Unidad V. ReticuladosOrdenamiento de los elementosTeora de grafos 2-2010UNEFA Ncleo MridaIng. Josmary FernndezIng. Lucileima Rosales

Ordenacin parcialUn orden parcial es una relacin binaria R sobre un conjunto X, que cumple las propiedades: Reflexiva: R es reflexiva siia A aRa Antisimtrica: R es antisimtrica siia, b A, existe aRb a!=b bRa Transitiva: R es transitiva sii a, b, c A, existe aRbbRc aRc

Conjunto parcialmente ordenadoUn conjunto con un orden parcial se denomina conjunto parcialmente ordenado o poset. Formalmente, un conjunto parcialmente ordenado (c.p.o.) es un par (X,) donde es un orden parcial en X.Usualmente se usa la notacin de "" en lugar de "R" para el orden parcial.

Observacin:Si (X, ) es un c.p.o., dos elementos x, y X son comparables si xy o yx. Si todos los pares de elementos de X son comparables entonces se dice que es un orden lineal (o total) y que (X, ) es un conjunto linealmente ordenado.

Ejemplos: El conjunto de los naturales con su orden usual (la relacin menor o igual). Este orden es adems un orden total. El conjunto de los enteros con su orden usual. Este orden es tambin total. Un subconjunto finito {1, 2,..., n} de los naturales. Este orden es tambin total. El conjunto de naturales ordenado por la relacin de divisibilidad.

Ejercicio:Sea T={a,b,c,d,e,f,g} la lista de tareas para realizar un trabajo, de las que se sabe que unas preceden inmediatamente a otras de la siguiente forma: fa, fd, eb, cf, ec, bf, eg,gf. Hallar el orden parcial. Qu tareas pueden realizarse independientemente?. Construir un orden si el trabajo lo realiza slo una persona.

Diagrama de HasseEl diagrama de Hasse de un conjunto ordenado finito es una representacin del mismo en la que cada elemento se representa por un punto del plano. Si aRb se dibuja a por debajo y se une por medio de un segmento. Finalmente se suprimen los segmentos que corresponden a la propiedad transitiva, es decir, si aRb y bRc se suprime el segmento correspondiente a aRc.

Ejemplos:1.- Consideramos el conjunto ordenado {1,2}. Entonces el diagrama de Hasse sera:

Figura 1. Diagrama de Hasse para el conjunto {1,2}

2.- Diagramas de Hasse del conjunto ordenado {1,2,3}:

Figura 2. Diagrama de Hasse para el conjunto {1,2}

3.- Diagramas de Hasse del conjunto ordenado D(30).

Figura 3. Diagrama de Hasse para el conjunto D(30)

Ejercicios: Representar el diagrama de Hasse de los siguientes conjuntos ordenados y hallar los elementos notables de los subconjuntos sealados: a) (D60, | ), A={2,5,6,10,12,30} y B={2,3,6,10,15,30} b) (D48, | ), A={2,4,6,12} y B={3,6,8,16} c) (D40, | ), A={4,5,10} y B={2,4,8,20}

Elementos maximales y minimalesSea (X; ) un conjunto ordenado:1. Un elemento xX se dice que es maximal, si no existe yX tal que xy y x!=y.2. Un elemento xX se dice que es minimal, si no existe yX tal que yx y x!=y.

Ejemplo:Para el diagrama de Hasse de la Figura 4, seale los elementos maximales y minimales.

Figura 4. Diagrama de Hasse para el conjunto {a,b,c,d,e,f,g,h,i,j}

Con este orden definido, se tiene que:he pues tenemos un camino h-f-e que empieza en h y termina en e.i a, pues el camino i-g-d-a que empieza en i y termina en a.i e, pues ningn camino empieza en i y termina en e.

Se tiene adems, que a y b son elementos maximales, pues no hay ningn elemento que sea mayor que ellos. Por su parte, el elemento j es un elemento minimal.

Ejercicios:Hallar los elementos maximales y minimales para los conjuntos con el orden dado por el diagrama de Hasse de los ejercicios definidos en la seccin Diagrama de Hasse.

Cota superior (Juntura-Join), cota inferior (Encuentro-Meet), supremo e nfimoSea (X; ) un conjunto ordenado, e Y un subconjunto de X. Consideramos en Y el orden inducido de X.1. Un elemento xX se dice que es cota superior de Y si xy para todo yY .2. Un elemento xX se dice que es supremo de Y si es el mnimo del conjunto de las cotas superiores de Y.De la misma forma se define lo que es una cota inferior y un nfimo.

Ejemplo:Si X = {a,b,c,d,e,f,g,h,i,j }con el orden dado en la figura 4, e Y ={c,d,f,g,h} entonces:

El conjunto de las cotas superiores de Y es {a}.Puesto que este conjunto tiene mnimo, que es a, entonces a es el supremo de Y.Los elementos c y d son elementos maximales de Y.El conjunto de las cotas inferiores es {h,j}.De estas, h es el mximo, luego h es el nfimo de Y.h es adems el nico elemento minimal de Y .

Ejercicios:Hallar la cota superior, inferior, supremo e nfimo, de los ejercicios descritos en la seccin Diagrama de Hasse, respecto al subconjunto B.

ReticuladosUn retculo es un conjunto ordenado, (L; ) en el que cualquier conjunto finito tiene supremo e nfimo.Si (L; ) es un retculo y x,y L, denotaremos por xy al supremo del conjunto {x,y} y por x y al nfimo del conjunto {x,y}.

Observacin Si (L; ) es un retculo, las operaciones y satisfacen las siguientes propiedades:

Ejemplos: Si X es un conjunto totalmente ordenado, entonces X es un retculo. El conjunto ordenado (N,|) es un retculo. En este caso se tiene que xy = mcm(x,y) mientras que xy = mcd(x,y). Si V es un K-espacio vectorial, el conjunto de los subespacios vectoriales de V es un retculo, con el orden dado por la inclusin. Aqu, dado dos subespacios vectoriales V1 y V2 se tiene que V1V2 = V1+V2 mientras que V1V2 = V1V2. El conjunto representado por el diagrama de Hasse de la figura 5, es un retculo. Se tiene, por ejemplo: cd = f, cd = a, bc = f, bc = 0, ce = 1, ce = 0.

Figura 5. Diagrama de Hasse El diagrama de Hasse de la Figura 4, no es un retculo, pues por ejemplo, no existe el supremo del conjunto {a,e}. Sin embargo, el conjunto {f,i} s tiene supremo (d) e nfimo (j).

SubrretculosSea (L;) un retculo, y L contenido en L un subconjunto de L. Entonces L es un subrretculo si para cualesquiera x,y L se verifica que xy L y xy L.

Ejemplos:

Figura 6. Diagramas de Hasse

Entonces L1 y L4 son subrretculos de D(30), mientras que L2 y L3 no lo son. L2 no es subrretculo porque el supremo de 2 y 3 es 6, que no pertenece a L2. L3 no es subrretculo porque el nfimo de 6 y 10 vale 2, que no pertenece a L3. Ntese que L3, con el orden que hereda de D(30) es un retculo, pero no es subrretculo de L3.

Retculos distributivosSea L un retculo. Se dice que L es distributivo si para cualesquiera x,y,z L se verifica que:x (yz) = (xy) (xz) y x (yz) = (xy) (xz)

Fuentes Garca Jess. Conjuntos ordenados, retculos y algebra de Boole. Matemticas discretas. Garca Muoz, M.A. Retculos y lgebra de Boole. Algebra I. Ingeniera Tcnica en lgebra de gestin. P. Jara, F. J. Lobillo, J. Garca, J. C. Rosales, J. Urbano. Conjuntos ordenados, retculos y algebra de Boole. Matemticas discretas. Sierra Miguel. Retculos. Curso Estructuras Discretas. PUCP.