Una nuova Una nuova dinamicadinamica

Emanuele Pugliese, Emanuele Pugliese, Lorenzo Santi Lorenzo Santi –– URDF URDF

UdineUdine

I parteI parte

VelocitVelocitàà ed energia cinetica di elettroni ed energia cinetica di elettroni relativistici (W. relativistici (W. BertozziBertozzi, 1964), 1964)

• Abbiamo visto che dall’ equazione equazione fondamentale della dinamica classicafondamentale della dinamica classicainserita nella definizione di lavorodefinizione di lavorosegue il teorema dell’energia cinetica

• Il lavoro compiuto da un generatore di Van de Graaf è di tipo elettrico → per un e- inizialmente a riposo accelerato da una d.d.p. ∆V ci aspettiamo che valga la relazione

2 21 2v v

2

ee V m V

m∆ = ⇒ = ∆

VelocitVelocitàà, energia cinetica di elettroni relativistici , energia cinetica di elettroni relativistici (W. (W. BertozziBertozzi, 1964), 1964)

La previsione classica La previsione classica èè un aumento indefinito un aumento indefinito della velocitdella velocitàà al crescere della al crescere della ∆∆VV mantenutamantenuta nelnelVan de Van de GraafGraaf secondosecondo unauna leggelegge didi potenzapotenza::

SperimentalmenteSperimentalmente sisi rilevarileva inveceinvece cheche, per , per quantoquantosisi aumentiaumenti la la ddpddp, la , la velocitvelocitàà non non raggiungeraggiunge ((nnéésuperasupera) ) maimai cc..

2v V∝ ∆

VelocitVelocitàà, energia cinetica di elettroni relativistici , energia cinetica di elettroni relativistici (W. (W. BertozziBertozzi, 1964), 1964)

Perciò non vale , che è conseguenza diretta della legge fondamentale della dinamica → l’intera dinamica newtoniana è invalidata.

2v V∝ ∆

Misura calorimetrica (W. Misura calorimetrica (W. BertozziBertozzi, 1964), 1964)

Con una termocoppia simisura la variazione di temperatura ∆T del bersaglio.Legge fondamentale della

calorimetria: ∆Eint = M c ∆T.Per il principio di conservazione

dell’energia il lavoro compiuto sull’elettrone deve valere

L = ∆Eint . Poiché il lavoro ha cambiato lo stato di moto degli elettroni assumiamo che

L = ∆K = ∆Eint : il teorema dell’energia cinetica vale anche alle alte velocità.

Poiché la meccanica newtoniana non è rispettata, sarà necessario cambiare l’espressione dell’energia cinetica.

P.R. einsteiniano P.R. einsteiniano � Le sondesonde spazialispaziali, quando la loro traiettoria è lontana da

masse rilevanti, possono essere considerati SI. La stessafisica valida nei laboratori terrestri* funziona anche su di esse. Questo può essere testimoniato da esperimenti eseguiti dagliastronauti.

� Anche sulla Luna l’acceleraz di gravità non dipende da m.� Stelle: per spiegarne l’evoluzione osservata si è costruito un

modello basato sulla fisica valida in un lab. terrestre. Questomodello funziona: è in accordo con le osservazioniastronomiche! Altre osservazioni ci hanno permesso ditrovare che le stelle si muovono a velocità ≥ 100 km/srispetto ai lab. sulla Terra. Questo non è scontato: nei SdRcomoventi a tali corpi valgono per ogni intervallo temporaleinfinitesimo dt le stesse leggi fisiche che valgono nel SdR del lab e delle sonde! Gli esperimenti condotti nelle stessecondizioni danno gli stessi risultati.

� Galassie: può essere fatta la stessa assunzione, che ècorroborata da risultati sperimentali (ad es. redshiftcosmologico di linee spettrali di elementi noti).

*Trascurando effetti non-inerziali, che possono a loro volta essere accuratamente spiegati da un osservatore inerziale esterno.

La velocitLa velocitàà limite limite devdev’’essere invarianteessere invarianteImmaginiamo di compiere, con lo stesso apparato, l’esperimento di

Bertozzi su un veicolo spaziale, in moto rispetto alla Terra con

velocità v, mantenendo l’asse dell’acceleratore orientato

positivamente nella direzione del moto. Acceleriamo un elettrone

fino alla velocità c – ε (con ε < v).

Con che velocità si muove l’elettrone rispetto alla Terra?

Se valesse la regola classica per la somma dovrebbe raggiungere

c – ε + v > c ,Superando la velocità limite. Qualcosa non va nelle hp formulate.

Non sembra infatti fisicamente e logicamente accettabile che usando

come propellente nell’esperimento di Bertozzi elevate d.d.p. in

grado di raggiungere altissime velocità non si riesca a portare un

elettrone alla velocità c … e utilizzando un propellente chimico per

produrre una piccola accelerazione del catodo emittente si riesca a

fargliela superare !!

La conclusione di Einstein: non esiste un sistema di riferimento

privilegiato rispetto al quale, e solo rispetto al quale, la luce si

propaga nel vuoto alla velocità c. Quale che sia lo stato di moto di un

osservatore rispetto a tale ipotetico riferimento inerziale privilegiato

egli ne riscontrerà lo stesso valore..

Non c’è un sistema di riferimento privilegiato, un sistema assoluto.

Tutti i sistemi di riferimento (inerziali) sono equivalenti. Il principio di

relatività valido in meccanica classica non lo era per

l’elettromagnetismo di fine Ottocento.

La teoria einsteiniana ne sanciva la validità anche per

l’elettromagnetismo, in breve per tutti i fenomeni. A questo si deve

il suo nome.

Invarianza di cInvarianza di c

DomandaDomanda• Quali sono i principali risultati

dell’esperimento di Bertozzi? Indicali.

1905, Einstein: la relativit1905, Einstein: la relativitàà ristrettaristrettaC’era qualcosa che non funzionava nella visione ottocentesca

riguardo alla propagazione della luce.

Al proposito, nella sua autobiografia scientifica, pubblicata nel 1984,

Einstein scrisse:

“A poco a poco incominciai a disperare della possibilità di scoprire le

vere leggi attraverso tentativi basati su fatti noti. Quanto più a lungo

e disperatamente provavo, tanto più mi convincevo che solo la

scoperta di un principio formale universale avrebbe potuto portarci

a risultati sicuri.

Dopo dieci anni di riflessione, un siffatto principio risultò da un

paradosso nel quale m’ero imbattuto all’età di 16 anni: se io potessi

seguire un raggio di luce a velocità c (la velocità della luce nel

vuoto), il raggio di luce mi apparirebbe come un campo

elettromagnetico oscillante nello spazio, in stato di quiete. Ma nulla

del genere sembra poter sussistere sulla base dell’esperienza o delle

equazioni […]” dell’elettromagnetismo.

1905, Einstein: la relativit1905, Einstein: la relativitààristrettaristretta

“E` chiaro che in questo paradosso è già contenuto il germe della

relatività particolare.”

Se viaggiassi alla stessa velocità di un’onda piana monocromatica

che si propaga nel vuoto vedrei un profilo sinusoidale statico.

La luce è però radiazione e.m. che necessariamente si propaga a c,

come richiesto dalla teoria e mostrato dalle onde elettromagnetiche

rivelate in laboratorio nel 1887 da Hertz.

PoichPoichéé ll’’ipotesi che esista un ipotesi che esista un SdRSdR in quiete con la luce porta a una in quiete con la luce porta a una

contraddizione con la teoria e lcontraddizione con la teoria e l’’esperimento, tale ipotesi esperimento, tale ipotesi devdev’’essere essere

irrealizzabileirrealizzabile: deve essere impossibile (per un qualsiasi corpo : deve essere impossibile (per un qualsiasi corpo

materiale) viaggiare alla velocitmateriale) viaggiare alla velocitàà della luce nel vuoto. della luce nel vuoto.

Questa velocità deve essere dunque una velocitvelocitàà limitelimite.

I due postulati I due postulati ««LL’’idea teorica [idea teorica [……] non nasce al di fuori ed indipendentemente ] non nasce al di fuori ed indipendentemente dalldall’’esperienza; nesperienza; néé può derivare dallpuò derivare dall’’esperienza per puro esperienza per puro procedimento logico. procedimento logico. ÈÈ il prodotto di un atto creativo. Una volta che il prodotto di un atto creativo. Una volta che ll’’idea teorica sia acquisita, idea teorica sia acquisita, èè bene seguirla finchbene seguirla finchéé non si dimostra non si dimostra insostenibileinsostenibile»» [Einstein, [Einstein, ScientificScientific American,American, 1950]1950]

��P.R. teoricoP.R. teorico: : tuttetutte le leggi fisiche hanno la le leggi fisiche hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento stessa forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali (SI).inerziali (SI).��P.R. sperimentaleP.R. sperimentale: esperimenti : esperimenti di qualsiasi di qualsiasi natura natura condotti nelle stesse condizioni in SI condotti nelle stesse condizioni in SI diversi danno gli stessi risultati.diversi danno gli stessi risultati.��Invarianza della velocitInvarianza della velocitàà della luce:della luce: cc non non dipende dal SI in cui dipende dal SI in cui èè misurata, nmisurata, néé dalla dalla direzione della propagazione della luce.direzione della propagazione della luce.

Se abbiamo in un laboratorio in moto rispetto a noi alla velocità v

qualcosa che viaggia nella stessa direzione e verso alla velocità u’

secondo la fisica di tutti i giorni (fis. classica) la sua velocità u rispetto

a noi sarà 'v uu +=Allora, se quel qualcosa viaggia alla velocità limite c, dovrebbe dovrebbe

avere velocitavere velocitàà uu=v+=v+cc>>cc rispetto a noi!rispetto a noi!

Bisogna cambiare la legge di composizione delle velocità.

Essa, nella cinematica classica, si deriva dalle leggi di trasformazione

delle coordinate:

txx v'+=

'tt =

Se vogliamo cambiare la legge di composizione delle

velocità in modo da garantire l’invarianza di c

dobbiamo quindi cambiare la forma delle

trasformazioni galileiane. Un esperimento mentale ci Un esperimento mentale ci

ddàà al proposito un risultato importante.al proposito un risultato importante.

Orologio a luce Orologio a luce ConsideriamoConsideriamo due due osservatoriosservatori in in differentidifferenti SI,SI, ilil primo (A) primo (A) susu un un trenotrenoin in corsacorsa con con velocitvelocitàà uniformeuniforme v v rispettorispetto allaalla stazionestazione, , ilil secondosecondo (B) (B) fermofermo sulsul marciapiedemarciapiede. A vedr. A vedràà sempre lsempre l’’orologio a luce fermo, B lo orologio a luce fermo, B lo vedrvedràà in moto uniforme con velocitin moto uniforme con velocitàà vv. Nel SI di B l. Nel SI di B l’’orologio a luce orologio a luce percorrerpercorreràà quindi una distanza orizzontale quindi una distanza orizzontale ∆∆x in un x in un intervallointervallo ∆∆t. t.

Si pone per convenzione che il tempo di percorrenza della luce in un percorso “one-way”valga la metà di quello (misurabile) di andata e ritorno.

Dilatazione delle durate

LL’’intervallo temporale fra due eventi che avvengono nella intervallo temporale fra due eventi che avvengono nella stessa posizione stessa posizione èè detto detto intervallo di tempo proprio intervallo di tempo proprio ∆τ∆τ.. Il SI in in cui tali eventi accadono nella stessa posizione cui tali eventi accadono nella stessa posizione èè detto detto riferimento proprio.riferimento proprio.

Calcoliamo quanto dura il percorso di andata e ritorno (valutatoCalcoliamo quanto dura il percorso di andata e ritorno (valutato da da B) B)

•• LL’’istante e la posizione (il tempo e lo spazio istante e la posizione (il tempo e lo spazio rispettivamente) in cui avvengono i fenomeni, rispettivamente) in cui avvengono i fenomeni, pur rimanendo distinti, sono uniti fra loro dalla pur rimanendo distinti, sono uniti fra loro dalla formulazione di Einstein: formulazione di Einstein: viene teorizzata viene teorizzata ll’’esistenza di uno esistenza di uno spaziotempospaziotempo. .

•• Dai calcoli svolti nellDai calcoli svolti nell’’esperimento dellesperimento dell’’orologio a orologio a luce risultaluce risulta

•• Se Se gligli intervalliintervalli temporalitemporali ((duratedurate) ) sonosono misuratimisuratidada diversidiversi SI SI essiessi varianovariano: : dannodanno risultatirisultati diversidiversi, , proprioproprio come come gligli intervalliintervalli spazialispaziali ((lunghezzelunghezze).).

•• Ma Ma qualunquequalunque siasia ilil SI SI consideratoconsiderato, , ilil tempo tempo proprioproprio, , differenzadifferenza deidei quadratiquadrati deidei due, ha due, ha sempresempre lo lo stessostesso valorevalore (II (II invarianteinvarianterelativisticorelativistico).).

•• Qual Qual èè il primo invaril primo invarianteiante relativisticorelativistico??

( ) ( ) ( )2 2 2' 'c c t xτ∆ = ∆ − ∆

Stimoli per la riflessione

sull’effetto di dilatazione dei tempi 1. Abbiamo dotato l’osservatore sul treno e quello

sulla banchina di due orologi identici.

– I battiti del cuore del secondo osservatore risultano realmente rallentati secondo il primo?

– Il secondo osservatore sente i propri battiti rallentati?

Spiega.

2. Abbiamo dotato un manovratore di ponti e un

passeggero su un treno di due orologi identici.

– L’intervallo di tempo fra l’apertura e la chiusura di

un ponte mobile è differente per il passeggero del

treno rispetto a chi lo manovra? Spiega.

Teorema energia Teorema energia cineticacinetica……• Riscrivo il teorema nella forma più generale seguente,

utilizzando la variazione di q.d.m. e la velocità (media e istantanea)

• La matematica suggerisce che occorre modificare l’espressione di p.

0

Passando ai differenziali

lim

m

m

t

p p xF L F x x p p u

t t tL p u K

xdp dK

t

u dp dK

∆ →

∆ ∆ ∆= ⇒ = ∆ = ∆ = ∆ = ∆∆ ∆ ∆

= ∆ = ∆

∆ = ∆

=

La conservazione della quantità di moto pin meccanica classica è fondamentale: possiamo fare l’ipotesi che abbia un corrispettivo anche in ambito relativistico.

Di conseguenza la quantità di moto p di un corpo animato da moto vario, misurata rispetto al SI del laboratorio, dipenderàin maniera diversa dalla velocità istantanea rispetto alla q.d.m. classica: p ≠ mv.

E la quantitE la quantitàà di moto?di moto?

Urti elasticiUrti elastici• Gli urti elastici possono essere

studiati senza conoscere i dettagli dell’interazione tramite la conservazione della q.d.m. e dell’energia cinetica: a fianco il caso 2-D

• Nel caso proiettile-bersaglio (v2=0) unidimensionale le espressioni per le velocitàfinali si trovano facilmente essere quelle a destra.

• Se le masse sono anche uguali fra loro, il primo oggetto si ferma e il secondo continua con la stessa velocità che aveva il primo

• Se invece l’urto proiettile bersaglio avviene in 2-D, le direzioni delle particelle uscenti formano sempre un angolo retto fra loro.

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2

' '

' '

1 1 1 1' '

2 2 2 2

x x x x

y y y y

m v m v m v m v

m v m v m v m v

m v m v m v m v

+ = + + = + + = +

( )( )

( )

1 21 1

1 2 1

2 112 1

1 2

'' 0

(m uguali)'2

'

m mv v

m m v

v vmv v

m m

−= + =

⇒ = = +

In 2In 2--D: riferimento del D: riferimento del CMCM• Proviamo a studiare l’urto fra due

particelle in un SI solidale al centro di massa di due particelle di uguale massa.

• In esso si ha sempre p1 = -p2 per def.

• Le velocità e gli impulsi cambiano solo di direzione, ma non di modulo.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 21 2

1 2 1 2 1 1

1 2 1 2

1 2 1 2

' ' ' ';

' ' 2 2 '

' 'Supponendo K funzione biunivoca di p

' '

p p p p p pp p

K p K p K p K p K p K p

p p p p

K p K p K p K p

+ = + = − = − ⇒ + = + =

= = = = = =

� � � � � �

� �

Urto radenteUrto radente• Supporremo l’urto radente = piccolo angolo

di deflessione � piccola componente di velocitàlungo Y � piccola componente di quantità di moto lungo Y.

• Se aumentiamo gradualmente la velocità del SI del lab rispetto al CM (lungo y) le componenti x della quantità di moto della particella 2 aumenteranno, mentre quelle della 1 diminuiranno, finché…

• …ci porremo in un SI nel quale la componente x di v1 è nulla: v1 è tutta lungo y ed è diventata molto piccola.

Y

X

1

2

Riferimento del Riferimento del lablab

• Seppur le particelle possano essere anche relativistiche, in B la q.d.m. di 1 si può scrivere mv 1.

• Urto elastico → 1 «rimbalza» lungo direzione di Y’: p1y = p’1y (p1= p’1).

• Vogliamo trovare l’espressione per la q.d.m.p’2 della particella relativistica 2 dopo l’urto.

• Allo scopo consideriamo due grandezze invarianti: gli spostamenti trasversi alla direzione del moto del SI e il tempo proprio fra due posizioni della particella 2.

Y’

X’

1

2

Riferimento Riferimento CMCM: simmetria : simmetria

• Nel rif CM c’è completa simmetria fra 1 e 2 → le 2 particelle compiranno lo stesso spostamento trasverso (lungo Y) nello stesso tempo coordinato ∆t .

• Poiché se supponiamo p = p(u,m) biunivoca avremo per m identiche

→ 1, 2 si sposteranno nella direzione y anche nello stesso tempo proprio ∆τ.

• D’altra parte, la completa simmetria del sistema fisico ci garantisce che scambiando 1 ↔ 2 non cambia nulla.

Y

X

1

2

1 2 1 2' 'p p p p= = =

1 2 1 2' 'u u u u= = =

Riferimento Riferimento lablab: diversi : diversi ∆∆tt’’per lo stesso per lo stesso ∆∆yy’’

• Nel sistema del lab gli spostamenti ∆∆∆∆y’ di 1 e 2 avvenuti durante l’intervallo di tempo proprio ∆τ’ = ∆τ rimangono uguali tra loro(perché y’ è la dimensione trasversale alla direzione di moto del lab rispetto CM).

• I tempi coordinati ∆t’ però stavolta non coincidono, perché le velocità di 1 e 2 dopo l’urto non sono uguali.

• Poiché 1 è classica abbiamo ∆t1’ ≅ ∆τ. Invece per 2 è significativa la dilatazione delle durate: ∆t’2 = ∆τ /(1-(v’2/c)2)1/2.

Y’

X’

1

2

Rapporto fra velocitRapporto fra velocitàà• Siamo sempre nel rif del lab…∆y’ (sopra) = v’1 ∆t’1 = v’1 ∆τ∆y’ (sotto) = v’2y ∆t2’ = v’2y ∆τ /(1-(v’2/c)2)1/2

⇒v’1 = v’2y / (1 – (v’2/c)2)1/2 [rapporto componenti y della velocità]

• Rapporto componenti della q.d.m.: per la conservaz q.d.m. p’2y = p1 = p’1 = m v’1

⇒ p’2y = m v’2y / (1 – (v’2/c)2)1/2

• Infine per una ragione geometrica (similitudine triangoli) p’2 / p’2y = v’2 / v’2y ⇒ p’2 = (v’2 / v’2y)

mv’2y/(1 - (v’2/c)2)1/2 =

p’2 = m v’2 /(1-(v’2/c)2)1/2

. Quantità di moto e velocità sono infatti collineariIn definitiva, eliminando gli indici

Y’

X’

1

2

2 21 /p m v v c= −

QuesitoQuesito• Scrivi una ragione per la quale la

q.d.m. non può essere scritta alle alte velocità nella forma classica p = m v.

Seconda parteSeconda parteRiassunto I parte e Riassunto I parte e

deduzione K relativisticadeduzione K relativistica

I due postulati I due postulati 1.1. Assumiamo il PAssumiamo il Principiorincipio didi RRelativitelativitàà�� P.R. (teorico)P.R. (teorico): : tuttetutte le leggi fisiche hanno la le leggi fisiche hanno la

stessa forma in tutti i sistemi di riferimento stessa forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali (SI).inerziali (SI).

�� P.R. (sperimentale)P.R. (sperimentale): esperimenti : esperimenti di di qualsiasi natura qualsiasi natura condotti nelle stesse condotti nelle stesse condizioni in SI diversi danno gli stessi condizioni in SI diversi danno gli stessi risultati.risultati.

2.2. P.R. + rilevazione sperimentale P.R. + rilevazione sperimentale didi unaunavelocitvelocitàà limitelimite ⇒⇒ In In ogniogni SI SI sisi misuramisura la la stessastessa velocitvelocitàà limitelimite……

�� Invarianza della velocitInvarianza della velocitàà della luce:della luce: cc non non dipende dipende dal SIdal SI in cui in cui èè misurata, nmisurata, néé dalla dalla direzionedirezione della propagazione della luce.della propagazione della luce.

…… e bisogna cambiare la legge di composizione e bisogna cambiare la legge di composizione delle velocitdelle velocitàà

Dilatazione delle durate

LL’’intervallo temporale fra due eventi che avvengono nella intervallo temporale fra due eventi che avvengono nella stessa posizionestessa posizione èè detto detto intervallo di tempo proprio intervallo di tempo proprio ∆τ∆τ.. Il SI in in cui tali eventi accadono nella stessa posizione cui tali eventi accadono nella stessa posizione èè detto detto riferimento riferimento solidalesolidale ..

LL’’istante e la posizione in cui avvengono i fenomeni, istante e la posizione in cui avvengono i fenomeni, pur rimanendo distinti, sono uniti fra loro dalla pur rimanendo distinti, sono uniti fra loro dalla formulazione di Einstein: formulazione di Einstein: viene teorizzata lviene teorizzata l’’esistenza di esistenza di uno uno spaziotempospaziotempo fatto di fatto di eventi eventi (= istante + posizione)(= istante + posizione)

Dai calcoli svolti nellDai calcoli svolti nell’’esperimento dellesperimento dell’’orologio a luce orologio a luce risultarisulta

Se gli Se gli intervalli temporaliintervalli temporali (durate) sono misurati da (durate) sono misurati da diversi SI essi danno risultati diversi: diversi SI essi danno risultati diversi: varianovariano..

Anche gli Anche gli intervalli spazialiintervalli spaziali (lunghezze) misurati da (lunghezze) misurati da diversi SI danno risultati diversi SI danno risultati diversidiversi……

MaMa il il tempo proprio tempo proprio ∆∆ττ (differenza tra il quadrato (differenza tra il quadrato delldell’’intervallo temporale e di quello spaziale) misurato intervallo temporale e di quello spaziale) misurato da diversi SI da diversi SI ddàà sempre lo stesso valore: sempre lo stesso valore: èè un un invariante relativisticoinvariante relativistico..

( ) ( ) ( )2 2 2' 'c c t xτ∆ = ∆ − ∆

Teorema dell’energia cineticaRiscrivo il teorema in una forma più generale, utilizzando la variazione di q.d.m. e la velocità (media e istantanea)

K non ha la forma classica (esp. Bertozzi) → la matematica suggerisce che occorre modificare anche l’espressione di p(conservata in relatività).

0

Passando ai differenziali

lim

m

m

t

p p xF L F x x p p u

t t tL p u K

xdp dK

t

u dp dK

∆ →

∆ ∆ ∆= ⇒ = ∆ = ∆ = ∆ = ∆∆ ∆ ∆

= ∆ = ∆

∆ = ∆

=

Urto di due particelle nel Urto di due particelle nel caso relativisticocaso relativistico

• Riferimento CM. Le velocità e gli impulsi cambiano solo di direzione, non in modulo.

• Hp: (1) la quantità di moto si conserva negli urti relativistici analizzati da qualunque SI; (2) urto radente.

• Simmetria completa tra 1 e 2.

• Riferimento lab. v1 e v’1 sono lungo y.

• Part. 1 non relativistica: p1 = m v1; p1’ = m v’1

1 2 1 2' 'p p p p= = =

Y

X

1

2

1 2 1 2' 'u u u u= = =Y’

X’

1

2

Invarianti:• spostamenti orto -

gonali alla direzione del moto del SI lab rispetto al CM;

(1) intervallo ∆τ fra due posizioni della particella 2.

Spazi (lungo y) uguali e tempi coordinati uguali → vy1 = vy2

Tempi propri uguali e spostamenti (lungo y) uguali fra 1 e 2, ma tempi coordinati diversiper dilatazione tempi →v’1 = v’2y / (1 – (v’2/c)2)1/2

• Conservazione q.d.m.+ collinearità tra v e p → p’2 = m v’2 /(1-(v’2/c)2)1/2

Y

X

1

2C.M. LAB

Y’

X’

1

2

2 21 /p m v v c= −

QuesitoQuesito• Scrivi una ragione per la quale la

q.d.m. non può essere scritta alle alte velocità nella forma classica p = m v.

Energia cineticaEnergia cinetica

• Abbiamo ottenuto l’espressione mate-matica per la q.d.m. a qualunque velo-cità

• Assumiamo la validità di • Quale sarà la forma per la variazione di

K di un corpo che viene portato nel SI del lab da fermo alla velocità u ?

u dp dK=

2 2( ) 1 / ( )p u m u u c u m uγ= − =

Energia cineticaEnergia cinetica

( ) ( )

2 22

3

2 2 2 2

1(*)

Se allora ( ) (0) 1

L'energia "cinetica" dev'essere nulla per def. quando l'oggetto è fermo :

(0) 0.

Quindi ( )

c cdK mu u d d m u d u u m c d

u u

dK m c d K m c m c u m c

K

K K u

γ γ γ γ γγ

γ γ γ γ γ

= + = + − =

= ∆ = ∆ = − = −

≡∆ =

( )2

(0)

1

K K

K m c γ− =

= −

( ) ( ){ }(*)dK u dp mu d u mu d u duγ γ γ= = = +2

32 2 3 2 2

23

2 3

1 2Poiché 1 2

1 posso sostituire il secondo differenziale

u d u d u

du duc c c

u cd du du d

uc

γ γ γγ γ

γ γ γγ

= − ⇒ − = − ⇒ =

= ⇒ =

Limite newtoniano di KVediamo a che cosa si riduce questa relazione per velocità molto

inferiori a quelle della luce (limite classico). Dobbiamo approssimare la funzione

γ (u) = 1 / ( 1 – (u/c)2 )1/2

Utilizzeremo a tal fine la formula di approssimazione delle potenze di un binomio (anche con esponente frazionario)

Nel nostro caso N = -1/2 e quindi

L’espressione per K diventa

K = m c2 (γ -1) ≅ m c2 ( 1+ ½ (u/c)2 – 1) = ½ mu2

coincidente con lcoincidente con l’’espressione classicaespressione classica

( ) ( )2

11 1

N

XX NX O X

<<− − +=

2

1/22 2

1

11 1

2u

c

u u

c cγ

−

<<

= − − − ≅

Interpolazione dati di W. Bertozzi

Un controllo dell’espressione ricavata per K si può fare con i dati dell’esperimento di Bertozzi.

Si può facilmente ricavare

l’espressione relativistica

per il quadrato della velocità

in funzione dell’energia cinetica

invertendo la formula trovata

per K:

v2/c2 = 1- [ me c2 / (me c2 + K) ]2

(previsione di Einstein: curva rossa )(previsione di Einstein: curva rossa )

Essa riproduce bene

l’andamento dei dati. ( )2 1 è la nuova espressione

per l'energia cinetica

K m c γ= −

Domande

L’energia cinetica è:

• La quantità espressa dall’equazione K = ½ m v2 ;

• La forma di energia associata allo stato di moto dell’e-;

• Un termine essenziale per soddisfare il principio di conservazione dell’energia;

• Una combinazione delle precedenti (precisa quale)