Una slitta col suo carico, di massa complessiva 85kg, al termine di una discesa imbocca una pista dritta e orizzontale con velocità di 37m/s. Rallenta

Una slitta col suo carico, di massa complessiva 85kg, al termine di una discesa imbocca una pista dritta e orizzontale con velocità di 37m/s. Rallenta fino a fermarsi con accelerazione costante di modulo 2,0m/s2. Calcolare: il modulo della forza F richiesta per ottenere questa accelerazione; la distanza d percorsa fino all’arresto; il lavoro L compiuto sulla slitta dalla forza frenante F. Ripetere i calcoli nel caso di rallentamento con accelerazione di modulo 4,0m/s2.

HALLIDAY - capitolo 7 problema 11

x0 d

F

Modulo della forza: 170NmaF

Lavoro compiuto dalla forza F: FdsFL

Variazione di energia cinetica:2

infin mv2

10KKΔK

340m2a

v

2F

mvdmv

2

1FdΔKL

222

58000Jmv2

1FdL 2

Se l’accelerazione raddoppia, raddoppia anche F e si dimezza d; il lavoro invece rimane invariato e pari alla variazione di energia cinetica della slitta (che è sempre la stessa)


Un blocco di massa 250g è lasciato cadere su una molla verticale avente costante elastica k=2,5N/cm. Il blocco rimane appoggiato sulla molla, che si comprime di 12cm prima di arrestarsi momentaneamente. Durante la compressione della molla, quale lavoro viene svolto dalla forza di gravità relativa al blocco e dalla molla? Quale era la velocità del blocco subito prima di toccare la molla? Trascurate l’attrito. Se si raddoppia la velocità di impatto, quale diventa la massima compressione della molla? y

Lavoro della forza peso:

0,29JmgymgymgyΔUL BBAgg

Lavoro della forza elastica:

1,8Jky2

1ky

2

1ky

2

1ΔUL 2

B2B

2Aelel

Teorema dell’energia cinetica:

3,5m/s)L(Lm

2vmv

2

10ΔKLL gel

2gel

0,23mk

kmvgmmgy0mv2mgyky

mv2

1mgyky

2

1ΔKLL

222

B2

B2B

2B

2Bgel

Posizione iniziale: yA=0, velocità del blocco = v (incognita)

Posizione finale: yB= -0,12m, velocità del blocco = 0

Se v=7,0m/s, calcoliamo yB (deve essere yB<0):


Un blocco di ghiaccio di massa 45kg scivola giù per un piano inclinato lungo 1,5m per un dislivello di 0,91m. Uno scaricatore preme dal basso contro il blocco con una forza parallela al piano inclinato in modo da obbligarlo a scendere con velocità costante. Trovate la forza esercitata dallo scaricatore. Trovate il lavoro sviluppato sul blocco di ghiaccio dallo scaricatore, dalla forza di gravità agente sul blocco, dalla forza normale esercitata dal piano sul blocco e dalla forza risultante applicata al blocco.

θ

h=0,91mL=1,5m

P

N F

θ

x

y

Applicando la prima legge di Newton:

0mgsinθF

0mgcosθN

270NL

hmgmgsinθF

Lavoro dello scaricatore:

400JmghLL

hmgFLsFLs

Lavoro della forza di gravità:400Jmghmgh)(0ΔULg

La reazione normale non compie lavoro perchè è diretta ortogonalmente allo spostamento:

0LLLL NgStot

0LN

Lavoro totale:


Una cassa di massa 230kg è sospesa all’estremità di una fune lunga 12,0m. Spingendo orizzontalmente sulla cassa con una forza variabile F, la spostiamo di 4,00m sul piano orizzontale. Qual è l’intensità di F quando la cassa raggiunge la posizione finale? Quali sono, durante lo spostamento della cassa, il lavoro totale fatto su di essa, il lavoro fatto dal peso proprio della cassa e il lavoro fatto sulla cassa dal tiro della fune? Quale è il lavoro da noi svolto sulla cassa? Perchè questo lavoro non è uguale al prodotto dello spostamento orizzontale per l’intensità di F trovata al primo punto?

L=12

,0m

d=4,00m

F

F

L=12

,0m

d=4,00m

F

Nella posizione finale, la cassa è in quiete, e vale la prima legge di Newton:

0PTF

P

Tθ

θ

x

y

0mgTcosθ

0TsinθF

tgθmg TsinθFcosθ

mgT

L

dsinθ

222 dL

d

θsin1

sinθtgθ

797NdL

mgdF

22

Dalla trigonometria:

Lavoro totale sulla cassa: 0KKΔKL infintot

(Kin=0 e Kfin=0 perchè la cassa sia all’inizio che alla fine è ferma)

L=12

,0m

d=4,00m

hin

hfin

)hmg(hUUΔUL fininfining

22infin dLLhh

1550JdLLmgL 22g

La tensione non compie lavoro perchè è sempre ortogonale allo spostamento: 0LT

Lavoro della forza peso:

Lavoro della forza F: 1550JLLLL TgtotF


Un’autocisterna di massa 1,2·104kg, fuori controllo per un guasto ai freni, sta scendendo a precipizio alla velocità di 130km/h. Fortunatamente, vicino alla fine della discesa c’è una rampa di emergenza in contropendenza (priva però di attrito) con inclinazione θ=15°. Quale deve essere la sua lunghezza minima per essere certi che riesca ad arrestare la cisterna? La lunghezza minima aumenta, diminuisce o resta uguale se l’autocisterna ha massa minore? e se la sua velocità è inferiore?

Conservazione dell’energia meccanica: 2211 KUKU

1. L’autocisterna è in fondo alla discesa con velocità v=36,1m/s

2. L’autocisterna arriva in cima alla rampa e si ferma (v=0)

21

1

mv2

1K

0U

0K

mgLsinθmghU

2

2

257m2gsinθ

vL0mgLsinθmv

2

10

22

La lunghezza di arresto non dipende dalla massa del camion

Diminuendo la velocità, la lunghezza di arresto diminuisce col quadrato della velocità (se la velocità si dimezza, la lunghezza di arresto diventa 1/4 di quella iniziale)


Un blocco di massa m=2,0kg cade da un’altezza h=40cm su una molla avente costante k=1960N/m. Trovare la massima lunghezza di compressione della molla.

h

x

1. il blocco è lasciato cadere da un’altezza h con velocità nulla2. la molla è alla massima compressione x: il blocco è fermo

y=0

y

Conservazione dell’energia meccanica:

2el2,g2,1el1,g1, KUUKUU

0K

0U

mghU

1

el1,

g1,

0K

kx2

1U

mgxU

2

2el2,

g2,

02mgh2mgxkx

0kx2

1mgx00mgh

2

2

0,08mx

0,10mx

k

2mgkgmmgx

2

122

1/2

La soluzione positiva è il valore di x richiesto dal problema

La soluzione negativa rappresenta l’allungamento della molla nella fase di risalita successiva alla compressione


Tarzan, che pesa 688N, salta da una roccia appeso a una provvidenziale liana lunga 18m. Dall’alto della roccia al punto più basso della sua oscillazione cala di 3,2m. La liana è soggetta a rompersi se la tensione su di essa supera 950N. Arriverà a rompersi? Se sì, indicare a quale angolo rispetto alla verticale si rompe. Se no, calcolare la massima tensione che deve sopportare.

θ0

L=18

m

h=3,2m

La posizione di Tarzan è individuata dall’angolo θ che la liana forma con la verticale.

L-h

y

0

Posizione iniziale (angolo θ0): mghU

0K

1

1

θL=

18m

y

0

Lcosθ

L(1-cosθ)

Posizione finale (angolo θ): ) cosθ-mgL(1U mv2

1K 2

22

Conservazione dell’energia meccanica:

) cosθ2gL(12ghv

) cosθ-mgL(1mv2

1mghKUKU

2

22211

θL=

18m

T

P

θ

Forza centripeta: L

vmPcosθT

2

Sostituendo il valore della velocità ricavato in precedenza:

2gLcosθ2gL2ghL

mPcosθT

1L

h23cosθPT

2Pcosθ2PL

2PhPcosθT

La liana si rompe se la tensione, in almeno un punto, supera il valore di rottura T0=950N

Il massimo valore della tensione viene raggiunto quando cosθ=1, cioè in corrispondenza della verticale (θ=0) ed è:

Poichè Tmax<T0 la liana non si romperà

Se fosse stato Tmax>T0, allora l’angolo di rottura della liana si sarebbe calcolato imponendo la condizione T(θ)=T0

933NL

h1P1

L

h23PTmax


Uno sciatore di massa 60kg parte da fermo da un’altezza H=20m rispetto al culmine del trampolino di salto. Allo stacco dal trampolino la sua direzione forma un angolo θ=28° con il piano orizzontale. Trascuriamo l’attrito e la resistenza dell’aria. Quanto varrà la massima altezza h raggiunta rispetto al punto di stacco? Aumenta, diminuisce o resta invariata se lo sciatore ripete il salto con un pesante zaino?

1. lo sciatore parte da fermo dall’altezza H

2. lo sciatore arriva alla base del trampolino con velocità v

3. lo sciatore è nel punto di altezza massima h con velocità vx

Conservazione dell’energia meccanica tra 1 e 2:

Componente orizzontale della velocità nel moto parabolico:

2gHvmv2

100mgHKUKU 2

2211

vcosθv x

Conservazione dell’energia meccanica tra 2 e 3:

4,4mθHsinhθmgHsinmghθcos-1mv2

1mgh

mv2

1mghmv

2

10KUKU

2222

2x

23322

Il valore di h non dipende dalla massa dello sciatore.


Un ragazzo è seduto sulla cima del blocco di ghiaccio semisferico di raggio R=13,8m della figura. Comincia a scivolare in giù con velocità trascurabile. Se il ghiaccio è privo di attrito, a che altezza dal suolo si staccherà dal ghiaccio?

Forza centripeta:

R

vmNmgcosθ

2

R

vmmgcosθN

2

Reazione normale:

N

P

θ

Il ragazzo si stacca dal ghiaccio quando N=0:

Rg

vcosθ0

R

vmmgcosθ

22

Conservazione dell’energia meccanica tra l’istante di partenza e l’istante in cui avviene il distacco:

cosθ12gRv

mv2

1mgRcosθ0mgRKUKU

2

22211

Sostituendo il valore di v2 nella prima equazione:

48,2θ3

2cosθcosθ12cosθ

Altezza a cui avviene il distacco:

9,2mR3

2Rcosθh


In figura vediamo un blocco che scivola lungo una pista da un livello a un altro livello più elevato, attraversando un avvallamento intermedio. La pista è priva di attrito fino a che si giunge al livello maggiore, dove invece esiste una forza di attrito che arresta il blocco dopo una distanza d. Trovate d sapendo che la velocità iniziale è v0=6,0m/s, la differenza di quota è h=1,1m e il coefficiente di attrito dinamico è μd=0,60.

1. Il blocco parte dalla posizione iniziale con velocità v0

2. Il blocco si arresta dopo il tratto orizzontale d

Variazione di energia meccanica: att1122 LKUKU

201

1

mv2

1K

0U

0K

mghU

2

2

Reazione normale nel tratto orizzontale: mgN0mgN

Forza di attrito dinamico: mgμNμf ddad

Lavoro della forza di attrito: mgdμdfsfL dadadatt

1,2mg2μ

2ghvdmgdμmv

2

100mgh

d

20

d20


Una scatola di biscotti si sta muovendo su un piano inclinato di 40°. In un punto del piano a 55cm dall’estremità inferiore ha una velocità di 1,4m/s. Il coefficiente di attrito dinamico tra scatola e piano è 0,15. Di quanto salirà ancora sul piano inclinato? Che velocità avrà la scatola quando sarà ridiscesa ai piedi del piano inclinato? Se il coefficiente di attrito fosse minore, i valori delle risposte precedenti aumenterebbero, diminuirebbero o resterebbero uguali?

θ

l0 =55cm

lmax =?

l0sinθ

lmaxsinθ

1. la scatola parte dall’altezza l0sinθ con velocità v0=1,4m/s

2. la scatola arriva all’altezza lmaxsinθ con velocità nulla


201

01

mv2

1K

sinθmglU

0K

sinθmglU

2

max2

θ P

N

fadθ

Reazione normale: mgcosθN0mgcosθN

Attrito dinamico: mgcosθμNμf ddad

Lavoro della forza di attrito: 0maxdadatt llmgcosθμsfL

Dall’equazione di variazione dell’energia meccanica si ha:

0maxd200max llmgcosθμmv

2

1sinθmgl0sinθmgl

0,68mcosθμsinθ2g

vll

mv2

1cosθμsinθllmg

d

20

0max

20d0max

Se il coefficiente d’attrito è minore, il valore di lmax è maggiore

2. la scatola parte dall’altezza lmaxsinθ con velocità nulla

3. la scatola arriva ad altezza nulla con velocità v


0K

sinθmglU

2

max2

23

3

mv2

1K

0U

La forza d’attrito durante la discesa è in modulo pari al caso precedente (N non cambia), ma diretta in verso opposto

maxdadatt l mgcosθμsfL

2,65m/scosθμsinθ2glv

cosθmglμ0sinθmglmv2

10

dmax

maxdmax2

Come varia v con μd ? La risposta non è banale...

Per rispondere occorre scrivere l’espressione esatta di v, sostituendo l’espressione di lmax in termini di μd

cosθμsinθ2g

vll

d

20

0max cosθμsinθ2glv dmax

cosθμsinθcosθμsinθ

v2glv d

d

20

0

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Una slitta col suo carico, di massa complessiva 85kg, al termine di una discesa imbocca una pista dritta e orizzontale con velocità di 37m/s. Rallenta