UNIDAD 1 Ampliar conocimientos de las potencias

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Curso: Letra: Fecha:

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GUÍA 2

Productos notables.

FICHA 1Cuadrado y cubo de binomios.FICHA 2Suma por su diferencia.FICHA 3Producto de binomios con un término en común.

OA 3 – I˚ medio

MATEMÁTICASGUÍA PARA ESTUDIANTE Actividades de apoyo I˚ medio

UNIDAD 1

Ampliar conocimientos de las potencias

GUÍADELESTUDIANTEN°2

1°medio Fichas1,2y3

GUÍA DEL ESTUDIANTE N°2 Productos Notables

La siguiente guía tiene como objetivo reforzar los conocimientos previos que necesitas comprender para abordar, de manera eficiente, los conocimientos matemáticos correspondientes al siguiente objetivo de aprendizaje (OA): OA 3: Desarrollar los productos notables de manera concreta, pictórica y simbólica:

- Transformando productos en sumas y viceversa. - Aplicándolos a situaciones concretas. - Completando el cuadrado de binomio. - Utilizándolas en la reducción y desarrollo de expresiones algebraicas.

Se han elaborado 3 fichas de estudio, las que abordan los siguientes conocimientos:

Tema Ficha

1. Productos notables. (Guía N°2)

1. Cuadrado y cubo de binomio.

2. Suma por su diferencia. 3. Producto de binomios

con un término en común.

En las fichas encontrarás las siguientes secciones:

• Recordemos: Se activan los conocimientos previos. • Práctica: Se proponen actividades que te permitirán aplicar los

conocimientos previos. • Desafío: Se compone de una o más actividades por medio de problemas o

situaciones en contextos concretos o simplemente matemáticos, que te invitarán a la aplicación y reflexión de los aprendizajes adquiridos.



FICHA 1 CUADRADO Y CUBO DE BINOMIO

Observación: Una expresión algebraica está formada por más de un término algebraico, separados por adición o sustracción.

OBJETIVO: Calcular el cuadrado y cubo de un binomio mediante su representación geométrica. TÉRMINO ALGEBRAICO Un “término algebraico” es el producto de una parte literal (llamado factor literal) y una constante numérica (llamado coeficiente numérico).

ACTIVIDAD 1 En la siguiente tabla, identifica el coeficiente numérico y el factor literal. Fíjate en el ejemplo. REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES Los términos semejantes son todos aquellos términos que tienen el mismo factor literal (igual letra e igual exponente). Las expresiones algebraicas pueden desarrollarse, reduciendo sus términos semejantes, sumando o restando términos donde sea posible operar. Ejemplo En la expresión algebraica: 7"#$ − 4"'# + 5"#' − 4"#$ , existen dos términos que tienen idéntico factor literal.

Coeficiente numérico Término algebraico Factor literal 2" −3"#

,-

2/03

/0

−/125

Recordemos

−3"3Factor literal

Coeficiente numérico

456, − 75-6 + 856- − 756,

456, − 756, − 75-6 + 856-

-56, − 75-6 + 856-

Se pueden reducir los términos semejantes: 7"#$ − 4"#$ = 3"#$

Esta expresión algebraica es un trinomio.



ACTIVIDAD 2 Reduce los términos semejantes.

a) 4/2– /1 + 3/2 + /1 =

b) 6"$# + 5"# + 3"<' + 8"$#– "<' =

ÁREA DE UN RECTÁNGULO

Ejemplos 1) Calcular el área (A) de un rectángulo de largo 5 u y ancho 3 u.

2) Calcular el área de un rectángulo de largo 4" u y ancho 3# u.

/

1

5

3

> = /1

Para calcular el área de un rectángulo de

lados / y 1, se utiliza la expresión / ∙ 1,

es decir, largo por ancho, entonces el

área se calcula como:> = /1.

Gráficamente tenemos:

> = 5@ ∙ 3@ = 15@$

La @$ corresponde a las unidades cuadradas.

4"

3#

> = 4" ∙ 3# = (12"#)@$

Se multiplican los coeficientes 4 ∙ 3 y se multiplican los factores literales "#.

Cuando se trabaja con términos algebraicos es común no escribir la unidad de medida (DEDFGD2/FH, @2).



Es preciso aclarar que cuando calculamos áreas, siempre las unidades estarán expresadas como unidades al cuadrado (cm2, m2, etc.).

ACTIVIDAD 3 Calcular el área de los siguientes rectángulos a) b) ÁREA DE UN CUADRADO

Ejemplos 1) Calcular el área (A) de un cuadrado de lado 5 cm 2) Calcular el área (A) de un cuadrado de lado 4" cm ACTIVIDAD 4 Calcular el área de los siguientes cuadrados. a) b)

52J

6cm

22J

> =∙= 2J$ 5#

2"

> =∙=

Gráficamente tenemos:

Para calcular el área de un cuadrado de lado /, se utiliza la expresión / ∙ /, es

decir, lado por lado. Entonces el área se

calcula como: > = / · / = /$./ > = / · / = /$

> = 5 ∙ 5 = (5)$ = 252J$

2J$ corresponde a centímetros cuadrados

4" > = 4" ∙ 4" = 4 ∙ 4 ∙ " ∙ " = 16"$2J$

Se multiplican los coeficientes 4 ∙ 4 y los factores literales " ∙ "

> =∙= 2J$ > =∙=62J 3#



Cuando calculamos volúmenes, siempre las unidades estarán expresadas en unidades al cubo (cm3, m3, etc.).

VOLUMEN Para calcular el volumen de un paralelepípedo rectangular (octaedro) se utiliza la expresión L = / ∙ 1 ∙ 2, es decir, se debe obtener el producto entre el largo (/), el ancho (1) y el alto(2).

Ejemplo Calcular el Volumen (V) de un octaedro, conociendo sus lados:

a) De largo 52J, ancho 32J y alto 7J b) De largo, ancho y alto igual a 5"2J

ACTIVIDAD 5 Calcule el volumen de los siguientes cuerpos a) b) Un cubo de lado 3a

L = / ∙ / ∙ / = /3

Largo/Ancho/

Alto/Alto2

Ancho1Largo/

L = / ∙ 1 ∙ 2

72J

3cm

52J

L = 5 ∙ 3 ∙ 7 = 1052J'

5"5"

5" L = 5" ∙ 5" ∙ 5" = 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ " ∙ " ∙ " = 125"'2J'

3#m

2m5"m

L =∙∙=

L =∙∙=



PRODUCTOS NOTABLES Tanto en la multiplicación algebraica como en la aritmética se sigue un algoritmo cuyo desarrollo conduce a un resultado. Sin embargo, existen productos algebraicos que responden a una regla, cuya aplicación puede hacer más simple la obtención del resultado. Estos productos reciben el nombre de productos notables. Entonces, se llama producto notable a un producto que puede ser obtenido al multiplicar y reducir o aprendiendo a visualizar los términos que la componen y así, escribirla de forma abreviada. En esta guía se tratarán los siguientes productos notables: cuadrado de binomio, cubo de binomio, suma por su diferencia y productos de binomios con un término en común. CUADRADO DE BINOMIO El cuadrado de binomio corresponde al producto de un binomio por sí mismo. Su forma algebraica se representa por: Esta expresión también se puede representar geométricamente. REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA CUADRADO DE BINOMIO SUMA Construiremos un cuadrado de lado (/ + 1), es decir, un binomio. Como ya

sabemos el área corresponde a la expresión: > = /+ 1 /+ 1 = (/ + 1)$

1° Dibujamos el cuadrado de lado (/ + 1)

(/ + 1)

/

1

El cuadrado de lado (/ + 1) está compuesto por figuras conocidas (cuadrados o rectángulos), a las cuales les podemos calcular el área.

(N + O), = (/ + 1)(/ + 1)= /(/ + 1) + 1(/ + 1)= /$ + /1 + 1/ + 1$

= N, + ,NO + O,

(N − O), = (/ − 1)(/ − 1)= /(/ − 1) − 1(/ − 1)= /$ − /1 − 1/ + 1$

= N, − ,NO + O,

1/



2° Calculamos el área de las figuras conocidas 3° Suma de áreas, separando en las figuras que lo componen

Ejemplo Calcular el área de un cuadrado de lado (3" + 2#) 1° Se debe construir el cuadrado de lado (3" + 2#)

2° Calculamos el área de las figuras conocidas

> = (/ + 1)$ = /$ + /1 + /1 + 1$

/$

1$

/

1

/ 1

/1

/1

/$ 1$ /1 /1+ + +> = (/ + 1)$ =

Hemos calculado las áreas y las hemos escrito al interior de cada figura. Ahora las podemos sumar y así obtener el área total, que corresponde al área del cuadrado de lado (/ + 1).

Se ha separado el cuadrado de lado (/ + 1) en las figuras que lo componen.

P = (N + O), = N, + ,NO + O,

Hemos sumado las áreas para obtener el área total.

(3" + 2#)

3"

2#

El cuadrado de lado (3" + 2#) está compuesto por figuras conocidas, a las cuales les podemos calcular el área.

9"$

3"

2#

3" 2#

6"#

6"#

4#$

Para calcular el área de las figuras conocidas, puedes utilizar la siguiente tabla.

Corresponde al producto 3" ∙ 2#

∙ -5 ,6 -5 9"$ 6"# ,6 6"# 4#$

A esta expresión se le conoce como un producto notable.

3" 2#



3° Suma de áreas que componen el cuadrado de lado 3x+2y.

CUBO DE UN BINOMIO

El cubo de un binomio corresponde a un producto notable y consiste en la

multiplicación de un binomio por sí mismo escribiéndolo tres veces, y se representa

como: / + 1 / + 1 / + 1 = / + 1 '. Se tienen los siguientes casos:

Está expresión se puede construir geométricamente.

> = (3" + 2#)$ = 9"$ + 6"# + 6"# + 4#$

Escribe y reduce los términos semejantes para obtener el área total.

9"$

+ + +> = (3" + 2#)$ = 6"# 6"# 4#$

> = (3" + 2#)$ = 9"$ + 12"# + 4#$

Esta expresión algebraica corresponde al área del cuadrado de lado (3" + 2#), que se puede escribir como: (9"$ + 6"# + 4#$).

Esta expresión contiene términos semejantes 6"# + 6"#, esto es el reflejo de que hay dos rectángulos de igual medida. Estos términos se pueden reducir.

> = (3" + 2#)$ = (3")$ + 2(3")(2#) + (2#)$ = 9"$ + 12"# + 4#$

Aplicando la definición de Cuadrado de binomio.



REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA Construiremos un cubo de lado (/ + 1). Como ya sabemos el volumen corresponde

a la expresión: L = /+ 1 /+ 1 /+ 1 = (/ + 1)'

1° Dibujamos el cubo de lado (/ + 1).

2° Calculamos el volumen de los cubos y prismas que forman el cubo de lados / + 1

3° Suma de volúmenes de los cuerpos que componen el cubo de lado (a+b).

(/ + 1)

/

1

/ 1

/1

L = 111 = 1' L = /// = /'

L = //1 = /$1 L = /11 = /1$

L = (/ + 1)' = /' + 3/$1 + 3/1$ + 1'

--+ + +L = (/+ 1)' =

Existen tres prismas de ese tipo.

A esta expresión se le conoce como un producto notable.



I. Dado un cuadrado de lado

3) Calcule el área del cuadrado. 2° Calcule el área de las figuras que componen el cuadrado de lado 3/ + 1.

c) 3° Sume las áreas de las figuras que componen el cuadrado de lado 3/ + 1, completando las áreas según corresponda.

Práctica

(3/ + 1)

Responde: 1) ¿Qué estrategia utilizarías para encontrar el área del cuadrado? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 2) ¿A qué producto notable hace referencia el área del cuadrado? ______________________________________________________________________________________________________________________________

a) 1° Ya que el cuadrado de lado 3/ + 1 está dibujado, falta completar los recuadros con la información restante.

b) Para calcular el área de las figuras, puedes utilizar la siguiente tabla.

Recuerda escribir las áreas al interior de la figura para llevar un orden.

∙ 3a b 3a b

3/

1

+ + +> = (3/ + 1)$ =

> = (3/ + 1)$ = /$ + /1 + /1 + 1$ = /$ + 2/1 + 1$

3/

1



II. Dado un cubo de lado

6) Calcule el volumen del cubo b) 2° Calcule el volumen de las figuras que componen el cubo de lado 2# + ", completando los recuadros.

c) 3° Sume los volúmenes de las figuras que componen el cubo de lado 2# + ", completando los recuadros según corresponda.

Responde: 4) ¿Qué estrategia utilizarías para encontrar el volumen del cubo? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 5) ¿A qué producto notable hace referencia el volumen del cubo? ______________________________________________________________________________________________________________________________

a) 1° Ya que el cuadrado de lado 2# + " está dibujado, falta completar los recuadros con la información restante.

L = (2# + ")' = /' + 3/$1 + 3/1$ + 1'/$ +

(2# + ")

2#"

L = ()' =

L = ()' =

L = (3")$2# = 9"$2

L =3"(2#)$ = 3"412"#$

--+ +

+

L = (2#+ ")' =



La expresión corresponde al área del cuadrado ABCD. 1) Completa los recuadros en blanco con algunos de los términos que se muestran

a continuación.

4 "$ " 2" 2" " 4" " 4" 2 2 2

2) Responda:

a) ¿Cuál es la medida del lado del cuadrado ABCD? ______________________

b) ¿Cuál es el producto notable al que se hace referencia?

________________________________________________________________ c) Escriba la expresión que verifica el producto notable

Desafío

"$ + 4" + 4

B

A D

C



FICHA 2 SUMA POR SU DIFERENCIA

OBJETIVO: Aplicar la suma por su diferencia. SUMA POR SU DIFERENCIA Una suma por su diferencia corresponde a la siguiente expresión: Geométricamente esta expresión corresponde al área de un rectángulo de lados

(/ + 1) y (/ − 1), largo y ancho respectivamente. REPRESENTACIÓN GEOMETRICA DE UNA SUMA POR SU DIFERENCIA

/

Construimos un cuadrado de lado /.

A un lado le agregamos un trazo 1 y al otro lado le quitaremos el trazo 1.

/

1

1

Con este trazo construiremos un rectángulo de ancho 1 y largo /, y otro

rectángulo de ancho 1 y largo / + 1.

/

1

1

(/ + 1)(/ − 1)

Rectángulodeanchobylargoa

Rectángulodeanchobylargoa+b



Tenemos un rectángulo de ancho / y largo / + 1. En el rectángulo anterior, tenemos un rectángulo de largo / + 1 y ancho / − 1.

A continuación, se muestran marcadas algunas superficies que utilizaremos para encontrar el área de (/ + 1)(/ − 1): El área del cuadrado de lado / es /$

El área del rectángulo de ancho 1 y largo / es /1

Al sumar ambas áreas se tiene /$ + /1, y hace falta quitarle el área del rectángulo de ancho 1 y largo / + 1 para obtener el área de (/ + 1)(/ − 1):

1

/

/ + 1

1

/ − 1/

Sabemos que el área del rectángulo es (/ + 1)(/ − 1).

El área (/ + 1)(/ − 1) del rectángulo marcado se puede obtener mediante la suma y resta de áreas que componen el rectángulo de alto / y ancho / + 1.

1

/

/ + 1

1

/ − 1/



Podemos agregar que (/ + 1)(/ − 1) = (/ − 1)(/ + 1) , por propiedad conmutativa.

Ejemplo 1: Calcular el producto de " + 5 " − 5 a) Aplicando propiedad distributiva

" + 5 " − 5 = "$ − 5" + 5" − 25 = "$ − 25 b) Aplicando el producto notable

" + 5 " − 5 = (")$ − (5)$ = "$ − 25

> = (/ + 1)(/ − 1) = /$ + /1 − (/ + 1)1 = /$ + /1 − /1 − 1$

El área del rectángulo (/ + 1)(/ − 1) es:

Por lo tanto, tenemos: (/ + 1)(/ − 1) = /$ − 1$

La expresión anterior corresponde a un producto notable y se caracteriza porque el producto entre la suma de dos términos y su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término (o también podemos decir que es igual a la diferencia de sus cuadrados).

Esta expresión también se puede obtener mediante la multiplicación de binomios, es decir, multiplicando término a término.

(/ + 1)(/ − 1) = /$ − /1 + /1 − 1$

Reduciendo términos semejantes: tenemos:

Multiplicación de binomios.

1er

término

2do

término

(/ + 1)(/ − 1) = /$ − 1$

Identificando una suma por su diferencia. .



Observar que con ambos procedimientos se obtiene el mismo resultado: "$ − 25

Ejemplo 2: Calcular el producto de 2" + 3 2" − 3

2" + 3 2" − 3 = (2")$ − (3)$ = 4"$ − 9

Ejemplo 3: Calcular el producto de " +$

S" −

$

S

" +$

S" −

$

S= " $ −

$

S

$= "$ −

T

$S

1) Completa los datos que faltan. a) En la imagen. b) En el cálculo del área de la imagen anterior.

2do término

1er

término

El primer término 2" , al cuadrado es 4"$. Menos el segundo término 3, al cuadrado, que es 9.

El primer término " al cuadrado, es "$, menos el segundo término $

S al cuadrado,

que es T

$S.

Práctica

> = (2" + 1)(2" −) = /$ + 2" − 2"+= −

1

1

2"

2" + 1

1

2" −2" 1



2) Expresa como diferencia de cuadrados.

a) 3" + 5 3" − 5 =

b) 5 − 2U 5 + 2U =

c) 3/ + 21 3/ − 21 =

d) #$ + 4 #$ − 4 =

e) 1$ − 22 1$ + 22 =

f) $

'" + #

$

'" − # =

g) $

'V +

W

'

$

'V −

W

'=

1) Expresa como diferencia de cuadrados

a) 5"$ + 3#' 5"$ − 3#' =

b) S

'"' +

$

S#$

S

'"' −

$

S#$ =

Desafío



2) Detecta y redacta cuál es el error en cada ejercicio desarrollado y luego corrígelo. a) 20$ + 3X' 20$ + 3X' = 20$ $ − 3X' $ = 20T − 90XY

b) $

'0$ + 3X'

$

'0$ − 3X' = 3X' $ −

$

'0$

$= 9XZ −

T

Z0T

Error:

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

Corrección:

Error:

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

Corrección:



FICHA 3 PRODUCTO DE BINOMIOS CON UN TÉRMINO EN COMÚN

OBJETIVO: Aplicar el producto de binomios con un término en común. PRODUCTO DE BINOMIOS CON UN TÉRMINO EN COMÚN Un producto de binomios con un término en común corresponde a la siguiente expresión: Geométricamente esta expresión puede corresponder al área de un rectángulo de

lados (" + /) y (" + 1). REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA

Construimos un rectángulo de lado " + /y " + 1..

Dividimos el rectángulo anterior en los cuadriláteros que lo componen.

"

" + //

"

"+1

1

(" + /)(" + 1)

" + /

"+1

Calculamos el área de dichas figuras.

Por lo tanto, (" + /)(" + 1) corresponde a la suma de todas las áreas que componen el rectángulo. Entonces:

1

" /

""$

1"

/"

/1

> = (" + /)(" + 1) = "2 + /" + 1"+ /1 ="2 + (/ + 1)" + /1

> = (" + /)(" + 1) ="2 + (/ + 1)" + /1



Observamos que de ambas formas se obtiene el mismo resultado: "$ − " − 6

Ejemplo 1: Calcula el producto de 2 + " " − 3 . a) Utilizando la propiedad distributiva y multiplicación de binomios. 2 + " " − 3 = 2 " + 2 −3 + " " + " −3 = 2" + −6 + "$ + −3" = "$ − " − 6

b) Identificando que la expresión corresponde a un producto de binomios con un término en común. 2 + " " − 3 = " + 2 " − 3 = " $ + 2 + (−3) " + 2 −3 = "$ − " − 6

Ejemplo 2: Calcula el producto de 2" + 3 2" − 2 como producto notable.

2" + 3 2" − 2 = (2")$ + 3 + −2 2" + 3 −2 = 4"$ + 2" − 6 Ejemplo 3: Calcula el producto de 7# + 3 7# − " como producto notable.

7# + 3 7# − " = (7#)$ + 3 − " 7# + 3 −" = 49#$ + 21# − 7"# − 3"

Ejemplo 4: Calcula el producto de " +$

S" −

[

S como producto notable.

" +$

S" −

[

S= " $ +

$

S−

[

S" +

$

S−[

S= "$ +

[

S" −

$

$S

Esta expresión anterior corresponde a un producto notable, que se caracteriza porque el producto de binomios con un término en común es igual al cuadrado del término en común, más la suma de los términos no comunes por el término común, más el producto de estos últimos.

Esta expresión también se puede obtener mediante la multiplicación de binomios, es decir, multiplicando término a término.

(" + /)(" + 1) = "$ + (/ + 1)" + /1

(" + /)(" + 1) = "$ + /" + 1" + /1 = "$ + (/ + 1)" + /1

No siempre se pueden reducir.

El término en común siempre multiplica a los términos no comunes.

Se puede ordenar el binomio para que coincida el término común.

Multiplicando término a término. Reducimos los términos semejantes.

El cuadrado del término común.

Más la suma de los términos no comunes por el término común.

Más el producto de los términos no comunes.



1) Completa los datos que faltan a) En la imagen. b) En el cálculo del área de la imagen anterior 2) Expresa usando el producto de binomios con un término en común, como producto notable.

a) 3" + 5 3" − 5 =

b) 5 − " 5 + 2" =

c) 3" + 2# 3" − # =

d) "$ + 4 "$ − 2 =

e) $

'" + #

[

'" + # =

f) [

S" +

$

'

[

S" +

$

'=

> = (0 + /)(0 + 3) = ⬚$ + 0/ + 30+= +(0 + 3)/ +

Práctica

0 + /

/0+3

0/

3/



1) Expresa como producto de binomios con un término en común. a) 5"$ + "#' −3#' + 5"$ =

b) $

'"' +

$

'#$

$

'"' −

$

S#$ =

2) Detecta el error en el desarrollo del siguiente ejercicio y luego corrígelo. a) 20$ − 3X' 20$ + 3X$ = 0$ $ − −3X' + 3X$ 20$ + (−3X')3X$

= 0T + 3X'20$ − 3X$20$ − 9XS

= 0T + 60$X' − 60$X$ − 9XS

Desafío

Error:

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

Corrección:

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