UND3 Sistemas numericos - · PDF fileConversiones entre los diferentes sistemas numéricos ... actividad que en ... cantidades numéricas

Introducción al Procesamiento de Datos Raquel Hernández

Los sistemas numéricos y su aplicación al computador Unidad - 3

Indice

Los sistemas numéricos y su aplicación en el computador

Conceptos básicos………............……………..………….………………….. 1 Sistemas numéricos

Decimal………………………………………………………….…….……… 4 Binario…………………………………………………………….....………... 5 Octal…………………...…………………………………………...…............ 7 Hexadecimal………………..……...…………………………...…….……… 8

Conversiones entre los diferentes sistemas numéricos De decimal a: binario, octal y hexadecimal……………………………….. 10 De binario, octal y hexadecimal a: decimal……………………………….. 15 De binario a: octal y hexadecimal………………………………………….. 18 De octal y hexadecimal a: binario………………………………………….. 22

Operaciones con números binarios

Suma…………………………………..…………………………….……...... 24 Resta…………..…………………………….………………….……….……. 26 Multiplicación…..……………………………………………..…………........ 29 División………………………………..…………………………….……....... 30

Bibliografía………............……………..………..………….………………….. 31

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Los sistemas numéricos y su aplicación al computador

Unidad - 3

¿Qué es un sistema de numeración?

“Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir todos los números válidos.”

(http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numeraci%C3%B3n)

“m. Mat. Conjunto de reglas y signos para representar los números. (Real Academia Española)

A lo largo de la historia, las distintas culturas, fueron desarrollando los diferentes sistemas numéricos que existen, debido a la necesidad de contar, actividad que en principio, realizaban utilizando lo único que tenían, los dedos de sus manos, instrumento que en un momento dado dejó de funcionarles. Hoy en día el sistema de numeración que usamos a diario es el decimal, de base 10 y es muy fácil de comprender, sin embargo, los Sistemas Digitales, como las computadoras, manejan información binaria, es decir, disponen solamente de dos valores para representar cualquier información: el cero (0) y el uno (1), (como vimos y explicamos en la unidad anterior). Es por ello que son más exactos y por ende más confiables que los analógicos,

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Unidad - 3

lógicamente, es más fácil distinguir entre dos valores que entre una cantidad ilimitada de ellos. Como decía, el sistema decimal es usado universalmente para representar cantidades fuera de un sistema digital, de ahí que tenga gran importancia, pero siempre existirá la necesidad de que los valores decimales tengan que ser convertidos en valores binarios (códigos que el computador entiende) antes de ser introducidos en un sistema digital y viceversa, es decir, que habrán valores binarios de las salidas de un circuito digital que tendrán que ser convertidos en valores decimales (códigos que el usuario entiende) para ser presentados al mundo exterior. Es por ello, que en esta unidad veremos una introducción a los sistemas de numeración, haciendo énfasis en el sistema de numeración binario, por su aplicación directa en los computadores.

Definiciones

Sistema de numeración Es el conjunto de símbolos ordenados y reglas, que se combinan para representar cantidades numéricas. Un sistema de numeración se puede expresar en el siguiente formato: (N = S, R), donde:

� N es un número válido en el sistema de numeración utilizado. � S es el conjunto de símbolos usados, por ej. en el sistema decimal van del 0

al 9. � R son las reglas que nos indican qué números son válidos en el sistema, y

cuáles no. Estas reglas pueden variar para cada sistema de numeración, sin embargo existe una común a todos, y es que para construir números válidos sólo se pueden utilizar los símbolos usados en ese sistema. Para indicar en qué sistema de numeración se representa una cantidad, se añade como subíndice a la derecha el número de símbolos que se pueden representar en dicho sistema. Ej.510. en donde el símbolo usado es el 5 y el 10 en subíndice nos dice que el sistema numérico es el decimal.

Subíndice,

número que se

coloca en la parte

inferior derecha

de la cifra.

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Unidad - 3

Dígito. En un sistema numérico, un dígito es un símbolo que no es combinación de

otros y que representa un entero positivo. Bit. Es un dígito binario (Abreviación del inglés binary digit), es decir, un 0 ó un

1. Base de un sistema numérico. Se refiere al número de dígitos diferentes usados en ese sistema. En el cuadro siguiente podemos ver los sistemas numéricos comúnmente usados, con su respectivo conjunto de símbolos o dígitos:

En lo adelante, vamos a encerrar entre paréntesis el número que nos interese trabajar y al pie a la derecha, el subíndice, indicando la base que se está usando, para distinguir entre los diferentes sistemas numéricos. Ejemplos:

(1011)2 =1011 base 2 (sistema binario) 15 = 15 base 10 (sistema decimal) (34)16 = 34 base 16 (sistema hexadecimal) (354)8 = 354 base 8 (sistema octal)

Estos sistemas de numeración son llamados posicionales y se caracterizan porque cada dígito tiene distinto valor según la posición que ocupa en la cifra. Este valor está asociado al de una potencia de la base (2, 8, 10 ó 16), cuyo exponente es igual a la posición que ocupa el dígito menos uno, contando desde la derecha. Por ejemplo: (850)x, (usando la x como base para presentar este ejemplo de forma genérica). Se expresa de la forma que sigue: 8*x3-1 + 5*x2-1 + 0*x1-1 8*x2 + 5*x1 + 0*x1

Base Sistema Dígitos

16 Hexadecimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

10 Decimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

8 Octal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

2 Binario 0, 1

Potencia producto

que resulta de

multiplicar una

cantidad o expresión

por sí misma una o

más veces.

Cuando el subíndice

no está expresamente

indicado, se entiende

que la base es 10.

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Unidad - 3

A continuación, presentamos un cuadro donde se muestra la equivalencia entre estos sistemas numéricos:

Tabla de equivalencias

DECIMAL BINARIO OCTAL HEXA

DECIMAL

0 0000 0 0

1 0001 1 1

2 0010 2 2

3 0011 3 3

4 0100 4 4

5 0101 5 5

6 0110 6 6

7 0111 7 7

8 1000 8

9 1001 9

10 1010 A

11 1011 B

12 1100 C

13 1101 D

14 1110 E

15 1111 F

Sistema de numeración decimal. Como habíamos dicho antes, el sistema de numeración que utilizamos habitualmente es el decimal, que se compone de diez símbolos o dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor dependiendo de la posición que ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas, unidad de mil, etc. El número 356, por ejemplo, en el sistema decimal, significa:

3 centenas + 5 decenas + 6 unidades, es decir: 3*102 + 5*101 + 6*100 o, lo que es lo mismo: 300 + 50 + 6 = 356

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Sistema de numeración binario. El sistema de numeración binario utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno (1), tal como lo indica su nombre. Es el sistema que se utiliza en las computadoras, debido a que internamente, éstas trabajan con dos niveles de voltaje, por lo que su sistema de numeración natural es el binario (encendido 1, apagado 0) y es precisamente por eso que en esta unidad lo hemos importantizado. Los números binarios a menudo se escriben con subíndices, prefijos o sufijos para indicar su base, como se indica en la siguiente tabla:

Estas notaciones son equivalentes

100101 binario Declaración explícita del formato

100101b Sufijo que indica formato binario

100101B Sufijo que indica formato binario

bin 100101 Prefijo que indica formato binario

1001012 Subíndice que indica base 2, o bien, binaria

%100101 Prefijo que indica formato binario

0b100101 Prefijo que indica formato binario, usado comúnmente en lenguajes de programación

El uso del sistema numérico binario es ideal en los sistemas digitales, ya que la electrónica digital permite que una computadora manipule simples señales eléctricas de encendido y apagado, es por eso que se acostumbra representar los dígitos binarios (bits) de esta manera:

1 = encendido = ON o también= alto = H 0 = apagado = OFF o también= bajo = L

Si queremos dominar debidamente la electrónica digital y ramas afines, es importante que podamos memorizar, por lo menos, algunos números en binario, especialmente los primeros, de manera tal que también podamos aprender a contar en este sistema numérico, lo que sería de gran ayuda, cuando vayamos a realizar diferentes operaciones en base a éste.

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Unidad - 3

Si repasamos la manera en que contamos en decimal, veremos que es similar en binario:

� Se enlistan de manera ordenada los dígitos desde el 0 hasta el 9. � Al llegar al 9, se repite el paso 1 pero incrementando en uno el dígito en la

columna de la izquierda cada vez que se llegue al 9. Se hace esto hasta agotar otra vez los dígitos en esta posición (hasta llegar al 99).

� Se repiten los pasos 1 y 2 incrementando en uno el dígito de la izquierda cada

vez que se alcance en las primeras dos columnas el 99, hasta llegar al 999, etc.

Este proceso se ilustra en la siguiente tabla para el sistema binario:

Binario Comentario

0 Se enlistan los dígitos del 0 al 1

1 Se agotan los dígitos para la primera columna

10 Se incrementa la segunda

11 Se agotan los dígitos para la 1era.y 2da. columnas

100 Se incrementa la tercera

101

110

111 Se agotan los dígitos para la 1a., 2a. y 3a. columnas

1000

1001

1010

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Unidad - 3

Sistema de numeración octal La representación de números binarios presenta el inconveniente de generar cifras muy largas. En estos casos, los sistemas de numeración octal y hexadecimal, también llamados intermedios, resultan muy convenientes para representar las cifras numéricas. Más adelante veremos cómo, con el uso de estos sistemas numéricos intermedios podemos reducir significativamente las cifras binarias y hacer más cómoda la escritura de estas. El sistema de numeración octal representa los números mediante ocho dígitos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Cada dígito tiene, al igual que en los demás sistemas, un valor distinto dependiendo del lugar que ocupe. El valor de cada una de las posiciones viene determinado por las potencias de base 8. En el cuadro de la derecha pueden notar que los 7 primeros números del sistema decimal u octal se representan con tres dígitos en el sistema binario. Por lo que convertir un número entre estos sistemas de numeración equivale a "expandir" cada dígito octal a tres dígitos binarios, o "contraer" grupos de tres caracteres binarios a su correspondiente dígito octal. Es por esto que los sistemas de numeración octal y hexadecimal, también encuentran amplias aplicaciones en los sistemas digitales, como veremos, ambos sistemas numéricos tienen la ventaja de que pueden convertirse muy fácilmente al binario y viceversa.

DEC. OCTAL BIN.

0 0 000

1 1 001

2 2 010

3 3 011

4 4 100

5 5 101

6 6 110

7 7 111

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Unidad - 3

Sistema de numeración hexadecimal En la tabla de equivalencias de estos sistemas numéricos, nos damos cuenta de que el sistema hexadecimal integra dieciséis símbolos válidos para representar los números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F, donde los caracteres A, B, C, D, E y F, representan las cantidades decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, debido a que no hay dígitos mayores que 9 en el sistema decimal. El valor de cada uno de estos símbolos, también depende de su posición, que se calcula mediante potencias de base 16. Tomando el siguiente cuadro desde la tabla de equivalencias, vemos que para cada dígito hexadecimal existen sus equivalentes cuatro dígitos binarios:

BINARIO HEXA DECIMAL

0000 0 0001 1 0010 2 0011 3 0100 4 0101 5 0110 6 0111 7 1000 8 1001 9 1010 A 1011 B 1100 C 1101 D 1110 E 1111 F

Por tanto, cuando convertimos de hexadecimal a binario, lo que hacemos es aumentar cada dígito hexadecimal en cuatro dígitos binarios, mientras que a lo inverso, de binario a hexadecimal, se disminuyen cuatro dígitos binarios a un dígito hexadecimal.

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Unidad - 3

¿Pero cuántos números podemos representar con una cantidad determinada de dígitos en cada sistema? La cantidad exacta de dígitos necesarios para representar un número, dado en cualquiera de los sistemas numéricos especificados, se determina con la siguiente regla general:

Con n dígitos se pueden representar (x)n números, siendo x la base del sistema usado (2, 8,10 ó 16) y el número más grande que se puede escribir con n dígitos es xn–1. Por ejemplo: si queremos saber cuántos números podemos representar con tres bits en el sistema numérico binario, aplicando la regla: (x)n, tenemos que: 23=8. Esto decir que con tres dígitos binarios, sólo podemos representar 8 números. Y para saber cuál de esos 8 números es el mayor, sustituimos: 23-1=7, Esto decir que 7 es el número mayor que se puede representar con tres bits.

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Unidad - 3

Conversiones

De decimal a: binario, octal y hexadecimal. Para convertir un número decimal a cualquiera de los sistemas numéricos indicados, podemos utilizar el Método de divisiones sucesivas, que consiste en realizar divisiones entre la base sucesivamente y escribir los restos obtenidos en cada división en orden inverso, ese resultado es el número que buscamos.

De decimal a binarioDe decimal a binarioDe decimal a binarioDe decimal a binario

1. Convertir el número (86)10 a binario.

86/2= 43 Resto:0 43/2= 21 Resto: 1 21/2= 10 Resto: 1 10/2= 5 Resto: 0 5/2= 2 Resto: 1 2/2= 1 Resto: 0 1/2= 0 Resto: 1

Tomando los restos obtenidos en orden inverso tenemos la cifra:

(1010110)2

2. Convertir el número (156)10 a binario.

156156156156 2 16 78 2 0000 18 39 2

0000 19 19 2 1111 1111 9 2 1111 4 2

15615615615610101010 = = = = 111100111001110011100111000000002222

0000 2222 2 0000 1111

Ver video tutorial: http://www.youtube.com/watch?v=aogt_pNmc78&feature=relat

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Unidad - 3

De decimal a octal 1. Convertir el número (174)10 a octal.

174 ÷ 8 = 21 Resto: 6

21 ÷ 8 = 2 Resto: 5 2 ÷ 8 = 0 Resto: 2


(256)8

2. Convertir el número (2471)10 a octal.

2471 8 071 308 8 7777 68 38 8

4444 6666 4 8 4444 0


(4647)8

Ver video tutorial: http://www.youtube.com/watch?v=ekKVHguZci4

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De decimal a hexadecimal

1. Convertir el número (2850)10 a hexadecimal.

2850 16 125 178 16 130 18 11 16 2222 2222 11111111 0

También podemos verlo de la siguiente manera: 2850 ÷ 16 = 178 resto 2 178 ÷ 16 = 11 resto 2 11 ÷ 16 = 0 resto 11

Tomando los restos obtenidos en orden inverso tenemos la cifra: 1122. Sustituimos el 11, que equivale, según la tabla a la letra B:

(2850)10 = (B22)16

2. Convertir el número (24,048)10 a hexadecimal.

24048 16 080 1503 16 0048 63 93 16

0000 15151515 13131313 5555

También podemos verlo de la siguiente manera:

24048 ÷ 16 = 1503 resto 0 1503 ÷ 16 = 93 resto 15 93 ÷ 16 = 5 resto 13 5 ÷ 16 = 0 resto 5

En orden inverso, se forma la cifra: 513150. Sustituimos el 13 y el 15, que equivalen, según la tabla, a las letras DF

(24048)10 = (5DF0)16

Ver video tutorial: http://www.youtube.com/watch?v=lSnREqik7RI&feature=related

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Unidad - 3

En el caso de las conversiones de decimal a binario, también podemos utilizar el Método de distribución, que consiste en colocarle un uno (1) a las potencias sucesivas de la base, de mayor a menor, cuya suma sea igual al número decimal a convertir, comenzando con la inferior más cercana a éste, y ceros a las demás. (Recuerden que si el dígito binario es uno indica encendido/sí y si es cero indica apagado/no). O sea que los valores a los que asignemos un uno deben ser tomados en cuenta en la suma de las potencias y a los que asignemos un cero, no. La siguiente tabla será de gran ayuda cuando vayamos a utilizar el método de distribución.

1. Usemos el número 86, del ejercicio anterior.

En este caso necesitaremos las 6 primeras potencias de 2, ya que 27 = 128, superior al número a convertir.

Utilizando la tabla anterior, se comienza asignándole un 1 en la potencia 6, cuyo resultado es igual a 64, decimal más cercano a 86; a la potencia 5 se le coloca un cero (0), debido a que 25= 32 que sumado a 64 es superior a 86; a la potencia 4 se le coloca un uno (1), ya que 24=16 y 64+16=80 es inferior a 86; a la potencia 3 se le coloca un cero (0), porque 23=8 y 80+8=88 es superior a 86; a la potencia 2 se le coloca un uno (1), en razón de que 22=4 y 80+4=84 menor que 86; a la potencia 1 se le coloca un uno (1), puesto que 21=2 y 84+2=86; finalmente a la potencia 0 le corresponde un cero (0), ya que 20=1 y 86+1=87 es superior a 86.

26 25 24 23 22 21 20 64 32 16 8 4 2 1

1 0 1 0 1 1 0

En este ejemplo, esas potencias son: 26=64, 24=16, 22=4 y 21=2, que sumadas dan como resultado el número buscado:

64+16+4+2=86

(86)10= (1010110)2

27 26 25 24 23 22 21 20 128 64 32 16 8 4 2 1

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2. Convertir a binario el número (156)10.

27 26 25 24 23 22 21 20 128 64 32 16 8 4 2 1 1 0 0 1 1 1 0 0

128+16+8+4=156

(156)10= (10011100)2

Ver el video tutorial: http://www.youtube.com/watch?v=KySjjvBEDaA

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Unidad - 3

De binario, octal y hexadecimal a: decimal. Para convertir un número de cualquiera de los sistemas numéricos indicados a decimal, podemos utilizar el método de suma de potencias, en el cual cada dígito de la cifra numérica dada, representa, en base 10, un valor que depende de su posición, el que se obtiene multiplicándolo por la base (2, 8 ó 16) elevado a la posición que ocupa el número menos uno, contando de derecha a izquierda.

El número decimal correspondiente se obtiene sumando los productos resultantes de esta operación.

De binario a decimal.

1)1 Convertir el número (1011)2 a decimal.

23 22 21 20 8 4 2 1

1 0 1 1

8 0 2 1

11

1*24-1 + 0*23-1 + 1*22-1 + 1*21-1, es decir: 1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 =

8 + 0 + 2 + 1 =11 (1011)2= (11)10

1)2 Convertir el número (111001)2 a decimal.

25 24 23 22 21 20 32 16 8 4 2 1

1 1 1 0 0 1

32 16 8 0 0 1

57

1*26-1+1*25-1+1*24-1 + 0*23-1 + 0*22-1 + 1*21-1, es decir: 1*25 +1*24 +1*23 + 0*22 + 0 *21 + 1*20 = 32 + 16 + 8 + 0 + 0 + 1 =57

(111001)2= (57)10

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Unidad - 3

De octal a decimal.

1) Convertir el número (345)8 a decimal

82 81 80 64 8 1

3 4 5

192 32 5

229 3*82 + 4*81 + 5*80 = 192 + 32 + 5 = 22910

(345)8 = (229)10

2) Convertir el número (4647)8 a decimal.

83 82 81 80 512 64 8 1

4 6 4 7

2048 384 32 7

2471 4*83 + 6*82 + 4*81 + 7*80 = 2048 + 384 + 32 + 7 = 2471

(4647)8 = (2471)10

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Unidad - 3

De hexadecimal a decimal.

1) Convertir el número (B22)16 a decimal

B*162 + 2*161 + 2*160

11*256 + 2*16 + 2*1 = 2850 (B22)16= (2850)10

2) Convertir el número (C130)16 a decimal

C*163 + 1*162 + 3*161 + 0*160 12*4096 +1*256 + 3*16 + 0*1 = 49,456

(C130)16=(49,456)10

Ver video tutorial: http://www.youtube.com/watch?v=Adxz0FtLLCc&feature=related

162 161 160 256 16 1

11 2 2

2816 32 2

2850

163 162 161 160 4096 256 16 1

12 1 3 0

49152 256 48 0

49456

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Unidad - 3

De binario a: octal y hexadecimal De binario a octal. Para convertir un número binario a octal, podemos utilizar dos métodos:

� Método de sustitución: En el que primero, se divide la cifra dada en grupos de tres bits y luego, se sustituye ese valor por su equivalente octal, en esta tabla de equivalencias:

DEC. OCTAL BIN.

0 0 000

1 1 001 2 2 010 3 3 011 4 4 100 5 5 101 6 6 110 7 7 111

1) Convertir el número (101100100010)2 a octal.

0102 = 28 1002 = 48 1002 = 48

1012 = 58

(101100100010)2 = (5442)8


1102 = 68

0112 = 38 1112 = 78 1102 = 68

(110111011110)2 = (6736)8

Ver video tutorial: http://www.youtube.com/watch?v=ADeaZtuCNe0

Al dividir la cifra

binaria, debemos

comenzar desde la

derecha.

Tomamos los

resultados

obtenidos en orden

inverso, tal como

indica la flecha.

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Unidad - 3

� Método de suma de potencias. Después que dividimos la cifra binaria en grupos de tres bits, utilizamos este método tal como lo hemos hecho anteriormente, es decir, multiplicando cada dígito por la base (2) elevada a la posición que ocupa el número menos uno, contando de derecha a izquierda, donde el resultado de cada grupo representa un dígito del número octal que buscamos. Ese dígito se obtiene sumando los productos resultantes en cada grupo.


1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0

22 21 20 22 21 20 22 21 20 22 21 20

4 0 1 4 0 0 4 0 0 0 2 0

5 4 4 2

(101100100010)2 = (5442)8


1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0

22 21 20 22 21 20 22 21 20 22 21 20

4 2 0 4 2 1 0 2 1 4 2 0

6 7 3 6

(110111011110)2 = (6736)8

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Unidad - 3

De binario a hexadecimal

Para convertir un número binario a hexadecimal, podemos utilizar dos métodos:

� Método de sustitución: En el que primero, se divide la cifra dada en grupos de cuatro bits y luego, se sustituye ese valor por su equivalente hexadecimal, en esta tabla de equivalencias:


0000 0 0001 1 0010 2 0011 3 0100 4 0101 5 0110 6 0111 7 1000 8 1001 9 1010 A 1011 B 1100 C 1101 D 1110 E 1111 F

1) Convertir el número (110111011110)2 a hexadecimal.

11102 = E16 11012 = D16

11012 = D16

(110111011110)2 = (DDE)16


01002 = 416

10002 = 816

00012 = 116

00102 = 216

(10000110000100)2 = (2184)16

Ver video tutorial: http://www.youtube.com/watch?v=r2XrzadqsW8

Si al dividir la

cifra en grupo de

tres o de cuatro,

en las

conversiones de

binario a octal y a

hexadecimal,

queda un grupo

incompleto como

en este ejemplo,

podemos

completar con

ceros. Es

opcional.

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Unidad - 3

Método de suma de potencias. Después que dividimos la cifra binaria en grupos de cuatro bits, utilizamos este método tal como lo hemos hecho anteriormente, es decir, multiplicando cada dígito por la base (2) elevada a la posición que ocupa el número menos uno, contando de derecha a izquierda, donde el resultado de cada grupo representa un dígito del número que hexadecimal que buscamos. Ese dígito se obtiene sumando los productos resultantes en cada grupo.


1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 23 22 21 20 23 22 21 20 23 22 21 20

8 4 0 1 8 4 0 1 8 4 2 0

13 13 14

(110111011110)2 = (DDE)16


0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 23 22 21 20 23 22 21 20 23 22 21 20 23 22 21 20

0 0 2 0 0 0 0 1 8 0 0 0 0 4 0 0

2 1 8 4

(10000110000100)2 = (2184)16

22



Unidad - 3

De octal y hexadecimal a: binario De octal a binario La conversión de números octales a binarios se hace, siguiendo el mismo método, reemplazando cada dígito octal por los tres bits equivalentes. Por ejemplo, para convertir el número 54428 a binario, tomaremos el equivalente binario de cada uno de sus dígitos.

OCTAL BINARIO

0 000

1 001 2 010 3 011 4 100 5 101 6 110

7 111

1) Convertir el número (5442)8 a binario.

58 = 1012 48 = 1002 48 = 1002

28 = 0102

(5442)8 = (101100100010)2

2) Convertir el número (6736)8 a binario.

68 = 1102 78 = 1112 38 = 0112

68 = 1102

(6736)8 = (110111011110)2

Al escribir el

resultado binario

debemos comenzar

de arriba hacia

abajo.

23



Unidad - 3

De hexadecimal a binario Las conversiones entre números hexadecimales y binarios, podemos hacerla de igual forma, reemplazando cada dígito hexadecimal por los cuatro bits equivalentes. Por ejemplo, para convertir el número BEBE16 a binario, tomaremos el equivalente en el sistema binario de cada uno de sus dígitos.


0000 0 0001 1 0010 2 0011 3 0100 4 0101 5 0110 6 0111 7 1000 8 1001 9 1010 A 1011 B 1100 C 1101 D 1110 E 1111 F

1) Convertir el número (BEBE)16 a binario.

B16 = 10112 E16 = 11102 B16 = 10112

E16 =11102

(BEBE)16 = (1011111010111110)2

2) Convertir el número (9CEA2)16 a binario.

916 = 10012 C16 = 11002 E16 = 11102

A16 = 10102

216 = 00102

(9CEA2)16 = (10011100111010100010)2

Al escribir el

resultado binario

debemos comenzar

de arriba hacia

abajo.

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Unidad - 3

Operaciones con números binarios

Suma de números binarios

Antes de aprender a sumar en binario, debemos memorizar las posibles combinaciones que se dan al sumar en este sistema numérico, de la misma forma en que lo hicimos cuando, de niños, queríamos aprender a sumar en decimal, con la ventaja de que en el binario, las combinaciones posibles, son mucho menos, pues sólo cuenta con dos dígitos, por lo que es más fácil. Las posibles combinaciones se determinan con la siguiente regla: Posibles combinaciones entre números = 2n, donde n= a la base del sistema o lo que es lo mismo, la cantidad de números con que cuenta el sistema. En este caso 2 (0,1), que son los únicos dígitos válidos en el sistema binario. Es decir que:

Posibles Combinaciones= 22=4 Las sumas básicas en binario, entonces, se reflejan en esta tablita:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 10

En esta tabla podemos notar que al sumar 1 + 1 el resultado es 10, que parece 1010, pero sabemos que es 2 en el sistema decimal, que en binario se escribe con dos cifras (10). Esto se hace de la misma forma que lo hacemos en el sistema decimal (9+1=10), acarreando o arrastrando una unidad a la siguiente posición de la izquierda. Como no hay más dígitos, entonces comenzamos a combinar con los que tenemos.

Acarreo: en

aritmética, se

refiere al hecho de

llevar o transferir

un dígito de una

columna a otra.

25



Unidad - 3

1) Sumar las siguientes cifras binarias

1 (acarreo)

(1000100)2 64+ 0+0+0+4+0+0=68 (0100101)2 0 +32+0+0+4+2+1=37 (1101001)2 (105)10, Verificando: 26 25 24 23 22 21 20 64 32 16 8 4 2 1 64+32+ 0 + 8+0+0+1= (105)10,

Cuando hay un 1 en la cadena de bits, quiere decir que es un sí o que está encendido, por tanto el valor correspondiente es incluido en la suma.


1 (acarreo) (1010111)2 64+0+16+0+4+2+1 =87 (0011100)2 0 +0+16+8+4+0+0 =28 (1110011)2 (115)10 Verificando: 26 25 24 23 22 21 20 64 32 16 8 4 2 1 64+32+16+0+0+2+1= (115)10 Otra forma, que tal vez les parezca más sencilla es convertir la operación binaria en una operación decimal, resolver el decimal, y después transformar el resultado en un número binario.


a) 48 110000 b) 78 1001110 17 10001 42 101010 65 1000001 120 1111000 Ver video tutorial: http://www.youtube.com/watch?v=UsI3sLUNeLk

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Unidad - 3

Resta de números binarios Esta operación en sistema binario es igual que en el sistema decimal. Los términos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia. Regla: combinaciones posibles=2n=22=4 Las restas básicas en binario

Cuando restamos nos. Iguales la diferencia=0

Recuerda: 10 es la representación de 2 en binario.

Ejemplo

Minuendo Sustraendo En el primer cuadro, con los números en color rojo tratamos de mostrar cómo cambia el valor de la celda durante el proceso de la operación de la resta que se muestra en el segundo cuadro: Al igual que en el sistema decimal, se comienza a restar desde la derecha: 1-1=0, 1-0=1, luego, aparece la irregularidad 0-1 y al no poder restar 1 de 0, el minuendo le toma 1 prestado a la siguiente columna del sustraendo y se forma el número 10 y decimos 10-1=1, porque 10 en binario es 2 y 2-1=1. El 1 que tomamos prestado se devuelve a la siguiente columna, en la que el 1 devuelto se suma con el 1 de la celda (1+1=10), entonces restamos 1-0=1 y se acarrea o se lleva 1, nuevamente. En la última columna, tenemos que (1-1=0) uno de la celda y uno del acarreo. Ver video tutorial: http://tu.tv/videos/resta-de-numeros-binarios

0 - 0 = 0

1 - 1 = 0

1 - 0 = 1

0 - 1 = 10

1 1 10 1 1

1 0

1+1=10 1 0 1

0 1 1 1 0

1 1 0 1 1

1 1 0 1

0 1 1 1 0

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Unidad - 3

1) Restar las siguientes cifras binarias.

1 (unidad prestada de la posición anterior) (10101)2 16+0+4+0+1=21 (01001)2 0+8+0+0+1= 9 (01100)2 1210

Verificando:

24 23 22 21 20

16 8 4 2 1

0+8+4+0+0=1210 Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores, podemos utilizar los siguientes métodos: �� Dividiendo los números largos en varios grupos. En el siguiente ejemplo,

vemos cómo se divide una resta larga en tres restas cortas: 1 Resta larga 3 restas cortas 100111011101 1001 1101 1101 100010011000 1000 1001 1000 000101000101 0001 0100 0101 �� Utilizando el complemento a dos (C2). El complemento a dos de un número N,

es utilizado, normalmente en las restas de números binarios para convertirlas en suma, con el objetivo de facilitar estas operaciones, que a veces pueden resultar muy complicadas por el acarreo.

Este se obtiene al escribir el sustraendo de derecha a izquierda de forma normal, hasta llegar al primer dígito igual a 1, a partir del cual se invierten los demás dígitos que siguen, es decir, donde hay un cero, se coloca un 1 y viceversa. Este número se le sumará al minuendo de la resta binaria.

28



Unidad - 3


1000010000 1000010000 0010001100 el C2 de 0010001100 es 1101110100 1101110100 0110000100 10110000100 Como vimos en el ejemplo anterior, cuando el sustraendo tiene menos dígitos que el minuendo, se completa con ceros a la izquierda para que tengan la misma cantidad, porque al utilizar el complemento a dos de un número, los sumandos deben tener la misma cantidad de dígitos.

El bit sobrante a la izquierda en el resultado de la suma, se desprecia, ya que el número resultante no puede ser más largo que el minuendo de la resta.


11000011 11000011 00101000 el C2 de 00101000 es 11011000 11011000 10011011 110011011 Para su mejor comprensión ver el siguiente tutorial: Ver video tutorial: http://www.youtube.com/watch?v=crZEBYXNpDQ

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Unidad - 3

Producto de números binarios

Tabla de multiplicar para números binarios:

Recuerda: que multiplicar por 0=0. Y que la unidad es el elemento neutro de la multiplicación.

Para multiplicar números binarios, el procedimiento es igual que con números decimales, pero más fácil, pues sólo usamos los dígitos ceros y unos, que siempre darán como resultado ceros y unos. Veamos:

1) Multiplicar 11100001 por 11.

11100001 11 11100001 11100001 1010100011

2) Multiplicar 110110 por 1011.

110110 1011 110110 110110 000000 110110 1001010010

Ver video tutorial: http://www.youtube.com/watch?v=YHKlkbuwkNo&feature=related

0 x 0 = 0

1 x 1 = 1

1 x 0 = 0

0 x 1 = 0

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Unidad - 3

División de números binarios

Igual que en decimal. Sólo que la resta debe ser expresada.

1) Dividir el número (1000011100)2 entre (1000)2.

1000011100 1000 1000 1000011

000001110

1000

01100 1000 0100

2) Dividir el número (101100001110)2 entre (1001011)2:

101100001110 1001011 1001011 100101 0001101011 1001011 010000010 1001011 0110111

Ver video tutorial: http://www.youtube.com/watch?v=RPQZsPuszBc

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Unidad - 3

Bibliografía Consultada Cisco System, Inc., Tutorial/Manual de Cisco semestre 1, CCNA, módulo Matemática de Redes, edición 2008. http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numeraci%C3%B3n Sitios Webs Sugeridos: http://www.youtube.com/watch?v=KySjjvBEDaA Conversiones Por divisiones sucesivas De decimal a binario http://www.youtube.com/watch?v=aogt_pNmc78&feature=relat De decimal a octal http://www.youtube.com/watch?v=ekKVHguZci4 De decimal a hexadecimal http://www.youtube.com/watch?v=lSnREqik7RI&feature=related Por divisiones sucesivas De decimal a: binario, octal y hexadecimal Por tabla de potencias De binario, octal y hexadecimal a: decimal http://www.youtube.com/watch?v=Adxz0FtLLCc&feature=related Por sustitución De binario a octal

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Unidad - 3

http://www.youtube.com/watch?v=ADeaZtuCNe0

De binario a hexadecimal http://www.youtube.com/watch?v=r2XrzadqsW8 Operaciones Suma de números binarios http://www.youtube.com/watch?v=UsI3sLUNeLk Resta de números binarios http://tu.tv/videos/resta-de-numeros-binarios Complemento a dos http://www.youtube.com/watch?v=crZEBYXNpDQ Multiplicación de números binarios http://www.youtube.com/watch?v=YHKlkbuwkNo&feature=related División de números binarios http://www.youtube.com/watch?v=RPQZsPuszBc

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