Ung Dung Mang Tinh Toan Trong Mot So Bai Toan Hinh Hoc

CHÖÔNG IV. ÖÙNG DUÏNG MAÏNG TÍNH TOAÙN

PHAÀN IVa. ÖÙNG DUÏNG MAÏNG TÍNH TOAÙNTRONG MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN

HÌNH HOÏC

I.- CAÙC TAM GIAÙC :

1. tam giaùc :

Veà maët tính toaùn, chuùng ta coù theå xem tam giaùc laø moät maïng tính toaùn (hay moät ñoái töôïng tính toaùn) bao goàm caùc bieán ghi nhaän giaù trò cuûa caùc yeáu toá trong tam giaùc, vaø caùc quan heä laø caùc coâng thöùc theå hieän moái lieân heä tính toaùn giöõa caùc yeáu toá ñoù.

Taäp caùc bieán trong tam giaùc goàm :· a, b, c : 3 caïnh cuûa tam giaùc (Hình 1.1).· a, b, g : 3 goùc ñoái dieän vôùi 3 caïnh töông öùng trong tam

giaùc (Hình 1.1).· ha, hb, hc : 3 ñöôøng cao töông öùng vôùi 3 caïnh cuûa tam

giaùc (Hình 1.2a).· ma, mb, mc : 3 ñöôøng trung tuyeán töông öùng vôùi 3 caïnh

cuûa tam giaùc (Hình 1.2b). · pa, pb, pc : 3 ñöôøng phaân giaùc trong töông öùng vôùi 3 caïnh

cuûa tam giaùc.· S : dieän tích tam giaùc.· p : nöûa chu vi cuûa tam giaùc.· R : baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc.· r : baùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc.· ra, rb, rc : caùc baùn kính cuûa caùc ñöôøng troøn baøng tieáp

tam giaùc.

47

Hình 1.1

Hình 1.2a. 3 ñöôøng cao Hình 1.2b. 3 ñöôøng trung tuyeán

Caùc heä thöùc cô baûn giöõa caùc yeáu toá cuûa tam giaùc :

· Lieân heä giöõa 3 goùc :f1 : a + b + g = p (radian).

· Ñònh lyù cosin :f2 : a2 = b2 + c2 - 2.b.c.cosaf3 : b2 = a2 + c2 - 2.a.c.cosbf4 : c2 = a2 + b2 - 2.a.b.cosg

· Ñònh lyù Sin :f5 : a

sinbsina b

f6 : csin

bsing b

f7 : asin

csina g

f8 : asin

2Ra

f9 : bsin

2Rb

f10 : csin

2Rg

48

· Lieân heä giöõa nöûa chu vi vaø 3 caïnh :f11 : 2.p = a + b + c

· Caùc coâng thöùc tính dieän tích :f12 : S = a.ha/2f13 : S = b.hb/2f14 : S = c.hc/2f15 : S = p.rf16 : S = p(p a)(p b)(p c)

f17 : S = b.c.sina / 2f18 : S = c.a.sinb / 2f19 : S = a.b.sing / 2

· Caùc coâng thöùc tính ñöôøng cao theo caïnh vaø goùc :f20 : ha = b.singf21 : ha = c.sinbf22 : hb = a.singf23 : hb = c.sinaf24 : hc = a.sinbf25 : hc = b.sina

· Caùc coâng thöùc tính caùc ñöôøng trung tuyeán :f26 : 4.ma2 = 2.b2 + 2.c2 - a2

f27 : 4.mb2 = 2.a2 + 2.c2 - b2

f28 : 4.mc2 = 2.a2 + 2.b2 - c2

· Caùc coâng thöùc tính caùc ñöôøng phaân giaùc trong :f29 : pa = 2

b cb.c.p.(p a)

f30 : pb = 2a c

a.c.p.(p b)

f31 : pc = 2b a

b.a.p.(p c)

· Moät soá coâng thöùc khaùc lieân quan ñeán baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp, ñöôøng troøn noäi tieáp, vaø caùc ñöôøng troøn baøng tieáp :

f32 : R = a.b.c4.S

49

f33 : ra = Sp - a

f34 : rb = Sp - b

f35 : rc = Sp - cf36 : 4.R = ra + rb + rc - r

Ghi chuù : Trong caùc coâng thöùc treân, coù moät soá coâng thöùc coù theå ñöôïc suy ra töø caùc coâng thöùc khaùc. Do ñoù ta coù theå boû bôùt moät soá coâng thöùc. Hôn nöõa, chuùng ta coù theå neâu leân moät thuaät toaùn ñeå laøm toái thieåu hoùa caùc coâng thöùc (hay caùc quan heä) theo moät thöù töï öu tieân naøo ñoù. Tuy nhieân, neáu coù theå nhôù ñöôïc tröïc tieáp nhieàu coâng thöùc thì vieäc tính toaùn seõ coù lôïi hôn.

2. tam giaùc caân :

Tam giaùc caân (khoâng laøm maát tính toång quaùt, ta giaû söû caân taïi A) laø moät tam giaùc coù caùc tính chaát sau ñaây:

g1 : b = cg2 : b = gg3 : hb = hc

g4 : mb = mc

g5 : pb = pc

g6 : rb = rc

g7 : ma = ha

g8 : pa = ha

Ngoaøi ra, Moät soá quan heä trong tam giaùc coù theå ñöôïc vieát laïi nhö sau:

f1 : a + 2b = p (radian).f2 : a2 = 2b2.(1- cosa)f3 : a = 2.b.cosbf4 : a = 2.c.cosg

50

f11 : 2.p = a + 2bf17 : S = b2.sina / 2f26 : 4.ma2 = 4.b2 - a2

f27 : 4.mb2 = 2.a2 + b2

f28 : 4.mc2 = 2.a2 + c2

f29 : pa = p.(p a)

f32 : R = a.b4.S

2

f36 : 4.R = ra + 2.rb - r

3. tam giaùc vuoâng :

Khoâng laøm maát tính toång quaùt, ta giaû söû tam giaùc vuoâng coù caïnh huyeàn laø a. Nhö theá, ngoaøi nhöõng heä thöùc ñaõ bieát trong tam giaùc noùi chung ta coøn coù :

g1 : a = p/2 (a ñaõ xaùc ñònh)

Ngoaøi ra moät soá quan heä coù theå ñöôïc vieát laïi nhö sau:

f1 : b + g = p/2 (radian).f2 : a2 = b2 + c2 (ñònh lyù Pitago)f3 : c = a.cosbf4 : b = a.cosgf5 : b = a.sinbf7 : c = a.singf8 : a = 2.Rf17 : S = b.c/2f23 : hb = cf25 : hc = bf26 : 2.ma = af27 : 4.mb2 = b2 + 4.c2 f28 : 4.mc2 = c2 + 4.b2

4. tam giaùc vuoâng caân :

Tam giaùc vuoâng caân (vôùi caïnh ñaùy tam giaùc caân laø a) laø moät tam giaùc coù :

51

g1 : b = c,g2 : a = p/2.

Ngoaøi ra moät soá (nhoùm) quan heä trong tam giaùc coù theå ñöôïc thay theá bôûi nhoùm quan heä khaùc coù hieäu quaû hôn trong vieäc söû duïng.

Caùc quan heä töø f1 ñeán f10 ñöôïc thay theá bôûi caùc quan heä sau :

f1 : b = p/4 (radian)f2 : g = p/4 (radian)f3 : a = b 2f4 : a = c 2f5 : a = 2.R


f11 : 2.p = a(1+ 2 )f12 : ha = a/2f13 : hb = cf14 : hc = bf15 : S = a2 /4f16 : S = b2 /2f17 : S = c2 /2f18 : S = p.r


f26 : ma = a/2f27 : 4.mb2 = 5a2 /2f28 : mc = mb

Quan heä f29 ñeán f31 ñöôïc thay theá bôûi:

f29 : pa = a/2

52

f30 : pb = a 2 2 1( )

f31 : pc = pb

5. tam giaùc ñeàu :

Tam giaùc ñeàu laø moät tam giaùc coù :

g1 : a = bg2 : b = c

Taát caû caùc quan heä töø f1 ñeán f36 coù theå ñöôïc thay theá bôûi caùc quan heä sau :

f1 : a = p/3 (radian)f2 : b = p/3 (radian)f3 : g = p/3 (radian)f4 : R = a 3

3

f5 : p = 3a2

f6 : S = 2a 34

f7 : ha = a 32

f8 : hb = ha

f9 : hc = ha

f10 : ma = a 32

f11 : mb = ma

f12 : mc = ma

f13 : pa = a 32

f14 : pb = pa

f15 : pc = pa

f16 : r = a 36

f17 : ra = a 32

f18 : rb = ra

53

f19 : rc = ra

II.- CAÙC TÖÙ GIAÙC :

1. töù giaùc (loài) toång quaùt :

Veà maët tính toaùn, chuùng ta coù theå xem töù giaùc laø moät maïng tính toaùn (hay moät ñoái töôïng tính toaùn) bao goàm caùc bieán ghi nhaän giaù trò cuûa caùc yeáu toá trong tam giaùc, vaø caùc quan heä laø caùc coâng thöùc theå hieän moái lieân heä tính toaùn giöõa caùc yeáu toá ñoù.

Hình 2.1. Töù giaùc ABCD.

Taäp caùc bieán thöôøng ñöôïc xem xeùt trong töù giaùc goàm :· a, b, c, d : 3 caïnh cuûa tam giaùc (Hình 2.1).· A, B, C, D : 4 goùc trong cuûa töù giaùc .· AC, BD : 2 ñöôøng cheùo cuûa töù giaùc.· S : dieän tích töù giaùc.· p : chu vi cuûa töù giaùc.· R : baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp töù giaùc (neáu coù).· r : baùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp töù giaùc (neáu coù).

Caùc heä thöùc cô baûn giöõa caùc yeáu toá cuûa töù giaùc :

f1 : A + B + C + D = 2pf2 : p = a+b+c+df3 : 2.S = a.d.sinA + b.c.sinCf4 : 2.S = a.b.sinB + c.d.sinD

54

Ghi chuù : Ñeå coù theå giaûi töù giaùc ñöôïc hieäu quaû hôn ta coù theå ñaët töù giaùc trong moät maïng lieân heä vôùi 4 tam giaùc (ABD, CBD, BAC, DAC). Kyù hieäu töù giaùc laø O1, vaø kyù hieäu 4 tam giaùc laàn löôït laø O2, O3, O4, O5. Khi ñoù maïng tính toaùn goàm 5 ñoái töôïng O1, O2, O3, O4, O5 coù caùc quan heä sau ñaây :

O2.a = O1.BDO2.b = O1.dO2.c = O1.aO2.a = O1.A

O3.a = O1.BDO3.b = O1.cO3.c = O1.bO3.a = O1.C

O4.a = O1.ACO4.b = O1.bO4.c = O1.aO4.a = O1.B

O5.a = O1.ACO5.b = O1.cO5.c = O1.dO5.a = O1.D

O1.A = O4.b + O5.bO1.B = O2.b + O3.bO1.C = O4.g + O5.gO1.D = O2.g + O3.g

O1.S = O2.S + O3.SO1.S = O4.S + O5.S

Ngoaøi ra ta coøn moät caùch thöù hai laø ñaët töù giaùc trong moái lieân heä vôí 4 tam giaùc OAB, OBC, OCD, ODA (trong ñoù O laø giao ñieåm cuûa 2 ñöôøng cheùo).

2. hình thang, thang caân, thang vuoâng :

55

a/ Hình thang (vôùi 2 caïnh ñaùy laø AD vaø BC) laø moät töù giaùc coù tính chaát sau :

g1 : A + B = pg2 : C + D = p

(hai tính chaát naày thay theá cho quan heä f1 trong töù giaùc)

Hình 2.2. hình thang ABCD.

Ngoaøi ra trong hình thang ta coøn quan taâm ñeán ñöôøng cao ha

(hình 2.1). Taát nhieân ñöôøng cao ha naày truøng vôùi ñöôøng cao hb

cuûa tam giaùc ABD, vaø cuõng truøng vôùi ñöôøng cao hb cuûa tam giaùc BAC. Do ñoù ta coù :

g3 : S = (b + d).ha /2

Trong moái lieân heä vôùi 4 tam giaùc nhö ñaõ noùi ôû nhaän xeùt phía treân ta coøn coù :

O1.ha = O2.hb

O1.ha = O4.hb

b/ Hình thang caân : laø moät hình thang coù theâm caùc tính chaát :

g4 : a = cg5 : B = Cg6 : A = D

56

Hình 2.3. Hình thang caân

Hình thang caân coøn coù moät voøng troøn ngoaïi tieáp truøng vôùi caùc voøng troøn ngoaïi tieáp cuûa 4 tam giaùc (ABD, CBD, BAC, DAC) coù lieân heä vôùi töù giaùc. Töø ñoù ta coù :

O1.R = O2.RO1.R = O3.RO1.R = O4.RO1.R = O5.R

c/ Hình thang vuoâng : laø moät hình thang coù theâm caùc tính chaát :

g4 : A = p /2g5 : B = p /2g6 : a = ha

Hình 2.4. Hình thang vuoâng

Ghi chuù : Trong tröôøng hôïp naày (töù giaùc laø hình thang caân) thì trong 4 tam giaùc lieân heä vôùi töù giaùc coù 2 tam giaùc vuoâng : tam giaùc ABD vaø tam giaùc BAC.

3. hình bình haønh :

57

Hình 2.5. Hình bình haønh

Hình bình haønh laø moät töù giaùc coù theâm caùc tính chaát sau :

g1 : a = cg2 : b = d

Töø ñoù taát caû caùc quan heä trong moät töù giaùc bình thöôøng coù theå ñöôïc thay theá bôûi

g3 : A = Cg4 : B = Dg5 : A + B = pg6 : C + D = pg7 : p = 2.(a+b)g8 : S = a.b.sinAg9 : S = a.b.sinB

Ghi chuù : Trong lieân keát töù giaùc (kyù hieäu O1) vôùi 4 tam giaùc töông öùng (kyù hieäu O2, O3, O4, O5), thì ñoái vôùi hình bình haønh ta coøn coù caùc quan heä sau ñaây :

O2.ma = O1.AC / 2 // trung tuyeán tam giaùc ABD = nöûa ñöôøng cheùo AC

O3.ma = O1.AC / 2 // trung tuyeán tam giaùc CBD = nöûa ñöôøng cheùo AC

O4.ma = O1.BD / 2 // trung tuyeán tam giaùc BAC = nöûa ñöôøng cheùo BD

O5.ma = O1.BD / 2 // trung tuyeán tam giaùc DAC = nöûa ñöôøng cheùo BD

4. hình thoi :

58

Hình 2.6. Hình thoi

Hình thoi laø moät töù giaùc coù 4 caïnh baèng nhau. Töø ñoù, Taát caû caùc quan heä giöõa caùc yeáu toá trong moät töù giaùc bình thöôøng seõ ñöôïc thay theá bôûi caùc quan heä sau ñaây :

f1 : a = bf2 : b = cf3 : c = df4 : d = a

f5 : A = Cf6 : B = Df7 : A + B = pf8 : C + D = p

f9 : S = a2.sinAf10 : S = a2.sinBf11 : S = a2.sinCf12 : S = a2.sinDf13 : S = AC.BD / 2f14 : p = 4.a

Ngoaøi ra, 4 tam giaùc lieân keát vôùi hình thoi ñeàu laø tam giaùc caân vaø ta cuõng coù caùc quan heä töông töï nhö ñoái hình bình haønh :

O2.ma = O1.AC / 2 // trung tuyeán tam giaùc ABD = nöûa ñöôøng cheùo AC

O3.ma = O1.AC / 2 // trung tuyeán tam giaùc CBD = nöûa ñöôøng cheùo AC

59

O4.ma = O1.BD / 2 // trung tuyeán tam giaùc BAC = nöûa ñöôøng cheùo BD

O5.ma = O1.BD / 2 // trung tuyeán tam giaùc DAC = nöûa ñöôøng cheùo BD

Hình thoi coøn coù moät voøng troøn noäi tieáp vaø moät ñöôøng cao. Goïi baùn kính voøng troøn noäi tieáp laø r, ñöôøng cao laø h, ta coù caùc heä thöùc :

f15 : h = 2.rf16 : S = a.h

5. hình chöõ nhaät :

Hình 2.7. Hình chöõ nhaät

Hình chöõ nhaät laø moät töù giaùc coù 3 goùc vuoâng. Töø ñoù, Taát caû caùc quan heä giöõa caùc yeáu toá trong moät töù giaùc bình thöôøng seõ ñöôïc thay theá bôûi caùc quan heä sau ñaây :

f1 : A = p / 2f2 : B = p / 2f3 : C = p / 2f4 : D = p / 2f5 : a = cf6 : b = df7 : AC = BDf8 : AC2 = a2 + b2

f9 : S = a.bf10 : p = 2.(a+b)

6. hình vuoâng :

60

Hình vuoâng laø moät töù giaùc coù ñaày ñuû caùc tính chaát cuûa hình thoi vaø hình chöõ nhaät. Nhö vaäy, trong hình vvuoâng ta chæ caàn coù caùc quan heä sau ñaây:

f1 : A = p / 2f2 : B = p / 2f3 : C = p / 2f4 : D = p / 2f5 : c = af6 : b = af7 : d = af8 : AC = a 2 f9 : BD = a 2 f10 : S = a2

f11 : p = 4.a

III.- CAÙC LUAÄT BIEÁN ÑOÅI :

Giöõa caùc ñoái töôïng hình hoïc trình baøy ôû treân coù moät soá luaät bieán ñoåi maø ta coù theå aùp duïng trong quaù trình tính toaùn.

1. Moät soá luaät lieân quan ñeán tam giaùc :

L1 : Tam giaùc coù hai caïnh baèng nhau laø tam giaùc caânL2 : Tam giaùc coù 2 goùc baèng nhau laø tam giaùc caânL3 : Tam giaùc coù ñöôøng cao vaø trung tuyeán töông öùng

baèng nhau laø tam giaùc caânL4 : Tam giaùc coù ñöôøng cao vaø ñöôøng phaân giaùc trong

töông öùng baèng nhau laø tam giaùc caânL5 : Tam giaùc coù trung tuyeán vaø ñöôøng phaân giaùc

trong töông öùng baèng nhau laø tam giaùc caânL6 : Tam giaùc coù moät goùc vuoâng laø tam giaùc vuoâng.L7 : Tam giaùc coù bình phöông moät caïnh baèng toång bình

phöông cuûa hai caïnh kia laø tam giaùc vuoâng.L8 : Tam giaùc coù moät goùc vuoâng vaø hai caïnh keà goùc

vuoâng baèng nhau laø tam giaùc vuoâng caân.

61

L9 : Tam giaùc vuoâng coù hai caïnh keà goùc vuoâng baèng nhau laø tam giaùc vuoâng caân.

L10 : Tam giaùc caân goùc ñænh laø goùc vuoâng laø tam giaùc vuoâng caân.

L11 : Tam giaùc coù 3 caïnh baèng nhau laø tam giaùc ñeàu.L12 : Tam giaùc coù 3 goùc baèng nhau laø tam giaùc ñeàu.L13 : Tam giaùc caân coù moät goùc baèng (p / 3) laø tam giaùc

ñeàu.

2. Moät soá luaät lieân quan ñeán töù giaùc :

L1 : Moät töù giaùc coù theå ñöôïc bieán ñoåi thaønh moät maïng goàm töù giaùc ñoù vaø 4 tam giaùc.

L2 : Moät töù giaùc coù hai goùc keà moät caïnh (hay goùc lieân tieáp) buø nhau laø moät hình thang.

L3 : Moät hình thang coù hai caïnh beân baèng nhau laø moät hình thang caân.

L4 : Moät hình thang coù hai goùc keà moät caïnh ñaùy baèng nhau laø moät hình thang caân.

L5 : Moät hình thang coù moät goùc vuoâng laø moät hình thang vuoâng.

L6 : Moät töù giaùc coù caùc caïnh ñoái dieän baèng nhau töøng ñoâi moät laø moät hình bình haønh.

L7 : Moät töù giaùc coù caùc goùc ñoái dieän baèng nhau töøng ñoâi moät laø moät hình bình haønh.

L8 : Moät töù giaùc coù 4 caïnh baèng nhau laø moät hình thoi.L9 : Moät hình bình haønh coù hai caïnh lieân tieáp baèng

nhau laø moät hình thoi.L10 : Moät hình bình haønh coù moät goùc vuoâng laø moät

hình chöõ nhaät.L11 : Moät hình chöõ nhaät coù hai caïnh lieân tieáp baèng nhau

laø moät hình vuoâng.L12 : Moät hình thoi coù moät goùc vuoâng laø moät hình

vuoâng.

IV.- MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN CUÏ THEÅ :

62

Trong muïc naày chuùng ta xeùt moät soá baøi toaùn aùp duïng lyù thuyeát maïng tính toaùn ñaõ trình baøy trong chöông II vaø chöông III.

1. Giaûi tam giaùc :

Nhö ñaõ noùi ôû treân, chuùng ta xeùt moät tam giaùc bao goàm 22 yeáu toá. Giöõa caùc yeáu toá cuûa tam giaùc coù caùc quan heä cho pheùp ta coù theå tính ra ñöôïc caùc yeáu toá caàn thieát trong tam giaùc töø giaû thieát raèng ñaõ bieát moät soá yeáu toá naøo ñoù cuûa tam giaùc. Nhôø vaøo lyù thuyeát veà maïng tính toaùn ta coù theå caøi ñaët moät chöông trình ñeå giaûi tam giaùc.

Khi ta cho bieát moät soá yeáu toá cuûa tam giaùc vaø yeâu caàu tính ra moät soá yeáu toá khaùc, chöông trình seõ cho chuùng ta moät lôøi giaûi (neáu baøi toaùn laø giaûi ñöôïc). Trong tröôøng hôïp baøi toaùn khoâng giaûi ñöôïc thì chöông trình seõ thoâng baùo ñeå ta cho theâm döõ kieän hoaëc ñieàu chænh laïi baøi toaùn.

Ví duï 1 :Trong tam giaùc ABC giaû söû ñaõ bieát caïnh a, goùc b, goùc g.

Haõy tính caùc caïnh coøn laïi (caïnh b vaø caïnh c) vaø ñöôøng cao ha. Nhö vaäy ta coù :

Giaû thieát : {a, b, g}Tính caùc bieán : {b, c, ha}

Aùp duïng thuaät toaùn tìm lôøi giaûi ta coù lôøi giaûi goàm caùc böôùc tính toaùn nhö sau :

Tính : a (aùp duïng f1)Tính : b (aùp duïng f5)Tính : c (aùp duïng f6)Tính : ha (aùp duïng f20)

Ví duï 2 :Trong tam giaùc, giaû söû ñaõ bieát caïnh b, caïnh c, goùc a.

Haõy tính caùc ñöôøng trung tuyeán trong tam giaùc : ma, mb, mc.

63

David Bussmann, 01/03/-1,

*Tính :R(aùp duïng f8) *Tính :p(aùp duïng f11) *Tính :S(aùp duïng f16)

Giaû thieát : {b, c, a}Yeâu caàu tính : {ma, mb, mc}


Tính : a (aùp duïng f2)Tính : ma (aùp duïng f26)Tính : mb (aùp duïng f27)Tính : mc (aùp duïng f28)

Ví duï 3 :Trong tam giaùc, giaû söû ñaõ bieát caïnh b, caïnh c, goùc b.

Haõy tính nöûa chu vi p vaø dieän tích S cuûa tam giaùc.

Giaû thieát : {b, c, b}Yeâu caàu tính : {p, S}


Tính : g (aùp duïng f6)Tính : R (aùp duïng f9)Tính : ha (aùp duïng f20)Tính : a (aùp duïng f1)Tính : a (aùp duïng f2)Tính : p (aùp duïng f11)Tính : S (aùp duïng f12)

2. Giaûi töù giaùc :

Nhö ñaõ trình baøy trong muïc II, chuùng ta xeùt moät töù giaùc bao goàm moät soá yeáu toá nhö sau : 4 caïnh, 4 goùc trong, 2 ñöôøng cheùo, dieän tích, chu vi cuûa töù giaùc, baùn kính voøng troøn ngoaïi tieáp (neáu coù), baùn kính voøng troøn noäïi tieáp (neáu coù). Giöõa caùc yeáu toá cuûa töù giaùc coù caùc quan heä cho pheùp ta coù theå tính ra ñöôïc caùc yeáu toá caàn thieát trong töù giaùc töø giaû thieát raèng ñaõ bieát moät soá yeáu toá naøo ñoù cuûa noù. Nhôø vaøo lyù thuyeát veà maïng tính toaùn, maïng tính

64

David Bussmann, 01/03/-1,

Tính :((aùp duïng f3) Tính :((aùp duïng f4) Tính :R(aùp duïng f8) Tính :p(aùp duïng f11) Tính :S(aùp duïng f16) Tính :ha(aùp duïng f20) Tính :hb(aùp duïng f22) Tính :hc(aùp duïng f24)

toaùn caùc ñoái töôïng ta coù theå caøi ñaët moät chöông trình ñeå giaûi töù giaùc.

Vôùi caùc quan heä chung maø ta ñaõ bieát giöõa caùc yeáu toá trong töù giaùc (f1, f2, f3, f4) chöa ñuû ñeå giaûi töù giaùc. Ví duï : cho töù giaùc coù 4 caïnh vaø moät goùc ñaõ bieát tröôùc, haõy tính dieän tích cuûa töù giaùc. Neáu chæ söû duïng 4 quan heä ñaõ neâu trong muïc II.1 thì ta khoâng theå tìm ñöôïc lôøi giaûi cho baøi toaùn naày.

Do ñoù ñeå giaûi töù giaùc, ngoaøi tri thöùc tính toaùn cuûa baûn thaân töù giaùc (4 quan heä) ta caàn söû duïng theâm tri thöùc veà söï lieân heä giöõa töù giaùc vaø caùc tam giaùc. Veà maët naày ta coù theå xem xeùt töù giaùc trong moái lieân heä vôùi 4 tam giaùc töông öùng cuûa töù giaùc (moãi tam giaùc trong 4 tam giaùc naày coù 3 ñænh truøng vôùi 3 ñænh cuûa töù giaùc. Töø ñoù ta coù theâm kieán thöùc ñeå giaûi töù giaùc.

Veà maët caøi ñaët, chöông trình giaûi töù giaùc seõ xöû lyù tính toaùn treân moät maïng goàm 1 töù giaùc vaø 4 tam giaùc. Khi ta cho bieát moät soá yeáu toá cuûa töù giaùc vaø yeâu caàu tính ra moät soá yeáu toá khaùc, chöông trình seõ cho chuùng ta moät lôøi giaûi daïng goïn (neáu baøi toaùn laø giaûi ñöôïc). Trong tröôøng hôïp baøi toaùn khoâng giaûi ñöôïc thì chöông trình seõ thoâng baùo ñeå ta cho theâm döõ kieän hoaëc ñieàu chænh laïi baøi toaùn.

Ví duï 1 :Trong moät töù giaùc ABCD, cho bieát 4 caïnh AB, BC, CD, DA,

vaø goùc A. Haõy tính dieän tích S cuûa töù giaùc.

Theo kyù hieäu trong muïc II.1, ta duøng O1 ñeå chæ töù giaùc ABCD (xem nhö moät ñoái töôïng tính toaùn). Theo ñeà baøi ta coù giaû thieát laø :

{a, b, c, d, A},muïc tieâu caàn tính toaùn laø :

{ S }.

Ñaët töù giaùc O1 (töù giaùc ABCD) trong maïng tính toaùn lieân heä vôùi 4 ñoái töôïng tam giaùc :

O2 : tam giaùc ABD,

65

O3 : tam giaùc CBD,O4 : tam giaùc BAC,O5 : tam giaùc DAC.

Ta coù maïng tính toaùn goàm 5 ñoái töôïng O1, O2, O3, O4, O5. Trong O1 ta coù 4 quan heä O1.f1, O1.f2, O1.f3, O1.f4. Veà moái lieân heä giöõa caùc ñoái töôïng treân ta coù caùc quan heä sau ñaây :

f1 : O2.a = O1.BDf2 : O2.b = O1.df3 : O2.c = O1.af4 : O2.a = O1.A

f5 : O3.a = O1.BDf6 : O3.b = O1.cf7 : O3.c = O1.bf8 : O3.a = O1.C

f9 : O4.a = O1.ACf10 : O4.b = O1.bf11 : O4.c = O1.af12 : O4.a = O1.B

f13 : O5.a = O1.ACf14 : O5.b = O1.cf15 : O5.c = O1.df16 : O5.a = O1.D

f17 : O1.A = O4.b + O5.bf18 : O1.B = O2.b + O3.bf19 : O1.C = O4.g + O5.gf20 : O1.D = O2.g + O3.g

f21 : O1.S = O2.S + O3.Sf22 : O1.S = O4.S + O5.S

Nhö theá trong moâ hình maïng tính toaùn caùc ñoái töôïng cuûa baøi toaùn ñaët ra ta coù :

66

1/ taäp caùc ñoái töôïng :O = { O1, O2, O3, O4, O5}.

2/ taäp caùc quan heä (giöõa caùc ñoái töôïng) :F = { f1, f2, . . . , f21, f22}.

3/ taäp caùc bieán ñöôïc xem xeùt :M = { O1.a, O1.b, O1.c, O1.d, O1.A, O1.B, O1.C, O1.D, O1.S,

O1.BD, O1.AC,O2.a, O2.b, O2.c, O2.a, O2.b, O2.g, O2.S,O3.a, O3.b, O3.c, O3.a, O3.b, O3.g, O3.S,O4.a, O4.b, O4.c, O4.a, O4.b, O4.g, O4.S,O5.a, O5.b, O5.c, O5.a, O5.b, O5.g, O5.S}

4/ Giaû thieát (taäp bieán ñaõ bieát):A = { O1.a, O1.b, O1.c, O1.d, O1.A }

5/ Muïc tieâu tính toaùn (taäp bieán caàn tính) :B = { O1.S }

Giaûi theo thuaät toaùn 3.2 (chöông 3, muïc III) ta coù quaù trình xem xeùt caùc quan heä ñeå tìm lôøi giaûi nhö sau :

Giaû thieát : { O1.a, O1.b, O1.c, O1.d, O1.A }

Laàn löôït thöû aùp duïng caùc quan heä giöõa caùc ñoái töôïng ta tính ñöôïc :

O2.b, nhôø aùp duïng f2

O2.c, nhôø aùp duïng f3

O2.a, nhôø aùp duïng f4






O5. c, nhôø aùp duïng f15

Laàn löôït xeùt caùc ñoái töôïng theo thöù töï O1, O2, O3, O4, O5 ta tính ñöôïc :

O2.a, O2.b, O2.g, O2.S, nhôø aùp duïng O2.

67

Laïi xeùt caùc quan heä giöõa caùc ñoái töôïng ta tính ñöôïc :

O1.BD, nhôø aùp duïng f1

O3.a, nhôø aùp duïng f5

Laïi xeùt caùc ñoái töôïng theo thöù töï O1, O2, O3, O4, O5 ta tính ñöôïc :

O3.a, O3.b, O3.g, O3.S, nhôø aùp duïng O3.

Laïi xeùt caùc quan heä giöõa caùc ñoái töôïng ta tính ñöôïc :

O1.C, nhôø aùp duïng f8

O1.D, nhôø aùp duïng f20

O1.S, nhôø aùp duïng f21

Ñeán ñaây ta ñaõ ñaït ñöôïc muïc tieâu caàn tính toaùn, vaø coù moät lôøi giaûi nhö sau :

{ f2, f3, f4, f6, f7, f10, f11, f14, f15, O2, f1, f5, O3, f8, f20, f21 }.

Aùp duïng thuaät toaùn 3.3 chuùng ta ruùt ra ñöôïc moät lôøi giaûi toát nhö sau :

{ f2, f3, f4, f6, f7, O2, f1, f5, O3, f21 }.

Theo lôøi giaûi naày, quaù trình tính toaùn dieän tích S cuûa töù giaùc nhö sau :

Tính O2.b, (caïnh AD) aùp duïng f2

Tính O2.c, (caïnh AB) aùp duïng f3

Tính O2.a, (goùc A) aùp duïng f4

Tính O3.b, (caïnh CD) aùp duïng f6

Tính O3.c, (caïnh CB) aùp duïng f7

Tính O2.a,O2.S, (caïnh BD,dieän tích tam giaùc ABD) aùp duïng O2

Tính O1.BD, (ñöôøng cheùo BD cuûa töù giaùc) aùp duïng f1

Tính O3.a, (caïnh BD cuûa tam giaùc CBD) aùp duïng f5

Tính O3.S, (dieän tích tam giaùc CBD) aùp duïng O3

68

Tính O1.S, (dieän tích töù giaùc ACBD) aùp duïng f21.

Töông töï nhö trong ví duï 1 ôû treân chuùng ta coøn coù theå giaûi ñöôïc nhieàu tröôøng hôïp khaùc cuûa töù giaùc, chaúng haïn nhö caùc ví duï sau ñaây :

Ví duï 2 :Trong töù giaùc ABCD, giaû söû ñaõ bieát caùc caïnh AB, DA,

caùc goùc A, B, D. Haõy tính ñoä daøi caùc ñöôøng cheùo AC, BD.

Ví duï 3 :Trong töù giaùc ABCD, giaû söû ñaõ bieát caùc caïnh AB, BC, CD,

vaø 2 ñöôøng cheùo AC, BD. Haõy tính chu vi vaø dieän tích cuûa töù giaùc.

69

Documents

Ung Dung Mang Tinh Toan Trong Mot So Bai Toan Hinh Hoc