UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MÉXICO

ESCUELA NACIONAL COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES

XXXIII CONCURSO INTRA-C.C.H. DE MATEMÁTICAS

Inscríbete en el local del club de tu plantel

CLUBES DE

MATEMÁTICAS

Esta guía está dirigida a todos los estudiantes y profesores que estén interesados en participar como concursantes o asesores.Se ha tratado de que los problemas presentados sean los que requieren una buena dosis de ingenio y nociones básicas de teoría las cuales se supone se adquirió en el nivel secundario

Los temas tratados en los problemas se pueden englobar en:

Álgebra Geometría Teoría de números

Varios (conteo, lógica, etc.)

El comité organizador del concurso se se sentirá satisfecho si tanto esta guía, como el mismo concurso contribuyen a una mejor comprensión de la matemática.

Eliminatoria individual Viernes 13 de marzo, en cada plantel (pregunta en tu plantel fecha y hora de

aplicación).Final individual en CCH Naucalpan.

Sábado 21 de Marzo de 2020. 10:00-14:30 horas.Equipos en CCH Naucalpan.

Sábado 28 de marzo de 2020. 10:00-14:30 horas.

Premiación en CCH Naucalpan.Viernes 17 de abril de 2020. 13:00 HORAS

Atentamente

Clubes de Matemáticas

Problemas de opción múltiple

Aritmética

1. ¿Cuántos números de 4 cifras tienen exactamente dos dígitos igual a 0? A) 27 B) 90 C) 200D) 243 E) 300

2. ¿Cuántos resultados diferentes podemos obtener al sumar 3 números distintos del 1 al 10?A) 15 B) 20 C) 22 D) 25 E) 27

3. A una cantidad le sumo su 10%, y a la cantidad así obtenida le resto su 10%. ¿Qué porcentaje de la cantidad original me queda? A) 98 B) 99 C) 100 D) 101 E)102

4. Utilizando cada una de las cifras 1, 2, 3 y 4 se pueden escribir diferentes números, por ejemplo, podemos escribir 3241. ¿Cuál es la diferencia entre el más grande y el más pequeño de los números que se construyen así? A) 2203 B) 2889 C) 3003 D) 3087 E) 3333

5. El último dígito del número que resulta de elevar: 7777 es:A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9

6. El entero positivo más pequeño que tiene divisores que terminan en 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 es:A) 180 B) 270 C) 540 D) 90 E) 360

7. Pancho escribe la secuencia 1, 6, 11,16, 21, … El primer número de tres dígitos que escribe es:A) 111 B) 110 C) 121 D) 101 E) 131

8. El otro día gané $250, e incluía lo que me pagaron por las horas extras. Mi salario (sin contar las horas extras) excede en $200 a lo que recibí por las horas extras. Entonces, mi salario sin las horas extras es:A) 225 B) 220 C) 215 D) 200 E) 250

9. Un grupo de turistas llega a un hotel. Si dos personas comparten cada habitación, falta una. Si tres personas comparten cada habitación, quedan dos habitaciones desocupadas. ¿cuántas habitaciones tiene el hotel? A) 6 B) 7 C)8 D)9 E) 10

Algebra

10.Considerando las ecuaciones { 8x

2x+ y=64

9x+ y

34 y =243, el valor de 2 xy es:

A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 411. Si 0<x< y ¿cuántas soluciones enteras tiene la ecuación 2x+3y=50A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11

12.Sea f una función de números tal que f(2)=3, y f(a+b)=f(a)+f(b)+ab, para toda a y b. Entonces, f(11) es igual a: A) 22 B) 33 C) 44 D) 55 E) 66

13. Si f ( x )=3 x+ x3+5 , el valor de k para el cual f ( k )=2 f (k+1 ), es:

A) −1 12 B) −2 1

2 C) −3 12 D−4 1

2 ) E) −5 12

14.Si 𝑝,𝑞 y 𝑟 son las soluciones de la ecuación 𝑥3−7𝑥2+3𝑥+1=0, el valor de 1p+ 1q+ 1r es:

A) 5 B) 3 C) 0 D) -5 E) -3

15 Si 20172018

= 1

a+ 1b

donde a, b son números enteros positivos.Encuentra a+b=

A) 2016 B) 2017 C) 2018 D) 2019 E) 2020

Geometría16. Un punto P está dentro de un cuadrado ABCD cuyos lados miden 16 cm. P es equidistante tanto a los vértices adyacentes A y B, como al lado CD. Entonces, la distancia AP mide:A) 12 B) 15 C)10 D)20 E) 24

17. Si O es el centro del círculo, ¿Cuánto mide∠DCE+∠OED?

OC

DE

A) 90o B) 80o C) 70o D) 60o E) 50o

18. En la figura, cada lado del cuadrado mide 1. ¿Cuál es el área de la región sombreada? 

A) π2 B)

π4 C)

12 D) 1-

π4 E) 1-

π2

19. Dos círculos son inscritos en un triángulo isósceles, como se muestra en la siguiente figura:El radio del más pequeño es 4 y el radio del más grande es 9. La longitud de la base del triángulo es:

9

4

A) 12 B) 15 C)10 D) 20 E) 24

20. El centro de B está sobre la circunferencia C y el centro de A está sobre la circunferencia B. La razón entre el área de la región sombreada y el área no sombreada es:

A) 12313 B)

311 C)

717 D)

711 E)

713

21. Sea ABC un triángulo con AB = 25 cm, BC = 23 cm, CA = 24 cm. Si BD es perpendicular a CA, ¿Cuánto vale AD – DC = ?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

Varios22. ¿De cuántas maneras puedes rellenar un cuadrado de 2x2 con triángulos que son la mitad de un cuadrado de 1x1? (no se permite encimar triángulos)A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 1623. Penélope tiene una caja de azúcar con 70 bloques de dimensión 7 x 3 x 25 mm. Después de haber endulzado su café, forma una línea recta colocando los bloques de azúcar restantes en cualquier posición y obtiene una longitud de 1.56 m. La cantidad de bloquecitos de azúcar que le puso a su café Penélope fue:A) 5 B) 8 C) 3 D) 4 E) 224. Una trayectoria consiste de una sucesión de horizontales y verticales, para formar la palabra ALGEBRA. Una de tales trayectorias se muestra en la siguiente figura:

El número total de trayectorias es:

A) 8 B) 16 C) 32 D) 64 E) 12825. La placa de mi coche tiene un número de cuatro dígitos que es un cuadrado perfecto. Los dos primeros dígitos son iguales y los dos últimos también. El número en cuestión es:A) 2244 B) 3366 C) 1188 D) 6633 E) 7744

26. Luis selecciona al azar dos números distintos del conjunto {8, 9, 10} y luego los suma. Mara selecciona al azar dos números diferentes del conjunto {3, 5, 6} y luego

los multiplica. La probabilidad de que el resultado que obtiene Luis sea mayor que el resultado que obtiene Mara es:

A) 27 B)

19 C)

37 D)

518 E)

49

27. Si Tere se sube a la mesa y Miguel se queda en el suelo, Tere es 80 cm más alta que Miguel. Si Miguel está parado sobre la misma mesa y Tere está en el piso, entonces Miguel es 1 metro más alto que Tere. ¿Qué altura tiene la mesa? A) 70 cm B) 75 cm C) 80 cm D) 85 cm E) 90 cm

Problemas a desarrollar

Aritmética1. Obtenga la raíz cuadrada del número 12345678987654321. Sugerencia primero resuelva un problema más simple, como es con menos números.

2.Hallar todos los enteros positivos n que satisfacen la desigualdad:

3. Si de un número es ¿Cuánto es de ese número?

4. Sea D(n), la suma de los dígitos pares de n, por ejemplo, D(1247)= 2+4=6 calcule la suma D(1)+D(2)+…D(99)+D(100)=?

5. Encuentra el número de enteros positivos que son cuadrados perfectos y que están formados solo por los dígitos 0, 3 y 7.

6. Encuentre todos los enteros a y b que satisfagan la ecuación b2−3=a(3b−6).

7. Determina todas las ternas de entero positivos (𝑎,𝑏,𝑐) que satsifacen el sistema de

ecuaciones: {ab+bc=44ac+bc=23

8. Determina el menor entero positivo 𝑘 tal que 12+22+…+k 2 sea múltiplo de 200; se

sabe que para cada entero positivo 12+22+32+…+k 2=k (k+1 ) (2k+1 )

6

9. ¿Es el número 37 438 974 múltiplo de 9? Explicar.

10. Si p y q son números primos tales que p + q2 = 102, encuentra p + q =Algebra

10. Considera las ecuaciones:

Encuentra el valor de 2xy

11. Encuentra 𝑎 y 𝑏 si √a−√b=√2 y 𝑎−𝑏=10.

12. Los números reales positivos x, y, z satisfacen: ¿Cuál es

el valor de ? 13. Encuentra todas las posibles ternas de números a ,b , c tales que:

a2+2b2−2bc=100y

2ab−c2=100.14. ¿Para cuántos valores del número b la ecuación 𝑥2−𝑏𝑥+80=0 tiene dos soluciones pares distintas?

15. Si a y b son dos números distintos tales que ab+ a+10bb+10a

=2, ¿cuánto vale ab?

16. Si 𝑥,𝑦,𝑧 son números reales tales que (x−3)2+( y−4 )2+(z−5)2=0, ¿a cuánto es igual 𝑥+𝑦+𝑧?

17. ¿Para cuántos valores enteros positivos de 𝑥 se tiene que x+99x+19 es un entero?

Explicar.18. Si 𝑐=𝑎∙𝑏+2, ¿cuándo 𝑎∙𝑏∙𝑐+1 es un cuadrado perfecto?19. Simplifica la siguiente expresión mn√3m−n . pm√3p−m .np√3n−p

20. Encuentra el número de soluciones de la ecuación x2 y3=201812 donde x, y son números enteros positivos.

Geometría

21. ¿Cuál es el área de la región sombreada?

22. Si el radio de tres círculos tangentes entre sí e inscritos en un círculo es 1cm. ¿Cuánto mide el radio del círculo grande?

23. Se tienen dos círculos con centro en el mismo punto, pero cuyos perímetros difieren en 1 cm. ¿Cuál es la diferencia entre sus radios? 24. Las longitudes en centímetros de los lados de un triángulo son 𝑏+1,7−𝑏 𝑦 4𝑏−2. ¿Para cuántos valores de 𝑏 el triángulo es isósceles?25. Los lados del hexágono regular miden 1 cm. Sean X y Y las intersecciones de AC con BF y BD, respectivamente. Encuentra la distancia entre X y Y.

X

Y

C

D

E

F

A

B

26. Sea DE paralela a AB, AC = 1 m y el área de DEC es las ¾ partes del área de ABC. ¿Cuál es la longitud de DC?

Varios27. Se escriben 3 números pares para iniciar el juego. Cada jugada consiate en borrar uno de ellos y en su lugar escribir la suma de los otros dos menos 1. Después de varias jugadas estan escritos los números 17, 75 𝑦 91. ¿Es esto posible o se cometió algún error?

28. Martín tiene 11 cubos de madera. El primero es de 1 cm de arista, el segundo de 2 cm, el tercero de 3 cm, y así sucesivamente hasta el undécimo de 11 cm. Utilizando todos los cubos, ¿puede construir dos pirámides, cuyos niveles estén formados de un solo cubo, de la misma altura?29. El número 42005+22005+8, ¿es divisible entre 7? Explicar.

30. ¿Cuántas veces aparece el dígito 7 al escribir los números del 1 al 2020?

Participaron en la elaboración de este trabajo los profesores:Eliseo Landa Orosco, Carlos Alberto Alvarez García, Javier García

Sánchez,Fermín Mejía Olvera, Victor Manuel Martínez Gallardo y Héctor Garcia Sánchez.

Fuentes consultadas:Principalmente problemas del Calendario Matemático (varios años) elaborado por la Sociedad Matemática Mexicana, Problemas aplicados en concursos anteriores y Canguro Matemático.

Febrero de 2020