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Ecuaciones Diferenciales
y lgebra Lineal
Unidad 1
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
INTRODUCCIN
Los trminos ecuaciones y diferenciales
nos hacen pensar en la solucin de ciertos
tipos de ecuaciones que contienen derivadas diferenciales.
Ecuacin con derivadas
Ecuacin con diferenciales
ECUACIN DIFERENCIAL
Una ecuacin diferencial (ED) es una ecuacin que relaciona a una funcin desconocida y una o ms derivadas de esta funcin con respecto a una o ms variables independientes.
Si la funcin desconocida depende de una sola variable, la ecuacin diferencial se llama ordinaria. Si por el contrario dependiese de ms de una variable, se llama parcial .
Definicin
EDO y EDP
EDO
EDP
Nuestra atencin se centrar sobre ecuaciones diferenciales ordinarias. Una ecuacin diferencial ordinaria es aquella que tiene a y como variable dependiente y a x como variable independiente.
Se acostumbra expresar en la forma:
OBSERVACIN
El orden de una ecuacin diferencial es igual al de la derivada de ms alto orden que aparece (de manera no trivial) en la ecuacin.
ORDEN
Ejemplos:
xy + 5(y)4 = 3x6y4 es de 2do orden.
exy - y/x + sen(xy) = 0 es de 3er orden.
EDO LINEAL
Una ecuacin diferencial ordinaria de orden n es lineal, si se puede escribir de la forma:
donde:
son funciones de x
Una ecuacin diferencial ordinaria que no se pueda expresar de esta forma es no-lineal.
SOLUCIN DE UNA EDO
Decimos que y =(x) es una solucin de la ecuacin diferencial:
en el intervalo I si:
para todo x I.
EJEMPLOS
Indique si las funciones dadas son soluciones de las EDO en cierto intervalo I.
USO DE CLASSPAD
Utilice su calculadora para comprobar si la siguiente es una familia de soluciones de la EDO.
USO DE CLASSPAD
Al sustituir la familia de funciones en la EDO, se satisface la
igualdad.
Luego, s es una familia de soluciones de la EDO.
INTERVALO DE VALIDEZ
es solucin de:
Como funcin
Como solucin:
es solucin de:
Como funcin:
Como solucin:
Si y(0)=-1
INTERVALO DE VALIDEZ
SOLUCIN IMPLCITA
La relacin G(x;y)=0 se llama solucin implcita de una EDO en un intervalo I si existe alguna funcin que satisface tanto la relacin como la EDO en I.
EJEMPLOS
Indique si las relaciones dadas son soluciones implcitas de las EDO en I.
FAMILIA DE SOLUCIONES
Algunas veces, a una solucin de una ecuacin diferencial se le llama integral de la ecuacin y a su grfica curva integral o curva solucin. Como la solucin general de una ecuacin diferencial lineal de orden n tiene n constantes, se acostumbra llamarla familia n-paramtrica de soluciones y se denota por:
Esto quiere decir que una EDO tiene una cantidad infinita de soluciones que corresponden a la eleccin arbitraria de esos parmetros.
SOLUCIN GENERAL Y PARTICULAR
Si encontramos una familia n-paramtrica de soluciones que contiene a TODAS las soluciones de una EDO, llamaremos a esta familia solucin general de la EDO.
Dada una familia n-paramtrica de soluciones de una EDO, una solucin que se obtiene al dar valores a los n parmetros se llama solucin particular.
Observacin: Las EDO lineales siempre tienen solucin general.
EJEMPLOS
1) Verifique si la familia mostrada es una familia uniparamtrica de soluciones de la EDO:
2) Verifique si las siguientes funciones son soluciones de la EDO y clasifquelas como solucin particular y/o trivial.
3) Diga si la familia uniparamtrica de 1) es o no solucin general de la EDO. Por qu?
Un problema de valor inicial (o de Cauchy) consta de una ecuacin diferencial de orden n y de n condiciones iniciales impuestas a la funcin desconocida y a sus n-1 primeras derivadas en un valor de la variable independiente.
Es decir:
PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI)
EJEMPLO
MODELACIN (Paracadas)
Por la 2da Ley de Newton:
Resolver los ejemplos del libro de texto de las pginas 20 a 26.
MODELACIN (varios)
EDO VARIABLE SEPARABLE
EDO LINEAL
EDO EXACTA
EDO HOMOGENEA
EDO de primer orden
Clasificacin
EDO VARIABLE SEPARABLE
Repaso:
Resolver ejemplo 1 2 de la pg. 46 del Zill.
ECUACIN LINEAL DE PRIMER ORDEN
Una EDO de la forma:
se llama ecuacin lineal de primer orden (EDOL).
Realizando las operaciones adecuadas se escribe en la forma estndar:
Un factor integrante para una EDOL de primer orden es:
FACTOR INTEGRANTE DE UNA EDOL
Resolver un ejemplo de la pg 55 del Zill.
Definicin: La forma diferencial
es exacta en un rectngulo R, si existe una funcin f (x,y) que cumple:
para todo (x,y) en R.
A f (x,y) se le llama Funcin Potencial.
(1)
FORMA DIFERENCIAL EXACTA
El diferencial de f satisface:
Ejemplo: Verificar en la forma diferencial
Es f nica o no?
NOTA
En (1) sean M, N y sus derivadas parciales de primer orden continuas en R, luego la condicin necesaria y suficiente para que la forma diferencial sea exacta es:
CONDICIN
Definicin: Una EDO de la forma
se llama exacta si la forma diferencial (1) es exacta.
Ejemplo:
es exacta.
EDO EXACTA
MTODO DE SOLUCIN DE UNA EDO
1: Verificar si es exacta o no.
2: Si fuese exacta, hallar por integ. parcial:
3: Como
Derivando resolver
4: Hallar g integrando parcialmente la
expresin anterior.
5: La solucin es
MTODO DE SOLUCIN DE UNA EDO
(contina)
Definicin: Una funcin f(x,y) se llama homognea de grado n
si:
Ejemplo:
FUNCIN HOMOGNEA
Definicin: La EDO
se llama homognea si M y N son ambas homogneas del mismo grado.
Con uno de los cambios siguientes y=ux x=vy , podemos convertirla en una EDO de variable separable.
(2)
EDO HOMOGNEA PRIMER ORDEN
Resolviendo:
EJEMPLO:
EDO de Variable Separable
Hacemos:
Resuelva la EDO:
USO DE CLASSPAD
La EDO es de variable separable. Se separan las variables y luego se integra :
USO DE CLASSPAD
MODELOS LINEALES
Plantear los ejemplos del 1 al 5 de las pginas 83 a 87 del texto.
Comentar los resultados (soluciones) que da el texto.
0
2
=
+
y
dx
dy
x
0
)
1
2
(
=
-
+
dy
xy
xdx
y
y
x
dx
dy
cos
2
-
=
'
'
'
'
3
y
y
y
-
=
y
x
y
w
x
w
+
=
-
2
(
)
(
)
0
;...,
;
;
;
=
n
y
y
y
y
x
F
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
10
...()
nn
nn
axyaxyaxygx
-
-
+++=
(
)
0
)
(
;
,...
0
;
=
x
a
n
k
x
a
n
k
(
)
(
)
0
;...;
;
;
;
=
n
y
y
y
y
x
F
(
)
(
)
0
;...,
;
;
;
=
n
x
F
f
f
f
f
2
/
1
4
'
:
EDO
16
1
:
funcin
xy
y
x
y
=
=
5
3
'
:
EDO
2
:
funcin
=
+
=
x
y
x
y
0
'
:
EDO
1
:
funcin
=
+
=
y
xy
x
y
x
x
Bxe
Ae
y
2
2
:
funcin
+
=
0
4
4
:
EDO
2
2
=
+
-
y
dx
dy
dx
y
d
x
x
f
y
1
)
(
=
=
0
=
+
y
y
x
{
}
0
-
=
R
domf
+
=
;
0
I
0
;
-
=
I
c
x
y
+
=
2
1
0
2
2
=
+
xy
y
{
}
1
;
1
-
-
=
R
domf
1
;
1
-
=
I
1
1
2
-
=
x
y
y
x
y
y
x
-
=
=
+
'
:
EDO
25
:
relacin
2
2
(
)
0
'
2
:
EDO
0
1
:
relacin
2
2
=
+
+
=
-
-
-
-
y
y
e
xy
e
xy
y
y
(
)
0
;...;
;
;
;
2
1
=
n
c
c
c
y
x
G
2
)
'
(
'
:
EDO
y
xy
y
+
=
2
c
cx
y
+
=
9
3
)
+
=
x
y
a
0
)
=
y
b
4
/
)
2
x
y
c
-
=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
000101
;;;...
;;...;()
n
n
n
n
n
dy
fxyyy
dx
yxyyxyyxy
-
-
-
=
===
2
)
1
(
3
2
=
+
=
y
y
x
y
dv
mmgkv
dt
=-
mg
kv
2
2
dydv
Fmm
dtdt
==
)
(
)
(
)
(
0
1
x
g
y
x
a
dx
dy
x
a
=
+
)
(
)
(
'
x
q
y
x
p
y
=
+
=
dx
x
p
e
x
u
)
(
)
(
dy
y
x
N
dx
y
x
M
)
,
(
)
,
(
+
(,)
f
Mxy
x
=
(,)
f
Nxy
y
=
(,)(,)
dfMxydxNxydy
=+
dy
y
x
dx
y
x
)
2
(
)
2
(
+
-
-
2
2
2
)
,
(
2
2
y
xy
x
y
x
f
-
-
=
x
N
y
M
=
0
)
,
(
)
,
(
=
+
dy
y
x
N
dx
y
x
M
0
)
2
(
)
2
(
=
+
-
-
dy
y
x
dx
y
x
+
=
)
(
)
,
(
)
,
(
y
g
dx
y
x
M
y
x
f
-
=
dx
y
x
M
y
y
x
N
y
g
)
,
(
)
,
(
)
(
'
(,)
f
Nxy
y
=
c
y
x
f
=
)
,
(
(
)
22
,
fxyxyxy
=-+
(
)
(
)
,,
n
ftxtytfxy
=
(
)
(
)
,,0
MxydxNxydy
+=
(
)
dy
y
x
ydx
+
=
2
0
2
2
=
-
-
x
y
cy
)
(
2
y
x
y
dx
dy
+
=
)
(
2
ux
x
ux
dx
du
x
u
+
=
+
)
1
(
2
u
u
dx
du
x
u
+
=
+
dx
du
x
u
dx
dy
+
=
ux
y
=
y
x
dx
dy
3
tan
=
dx
x
dy
y
3
tan
=