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Análisis y Diseño de la Respuesta en Frecuencia
Por: Ing. Raúl V. Castillo Carrillo
Construcción del diagrama de Bode
• Trazas de Bode o trazas logarítmicas. Una función de transferencia senoidal puede representarse mediante dos gráficas distintas: una ofrece la magnitud contra la frecuencia y otra muestra el ángulo de fase ( en grados) contra la frecuencia.
• Las trazas de Bode están formadas por dos gráficas: una es el logaritmo de la magnitud de una función de transferencia senoidal y la otra es el ángulo de fase. Ambas se grafican contra la frecuencia en la escala logarítmica.
• La representación común de la magnitud logarítmica de G(j) es 20 log G(j) , en donde la base del logaritmo es 10. La unidad que se usa en esta representación de la magnitud es el decibel, por lo general abreviado dB. En la representación logarítmica, se trazan las curvas sobre papel semilogarítmico, con la escala logarítmica para la frecuencia y la escala lineal para cualquier magnitud (en decibeles) o el ángulo de fase (en grados). (El rango de frecuencia de interés determina la cantidad de ciclos logarítmicos que se requieren en la abscisa.)
• La ventaja principal de usar la traza de Bode es que la multiplicación de magnitudes se convierte en adición. Además, cuenta con un método simple para trazar una curva aproximada de magnitud logarítmica. Se basa en aproximaciones asintóticas. Esta aproximación, mediante asíntotas (líneas rectas), es suficiente si solo se necesita información general sobre la característica de la respuesta en frecuencia.
Factores básicos de G(j)H(j). Como se planteó antes, la ventaja principal de usar una traza logarítmica es la facilidad relativa de graficar las curvas de la respuesta en frecuencia. Los factores básicos que suelen ocurrir en una función de transferencia arbitraria G(j)H(j) son:
1.- La ganancia K
2.- Los factores de integral y derivada (j)1.
3.- Los factores de primer orden (1+jT)1.
4.- Los factores cuadráticos [1+2(j/n)+ (j/n)2]
1.
1.- La ganancia K
Un número mayor que la unidad tiene un valor positivo en decibeles, tanto que un número menor que la unidad tiene un valor negativo. La curva de magnitud logarítmica para una ganancia constante K es una recta horizontal cuya magnitud es de 20 log K decibeles. El ángulo de fase de la ganancia K es cero. El efecto de variar la ganancia K en la función de transferencia es que sube o baja la curva de magnitud logarítmica de la función de transferencia en la cantidad constante correspondiente, pero no afecta la curva de fase.
La figura contiene una línea de conversión de números a decibeles. El valor en decibeles de cualquier número se obtiene a partir de esta línea. Conforme un número aumenta en un factor de 10, el valor correspondiente en decibeles aumenta en un factor de 20.
Número
Dec
ibel
es (
dB)
Ejemplo: Si K = 2, 20 log 2 = 6 dB
2.- Los factores de integral y derivada (j)1
(polos y ceros en el origen).
La magnitud logarítmica de 1/j en decibeles es
El ángulo de fase de 1/j es constante e igual a -90°.
dB log201
log20
j
En la traza de Bode, las razones de frecuencia se expresan en términos de octavas o de décadas.
Una octava es una banda de frecuencia de 1 a 21, en donde 1 es cualquier frecuencia.
Una década es una banda de frecuencia de 1 a 101, en donde, otra vez, 1 es cualquier frecuencia. (En la escala logarítmica del papel semilogarítmico, cualquier razón de frecuencia determinada se representa mediante la misma distancia horizontal. Por ejemplo, la distancia horizontal de =1 a =10 es igual a la de =3 a =30.)
Ejemplo: 1/j
• De la misma manera, la magnitud logarítmica de j en decibeles es
El ángulo de fase de j es constante e igual a 90°.
dB log20log20 j
Ejemplo: j
3.- Los factores de primer orden (1+jT)1.
La magnitud logarítmica del factor de primer orden 1/(1+jT) es
Para frecuencias bajas tales que <<1/T, la magnitud logarítmica se aproxima mediante
dB 1log201
1log20 22T
Tj
dB 01log20 1log20 22 T
Por tanto, la curva de magnitud logarítmica para frecuencias bajas es la línea 0 dB constante. Para frecuencias altas, tales que >>1/T,
Esta es una expresión aproximada para el rango de altas frecuencias. En =1/T, la magnitud logarítmica es igual a 0 dB; en =10/T, la magnitud logarítmica es igual a -20 dB. Por tanto, el valor de -20 log T dB disminuye en 20 dB para todas las décadas de . De esta forma, para >>1/T, la curva de magnitud logarítmica es una línea recta con una pendiente de -20 dB/década (ó -6 dB/octava).
dB log20 1log20 22 TT
• El ángulo de fase exacto del factor 1/(1+jT) es
En una frecuencia cero, el ángulo de fase es 0°. En la frecuencia de esquina, el ángulo de fase es
T 1tan
451tantan 11
T
T
• Curva de magnitud logarítmica, junto con la asíntotas y la curva de ángulo de fase de 1/(1+jT) es
T 1tan
Ejemplo: 1/(1+j0.5)
• Una ventaja de las trazas de Bode es que, para factores recíprocos, por ejemplo, el factor 1+jT, las curvas de magnitud logarítmica y de ángulo de fase sólo necesitan cambiar de signo. Dado que
TjTTj
TjTj
1
1tan1
1
1log201log20
1
Una ventaja de las trazas de Bode es que, para factores recíprocos, por ejemplo, el factor 1+jT, las curvas de magnitud logarítmica y de ángulo de fase sólo necesitan cambiar de signo. Dado que
la frecuencia de esquina es igual para ambos casos. La pendiente de la asíntota de alta frecuencia de 1+jT es 20 dB/década, y el ángulo de fase varía de 0° a 90° conforme la frecuencia se incrementa de cero a infinito.
TjTTj
TjTj
1
1tan1
1
1log201log20
1
• Curva de magnitud logarítmica y asíntotas de ángulo de fase para 1+jT.
Ejemplo: (1+j0.5)
4.- Los factores cuadráticos [1+2(j/n)+ (j/n)2] 1.
0.1n n 10n
Dibuje las trazas de Bode para la siguiente función de transferencia:
22
3102
jjjj
jjG
2
2
3
:esquina de sFrecuencia
12
1
21
2
1
13
15.7
2
jj
jj
jjG
12
1
21
2
1
13
15.7
2
jj
jj
jjG
12
1
21
2
1
13
15.7
2
jj
jj
jjG
12
1
21
2
1
13
15.7
2
jj
jj
jjG
12
1
21
2
1
13
15.7
2
jj
jj
jjG
12
1
21
2
1
13
15.7
2
jj
jj
jjG
12
1
21
2
1
13
15.7
2
jj
jj
jjG
• ELABORACIÓN DEL DIAGRAMA DE BODE (MÓDULO) CON EXCEL
A continuación se indican los pasos que hay que seguir para realizar un diagrama de Bode en módulo empleando el programa Excel (o cualquier hoja de cálculo similar).
1. Introducir los datos de frecuencia angular
2. Calcular las amplitudes en decibeles para cada frecuencia
3. Despliegue en gráfica semilogarítmica la amplitud
4. Introducir los datos de frecuencia angular
5. Calcular las fases en grados para cada frecuencia
6. Despliegue en gráfica semilogarítmica la fase
• ELABORACIÓN DEL DIAGRAMA DE BODE EN MATLAB
A continuación se indica la forma de programar en Matlab para obtener el diagrama de Bode de una función de transferencia de un sistema LIT.
1. Introducir los datos del polinomio del numerador
2. Introducir los datos del polinomio del denominador
3. Introducir el comando Bode para que elabore la gráfica
4. Oprimir el botón derecho del Ratón sobre el área del gráfico de Bode; para después seleccionar Grid, con la finalidad de que se dibuje la rejilla semilogarítmica.
En Simulink de Matlab es posible ver la respuesta en la frecuencia de los sistemas LIT representados por su Función de Transferencia.
La respuesta en la frecuencia es:
MapeoLa ecuación característica del sistema de la figura es:
Enseguida se demostrará que una trayectoria continua y cerrada dada en el plano s, que no pasa por ningún punto singular, corresponde a una curva cerrada en el plano F(s). La cantidad y sentido de lazos o rodeos alrededor del origen del plano F(s) por una curva cerrada, juega un papel importante en lo que sigue, pues más adelante se verá que la cantidad y sentido de los lazos o rodeos se relacionan con la estabilidad del sistema.
G(s)
H(s)
C(s)R(s)+
- 01 sHsGsF
El contorno cerrado en el plano s se mapea dentro del plano F(s) como una curva cerrada. El número N de encierros del origen del plano F(s) en el sentido de las manecillas del reloj, conforme un punto representativo s traza el contorno completo en el plano s en el sentido de las manecillas del reloj, es igual a Z – P.
Mapeo
Mapeo con herramientas de Excel
s F(s)=(s+1)/(s-1)=(a+jb)/(c+jd) j a b c d Re[F(s)] Im[F(s)]0 0 1 0 -1 0 -1.000 0.0000 0.25 1 0.25 -1 0.25 -0.882 -0.4710 0.5 1 0.5 -1 0.5 -0.600 -0.8000 0.75 1 0.75 -1 0.75 -0.280 -0.9600 1 1 1 -1 1 0.000 -1.000
0.25 1 1.25 1 -0.75 1 0.040 -1.2800.5 1 1.5 1 -0.5 1 0.200 -1.600
0.75 1 1.75 1 -0.25 1 0.529 -1.8821 1 2 1 0 1 1.000 -2.000
1.25 1 2.25 1 0.25 1 1.471 -1.8821.5 1 2.5 1 0.5 1 1.800 -1.600
1.75 1 2.75 1 0.75 1 1.960 -1.2802 1 3 1 1 1 2.000 -1.0002 0.75 3 0.75 1 0.75 2.280 -0.9602 0.5 3 0.5 1 0.5 2.600 -0.8002 0.25 3 0.25 1 0.25 2.882 -0.4712 0 3 0 1 0 3.000 0.0002 -0.25 3 -0.25 1 -0.25 2.882 0.4712 -0.5 3 -0.5 1 -0.5 2.600 0.8002 -0.75 3 -0.75 1 -0.75 2.280 0.9602 -1 3 -1 1 -1 2.000 1.000
1.75 -1 2.75 -1 0.75 -1 1.960 1.2801.5 -1 2.5 -1 0.5 -1 1.800 1.600
1.25 -1 2.25 -1 0.25 -1 1.471 1.8821 -1 2 -1 0 -1 1.000 2.000
0.75 -1 1.75 -1 -0.25 -1 0.529 1.8820.5 -1 1.5 -1 -0.5 -1 0.200 1.600
0.25 -1 1.25 -1 -0.75 -1 0.040 1.2800 -1 1 -1 -1 -1 0.000 1.0000 -0.75 1 -0.75 -1 -0.75 -0.280 0.9600 -0.5 1 -0.5 -1 -0.5 -0.600 0.8000 -0.25 1 -0.25 -1 -0.25 -0.882 0.4710 0 1 0 -1 0 -1.000 0.000
A
B
C
D
Im[F(s)]
Re[F(s)]
Plano F(s)
j
Plano s
A
A’
B
B’
C
C’
D
D'
A’
B’
C’
D’
Diagrama de Polar
La función de transferencia G(s) se representa mediante una curva en un diagrama polar.
Esta curva se construye representando para cada valor de el módulo y el argumento de la expresión compleja que resulta de hacer s = j en G(s). Como se sabe, el módulo y el argumento de G(j) representan la amplificación (o atenuación) y el desfase de una señal sinusoidal que atraviese el sistema.
En la figura se representa un diagrama de esta naturaleza (Diagrama de Polar). Conviene observar que varía de 0 a .
El diagrama de Polar es por tanto una curva parametrizada en que, para cada punto (es decir, para cada frecuencia), da el módulo y el argumento de la función de transferencia.
Diagrama Polar utilizando Excel
G(s) G(s) Re[G(s)] Im[G(s)]0 1 0 1 0
1 1.116312611 -7.125016349 1.107692308 -0.138461538
1.5 1.301582747 -12.52880771 1.270588235 -0.282352941
2 1.671258044 -21.80140949 1.551724138 -0.620689655
2.3 2.061808327 -31.79668168 1.752378753 -1.086380359
2.5 2.421622058 -42.27368901 1.791855204 -1.628959276
2.65 2.72190342 -53.26872789 1.627868822 -2.1814677
2.75 2.90037418 -62.40270413 1.343610548 -2.570385396
2.85 3.018077724 -72.8866764 0.888107332 -2.884451164
2.9 3.041148026 -78.50022137 0.606295886 -2.980098423
3 3 -90 1.83772E-16 -3
3.1 2.848600534 -101.1321063 -0.549984472 -2.795003055
3.2 2.622491621 -111.1813495 -0.947561473 -2.445319929
3.3 2.366610731 -119.8009437 -1.176177734 -2.053643662
3.5 1.884326121 -132.8789036 -1.282191781 -1.380821918
3.7 1.506582663 -141.7296473 -1.182813476 -0.933136431
4 1.116312611 -150.2551187 -0.969230769 -0.553846154
4.4 0.799598604 -156.9885626 -0.735972013 -0.312574986
5 0.536894988 -162.6459754 -0.512455516 -0.160142349
7 0.221631855 -170.0737545 -0.21831413 -0.038204973
100 0.000900766 -179.4265452 -0.00090072 -9.01532E-06
1000 9.00008E-06 -179.9427037 -9.00007E-06 -9.00015E-09
2
12
1
42
242222
2222
9tan
91
9tan
1781
9
1881
9
9
9
991
1
19
1
9
1
sG
sG
sG
jj
sG
Formas generales de las trazas polares.
Las trazas polares de una función de transferencia de la forma
en donde n > m, o el grado del polinomio del denominador es mayor que el del numerador, tendrá las formas generales siguientes.
22
110
22
110
21 11
11
nnn
mmm
ba
jajaja
jbjbjb
TjTjj
TjTjKjG
Las formas generales de las partes de frecuencia baja de las trazas polares de los sistemas de tipo 0, tipo 1 y tipo 2 aparecen en la figura. Se observa que, si el grado del polinomio del denominador de G(j) es mayor que el del numerador, entonces los lugares geométricos G(j) convergen al origen en el sentido de las manecillas del reloj.
En = , los lugares geométricos son tangentes a uno u otro de los ejes, como se observa en la figura.
10
10
aja
bjbjG
n
m
La gráfica de Nyquist
La gráfica de Nyquist permite predecir la estabilidad y el funcionamiento de un sistema de lazo cerrado observando su comportamiento de lazo abierto. El criterio de Nyquist se puede utilizar para los propósitos de diseño independientemente de la estabilidad de lazo abierto (recuerde que los métodos de diseño de Bode asumen que el sistema es estable en lazo abierto). Por lo tanto, utilizaremos este criterio para determinar la estabilidad de lazo cerrado cuando los diagramas de Bode muestran la información de un modo quizás confuso.
Gráfica de Nyquist utilizando Matlab
19
1
9
12
j
jsG
El diagrama de Nyquist es básicamente un diagrama de G(j) donde G(s) es la función de lazo abierto de transferencia y es un vector de frecuencias que incluye el semiplano derecho. En el dibujo se consideran tanto frecuencias positivas como negativas (de cero al infinito) Representaremos frecuencias positivas en rojo y negativas en verde. El vector de frecuencias usado para trazar el diagrama de Nyquist luce generalmente como se muestra (si usted puede imaginar el diagrama estirado hacia el infinito):
Eje j
Eje Infinito
Sin embargo, si tenemos polos de lazo abierto o ceros en el eje j, G(s) no estará definido en esos puntos, y debemos "esquivarlos" cuando estamos trazando el contorno. Tal contorno quedaría como sigue:
Obsérvese que el contorno gira alrededor del polo en el eje j.
Eje j
Eje Infinito
El Criterio de Cauchy
El criterio de Cauchy (del análisis de variable compleja) indica que, al tomar un contorno cerrado en el plano complejo, y mapearlo a través de una función compleja G(s), el número de veces que el diagrama de G(s) rodea al origen es igual al número de los ceros de G(s) incluidos por el contorno menos el número de polos de G(s) incluidos por el contorno. Los rodeos al origen son positivos si poseen la misma dirección que el contorno original, siendo negativos si su dirección es opuesta.
Al estudiar control realimentado, no estamos tan interesados en G(s) sino mas bien el la función de lazo cerrado:
Si 1+ G(s) rodea al origen, luego G(s) incluirá el punto -1. Puesto que estamos interesados en la estabilidad de lazo cerrado, deseamos saber si existen algunos polos de lazo cerrado (ceros de 1 + G(s)) en el semiplano derecho. Por lo tanto, el comportamiento del diagrama de Nyquist alrededor del punto -1 en el eje real es muy importante; sin embargo, el eje en el diagrama nyquist standard puede dificultar el análisis de lo que ocurre alrededor de este punto.
sG
sG
1
Sistemas de fase mínima y no mínima
Hemos visto que un sistema es de fase mínima cuando todos sus polos y ceros están en el semiplano izquierdo, si tiene algún cero en el semiplano derecho se dice que es de fase no mínima y si tiene algún polo en este último semiplano se tratará de un sistema inestable.
Ambos tipos de sistemas tienen la misma característica de amplitud pero no de ángulo de fase, ya que los sistemas de fase no mínima tienen un atraso grande de fase a altas frecuencias.
Por ejemplo:
11
2
11
0 1
1 :mínima no fase de
1
1 :mínima fase de
TTTj
TjjG
Tj
TjjG
Las curvas de ángulo de fase son:
Estabilidad
Hemos visto que la función de transferencia de un sistema de control en lazo cerrado es:
Su ecuación característica es : .
Vamos a comprobar, con un ejemplo, que un camino cerrado continuo en el plano s que no pasa por ningún punto singular, corresponde a una curva cerrada en el plano F(s).
sHsG
sGsF
1
sHsGsF 1
Ejemplo:
La función F(s) es analítica en cualquier punto del plano s excepto en los puntos singulares; para cada punto de analiticidad en el plano s corresponde un punto en el plano F(s). Por ejemplo: si s = 1+2j F(1+2j) = 1.12 - j5.77.
021
4.25.14.25.1
21
831
21
6
2
ss
jsjs
ss
sssHsGsF
sssHsG
El contorno cerrado ABCDEF en el plano s se transforma en la curva A'B'C'D'E'F' en el plano F(s). Vemos que cuando el contorno incluye a los dos polos de F(s), la curva en F(s) incluye al origen dos veces en sentido antihorario.
Sin embargo :Ahora que el contorno engloba a los dos polos y a los dos ceros de F(s), la curva no incluye al origen del plano F(s).
Con esto, podemos enunciar el Principio del argumento o Teorema de la representación:
"Sea F(s) la relación entre dos polinomios en s. Si la trayectoria cerrada (c) en el plano s, recorrida en sentido horario, encierra a P polos y a Z ceros de la función F(s), la trayectoria curva (c') en el plano F(s) da N = Z - P vueltas alrededor del origen en sentido horario".
Ya que un sistema es estable si todos sus polos y ceros están situados en el semiplano izquierdo de s, nos interesa tomar de contorno cerrado todo el semiplano derecho de s.
Esto es lo que se conoce como contorno o trayectoria de Nyquist: comprende todo el eje (desde = - hasta = + ) y un semicírculo de radio en el semiplano derecho.
El contorno de Nyquist no puede contener ningún polo ni cero de G(s)H(s), estos puntos singulares se deben evitar con pequeñas desviaciones. En la práctica, en vez de estudiar el número de giros alrededor del origen de F(s)=1+G(s)H(s), se analiza el número de rodeos al punto -1+j0 de G(s)H(s).
Criterio de estabilidad de Nyquist
Para que un sistema de control sea estable, debe cumplirse que Z=N+P donde:
Z es la cantidad de ceros de 1+G(s)H(s) en el semiplano derecho de s.
N es la cantidad de rodeos alrededor del punto -1+j0 en sentido horario.
P es la cantidad de polos de G(s)H(s) en el semiplano derecho del plano s.
Con esto, podemos tener tres casos:1) No hay ninguna vuelta alrededor de -1 (N=0): el sistema es estable si no hay polos de G(s)H(s) en el semiplano derecho (P=0).2) Hay un número distinto de cero de rodeos alrededor de -1 en sentido antihorario (N<0): el sistema es estable si el número de rodeos es igual al número de polos de G(s)H(s) en el semiplano derecho (N+P=0).3) Hay un número distinto de cero de rodeos alrededor de -1 en sentido horario (N>0): el sistema es inestable.Hay que tener en cuenta que si la curva en el plano G(s)H(s) pasa por el punto -1+j0, el sistema tendrá polos de lazo cerrado en el eje imaginario j, lo que no es deseable en la práctica en un sistema de control.
Criterio de estabilidad de Nyquist cuando hay polos y/o ceros en el eje j
Como ya hemos dicho, el contorno de Nyquist no puede pasar por puntos singulares como son los polos y los ceros de G(s)H(s). Si la función G(s)H(s) tiene polos y ceros en el origen o en puntos del eje j distintos del origen, se modifica la trayectoria en la vecindad del punto singular con un semicírculo de radio
infinitesimal << 1.
Si, por ejemplo, el
punto singular es el
origen, el contorno de
Nyquist será:
Para comprender mejor este caso especial, vemos a continuación un ejemplo:
Ejemplo:
En la porción semicircular de radio con <<1:
1Tss
ksHsG
90 ,90
0 cuando
90 ,90
ε
ke
k
e
keHeG
es
jj
jj
j
Por tanto, el semicírculo de radio se convierte en uno de radio en el plano GH. Los puntos en los extremos del semicírculo infinitesimal valen:
jjHjG
jjHjG
00
00
Los puntos D, E y F, que están en el semicírculo de radio en el plano s, se transforman en el origen en el plano GH.
Como no hay polos en el semiplano derecho s y la curva en el plano G(s)H(s) no encierra al punto -1+j0, no habrá ceros de la función 1+G(s)H(s) en el semiplano derecho s y, por tanto, el sistema es estable.
Estabilidad relativa
El diagrama de Nyquist, además de permitir determinar si un sistema es estable o inestable, nos puede indicar el grado de estabilidad de un sistema, que es lo que se conoce como estabilidad relativa.
Al diseñar un sistema, es necesario que sea estable. Además, es necesario que tenga una estabilidad relativa adecuada.
También proporcionan información acerca de cómo mejorar la estabilidad, si se necesita.
El grado de estabilidad relativa de un sistema se define con dos conceptos denominados margen de ganancia y margen de fase, que mas adelante veremos.
Si, por ejemplo, tenemos un sistema con la siguiente función de transferencia de lazo abierto:
Al aumentar la ganancia k, el diagrama de Nyquist se va abriendo, es decir, se aproxima al punto crítico -1+j0:
sTsTs
ksHsG
21 11
- Para k = k1: el sistema es estable.- Para k = k2: el sistema es estable pero más cercano al punto crítico.- Para k = kcrítica: el sistema se convierte en oscilante ya que tendremos un polo en el eje jw.- Para k > kcrítica: el sistema es inestable y rodea al punto -1 + j0.
Estabilidad de Lazo Cerrado
Recuérdese del criterio de Cauchy que el número de veces N que el grafico de G(s)H(s) rodea al punto -1 es igual al número Z de ceros de 1 + G(s)H(s) rodeados por el contorno de frecuencias menos el número P de polos de G(s)H(s) rodeados por el contorno de frecuencia (N = Z - P). Tomando en cuenta esto, debería quedar claro que:
Los ceros de 1 + G(s)H(s) son los polos de la función de transferencia de lazo cerrado
Los polos de 1 + G(s)H(s) son los polos de la función de transferencia de lazo abierto
El criterio de Nyquist establece por tanto que: P = número de polos de lazo abierto (inestables) de G(s)H(s) N = número de veces que el diagrama de Nyquist rodea al punto -1 Los rodeos en sentido horario son positivos Rodeos antihorarios son considerados negativos Z = número de ceros en el semiplano derecho del sistema de lazo cerrado La ecuación que relaciona estas cantidades es:
Z = P + N
Nota: esta es solamente una convención para el criterio de Nyquist. Otra convención establece que los rodeos antihorarios son positivos. En este caso la ecuación se transforma en Z = P - N.
Podemos también utilizar el diagrama de Nyquist para encontrar el rango de ganancias de realimentación de lazo cerrado para que el sistema sea estable. Nuestro sistema de prueba se verá como se muestra:
donde G(s) es :
Este sistema posee una ganancia K, que puede ser variada para modificar la respuesta de lazo cerrado. Sin embargo, veremos que solo podemos variar esta ganancia dentro de ciertos limites, ya que tenemos que asegurar la estabilidad de nuestro sistema de lazo cerrado. Buscaremos por tanto lo siguiente: el rango de ganancias que aseguran la estabilidad del sistema de lazo cerrado.
158
24102
2
ss
sssG
C(s)R(s)G(s)
H(s)
+ - K
Podemos ver que existen 2 giros antihorarios alrededor de -1. Se tienen Z = P – N = 2 – 2 = 0 polos en el semiplano derecho del sistema de lazo cerrado. Por lo tanto, el sistema es estable para una ganancia igual 1.
Existen también 2 giros antihorarios alrededor de -1. Hay Z = P – N = 2 – 2 = 0 polos en el semiplano derecho del sistema de lazo cerrado. Por lo tanto, el sistema es estable para una ganancia igual 20. El diagrama se ha expandido. Por lo tanto, sabemos que el sistema será estable independientemente del incremento de la ganancia.
Sin embargo, si disminuimos la ganancia el diagrama se contraerá y el sistema podrá volverse inestable.El sistema es ahora inestable, ya que se tienen Z = P – N = 2 – 0 = 2 polos en el semiplano derecho del sistema de lazo cerrado. Por tanteo y error podemos determinar que este sistema se vuelve inestable para ganancias menores que 0.8.
Los polos en lazo abierto están en el semiplano derecho s. El punto -1+j0 no se enlaza ninguna vez. El sistema de lazo cerrado es inestable.
1
5.023
ss
ssG
C(s)R(s)G(s)+ -
El punto -1+j0 no se enlaza ninguna vez. El sistema de lazo cerrado es estable.
1025
1202
ssss
ssG
C(s)R(s)G(s)+ -
El punto -1+j0 no se enlaza ninguna vez. El sistema de lazo cerrado es estable.
102
5.01002
sss
ssG
C(s)R(s)G(s)+ -
El punto -1+j0 se enlaza dos veces en el sentido de las agujas de un reloj. El sistema en lazo cerrado es inestable.
18.0
12
sss
sGC(s)R(s)
G(s)+ -
El punto -1+j0 se enlaza dos veces en el sentido de las agujas de un reloj. El sistema en lazo cerrado es inestable.
5.0
12
sss
sGC(s)R(s)
G(s)+ -
El punto -1+j0 no se enlaza ninguna vez. El sistema en lazo cerrado es estable, ya que no hay polos en lazo abierto en el semiplano derecho de s.
45
642
2
ss
sssG
C(s)R(s)G(s)+ -
El punto -1+j0 se enlaza una vez en el sentido contrario al de las agujas del reloj. El sistema en lazo cerrado es inestable.
45
642
2
ss
sssG
C(s)R(s)G(s)+
+
Margen de ganancia
El margen de ganancia (Mg) es el inverso de |G(j)| a la frecuencia de cruce o de transición de fase(1), que es a la cual el ángulo de fase de la función de transferencia en lazo abierto es -180º. Si la realimentación es unitaria (H(j)=1), podemos expresarlo como:
Un margen de ganancia positivo (en decibeles) significa que el sistema es estable; y si es negativo (en dB), será inestable. Si es nulo (en dB), el sistema es críticamente estable, es decir, tiende a la inestabilidad.
1
1
log20log20en
1
jGMgdB: Mg
jGMg
Para un sistema de fase mínima estable, el margen de ganancia indica en cuánto se puede incrementar la ganancia antes de que el sistema se haga inestable.
Para un sistema de fase mínima inestable, el margen de ganancia nos dice en qué cantidad hay que reducir la ganancia para hacer al sistema estable.
Margen de fase
Es la cantidad de retardo de fase adicional necesaria para que el sistema quede al borde de la inestabilidad a la frecuencia de corte o de transición de ganancia, que es aquella frecuencia para la cual |G(j)| es la unidad. El margen de fase Mf es 180º más el ángulo de fase de la función de transferencia de lazo abierto a la frecuencia de cruce de ganancia:
180fM
En el diagrama de Nyquist, se puede trazar una recta desde el origen al punto de cruce de la curva de Nyquist con el círculo de radio unidad. El ángulo desde el eje real negativo a esta recta es el margen de fase.
Para que un sistema de fase mínima sea estable, el margen de fase debe ser positivo; si es negativo, el sistema será inestable.
Para el caso de los sistemas de fase no mínima, se cumple que serán estables si los márgenes de ganancia y fase son negativos.
1/Mg
Mf
mg
mf
1/Mg
Mf
mg
mf
Margen de ganancia y de fase en el diagrama de Bode
En el diagrama de Bode, el margen de ganancia se entiende como el número de decibeles que se puede aumentar la ganancia del sistema hasta hacer que la curva de amplitud corte al eje de frecuencias, a la frecuencia en el que el ángulo de fase es -180º.
El margen de fase es el número de grados que le faltan a la curva del ángulo de fase para cortar a la horizontal de desfase -180º cuando la curva de amplitudes corta al eje de frecuencias (0 dB).
Margen de ganancia y de fase en el diagrama de Bode
En la práctica, para que un sistema de control tenga un funcionamiento adecuado, el margen de ganancia debe ser superior a 6dB y el margen de fase debe estar entre +30º y +60º. Con estos márgenes, queda garantizada la estabilidad del sistema a pesar de que las constantes de tiempo de los componentes varíen dentro de ciertos límites.
Mg
Mf
mgmf
Mg
Mf
mgmf
