Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

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Universitat RegensburgNaturwissenschaftliche Fakultat I- Mathematik -UnendlicheDeterminantenzurBehandlungvonperiodischenDierentialgleichungenDiplomarbeit vonAndreasSchmaugestellt vonProf.Dr.E.Wagenf uhrerRegensburg, 22. Januar 2007InhaltsverzeichnisEinleitung 11 GrundlegendesundNotation 42 NukleareOperatorenundHilbert-Schmidt-Operatoren 102.1 Spektrum und singulare Zahlen kompakter Operatoren . . . . . . . . . 102.2 Nukleare Operatoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 Hilbert-Schmidt-Operatoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 UnendlicheDeterminanten 283.1 Holomorpher Funktionalkalk ul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2 Stetigkeit der regularisierten Determinante . . . . . . . . . . . . . . . 344 LineareDierentialgleichungenundFloquettheorie 424.1 Existenz- und Eindeutigkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.2 Floquettheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455 DeterminantenmethodezurBerechnungderFloquetExponenten 495.1 Struktur der regularisierten Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . 515.2 Konvergenzeigenschaft der unendlichen Determinante . . . . . . . . . . 60Literaturverzeichnis 65EinleitungUnendlicheDeterminanten,d. h.derGrenzwertendlicherAbschnittsdeterminanten,in Zusammenhang mit der Untersuchung periodischer Dierentialgleichungen, tretenerstmals in der ArbeitOnthePartoftheMotionoftheLunarPerigeewhichisaFunction of the Mean Motions of the Sun and Moon[10] von G. W. Hill auf.Die von Hill untersuchte periodische lineare Dierentialgleichung zweiterOrdnung,die sogenannte Hillsche Dierentialgleichung, und die damit verbundene Determinan-tenmethode zur Bestimmung der FloquetschenExponenten- dies sind gewisse kom-plexe Zahlen, welche beispielsweise Auskunft uber die Existenz periodischer Losungengeben - wurde seitdem eingehend untersucht. So konnte die Konvergenz der Methodeverbessert werden (z. B.in [12],[13]) undauf Systemevon Hillschen Dierentialglei-chungen erweitert werden [1].Der allgemeine Fall einer periodischen linearen Dierentialgleichung wurde von R.Denk in[2] untersucht, und eineDeterminantenmethode entwickelt, welche sich aufdie Theorie der Hilbert-Schmidt-Operatorenst utzt.Das Ziel der vorliegendenArbeit ist es, diese Methode vorzustellenundderenfunktionalanalytischenGrundlagen, vorallemdieDeterminantentheorief urHilbert-Schmidt-Operatoren und nukleare Operatoren, zu entwickeln.Das erste Kapitel dient zunachst der Einf uhrung wichtiger Funktionenraume.Anschlieend wird erlautert, wie sich stetige Operatoren in einemHilbertraumH, nach Einf uhrung einer Orthonormalbasis anhand der Fourierentwicklung alsunendliche Matrizen darstellen lassen.Ausgehend von der Spektraltheorie kompakter selbstadjungierter Operatoren, wer-den in Kapitel 2die singularen Zahlen eines kompakten Operator eingef uhrt.Wie Theorem 2.1.10 zeigt, lasst sich jeder kompakte OperatorTnach seinen Sin-gularzahlensj(T) R+entwickeln, d. h. esexistierenOrthonormalsystemen(ej)jund (fj)j , sodassT= j sj(T)', ej`fjgilt.Auf der anderen Seite gestatten die singularen Zahlen eine Klassikation der kom-pakten Operatoren: Ein kompakter Operator ist genau dann Element der sogenanntenSchattenklasseSp(H) (1 p ), falls die Folge seiner Singularzahlen p-summierbarist. F ur die in dieser Arbeit relevanten Falle p = 1 und p = 2 der nuklearen Operatorenbzw. Hilbert-Schmidt-Operatoren wird unter anderem gezeigt, dass diese ein zweiseiti-ges Ideal im Raum der stetigen Operatoren bilden, und Kriterien f ur die Zugehorigkeiteines Operators zu den Schattenklassen o1(H) bzw. o2(H) formuliert.Aufgrund des Zusammenhangs zwischen den Eigenwerten eines kompakten Opera-tors und seinen Singularzahlen, welcher durch die Weylsche Ungleichungn=1[n[pn=1spn (Satz 2.1.17) gegeben ist, erhalt man nun f ur nukleare Operatoren die Kon-vergenz des Produktes det1 (1 T) := j=1 1 j(T). Dies ist die Determinante f urnukleare Operatoren. Analog zum endlichdimensionalen Fall, lasst sich f ur jene aucheine Spur als Summe der Eigenwerte erklaren.Um auch f ur Hilbert- Schmidt- Operatoren eine Determinante denieren zu konnen,mussobigesProduktjedochregularisiert, d.h. umkonvergenzerzeugendeFaktorenEinleitung 2erweitertwerden. DieWeylscheUngleichungzeigtauchhierdieExistenzdersoge-nanntenregularisiertenDeterminantedet2 (1 T) := j=1(1 j(T)) ej(T)f urHilbert-Schmidt-Operatoren.DieregularisierteDeterminante einesdemDierentialgleichungssystemzugeord-netenOperators, wirdinKapitel vierdieGrundlagef urdieDeterminantemethodezur Berechnung der Floquetschen Exponenten bilden.Im dritten Kapitel wird zunachst der holomorphe Funktionalkalk ul entwickelt. Die-ser beschreibt, wie sichvermoge einer holomorphenAbbildung f, einemstetigenOperator Aauf sinnvolleWeiseeinOperator f(A)zuordnenlasst, unduntersuchtdenZusammenhangbeider Spektren. Jener ist durchdenSpektralabbildungssatz(f(T)) = f((T)) gegeben.Unter gewissen Voraussetzungen kann f ur kompakte Operatoren diese Aussage so-gar dahingehend verscharft werden, dass die beiden Folgen der von Null verschiedenenund gema algebraischer Vielfachheit aufgef uhrten Eigenwerte von A bzw. f(A), iden-tisch sind, d. h. j(f(A))j=1 = f(j(A))j=1.DiesesResultatwirdzumBeweisderdarauolgendenStetigkeitsaussagef urdieregularisierte Determinante benotigt. Anhanddieser Aussage kanndie Operator-Determinante auf denGrenzwert endlicher Abschnittsdeterminante, d.h. auf eineunendlicheDeterminantezur uckgef uhrtwerden, undaucheinDeterminantenmulti-plikationsgesetz formuliert werden.Im vierten Kapitel der vorliegenden Arbeit wird die Floquettheorief ur eine Klassevon Dierentialgleichungen entwickelt, deren Koezientenabbildungen nicht notwen-digstetigsind;genauerwirddieDierentialgleichungyt(x)=A(x)y(x)betrachtet,wobeiA() L(R, Cnn) eins- periodisch ist.InSatz 4.2.5 kannanschlieendgezeigt werden, dass ein CgenaudannFloquetscher Exponenten der Dierentialgleichung ist, falls 1 ein Eigenwert des demDierentialgleichungssystem zugeordneten OperatorsBL() ist.DiesstelltdenAusgangspunktf urdieweiterenUberlegungeninKapitel 5 dar.Hierin wird zunachst gezeigt, dass BL() f ur alle C ein Hilbert-Schmidt-Operatorist, und somit die Nullstellen der regularisierten Determinante det2 (1BL()) genaudurch die Floquet Exponenten gegeben sind.Die anschlieende Strukturanalyse des Operators BL() zeigt, dass die (nicht regu-larisierte) unendliche Determinante det (1BL()) existiert, und der Zusammenhangdet (1 BL()) = exp (n(1 ) spA0) det2 (1 BL()) besteht, mitA0 Cnn(vgl.hierzuLemma5.1.4).SomitsinddieFloquetschenExponentenalsodurchdieNullstellen einer unendlichen Determinante gegeben.Ausgehend hiervon kann unter Analyse eines gegen uberBL() leicht modiziertenOperatorsBL(),dasKernresultatderDeterminantenmethodegezeigtwerden:Dieunendliche Determinante det (1 BL()) ist bis auf Normalisierung ein Polynom inexp () (Theorem 5.1.6).Um die Nullstellen der unendlichen Determinante, und somit die Floquetschen Ex-ponentenzubestimmen,gen ugtalsodieDurchf uhrungendlichvielerGrenzwertbe-rechnungen. EinenumerischaufwendigeIntegrationder Dierentialgleichungkannvermieden werden.Als letztes Resultat wird f ur den Fall eines trigonometrischen Polynoms als Koe-zientenabbildung der Dierentialgleichung gezeigt, dass sich die Konvergenzordnungder DeterminantenmethodedurchgeeigneteFaktorenverbessernlasst, undsoderEinleitung 3numerischen Anwendung zuganglich wird.Abschlieend mochte ich mich recht herzlich bei Herrn Prof. Dr. Wagenf uhrer f urdie interessante Themenstellung meiner Diplomarbeit bedanken, welche mich an vieleKonzepte der Mathematik, vorallem der Operatortheorie, herangef uhrt hat.Auch f ur die hervorragende Betreuung und die zahlreichen n utzlichen Hinweise undBemerkungen, mochte ich meinen Dank aussprechen.1 GrundlegendesundNotationWichtigeFunktionenraume. Sei (, A, )einMaraum, undMderRaumallermessbarenAbbildungen vonnach Cn, wobein N sei.F ur 1 p sei die Abbildung ||Lp : M [0, ] gegeben durch|f|Lp :=

[f[pd

1/pf ur 1 p < ess supx[f(x)[ = infNA(N)=0supx\N|f(x)| f urp = Hiermit deniert man f ur 1 p Lp(, Cn) := f M: |f|Lp< .Bekanntlichist(Lp(, Cn), ||Lp)einvollstandigerhalbnormierterRaum(vgl. [4]S. 228, 230). Dass ||LpkeineNorm aufLp(, Cn) induziert, liegt darin begr undet,dass |f g|Lp = 0 lediglichf= g fast uberall1impliziert.Dies gibt Anlass zu einerAquivalenzklassenbildung.Denition1.0.1. F ur 1 p sei(1) Lp(, Cn) := Lp(, Cn)/ , wobeif g :f= g fast uberall(2) ||Lp : Lp(, Cn) [0, ) mit |[f]|Lp := |f|LpDies ist wohldeniert und macht (Lp(, Cn), ||p) zu einem Banachraum (vgl. hier-zu [4] S. 231).Im Weiteren werden dieAquivalenzklassen vonLp(, Cn) als Funktionen gesehen,und mitf Lp(, Cn) anstatt [f] Lp(, Cn) notiert.Lemma1.0.2. F urJ Rkompakt und1 p q istLq(J, Cn) Lp(J, Cn),genauer gilt f urf Lq(J, Cn) (mit der Vereinbarung1= 0) und [J[ := (J)|f|Lp [J[1p1q|f|Lq .Beweis. Die Abschatzung ist f ur den Fallq = leicht zu sehen. Sei alsoq< .Da qqp

1+

qp

1= 1 folgt mit der HolderschenUngleichung

J|f|pd

J|f|q

pq

J1 d

qpq.1Diessollbedeuten,dassdieMenge {x : f(x) = g(x)}dasMaNullhat,d. h.eineNullmengeist.1 GrundlegendesundNotation 5Ein wichtiger Spezialfall des Lp-Raumes ergibt sich f ur den Maraum(Z, P(Z), Z), wobei P(Z) die Potenzmenge von Z undZdas zahlende Ma sei.Dannist Lp=Lp, d. h. dieAquivalenzklassensindalleeinelementigundmanerhalt mitlp(Z, Cn) := Lp(Z, Cn) die Folgenraume(1.1) lp(Z, Cn) = (xk)kZ: xk Cn, |(xk)k|lp< ,wobei|(xk)k|lp =

kZ[xk[p

1/pf ur 1 p < supkZ[xk[ f urp = die Norm auflp(Z, Cn) deniert.Lemma1.0.3. F ur 1 p q istlp(Z, Cn) lq(Z, Cn) und es gilt|x|lq |x|lpx lp(Z, Cn).Beweis. Seizunachstx = (xk)kZ lp(Z, Cn)mit |x|lp= 1angenommen.Wahlehierzu einm Z mit [xk[ [xm[ f ur allek Z. Dann ist [xm[ 1 und folglichk[xk[q [xm[qpk[xk[p 1 ,was die Behauptung f ur |x|lp = 1 zeigt.DerallgemeinenFallergibtsichhierausdurchBetrachtungderFolge xkxlp

kZ.Denitio