenso arsenal de informacin ytecnologa comunicativa donde la informacin se convierte en algo muy accesible y lacarencia de precisin es de inmediato sealada. Esta situacin da lugar a una nueva yfundamental manera de entender el conocimiento humano.

El conocimiento est actualizndose y extendindose constantemente, y en l navegamos yexperimentamos con un espritu de espaciotiempo dinmico. Ahora tenemos nuevosparadigmas en musicologa. Recordemos el experimento de Galileo acerca de la velocidadinstantnea. Su aproximacin al problema de la cada libre de los cuerpos fue esencialmentela de la observacin y la medicin, y no la elaboracin de reflexiones abstractas yespeculativas. Su punto clave fue el de pasar del encapsulamiento especulativo de Oresme ylos cientficos medievales a la accesibilidad del hacercienciacon el mtodo operacional:pensar haciendo. Este episodio tiene un anlogo musicolgico: la velocidad en fsica contiempo musicalsolamente que 500 aos despus.

Esto coloca a la fsica y la musicologa en vas paralelas, donde hoy msicos activos ymatemticos, entre otros, estn al borde de lo explcito y dejan las especulaciones irrelevantdonde corresponde. Se est abandonando las ltimas retricas vacas. La evolucin galileanafue la respuesta a la supuesta profundidad del discurso retrico. Si consideramos losuniversos creados por el hombre, tales como la matemtica y la msica, podremos ver quetales universos internos no son menos complicados e incontrolables que la naturaleza

externa. Una pieza de naturaleza incontrolable, con su riqueza creativa, con la increblecomplejidad nacida de procesos combinatorios, estrategias de interpretacin, estratificacinsemitica, etctera, como lo es el Arte de la Fuga de J. S. Bach, no es fundamentalmentediferente de una estrella de neutrones en el espacio interestelar. Estamos viviendoactualmente un cambio tan radical en la musicologa como el que se experiment en la fsicahace 500 aos. Sin duda es un momento maravilloso!


11/11

REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS

Aceff F. y E. LluisPuebla. 2006. Matemticaen la Matemtica, Msica, Medicina yAeronutica,en Sociedad Matemtica Mexicana. Publicaciones Electrnicas, Serie

Divulgacin, vol. 1.

_____. 2007. Matemticaen la Matemtica II, Msica II, Naturaleza y Nuestro Cuerpo,eSociedad Matemtica Mexicana. Publicaciones Electrnicas, Serie Divulgacin, vol. 2.AgustnAquino, Octavio Alberto. 2009. El Teorema de Contrapunto. Tesis de maestra, unamMxico._____, J. du Plessis, E. LluisPuebla y M. Montiel. 2009. UnaIntroduccin a la Teora deGrupos con Aplicaciones en la Teora Matemtica de la Msica,en Sociedad MatemticaMexicana. Publicaciones Electrnicas, Serie Textos, vol. 10.Fux, J. J. 1725. Gradus ad Parnassum. Facsmil. Moments of Music and Music Literature,Broude Brothers, Nueva York. 1966.Hichert, J. 1993. Verallgemeinung des Kontrapunkttheorems fr die Hierarchie allerstarkenDichotomien in temperierter Stimmung. Tesis de maestra, TU Ilmenau.Jeppesen, K. 1992. Counterpoint: The Polyphonic Vocal Style of Sixteenth Century. Dover,Nueva York.LluisPuebla, E. 1990. lgebra homolgica, cohomologa de grupos y Kteora algebraicaclsica. Addison Wesley Iberoamericana, Mxico (2a ed.en Sociedad Matemtica MexicanaPublicaciones Electrnicas, Serie Textos, vol. 5).Mazzola, Guerino (contribuyentes: E. LluisPuebla et al.). 2002. The Topos of Music.BirkhuserVerlag, Basilea.Mazzola, Guerino. 2007. La vrit du beau dans la Musique. Delatourircam, Pars.Montiel Hernndez, M. 1999. El denotador: su estructura, construccin y papel en la teoramatemtica de la msica. Tesis de Maestra, unam, Mxico.Schnberg, A. 1974. Tratado de armona. Trad. Ramn Barce. Real Musical, Madrid.

____________________________________________________________

Octavio A. Agustn AquinoFacultad de Ciencias,Universidad Nacional Autnoma de Mxico.

Estudi la licenciatura en Matemticas Aplicadas en la Universidad Tecnolgica de la Mixteca (Huajuapan deLen, Oaxaca) y la Maestra en Ciencias Matemticas en la Universidad Nacional Autnoma de Mxico.

Actualmente es estudiante del Doctorado en Ciencias Matemticas en la UNAM.

Emilio Lluis PueblaFacultad de Ciencias,Universidad Nacional Autnoma de Mxico.

Realiz sus estudios profesionales y de Maestra en Matemtica en Mxico. En 1980 obtuvo su Doctorado enMatemtica en Canad. Es catedrtico de la Universidad Nacional Autnoma de Mxico desde hace ms detreinta aos. Ha sido profesor visitante en Canad.

Documents

Una Invitación a La Matematoca de La Musica II