Unidad 1 Conceptos y criterios económicos y el valor del dinero a través del tiempo1.1 Introducción1.1.1 Definicion Terminologia De Ingenieria Economica Son conceptos y técnicas matemáticas aplicadas en el análisis, comparación y evaluación económica de alternativas relativas a proyectos de ingeniería . ¿Qué es la Ing. Económica? se preocupa de los aspectos económicos de la ingeniería; implica la evaluación sistemática de los costos y beneficios de los proyectos técnicos propuestos. Los principios y metodología de la ingeniería económica son parte integral de la administración y operación diaria de compañías y corporaciones del sector privado, servicios públicos regulados, unidades o agencias gubernamentales, y organizaciones no lucrativas. Estos principios se utilizan para analizar usos alternativos de recursos financieros, particularmente en relación con las cualidades físicas y la operación de una organización. ¿De qué se encarga la Ingeniería Económica? Se encarga del dinero en las decisiones tomadas por los ingenieros al trabajar para hacer que una empresa sea lucrativa en un mercado altamente competitivo. Inherentes a estas decisiones son los cambios entre diferentes tipos de costos y el desempeño (Tiempo de respuesta, seguridad, peso, confiabilidad, etc.) proporcionado por el diseño propuesto a la solución del problema. ¿Cuál es su Objetivo?Lograr un análisis técnico, con énfasis en los aspectos económicos, de manera de contribuir notoriamenteen la toma de decisiones. 2.- Enfocarse en las diferencias: Al comparar las alternativas debe considerarse sólo aquello que resulta relevante para la toma de decisiones, es decir, las diferencias en los posibles resultados. 3.- Utilizar un punto de vista consistente: Los resultados posibles de las alternativas, económicas y de otro tipo, deben llevarse a cabo consistentemente desde un punto de vista definido. 4.- Utilizar una unidad de medición: Utilizar una unidad de medición para enumerar todos los resultados probables hará más fácil el análisis y comparación de las alternativas. 5.- Considerar los criterios: La seleción de una alternativa requiere del uso de uno o varios criterios. El proceso de decisión debe considerar los resultados enumerados en la unidad monetaria y los expresados en alguna otra unidad de medida o hechos explícitos de una manera descriptiva. 6.- Hacer la incertidumbre: La incertidumbre es inherente al proyectar los resultados futuros de las alternativas y debe reconocerse en su análisis y comparación. 7.- Tomar decisiones: La toma de decisiones mejorada resulta de un proceso adaptativo;los resultados iniciales proyectados de la alternativa seleccionada deben compararse posteriormente con los resultados reales logrados.

1.1.2. Interes Simple e Interes Compuesto INTERES SIMPLE Se calcula utilizando solamente el principal, ignorando interes generado en los periodos de interes anteriores. INTERES COMPUESTO.- Bajo interes

compuesto, el interes generado durante cada periodo de interes se calcula sobre el principal mas el monto total de interes acumulado en todos los periodos anetirores. 1. Interés Simple El interés simple, es pagado sobre el capital primitivo que permanece invariable. En consecuencia, el interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Es decir, la retribución económica causada y pagada no es reinvertida, por cuanto, el monto del interés es calculado sobre la misma base. Interés simple, es también la ganancia sólo del Capital (principal, stock inicial de efectivo) a la tasa de interés por unidad de tiempo, durante todo el período de transacción comercial. La fórmula de la capitalización simple permite calcular el equivalente de un capital en un momento posterior. Generalmente, el interés simple es utilizado en el corto plazo (períodos menores de 1 año). Al calcularse el interés simple sobre el importe inicial es indiferente la frecuencia en la que éstos son cobrados o pagados. El interés simple, NO capitaliza. 2.-Interés Compuesto El interés compuesto es fundamental para entender las matemáticas financieras. Con la aplicación del interés compuesto obtenemos intereses sobre intereses, esto es la capitalización del dinero en el tiempo. Calculamos el monto del interés sobre la base inicial más todos los intereses acumulados en períodos anteriores; es decir, los intereses recibidos son reinvertidos y pasan a convertirse en nuevo capital.

Llamamos monto de capital a interés compuesto o monto compuesto a la suma del capital inicial con sus intereses. La diferencia entre el monto compuesto y el capital original es el interés compuesto. El intervalo al final del cual capitalizamos el interés recibe el nombre de período de capitalización. La frecuencia de capitalización es el número de veces por año en que el interés pasa a convertirse en capital, por acumulación. Tres conceptos son importantes cuando tratamos con interés compuesto: 1. El capital original (P o VA) 2. La tasa de interés por período (i) 3. El número de períodos de conversión durante el plazo que dura la transacción (n).

1.1.3. Equivalencia El valor del dinero en el tiempo y la tasa de interés acumulada conjuntamente genera el concepto de equivalencia esto significa que diferentes sumas de dinero en diferentes tiempos pueden tener igual valor económico. Por ejemplo si la tasa de interés es de 12% por año $100 hoy pueden ser equivalentes $112 al año.

1.1.4. Simbología a utilizar SIMBOLOGIALos símbolos y relación matemática con ingeniería económica son los siguientes:P = valor o suma de dinero en un tiempo presenteF = valor o suma de dinero denominado futuroA = una serie consecutiva igual de dinero al final del periodon = # de periodos i = tasa de interés por periodo

Los valores P y F representan valores sencillos en los cuales ocurren una vez en el tiempo. Todos los problemas de ingeniería económicadeben de incluir por lo menos 4 de los símbolos arriba anotados y conocerse por lo menos 3 de ellos.

1.1.5. Diagrama de Flujo de Efectivo El concepto de flujo de caja se refiere al análisis de las entradas y salidas de dinero que se producen (en una empresa, en un producto financiero, etc.), y tiene en cuenta el importe de esos movimientos, y también el momento en el que se producen. Estas van a ser las dos variables principales que van a determinar si una inversión es interesante o no. Generalmente el diagrama de flujo de efectivo se representa gráficamente por flechas hacia arriba que indican un ingreso y flechas hacia abajo que indican un egreso. Estas flechas se dibujan en una recta horizontal cuya longitud representa la escala total de tiempo del estudio que se esté haciendo. Esta recta se divide en los periodos de interés del estudio, la duración de estos periodos debe ser la misma que el periodo en el cual se aplica la tasa de interés.

1.2. Factores de Interes y su Empleo El significado de equivalencia Para evaluar alternativas de inversión, deben compararse montos monetarios que se producen en diferentes momentos, ello sólo es posible si sus características se analizan sobre una base equivalente. Dos situaciones son equivalentes cuando tienen el mismo efecto, el mismo peso o valor. Tres factores participan en la equivalencia de las alternativas de inversión: - el monto del dinero, - el tiempo de ocurrencia - la tasa de interés Losfactores de interés que se desarrollarán, consideran el tiempo y la tasa de interés. Luego, ellos constituyen el camino adecuado para la transformación de alternativas en términos de una base temporal común.1.2.1. Factores de Pago Unico Los factores de interés que se desarrollarán, consideran el tiempo y la tasa de interés. Luego, ellos constituyen el camino adecuado para la transformación de alternativas en términos de una base temporal común. Estos factores son deducidos con base a la generación del interés compuesto para determinar la cantidad futura o presente en un momento dado del tiempo. En un inicio se planteo que el interés compuesto se refiere al interés pagado sobre el interés. Por consiguiente, si una suma de dinero P se invierte en algún momento t=0, la suma de dinero F1 que se habrá acumulado 1 año a partir del momento de la inversión a una tasa de interés de i por ciento anual

1.2.1.1 Factor Valor Presente (F/P)

1.2.1.2 Factor Valor Futuro (P/F) FACTOR VALOR FUTURO F1= P + Pi, deduciendo lo siguiente F1= P(1+i), para el año dos F2=P(1+i) + P(1+i)i, como el monto del interés y principal se acumula para cada año y se multiplica por el factor de interés, resultando una potencia para n años. De tal forma que

la formula compuesta resulta: F= P (1+i) ⁿ donde el termino entre paréntesis se denomina factor de descuento.

1.2.2. Factor de Serie Uniforme Una serie uniforme de pagos consiste en aportar una serie de cantidades iguales durantecierto periodo, dichas cantidades se identifican con la letra “A”. Tambien nos referimos a esto como pago uniforme sin importar con que frecuencia se efectue los pagos que puede ser anual, mensual, semanal, etc.

1.2.2.1 Factor Valor Presente Serie Uniforme (P/A)   Método del valor presenteEl método del valor presente de evaluación de alternativas es muy popular debido a que los gastos o los ingresos futuros se transforman en dólares equivalentes de ahora. Es decir, todos los flujos futuros de efectivo asociado con una alternativa se convierten en dólares presentes. En esta forma, es muy fácil, aún para una persona que no está familiarizada con el análisis económico, ver la ventaja económica de una alternativa sobre otra.La comparación de alternativas con vidas iguales mediante el método del valor presente es directa. Si se utilizan ambas alternativas con capacidades idénticas para el mismo periodo de tiempo, estas reciben el nombre de alternativas de servicio igual.Con frecuencia, los flujos de efectivo de una alternativa representan solamente desembolsos, es decir, no se estiman entradas. Por ejemplo, se podría estar interesado en identificar el proceso cuyo costo inicial, operacional y de mantenimiento equivalente es más bajo. En otras ocasiones, los flujos de efectivo incluirán entradas y desembolsos. Las entradas, por ejemplo, podrían provenir de las ventas de un producto, de los valores de salvamento de equipo o de ahorros realizables asociadoscon un aspecto particular de la alternativa. Dado que la mayoría de los problemas que se considerarán involucran tanto entradas como desembolsos, estos últimos se representan como flujos negativos de efectivo y las entradas como positivos.Por lo tanto, aunque las alternativas comprendan solamente desembolsos, o entradas y desembolsos, se aplican las siguientes guías par seleccionar una alternativa utilizando la medida de valor del valor presente:   Una alternativa: Si VP >= 0, la tasa de retorno solicitada es lograda o excedida y la alternativa es financieramente viable.   Dos alternativas o más: Cuando sólo puede escogerse una alternativa (las alternativas son mutuamente excluyentes), se debe seleccionar aquella con el valor presente que sea mayor en términos numéricos, es decir, menos negativo o más positivo, indicando un VP de costos más bajos o VP más alto de un flujo de efectivo neto de entradas y desembolsos.En lo sucesivo se utiliza el símbolo VP, en lugar de P, para indicar la cantidad del valor presente de una alternativa.Ejemplo: Haga una comparación del valor presente de las máquinas de servicio igual para las cuales se muestran los costos a continuación, si la i = 10% anual.| Tipo A | Tipo B |Costo inicial (P) $ | 2500 | 3500 |Costo anual de operación (CAO) $ | 900 | 700 |Valor de salvamento (VS) $ | 200 | 350 |Vida (años) | 5 | 5 |

La solución queda de la siguiente manera:VPA = -2500 - 900(P/A,10%,5) + 200(P/F,10%,5)= -$5787.54VPB = -3500 - 700(P/A,10%,5) + 350(P/F,10%,5) = -$5936.25Una agente viajera espera comprar un auto usado este año y ha estimado la siguiente información: El costo inicial es $10,000; el valor comercial será de $500 dentro de 4 años; el mantenimiento anual y los costos de seguro son de $1,500; y el ingreso anual adicional debido a la capacidad de viaje es de $5,000. ¿Podrá la agente viajera obtener una tasa de retorno del 20% anual sobre su compra?Solución: Calcular el VP de la inversión con i = 20%VP = -10000 + 500(P/F,20%,4) - 1500(P/A,20%,4) + 5000(P/A,20%,4) = -$698.40No obtendrá una tasa de retorno del 20% porque VP es menor que cero.4.1.2 Comparación en valor presente de alternativas con vidas diferentesCuando se utiliza el método del valor presente para comparar alternativas mutuamente excluyentes que tienen vidas diferentes, se sigue un procedimiento similar al anterior, pero con una excepción: Las alternativas deben compararse durante el mismo número de años. Esto es necesario pues, una comparación comprende el cálculo del valor presente equivalente de todos los flujos de efectivo futuros para cada alternativa. Una comparación justa puede realizarse sólo cuando los valores presentes representan los costos y las entradas asociadas con un servicio igual.La imposibilidad de comparar un servicio igual siempre favorecerá la alternativa de vida más corta (para costos), aún si ésta no fuera la más económica, ya que hay menos periodos decostos involucrados. El requerimiento de servicio igual puede satisfacerse mediante dos enfoques:   Comparar las alternativas durante un periodo de tiempo igual al mínimo común múltiplo (MCM) de sus vidas.   Comparar las alternativas utilizando un periodo de estudio de longitud de “n” años, que no necesariamente considera las vidas de las alternativas. Este se denomina el enfoque de horizonte de planeación.Para el enfoque MCM, se logra un servicio igual comparando el mínimo común múltiplo de las vidas entre las alternativas, lo cual hace que automáticamente sus flujos de efectivo extiendan al mismo periodo de tiempo. Es decir, se supone que el flujo de efectivo para un “ciclo” de una alternativa debe duplicarse por el mínimo común múltiplo de los años en términos de dinero de valor constante. Entonces, el servicio se compara durante la misma vida total para cada alternativa. Por ejemplo, si se desean comparar alternativas que tienen vidas de 3 y 2 años, respectivamente, las alternativas son evaluadas durante un periodo de 6 años. Es importante recordar que cuando una alternativa tiene un valor de salvamento terminal positivo o negativo, éste también debe incluirse y aparecer como un ingreso en el diagrama de flujo de efectivo de cada ciclo de vida. Es obvio que un procedimiento como éste requiere que se planteen algunos supuestos sobre las alternativas en sus ciclos de vida posteriores. De manera específica, estos supuestos son:  * Las alternativas bajoconsideración serán requeridas para el mínimo común múltiplo de años o más.  * Los costos respectivos de las alternativas en todos los ciclos de vida posteriores serán los mismos que en el segundo.El segundo supuesto es válido cuando se espera que los flujos de efectivo cambien con la

tasa de inflación o de deflación exactamente, lo cual es aplicable a través del periodo de tiempo MCM. Si se espera que los flujos de efectivo cambien en alguna otra tasa, entonces debe realizarse un estudio del periodo con base en el análisis de VP. Esta aseveración también se cumple cuando no puede hacerse el supuesto durante el tiempo en que se necesitan las alternativas.Para el segundo enfoque del periodo de estudio, se selecciona un horizonte de tiempo sobre el cual debe efectuarse el análisis económico y sólo aquellos flujos de efectivo que ocurren durante ese periodo de tiempo son considerados relevantes para el análisis. Los demás flujos de efectivo que ocurran más allá del horizonte estipulado, bien sea que ingresen o que salgan, son ignorados. Debe hacerse y utilizarse un valor de salvamento realista estimado al final del periodo de estudio de ambas alternativas. El horizonte de tiempo seleccionado podría ser relativamente corto, en especial cuando las metas de negocios de corto plazo son muy importantes, o viceversa. En cualquier caso, una vez que se ha seleccionado el horizonte y se han estimado los flujos de efectivo para cada alternativa, se determinan los valoresVP y se escoge el más económico. El concepto de periodo de estudio u horizonte de planeación, es de particular utilidad en el análisis de reposición.Ejemplo: Un administrador de planta está tratando de decidir entre dos máquinas excavadoras con base en las estimaciones que se presentan a continuación:| Máquina A | Máquina B |Costo inicial P | 11000 | 18000 |Costo anual de operación | 3500 | 3100 |Valor de salvamento | 1000 | 2000 |Vida (años) | 6 | 9 |   Determinar cuál debe ser seleccionada con base en una comparación de valor presente utilizando una tasa de interés del 15% anual.   Si se especifica un periodo de estudio de 5 años y no se espera que los valores de salvamento cambien, ¿Cuál alternativa debe seleccionarse?   ¿Cuál máquina debe ser seleccionada en un horizonte de 6 años si se estima que el valor de salvamento de la máquina B es de $6000 después de 6 años?Solución:   Puesto que las máquinas tienen vidas diferentes, estas deben compararse con su MCM, que es 18 años. Para ciclos de vida posteriores al primero, el primer costo se repite en el año 0 del nuevo ciclo, que es el último año del ciclo anterior. Estos son los años 6 y 12 para la máquina A y al año 9 para la máquina B.VPA = -11000-11000(P/F,15%,6)-11000(P/F,15%,12)-3500(P/A,15%,18) +1000(P/F,15%,6)+1000(P/F,15%,12)+1000(P/F,15%,18) = -$38599.20VPB = -18000-18000(P/F,15%,9) - 3100(P/A,15%,18) + 2000(P/F,15%,9) + 2000((P/F,15%,18) = $41384.00Se selecciona la máquinaA puesto que cuesta menos en términos de VP que la máquina B.   Para un horizonte de planeación a 5 años no se necesitan repeticiones de ciclo y VSA = $1000 y VSB = $2000 en el año 5. El análisis VP es:VPA = -11000 - 3500(P/A,15%,5) + 1000(P/F,15%,5) = -$22235.50VPB = -18000 - 3100(P/A,15%,5) + 2000(P/F,15%,5) = -$27397.42La máquina A sigue siendo la mejor selección.   Para el horizonte de planeación de 6 años, VSB = $6000 en el año 6.

VPA = -11000 - 3500(P/A,15%,6) + 1000(P/F,15%,6) = -$23813.45VPB = -18000 - 3100(P/A,15%,6) + 6000(P/F,15%,6) = -$27138.15Definitivamente la máquina A es la mejor alternativa.La firma ASVERA Cementos planea abrir una nueva cantera. Se han diseñado dos planes para el movimiento de la materia prima desde la cantera hasta la planta. El plan A requiere la compra de dos volquetas y la construcción de una plataforma de descargue en la planta. El plan B requiere la construcción de un sistema de banda transportadora desde la cantera hasta la planta. Los costos para cada plan se detallan más adelante en la tabla correspondiente. Mediante el análisis del VP, determinar cuál plan debe seleccionarse si el dinero vale actualmente 15% anual.| Plan | A | Plan B || volqueta | plataforma | Banda transportadora |Costo inicial | 45000 | 28000 | 175000 |Costo anual de operación | 6000 | 300 | 2500 |Valor de salvamento | 5000 | 2000 | 10000 |Vida (años) | 8 | 12 | 24 |Solución: La evaluación debe incluirdel MCM de 8 y 12, es decir, 24 años. La reinversión en las 2 volquetas ocurrirá en los años 8 y 16, y la plataforma nuevamente deberá ser comprada en el año 12. No se necesita reinversión para el plan B.Para simplificar los cálculos, analicemos que los CAO de el plan A son $9800 más elevados que para el plan B (2 volquetas = (12000 + 300) - 2500 = 9800Por lo tanto, el VPA = VP volquetas + VP plataforma + VPCAOVP volquetas = -90000 - 90000(0.3269) - 90000(0.1069) +10000(0.3269) + 10000(0.1069) + 10000(0.0349) = -$124355.00VP plataforma = -28000 - 28000(0.1869) + 2000(0.1869) + 2000(0.0349 = -$32789.60VPCAO = -9800(6.4338) = -$63051.24Por lo tanto el VP plan A = -$220195.84Para el plan B se resuelve de la siguiente manera:VP plan B = -175000 + 10000(0.0349) = -$174651.00Como se puede apreciar, el plan más viable es el plan B (es el menos negativo), por lo que se debe optar por esta alternativa y construir la banda transportadora.Ejemplo: Un propietario de un restaurante está tratando de decidir entre dos vaciadores de desechos de basura. Un vaciador de acero común (AC) tiene un costo inicial de $65000 y una vida de 4 años. La otra alternativa es un vaciador resistente al óxido construido principalmente de acero inoxidable (AI), cuyo costo inicial es de $110000; se espera que éste dure 10 años. Debido a que el vaciador AI tiene un motor ligeramente más grande, se espera que su operación cueste alrededor de $5000 más por año que la del vaciador AC.Si la tasa de interés es 16% anual, ¿Cuál alternativa debe seleccionarse?AC: P = $65000; n = 4 años; A = $0.00AI: P = $110000; n = 10 años; A = $5000VP (AC) = -65000 - 65000(P/F,16%,4) - 65000(P/F,16%,8) - 65000(P/F,16%,12) - 65000(P/F,16%,16) = -$137,722.00VP (AI) = -110000 - 110000(P/F,16%,10) - 5000(P/A,16%,20) = -$164,581.00Debe adquirir el vaciador de acero común, ya que es el que presenta el menor valor presente total.

1.2.2.2 Factor de Recuperacion de Capital (A/P) Factor de recuperación de capital con serie de pagos iguales Se efectúa un depósito de monto P en un tiempo presente a una tasa anual i. El depositante desea extraer el capital más el interés ganado en una serie de montos iguales a fin de año sobre los próximos n años. Cuando se realiza la última extracción no quedan fondos en el depósito. Además, puede expresarse como cuál es el pago uniforme a final de cada período que es equivalente al monto invertido al iniciarse el primer año. El diagrama de flujo de dinero se muestra en la Figura B.4. Para determinar este factor, lo expresaremos como el producto de dos factores ya conocidos, el factor de monto compuesto con pago simple (FPFi,n) y el factor de fondo de amortización con serie de pagos iguales (FFAi,n). A = P × FPA = P × FPF × FFA ………. (B.13) Figura B.4 Monto presente simple y serie de pagos iguales El factor resultante i × (1+i)n/[(1+i)n - 1] se conoce como factor de recuperación de capital con serie de pagos igualesy se designa por (FPAi,n). Se utiliza para calcular los pagos iguales requeridos para amortizar un monto presente de un préstamo, donde el interés se calcula sobre saldos. Este tipo de arreglo financiero es la base de la mayoría de los préstamos y constituye la forma más común de amortización de una deuda.

1.2.2.3 Factor Valor Futuro Serie Uniforme (F/A) EL TEMA Factor Valor Futuro Serie Uniforme SE refiere a los gastos q puedes tener en el futuro y deberias preever sobre ellos1.2.2.4 Factor Fondo de Amortizacion (A/F)

1.3. Factores de Gradiente 1.3.1 Factores Gradiente Aritmetico 1.3.2 Factor Gradiente Geometrico 1.4 Factores Multiples Unidad 2 Capitalización de interés 2.1. Tasa de Capitalizacion Capitalización es el proceso de convertir ingresos en el caso de bienes raíces, la tasa de rentabilidad. La tasa es la proporción de ingresos anual relacionados al valor de la propiedad. Por ejemplo, si usted compra un bien para invertir por $120,000 y puede producir $1,000 cada mes despues de gastos de operación (antes de servicio de deuda), entonces la tasa de capitalización seria 12,000 dividido entre 120,000 que es igual a 10%. Esto quiere decir que tomara diez años aproximadamente para recuperar el valor de la propiedad si es que la renta queda siempre igual. En general, si usted quiere vender, lo mas baja la tasa lo mejor para usted. Lo mas alta la tasa lo mejor si usted busca comprar. Sin embargo, asegurese que la vecindad es buena yla propiedad este en buena condición. La tasa de capitalización no ayuda si el valor de la propiedad esta bajando

2.1.1 Tasa Nominal La tasa nominal es el interés que capitaliza más de una vez por año. Esta tasa convencional o de referencia lo fija el Banco Federal o Banco Central de un país para regular las

operaciones activas (préstamos y créditos) y pasivas (depósitos y ahorros) del sistema financiero. Es una tasa de interés simple. Siendo la tasa nominal un límite para ambas operaciones y como su empleo es anual resulta equivalente decir tasa nominal o tasa nominal anual. La ecuación de la tasa nominal es: j = tasa de interés por período x número de períodos En general, se denomina tasa de interés al porcentaje de capital o principal, expresado en centésimas, que se paga por la utilización de éste en una determinada unidad de tiempo (normalmente un año). La tasa de interés corriente o del mercado se calcula fundamentalmente atendiendo a la relación entre la oferta de dinero y la demanda de los prestatarios. Cuando la oferta de dinero disponible para la inversión aumenta más rápido que las necesidades de los prestatarios, los tipos de interés tienden a caer. Análogamente, los tipos de interés tienden a aumentar cuando la demanda de fondos para invertir crece más rápido que la oferta de fondos disponibles a la que se enfrentan esas demandas.

2.1.2 Tasa Efectiva Con el objeto de conocer con precisión el valor del dinero en el tiempo es necesarioque las tasas de interés nominales sean convertidas a tasas efectivas. La tasa efectiva es aquella a la que efectivamente está colocado el capital. La capitalización del interés en determinado número de veces por año, da lugar a una tasa efectiva mayor que la nominal. Esta tasa representa globalmente el pago de intereses, impuestos, comisiones y cualquier otro tipo de gastos que la operación financiera implique. La tasa efectiva es una función exponencial de la tasa periódica. Las tasas nominales y efectivas, tienen la misma relación entre sí que el interés simple con el compuesto. Las diferencias están manifiestas en la definición de ambas tasas. Con el objeto de conocer con precisión el valor del dinero en el tiempo es necesario que las tasas de interés nominales sean convertidas a tasas efectivas. Por definición de la palabra nominal «pretendida, llamada, ostensible o profesada» diríamos que la tasa de interés nominal no es una tasa correcta, real, genuina o efectiva. La tasa de interés nominal puede calcularse para cualquier período mayor que el originalmente establecido. Así por ejemplo: Una tasa de interés de 2.5% mensual, también lo expresamos como un 7.5% nominal por trimestre (2.5% mensual por 3 meses); 15% por período semestral, 30% anual o 60% por 2 años. La tasa de interés nominal ignora el valor del dinero en el tiempo y la frecuencia con la cual capitaliza el interés. La tasa efectiva es lo opuesto. En forma similar a las tasas nominales,las tasas efectivas pueden calcularse para cualquier período mayor que el tiempo establecido originalmente como veremos en la solución de problemas. Cuando no está especificado el período de capitalización (PC) suponemos que las tasas son efectivas y el PC es el mismo que la tasa de interés especificada. Es importante distinguir entre el período de capitalización y el período de pago porque en muchos casos los dos no coinciden.

2.2 Calculos para Periodos de Pago 2.3. Cuando los períodos de capitalización y pagos no coinciden En los casos en que el período de capitalización de un préstamo o inversión no coincide con el de pago,

necesariamente debemos manipular adecuadamente la tasa de interés y/o el pago al objeto de establecer la cantidad correcta de dinero acumulado o pagado en diversos momentos. Cuando no hay coincidencia entre los períodos de capitalización y pago no es posible utilizar las tablas de interés en tanto efectuemos las correcciones respectivas. Si consideramos como ejemplo, que el período de pago (un año) es igual o mayor que el período de capitalización (un mes); pueden darse dos condiciones: 1. Que en los flujos de efectivo debemos de utilizar los factores del 1º Grupo de problemas factores de pago único (VA/VF, VF/VA). 2. Que en los flujos de efectivo debemos de utilizar series uniformes (2º y 3º Grupo de problemas) o factores de gradientes. 2.3.1. Factores de pago único Para esta condición debemos satisfacer dos requisitos:1) Debe utilizarse la tasa periódica para i, y 2) las unidades en n deben ser las mismas que aquéllas en i. Luego, las ecuaciones de pago único pueden generalizarse de la siguiente forma: VA = VF (VA/VF), i periódica, número de períodos VF = VA (VF/VA), i periódica, número de períodos Así, para la tasa de interés del 18% anual compuesto mensualmente, podemos utilizar variedad de valores para i y los valores correspondientes de n como indicamos a continuación con algunos ejemplos: Tasa de interés efectiva i Unidades para n 1.5% mensual Meses 4.57% trimestral Trimestres 9.34% semestral Semestral 19.56% anual Años 42.95% cada 2 años Período de dos años 70.91% cada 3 años Período de tres años Los cálculos de la tasa periódica, lo hacemos aplicando la ecuación [43]. Como ejemplo desarrollaremos el proceso para la obtención de la tasa efectiva trimestral: j = 1.5 * 3 = 4.5% (0.045); m = 3; i =? El mismo procedimiento es aplicable para la obtención de la tasa efectiva de un número infinito de unidades de n.. Ejercicio 121 (Capitalización de depósitos variables) Si depositamos UM 2,500 ahora, UM 7,500 dentro de 3 años a partir de la fecha del anterior abono y UM 4,000 dentro de seis años a la tasa de interés del 18% anual compuesto trimestralmente. Deseamos saber cuánto será el monto acumulado dentro de 12 años. Solución: Como sabemos, en las ecuaciones sólo utilizamos tasas de interés efectivas o periódicas, por ello, primero calculamos la tasa periódica trimestral a partirde la tasa nominal del 18%: j = 0.18; n = 4; i =? Utilizando la tasa periódica de 4.5% por trimestre y luego períodos trimestrales para n, aplicamos sucesivamente la fórmula [19]. n1..3 = (12*4) = 48, (8*4) = 32 y (6*4) = 24 Respuesta: El monto que habremos acumulado dentro de 12 años, capitalizados trimestralmente es UM 62,857.55 2.3.2. Factores de serie uniforme y gradientes Cuando utilizamos uno o más factores de serie uniforme o gradiente, debemos determinar la relación entre el período de capitalización, PC, y el período de pago, PP. Encontramos esta relación en cada uno de los 3 casos: 1. El período de pago es igual al período de capitalización, PP = PC 2. El período de pago es mayor que el período de capitalización, PP > PC 3. El período de pago es menor que el período de capitalización, PP < PC Para los dos primeros casos PP = PC y PP > PC, debemos: a) Contar el número de pagos y utilizar este valor como n. Por ejemplo, para pagos semestrales durante 8 años, n = 16 semestres. b) Debemos encontrar la tasa de interés efectiva durante el mismo período que n en (a). c) Operar en las fórmulas de los tres grupos de problemas sólo con los valores de n e i. Ejercicio 122 (Capitalización de una anualidad semestral) Si ahorramos UM 300 cada 6 meses durante 5 años. ¿Cuánto habré ahorrado después del último abono si la tasa de interés es 24% anual compuesto semestralmente?. Solución: Como n está expresado en períodos semestrales, requerimos una tasa de interés semestral,para ello utilizamos la fórmula [44B]. C = 300; m = 2; j = 0.24; n = (5*2) = 10; i =?; VF = ? Con esta tasa calculamos el VF de estos ahorros aplicando la fórmula [27] o la función VF. Respuesta: El monto ahorrado es UM 5,264.62 2.3.3. Períodos de pagos menores que los

períodos de capitalización Esta parte corresponde a la relación 3, de la sección 2.3.2. Caso en que el período de pago es menor al período de capitalización (PP < PC). El cálculo del valor actual o futuro depende de las condiciones establecidas para la capitalización entre períodos. Específicamente nos referimos al manejo de los pagos efectuados entre los períodos de capitalización. Esto puede conducir a tres posibilidades: 1. No pagamos intereses sobre el dinero depositado (o retirado) entre los períodos de capitalización. 2. Los abonos (o retiros) de dinero entre los períodos de capitalización ganan interés simple. 3. Finalmente, todas las operaciones entre los períodos ganan interés compuesto. De las tres posibilidades la primera corresponde al mundo real de los negocios. Esto quiere decir, sobre cualquier dinero depositado o retirado entre los períodos de capitalización no pagamos intereses, en consecuencia estos retiros o depósitos corresponden al principio o al final del período de capitalización. Esta es la forma en que operan las instituciones del sistema financiero y muchas empresas de crédito.2.2.1 Iguales a los periodos de capitalización 2.2.2 Mayores a los periodos de capitalización

2.2.3 Menores a los periodos de capitalizacion 2.2.4 Factores de Capitalizacion de Interes 2.3.1 Factores de Pago Unico Los factores de interés que se desarrollarán, consideran el tiempo y la tasa de interés. Luego, ellos constituyen el camino adecuado para la transformación de alternativas en términos de una base temporal común. Estos factores son deducidos con base a la generación del interés compuesto para determinar la cantidad futura o presente en un momento dado del tiempo. En un inicio se planteo que el interés compuesto se refiere al interés pagado sobre el interés. Por consiguiente, si una suma de dinero P se invierte en algún momento t=0, la suma de dinero F1 que se habrá acumulado 1 año a partir del momento de la inversión a una tasa de interés de i por ciento anual2.3.2 Factores de Serie Uniforme Son conjuntos de pagos o cuotas iguales efectuados a intervalos iguales de pago. Las series uniformes deben tener dos condiciones necesarias: pagos o cuotas iguales, efectuados con la misma periodicidad.Unidad 3 Análisis de alternativas de inversión 3.1 Metodo del Valor Presente ANALISIS DE ALTERNATIVAS DE INVERSION OBJETIVO: Entender la forma de comparar alternativas con base en el valor presente o el costo capitalizado, así como seleccionar las mejores alternativas. Alternativa: Solución aislada para una situación dada Mutuamente Excluyente: Solo uno de los proyectos viables puede seleccionarse mediante un análisis económico conproyecto viable, lo que es una alternativa. Método del valor presente: Los gastos e ingresos futuros se transforman en dinero equivalente

3.1.1. Comparacion Alternativas con Vidas Utiles Iguales COMPARACION DE ALTERNATIVAS CON VIDAS IGUALES Tienen capacidades de alternativas identicas para un mismo periodo de tiempo Guia para seleccionar alternativas:

1. Para una sola alternativa: Si el VP es > o = a “0”, entonces la Tasa de Interes es lograda o excedida y la alternativa es financieramente viable. 2. Para 2 o mas alternativas: Se selecciona la alternativa menos negativa o la ams positiva. Comparación de Alternativas con vidas iguales Ejercicios: 1. Realice una comparación del valor presente de las maquinas y seleccione lamedor para las cuáles se muestran los costos: Concepto Electrica Gas Solar Costo inicial 2500 3500 6000 Costo Anual de operaciones 900 700 50 Valor de salvamento 200 350 100 Vida en años 5 5 5 2. Un agente desea comprar un auto y estima: Costo inicial=$10000, Valor comercial= $500 dentro de 4 años, el mantenimiento anual y seguro= $1500 y le ingreso anual adicional debido a la capacidad de viaje= $5000, ¿Podra el agente obtener una tasa de retorno del 20% anual de su compra

3.1.2 Comparacion Alternativas con Vidas Utiles Diferentes COMPARACION DE ALTERNATIVAS CON VIDAS DIFERENTES Deben compararse durante el mismo numero de años Una comparación comprende el calculo del VP equivalente de todos losflujos de efectivo futuros para cada alternativa Requerimiento del servicio igual: • Comparar alternativas durante un periodo= MCM de sus vidas • Comparar en un periodo de estudio de longitud n años (Enfoque de horizonte de planeacion) Enfoque del MCM: Hace que automáticamente los flujos de efectivo se extiendan al mismo

periodo de tiempo. Ejercicios: 1. Un superintendente debe decidir entre 2 maquinas excavadoras en base a:MAQUINA A :Costo inicial 11000, costo anual operacion 3500, valor de salvametno 1000, vida util 6 años. M Aquina B: Costo inicial 18000, costo anual 3100, valor salvamento 2000, vida 9 años. Interes 15%. respuestas: VPA=−38559.2, VPB= −41384, se debe escoger la maquina A 3.-Un ingeniero mecánico contempla 2 tipos de sensores de presión con una tasa de interés de 18% anual, si los dos materiales para construcción de un vehiculo espacial: Material A: Costo Inicia 35000, Mantenimiento anual 7000, Valor Salvamento 20000, Vida Util 6 MATERIAL B: Costo Inicia 15000, Mantenimiento anual 9000, Valor Salvamento 2000, Vida Util 6 RESPUESTAS: vpa= −52075.2 Y VPB=−53649.4 SE ESCOGE EL a

3.1.3 Costo Capitalizado MÉTODO DEL COSTO CAPITALIZADO (CC) El Método del Costo Capitalizado se presenta como una aplicación del Valor Presente de

una Anualidad Infinita. Este es aplicado en proyectos que se supone tendrán una vida útil indefinida, tales como represas, universidades, organizaciones no gubernamentales, etc. También, esaplicable en proyectos que deben asegurar una producción continua, en los cuales los activos deben ser reemplazados periódicamente. Para realizar un análisis sobre esta metodología, se debe hallar el Valor Presente de todos los gastos no recurrentes y sumarlos con el Valor Presente de la Anualidad Infinita, que conforman dichos gastos. EJEMPLO Un industrial tiene dos alternativas para comprar una máquina. La primera máquina se la ofrecen con un costo inicial de $900.000 y tiene una vida útil de 10 años, al final de los cuales deberá ser reemplazada a un costo de $1.000.000. La segunda máquina la ofrecen a un costo de $1.000.000; su vida útil es de 15 años y su costo de reemplazo es de $1.500.000. Si se supone que el interés efectivo es del 20%. ¿Cuál máquina debe comprar? SOLUCIÓN 1. Como la primera máquina debe ser reemplazada cada 10 años, debe constituirse un fondo, mediante pagos anuales $R, con el objeto de tener disponibles $1.000.000 al final del periodo, para efectuar el reemplazo, se tiene entonces que la gráfica de tiempo sería:

1.1. Se halla el valor de los pagos:1.000.000 = RS 10¬20% R = 38.523 1.2. El Valor Presente de la renta perpetua será:Anualidad (A)= R / i Anualidad (A)= 38.523/ 0.2 Anualidad (A)= 192.614 1.3. Los costos no recurrentes son $900.000, que están en valor presente, por lo tanto el costo capitalizado es:

CC = 900.000 + 192614 CC = 1.092.614 2. La segunda máquina debe ser reemplazada cada 15 años, también debe constituirse un fondo, mediante pagos anuales $R, para tener el dinero necesario de $1.500.000 al final del periodo, para efectuar el reemplazo, se tiene entonces que la gráfica de tiempo sería: 2.1. Se halla el valor de los pagos:1.500.000 = R S15¬20% R = 20.823 2.2. El Valor Presente de la renta perpetua será:Anualidad (A)= R / i Anualidad (A)= 20.823 / 0.2 Anualidad (A)= 104.115 2.3. Los costos no recurrentes son $1.000.000, que están en valor presente, por lo tanto el costo capitalizado es:CC = 1.000.000 + 104.115 CC = 1.104.115

La decisión que se tomaría sería por la primera máquina, que es la que tiene el menor costo capitalizado.

3.1.4 Comparacion Alternativas segun Costo Capitalizado Cuando se comparan 2 o más alternativas en base de su costo capitalizado se emplea el procedimiento del ejemplo 1 del tema anterior. Puesto que el costo capitalizado representa el costo total presente de financiación y mantenimiento de una alternativa dada para siempre, las alternativas se compararan automáticamente para el mismo número de años. La alternativa con el menor costo capitalizado es la más económica. Como en el método del valor presente y otros métodos de evaluación de alternativas, solo se deben considerar las diferencias en el flujo d caja entre las alternativas. Por lo tantoy cuando sea posible, los cálculos deben simplificarse eliminando los elementos de flujo de caja comunes a las 2 alternativas. El ejemplo siguiente ilustra el procedimiento para comparar 2 alternativas en base a su costo capitalizado. Ejemplo 1: Se consideran 2 lugares para un puente que cruce un río. El sitio norte conecta una carretera principal con un cinturón vial alrededor de la ciudad y descongestionaría el tráfico local. Las desventajas de este sitio son que prácticamente no solucionaría la congestión del tráfico local durante las horas de mayor afluencia y tendría que extenderse de una colina para abarcar la parte más ancha del río, la vía férrea y las carreteras locales que pasan por debajo. Por lo tanto ese puente tendría que ser un puente colgante. El sitio sur requiere de una distancia mucho mas corta, lo que permite la construcción de un puente de armadura, pero seria necesario construir una nueva carretera. El puente colgante tendría un costo inicial de de $ 30 millones con costos anuales de inspección y mantenimiento de $ 15 000. Además, la plataforma de concreto tendría que recubrirse cada 10 años a un costo de $ 50 000. Se espera que el puente de armadura y las carreteras cercanas tengan un costo de $ 12 millones y un costo anual de mantenimiento de $ 8 000. Cada 3 años se debería pintar el puente a un costo de $ 10 000. Además, cada 10 años habría que limpiarlo con arena a presión y pintarlo a un costo de $ 45 000. Se espera que el costodel derecho de vía para el puente colgante sea de $ 8 000 y para el puente de armadura sea de $ 10.3 millones. Compare las alternativas en base a su costo capitalizado, si la tasa de interés es del 6 %. Solución: (elabore los diagramas de flujo de caja antes de tratar de solucionar el problema. Esto se debe hacer ahora).

3.2 Metodo del Valor Anual El Método del Valor Anual Equivalente (VAE) Este método se basa en calcular qué rendimento anual uniforme provoca la inversión en el proyecto durante el período definido. Por ejemplo: supongamos que tenemos un proyecto con una inversión inicial de $1.000.000. El período de beneficio del proyecto es de 5 años a partir de la puesta en marcha y la reducción de costo cada año (beneficio del proyecto) es de $400.000. La TREMA (Tasa de recuperación mínima aceptada) o Tasa de Descuento es del 12%. Se calculan las anualidades de la inversión inicial: esto equivale a calcular qué flujo de efectivo anual uniforme tiene el proyecto, combinando la inversión y los beneficios. La situación equivale a pedir un préstamo de $1.000.000 por 5 años al 12%. Si es así, se devolverían $277.410

cada año durante 5 años. El VAE del proyecto se puede calcular usando la función PAGO(c1,c2,c3) de Excel, en donde c1 = TREMA (Tasa de recuperación mínima aceptada) o Tasa de Descuento (12%), c2 = cantidad de años que dura el proyecto (5 años) y c3 = inversión inicial ($1.000.000). En nuestro caso sería: PAGO(12, 5, 1.000.000) = $277.410.Esto equivale a que el proyecto arrojará un flujo de efectivo positivo de $277.410 durante los cinco años, cada año. VAE = $400.000 - $277.410 = $122.590 . (VAE = ingreso anual provocado por el proyecto - gastos anuales). Este ejemplo asume que conocemos los gastos y los ingresos del proyecto. Para comparar dos proyectos: el supuesto es que los dos proyectos duran la misma cantidad de períodos.

3.2.1 Comparacion Alternativas Con Vidas Utiles Diferentes COMPARACION DE ALTERNATIVAS CON VIDAS DIFERENTES Deben compararse durante el mismo numero de años Una comparación comprende el calculo del VP equivalente de todos los flujos de efectivo futuros para cada alternativa Requerimiento del servicio igual: • Comparar alternativas durante un periodo= MCM de sus vidas • Comparar en un periodo de estudio de longitud n años (Enfoque de horizonte de planeacion) Enfoque del MCM: Hace que automáticamente los flujos de efectivo se extiendan al mismo

periodo de tiempo. Ejercicios: 1. Un superintendente debe decidir entre 2 maquinas excavadoras en base a:MAQUINA A :Costo inicial 11000, costo anual operacion 3500, valor de salvametno 1000, vida util 6 años. M Aquina B: Costo inicial 18000, costo anual 3100, valor salvamento 2000, vida 9 años. Interes 15%. respuestas: VPA=−38559.2, VPB= −41384, se debe escoger la maquina A 3.-Un ingeniero mecánico contempla 2 tipos de sensores de presión con una tasa de interés de 18% anual, si los dos materiales paraconstrucción de un vehiculo espacial: Material A: Costo Inicia 35000, Mantenimiento anual 7000, Valor Salvamento 20000, Vida Util 6 MATERIAL B: Costo Inicia 15000, Mantenimiento anual 9000, Valor Salvamento 2000, Vida Util 6 RESPUESTAS: vpa= −52075.2 Y VPB=−53649.4 SE ESCOGE EL a

3.2.2 Metodo Valor Presente de Salvamento   El método del valor presente también convierte las inversiones y valores de salvamento en un VA. El valor presente de salvamento se retira del costo de inversión inicial y la diferencia resultante es anualizada con el factor A/P durante la vida del activo.La ecuación general es: VA = -P + VS(P/F,i,n)(A/P,i,n).Los pasos para obtener el VA del activo completo son:   Calcular el valor presente del valor de salvamento mediante el factor P/F.

  Combinar el valor obtenido en el paso 1 con el costo de inversión P.   Anualizar la diferencia resultante durante la vida del activo utilizando el factor A/P.   Combinar cualquier valor anual uniforme con el paso 3.   Convertir cualquier otro flujo de efectivo en un valor anual uniforme equivalente y combinar con el valor obtenido en el paso 4.Ejemplo: Calcule el VA del aditamento de tractor del ejemplo anteriormente analizado utilizando el método del valor presente de salvamento.VA = [-8000 + 500(PF,20,8[0.2326])](AP,20,8[0.26061]) - 900] = -$2,954.57

3.2.3 Metodo de Recuperacion de Capital Otro procedimiento para calcular el CAUE de un activo con un valor de salvamentoes el método de recuperación de capital mas intereses; la ecuación general para este método es: Se reconoce que se recuperara el valor de salvamento si se resta el valor de salvamento del costo de la inversión antes de multiplicar por el factor A/F. Sin embargo, el hecho de que el valor de salvamento no se recuperara’ para n años debe tenerse en cuenta al sumar el interés (VSi) perdido durante la vida útil del activo. Al no incluir este término se supone que el valor de salvamento se obtuvo en el año cero en vez del año n. Los pasos que deben seguirse para este método son los siguientes: 1) Restar el valor de salvamento del costo inicial. 2) Anualizar la diferencia resultante con el factor A/P. 3) Multiplicar el valor de salvamento por la tasa de interés. 4) Sumar los valores obtenidos en los pasos 2 y 3. 5) Sumar los costos anuales uniformes al resultado del paso 4.

3.2.4 Comparacion de Alternativas por Caue El método del costo anual uniforme equivalente para comparar alternativas es probablemente la más simple de las técnicas de evaluación de alternativa expuestas en este libro. La selección se hace con base en el CAUE, siendo la alternativa de menor costo la más favorable. Obviamente, la información no cuantificable debe ser considerada también para llegar a la solución final, pero en general se seleccionaría la alternativa con el menor CAUE. Talvez la regla más importante que es necesario recordar al hacer comparaciones por medio delCAUE es que solo se debe considerar un ciclo de la alternativa. Esto supone, evidentemente, que los costos en todos los periodos siguientes serán los mismos.

3.2.5 Valor Anual de una Inversion Perpetua La evaluación de proyectos de control de inundaciones, canales de irrigación, puentes u otros proyectos de gran escala, requiere la comparación de alternativas cuyas vidas son tan largas que pueden ser consideradas infinitas en términos de análisis económico. Para este tipo de análisis es importante reconocer que el valor anual de la inversión inicial es igual simplemente al interés anual ganado sobre la inversión global, como lo expresa la siguiente ecuación: A = Pi.Los flujos de efectivo que son recurrentes en intervalos regulares o irregulares se manejan exactamente igual que en los cálculos VA convencionales, es decir, son convertidos a

cantidades anuales uniformes equivalentes durante un ciclo, lo cual de manera automática las anualiza para cada ciclo de vida posterior.El sistema operador de aguas del estado de Puebla está considerando dos propuestas para aumentar la capacidad del canal principal en su sistema de irrigación en la localidad de valle bajo. La propuesta A comprendería el dragado del canal con el fin de retirar el sedimento y la maleza acumulados durante su funcionamiento en años anteriores. Dado que la capacidad del canal tendrá que mantenerse en el futuro cerca del caudal, debido a la mayor demanda de agua, la oficina está planeandocomprar equipo y accesorios de dragado por $65,000. Se espera que el equipo tenga una vida de 10 años y un valor de salvamento de $7,000. Se estima que los costos anuales de mano de obra y de operación para el funcionamiento del dragado totalizan $22,000. Para controlar la formación de maleza en el canal mismo y a lo largo de los bancos se aplicará herbicidas durante la época de irrigación. Se espera que el costo anual del programa de control de maleza sea de $12,000.La propuesta B involucraría el revestimiento del canal con el concreto a un costo inicial de $650,000. Se supone que el revestimiento es permanente, pero será necesario efectuar algún mantenimiento cada año por un costo de $1,000. Además, tendrán que hacerse reparaciones de revestimiento cada 5 años a un costo de $10,000. Compare las dos alternativas con base en el valor anual uniforme equivalente utilizando una tasa de interés del 5% anual.A | B |P = -$65,000 | P = -$650,000 |n = 10 años | A = -$1,000 |VS = $7,000 | F = $10,000 (cada 5 años) |A1 = -$22,000 | |A2 = -$12,000 | |VAA = -65000(AP,5,10[0.1295] + 7000(AF,5,10[0.07950]) - 22000 - 12000 = -$41,861.00VAB = -650,000(0.05) - 1000 - 10,000(AF,5,5[0.18097]) = -$35,309.70Debe seleccionarse la alternativa B puesto que representa el menor valor anual uniforme equivalente.Ejemplo: Si el joven Vera deposita ahora una tasa de interés del 7% anual, ¿Cuántos años debe acumularse el dinero antes de que pueda retirar $1,400 anualespor tiempo indefinido?VPn = VA/i = 1400/0.07 = 20,000 es el valor presente necesario.¿En cuanto tiempo los $10,000 iniciales serán $20,000?F = P(F/P,7%,n) ----- 20000= 10000(1.07)nn = ln 2 / ln 1.07n = 10.24 años.

3.3 Metodo de la Tasa Interna de Retorno Este método consiste en encontrar una tasa de interés en la cual se cumplen las condiciones buscadas en el momento de iniciar o aceptar un proyecto de inversión. Tiene como ventaja frente a otras metodologías como la del Valor Presente Neto (VPN) o el Valor Presente Neto Incremental (VPNI) por que en este se elimina el cálculo de la Tasa de Interés de Oportunidad (TIO), esto le da una característica favorable en su utilización por parte de los administradores financieros. La Tasa Interna de Retorno es aquélla tasa que está ganando un interés sobre el saldo no

recuperado de la inversión en cualquier momento de la duración del proyecto. En la medida de las condiciones y alcance del proyecto estos deben evaluarse de acuerdo a sus características, con unos sencillos ejemplos se expondrán sus fundamentos. Tasa Interna de retorno Esta es una herramienta de gran utilidad para la toma de decisiones financiera dentro de las organizaciones3.3.1 Calculo Tasa Interna Retorno para Proyecto Unico Si el dinero se obtiene en préstamo, la tasa de interés se aplica al saldo no pagado de manera que la cantidad y el interés total del préstamo se pagan en su totalidad con el último pago del préstamo. Desdela perspectiva del prestamista o inversionista, cuando el dinero se presta o se invierte, hay un saldo no recuperado en cada periodo de tiempo. La tasa de interés es el retorno sobre éste saldo no recuperado, de manera que la cantidad total y el interés se recuperan en forma exacta con el último pago o entrada. La tasa de retorno define estas dos situaciones.Tasa de retorno (TR) es la tasa de interés pagada sobre el saldo no pagado de dinero obtenido en préstamo, o la tasa de interés ganada sobre el saldo no recuperado de una inversión, de manera que el pago o entrada final iguala exactamente a cero el saldo con el interés considerado.La tasa de retorno está expresada como un porcentaje por periodo, por ejemplo, i = 10% anual. Ésta se expresa como un porcentaje positivo; es decir, no se considera el hecho de que el interés pagado en un préstamo sea en realidad una tasa de retorno negativa desde la perspectiva del prestamista. El valor numérico de “i” puede moverse en un rango entre -100% hasta el infinito.La definición anterior no establece que la tasa de retorno sea sobre la cantidad inicial de la inversión, sino más bien sobre el saldo no recuperado, el cual varía con el tiempo. El siguiente ejemplo demuestra la diferencia entre estos dos conceptos:Ejemplo: Para i = 10% anual, se espera que una inversión de $1000 produzca un flujo de efectivo neto de $315.47 para cada 4 años.A = 1000(AP,10,4[0.3155]) = $315.47Esto representa una tasa de retornodel 10% sobre el saldo no recuperado. Calcule la cantidad de la inversión no recuperada para cada uno de los 4 años utilizando (a) la tasa de retorno sobre el saldo no recuperado y (b) la tasa de retorno sobre la inversión inicial de $1000. a)Año | Saldo inicial no recuperad | Interés sobre saldo no rec. | Flujo de efectivo | Cantidad recuperada | Saldo final no recuperad |0 | - | - | 1000 | - | 1000 |1 | 1000 | 100 | 315.47 | 215.47 | 784.53 |2 | 784.53 | 78.45 | 315.47 | 237.02 | 547.51 |3 | 547.51 | 54.75 | 315.47 | 260.72 | 286.79 |4 | 286.79 | 28.68 | 315.47 | 286.79 | 0 |261.88 1000b)Año | Saldo inicial no recuperad | Interés sobre saldo no rec. | Flujo de efectivo | Cantidad recuperada | Saldo final no recuperad |0 | - | - | 1000 | - | 1000 |1 | 1000 | 100 | 315.47 | 215.47 | 784.53 |

2 | 784.53 | 100 | 315.47 | 215.47 | 569.06 |3 | 569.06 | 100 | 315.47 | 215.47 | 353.59 |4 | 353.59 | 100 | 315.47 | 215.47 | 138.12 |400 861.88Para determinar la tasa de retorno i de los flujos de efectivo de un proyecto, se debe definir la relación TR. El valor presente de las inversiones o desembolsos, VPD se iguala al valor presente de los ingresos VPR. En forma equivalente, los dos pueden restarse e igualarse a cero, es decir:VPD = VPR0 = -VPD + VPREl enfoque de valor anual utiliza los valores VA en la misma forma para resolver para i.VAD = VAR0 = -VAD + VAREl valor que hace estas ecuaciones numéricamente correctases la raíz de la relación TR. Se hace referencia a este valor i mediante otros términos adicionales a la tasa de retorno: tasa interna de retorno (TIR), tasa de retorno de equilibrio, índice de rentabilidad y retorno sobre la inversión (RSI). Éstos se representan por la notación i*.

3.3.1.1 Por Medio del Valor Presente   Para entender con mayor claridad los cálculos de la tasa de retorno, recuerde que la base para los cálculos de la Ingeniería Económica es la equivalencia, o el valor del dinero en el tiempo. En los cálculos de la tasa de retorno, el objetivo es encontrar la tasa de interés i* a la cual la cantidad presente y la cantidad futura con equivalentes.La columna vertebral del método de la tasa de retorno es la relación TR. Por ejemplo, si alguien deposita $1000 ahora y le prometen un pago de $500 dentro de 3 años y otro de $1500 en 5 años a partir de ahora, la relación de la tasa de retorno utilizando VP es:1000 = 500(PF,i*,3) + 1500(PF,i*,5)Despejando tenemos:0 = -1000 + 500(PF,i*,3) + 1500(PF,i*,5)La ecuación se resuelve para “i*” y se obtiene i* = 16.9%i* utilizando ensayo y error manual: El procedimiento general empleado para calcular una tasa de retorno utilizando la ecuación de valor presente y cálculos manuales de ensayo y error es el siguiente:   Trazar un diagrama de flujo de efectivo.   Plantear la ecuación de la tasa de retorno.   Seleccionar valores de i mediante ensayo y error hasta que la ecuación esté equilibrada.Alutilizar el método de ensayo y error para determinar i*, es conveniente acercarse bastante a la respuesta correcta en el primer ensayo. Si los flujos de efectivo se combinan, de tal manera que el ingreso y los desembolsos pueden estar representados por un solo factor tal como P/F o P/A, es posible buscar en tablas la tasa de interés correspondiente al valor de ese factor para “n” años. El problema es entonces el combinar los flujos de efectivo en el formato de uno solo de los factores estándar, lo cual puede hacerse mediante el siguiente procedimiento:   Convertir todos los desembolsos en cantidades bien sean únicas (P ó F) o cantidades uniformes (A), al ignorarse el valor del dinero en el tiempo. Por ejemplo, si se desea

convertir un valor anual en un valor futuro, multiplique simplemente por A el número de años. El esquema seleccionado para el movimiento de los flujos de efectivo debe ser aquel que minimiza el error causado por ignorar el valor del dinero en el tiempo. Es decir, si la mayoría de los flujos de efectivo son una A y una pequeña cantidad es F, la F se debe convertir en A en lugar de hacerlo al revés y viceversa.   Convertir todas las entradas en valores bien sea únicos o uniformes.   Después de haber combinado los desembolsos y las entradas, de manera que se aplique bien sea el formato P/F, P/A, o A/F, se deben utilizar las tablas de interés aproximada al cual se satisface el valor P/F, P/A, o A/F, respectivamente, para el valor apropiado den. La tasa obtenida es una buena cifra aproximada para utilizar en el primer ensayo.Es importante reconocer que la tasa de retorno obtenida en esta forma es solamente una estimación de la tasa de retorno real, ya que ignora el valor del dinero en el tiempo. El procedimiento se ilustra en el ejemplo siguiente:Ejemplo: Si se invierten $5000 ahora en acciones comunes, los cuales se espera que produzcan $100 anualmente durante 10 años y $7000 al final de esos 10 años, ¿Cuál es la tasa de retorno?0 = -5000 + 100(PA,i*,10) + 7000(P/F,i*,10)Utilice el procedimiento de estimación de la tasa de interés a fin de determinar la i para el primer ensayo. Todo el ingreso será considerado como una sola F en el año 10, de manera que pueda utilizarse el factor P/F.El factor P/F ha sido seleccionado porque la mayoría del flujo de efectivo (es decir $7000) ya encaja en este factor y los errores creados por ignorar el valor del dinero en el tiempo restante serán minimizados. Solamente para la primera estimación es i, defina P = 5000, n = 10 y F = (10*100) + 7000 = 8000.Ahora puede plantearse que 5000 = 8000(P/F,i,10)(P/F,i,10) = 0.625La i aproximada está entre 4% y 5%. Por consiguiente, se debe utilizar i = 5% para estimar la tasa de retorno real.0 = -5000 + 100(P/A,5,10[7.7217]) + 7000(P/F,5,10[0.6139]) = 69.470< 69.47Este cálculo es aún muy alto por el lado positivo, lo que indica que el retorno es más del 5%. Ensaye i = 6%0 = -5000 + 100(PA,6,10[7.3601]) +7000(P/F,6,10[0.5584]) = -355.190> -355.19Dado que la tasa de interés del 6% es muy alta, interpole entre el 5% y el 6% para obtener:i* = 5.16%

3.3.1.2 Por Medio del Valor Anual Este método puede preferirse cuando están considerados flujos anuales uniformes o cuando los flujos de caja incrementan o decrecen por porcentajes de gradientes constantes. El procedimiento es el siguiente: 1: Se dibuja un diagrama de flujo de caja. 2: Se establecen las relaciones para tener el CAUE de los desembolsos (AD) y los ingresos (AI) con un i* desconocido. 3: Se plantea la ecuación de la tasa de retorno en la forma: 0 = - CAUEd + CAUEi 4: Se seleccionan valores de i por ensayo y error hasta que la ecuación se satisfaga. Si es

necesario se interpola para determinar i*.

3.3.2 Analisis Incremental Título: Cambios en el diseño organizacional para lograr metas Introducción: La industria de la construcción de vivienda ha crecido considerablemente en los últimos años, actualmente las empresas que se dedican directa o indirectamente al desarrollo de proyectos inmobiliarios están atravesando un auge económico. Existen varios factores que detonaron el crecimiento en este sector económico, de entre los principales se menciona el estimulo gubernamental al crédito hipotecario. Muchas empresas que gozan de este auge económico, vieron como sus ingresos se multiplicaban año con año, a tal grado que existen casos de que en cinco años su capital contable a aumentadohasta en 500%, es obvio que en un crecimiento tan acelerado se crean nuevos problemas y a esta velocidad manejar la empresa se convierte en un tema complejo. Con un nivel de crecimiento tan acelerado y constante expansión en el mercado, gracias a la demanda, ¿se requiere de cambios en el diseño de la organizacional?, Ya que se tiene el control ante efectos externos inesperados ¿es necesario seguir cambiando la estructura organizacional? Desarrollo: En la economía mexicana, en el sector inmobiliario existen dos empresas que son vistas como las lideres en el mercado, una se llama Homex y la otra Casas Geo, las dos compiten entre si para ser la numero uno, ambas se han visto favorecidas por las decisiones administrativas por parte de sus directivos, que han tomado a lo largo de sus historias. Para darnos una idea de lo que estas empresas han crecido y de cómo han enfrentado las crisis y oportunidades, mencionare la historia de ambas. Empecemos con Desarrolladora Homex, S.A. de C.V. que para efectos prácticos la llamaremos Homex. Fundada en 1989, Homex inicia operaciones desarrollando áreas comerciales, gradualmente enfocándose en diseño, construcción y comercialización de hogares. Para el final de 1996, Homex tenía operaciones en 4 ciudades del noroeste de México, incrementando a 10 para finales de 1997, fortaleciendo su presencia en la región. Al 31 de diciembre de 2005, Homex tenía desarrollos en construcción en 26 ciudades de 17 estados en México.

Iniciando en 1999, ZN Mexico Funds, un fondo de inversión de capital privado especializado en el sector privado en México, realizó una serie de inversiones en el capital de Homex con el fin de posicionar mejor a la Compañía para capitalizar sus oportunidades de crecimiento. En 2002, Equity International Properties, Ltd (EIP), una compañía privada, especializada en inversiones de bienes raíces fuera de los Estados Unidos (EUA), y particularmente en México, también realizó una serie de inversiones en el capital de Homex. EIP es una filial de Equity Group Investments, LLC, una compañía de capital privado fundada por Samuel Zell, un prominente inversionista en bienes raíces en EUA. Equity Group Investments, LLC, y sus afiliadas son una de las más grandes compañías de bienes raíces en los EUA. Estas asociaciones estratégicas acentuaron el crecimiento de Homex en los últimos años y han influido en la visión corporativa permitiendo a la Compañía sostener agresivos, pero

más importante, rentables niveles de crecimiento. Hoy, más de 140,000 familias viven en un hogar construido por Homex, uno de los más grandes desarrolladores de vivienda en México. Construimos para nuestro futuro y el futuro de familias Mexicanas proveyendo de infraestructura y servicios a las comunidades, siempre comprometidos apasionadamente en el desarrollo de hogares. Conforme aumenta el tamaño de esta empresa, cambia el diseño organizacional, pero también puede haber cambios estructurales almomento de fijarnos nuevos retos, por ejemplo a inicios del 2007 en Homex se dio a conocer sus colaboradores y al público en general, por medio de conferencias y a través de medios electrónicos el siguiente anuncio: Figura 1. Metas publicadas para los colaboradores de Homex a principios de 2007 Figura 2. Publicación de la nueva cadena de mando, para lograr las metas publicadas Este cambio en el diseño organizacional fue implementado por el nuevo director general de Homex, ya que el percibió que era urgente duplicar las ventas de vivienda de clase media y alta y seguir siendo lideres de vivienda de clase social. Para poder lograr estos objetivos, divido a la mayoría de los colaboradores en departamentos con relación al cliente, usando un elemento clave en el diseño organizacional, la departamentalización, es decir, los departamentos de la empresa se dividieron en media y social. Por otro lado se puede decir que Homex es una organización orgánica, ya que se fomenta entre los empleados a que tomen sus propias decisiones, pero no existe empresa que sea totalmente orgánica ni totalmente mecanicista, ya que también existen manuales de procedimiento y políticas que dictan como se debe de trabajar. Ahora hablaremos de Casas GEO, empresa con más de 34 años de experiencia. Corporación GEO, la desarrolladora de vivienda líder en México y Latinoamérica, desde su fundación en 1973 y hasta estos días ha desarrollado conjuntos habitacionales integrales con equipamientourbano completo, conformado en su mayoría por escuelas, áreas deportivas, centros comerciales y de salud, para brindar a sus clientes un producto humano, estético, de alta calidad y sobre todo con plusvalía y calidad de vida. Más de 1 Millón 500 mil Mexicanos Viven en Casas GEO. Durante su trayectoria GEO ha desarrollado y comercializado más de 350 mil viviendas, por lo que actualmente más de 1,500,000 Mexicanos viven en una Casa GEO, es decir más del 1% de la Población Nacional. Corporación GEO es la empresa de vivienda más diversificada en México, tiene presencia en más de 27 ciudades distribuidas en 15 estados de la República. Anualmente vende más de 40,000 casas atendiendo todos los segmentos desde el económico hasta el residencial. La empresa está involucrada en todos los aspectos de Diseño, Desarrollo, Construcción, Mercadotecnia y Comercialización, con lo cual genera más de 5,000 empleos en nómina y 30 mil empleos eventuales de obra. Corporación GEO fue la primera empresa pública de vivienda en Latinoamérica y comenzó a formar parte del selecto grupo de las 36 emisoras dentro del Índice de Precios y Cotizaciones de la Bolsa Mexicana de Valores desde hace más de 12 años. Desde el 2005 cotiza en la Bolsa de Valores de Latibex en Madrid, España.

Corporación Geo se convirtió en la primera empresa pública del sector vivienda en el año de 1994, fue entonces cuando la Compañía adoptó un modelo de negocios basado en un crecimiento agresivo en términos

de Ingresos y EBITDA, permitiendo hacer las inversiones necesarias para crecer de 3 ciudades a 33 en el año de 1998. Este crecimiento ocasionó también un alto nivel de apalancamiento en la empresa además de existir la necesidad de optimizar los procesos internos con el fin de ser más eficientes. Es por esto que Geo en el año de 1999 tomó la estratégica decisión de entrar en un proceso de reestructuración con el fin de moderar la rápida expansión experimentada y adoptar un nuevo modelo de negocios a favor de un crecimiento moderado pero sostenible y lo más importante generando Flujo Positivo de Caja de Efectivo que garantizara la salud de la empresa en el futuro. Las acciones realizadas en el período de reestructuración de 1999 al año 2001 fueron las de adoptar políticas de ahorro en costos, la utilización de tecnología de punta y sistemas de información para mejorar los procesos e incrementar la productividad , así como transformar la cultura Geo para inculcar una mayor lealtad e incrementar la capacidad de nuestra planta laboral. A fines del año 2001 se declaró el fin del período de reestructuración teniendo como resultado una compañía con un nuevo enfoque, adoptando un nuevo modelo de negocios. Esto se traduce a que a la fecha Geo ha reportado 14 trimestres consecutivos de resultados consistentes y predecibles, mostrando crecimientos de doble dígito sobre bases estables y rentables con expansión en márgenes, generando Flujo Positivo de Caja de Efectivo y reduciendola Deuda Neta de la empresa. Adicionalmente, y en línea con el modelo de negocios, en agosto del 2003 Corporación Geo se asoció con Prudential Real Estate Investors con el objeto de que éstos últimos compren de manera exclusiva la tierra que necesita Geo para desarrollar en los próximos años. Este esquema optimiza las necesidades de administración del capital de trabajo de Geo, dando como resultado una importante liberación de recursos que se traduce en una aceleración de la generación de Flujo de Caja de Efectivo y en la reducción de la Deuda Neta. Así mismo el JV permitirá a la empresa incrementar la tasa de crecimiento de manera sostenida generando Flujo Positivo de Caja de Efectivo, incrementar los márgenes y obtener un mayor ROE, ROIC y EVA. Conclusión: Los cambios en la estructura organizacional, generalmente son producto de una reacción de los gerentes, a los impactos de factores externos, como el entorno político, económico y social, las nuevas tecnologías, crecimiento de la empresa, etc., pero también el diseño organizacional (en el que participan los gerentes de las organizaciones), es necesario para lograr metas u objetivos, es decir, el diseño organizacional o el cambio de la estructura organizacional es a veces utilizado como una estrategia para el incremento de utilidades, participación de mercado, estabilidad económica, etc., por lo tanto la toma de decisiones, con respecto al mejor diseño de la estructura de la organización, es unahabilidad que los gerentes deben de desarrollar al máximo.

3.3.3 Comparacion Alternativas Mutuamente Excluyentes SELECCION DE UNA TAZA DE INTERES. SON MUCHAS las discusiones que se han tenido a lo largo de los años sobre la forma de seleccionar la tmar desafortunadamente es todavía por ofrecer un método completamente satisfactorio para determinar de manera precisa esa tasa debido a que la tasa que se seleccione representa el odjetivo que en cuanto a utilidades tiene la empresa se basa generalmente en el juicio de alta administración

Este juicio se basa asu vez en el punto de vista de la administración sobre las oportunidades futuras de la empresa paralelamente con la situación financiera de la misma Si la tmar seleccionada es muy alta , entonces pueden rechazarse muchas inversiones que tienen unos buenos retornos Por otro lado una tasa que sea muy baja puede abrir la puerta para aceptar un gran numero De propuestas algunas de las cuales son marginalmente productivas o conducirán a perdidas económicas en consecuencia al escoger una tmar existe una negociación entre ser extremadamente selectivo o no serlo del todo Un método para seleccionar una tmar consiste en maximizar las propuestas disponibles para invercion e identificar la máxima tasa que se puede obtener si los fondos no se invierten en las propuestas que se estén considerando . por ejemplo un individuo debe evitar seleccionar una tmar que sea menor que la tasa de interes que pagan los bancosen sus cuentas de ahorro lo dicho tiene vigencia porque el individuo tiene siempre la posibilidad de invertir a la tasa bancaria independiente de las demás oportunidades de inversion que tenga

3.4 Evaluacion de la Razon Beneficio Costo La Razón Beneficio-Costo, compara el valor actual de las entradas de efectivo futuras con el valor actual, tanto del desembolso original como de otros gastos en que se incurran en el período de operación, o sea de los beneficios y costos actualizados a un cierto momento, dividiendo los primeros por los segundos de manera que: Razón Beneficio-Costo = (Valor actual de entradas de efectivo)/(Valor actual de salidas de efectivo) método de la razón costo / beneficio Los proyectos públicos son aquellos autorizados, financiados y operados por agencias federales, estatales o del gobierno local. Tales obras públicas son numerosas y, aunque pueden ser de cualquier magnitud, con frecuencia son mucho más grandes que los negocios privados. Debido a que requiere la erogación de capital, tales proyectos están sujetos a los principios de la ingeniería económica con respecto a su diseño, adquisición y operación. Sin embargo como son proyectos públicos, existe gran cantidad de factores especiales importantes que no se encuentran de manera ordinaria en negocios financiados y operados por el sector privado. Como una consecuencia de estas diferencias, suele ser difícil realizar estudios de ingeniería económica y tomar decisiones de inversiónpara proyectos de obras públicas exactamente de la misma forma que para proyectos de propiedad privada. Por lo general se utilizan diferentes criterios de decisión, lo que crea problemas que afectan al público (que paga la factura), a los que deben tomar las decisiones y aquellos que deben administrar los proyectos de obras públicas. El método de la razón costo-beneficio, que normalmente se usa para la evaluación de proyectos públicos, tiene sus raíces en la legislación federal. Específicamente, en la ley de control de inundaciones, de Estados Unidos de Norte América, de 1936 requiere que para que se justifique un proyecto financiado por la federación, los beneficios deben exceder sus costos. Para cumplir con los requisitos de esta ley, el método C/B se mejoró y ahora implica el cálculo de una razón de los beneficios del proyecto con respecto a los costos del proyecto. En lugar de que el analista aplique criterios más usuales en la evaluación de proyectos privados (TIR, VPN, etc.), muchas agencias gubernamentales solicitan el método

C/B. El análisis de costo-beneficio es una herramienta de toma de decisiones para desarrollar sistemáticamente información útil acerca de los efectos deseables e indispensable de los proyectos públicos. En cierta forma, podemos considerar el análisis de costo-beneficio del sector público como el análisis de rentabilidad del sector privado. En otras palabras, el análisis de costo-beneficio pretende determinar si los beneficiossociales de una actividad pública propuesta superan los costos sociales. Estas decisiones de inversión pública usualmente implican gran cantidad de gastos y sus beneficios se esperan que ocurran a lo largo de un período extenso. Para evaluar proyectos públicos diseñados para lograr tareas muy distintas, es necesario medir los beneficios o los costos con las mismas unidades en todos los proyectos, de manera que tengamos una perspectiva común para juzgar los diversos proyectos. En la práctica, esto comprende expresar los costos y los beneficios en unidades monetarias, tarea que con frecuencia debe realizarse sin datos precisos. Al efectuar análisis de costo-beneficio, lo más usual es definir a los “usuarios” como el público y a los “patrocinadores” como el gobierno. El esquema general para el análisis de costo-beneficio se puede resumir de la siguiente manera: 1. Identificar los beneficios para los usuarios que se esperan del proyecto. 2. Cuantificar en la medida de lo posible, estos beneficios en términos monetarios, de manera que puedan compararse diferentes beneficios entre sí y contra los costos de obtenerlos. 3. Identificar los costos del patrocinador. 4. Cuantificar, en la medida de lo posible, estos costos en términos monetarios para permitir comparaciones. 5. Determinar los beneficios y los costos equivalentes en el período base, usando la tasa de interés apropiada para el proyecto. Aceptar el proyecto si los beneficios equivalentes de losusuarios exceden los costos equivalentes de los promotores (B>C). Podemos emplear el análisis de costo-beneficio para elegir entre alternativas como la asignación de fondos para la construcción de un sistema de transporte colectivo, una presa para riego, carreteras o un sistema de control de tráfico aéreo. Si los proyectos están en la misma escala en lo referente a costo, basta elegir el proyecto en el cual los beneficios excedan los costos en mayor cantidad. Valuación de Costos y Beneficios. Beneficios para el Usuario: Para iniciar el análisis costo-beneficio, se identifican todos los beneficios del proyecto (resultados favorables) y sus perjuicios o contrabeneficios (resultados no favorables) para el usuario. También debemos considerar las consecuencias indirectas relacionadas con el proyecto, los llamados efectos secundarios. Beneficios para el usuario (B) = beneficios - perjuicios Costos del Patrocinador: Podemos determinar el costo para el patrocinador identificando y clasificando los gastos necesarios y los ahorros (o ingresos) que se obtendrán. Los costos del patrocinador deben incluir la inversión de capital y los costos operativos anuales. Cualquier venta de productos o servicios que se lleve acabo al concluir el proyecto generar ingresos; por ejemplo, las cuotas de peaje en carreteras. Estos ingresos reducen los costos del patrocinador. Entonces podemos calcular los costos del patrocinador combinando estos

elementos de costo: Costos del patrocinador

=Costos de capital+Costos de operación y mantenimiento-IngresosSelección de una tasa de interés. Anteriormente aprendimos que la selección de una TMAR apropiada para la evaluación de un proyecto de inversión es un aspecto crítico en el sector privado. En los análisis del sector público también hay que seleccionar una tasa de interés, llamada tasa de actualización social, para determinar los beneficios y costos equivalentes. La selección de una tasa de actualización social para la evaluación de un proyecto público es tan crítica como la selección de la TMAR en el sector privado. En los proyectos públicos como no tiene fines de lucro, se dice que debe de seleccionarse una tasa de actualización social que refleje únicamente la tasa gubernamental vigente de obtención de prestamos (CETES); y cuando se desarrollan proyectos con contrapartidas privadas una TMAR mixta resultante de la tasa de actualización social y la tasa exigida por los inversionistas privados. Razón Costo-Beneficio (C/B) Se han hecho diversas formulaciones de la razón C/B. A continuación se presentan las más comunes: v Considerando BENEFICIOS / COSTOS:         ;                   ;           Si: B / C ³ 1 Acéptese el proyecto; ya que, por cada peso de costo se obtiene lo equivalente a uno o más pesos de beneficio. De lo contrario rechácese. Donde:

t Número de período. I Inversión de capital. B Beneficios. bt Beneficio del período t. C Costo. ct Beneficio del período t. Ø Razón costo-beneficio modificada: Si: C / B ³ 1 Acéptese el proyecto; ya que, por cada peso invertido se obtiene lo equivalente a uno o más pesos de beneficio. De lo contrario rechácese. v Expresando la razón costo-beneficio como COSTOS / BENEFICIOS: C / B £ 1 Acéptese el proyecto; ya que, cada peso de beneficio obtenido se obtuvo con una cantidad menor a un peso de costo. De lo contrario rechácese. Si: C / B £ 1 Acéptese el proyecto; ya que, cada peso de beneficio obtenido se obtuvo con menos de un peso de inversión. De lo contrario rechácese..

Ejemplo: El departamento de transporte de Tennesse considera el proyecto de reemplazar un viejo puente, en una carretera estatal que cruza el río Cumberland. El actual puente de dos carriles es costoso de mantener y constituye motivo de embotellamiento para el tráfico, ya que la carretera estatal es de cuatro carriles en ambos lados del puente. Se puede construir el puente con un costo de $300,000, y se estima que los costos anuales de mantenimiento serán de $10,000. los costos anuales de mantenimiento del puente actual son $18,500. se estima que el beneficio anual del nuevo puente de cuatro carriles para los automovilistas, al dejar de ser punto de embotellamiento del tráfico, serán de $25,000. analice la razón costo-beneficio con una tasa de interés del 8% y un períodode estudio de 25 años, para determinar si se debe construir el nuevo puente. Solución: Analizando como flujos anuales: Al tratar la reducción en los costos anuales de mantenimiento como un costo reducido: Esto es, que por cada peso de costo anual en que se incurre, el proyecto da lo equivalente a $1.2753 de beneficio por año. Al tratar la reducción en los costos anuales de mantenimiento como un beneficio adicional: Esto es, que por cada peso invertido, el proyecto da lo equivalente a $1.1920de beneficio anual. Analizando mediante valor presente: Esto es, que por cada peso de costo en que se incurre, el proyecto da lo equivalente a $1.2753 de beneficio. Esto es, que por cada peso invertido, el proyecto da lo equivalente a $1.1920de beneficio anual. Realizando la razón costo-beneficio, como costo/beneficio: Esto es, que cada peso de beneficio se logro mediante un costo de $0.7841. Esto es, que cada peso de beneficio obtenido se logro mediante la inversión de $0.8389. Por tanto, la decisión de clasificar una partida de flujo de efectivo como un beneficio adicional o como un costo reducido anual o en valor presente, afectará la magnitud de la razón C/B calculada, pero no la viabilidad del proyecto.

3.4.1 ClasificacionCalculoBeneficiosCostos y beneficios negativos para un proyecto único

3.4.2 Seleccion de alternativas mutuamente excluyentes utilizando analisis Beneficio costo Análisis Beneficio - Costo El método de selección de alternativasmás comúnmente utilizado por las agencias gubernamentales federales, estatales, provinciales y municipales para analizar la deseabilidad de los proyectos de obras públicas es la razón beneficio/costo (B/C). Como su nombre lo sugiere, el método de análisis B/C está basado en la razón de los beneficios a los costos asociada con un proyecto particular. Se considera que un proyecto es atractivo cuando los beneficios derivados de su implementación y reducidos por los beneficios negativos esperados exceden sus costos asociados. Por lo tanto, el primer paso en un análisis B/C es determinar cuáles de los elementos son beneficios positivos, negativos y costos. Se pueden utilizar las siguientes descripciones que deben ser expresadas en términos monetarios. Beneficios (B) Ventajas experimentadas por el propietario. Beneficios negativos

(BN) Desventajas para el propietario cuando el proyecto bajo consideración es implementado. Costos ( C ) Gastos anticipados por construcción, operación, mantenimiento etc. menos cualquier valor de salvamento. Dado que el análisis B/C es utilizado en los estudios de economía por las agencias federales, estatales o urbanas, piénsese en el público como el propietario que experimenta los beneficios positivos y negativos y en el gobierno como en quien incurre en los costos. Por consiguiente, la determinación de si un renglón debe ser considerado un beneficio positivo o negativo o un costo, depende de quién es afectado por lasconsecuencias. 7.1 Cálculo de beneficios, desbeneficios y costo de un proyecto Antes de calcular una razón B/C, todos los beneficios positivos, negativos y costos identificados deben convertirse a unidades comunes. La unidad puede ser un valor presente, valor anual o valor futuro equivalente, pero todos deben estar expresados en las mismas unidades. Una vez que tanto los beneficios y desbeneficios, así como los costos estén expresados en las mismas unidades, la razón convencional B/C se calcula de la siguiente manera: B/C = (B - BN) / C. Una razón B/C mayor o igual que 1.0, indica que el proyecto es económicamente ventajoso. En el análisis B/C, los costos no están precedidos por un signo menos. La razón B/C modificada, incluye los costos de mantenimiento y operación (M&O) en el numerador, tratándolos en una forma similar a los beneficios negativos. El denominador, entonces, incluye solamente el costo de inversión inicial. Una vez que todas las cantidades están expresadas en términos de VP, VA ó VF, la razón B/C modificada se calcula como: B/C modificada = [B - BN - C (M&O)] / Inversión inicial. Como se consideró antes, cualquier valor de salvamento está incluido en el denominador como un costo negativo. Obviamente, la razón B/C modificada producirá un valor diferente que el arrojado por el método convencional B/C. Sin embargo, como sucede con los beneficios negativos, el procedimiento modificado puede cambiar la magnitud de la razón pero no la decisiónde aceptar o rechazar. Ejemplo: La fundación Vera internacional, una organización de investigación educativa sin fines de lucro, está contemplando una inversión de $1.5 millones en becas para desarrollar nuevas formas de enseñar a la gente las bases de una profesión. Las becas se extenderán por un periodo de 10 años y crearán un ahorro estimado de $500 mil anuales en salarios de facultad, matrículas, gastos de ingreso de estudiantes y otros gastos. La fundación utiliza una tasa de retorno del 6% anual sobre las becas otorgadas. Puesto que el nuevo programa será adicional a las actividades en marcha, se ha estimado que se retirarán $200 mil de los fondos de otro programa para apoyar esta investigación educativa. Para hacer exitoso el programa, la fundación incurrirá en gastos de operación anual de $50 mil de su presupuesto regular M&O. Utilice los siguientes métodos de análisis para determinar si el programa se justifica durante un periodo de 10 años: • B/C convencional • B/C modificado • Análisis B - C Solución: Utilice el valor anual como base de unidad común: Beneficio positivo = $500000 anuales

Beneficio negativo = $200000 anuales Costo M&O 1500000(A/P,6%,10[0.1359]) = $203850 anuales • B/C = 500000–200000 / 203850+50000 = 1.18 El proyecto se justifica ya que B/C > 1.0 • B/C modificado = 500000–200000–50000 / 203850 = 1.23 El proyecto también se justifica por el método B/C modificado. • Ahora B es el beneficio neto y el costo M&O estáincluido en C: B-C = (500000–200000) - (203850+50000) = $46150; dado que B—C >0, nuevamente la inversión se justifica. Ejemplo: El distrito local de autopistas está considerando rutas alternativas para una nueva avenida circunvalar. La ruta A, cuya construcción cuesta $4000000, proporcionará beneficios anuales estimados de $125000 a los negocios locales. La ruta B, que cuesta $6000000, puede proporcionar $100000 en beneficios anuales. El costo anual de mantenimiento es de $200000 par A y $120000 para B. Si la vida de cada avenida es de 20 años y se utiliza una tasa de interés del 8% anual, ¿Cuál alternativa debe seleccionarse con base en un análisis B/C convencional? Solución: los beneficios en este ejemplo son $125000 para la ruta A y $100000 para la ruta B. El VA de los costos para cada alternativa es el siguiente: VAA = −4000000(AP,8%,20[0.1019]) - 200000 = −607600 VAB = −6000000(AP,8%,20[0.1019]) - 120000 = −731400 La ruta B tiene un VA de costos más grande que la ruta A en $123800 por año pero ofrece menos beneficios en $25000. Por consiguiente, no hay necesidad recalcular la razón B/C para la ruta B puesto que esta alternativa es obviamente inferior a la ruta A. Además, si se ha tomado la decisión de que alguna de las rutas A o B debe ser aceptada, entonces no se necesitan otros cálculos y se selecciona la ruta A. 7.2 Comparación de alternativas mediante el análisis B/C Al calcular la razón B/C para una alternativa dada, es importante reconocerque los beneficios y costos utilizados en el cálculo representan los incrementos o diferencias entre las dos alternativas. Éste será siempre el caso, puesto que algunas veces la alternativa de no hacer nada es aceptable. Una vez que se calcula la razón B/C, un B/C > 1.0 significa que los beneficios extra justifican la alternativa de mayor costo. Si B/C < 1.0, la inversión o costo extra no se justifica y se selecciona la alternativa de costo más bajo. El proyecto de costo más bajo puede ser o no ser la alternativa de no hacer nada. Ejemplo: Para la construcción de un nuevo segmento de la autopista interestatal se consideran dos rutas. La ruta N hacia el norte estaría localizada alrededor de 5 km del distrito empresarial central y requeriría distancias de viaje más largas por parte de la red conmutadora del tráfico local. La ruta S hacia el sur pasaría directamente a través del área central de la ciudad y aunque su costo de construcción sería más alto, reduciría el tiempo de viaje y la distancia para los usuarios de la red conmutadora de tráfico local. Suponga que los costos para las dos rutas son los siguientes: Ruta N Ruta SCosto inicial 10´000,000 15´000,000 Costo anual de mantenimiento 35,000 55,000 Costo anual para el usuario 450,000 200,000 Si se supone que las carreteras duran 30 años sin un valor de salvamento, ¿Cuál ruta debe

seleccionarse con base en un análisis B/C utilizando una tasa de interés del 5% anual? Solución:Como la mayoría de los flujos de efectivo están anualizados, la razón B/C estará expresada en términos de VA. • Los costos en el análisis B/C son los costos de construcción inicial y de mantenimiento: VAN = 10000000(A/P,5%,30[0.0651]) + 35000 = 686000 VAS = 15000000(A/P,5%,30[0.0651]) + 55000 = 1031500 • La ruta S tiene el VA más grande de los costos, de manera que es la alternativa que debe justificarse. El valor incremental del costo es: C = VAN - VAS = $345500 por año. • Los beneficios se derivan de los costos para el usuario de la carretera, ya que éstos son consecuencias para el público. Los beneficios para el análisis B/C no son en sí los costos para el usuario de la carretera, sino la diferencia si se selecciona la alternativa S. • Si se selecciona la ruta S, el beneficio incremental es el menor costo anual para el usuario de la carretera. Éste es un beneficio positivo para la ruta S, puesto que proporcionará los beneficios más grandes en términos de tales menores costos para el usuario de la carretera. B = 450000 - 200000 = 250000 por año para la ruta S. La razón B/C se calcula de la siguiente manera: B/C = B-BN / C = 250000 / 345500 = 0.72 • La razón B/C es menor que 1.0, indicando que los beneficios extra, asociados con la ruta S no se justifican. Por consiguiente, se selecciona la construcción de la ruta N. 7.3 Selección de alternativas utilizando análisis B/C incremental Ejemplo: Considere las cuatro alternativas mutuamente excluyentesmostradas en la siguiente tabla. Aplique el análisis B/C incremental con el fin de seleccionar la mejor alternativa para una TMAR = 10% anual. Utilice un análisis VP. Estimaciones para cuatro ubicaciones posibles de construcción Ubicación A B C D Costo de construcción $ −200000 −275000 −190000 −350000 Flujo de efectivo anual $ +22000 +35000 +19500 +42000 Vida, años 30 30 30 30 Solución: Las alternativas se ordenan primero por costo de inversión inicial de menor a mayor (C, A, B, D) y se determinan los valores VP de los flujos de efectivo anuales. Calcule luego la razón B/C y elimine cualquier alternativa que tenga un B/C < 1.0. Alternativa C A B D Costo de construcción 190000 200000 275000 350000 Flujo de efectivo 19500 22000 35000 42000 VP del flujo de efectivo 183826 207394 329945 395934 Razón B/C global 0.97 1.03 1.20 1.13 Proyectos comparados - - B vs. A D vs. B Beneficio incremental - - 122551 65989 Costo incremental - - 75000 75000 Razón B/C incremental - - 1.63 0.88 Proyecto seleccionado - - B B

3.4.3 Seleccion de alternativas mutuamente excluyentes utilizando análisis Beneficio costo incremental   Como en cualquier alternativa de selección de ingeniería económica, hay diversas técnicas se solución correctas. Los métodos VP y VA analizados anteriormente son los más

directos. Estos métodos utilizan TMAR especificada a fin de calcular el VP o VA para cada alternativa. Se selecciona la alternativa que tiene la medidamás favorable de valor. Sin embargo, muchos gerentes desean conocer la TR para cada alternativa cuando se presentan los resultados. Éste método es muy popular en primer lugar debido principalmente al gran atractivo que tiene conocer los valores TR, aunque en ocasiones se aplica en forma incorrecta. Es esencial entender la forma de realizar a cabalidad un análisis TR basado en los flujos de efectivo incrementales entre alternativas para asegurar una selección de alternativas correcta.Cuando se aplica el método TR, la totalidad de la inversión debe rendir por lo menos la tasa mínima atractiva de retorno. Cuando los retornos sobre diversas alternativas igualan o exceden la TMAR, por lo menos uno de ellos estará justificado ya que su TR > TMAR. Éste es el que requiere la menor inversión. Para todos los demás, la inversión incremental debe justificarse por separado. Si el retorno sobre la inversión adicional iguala o excede la TMAR, entonces debe hacerse la inversión adicional con el fin de maximizar el rendimiento total del dinero disponible.Por lo tanto, para el análisis TR de alternativas múltiples, se utilizan los siguientes criterios.Seleccionar una alternativa que:   Exija la inversión más grande.   Indique que se justifica la inversión adicional frente a otra alternativa aceptable.Una regla importante de recordar el evaluar alternativas múltiples mediante el método TR es que una alternativa nunca debe compararse con aquella para la cual no se justificala inversión incremental. El procedimiento TR es:   Ordene las alternativas aumentando la inversión inicial, es decir, de la más baja a la más alta.   Determine la naturaleza de la serie de flujos de efectivo: algunos positivos o todos negativos.   Algunos flujos de efectivo positivos, es decir, ingresos. Considera la alternativa de no hacer nada como el defensor y calcule los flujos de efectivo entre la alternativa de no hacer nada y la alternativa de inversión inicial más baja (el retador). Vaya al paso 3.   Todos los flujos de efectivo son negativos, es decir, solamente costos. Considere la alternativa de inversión inicial más baja como el defensor y la inversión siguiente más alta como el retador. Salte al paso 4.   Establezca la relación TR y determine i* para el defensor. (Al comparar contra la alternativa de no hacer nada, la TR es, en realidad, el retorno global para el retador). Si i* < TMAR, retire la alternativa de inversión más baja de mayor consideración y calcule la TR global para la alternativa de inversión siguiente más alta. Después repita este paso hasta que i* >= TMAR para una de las alternativas; entonces ésta alternativa se convierte en el defensor y la siguiente alternativa de inversión más alta recibe el nombre de retador.   Determine el flujo de efectivo incremental anual entre el retador y el defensor utilizando la relación: Flujo de efectivo incremental = flujo de efectivo retador - flujo de efectivo defensor.   Calculela i* para la serie de flujos de efectivo incremental utilizando una ecuación basada en el VP o en el VA (el VP se utiliza con mayor frecuencia).   Si i* >= TMAR, el retador se convierte en el defensor y el defensor anterior deja de ser considerado. Por el contrario, si i* < TMAR, el retador deja de ser considerado y el defensor permanece como defensor contra el próximo retador.

  Repita los pasos 4 a 6 hasta que solamente quede una alternativa. Ésta es seleccionada.Ejemplo: Se han sugerido cuatro ubicaciones diferentes para una construcción prefabricada, de las cuales sólo una será seleccionada. La información de costos y el flujo de efectivo neto anual se detallan más adelante en la tabla correspondiente. La serie de flujo de efectivo neto anual varía debido a diferencias en mantenimiento, costos de mano de obra, cargos de transporte, etc. Si la TMAR es del 10%, se debe utilizar el análisis TR para seleccionar la mejor ubicación desde el punto de vista económico.Estimaciones para cuatro ubicaciones posibles de construcción |Ubicación | A | B | C | D |Costo de construcción $ | -200000 | -275000 | -190000 | -350000 |Flujo de efectivo anual $ | +22000 | +35000 | +19500 | +42000 |Vida, años | 30 | 30 | 30 | 30 |Solución: Todas las alternativas tienen vida de 30 años y los flujos de efectivo anuales incluyen ingresos y desembolsos.El procedimiento antes esquematizado produce el siguiente análisis:   En la siguiente tabla, primera línea,las alternativas se ordenan por costo de construcción creciente:Cálculo de la tasa de retorno para cuatro alternativas |Ubicación | C | A | B | D |Costo de construcción | -190000 | -200000 | -275000 | -350000 |Flujo de efectivo anual | +19500 | +22000 | +35000 | +42000 |Proyectos comparados | C no hacer nada | A no hacer nada | B frente a A | D frente a B |Costo incremental | -190000 | -200000 | -75000 | -75000 |Flujo de caja incremental | +19500 | +22000 | +13000 | +7000 |(P/A,i*,30) | 9.7436 | 9.0909 | 5.7692 | 10.7143 |I* (%) | 9.63 | 10.49 | 17.28 | 8.55 |¿Se justifica el incremento? | No | Sí | Sí | No |Proyecto seleccionado | No hacer | A | B | C |   Se presentan algunos flujos de efectivo positivos; utilice el paso 2, parte (a) para comparar la ubicación C con la alternativa de no hacer nada (identificada como no hacer)   La relación TR es:0 = -190000 + 19500(PA,i*,30)La columna 1 de la tabla anterior presenta el valor del factor calculado (PA,i*,30) de 9.7436 y de i* = 9.63%. Puesto que 9.63%   0. Recordando que la selección debe ser respecto a la alternativa que represente el VA mayor, en este caso: VAA > VAB Por tal condición se selecciona la alternativa A. Análisis de la Tasa de Retorno después de Impuestos Recordando que la tasa de retorno fue calculada cuando se dá el equilibrio de los flujos de efectivo positivos y negativos, es decir, cuando un proyecto único se iguala a cero conun VP o VA de la secuencia FEN (Flujo de Efectivo Neto) considerando el valor del dinero en el tiempo y para secuencias convencionales de flujo de efectivo, así también cuando se trata de alternativas múltiples se utiliza una relación VP o VA para calcular la tasa de retorno sobre la serie FEN incremental para la alternativa de inversión inicial más grande con relación a la más pequeña. Así también, recordemos que si solamente se involucra financiamiento con patrimonio, se puede modificar la relación (FEN), en forma más corta utilizando el término ahorro de

impuestos (IG) (1 – T), que es la porción IG no absorbida por los impuestos. Para los fondos patrimoniales en un 100%, FPD = P, el gasto de capital en la ecuación. FEN = -gasto de capital + ingreso bruto – gastos de operación + valor de salvamento – impuestos.

FEN = - P + IB – GO + VS – IG (T)Si se escribe la depreciación multiplicada por el término de la tasa impositiva, DT como D-D(1-T), se obtiene una forma abreviada para FEN. FEN = - gasto de capital + depreciación + IG (1 – T) (9. 7) Así también recordemos, que pueden existir raíces múltiples cuando la secuencia FEN tiene más de un cambio de signo. El siguiente ejemplo. Nos permitirá ser explícito en la aplicación de este método. Una compañía manufacturera de fibra óptica en la ciudad de Mexicali, B.C. ha gastado $500,000 en una máquina que tiene una vida de 5 años,con un FEAI (Flujo de Efectivo Anual Incremental) anual proyectado de $200,000 y una tasa impositiva incremental efectiva del 40%. Calcule la tasa de retorno después de impuestos, suponiendo que la depreciación anual es de $100,000. Solución: El FEN en el año 0 es FED = $500,000 del gasto de capital financiado con patrimonio. Para los años t = 1 hasta 5, se utiliza la ecuación (9.7) sustituyendo para estimar el FEN como: FEN = depreciación + IG (1 – T)FEN = D + (FEAI – D) (1 – T)FEN = $100,000 + ($200,000 - $100,000) (1 – 0.4)FEN = $100,000 + ($100,000) (0.6)FEN = $100,000 + $60,000FEN = $160,000Este valor corresponde a un FEN al cual se les ha quitado los impuestos correspondientes. Puesto que los valores FEN durante los años uno hasta el cinco tienen el mismo valor, es decir, que podemos considerar una anualidad y si utilizamos la expresión (9.9) del método del valor presente (VP) podemos despejar el valor del factor para estimar el valor de (i) sería: 0 = - $500,000 + $160,000(P/A, i, 5)(P/A, i, 5) = -$500,000 / $160,000(P/A, i, 5) = 3.125Con este valor del factor aproximado se recurre a las tablas comenzando con la columna del factor (P/A), y el valor del periodo en este caso el valor sería (5), hasta encontrar el valor aproximado de la tasa de interés en las tablas; eneste caso, el valor encontrado de 3.125 se encuentra entre los valores de la tasa de retorno del 18% y 20%. Haciendo la interpolación correspondiente se tiene que el valor de la tasa de retorno correcta es de.   i = 18.033% Comentario: Como se analizó en las unidades anteriores, es posible aplicar una tasa de retorno mayor antes de impuestos para estimar el efecto de los impuestos, en todos los cálculos detallados de FEN. Utilizando la expresión de la tasa de recuperación después de impuestos, y despejando para la tasa antes de impuestos que a continuación se presenta y sustituyendo se obtiene los valores como se indica:

TR después de impuestos = (TR antes de impuestos) (1 – tasa impositiva) TR después de impuestos = (TR antes de impuestos) (1 – T) Tasa antes de impuestos = Tasa después de impuestos / 1 - T Tasa antes de impuestos = 0.1803 / 1 – 0.40 = 0.3005 Tasa antes de impuestos = 30.05% Ahora bien, si se aplica la tasa de retorno real antes de impuestos utilizando. FEAI = $200,000 para los cinco años sería de 28.65% a partir de la relación siguiente: 0 = - $500,000 + $200,000(P/A, i, 5)(P/A; i, 5) = $500,000 / $200,000 (P/A; i, 5) = 2.5Con este valor se va a las tablas y por medio de interpolación se obtiene el valor de: i = 28.65 %Lo anterior nos permite comprobar que el efecto de impuesto calculado está ligeramente arriba del valorobtenido si se aplica una TMAR del 30.05% en el análisis antes de impuestos. Cuando se trata de alternativas múltiples se debe utilizar una relación VP o VA para determinar la tasa de retorno sobre la serie FEN incremental para la alternativa de inversión inicial más grande con relación a la más pequeña. A continuación se hará un pequeño cuadro en donde se establecen las expresiones para los valores FEN incrementales, las cuales se representan por el símbolo () delta. Parámetro para el cálculo de la tasa de retorno después de impuestos utilizándole análisis incremental sobre los valores FEN (Donde B tiene la inversión inicial más grande). Metodo utilizado para estimar i | Alternativas con vidas iguales | Alternativas con vida diferentes |Valor presente Vp, Ecuación utilizada | Defina VP = 0 para FEN incremental para n años fEN incremental( P/F, i, n ) | Defina VP = 0 para el FEN incremental para el mínimo común múltiplo de los años (9.10) |Valor anual (VA), Ecuaciones utilizadas | Defina VA = 0 para FEN incremental para n años, ( VP de FEN )( A/P, i, n ) = 0 ( 9.11 ) | Defina la diferencia de dos relaciones VA = 0 durante las vidas desiguales, ( VAB – VAA ) = 0 ( 9. 12 ) |Para cada año (t) y para las alternativas B y A, calcule la serie. FEN = FENB - FENALa solución de cualquier ecuación de la tabla para la tasa de interés proporciona el retorno incremental después de impuestos de equilibrio iB-A entre las dos alternativas,el cual se compara con la TMAR (del mercado) después de impuestos. Para una revisión del análisis de la tasa de retorno incremental se deben consultar las secciones (8.3), (8.4) y (8.5). El procedimiento completo para el análisis del retorno después de impuestos de las dos alternativas es como sigue: 1. Ordene las alternativas de manera descendente en función de la inversión inicial. Considérese la inversión más grande como la alternativa B. 2. Decida si debe utilizar la relación VP o VA para calcular el retorno incremental después de impuestos. Seleccione la ecuación apropiada de la tabla anterior. 3. Calcule los valores FEN para el análisis VP o VA (vidas iguales), o determine la relación VA para vidas diferentes. 4. Calcule el retorno después de impuestos iB-A de la serie FEN. El subíndice B – A puede omitirse para fines de simplicidad.

5. Compare el valor resultante (i) con TMAR. Seleccione B si, i > TMAR. De lo contrario, seleccione la alternativa A. La siguiente figura demuestra el procedimiento para el análisis VP. La gráfica superior muestra (i) como la tasa de equilibrio entre la serie FEN real de las dos alternativas. Si (i) es mayor que la TMAR (marcada como TMAR1), se debe seleccionar B, que tiene el VP más grande. En todos los casos, recuerde que la aceptación de la alternativa B significa que la inversión incremental sobre A se justifica solamente cuando la tasa de equilibrio incremental excede la TMAR. Al escoger el método paraestimar iB – A de la tabla anterior a través de ensayo y error manual, el método VP es en general más fácil para vidas iguales y el método VA es mejor para vidas diferentes, debido al número de cálculos comprendidos. Sin embargo, la mayoría utilizan cálculos VP para encontrar una tasa interna de retorno, de igual manera para obtener el valor iB –A debe determinarse la serie FEN para el mínimo común múltiplo de los años. En pocas palabras, el procedimiento para el análisis es: 1. Ordene las alternativas por inversión inicial. Marque la alternativa de inversión más grande como B. 2. Para el análisis VP, del mínimo común múltiplo de los años ingrese las cantidades FEN para cada alternativa, como en la ecuación 9.10. 3. Prepare la hoja de trabajo para calcular los valores FEN para cada año. 4. Ingrese la función para estimar el retorno incremental después de impuestos, iB – A. El subíndice B – A puede ser omitido para fines de simplicidad. 5. Compare el valor i resultante con la TMAR. Seleccione B si i > TMAR. De otra manera, seleccione la alternativa A. Para utilizar el procedimiento se presenta el siguiente ejemplo: Ejemplo. La Compañía Manufacturera Electrónica Atlas S. A. debe decidir entre un sistema de robótica avanzado para el ensamble automático de circuitos (sistema 1), que requiere una inversión de $1,000,000 ahora, y un programa de inversión a dos años que demanda la compra de dos robots por $800,000 ahora y $600,000 un año después (sistema 2).

La dirección planea implementar uno de los dos sistemas. Utilice una tasa de retorno requerida después de impuestos de 20% para seleccionar el sistema, si se ha estimado la siguiente serie de valores de costo FEN para los próximos cuatro años. Año | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |Sistema 1 FEN | -$1,000,000 | -$250,000 | -$250,000 | -$250,000 | -$100,000 |Sistema 2 FEN | -$800,000 | -$600,000 | -$200,000 | -$200,000 | -$50,000 |Capital Invertido Solución: Utilizando los pasos implementados anteriormente del análisis para el retorno después de impuestos, como lo indican los signos menos, solamente están involucrados flujos de efectivo de costos por lo cual el sistema 1 tiene la mayor inversión inicial en el año cero, y es la alternativa que debe justificar la inversión incremental que sería de $200,000. Además, como ambas alternativas tienen vidas útiles iguales, se selecciona el análisis de VP para estimar i y se determina la serie que se muestra a continuación calculada por el FCDI incremental, por medio de la diferencia de los valores FCDI del sistema 1 menos los del sistema 2. Para evitar manejar cantidades tan grandes se sugiere que se divida entre $10,000 todos los valores para facilitar su manejo, al final se tomarán de nuevo las

cantidades originales. Año, t | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |FEN t | +$20 | - 35 | + 5 | + 5 | + 5 |FEN 0 = [ ( −1,000,000 ) – ( - 800,000 ) ] / 10,000   = + $20FEN 1 =[ ( −25,000 ) – ( - 60,000 ) ] / 10,000 = - $35FEN 2 = [ ( −25,000 ) – ( - 20,000 ) ] / 10,000   =   + $5FEN 3 = [ ( −25,000 ) – ( - 20,000 ) ]/ 10,000 = + $5FEN 4 = [ ( −100,000 ) – ( - 50,000 ) ] / 10,000   = + $5Una vez demostrado cómo se obtuvieron los valores FEN para cada año, se procede a la aplicación de la expresión, (9.10), que nos permite calcular la tasa de retorno aproximada después de impuestos, sustituyendo los valores se tiene: +$20 - $35(P/F, i%, 1) + $5(P/A, i%, 3) (P/F, i%, 1) = 0Como esta igualdad tiene dos valores a encontrar se recurre a encontrar el valor por medio del método de ensayo y error, es decir, dar a la tasa de interés valores para encontrar el valor que llegue a la igualdad a cero. Para i = 25% +$20 - $35(0.800) + $5(1.9520)(0.800) = 0+$20 - $28 + $7.808 = -$0.192Para i = 30% +$20 - $35(0.7692) + $5(1.8161) (0.7692) = 0+$20 - $26.922 + $6.9848 = +$0.063Por este método se encuentra que la tasa se halla entre los valores de 25% y 30%; por el método de interpolación se llega al valor de 28.77%, que excede la tasa del 20% requerida, por lo que la inversión incremental en el sistema 1 se justifica económicamente. Ahora bien, si se considera que la inversión $1,400,000 del sistema dos es mayor que la del sistema uno, entonces se define que el sistema dos es la alternativade la inversión mayor, para lo cual se calculará la tasa de retorno incremental considerando que la inversión del sistema dos es la suma del año cero y del año uno, lo mismo sucede en el sistema uno, por lo que las cantidades del año uno no se consideran. Año, t | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |FEN t | -$15 | 0 | - 5 | - 5 | - 5 |FEN 0 = [ ( −1,400,000 ) – ( - 1,250,000 ) ]   / 10,000 = - $15FEN 2 = [ ( −200,000 ) – ( - 250,000 ) ]   / 10,000   =   + $5FEN 3 = [ ( −200,000 ) – ( - 250,000 ) ]   / 10,000   = + $5FEN 4 = [ ( −5,000 ) – ( - 10,000 ) ]   / 10,000 = + $5Utilizando el análisis del VP, nos podemos dar cuenta que los valores FEN tienen diferente signo y la tasa de retorno es cero. -$15   + $5(P/A, i%, 3) (P/F, i%, 1) = 0Esta igualdad tiene dos factores que se desconocen para encontrarlos se recurre a calcular el valor por medio del método de ensayo y error, es decir, dar a la tasa de interés valores para encontrar el idóneo que lleve la igualdad a cero. Para i = 20% -$15 + $5(2.1065) (0.8333) = 0-$15 + $8.7767 = -$6.2233Para i = 25% -$15 + $5(1.9520) (0.800) = 0

-$15 + $7.808 = -$7.192Para i = 30% -$15 + $5(1.8161)   (0.7692) = 0-$15 + $6.9848 = -$8.0152Como se dijo anteriormente la igualdad no podrá llegar a cero, por lo tanto la tasa de retornoserá igual a cero. Es decir, que la inversión incremental de los $400,000 no se justifica, y en este caso nuevamente se selecciona el sistema 1.

Unidad 5 Análisis de reemplazo 5.2 Tecnicas de Analisis de Reemplazo El análisis de reemplazo sirve para averiguar si un equipo esta operando de manera económica o si los costos de operación pueden disminuirse, adquiriendo un nuevo equipo. Además, mediante este análisis se puede averiguar si el equipo actual debe ser reemplazado de inmediato o es mejor esperar unos años, antes de cambiarlo. Un activo físico debe ser reemplazado cuando se presentan las siguientes causas: Insuficiencia Alto costo de mantenimiento Obsolescencia

5.3 Conceptos Retador y Defensor en Analisis Reemplazo

En la mayoría de los estudios de ingeniería económica se comparan dos o más alternativas. En un estudio de reposición, uno de los activos, al cual se hace referencia como el defensor, es actualmente el poseído (o está en uso) y las alternativas son uno o más retadoras. Para el análisis se toma la perspectiva (punto de vista) del asesor o persona externa; es decir, se supone que en la actualidad no se posee ni se utiliza ningún activo y se debe escoger entre la(s) alternativa(s) del retador y la alternativa del defensor en uso. Por consiguiente, para adquirir el defensor, se debe “invertir” el valor vigente en el mercado en este activo usado. Dicho valor estimado de mercado o de intercambio se convierte en el costoinicial de la alternativa del defensor. Habrá nuevas estimaciones para la vida económica restante, el Costo Anual De Operación (CAO) y el valor de salvamento del defensor. Es probable que todos estos valores difieran de las estimaciones originales. Sin embargo, debido a la perspectiva del asesor, todas las estimaciones hechas y utilizadas anteriormente deben ser rechazadas en el análisis de reposición. Ejemplo: Un hotel de playa, compró hace tres años una máquina para hacer hielo, de la más reciente tecnología, por $12,000 con una vida estimada de 10 años, un valor de salvamento del 20% del precio de compra y un CAO de $3,000. La depreciación ha reducido el costo inicial a su valor actual de $8,000 en libros. Un nuevo modelo de $11,000 acaba de ser anunciado. El gerente del hotel estima la vida de la nueva máquina en 10 años, el valor de salvamento en $2,000 y un CAO de $1,800. El vendedor ha ofrecido una cantidad de intercambio de $7,500 por el defensor de 3 años de uso. Con base en experiencias con la máquina actual, las estimaciones revisadas son: vida restante, 3 años; valor de salvamento, $2,000 y el mismo CAO de $3,000.Si se realiza el estudio de reposición, ¿Qué valores de P, n, VS y CAO son correctos para cada máquina de hielo?

Solución: Desde la perspectiva del asesor, use solamente las estimaciones más recientes: Defensor | Retador |P = | $7,500 | P = | $11,000 |CAO = | $3,000 | CAO = | $1,800 |VS = | $2,000 | VS = | $2,000 |n = | 3 años | n = | 10 años |     

El costo original del defensor de $12,000, el valor de salvamento estimado de $2,400, los 7 años restantes de vida y el valor de $8,000 en libros no son relevantes para el análisis de reposición del defensor Vs. el retador.Dado que el pasado es común a las alternativas, los costos pasados se consideran irrelevantes en un análisis de reposición. Esto incluye un costo no recuperable, o cantidad de dinero invertida antes, que no puede recuperarse ahora o en el futuro. Este hecho puede ocurrir debido a cambios en las condiciones económicas, tecnológicas o de otro tipo o a decisiones de negocios equivocadas. Una persona puede experimentar un costo perdido cuando compra un artículo, por ejemplo, algún software y poco después descubre que éste no funciona como esperaba y no puede devolverlo. El precio de compra es la cantidad del costo perdido. En la industria, un costo no recuperable ocurre también cuando se considera la reposición de un activo y el valor del mercado real o de intercambio es menor que aquel predicho por el modelo de depreciación utilizado para cancelar la inversión de capital original o es menor que el valor de salvamento estimado. El costo no recuperable de un activo se calcula como:Costo no recuperable = Valor presente en libros - valor presente del mercado.Si el resultado en la ecuación anterior es un número negativo, no hay costo no recuperable involucrado. El valor presente en libros es la inversiónrestante después de que se ha cargado la cantidad total de la depreciación; es decir, el valor actual en libros es el valor en libros del activo. Por ejemplo, un activo comprado por $100,000 hace 5 años tiene un valor depreciado en libros de $50,000. Si se está realizando un estudio de reposición y sólo se ofrecen $20,000 como la cantidad de intercambio con el retador, según la ecuación anterior se presenta un costo no recuperable de 50,000 – 20,000 = 30,000.En un análisis de reposición, el costo no recuperable no debe incluirse en el análisis económico. El costo no recuperable representa en realidad una pérdida de capital y se refleja correctamente si se incluye en el estado de resultados de al compañía y en los cálculos del ISR para el año en el cual se incurre en dicho costo. Sin embargo, algunos analistas tratan de “recuperar” el costo no recuperable del defensor agregándolo al costo inicial del retador, lo cual es incorrecto ya que se penaliza al retador, haciendo que su costo inicial aparezca más alto; de esta manera se inclina la decisión.Con frecuencia, se han hecho estimaciones incorrectas sobre la utilidad, el valor o el valor de mercado de un activo. Tal situación es bastante posible, dado que las estimaciones se realizan en un punto en el tiempo sobre un futuro incierto. El resultado puede ser un costo no recuperable cuando se considera la reposición. No debe permitirse que las decisiones económicas y las estimaciones incorrectas del pasado influyanincorrectamente en los estudios económicos y decisiones actuales.En el ejemplo de la máquina de hielo, se incurre en un costo no recuperable para la máquina defendida si ésta es reemplazada. Con un valor en libros de $8000 y una oferta de

intercambio de $7500, la ecuación correspondiente produce:Costo no recuperable = 8,000 – 7,500 = $500Los $500 nunca debieron agregarse al costo inicial del retador. Tal hecho penaliza al retador puesto que la cantidad de inversión de capital que debe recuperarse cada año es más grande debido a un costo inicial aumentado de manera artificialmente y es un intento de eliminar errores pasados en la estimación, pero probablemente inevitables.

5.4 Modelos de Reemplazo Equipo

Para hacer analisis de remplazo, es indispensable determinar: El horizonte de la planeacion: llamado tamibien intervalo de tiempo, determinado por el tiempo durante el cual va realizarse el analisis y mientras más pequeño sea el horizonte de planeación más exacto resultara el analisis. La disponibilidad de capital: esto para realizar la compra de los activos segun lo planedo y lo proyectado. Desde el punto de vista económico las técnicas más utilizadas en el análisis de reemplazo son: PERIODO OPTIMO DE REEMPLAZO= VIDA ECONOMICA Esta técnica consiste en calcular el costo anual uniforme equivaente del activo, cuando este es retenido por una cierta cantidad de años y en esta forma seleccionar el numero de años para lo cual el costo es minimo.

CONFRONTACION ANTIGUO-NUEVO En esta técnica se analizan las ventajas del activo actualmente en uso y comparar con las ventajas que ofrecería un nuevo activo. Al utilizar esta técnica, se debe tener en cuenta las estimaciones sobre el valor comercial, valor de salvamento y vida util del activo. CALCULO DEL VALOR CRITICO DE CANJE La mayoria de las veces, es necesario conocer el mínimo valor de canje de una máquina antigua, antes de entrar a negociar una maquina nueva, este valor puede obtenerse igualando el CAUE de la máquina nueva con el CAUE de la máquina antigua.

5.5 Analisis de reemplazo utilizando un horizonte de planificacion especificado

El análisis de reemplazo sirve para averiguar si un equipo esta operando de manera económica o si los costos de operación pueden disminuirse, adquiriendo un nuevo equipo. Además, mediante este análisis se puede averiguar si el equipo actual debe ser reemplazado de inmediato o es mejor esperar unos años, antes de cambiarlo Siguiendo con el análisis que el canal financiero esta realizando de los activos físicos y como complemento a los artículos hechos en tiempo pasado, se presenta a continuación un minucioso estudio de la importancia en la toma de decisiones realizada por el administrador financiero en el momento de reemplazar sus recursos fijos. EL ANÁLISIS Y PLANEACIÓN DE REEMPLAZO Un plan de reemplazo de activos físicos es de vital importancia en todo proceso económico, porque un reemplazo apresuradocausa una disminución de liquidez y un reemplazo tardío causa pérdida; esto ocurre por los aumentos de costo de operación y mantenimiento, por lo tanto debe establecerse el

momento oportuno de reemplazo, a fin de obtener las mayores ventajas económicas. Un activo físico debe ser reemplazado, cuando se presentan las siguientes causas: Insuficiencia. Alto costo de mantenimiento. Obsolescencia. Recomendamos En este tipo de análisis es necesario aplicar algunos conceptos de matemáticas financieras fundamentales Para hacer un análisis de reemplazo, es indispensable determinar: El horizonte de la planeación También llamado el intervalo de tiempo, está determinado por el periodo durante el cual va a realizarse el análisis y mientras más pequeño sea el horizonte de planeación, más exacto resulta el análisis. La disponibilidad de capital Este para realizar la compra de los activos según lo planeado y lo proyectado.

5.6 Cuando la vida útil restante del defensor es igual a la del retador

5.7 Cuando la vida útil restante del defensor es mayor a la del retador 5.8 Analisis de reemplazo para retencion adicional de un año Normalmente se espera que un activo se conserve hasta el final de su vida de servicio económico o durante su vida útil estimada, si es diferente. Sin embargo, a medida que transcurre la vida de un activo que e posee actualmente, éste se deteriora, apareciendo entonces modelos disponibles más atractivos, modernos o mejorados;o las estimaciones de costo e ingreso original resultan ser significativamente diferentes de las cantidades reales. Entonces, una pregunta que se hace con frecuencia es: ¿Debe el activo ser reemplazado o conservarse en servicio durante 1, 2, 3 o más años? Buena pregunta si el activo ha estado en servicio durante todo el tiempo esperado; es decir, han transcurrido n años de servicio o la vida estimada ha expirado y parece que el activo tendrá más años de servicio. Dos opciones son posibles para cada año adicional. Seleccionar a un retador ahora o conservar al defensor durante un año más.Para tomar la decisión de remplazar o conservar, no es correcto simplemente comparar el costo equivalente del defensor y el costo del retador durante el tiempo restante de servicio económico, vida útil anticipada, o algún número seleccionado de años más allá de cualquiera de estos dos números de años. En lugar de ello, se utiliza el procedimiento de valor anual donde:VAR = Valor anual del retadorCD (1) = Estimación de costo del defensor para el año próximo (t = 1)Si el costo de 1 año del defensor CD (1) es menor que el valor anual del retador, conserve al defensor un año más ya que su costo es menor.Ejemplo: En general, Engineering Models, Inc., conserva su flota de auros al servicio de la compañía durante 5 años antes de su reposición. Debido a que los autos comprados con descuento hace exactamente 2 años se han deteriorado mucho más rápido de lo esperado, la gerencia sepregunta qué es más económico: reemplazar los autos este año por otros nuevos; conservarlos durante 1 año más y luego reemplazarlos; conservarlos durante dos años más y luego reemplazarlos; o conservarlos durante 3 años más hasta el final de sus vidas

estimadas. Realice un análisis de reposición para i = 20% utilizando estos costos estimados.Auto actualmente poseído (defensor) | | || Valor al principio de año | Costo anual de operación | Reposición posible (retador) |Año próximo 3 | 3800 | 4500 | Costo inicial | 8700 |Año próximo 4 | 2800 | 5000 | Costo anual | 3900 |Último año 5 | 500 | 5500 | Vida | 5 años |Vida restante | 3 | | V. S. | 1800 |V.S. después de 3 años ad. | 500 | | | |Solución: Calcule el VA para el retador durante 5 años.VAR = -8700(AP,20,5[0.3344]) + 1800(AF,20,5[0.1344]) -3900 = -$6567.36Calcule el costo del defensor para el próximo año (t = 1) utilizando un valor de $2800 como estimación del VS para el próximo año.CD(1) = -3800(AP,20,1[1.2]) + 2800(AF,20,1[1.0]) -4500 = -$6260.00Puesto que el costo CD(1) es menor que VAR, conserve los autos actuales durante el año siguiente.Terminado el año próximo, para determinar si los autos deben conservarse aún otro año, siga con el análisis de los flujos de efectivo. Ahora, el valor de salvamento de $2800 en CD(1) es el costo inicial para el año t = 2. El costo del primer año CD (2) para el defensor es ahora:CD (2) = -2800(AP,20 1[1.2]) + 500(AF,20,1[1.0]) -5000 = -$7860.00Ahora CD cuesta más que VAR = -$6567.36, de manera que debe calcularse el valor VAD para los dos años restantes de la vida del defensor.VAD = - 2800(AP,20,2[0.6545]) + 500(AF,20,2[0.4545]) - 5000 -500(AG,20,2[0.4545]) = -$6832.60Dado que el retador en VAR = -$6567.36 es también más barato para los 2 años restantes, es preferible seleccionarlo y reemplazar los autos actuales después de un año adicional (año 3) de servicio.

5.9 Factores de deterioro y obsolescencia DETERIORO FISICO Consiste en la depreciación por aspectos como: • Uso • Factores climáticos • Etc. OBSOLESCENCIA • La obsolescencia es la depreciación del equipo existente como consecuencia de la invención de equipos o procesos nuevos y mejores”

5.10 Determinacion del costo minimo de vida util La definición de un programa correcto de sustitución de activos representa uno de los elementos fundamentales de la estrategia de desarrollo de una empresa. Un reemplazo postergado más tiempo del razonable puede elevar los costos de producción, perder competitividad ante empresas que se modernizan o incumplir con los plazos de entrega, entre otros problemas fáciles de identificar. Un reemplazo que se anticipa puede ocasionar el desvío de recursos que pudieran tener otras prioridades con mayor impacto positivo para la empresa, además del costo de oportunidad que implica no trabajar con estructuras y

costos óptimos.El estudio de las inversiones de modernización por la víadel reemplazo es el más simple de realizar, aunque, como se verá a continuación, se presentan ciertas complejidades asociadas a la forma de seleccionar la información relevante para la toma de la decisión y al procedimiento para construir los flujos de caja adecuados. La necesidad de sustituir activos en la empresa se origina en varias causas:Por capacidad insuficiente de los equipos existentes para enfrentar un eventual crecimiento de la empresa.   * Por un crecimiento en los costos de operación y mantenimiento de los equipos en niveles ineficientes comparativamente con los de un nuevo equipo.   * Por una productividad decreciente originada en el aumento de horas de detención del activo para someterlo a reparaciones o mejoras.   * Por la obsolescencia –o envejecimiento económico- observada comparativamente en el mejoramiento continuo derivado de los cambios tecnológicos, que hacen aconsejable la renovación de equipos que, aunque no manifiesten un nivel de desgaste suficiente ni costos de mantenimiento crecientes, enfrenten una opción tecnológica nueva con menores costos de operación o mayor eficiencia en la producción.   * Por la destrucción física total asociada con averías irreparables o que siendo reparables tengan un costo de arreglo tan alto que no justifique el gasto. Dentro de los proyectos de reemplazo es posible identificar, fundamentalmente, tres tipos de opciones básicas:  * Opción de sustitución de activos sin cambios en el nivelde operación ni, por lo tanto, en el nivel de ingresos. Cuando un reemplazo no tiene impacto sobre los ingresos de operación de la empresa, éstos pasan a ser irrelevantes para la decisión, por lo que la evaluación deberá elegir la opción de menor valor actual de los costos proyectados. Los únicos ingresos relevantes serán los que se encuentran relacionados con la venta del equipo que se reemplaza, así como con los valores de desecho incluidos en el cálculo de los beneficios. En este caso, la empresa puede optar por quedarse con el equipo actual o sustituirlo por otro nuevo, basándose en el criterio de mínimo costo. Si incluyera los beneficios, irrelevantes por ser comunes para ambas opciones, necesariamente se elegirá la misma opción según el criterio de máxima utilidad. Si los ingresos actuales no se ven modificados con el reemplazo, la opción de mínimo costo será siempre la de mayor utilidad. Por ejemplo: | Sin reemplazo | Con reemplazo |Ingresos | 1.000 | 1.000 |Costos | - 700 | - 800 |Beneficio neto | 300 | 200 |La opción sin reemplazo es más conveniente por ser la de mínimo costo o la de mayor beneficio neto.  * Sustitución de activos con cambios en los niveles de producción, ventas o ingresos. Cuando la decisión de reemplazo de un activo hace que se modifiquen los niveles de productividad en la empresa o se generen nuevos ingresos derivados de cambios en la calidad y precio del producto o del aprovechamiento de nuevas posibilidades comerciales,como, por ejemplo, la venta de desechos que, con la nueva tecnología incorporada con el equipo que reemplaza al anterior, pudieran tener una posibilidad de venta antes imposible, tanto los ingresos como los costos asociados al cambio en el activo pasan a ser relevantes

para la decisión. Al cambiar los ingresos, la solución de mínimo costo podría no ser siempre la más conveniente. Por ejemplo: | Sin reemplazo | Con reemplazo |Ingresos | 1.000 | 1.200 |Costos | - 700 | - 800 |Beneficio neto | 300 | 400 |En esta situación, se debería agregar los efectos indirectos sobre la inversión en capital de trabajo.  * Imprescindencia de la sustitución de un activo con o sin cambio en el nivel de operación. Cuando la empresa debe necesariamente hacer el reemplazo de algún equipo (por ejemplo, cuando el activo está deteriorado u obsoleto), la situación base no existe y se debe evaluar cuál de las opciones existentes en el mercado es la más conveniente, aunque considerando el impacto sobre el resto de la empresa, si lo hubiera. En los dos primeros casos podría ser posible que se determine que la situación con reemplazo es mejor que la situación actual. Sin embargo, siempre será necesario considerar la opción de mejorar la situación base como una más para evaluar. Esto es lo que comúnmente se denomina situación base optimada.En los tres casos anteriores se podría también presentar la posibilidad de que las opciones que se comparen (entre la situación actualy una alternativa de reemplazo o entre distintas opciones de reemplazo) pudieran tener distintas vidas útiles. La determinación del horizonte de evaluación de activos con distinta vida útil es una tarea importante para calcular la conveniencia de la sustitución. En muchos casos, las vidas útiles de los activos que se comparan son distintas o, si son iguales, poseen una vida útil remanente distinta. Cuando el activo que se busca reemplazar tiene una vida útil distinta (usualmente menor) a la del equipo nuevo y genera un cambio en la tecnología (por ejemplo, evaluar la sustitución de un proceso intensivo en mano de obra por otro intensivo en capital o, como se verá en el caso siguiente, reemplazar el transporte de residuos mediante el uso de camiones o por tuberías), es posible evaluar ambas opciones en la cantidad de años de vida útil de la menor de ellas, por cuanto es el máximo tiempo posible de comparación. Cuando difícilmente se puede suponer que la tecnología antigua será reemplazada por otra de similares características al final de su vida útil, existiendo ya una opción mejorada, la decisión  comúnmente se toma entre cambiar hoy la tecnología o hacerlo al final de su vida útil. Por otra parte, se debe tener en consideración que si bien el proyecto de hacer el reemplazo libera y permite vender el activo en uso, este beneficio no puede ser atribuido al proyecto de sustitución, por cuanto la empresa, si se hace el reemplazo, perderá la propiedad de dichoactivo.Para considerar los reales impactos de la decisión, se deberá incorporar, en la situación con proyecto, el ingreso por la venta del activo liberado y, en la situación base, el valor de desecho que tendría al final de su vida útil, si la empresa continuase con él. En un análisis incremental se incorporará en el momento cero el ingreso por la venta del activo y, en el último período de evaluación, el menor valor de desecho que tendría la empresa, el que, por ser un costo para ella, se anotará con signo negativo. Ambos procedimientos conducen a un mismo resultado.En proyectos de reemplazo sin variación en los niveles de operación se suelen omitir los cambios en los niveles de inversión en capital de trabajo, por cuanto probablemente tengan

un impacto insignificante en los resultados de la evaluación, ya que se originarían en pequeños cambios en las estructuras de costos, básicamente por economías o deseconomías de escala. Como se mencionó anteriormente, esto es válido en nivel de prefactibilidad, pero en un estudio en factibilidad se deberá validar esta consideración antes de incorporarla.Los costos asociados con la no sustitución de un activo se ocasionan por el mayor costo de operación y de mantenimiento, por la disminución de la capacidad de producción y ventas al aumentar los días de detención para efectuar reparaciones y por la declinación comparativa de la calidad en relación con la de un equipo nuevo, lo que puede ocasionar una disminución en lasventas, en la readecuación de los precios para recuperar competitividad o el reprocesamiento de productos derivados de la menor calidad de producción.Una opción que siempre se debe evaluar cuando se estudia una posible sustitución de activos es la de mejorar la situación existente. Es decir, el gasto en una reparación mayor o modernización del activo actual puede tener un menor valor actual de costos que seguir con él.En este respecto, algunos autores señalan que “debe seleccionarse la longitud del horizonte de planificación, la cual usualmente coincide con la vida útil más larga de los activos. La selección del horizonte de planificación hace suponer que el valor del costo anual equivalente del activo de menor vida útil es el mismo durante el horizonte de planificación. Esto implica que el servicio prestado por el activo de menor vida útil puede ser adquirido al mismo costo anual equivalente que actualmente se calcula para la vida de servicio esperada”.

Unidad 6 Análisis de sensibilidad e inflación 6.1 La Sensibilidad en las Alternativas de Inversión Es posible examinar en forma exacta las ventajas y desventajas económicas entre dos alternativas o más tomando en préstamo, del campo de la programación de proyectos, el concepto de elaborar tres estimaciones para cada parámetro: una estimación pesimista, una muy probable y una optimista. Este enfoque nos permite estudiar la sensibilidad de la selección de las medidas de valor y de las alternativas dentrode un rango preestablecido de variación para cada parámetro. En general, cuando se calcula la medida de valor para un parámetro o alternativa particular se utiliza la estimación más probable para todos los demás parámetros.Ejemplo: Suponga que usted es un ingeniero que está evaluando tres alternativas para las cuales un equipo de gerencia ha hecho tres estimaciones de estrategia, una pesimista (P), una muy probable (MP) y una optimista (O), para la vida, el valor de salvamento y los costos anuales de operación. Las estimaciones se presentan en la siguiente tabla a un nivel de alternativa por alternativa. Por ejemplo, la alternativa B tiene estimaciones pesimistas de VS = $500, CAO = $4000 y n = 2 años. Los costos iniciales se conocen, de manera que ellos tienen el mismo valor para todas las estrategias. Realice un análisis de sensibilidad para tratar de determinar la alternativa más económica utilizando el análisis VA y una TMAR del 12%.Alternativa | Estrategia | Costo inicial | VS | CAO | Vida (años) |A | P | -20000 | 0 | -11000 | 3 |A | MP | -20000 | 0 | -9000 | 5 |A | O | -20000 | 0 | -5000 | 8 |

B | P | -15000 | 500 | -4000 | 2 |B | MP | -15000 | 1000 | -3500 | 4 |B | O | -15000 | 2000 | -2000 | 7 |C | P | -30000 | 3000 | -8000 | 3 |C | MP | -30000 | 3000 | -7000 | 7 |C | O | -30000 | 3000 | -3500 | 9 |Solución: Para la descripción de cada alternativa en la tabla anterior, se calcula el VA de los costos. Por ejemplo, la relaciónVA para la estimación pesimista de la alternativa A es:VA = -20000(A/P,12%,3[0.4163]) - 11000 = -19326.00Los valores VA de las tres alternativas y sus respectivas estrategias se muestran a continuación:| Valores VA alternativos |Estrategia | A | B | C |P | -19326.00 | -12639.65 | -19600.10 |MP | -14548.00 | -8228.80 | -13275.70 |O | -9026.00 | -5088.30 | -8927.90 |Es claro que la alternativa que debe ser seleccionada es la B, ya que en la estrategia MP, tiene un costo menor que los de la estrategia optimista de las alternativas A y C.

6.1.1 Enfoque de analisis de sensibilidad ENFOQUE DE ANALISIS DE SESIBILIDAD El análisis económico utiliza estimaciones de sucesos futuros para ayudar a quienes toman decisiones. Dado que las estimaciones futuras siempre tienen una medida de error, hay imprecisión en las proyecciones económicas. El efecto de la variación puede determinarse mediante el análisis de sensibilidad. Algunos de los parámetros o factores comunes para hallar la sensibilidad son la TMAR, las tasas de interés, las estimaciones de vida, los periodos de recuperación para fines tributarios, todo tipo de costo, ventas y muchos otros factores. Este supuesto no es correcto por completo en situaciones del mundo real, pero es practico puesto que en general no es posible para considerar en forma precisa las dependencias reales. El análisis de sensibilidad en si mismo es un estudio realizado en generar en unión con el estudio de ingenieríaeconómica; determina la forma como una medida de valor VP, VA, TR o B/C y la alternativa seleccionada se varan alteradas si un factor particular o parámetro varia dentro de un rango establecido de valores. Generalmente, las variaciones en la vida, en los costos anuales y recaudos resultan de variaciones en el precio de ventas, de operación a diferentes niveles de capacidad, de la inflación, etc. Por ejemplo, si un nivel de operación de un 90% de la capacidad de sillas de una aerolínea se compara con el 50% en una ruta internacional nueva, el costo de operación y el recaudo por milla de pasajero aumentara, pero es probable que la vida anticipada disminuya solo ligeramente. De ordinario, para aprender como afecta el análisis económico la incertidumbre de las estimaciones, se estudian diversos parámetros importantes. La graficación del VP, VA o TR versus el(los) parámetro(s) estudiado(s) es muy útil. Dos alternativas pueden compararse con respecto a un parámetro dado y calcularse el punto de equilibrio. Este es un valor al cual las 2 alternativas son equivalentes en términos

económicos. Sin embargo, el diagrama del punto de equilibrio comúnmente representa solo un parámetro por diagrama. Por tanto, se construyen diversos diagramas y se supone la independencia de cada parámetro. Cuando se estudian diversos parámetros, un estudio de sensibilidad puede resultar bastante complejo. Este puede realizarse utilizando 1 parámetro a la vez mediante un sistemade hoja de calculo, un programa de computadora preparado especialmente, o cálculos manuales. El computador facilita la comparación de múltiples parámetros y múltiples medidas de valor y el software puede representar gráficamente de manera rápida los resultados.

6.1.2 Determinacion de sensibilidad de estimaciones de parametros DETERMINACIÓN DE LA SENSIBILIDAD DE LAS ESTIMACIONES. El procedimiento a seguir para efectuar un análisis de sensibilidad es: 1. Determinar que factor (es) varía (n) más fácilmente del valor esperado. 2. Seleccionar el intervalo e incremento probable de variación para cada factor. 3. Seleccionar un método de evaluación para evaluar la sensibilidad de cada factor (VP, CAUE, TIR). 4. Calcular y hacer una gráfica de los resultados obtenidos. Ejemplo 10.1. Una compañía esta considerando la compra de un nuevo equipo que tiene un costo de $200,000, un valor de salvamento de cero y un flujo anticipado después de impuestos de $67,500 - 5000 k (k = 1, 2, . . . , n). La TREMA de la compañía ha variado de 10% a 30% para diferentes tipos de inversión. La vida útil económica de un equipo similar varia normalmente de 6 a 14 años. Determine: a) Sensibilidad de variación de la TREMA sí n = 10 años. b) Sensibilidad de variación de la vida útil suponiendo una TREMA del 15 %. a) Sensibilidad de variación de la TREMA sí n = 10 años VP = −200,000 + 62,500(P/A, i, 10) - 5, 000(P/G, i, 10) CAUE = VP(A/P, i, 10) I P/A P/G VP A/P CAUE

10 6.1416 22.891 69,395 0.1628 11,299 15 5.0188 16.979 28,780 0.1993 5,734 20 4.1925 12.887 −2,404 0.2385 −573 25 3.5705 9.987 −26,779 0.2801 −7,500 30 3.0915 7.887 −46,216 0.3235 −14,949 Graficar en el eje de “y” el valor del CAUE, y en ell eje de las x el TREMA La pendiente negativa del CAUE indica que la decisión es sensible a las variaciones de la TREMA. La inversión no será atractiva si la TREMA se establece hacia el extremo superior del intervalo del TREMA de la compañía. b) Sensibilidad de variación de la vida útil suponiendo una TREMA del 15 % VP = - 200,000 + 62,500(P/A, 15, n) - 5,000(P/G, 15, n) CAUE = VP (A/P, 15, n) n P/A P/G P A/P CAUE 6 3.7845 7.937 −3,154 0.26424 −833 8 4.4873 12.481 18,051 0.22285 4,023 10 5.0188 16.979 28,780 0.19925 5,734

12 5.4206 21.185 32,863 0.18448 6,062 14 5.7245 24.972 32,921 0.17469 5,751 16 5.9542 28.296 30,658 0.16795 5,149 Graficar en el eje de “y” el valor del CAUE, y en ell eje de las x LOS AÑOS Debido a que el CAUE es positivo para los valores de n, la decisión de inversión no se afectaría por la vida útil económica de la maquina. Aunque después n = 12, el CAUE tiende a nivelarse y ser insensible. Esto se debe a que al aumentar n el VP disminuye.

6.1.3 Analisis de sensibilidad utilizando tres estimaciones de parametros En este caso cuando se tienen dos o más estimaciones, es posible examinar con certeza las ventajas y desventajas económicas entre dos alternativas o más,tomando del campo de la programación de proyectos el concepto de elaborar tres estimaciones para cada parámetro. Una estimación pesimista (P), una muy probable (MP) y una optimista (O), esto significa que se especifica como un valor que tiene una oportunidad sobre 20 de ser sobrepasada por el resultado real. El lector deberá darse cuenta que dependiendo de la naturaleza de un parámetro. La estimación pesimista (P), se considera que tiene 19 oportunidades sobre 20 de ser sobrepasada por el resultado real, puede ser el valor más bajo (la vida útil de la alternativa, sería un ejemplo), o el valor más grande (como el costo inicial de un activo seria el otro ejemplo). La estimación muy probable (MP), puede considerarse entre la pesimista y la optimista nos permite tener casi un promedio de ambas, hay que determinar en qué porcentaje se encuentra una de otra. La estimación optimista (O), se supone que las condiciones son todas favorables. Este enfoque nos permite estudiar la sensibilidad de la selección de las medidas de valor y de las alternativas dentro de un rango preestablecido de variación para cada parámetro. En general, cuando se calcula la medida de valor para un parámetro o alternativa particular se utiliza las estimaciones más probables para todos los demás parámetros. Este enfoque ahora se utiliza mediante el ejemplo siguiente: Usted como jefe del departamento de proyectos, está evaluando tres alternativas para las cuales los gerentes corporativos proponentres estimaciones de estrategia, una pesimista (P), una muy probable (MP) y una optimista (O), para los parámetros de la vida útil, el valor de salvamento y los costos anuales de operación. Las estimaciones se presentan en la siguiente tabla a un nivel de alternativa por alternativa. Haga un análisis de sensibilidad para tratar de determinar la alternativa más económica utilizando el análisis (VA) y una (TMAR) del 12 %. Tabla A. Alternativas que compiten con base en tres estimaciones hechas para los parámetros de (VS), (CAO) y Vida útil (n). Estrategia | Costo Inicial $ | Valor de salvamento $ | CAO $ | CAO $ |Alternativa A | | | | |P | −20,000 | 0 | −11,000 | 3 |MP | −20,000 | 0 | −9,000 | 5 |O | −20,000 | 0 | −5,000 | 8 |

Alternativa B |P | −15,000 | 500 | −4,000 | 2 |MP | −15,000 | 1,000 | −3,500 | 4 |

O | −15,000 | 2,000 | −2,000 | 7 |

Alternativa C |P | −30,000 | 3,000 | −8,000 | 3 |MP | −30,000 | 3,000 | −7,000 | 7 |O | −30,000 | 3,000 | −3,000 | 9 |Solución: De acuerdo a los valores de cada alternativa de la tabla anterior se calculará el (VA) de los costos, así tendríamos la siguiente ecuación, en donde se involucrarán los valores para la estimación pesimista de la alternativa (A). Cálculos de la alternativa (A) Para la estimación Pesimista (P). VAP = - P (A/P, i%, n) -CAO VAP = - $20,000(A/P, 12%, 3) - $11,000 VAP = - $20,000(0.41635) - $11,000 VAP = - $8,327 -$11,000 VAP = - $19,327 Ahora para la estimaciónmuy probable, (MP). VAMP = - P (A/P, i%, n) – CAO VAMP = - $20,000(A/P, 12%, 5) - $9,000 VAMP = - $20,000(0.27741) - $9,000 VAMP = - $5,548 - $9,000 VAMP = - $14,548 Ahora para la estimación Optimista, (O). VAO = - P (A/P, i%, n) - CAO VAO = - $20,000(A/P, 12%, 8) - $5,000 VAO = - $20,000(0.20130) - $5,000 VAO = - $4,026 - $5,000 VAO = - $9,026 Se calcula la alternativa B. Para la estimación Pesimista (P). VAP = - P (A/P, i%, n) -CAO +VS (A/F, i%, n) VAP = - $15,000(A/P, 12%, 2) -$4,000 + $500(A/F, 12%, 2) VAP = - $15,000(0.59170) - $4,000 + $500(0.47170) VAP = - $8,875 - $4,000 + $235 VAP = - $12,640 Ahora para la estimación muy probable, (MP). VAMP = - P (A/P, i%, n) -CAO +VS (A/F, i%, n) VAMP = - $15,000(A/P, 12%, 4) -$3,500 +$1,000(A/F, 12%, 4) VAMP = −15,000(0.32923) - $3,500 +$1,000(0.20923) VAMP = - $4,938 - $3,500 + $209 VAMP = - $8,229 Ahora para la estimación Optimista, (O). VAO = - P (A/P, i%, n) -CAO +VS (A/F, i%, n) VAO = - $15,000(A/P, 12%, 8) -$2,000 +$2,000(A/F, 12%, 7) VAO = - $15,000(0.21912) - $2,000 +$2,000(0.09912) VAO = - $3,287 - $2,000 + $198 VAO = - $5,089 Se calcula la alternativa C. Para la estimación Pesimista (P). VAP = - P (A/P, i%, n) -CAO +VS (A/F, i%, n) VAP = - $30,000(A/P, 12%, 3) - $8,000+ $3,000(A/F, 12%, 3) VAP = - $30,000(0.41635) - $8,000 + $3,000(0.29635) VAP = - $12,490 - $8,000 + $889 VAP = - $19,601 Ahora para la estimación muy probable, (MP). VAMP = - P (A/P, i%, n) - CAO +VS (A/F, i%, n) VAMP = - $30,000(A/P,12%, 7) -$7,000+ $3,000(A/F, 12%, 7) VAMP = - 30,000(0.21912) - $7,000 +$3,000(0.09912) VAMP = - $6,574 - $7,000 + $298 VAMP = - $13,277 Ahora para la estimación Optimista, (O). VAO = - P (A/P, i%, n) -CAO +VS (A/F, i%, n) VAO = - $30,000(A/P, 12%, 9) -$3,500 + $3,000(A/F, 12%, 9) VAO = - $30,000(0.18768) - $3,500 +$3,000(0.06768) VAO = - $5,630 - $3,500 + $203 VAO = -$8,927 Considerando los valores obtenidos en la siguiente tabla, que contiene únicamente los valores anualizados, nos permitirá analizar y comprender mejor cada alternativa, desde un punto de vista económico para tomar una decisión de las alternativas presentadas.     VALORES ANUALES DE CADA ALTERNATIVA.Valores | VA | Alternativas |P | -$19,327 | $−12,640 | -$19,601 |MP | -$14,548 | $−8,229 | -$13,277 |O | -$9,026 | $−5,089 | -$8,927 |

Analizando la tabla anterior, podemos observar que la alternativa (B), es la más favorecida económicamente. Porque sus valores de las estrategias (P), (MP) y (O) Son menores que los valores de las estrategias de las alternativas (A) y © respectivamente. Para confirmar lo anterior se elaborará la grafica correspondiente para ver el comportamiento de dichos valores de las tres alternativas.

6.2 Valor Esperado y Arbol de Decision La evaluación de alternativas puede requerir una serie de decisiones en las cuales el resultado de una etapa es importante para la siguiente etapa en la toma de decisiones. Cuando es posible definirclaramente cada alternativa económica y se desea considerar explícitamente el riesgo, es útil realizar la evaluación utilizando un árbol de decisiones, el cual incluye: · Más de una etapa de selección de alternativas. · La selección de una alternativa en una etapa conduce a otra etapa. · Resultados esperados de una decisión en cada etapa. · Estimaciones de probabilidad para cada resultado. · Estimaciones del valor económico (costo o ingreso) para cada resultado. · Medida del valor como criterio de selección, tal como E(VP). El árbol de decisiones se construye de izquierda a derecha cada decisión y resultado posible. Un cuadrado representa un nodo de decisiones y las alternativas posibles se indican en las ramas que salen del nodo de decisión (figura 19.6 a). Un círculo representa un nodo de probabilidad con resultados posibles y probabilidades estimadas en las ramas (figura 19.6 b). Dado que los resultados siempre siguen a las decisiones, se obtiene la estructura en forma de árbol de la figura 19.6 a medida que se define la situación completa. Generalmente, cada rama de un árbol de decisión tiene algún valor económico asociado en términos de costos o de ingresos o beneficios (al cual se hace referencia frecuentemente como reintegro). Estos flujos de efectivo están expresados en términos de valores VP, VA o VF y se muestran a la derecha de cada rama de resultados finales. Los valores del flujo de efectivo y de probabilidad de cada rama de resultadosse utilizan para calcular el valor económico esperado de cada rama de decisión. Este proceso, llamado solución de árbol o desdoblamiento, se explica después del ejemplo 19.6, el cual ilustra la construcción de un árbol de decisiones. Ejemplo 19.6 Jerry Hill es presidente y ejecutivo principal de una firma estadounidense de procesamiento de alimentos, Hill Products and Services. Recientemente, fue contactado por una gran cadena de supermercados con sede en Indonesia, que desea el mercadero dentro del país de su propia marca de cenas congeladas, bajas en grasa, con calorías que varían de un rango medio, de mucho sabor, para ser calentadas en microondas. La oferta hecha a Jerry por la corporación de supermercado exige que se tome una serie de decisiones, ahora y dentro de 2 años. La decisión actual comprende dos alternativas (1) Arrendar las instalaciones de la cadena de supermercados, que se había acordado convertir en una instalación de procesamiento actual para uso inmediato por parte de la compañía de Jerry, o (2) construir y adquirir una instalación de procesamiento y empaque en Indonesia. Los resultados posibles de esta primera etapa de decisión son un buen o mal mercado dependiendo de la respuesta del público. Las alternativas de decisión, 2 años a partir de ahora, dependen de la decisión de arrendar o

adquirir que se toma ahora. Si Hill decide arrendar, una buena respuesta del mercado significa que las alternativas de decisión futuras son produciral doble del volumen, al igual volumen o a la mitad del volumen original. Ésta será una decisión mutua entre la cadena de supermercados y la compañía de Jerry. Una respuesta mala del mercado indicará la mitad del nivel de producción, o el retiro completo del mercado de Indonesia. Los resultados para decisiones futuras son, nuevamente, buenas y malas respuestas del mercado. Cuando acordó la compañía del supermercado, la decisión actual para Jerry de adquirir la instalación le permitirá fijar el nivel de producción dentro de 2 años. Si la respuesta del mercado es buena, las alternativas de decisión son cuatro veces o el doble de los niveles originales. La reacción a una mala respuesta del mercado será la producción al mismo nivel o ninguna producción. Construya el árbol de decisiones y resultados para Hill Products and Services. Solución Identifique los nodos y las ramas de decisión iniciales y luego desarrolle el árbol utilizando las ramas y los resultados del mercado bueno y malo para cada decisión. La figura 9.7 detalla la priera etapa de decisión (D) y las ramas de resultados. Decisión ahora: Llámela D1 Alternativas: arrendar(L) y adquirir (O) Resultados: buenos y malos resultados Selección de decisiones dentro de 2 años Llámelas D2 hasta D5 Resultados: buen mercado, mal mercado y fuera de negocio Selección de niveles de producción para D2 hasta D5: Cuadruple la producción (4x); duplique la producción (2x); nivel de producción (1x); l a mitadde la producción (0.5x); suspenda la producción(0X). Las alternativas para futuros niveles de producción (D2 hasta D5) se agregan al árbol seguidas de las buenas y malas respuestas del mercado (figura 19.7). Si se toma la decisión de suspende la producción Para utilizar el árbol de decisiones a fin de evaluar y seleccionar alternativas, es preciso estimar la siguiente información adicional para cada rama: · probabilidad estimada de que cada resultado pueda ocurrir. Estas probabilidades deben sumar 1.0 para cada conjunto de resultados (ramas) que resultan de un decisión. · Información económica para cada alternativa de decisión y resultado posible, tal como inversión inicial y flujos de efectivo anuales.

Las decisiones se toman a partir de la estimación de probabilidad y la estimación del valor económico para cada rama de resultados. De ordinario se utiliza el valor presente en los cálculos de valor esperado del tipo de la ecuación [19.1]. El procedimiento general para resolver el árbol mediante análisis VO es: 1. Empiece en la parte superior derecha del árbol. Determinar el valor VP para cada rama de resultado considerando el valor del dinero en el tiempo. 2. Calcule el valor esperado para cada alternativa de decisión. E(decisión) = (estimación de resultado) P (resultado) [19.2] donde la sumatoria incluye todos los resultados posibles para cada alternativa de decisión. 3. En cada nodo de decisión, seleccione el mejor valor E (de decisión),

el costo mínimo para una situación de costos solamente, o el reintegro máximo si se estiman los ingresos y los costos. 4. Continué moviéndose a la izquierda del árbol hacia la decisión de las raíces con el fin de seleccionar la mejor alternativa. 5. Trace el mejor camino de decisiones de regreso a través del árbol.6.2.1 Variabilidad economica y valor esperado El uso de la probabilidad y los cálculos que de ella hace el ingeniero economista no son muy comunes; la razón de esto no es la dificultad en el desarrollo de los cálculos o en su compensación, sino la dificultad para obtener los valores reales probabilísticos. El economista debe estar en contacto con los valores monetarios y de vida útil, inciertos y futuros. Generalmente la confiabilidad en información pasada, si existe, para valores futuros de flujo de caja, es incorrecta. Sin embargo, se pueden utilizar la experiencia y el buen criterio conjuntamente con el valor esperado para evaluar la deseabilidad de un proyecto. El valor esperado se puede interpretar como un resultado promedio a largo plazo si se repitiese varias veces el proyecto. El valor esperado E (X) se puede calcular por medio de la relación: (m = 1,2,…, n) Ec. 6.2.1.a.Donde X = valor especifico de la variable. P (X) = probabilidad de que ocurra un valor especifico. En cualquier texto sobre probabilidad y estadística se encuentra una explicación mucho más detallada sobre probabilidad, valor esperado, y estadística.

Ejemplo 1: Usted espera ser incluido en el testamento de su tío. Prevé que heredara $ 5 000 con una probabilidad de 0.50, $ 50 000 con una posibilidad de 0.45 y un valor de 0 pesos con una posibilidad de 0.05 ¿Cuál es su herencia esperada?: Solución: Sean X = valor herencia. P (X) = probabilidad asociada, subjetivamente evaluada. La herencia esperada es de: Comentario: Como en todos los estados de probabilidad, la suma del total de los valo¬res P (X) debe ser 1.0. Si la P (X) = 0.05 para X = $ 0 no estuviera enunciada, tendría que suponerse. Por supuesto, no hay diferencia en los cálculos pero es necesario para su integri¬dad. Si los flujos de caja reales son los valores X, algunos pueden ser negativos, como para el costo inicial. Si el valor esperado es positivo, entonces se espera que el resultado global sea un flujo de caja de entrada. Por lo tanto, E (flujo de caja) = $ — 1.500 en valor presente indi¬ca una proposición de pérdida. El concepto del valor esperado se puede utilizar en estudios de ingeniería económica en la forma que se presenta a continuación.

6.2.2 Calculo de valor esperado para alternativas El valor esperado E (X) puede utilizarse de varias maneras y las probabilidades espera¬das en su cálculo pueden expresarse de diferentes modos. El ejemplo 1 que se da a conti¬nuación es un cálculo E (X) sencillo, mientras que el ejemplo 2 incluye el uso del VP para un activo con la posibilidad de diferentes secuencias de flujo de caja. Ejemplo1: Una compañía de servicios está en dificultades para obtener gas natural para la generación y distribución de electricidad. Los gastos mensuales promedian actual¬mente $ 7 750 000. El economista de este servicio, de propiedad de la ciudad, ha recopilado cifras promedio de ingresos de los dos últimos años utilizando las categorías “lleno de com¬bustible”, “menos del 30% de otro combustible comprado”, “más del 30% de otro

combus¬tible” (tabla 6.2.2.A). “Otros” significa un combustible diferente al gas natural comprado con base en una prima cuyo costo es transferible directamente al consumidor. ¿Puede el servicio esperar cubrir los gastos futuros con base en la información de los dos años? Solución: Utilizando el período de recopilación de información de 24 meses, las probabilidades se pueden calcular así: Las probabilidades suman 1.0; entonces la ecuación resulta en: Siendo el promedio de gastos mensuales $ 7, 750,000; el servicio tendrá que aumentar las tarifas en un futuro cercano.

6.2.3 Seleccion de alternativas utilizando arboles de decision La evaluación de alternativas puede requerir una serie de decisiones en las cuales el resultado de una etapa es importante para la siguiente etapa en la toma de decisiones. Cuando es posible definir claramente cada alternativa económica y se desea considerar explícitamente el riesgo, es útil realizar la evaluación utilizando un árbol de decisiones, el cual incluye: · Más de una etapa de selección de alternativas.· La selección de una alternativa en una etapa conduce a otra etapa. · Resultados esperados de una decisión en cada etapa. · Estimaciones de probabilidad para cada resultado. · Estimaciones del valor económico (costo o ingreso) para cada resultado. · Medida del valor como criterio de selección, tal como E(VP). El árbol de decisiones se construye de izquierda a derecha cada decisión y resultado posible. Un cuadrado representa un nodo de decisiones y las alternativas posibles se indican en las ramas que salen del nodo de decisión (figura 19.6 a). Un círculo representa un nodo de probabilidad con resultados posibles y probabilidades estimadas en las ramas (figura 19.6 b). Dado que los resultados siempre siguen a las decisiones, se obtiene la estructura en forma de árbol de la figura 19.6 a medida que se define la situación completa. Generalmente, cada rama de un árbol de decisión tiene algún valor económico asociado en términos de costos o de ingresos o beneficios (al cual se hace referencia frecuentemente como reintegro). Estos flujos de efectivo están expresados en términos de valores VP, VA o VF y se muestran a la derecha de cada rama de resultados finales. Los valores del flujo de efectivo y de probabilidad de cada rama de resultados se utilizan para calcular el valor económico esperado de cada rama de decisión. Este proceso, llamado solución de árbol o desdoblamiento, se explica después del ejemplo 19.6, el cual ilustra la construcción de un árbol dedecisiones. Ejemplo 19.6 Jerry Hill es presidente y ejecutivo principal de una firma estadounidense de procesamiento de alimentos, Hill Products and Services. Recientemente, fue contactado por una gran cadena de supermercados con sede en Indonesia, que desea el mercadero dentro del país de su propia marca de cenas congeladas, bajas en grasa, con calorías que varían de un rango medio, de mucho sabor, para ser calentadas en microondas. La oferta hecha a Jerry por la corporación de supermercado exige que se tome una serie de decisiones, ahora y dentro de 2 años. La decisión actual comprende dos alternativas (1) Arrendar las instalaciones de la cadena de supermercados, que se había acordado convertir en una instalación de procesamiento actual para uso inmediato por parte de la compañía de Jerry, o (2) construir y adquirir una instalación de procesamiento y empaque en Indonesia. Los resultados posibles de esta primera etapa de decisión son un buen o mal mercado dependiendo de la respuesta del público. Las alternativas de decisión, 2 años a partir de

ahora, dependen de la decisión de arrendar o adquirir que se toma ahora. Si Hill decide arrendar, una buena respuesta del mercado significa que las alternativas de decisión futuras son producir al doble del volumen, al igual volumen o a la mitad del volumen original. Ésta será una decisión mutua entre la cadena de supermercados y la compañía de Jerry. Una respuesta mala del mercado indicará la mitad del nivel de producción,o el retiro completo del mercado de Indonesia. Los resultados para decisiones futuras son, nuevamente, buenas y malas respuestas del mercado. Cuando acordó la compañía del supermercado, la decisión actual para Jerry de adquirir la instalación le permitirá fijar el nivel de producción dentro de 2 años. Si la respuesta del mercado es buena, las alternativas de decisión son cuatro veces o el doble de los niveles originales. La reacción a una mala respuesta del mercado será la producción al mismo nivel o ninguna producción. Construya el árbol de decisiones y resultados para Hill Products and Services. Solución Identifique los nodos y las ramas de decisión iniciales y luego desarrolle el árbol utilizando las ramas y los resultados del mercado bueno y malo para cada decisión. La figura 9.7 detalla la priera etapa de decisión (D) y las ramas de resultados. Decisión ahora: Llámela D1 Alternativas: arrendar(L) y adquirir (O) Resultados: buenos y malos resultados Selección de decisiones dentro de 2 años Llámelas D2 hasta D5 Resultados: buen mercado, mal mercado y fuera de negocio Selección de niveles de producción para D2 hasta D5: Cuadruple la producción (4x); duplique la producción (2x); nivel de producción (1x); l a mitad de la producción (0.5x); suspenda la producción(0X). Las alternativas para futuros niveles de producción (D2 hasta D5) se agregan al árbol seguidas de las buenas y malas respuestas del mercado (figura 19.7). Si se toma la decisión de suspende la producciónPara utilizar el árbol de decisiones a fin de evaluar y seleccionar alternativas, es preciso estimar la siguiente información adicional para cada rama: · probabilidad estimada de que cada resultado pueda ocurrir. Estas probabilidades deben sumar 1.0 para cada conjunto de resultados (ramas) que resultan de un decisión. · Información económica para cada alternativa de decisión y resultado posible, tal como inversión inicial y flujos de efectivo anuales. Las decisiones se toman a partir de la estimación de probabilidad y la estimación del valor económico para cada rama de resultados. De ordinario se utiliza el valor presente en los cálculos de valor esperado del tipo de la ecuación [19.1]. El procedimiento general para resolver el árbol mediante análisis VO es: 1. Empiece en la parte superior derecha del árbol. Determinar el valor VP para cada rama de resultado considerando el valor del dinero en el tiempo. 2. Calcule el valor esperado para cada alternativa de decisión. E(decisión) = (estimación de resultado) P (resultado) [19.2] donde la sumatoria incluye todos los resultados posibles para cada alternativa de decisión. 3. En cada nodo de decisión, seleccione el mejor valor E (de decisión), el costo mínimo para una situación de costos solamente, o el reintegro máximo si se estiman los ingresos y los costos. 4. Continué moviéndose a la izquierda del árbol hacia la decisión de las raíces con el fin de seleccionar la mejor alternativa. 5. Trace el mejor caminode decisiones de regreso a través del árbol.

6.3 Efectos de la Inflacion en Alternativas En los cálculos de recuperación del capital es particularmente importante que éstos incluyan la inflación debido a que el dinero de ahora debe recuperarse en dinero inflado futuro. Dado a que el dinero futuro tiene menos poder adquisitivo que el dinero de hoy, es obvio que se requerirá más dinero para recuperar la inversión presente. Este hecho sugiere

el uso de la tasa de interés del mercado o la tasa inflada en la fórmula A/P. Por ejemplo, si se invierten $1000 hoy a una tasa de interés real del 10% anual cuando la tasa de inflación es del 8% anual, la cantidad anual del capital que debe recuperarse cada año durante 5 años en dinero corriente será: A = 1000(A/P, 18.8%, 5[0.3256]) = $325.60Por otra parte, el valor reducido del dinero a través del tiempo significa que los inversionistas pueden estar dispuestos a gastar menos dinero presente (de mayor valor) para acumular una cantidad determinada de dinero (inflado) futuro utilizando un fondo de amortización; o sea, se calcula un valor A. Esto sugiere el uso de una tasa de interés más alta, es decir, la tasa if , para producir un valor A más bajo en la fórmula A/P. El equivalente anual (cuando se considera la inflación) de la misma F = $1000 dentro de cinco años en dinero corriente de entonces es:A = 1000(A/F, 18.8%, 5[0.1376])] = $137.60Para comparación, la cantidad anual equivalente para acumular F = $1000 a unai real = 10% (antes de considerar la inflación), es 1000(A/F,10%,[0.1638]5) = $163.80. Por lo tanto, cuando F es fija, los costos futuros distribuidos uniformemente deben repartirse en el periodo de tiempo más largo posible, de manera que la inflación tenga el efecto de reducir el pago involucrado (137.60 Vs. 163.80).Ejemplo: ¿Qué cantidad anual se requiere durante 5 años para acumular una cantidad de dinero con el mismo poder adquisitivo de compre que $680.58 hoy, si la tasa de interés del mercado es del 10% anual y la inflación es del 8% anual?Solución: El número real de dinero inflado futuro requerido durante 5 años es:F = (poder de compra actual) (1 + f)5 = 650.58 * (1.08)5 = $955.92Por consiguiente, la cantidad real del depósito anual se calcula utilizando la tasa de interés inflada del mercado del 10%.A = 955.92(A/F,10%,5[0.1638]) = $156.58

6.3.1 Terminologia de inflacion y su efecto Inflación y efecto en los estimados ¿Qué es la inflación? Se define como la medida ponderada y agregada del aumento de precios en la canasta básica de una economía, otras definiciones la consideran como la disminución del poder adquisitivo de los consumidores, recordando que esta definición ya fue ampliamente desarrollada y que lo anteriormente dicho al inicio del párrafo, esto es el resultado. Todas las economías del mundo padecen la inflación aunque ésta sea muy baja, la cual se puede medir de varias formas. La primera sería en donde se usan los índicesde precios al consumidor de productos de consumo básico; huevo, tortillas fríjol, arroz aceite para cocinar, ropa de vestir, zapatos, etc. (en nuestro país aproximadamente son 2,000) en donde cada día se monitorean los precios y se saca un promedio diario de su incremento o disminución, para que cada mes se dé un promedio y al final del año se determine el total de la inflación acumulada. Otra situación es cuando vamos al mercado o a las tiendas departamentales y vemos que ya no se puede comprar lo que antes se podía obtener con la misma cantidad de dinero, las mejores que sienten y palpan los efectos de la inflación no son los economistas especializados, sino las amas de casa, las cuales resienten inmediatamente los efectos de la inflación y no necesitan conocer los índices de la misma calculadas por los expertos.

En nuestro país la inflación no se da por efectos naturales, el encarecimiento de los productos o la disminución del poder adquisitivo, no es más que el resultado del mal manejo de la economía durante muchos años, lo que ha impedido que el país tenga una buena economía, (ampliamente explicada anteriormente en el primera unidad de este texto), Otra situación ha sido la evasión de impuestos por gente de todos los niveles, que ha originado que un alto porcentaje de ciudadanos esté en un estado muy por debajo del nivel económico promedio, todo ello ha permitido que gente de nivel económico alto se han posicionado todavía más, así como políticos han elevadosu riqueza rápidamente, lo que perjudica de manera impactante la economía y las finanzas del país Por lo cual se recurrían a prestamos millonarios para cubrir el déficit de lo que se evaporaba por tantos desviaciones de dinero para asuntos personales, en resumidas cuentas se “gastaba” más de lo que ingresaba, lo que origina que todas las cosas crecían de valor, y para contrarrestar esta situación se emitía mayor circulante, por consiguiente se elevaba más rápidamente la inflación situación, que cada sexenio se repetía. Técnicamente para tratar adecuadamente la inflación, es necesario distinguir el dinero inflado del dinero sin inflación. El dinero inflado es el valor de compra que tiene ese dinero en cualquier momento dado. También se llama dinero real o dinero corriente. El dinero sin inflación o dinero constante, también llamado dinero verdadero es el valor de compra que tiene ese dinero en cualquier momento, referido a un año base, el cual se considera el año cero, o tiempo cero. Para definir la inflación ésta se calcula por medio de los valores de los índices de precios al consumidor, con los cuales se determina la tasa de inflación para un determinado periodo, por medio de la siguiente expresión: (10.1)Donde: ii = tasa de inflación en porcentaje.P1 = índice de precios al consumidor final.P0 = índice de precios al consumidor inicial.La tasa de inflación al mediro contabilizar sobre el valor del año previo, su valor tiene un efecto capitalizado con el tiempo. Ejemplo: En este momento un artículo tiene un costo de $300.00; al final del año tiene un valor de $320.00 ¿cuál sería la tasa de inflación que tiene este producto? Considerando la expresión (10.1) y sustituyendo los valores del problema tenemos lo siguiente: ii = [($320.00 - $300.00 / $300.00)] (100) ii = ($20.00 / $300.00) (100) ii = (0.066) (100) = 6.66% ii = 6.66% anualRelación entre Pesos Reales y Pesos Verdaderos La relación entre pesos reales ($R) y pesos verdaderos ($V) se define en términos de la tasa de inflación general de precios, es decir, es una función de (ii) El dinero en un periodo de tiempo, (t1), puede traerse al mismo valor que el dinero en otro periodo de tiempo, (t2), por medio de la expresión generalizada siguiente: Pesos en el periodo t1 = pesos en el periodo t2 / tasa de inflación entre (t1) y (t2)   (10.2)Donde: Los pesos en el periodo (t1) se denominan pesos de hoy o verdaderos. Los pesos en

el periodo (t2), pesos reales o pesos corrientes de entonces. Si (ii) representa la tasa de inflación por periodo Y (n) es el número de periodos de tiempo entre (t1) y (t2). La expresión (10.2) se convierte en: Pesos de hoy o Verdaderos = pesos reales o corrientes de entonces / (1 + ii)n (10.3) Siempre es posible establecer cantidadesfuturas infladas en términos de pesos de hoy aplicando la expresión (10.3), Es decir, es posible porque esta dividido por el factor (1 + ii)n que permite traer una cantidad futura a una cantidad presente. Por ejemplo, si un artículo cuesta $50 en 2005 y la inflación promedio fue del 4% durante el año anterior, ¿cual es el costo en pesos verdaderos de 2004)?, El costo es igual a: Pesos de hoy (2004) = $50 / (1 + 0.04) Pesos de hoy (2004) = $50 / 1.04 Pesos de hoy (2004) = $48.1Ahora bien si la inflación promedio 4% anual durante los ocho años anteriores, el equivalente en pesos verdaderos o reales del año 1994 es considerablemente menor en: Pesos de hoy (1997) = $50 / (1.04)8 Pesos de hoy (1997) = $50 / 1.37 Pesos de hoy (1997) = $36.5Cuando las cantidades en pesos en periodos de tiempo diferentes están expresadas como pesos verdaderos según la expresión (10.3). Las cantidades equivalentes presentes, futuras o anuales se determinan utilizando la tasa de interés real (i). A continuación por medio de una tabla se explicará esta condición. Calcular la inflación utilizando pesos de hoy o verdaderos suponiendo una inflación del 4% anual, un periodo de cuatro años y el valor de un artículo hoy es $5,000. Cálculos de inflación utilizando pesos de hoy. (1) | (2) | (3) | (4) = (3)/(1.04)n | (5) = (4)(P/F,10%,n) |Año n | Incrementoen costo debido a la inflación | Costo en pesos futuros o reales | Costo futuro en pesos de hoy (corrientes) | Valor presente al i =10% |0 |   | $5,000 | $5,000 | $5,000 |1 | $5,000(0.04) = $200 | 5,200 | $5,200/(1.04)1 = $5,000 | 4,545 |2 | 5,200(0.04) = 208 | 5,408 | 5,408/(1.04)2 = 5,000 | 4,132 |3 | 5,408(0.04) = 216 | 5,624 | 5,624/1.04)3 = 5,000 | 3,757 |4 | 5,624(0.04) = 225 | 5,849 | 5,849/(1.04)4 = 5,000 | 3.415 |La columna (3) representa el costo de los pesos futuros o reales. La columna (4) representa el costo en pesos de hoy por medio de la expresión (10.3), obsérvese que en esta columna al convertirse los pesos futuros de la columna (3) en pesos de hoy, el costo es siempre de $5,000 “como se debe de esperar” puesto que se calcularon en función de la tasa de inflación y en el número de periodos (n) afectados por dicha inflación, es decir, tiene el mismo valor que al principio. Esta condición es verdadera cuando los costos están aumentando en una tasa de interés anual exactamente igual a la tasa de inflación, donde el costo real del artículo dentro de cuatro años será de $5,849, pero en pesos de hoy este costo siempre será de $5,000. La columna (5) muestra el valor presente de los $5,000 a la tasa de interés real del 10% anual, afectada por el número de periodos indicados, esto significa que el costo del artículo en pesos de hoy disminuye más porque la tasa de interés anual es mayor que la tasa de

inflación. Cuando la tasa de interésanual es diferente a la tasa de inflación, se utiliza la tasa de interés inflada determinada por la siguiente expresión: if = i + ii + (i)ii (10.3)Donde: if = tasa de interés inflada.i   = tasa de interés anual.ii = tasa de inflación anual.Considerando una tasa de interés anual del 10% y una tasa de inflación anual del 4%, sustituyendo en la expresión (10.3) se obtiene: if = 0.10 + 0.04 + (0.10)(0.04) = 0.144   if = 14.4% anual.Con este valor trataremos de demostrar su efecto para calcular pesos de hoy en función de pesos futuros y para ello tomaremos los valores de la tabla anterior. Cálculo de pesos de hoy utilizando una tasa de interés inflada. (1) | (2) | (3) | (4) |Años n | Costo en pesos futuros. | Factor de conversión. (P/F, 14.4%, n) | VP Pesos hoy |0 | $5,000 | (P/F,14.4%,0) = 1 | $5,000 |1 | $5,200 | (P/F, 14.4%, 1) = 0.8741 | 4,545 |2 | $5,408 | (P/F, 14.4%, 2) = 0.7641 | 4,132 |3 | $5,624 | (P/F, 14.4%,3) = 0.6679 | 3,757 |4 | $5,849 | (P/F, 14.4%, 4) = 0.5838 | 3,415 |Los valores obtenidos en la columna (4) representan los valores de pesos de hoy, en cada año son exactamente iguales a los calculados en la columna (5) de la tabla anterior, lo que significa que una tasa de interés anual diferente a la tasa de inflación, se debe utilizar una tasa de interés inflada para determinar correctamentelos valores de pesos de hoy. Con la tasa de interés inflada se puede encontrar el valor de pesos hoy o valor presente de costos de flujos de efectivo, sean gradientes o anualidades en forma similar a lo calculado anteriormente. Utilizando los factores (P/A), (P/G) o (PE) , dependiendo de si el flujo de efectivo sea expresado en pesos de hoy o en pesos futuros, es decir; si es en pesos de hoy, entonces su (VP) es sólo el valor descontado utilizando la tasa de interés anual ( i ). Si el flujo de efectivo está expresado en pesos futuros, el monto de hoy que sería equivalente a los pesos futuros inflados utilizando la tasa de interés inflada (ii) en las ecuaciones. Para comprender mejor esta definición se desarrollará el siguiente ejemplo. El director de una gran compañía, egresado del Instituto Tecnológico de Tijuana, propone a la dirección del plantel hacer una donación para comprar equipo para hacer investigación en los diferentes talleres del plantel, para lo cual la escuela debe de maximizar el poder de compra de la donación recibida y desea obtener un 10% real anual sobre la donación considerando una tasa de inflación promedio del 3% anual, porque el egresado propone los tres planes siguientes: Plan A. $600,000 ahora.Plan B. $150,000 anuales durante ocho años empezando dentro de un año.Plan C. $500,000 dentro de tres años y otros $800,000 dentro de cinco años.Solución: La forma posible más sencilla

es calcular el valor presente de cada plan en pesos de hoy, únicamente para los planes (B) y ©. Porque el plan (A) es en pesos de hoy, y como las condiciones de tasa de interés real y la tasa de inflación son diferentes, será necesario aplicar la tasa de interés inflada para la solución del problema. Primero. La tasa de interés inflada se obtiene sustituyendo valores en la expresión (10.3). if = 0.10 + 0.03 + 0.10(0.03) = 0.133     if =13.3% anualEn este caso con se tiene un valor que no se tiene un tablas se ra necesario recurrir a la interpolación para obtener el valor del factor correspondiente a la tasa del 13.3%. Segundo. Calcular los valores (VP) por medio de la expresión: Para el plan   A.VPA = $600,000Para el plan B. VPB = $150,000(P/A, 13.3%, 8) VPB = $150,000(4.7508)   VPB = $712,620Para el plan C. VPC = $500,000(P/F, 13.3%, 3) + $800,000(P/F, 13.3%, 5) VPC = $500,000(0.68756) + $800,00(0.53561)   VPC = $772,270Dado que el Plan © es mayor que el Plan (A) y el Plan (B). Se selecciona el Plan C ya que en términos de pesos de hoy es mayor. Como se dijo anteriormente que cuando se tiene cualquier tipo de flujo de efectivo, únicamente se aplica la expresión correspondiente para cada caso y la tasa de interés inflada, se pueden determinar los valores delos pesos de hoy correctamente. Al término del capítulo encontrará problemas relacionados a este tema.Cálculos de Valor Futuro Considerando la Inflación. La inflación es un incremento en la cantidad de dinero, necesario para obtener la misma cantidad de producto o servicio antes del precio inflado. La inflación ocurre porque el valor del dinero se ha reducido y como resultado se necesita más para adquirir bienes. Para comparar cantidades monetarias que ocurren en diferentes periodos de tiempo, los pesos deben ser valorados en forma adecuada convirtiéndolos primero a pesos de valor constante para representar el mismo poder de compra en el tiempo, lo cual es necesario cuando se consideran cantidades de dinero futuras, como es el caso de las evaluaciones de alternativas. En los cálculos de valor futuro la cantidad futura de dinero en pesos puede representar cualquiera de cuatro cantidades diferentes: Primero. La cantidad real de dinero será acumulada en el tiempo (n). Segundo. El poder de compra, en términos de pesos de hoy, es la cantidad real de pesos acumulada en el tiempo (n). Tercero. El número de pesos futuros requeridos en el tiempo (n) para mantener el mismo poder de compra que un peso hoy; es decir, no se considera el interés. Cuarto. El número de pesos requeridos en el tiempo (n) para mantener el poder de compra y obtener una tasa de interés real determinada. Esto hace que los cálculos del primer y cuarto inciso sean iguales.

Para el primer inciso la cantidad real de dinero acumulado se obtiene utilizando una tasa de

interés determinada del mercado, tasa de interés inflada la cual se identifica mediante (if). Para el segundo inciso, el poder de compra de pesos futuros se determina utilizando la tasa de interés del mercado inflada (if) para calcular (F) y luego se divide por (1 + ii)n. Esta división hace que los pesos inflados se deflacten, este procedimiento reconoce que los precios aumentan durante la inflación, de manera que $1.00 en el futuro comprará menos bienes que $1.00 ahora. La expresión que permite este procedimiento es: F = P( 1 + i )n / (1 + ii )n   ó   P(F/P, i %, n ) / ( 1 + ii )n (10.4)Si se considera que una inversión hoy de $10,000 recibe una tasa de interés del 10% anual durante siete años, y una tasa de inflación del 4%, la cantidad futura de dinero acumulado en los 7 años, pero con poder de compra de hoy seria: F7 = $10,000(F/P, 10%, 7)   F7 = $10,000(1.9487)   F7 = $19,487 Este sería el valor futuro acumulado de los $10,000 dentro de 7 años, pero como se requiere conocer el valor de compra de este dinero afectado por la inflación, en pesos de ahora (P7), se debe de dividir entre el factor (1.04)7 con el valor de la tasa de inflación para deflactarlo.

P7 = $19,487 / (1.04)7 P7 = $19,487 / 1.3159 P7 = $14,809Los valores obtenidossignifican que el poder de compra hoy y dentro de 7 años es igual, es decir que la inflación del 4 % anual redujo en $467 el poder de compra. Otra forma de determinar la cantidad futura de dinero acumulado con el poder de compra de hoy sería calcular la tasa real. Y utilizar el factor (F/P) para compensar el poder de compra reducido del peso, esta tasa de interés real se puede obtener resolviendo para (i) de la tasa de interés inflada expresión (1.3) Así: if = i + ii + i (ii)

if = i (1 + ii) + ii

iR = if – ii / 1 + ii (10.5)Esta expresión permite calcular la tasa de interés real a partir de la tasa de interés inflada del mercado. La tasa de interés real representa la tasa a la cual los pesos presentes se expandirán con su mismo poder de compra en pesos futuros equivalentes. El uso de esta tasa de interés es apropiado al calcular el valor futuro de una inversión, especialmente para una cuenta de ahorros o un fondo del mercado de dinero, cuando los efectos de la inflación deben ser considerados. Si tomamos los valores usados anteriormente a partir de la expresión (10.5), tenemos: iR = 0.10 – 0.04 / 1 + 0.045 iR =   0.06 / 1.045 iR = 0.0577 iR =   5.77%Sustituyendo en la expresión el valor del factor (F/P, 5.77%, 7) este valor del factor también se obtiene interpolando y multiplicando

por la cantidad de $10,000 tendríamos la cantidad futura con el poder de compra actual, valor que anteriormente se había obtenido por otro procedimiento lo siguiente: F = $10,000(0.1481) F = $14,810El tercer inciso reconoce que los precios aumentarán durante los periodos inflacionarios y por consiguiente, adquirir un artículo en una fecha futura requerirá más pesos pues estos valen menos. Si no se considera ningún tipo de interés, únicamente la tasa de inflación estaría presente el costo del (F) sería sustituir la tasa de inflación ( ii ), en la expresión del factor ( F/P). ¿Cuánto representará el año siete si la cantidad de $10,000 es afectada únicamente por al tasa de inflación del 4% anual F = $10,000(F/P, 4%, 7) F= $10,000(1.316) F= $13,160Este valor también se puede considerar si la tasa de interés anual es exactamente igual a la tasa de inflación anual. Para el inciso cuatro (mantener el poder de compra y ganar interés) se deben considerar los precios crecientes ( inciso 3 ) como el valor del dinero en el tiempo; es decir, debe obtenerse el crecimiento real, los fondos deben crecer a una tasa de interés real ( iR ) más una tasa de inflación ( ii ), si se tiene una tasa real del 5.77%, con una tasa de inflación del 4%, y sustituimos en la expresión (10.3) obtendremos una tasa inflada, de la siguiente manera. if = 0.0577 + 0.04+ 0.0577(0.04) if = 0.10     if = 10%.Sustituyendo en la expresión: F = $10,000 (F/P, 10%, 7) F = $10,000(1.948) F = $19,480Este cálculo demuestra que $19,480 dentro de 7 años serán equivalentes a $10,000 ahora con un retorno real de iR = 5.77% anual y una inflación del 4% anual. En conclusión podemos decir que $10,000 ahora a una tasa de 10% anual se acumularían $19,480 en 7 años; los $19,480 tendrían el poder de compra de $14,810 pesos de hoy si la tasa de inflación fuera de 4% anual Un artículo con un costo de $10,000 ahora, costaría $13,160 dentro de 7 años a una tasa de inflación del 4% anual Y tomaría $19,480 pesos futuros para ser equivalentes a $10,000 ahora a una tasa de interés real del 5.77% con una tasa de inflación considera en 4% anual. La siguiente tabla resume cuál tasa se utiliza en las expresiones de equivalencia en función de la tasa de inflación. Métodos para calcular diversos valores futuros. Valor futuro deseado | Método de cálculo | Ejemplo para P = $10,000, n = 7 if = 10% , ii = 4% |Caso 1: Pesos actuales acumulados. | Use la tasa de interés inflada en las expresiones de equivalencia. | F = $10,000(F/P,10%,7) |Caso 2 : Poder de compra de pesos acumulados en términos de pesos de hoy | Use la tasa de interés inflada en equivalencia y divida entre ( i + if)n | F = $10,000(F/P,10%,7)/(1,04)7 |Caso 3 : Pesos requeridos para

obtener el mismo poder de compra. | Use la ( iR ). Use la (ii) en lugar de (i) en expresiones de equivalencia | F = $10,000(F/P,5.77%,7) F = $10,000(F/P, 4%, 7) |Caso 4 : Pesos futuros para mantener el poder de compra y ganar interés | Calcule la tasa de interés inflada y úsela en las expresiones de equivalencia | F = $10,000(F/P, 10%, 7) |El siguiente ejemplo nos permitirá demostrar cómo se utiliza la tabla anterior o simplemente como podemos solucionar cualquier tipo de problema en donde interviene la inflación y poder hacer una comparación entre el efecto de la misma y cuando no son afectados. Ejemplo: La compañía Refrigeradores Mc. George, desea determinar si debe pagar ahora o más tarde por el mejoramiento del proceso de producción. El plan (A), implica comprar el equipo necesario ahora por la cantidad de $200,000. Si la compañía selecciona el plan (B), significaría comprar el equipo dentro de tres años y se supone que el costo aumente aproximadamente hasta $340,000, la TMAR (real) es 12% anual, la tasa de inflación anual es 3%. Determine si la compañía debe comprar ahora el equipo de mejora o dentro de tres años considerando la inflación en las operaciones y cuando no es afectada por la misma. Cuando no se considera la inflación. Se considera que la TMAR no ajustada por la inflación es del 12% anual y el costo del plan B, dentro de tres años es de $340,000, con estos datos podemos obtener el valor presente o el valor futuro del plan A, para hacerla comparación. Si consideramos el VP. Se tendría que para el plan (A). Es únicamente el valor de la inversión inicial. Que sería de $200,000 Para el plan B. Consideraríamos el valor futuro que es de $340,000 a valor presente, quedaría: PB = $340,000 (P/F, 12%, 3)   PB = $340,000(0.7118)   PB = $242,012Los valores obtenidos demuestran que el valor presente del plan A es menor. Por lo tanto se seleccionaría en lugar del plan B. Ya que tiene un valor presente menor. Si consideramos el VF. Para el plan A. El valor de la inversión inicial de $200,000 se llevaría a un valor futuro dentro de tres años a una tasa de interés del 12% anual. FA = $200,000 (F/P, 12%, 3) FA = $200,000 (1.4049) FA = $280,980 Para el plan B. Únicamente se consideraría el valor futuro. Que se estimó, que es de $340,000 Por lo que nuevamente el plan A se selecciona   en lugar del plan B.Cuándo se Considera la InflaciónLo primero que se tiene que hacer es convertir la tasa de interés del 12% anual a una tasa de interés inflada por medio de la siguiente expresión y sustituyendo los valores tendremos. if = i + ii + i(ii)

if = 0.12 + 0.03 + (0.12) (0.03) = 0.15 + 0.0036 = 0.1536

if = 15.36% anualUtilizando el método del valor presente, tendríamos: Aquí únicamente se compararan los planes

a valor futuro ya que de esta manera se puede ver el efecto de la inflación, en los cálculos. FA = $200,000 (F/P, 15.36%, 3)   FA = $200,000 (1.5352)   FA = $307,040El plan B no se afecta por la inflación porque se estimó que el valor a los tres años sería de $340,000 Por lo tanto nuevamente se selecciona el plan A. Otra situación que se puede considerar es la de incrementar el valor de la tasa de inflación, porque en nuestro país es una situación que puede prevalecer por los cambios políticos y la situación económica. Si consideramos la tasa de interés de 18% anual y una de inflación de 12% anual, conservando los mismos valores de inversión de los dos planes tendríamos Cuándo No se Considera la Inflación Se considera que la TMAR no ajustada por la inflación es del 18% anual y el costo del plan B, dentro de tres años es de $340,000. Con estos datos podemos obtener el valor presente o el valor futuro del plan A, para hacer la comparación. Si consideramos el VP. Para el plan A. Es únicamente el valor de la inversión inicial. Que seria de $200,000 Para el plan B. Consideraríamos el valor futuro que es de $340,000 a valor presente, quedaría: PB = $340,000 (P/F, 18%, 3) PB = $340,000(0.6086) PB = $206,924Los valores obtenidos demuestran que el valor presente del plan A es menor, por lo tanto se seleccionaría en lugar del plan B, ya que tieneun valor presente menor. Si consideramos el VF. Para el plan A. El valor de la inversión inicial de $200,000 se llevaría a un valor futuro dentro de tres años a una tasa de interés del 18% anual. FA = $200,000 (F/P, 18%, 3)   FA = $200,000 (1.6430)   FA = $328,600Para el plan B. Únicamente se consideraría el valor futuro que se estimó, que es de $340,000 Por lo que nuevamente el plan A se selecciona   en lugar del plan B.Cuándo se Considera la Inflación Lo primero que se tiene que hacer el convertir la tasa de interés del 12% anual a una tasa de interés inflada por medio de la siguiente expresión (10.4), sustituyendo los valores tendremos. if = i + ii + i(ii) if = 0.18 + 0.12 + (0.18) (0.12)   if = 0.30 + 0.0216 if = 0.3216if = 32.16% anualUtilizando el método del valor futuro (VF), para la alternativa (A) tendríamos: Aquí únicamente se compararan los planes a valor futuro ya que de esta manera se puede ver el efecto de la inflación, en los cálculos para determinar el factor correspondiente es necesario el proceso de interpolación. FA = $200,000 (F/P, 32.16%, 3)   FA = $200,000 (2.3105)  

FA = $462,090El plan (B). No se afecta por la inflación porque se estimo que el valor a los tres años seria de $340,000 Aquí, se demuestraque con una tasa de inflación más alta los resultados son diferentes, y en este caso se debe de seleccionar el plan (B), pues a futuro resulta más económico.

6.3.2 Analisis de alternativas considerando la inflacion

Modelos para considerar la Inflación en la Evaluación En el cálculo de evaluaciones de diferentes tipos de proyectos, las compañías tienen la necesidad de saber cómo realizar o interpretar la recuperación del capital invertido y de fondo de amortización cuando se considera la inflación, a continuación se determinan los siguientes modelos para que de manera sencilla se pueda hacer dichas evaluaciones. Comentario: En los cálculos de recuperación del capital es particularmente importante que éstos incluyan la inflación debido a que los pesos de capital actuales deben recuperarse con pesos inflados futuros. Dado que los pesos futuros tienen menos poder de compra que los de hoy, es obvio que se requerirán más pesos para recuperar la inversión presente. Este hecho sugiere el uso de la tasa de interés del mercado o la tasa inflada en el factor (A/F) para determina el valor anual de una cantidad futura. Por ejemplo. Si se invierten $1,000 hoy a una tasa de interés real del 10% anual cuando la tasa de inflación es 8% anual, la cantidad anual del capital que debe recuperarse durante cinco años en dólares corrientes de entonces será: Primero. Determinar la tasa inflada de interés, que en este caso seria después de interpolar de 18.8% anual, sustituyendoen la expresión correspondiente el valor seria. A = 1000(A/F, 18.8%,5) A = 1000(0.13759) A = $137.59Por otra parte, el valor reducido de los pesos a través del tiempo significa que los inversionistas pueden estar dispuestos a gastar menos pesos presentes (mayor valor) de amortización. Esto sugiere el uso de una tasa de interés más alta, es decir, la tasa (if), para hacer un valor (A) más bajo en el factor (A/F) de la fórmula para comparar, la cantidad anual equivalente para acumular F = $1,000 a una ireal = 10% (antes de considerar la inflación) es: A = 1,000(A/F, 10%,5) A = 1,000(0.16380) A = $163.80 Por tanto, cuando (F) es fija, los costos futuros distribuidos uniformemente deben repartirse en el periodo de tiempo más largo posible, de manera que la inflación tenga el efecto de reducir el pago involucrado de $137.59 de la anualidad obtenida de una cantidad presente versus con la cantidad anual de $163.80 obtenida de un valor futuro. A continuación se tienen el siguiente ejemplo, que permitirá comprender un poco las situaciones que se vienen presentando. Ejemplo: ¿Qué cantidad anual se requiere durante cinco años para acumular una cantidad de dinero con el mismo poder de compra que $680.6 de hoy, si la tasa de interés es 10% anual y la inflación es 8% anual? Solución: La cantidad de $680.6 se obtuvo de la cantidad futura de $1,000. El número real de pesos (inflados) futuros requeridos durante cinco años es: F = (Poder de compraactual) (1+ ii)5 F = $680.58 (1.08)5 F = $680.58 (1.4693) F = $1000 Por consiguiente, la cantidad real del depósito anual se calcula con la tasa de interés (inflada) del mercado del 10%. A = 1000(A/F, 10%,5) A = $163.80 Pero cuando el valor (F) es fijo, los costos futuros distribuidos uniformemente deben repartirse en el periodo de

tiempo más largo posible, de manera que la inflación tenga el efecto de reducir el pago, como se demostró anteriormente, es decir $137.59 contra $163.80. Uso de índices de Costo en Estimaciones Dentro de una economía inflacionaria, suceso que afecta a varios países incluido el nuestro, es necesario el uso de índices para la planeación de proyectos, lo que es difícil debido a los constantes cambios en el valor de la moneda. Un método para obtener estimaciones preliminares de costos es necesario tomar las cifras de los costos de proyectos similares anteriores y actualizarlos, para lo cual los índices de costos son una herramienta conveniente para lograr esto. Un índice de costos es una razón del costo de un artículo hoy con respecto a su costo en un tiempo pasado Un ejemplo de estos índices es el índice de precios al consumidor, que muestra la relación entre los costos pasados y presentes para los productos que los consumidores compran, donde se incluyen; la renta de casas, alimentos vestido, colegiaturas transporte y muchos productos más, en México se estiman aproximadamente 2,000 productos. En el estudio de la Ingeniería Económica,existen otros índices que permiten seguir el costo de bienes y servicios que utilizan las empresas o industria para sus proyectos de inversión o de procesos, estos son comúnmente en los estados unidos, aquí se presentan como una referencia. A continuación se presenta la siguiente tabla (1) de algunos índices más comunes. Tipos y fuentes de los diversos índices de costo (1). Tipos de índices. | Tipo de Fuente |Precios globales | Oficina de Estadísticas Laborales |Consumidor (IPC) | Departamento del trabajo de EUA. |Productor (mayorista) | |Construcción | |Para plantas químicas globales. | Chemical Engineering |Equipo, maquinaria y apoyo. | |Mano de obra de construcción. | |Edificios. | |Ingeniería y supervisión. | |Ingineering News Record global. | Ingineering News Record (ENR) |Construcción. | |Edificación. | |Mano de obra común. | |Mano de obra calificada. | |Materiales. | |Índices de tratamiento de planta de la EPA. | Environmental Protection Agency (EPA). |Tratamiento avanzado de grandes ciudades (LCAT). | |Tratamiento convencional de pequeñas ciudades (SCAT). | |Autopistas federales. | |Costo de contratista. | |Equipo. | Marshall & Swift. |Marshall & Swift ( M&S) global | |Industrias específicas M&S | |Mano de obra. | U.S. Department of Labor |Producto por hora-hombre por industria. | |1Tomados del libro de Ingeniería Económica, de Leland Blank y Anthony Tarquin

Edit. McGraw. Hill. Quinta edición. Pág. 514. En general los índices se elaboran a partir de una mezcla de componentes a los cuales se asignan ciertos valores, subdividiendo algunas veces los componentes en renglones básicos, como en equipo y maquinaria. Los componentes de apoyo del índice de costo de las plantas químicas se subdividen en. Maquinaria de proceso, tuberías, válvulas y accesorios, bombas y compresores, y así sucesivamente. La siguiente tabla (2) muestra el índice de costos de planta de la Chemical Engineering, el índice de costo de construcción para la Ingineering News Record (ENR). El índice de costo de equipo de Marshall & Swift (M&S) para varios años. El índice de costo de equipo de Marshall & Swift (M&S), para varios años. Al periodo base de 1957 – 1959se le asigna un valor de 100 para el índice del costo de planta de la Chemical Engineering (CE). En el año 1913 se le asigna un valor de 100 para el índice Ingineering News Record (ENR). Y en 1926 se le asigna un valor de 100 para el índice de costo de equipo de la M&S Valores de los índices seleccionados( 2 ). Año | Índice del costo de planta CE | Índice del costo de equipo M&S | Índice del costo de construcción ENR |1980 | 261.2 | 659.6 | 3,378.17 |1981 | 297.0 | 721.3 | 3,725.55 |1982 | 314.0 | 745.6 | 3,939.25 |1983 | 316.9 | 760.8 | 4,108.74 |1984 | 322.7 | 780.4 | 4,172.27 |1985 | 325.3 | 789.6 | 4,207.84 |1986 | 318.4 | 797.6 | 4,348.19 |1987 | 323.8 |813.6 | 4,456.53 |1988 | 342.5 | 852.0 | 4,573.29 |1989 | 355.4 | 895.1 | 4,672.66 |1990 | 357.6 | 915.1 | 4,770.03 |1991 | 361.3 | 930.6 | 4,886.52 |1992 | 358.2 | 943.1 | 5,070.66 |1993 | 359.2 | 964.2 | 5,335.81 |1994 | 368.1 | 993.4 | 5,443.14 |1995 | 381.1 | 1,027.5 | 5,523.13 |1996 | 381.8 | 1,039.2 | 5,618.08 |1997 | 386.5 | 1,056.8 | 5,851.80 |1998 | 389.5 | 1,061.9 | 5,920.44 |1999 | 390.6 | 1,068.3 | 6,056.47 |2000 | 393.1 | 1,092.0 | 6,258.89 |2Tomados de la misma fuente de información. Pág.515 La siguiente es una expresión general para actualizar costos a través de la utilización de cualquier índice de costos, durante un periodo denominado el tiempo (t0) a otro momento de tiempo denominado (t) es: Ct = (C0It)/I0 Donde: Ct = Costo estimado en el momento presente (t).C0 = Costo en el momento anterior (t0).It   = Valor del índice en el momento (t).

        I0   = Valor del índice en el momento (t0).El siguiente ejemplo nos permitirá ilustrar el uso del índice para estimar los costos presentes a partir de valores pasados. Una compañía de construcción asigna a un ingeniero plantear un proyecto de construcción de importante magnitud, en donde se requiere determinar el costo de la mano de obra calificada para el trabajo (2000). El ingeniero encuentra que un proyecto de complejidad y magnitud similar fue terminado hace cinco años (1995),cuando el índice de mano de obra calificada era 5,523.13. El costo de mano de obra calificada para ese proyecto fue de $360,000, si el índice de mano de obra calificada se encuentra ahora en 6,258.89, ¿ cuál es el costo esperado de la mano de obra calificada para el nuevo proyecto?. Solución: Lo primero que se tiene que hacer es determinar el tiempo base que en este caso, es de cinco años, utilizar la expresión (10.6) y sustituir los valores y el valor del costo presente sería: Ct = ($360,000) (6,258.89) / 5,523.13 Ct = $2, 253, 200,000 / 5,523.13   Ct = $407,957.15Al final del capítulo se dan problemas para que sean resueltos por los estudiantes. Si bien los índices es una herramienta valiosa para estimar los costos presentes a partir de información pasada, en la actualidad se han hecho aun más valiosos al ser combinados con algunas de las demás técnicas de estimación de costos. Uno de los métodos más utilizados para obtener información preliminar de costo es el uso de ecuaciones, de costo – capacidad. Como su nombre lo indica, una ecuación de costo – capacidad, relaciona el costo de un componente, sistema o planta con su capacidad. Dado que muchas relaciones costo – capacidad se representa gráficamente como una línea recta sobre el papel logarítmico, la siguiente ecuación es la más utilizada. C2 = C1(Q1/Q2)xDonde: C1 = costo a la capacidad Q1 C2= costo a la capacidad Q2  x = exponenteEl valor del exponente para diversos componentes, sistemas o plantas completas puede obtenerse o derivarse de varias fuentes de información, una de las más comunes es el Chemical ingineer’s Handbook, o revistas técnicas especializadas. A continuación la tabla (3)es un listado parcial de valores habituales del exponente para diversas unidades. Cuando el valor de un exponente para una unidad particular no se conoce, se acostumbra utilizar el valor promedio de 0.6. Muestra de Valores Exponenciales para Ecuaciones de Costo – Capacidad(3) Componentes /sistema /planta | Tamaño del rango | Exponente. |Planta de lodos activados | 1 – 100 MGD | 0.84 |Clasificador aeróbico | 0.2 – 40 MGD | 0.14 |Soplador | 1,000– 7,000 pies/min | 0.46 |Centrífuga | 40 – 60 pulg | 0.71 |Planta de cloro | 3,000 – 350,000 ton/año | 0.44 |Clarificador | 1 – 100 MGD | 0.98 |

Compresor | 200 – 2.100 hp | 0.32 |Separador centrífugo | 20 – 8,000 pies3 / min | 0.64 |Secador | 15 – 400 pies2 | 0.71 |Filtro de hidrógeno | 0.5 – 200MGD | 0.82 |Intercambiador de calor | 500 – 3,000 pies3 | 0.55 |Planta de hidrógeno | 500 – 20,000 pcsd | .56 |Laboratorio | 0.05 – 50 MGD | 1.02 |Laguna de aireación | 0.05 – 20 MGD | 1.13 |Bomba centrífuga | 10 – 200 hp | 0.69 |Reactor | 50 – 4,000 gal | 0.74 |Lecho de secado de lodos | 0.04 – 5 MGD | 1.34 |Pozo estabilizador | – 0.2 MGD |0.14 |Tanque, acero inoxidable | 100 – 2,000 gal | 0.67 |3Tomados de la misma fuente de información. Pág.519 El siguiente ejemplo nos permitirá demostrar el uso de la expresión (10. 7). La Compañía de Productos Derivados del Petróleo S. A. de C. V., tiene la siguiente información: El costo de construcción total de un pozo de estabilización para manejar un flujo de 0.05 millones de galones diarios (MGD), fue de $730,000 en 1998. Estime el costo hoy de un pozo 10 veces más grande. Suponiendo que el índice para actualizar el costo fue de 131 en 1998 y de 225 para este año. El exponente de la tabla anterior para un pozo estabilizador de rango MGD de 0.01 a 0.2 es de un valor de 0.14 Solución: Utilizando la expresión (10.7) y sustituyendo los valores dados tenemos. C2   = $730,000 (0.50/0.05)0.14 C2   = $730,000 (10)0.14 C2 = $730,000 (1.38038) C2   = $1,007,680Este es el costo del pozo en los fondos de 1998 El costo hoy puede obtenerse mediante el uso de la expresión (10. 6) sustituyendo los valores tenemos. Ct = ($1,007,680)(225) / 131 Ct = ($1,007,680)(1.71756)Ct = $1,730,749   (pesos de hoy)Estos modelos son los de mayor utilización en los estudios de Ingeniería Económica para evaluar proyectos en las empresas en donde se considera el efecto de la inflación de una manera más desarrollada, en donde no intervienen tantos cálculos.

NUEVO

1.- Con respecto a la construcción de una cancha deportiva en una comunidad de este municipio de Centla se considera que el gobierno federal y estatal adicionen un costo de inversión de $ 1, 234, 345. 00, sin embargo se consideran los costos de O y M de $ 310, 487.00, $ 812, 432.00 y $ 115,876.00. Por otra parte se consideran unos costos de beneficios anuales y se esperan que sean de: $ 630,764.00, $ 205, 232.00, $ 110,776.00 y $ 400,000.00.Aplíquese el método de la razón C/B, considerando un periodo de 45 años y con una tasa de interés del 11 %, para ver si es necesario construir dicho centro educativo. Para tu conocimiento el gobierno municipal para que cumpla a la comunidad centleca adiciono además un costo de $ 920 123. 00 para considerando el proyecto inicial.  

Desarrolle de estos ejercicios los costos, beneficios y desbeneficios que se aplican en este proyecto, y mencione además que tipo de proyecto es.

Datos:

I: 2,154,468OyM: 1,238,795B: 1,346,772I: 11%n: 45 años

P/A(1+i)n-1i(1+i)n(1+0.11)45-10.11(1+0.11)45

108.534212.0483 =9.0079

Razón B/C convencional con valor presenteBC=B(PA,i,n)I+OyM(PA)

BC=1,346,772(9.0049)2,154468+1,238795(9.0079)

BC=12,131,587.52,154468+11,158,941.48

BC=12,131,587.513,313,409.48=0.9112

Razón B/C modificada con valor presente

BC=BPA-OyM(PA)I

BC=1,346,7729.0049- 1,238,795(9.0049)2,154468

BC=12,131,587.5-11,158,941.482,154468

BC=972,646.022,154,468= 0.4514

Razón B/C convencional con valor anual

A/Pi(1+i)n(1+i)n-1

0.11(1+0.11)45(1+0.11)45-1

12.0483108.5302 =12.0483108.5302 =0.1110

BC=BIAPOyM

BC=1,346,7722,1544680.1110+1,238,795

BC=1,346,772239,145.94+1,238,795

BC=1,346,7721,477,940.94= 0.9112

Razón B/C modificada con valor anual

BC=B-OyMIAP

BC=1,346,772-1,238,7952,1544680.1110

BC=107,977239,145.94=0.4515

Se aceptan las cuatro razones B/C dadas.

Proyecto publico

Costos: $2, 154,468Beneficios: Empleo temporal en la construcción.Fomento de la cultura del deporte.Centro de recreación familiar.

Desbeneficios:Uso inadecuado de las instalaciones.Ocupación de una posible área verde.Daño a la flora y fauna del lugar.

2.- En cierta ciudad se esta considerando construir un condominios de casas para los trabajadores de una empresa de gobierno, sin embargo setiene disponible como costo inicial de $ 820, 762.00, por otra parte se considera darle servicio de luz, agua, teléfono y drenaje considerando un costo de $ 346, 823.00. Se espera que los beneficios anuales del fraccionamiento sean de: operación de una tienda comercial $ 178, 875.00, operación de oficinas municipales $ 232, 111.00 y pagos de servicios municipales $ 96, 887.00. Además de los costos antes descritos se considera darle mantenimiento y se esperan que sean $ 19, 555.00 $ 62, 221.00 $ 37, 333.00 y $ 24, 876.00. Cabe hacer mención que el gobierno solicita al banco para la construcción del condominio $ 74, 790.00 que es adicionado al costo inicial.Aplíquese el método de la razón B/C con una vida útil de 45 años y a una tasa de interés del 23 % anual.Desarrolle de estos ejercicios los costos, beneficios y desbeneficios que se aplican en este proyecto, y mencione además que tipo de proyecto es.

Datos:B: 507,873OyM: 490,808I: 895,552I: 23% anualn:45 años

(1+i)n-1i(1+i)n

(1+0.23)45-10.23(1+0.23)45

11,109.408182,555.3938=4.3474

Razón B/C convencional con valor presente

BC=B(P/A,i,n)I+OyM(P/A)

507,873(4.3474)895,552+490,808(4.3474)

2,207,927.08895,552+2,133,738.699

2,207,927.083,029,290.69=0.7288

RazónB/C modificado con valor presente

BC=BPA-OyM(PA)I

507,8734.3474-490,808(4.3474)895,552

2,207,927.08-2,133,738.69895,552

74,188.39895,552=0.0828Razón B/C convencional con valor anual.i(1+i)n(1+i)n-1

0.23(1+0.23)45(1+0.23)45-1

2,555.393811,109.4081=0.2300

C=BIA/POyM

507,873895,5520.2300+490,808

507,873205,976.96+490,808

507,873696,784.96=0.7288

Razón B/C modificado con valor anual

BC=B-OyMIA/P

507,873-490,808895,552(0.2300)

17,065205,976.96=0.0828

Se aceptan las razones dadas

Proyecto publico

Costos: $1, 386,360.00

Beneficios: Empleos en la construcción.Casas para varias familias.Servicios básicosMás empleos

Desbeneficios:Alteración de la flora y fauna.Aumento de la delincuencia.

3.- Si el   presidente municipal requiere realizar una obra para beneficiar a la población con respecto a casas con pisos firmes, por tal motivo realiza una evaluación de proyectos, considerando los siguientes costos: se tiene disponible para dicho proyecto   $ 99, 223.00, $ 189, 776.00 y $ 1, 296, 182.00, pero considerando que para tener costos de operación

y de mantenimiento se consideran $ 27,778.00, $ 399, 998.00   $ 99,324.00 y $ 397,887.00, por otra parte se consideran estimar los siguientes costos considerando un beneficio de   $ 567,987.00, $ 213,221.00, $ 115,987.00 y $ 451,445.00. Para que el presidente municipal tome una decisión aplique el método de la razón B/C por el método del valor presente y anual considerando un periodo de 35 años y una tasa de interés de 25 % anual. Desarrolle de estos ejercicios los costos, beneficios y desbeneficios que se aplican en este proyecto, y mencione además que tipo de proyecto es.

Datos:B=1,348,640I=1,585,181OyM=924,987i=25%n=35 años

P/A(1+i)n-1i(1+i)n

(1+0.25)35-10.25(1+0.25)35

2,464.1903616.2975=3.9983

Razón B/C convencional con valor presente

B/C=B(P/A,i,n)I+OyM(P/A)

1,348,640(3.9983)1,585,181+924,987(3.9983)

5,392,267.3121,585,181+3,698,375.522

5,392,267.3125,283,556.522=1.0205

Razón B/C modificado con valor presente

B/C=BP/A-OyM(P/A)I

1,348,6403.9983-924,987(3.9983)1,585,181

5,392,267.312-3,698,375.5221,585,181

1,693,891.791,585,181=1.0685

Razón B/C convencional con valor anual

Valor anual

i(1+i)n(1+i)n-1

0.25(1+0.25)35(1+0.25)35-1

616.29752464.1903=0.2501

B/C=BIA/POyM

1,348,6401,585,1810.2501924,987

1,348,640396,453.7681+924,987

1,348,6401,321,440.768=1.0205

RazónB/C modificado con valor anual

B/C=B-OyMIA/P

1,348,640-924,9871,585,181(0.2501)

423,653396,453.7681=1.0686

Se aceptan las razones dadas.

Proyecto publico

Costos: 1, 585,181

Beneficios:Mejor modo de vida de los habitantesTrabajo temporal para los empleados del proyecto

Desbeneficios:Gastos extras por reparaciones si hay daños en las casas.Reparaciones fallidas.4.- Con respecto para el control de inundaciones se esta considerando construir una presa. La inversión de capital en costo de operación y mantenimiento es de $ 31,765.00, $ 805,654.00 y $ 105,875.00. Además de tiene considerado en comprar la planta en $ 1,950,221.00 (I). Sin embargo los beneficios anuales de la planta se estiman de la siguiente manera:$ 610,988.00 ahorro por control de inundaciones,$ 205,443.00 irrigación (rociar sustancia líquida),$ 105,332.00 Recreación,$ 465,221.00 Capacidad para atraer nueva industria.Aplíquese el método de la razón B/C, por el método del valor presente considerando un periodo de 45años y con una tasa de interés del 15 %, para ver si es necesario construir dicha presa. Desarrolle de estos ejercicios los costos, beneficios y desbeneficios que se aplican en este

proyecto, y mencione además que tipo de proyecto es.

Datos:B=1,386,984I=1,950,221OyM=943,294i=15%n=45 años

VALOR PRESENTE(1+i)n-1i(1+i)n

(1+0.)45-10.15(1+0.15)45

537.769280.8153=6.6542

RAZON B/B CONVENCIONAL CON VALOR PRESENTE

B/C=B(P/A,i,n)I+OyM(P/A)

1,386,984(6.6542)1,950,221+1,238,795(6.6542)

9,229,268.931,950,221+8,243,189.68

9,229,268.9310,193,410.68=0.9054

RAZON B/C MODIFICADO CON VALOR PRESENTE

B/C=BP/A-OyM(P/A)I

1,386,9846.6542-943,294(6.65421,950,221

9,229,268.93-6,276,866.931,950,221

2,952,4021,950,221=1.5638

VALOR ANUAL

i(1+i)n(1+i)n-1

0.15(1+0.15)45(1+0.23)45-1

80.8153537.7692=0.1502

RAZON B/C CONVENCIONAL CON VALOR ANUAL

B/C=BIA/POyM

1,386,9841,950,2210.1502+943,294

1,386,984292,923.1942+943,294

1,386,9841,236,277.194=1.1219

RAZON B/C MODIFICADO CON VALOR ANUAL

B/C=B-OyMIA/P

1,386,984-943,2941,950,221(0.1502)

443,690292,923.1942=1.5146

Se aceptan las razones dadas excepto la razón B/C modificado con valor presente.

Proyecto publicoCostos: 1, 950,221Beneficios: Mejor control de las inundacionesSeguridad de los habitantesTrabajoMejor protección de la vida y propiedades de los habitantesDesbeneficios:Proyecto fallidoPoca resistencia de la presaPosibles inundaciones en un futuro por llegar al limite de la presa.

5.- Su usted fuera presidente (a) municipal y considera realizar una obra para beneficiar a la población con respecto a un relleno sanitario, sin embargo tiene disponible   $ 1,555,328.00, pero considerando que para tener costos de operación y de mantenimiento se consideran $ 26,223.00, $ 795,332.00 y $ 99,887.00, por otra parte se consideran estimar los siguientes costos $ 510,554.00, $ 211,778.00, $ 105,445.00 y $ 455,998.00. Para que usted tome una decisión aplique el método de la razón C/B por el método del valor presente, considerando un periodo de 39 años y una tasa de interés de 29 % anual. Desarrolle de estos ejercicios los costos, beneficios y desbeneficios que se aplican en este proyecto, y mencione además que tipo de proyecto es.

Datos:

B=1, 283,775I=1, 555,328OyM=921,442i=29%n=39años

VALOR PRESENTE(1+i)n-1i(1+i)n

(1+0.29)39-10.29(1+0.29)39

20,557.84455,962.0649=3.4481

RAZON B/B CONVENCIONAL CON VALOR PRESENTE

B/C=B(P/A,i,n)I+OyM(P/A)

1,283,775(3.4481)1,555,328+921,442(3.4481)

4,426,584.5784,732,552.16=0.9353

RAZON B/C MODIFICADO CON VALOR PRESENTE

B/C=BP/A-OyM(P/A)I

1,283,7753.4481-921,442(3.4481)1,555,328

4,426,584.578-3,177,224.161,555,328

1,249,360.4181,555,328=0.8032

VALOR ANUALi(1+i)n(1+i)n-1

0.29(1+0.29)39(1+0.29)39-1

5,962.064920,557.8445=0.2900

RAZON B/C CONVENCIONAL CON VALOR ANUAL

B/C=BIA/POyM

1,283,7751,555,3280.2900+(921,442)

1,283,7751,372,487.12=0.9353

RAZON B/C MODIFICADO CON VALOR ANUAL

B/C=B-OyMIA/P

1,283,775-921,4421,555,328(0.2900)

362,333451,045.12=0.8033

Se aceptan las razones dadas.Proyecto publicoCostos: 1, 555,328Beneficios:Un relleno sanitarioReciclado de la basuraDisminución de la contaminaciónEmpleoDesbeneficios:Remover tierraSin cultura de clasificación de basura no se podrá lograr un beneficio.Gastos extra para educar a los habitantes sobre la clasificación de la basuraVer como multi-páginas

Cite este ensayo

APA

(2011, 09). Ejercicios De Ingenieria Economica. BuenasTareas.com. Recuperado 09, 2011, de http://www.buenastareas.com/ensayos/Ejercicios-De-Ingenieria-Economica/2757051.html

NUEVO

Ramiro Rangel Amado

DESARROLLO DE LAS PREGUNTAS

  1. 1.1 Definición

Se denomina G8 a un grupo de países industrializados del mundo cuyo peso político, económico y militar es muy relevante a escala global.

      2. Países que lo conforman

      Está conformado por Alemania, Canadá, Estados Unidos, Francia, Italia, Japón, Reino Unido y Rusia.

      3. Importancia o peso dentro de la economía mundial

Los representantes de estos ocho países se reúnen anualmente en lugares pertenecientes a alguno de los miembros en la llamada Cumbre del G8. La finalidad de estas reuniones es analizar el estado de la política y las economías internacionales e intentar aunar posiciones respecto a las decisiones que se toman en torno al sistema económico y político mundial. A lo largo del año, los ministros de economía, comercio, relaciones exteriores, medio ambiente, trabajo, etc., se encuentran para ir preparando la Cumbre anual, acercando posiciones y negociando consensos.

Influencia

El G8 ha ido buscando soluciones y estrategias comunes para hacer frente a los problemas detectados, en función siempre de los intereses propios. Cumbre tras cumbre, encontramos una invariable reafirmación por parte del G8 de las bondades de la globalización neoliberal y un impulso continuo de las reformas que lo deben permitir: liberalizacióncomercial y financiera, privatizaciones, flexibilidad del mercado laboral y políticas macroeconómicas deflacionarias como el déficit dos en el presupuesto y los elevados tipos de interés. A menudo, este mensaje se ve diluido en los medios de comunicación detrás de anuncios espectaculares en temas como la lucha contra la pobreza, las iniciativas de reducción de la deuda o las ayudas en la lucha contra las enfermedades infecciosas como el sida o la malaria.El G8 no tiene formalmente capacidad para implementar las políticas que diseña. Para conseguir ejecutar sus iniciativas, el G8 cuenta con el poder de sus países miembros en las instituciones internacionales como el Consejo de Seguridad de las Naciones Unidas, el Banco Mundial, el FMI o la OMC. De hecho, de los cinco miembros permanentes (con derecho a veto) del Consejo de Seguridad de las Naciones Unidas, cuatro son miembros del G8, y en el marco del Banco Mundial y el FMI los países del G8 acumulan más del 44% de los votos. En las negociaciones en el marco de la OMC, los países del G8 también acostumbran a funcionar como un bloque formado por la UE, Japón, Estados Unidos y Canadá.

A pesar de la relevancia de estas cumbres, las discusiones del G8 no son abiertas. No existe transcripción de las mismas y los documentos preparatorios, aun siendo elaborados por funcionarios públicosde los países miembros, son generalmente también secretos y muy raramente salen a la luz pública. Los únicos documentos totalmente públicos son las declaraciones finales.Bloques Económicos: Tratado de libre comercioEl Tratado de Libre Comercio (TLC) o North American Free Trade Agreement (NAFTA) es un acuerdo regional entre los Gobierno de Canadá, Estados Unidos Mexicanos (México) y  Estados Unidos de América (EEUU) para crear una zona de libre comercio. Fue firmado en las tres ciudades capitales: Ottawa, Ciudad de México y Washington D.C. el 17 de diciembre de 1992, en 1993 fue aprobado por las asambleas legislativas de cada país y entró en vigor el 1 de enero de 1994.El tratado se propone que los productores o asociaciones de productores tengan derecho a  señalar casos de dumping, aplicar un derecho antidumping, denunciar subsidios si es que perciben que el país vecino lo emplea, aplicar derechos compensatorios o denunciar otro daño.Las partes trabajan para alcanzar los objetivos citados para 2008 y se lograrán mediante el cumplimiento de los principios y reglas del TLC,  como  los  de  trato nacional, trato de nación más favorecida y transparencia en los procedimientos.Los tres países tienen diferencias marcadas en cuanto a densidad de población, distribución poblacional y en cuanto a la estructura agraria,  mientrasque en Canadá el 80% de los productores forman parte de cooperativas, en México hay pequeños productores desarticulados  y en EEUU predominan los “farmers” y se aplican subsidios a la producción agropecuaria.

PAISES EMERGENTES

Los países emergentes, son aquellos cuyas economías aún no alcanzan el estatus de desarrolladas, pero han avanzado más que sus competidores del mundo en desarrollo. El cambio social es algo frecuente en estos países, donde las poblaciones rurales migran hacia las ciudades.[2]Un país en subdesarrollo puede ser considerado emergente por su elevado desarrollo humano (por encima de 0,800 ), por su ingreso per cápita (generalmente superior a los 8.000 dólares, o por el tamaño de su economía y su gran despliegue económico[3] (a pesar de no tener IDH por encima de 0,800 o ingresos per cápitas altos), como es el caso de: China,India, Indonesia y otros  2. A partir de las ecuaciones de interés simple y interés compuesto, para hallar el VF, despejar las variables: VP, n, i 

1. Interés SimpleEl interés simple, es pagado sobre el capital primitivo que permanece invariable. En consecuencia, el interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Es decir, la retribución económica causada y pagada no es reinvertida, por cuanto, el monto del interés es calculado sobre la misma base.Interéssimple, es también la ganancia sólo del Capital (principal, stock inicial de efectivo) a la tasa de interés por unidad de tiempo, durante todo el período de transacción comercial.

La fórmula de la capitalización simple permite calcular el equivalente de un capital en un momento posterior. Generalmente, el interés simple es utilizado en el corto plazo (períodos menores de 1 año). Ver en éste Capítulo, numeral 2.3.Al calcularse el interés simple sobre el importe inicial es indiferente la frecuencia en la que éstos son cobrados o pagados. El interés simple, NO capitaliza.Fórmula general del interés simple :[pic]1.1. Valor actualLa longitud de una escalera es la misma contada de arriba abajo como de abajo arriba. El valor futuro VF puede considerarse como la cima vista desde abajo y el valor actual VA como el fondo visto desde arriba.El valor actual de una cantidad con vencimiento en el futuro, es el capital que a un tipo de interés dado, en períodos también dados, ascenderá a la suma debida.Si conocemos el monto para tiempo y tasa dados, el problema será entonces hallar el capital, en realidad no es otra cosa que el valor actual del monto. Derivamos el VA de la fórmula general:[pic]Siendo ésta la fórmula para el valor actual a interés simple, sirve no sólo para períodos de año, sino para cualquier fraccióndel año.El descuento es la inversa de la capitalización. Con ésta fórmula calculamos el capital equivalente en un momento anterior de importe futuro.Otras fórmulas derivadas de la fórmula general:Si llamamos I a los intereses percibidos en el período considerado, convendremos:[pic]La diferencia entre VF y VA es el interés (I) generado por VA.Y también, dada la fórmula general, obtenemos la fórmula del importe de los intereses:I = VA(1+n*i) - VA = VA + VA*n* i - VA[pic]I = (principal)*(tasa de interés)*(número de períodos)(Inversiones) I = monto total hoy - inversión original(Préstamos) I = saldo de deuda - préstamo inicialCon la fórmula [8] igual calculamos el interés (I) de una inversión o préstamo.Sí sumamos el interés I al principal VA, el monto VF o valor futuro será.[pic]o VF = VA(1+i*n)Despejando éstas fórmulas obtenemos el tipo de interés y el plazo:[pic] [pic][pic] 

3.  Expresar gráficamente el interés simple e interés compuesto  (comportamiento del capital)

Interés Simple (ls). Se define como la magnitud Is que se obtiene de la siguiente expresión donde:[pic] i: tasa de Interés Simple.

t: cantidad de intervalos unitarios de tiempo que durará la operación.Como consecuencia de la definición anterior se cumple que el Interés Simple devengado en cualquier periodo de tiempo es el mismo.Tasas equivalentes. Dos o más tasas son equivalentes si aplicadas a un mismo principal (P) durante la misma cantidad de intervalos de tiempo unitarios (t) producen el mismo interés (I).Monto Simple (Ms). Es el monto de un principal cuando el interés es obtenido por el Método Simple. Matemáticamente viene dado por la siguiente ecuación:[pic]Función Interés Simple (Is(t)). Es una función que expresa la relación entre el Interés Simple y el tiempo.Función Monto Simple (Ms(t)). Es una función que expresa la relación existente entre el Monto Simple y el tiempo.La representación gráfica de las funciones Monto e Interés Simple se muestra en la siguiente figura.[pic]

Fórmulas del Interés Compuesto:La fórmula general del interés compuesto es sencilla de obtener:VA0,VA1 = VA0 + VA0i = VA0 (1+i),VA2 = VA0 (1+i) (1+i) = VA0 (1+i)2VA3 = VA0 (1+i) (1+i) (1+i) = VA0 (1+i)3Generalizando para n períodos de composición, tenemos la fórmula general del interés compuesto:[pic]Fórmula para el cálculo del monto (capital final) a interés compuesto. Para n años, transforma el valor actual en valor futuro.[pic]El factor (1 + i)n es conocido como Factor de Acumulación o Factor Simple de Capitalización (FSC), al cual nos referiremos como el factor VF/VA (encontrar VF dado VA). Cuando el factor es multiplicadopor VA, obtendremos el valor futuro VF de la inversión inicial VA después de n años, a la tasa i de interés.Tanto la fórmula del interés simple como la del compuesto, proporcionan idéntico resultado para el valor n = 1.

Desarrollo del lote de ejercicios del primer taller en interés compuesto.

1.Si se invierte 5 millones de pesos en agosto 2010 a una tasa de 1,2 % bimestral en cuanto tiempo se retira $6.100.000

P=$5.000.000 ; i=1,2%   o   i= 0.012 ;   Vf= $6.100.000

(Vf / P) = (1+i)n   si   b=(Vf / P) y a =(1+i) , entonces   b=an

Por tal motivo reglas de logaritmo dice: b=an   loga(b)=n     n=(log(b))/log(a))

n=(log(Vf / P))/log(1+i))

n=16.67 bimestres

2. si en hoy se invierte 100 millones y después de un año y medio se tiene acumulado 200 millones que tasa de interés arrojó la operación

n= 18 meses     ;   Vf= 200.000.000     i=?

Tomando el inicio de la formula anterior nos falta concretar lo siguiente:

Log(c+d)=log© +log(d)

Por tal motivo:   si c=1 y d=i entonces:   n(log(1) +log(i))= log(Vf / P)

Despejando log(Vf / P) tenemos : log(i)= (log(Vf / P)/n)- log(1)

Como podemos evaluar los valores a la derecha porque los conocemos, decimos

: log(i)=0,0167   ;   i=100.0167       i= 0,167     i=16,7%

3.Calcula el valor acumulado después de 38 dias si se deposita 25 nillones en una cuenta deahorro que reconoce el 3% mensual

Vf=?n=38 días     n=     1,26 mese

i= 3%   i=0.03

Vp= 25.000.000

Vf=P(1+i)n

Vf=25.948.658,58

4.si se dispone de 3 millones dentro de 2 trimestres y una corporacion ofrece el 3.5% mensual simple cuanto deberá depositar hoy para lograr su objetivo

Vf=3.000.000    n = 2 trimestre = 6 meses      i=3.5%P=?

P= Vf/(1+i)n

P= 2.440.501,93

ECUACIONES DE VALOR

Recordemos que       b0=1 ecuación de equilibrio ingresos=egresos

300.000*(1+i)0 + 300.000/(1+0.02)3+Vf/(1+0.02)5   = 2.000.000*(1+0.02)4 + 500.000*(1+0.02)2

Entonces:   Vf= 2.335.964,02

Aclaración financiera de

|     |simple     |compuesto       ||P   |Δ         |               ||I   |Δ         |               ||N   |Δ         |               ||f   |           |     Δ           |

Significa que   el valor futuro   baja en el simple por que el interes pierde valor al pasar el tiempo porque no capitaliza durante n tiempo siempre es el mismo, misentras en el compuesto es lo contrario el valor futuro es mayor porque el interes se capitaliza al pasar el tiempo n porque e le suma la capital y el nuevo i es el de el valor inicial mas interes

-----------------------Vf

300.000

300.000

1         2           3           4           5           6         7           8         9

500.000

2.000.000

NUEVO

NTERES SIMPLESe llama interés simple a la operación financiera donde interviene un capital, un tiempo predeterminado de pago y una tasa o razón, para obtener un cierto beneficio económico llamado interés. El interés simple es el que se obtiene cuando los intereses producidos, durante todo el tiempo que dure una inversión, se deben únicamente al capital inicialSu fórmula está dada por:

Despejado las variables Capital, Tasa y Tiempo se obtiene:

Donde:IS: Es el interés SimpleCI: Es el Capital Iniciali: Es la tasa de interés expresada en tanto por uno, que al ser multiplicada por 100, quedará expresada en tanto por ciento.t: Es el tiempo expresado en años.

EJEMPLO: Calcular a cuánto asciende el interés producido por un capital de 25 000 pesos invertido durante 4 años a una tasa del 6% anual.

Resolución: Al expresar el 6% en tanto por uno, se obtiene que i = 0.06. Y por consiguiente,

El interés es de 6 000 pesos.

Ejercicios

  1. Calcular el interés simple producido por 30 000 pesos durante 90 días a una tasa de interés anual de 5%.

Resolución: Como

por tanto

  2. Al cabo de un año, un banco ha ingresado en una cuenta de ahorro 970 pesos por concepto de intereses.

NUEVO

Centro de Competenci as de la Comunicación Universidad de Puerto Ri co en Humacao

Interés simple e interés compuesto

Rolando Castro Amorósjunio, 2007

MenúIntroducción Objetivo general Objetivos específicos Instrucciones de uso y manejo del módulo Entrar al módulol

Para acceder a cada una de las partes del menú, presiona la parte deseada.

Salir

IntroducciónUno de los conceptos de matemáticas financieras más difundidos y aplicados en la vida diaria es el de interés. Pagamos interés al banco cuando hacemos un préstamo. El banco nos paga interés por el dinero depositado en el banco. En el financiamientos a corto plazo para la compra de enseres y muebles se usa el interés simple. En el financiamiento a largo lplazo para la compra de autos y casas se usa el interés compuesto. Este módulo va dirigido a todas las personas interesadas en aprender a trabajar con el concepto de interés y aplicarlo en su diario vivir.Regresar al menú

Objetivo generalEntender el concepto de interés simple y el de interés compuesto, de tal manera, que se puedan resolver y tomar decisiones en varias situaciones comunes de f inanzas que uno se encuent ra en la vida real.l

Regresar menú

Objetivos específicosAl finalizar el estudio del módulo, el/la usuario/a podrá Distinguir entre interés simple e interés compuesto.Resolver problemas de interés simple. Resolver problemas de interés compuesto.l

Determinar tasa efectiva de interés. Determinar el valor futuro de una inversión. Evaluar alternativas de inversión para determinar cuál es la mejor.Regresar menú

InstruccionesPara usar est e módulo necesitarás: Lápiz Papel

l

Calculadora

InstruccionesRecomendamos que comiences seleccionando la opción Pre-prueba. Trabajando la Pre-prueba, explorarás los conocimientos que posees sobre el tema antes de comenzar a estudiar el módulo. Selecciona la opción Entrar al módulo para pasar al Menú Principal.l

Para seleccionar una opción presiona sobre ella. A través del módulo se presentan una serie de ejemplos que debes estudiar.

InstruccionesA través del módulo se presentan una serie de ejercicios, debes hacer y verificar sus respuestas. Al final del módulo se encuentra una post-prueba (similar a la pre-prueba) con sus respectivas respuestas. Recomendamos que trabajes la post-prueba para que determines lo que aprendiste con el estudio del módulo.l

Regresar menú

Menú principalPre-prueba Definición interés Interés simple Interés compuesto Post-prueba Regresar menú de objetivos Bibliografía Glosario Salir

Para acceder a cada una de las partes del menú, presiona sobre la parte deseada.l

InterésEl interéses la cantidad de dinero pagada o recibida por el uso del dinero. Si depositamos dinero en una cuenta de ahorros, el banco nos paga interés por usar ese dinero. l Si tomamos dinero prestado pagamos interés a la persona que nos presta.

InterésEl interés se cobra a base de por cientos. Se paga ( o se recibe) cierta cantidad de dinero de interés por cada 100 dólares prestados ( o depositados). Al por ciento de interés se le llama tasa de interés. A menos que se indiquel lo contrario, la tasa de interés es anual. Si la tasa de interés es de 6%, entonces por cada $100 se recibe o se paga $6 de interés al año.Regresar menú

1

Post-pruebaPresiona sobre el icono para que puedas llegar a la Postprueba. Luego, puedes regresar y comparar tus respuestas con la clave de contestaciones correctas. Recuerda que esto es benef icioso para ti. Así podrás saber qué aprendiste y cuánto aprendiste con esta l experiencia del módulo.

Para ir a la Post-prueba

Ver respuestas

Diapositiva 12 1 la pre-prueba de ir ante de la post GEFMfacultad, 09/22/2007

2

Respuestas: Post-prueba1. $192 2. $56.25 3. $1,000 4.$1,050 5. 23 pagos de $124.58, un pago de $124.66 6. $1265.32 l 7. 8.243% 8. b 9. c 10. aRegresar menú.

Diapositiva 13 2 la pre prueba y la post pruba deben ser igualesfacultad, 09/22/2007

Pre-prueba

Presionaen el icono de enlace para que llegues a la Pre -prueba.Para ir a la Pre-prueba

Continuar

Respuestas: Pre-prueba1. $337.50 2. $36 3. $900 4.$4,440 5. 17 pagos de $179.24, un pago de $179.16 6. $1,268.64 l 7. 8.16% 8. a 9. c 10. bRegresar menú.

Interés simpleConceptos importantes Fórmula Financiamiento a plazos Ejemplos Se calcula multiplicando las siguientes cantidades: § Principal § Tasa de interés § Tiempo de duración del período Si los intereses producidos por un capital invertido se computan en períodos fijos de tiempo, éstos se podrían o no añadirse al principal. Si el interés es simple no se añaden al principal. l El interés simple es el interés pagado o recibido por la cantidad inicial de dinero invertida, depositada o tomada prestada (llamada principal o capital).

Regresar Menú Principal Salir

Conceptos importantesPrincipal: Cantidad de dinero depositada o tomada prestada. Tasa de interés: La cantidad de interés, por lo general, se da como un por ciento del principal. A este por ciento se le llama tasa de interés. Una tasa de interés de 4.5% anual signif ica que se pagará o se recibirá $4.50 por cada $100 prestados o depositados. Valor futuro de una inversión: Dinero invertido + intereses ganados

Fórmula: interés simpleI=Prt I = interés simple P = principal (capital)l

r =tasa de i nterés (forma decimal) t = tiempo (en años)Regresar a menú de interés simple

Ejemplos y ejerciciosCalcular . Interés Principal Tiempo Valor futuro Tasa de interés Financiamiento a plazos Mensualidades Intereses y total a pagar SalirRegresar Menú Interés simple

Ejemplo: Interés simplePepe invierte $7,200 en un certificado de depósito que paga al 7.5% anual de interés simple por 4 años. ¿Cuánto dinero ganará en intereses?Primero identificamos los valores correspondientes a P, r, t.

P = 7200

r = 7.5% = 0.075

t = 4 años

Luego usamos la fórmula.

Interés ganado = P r t = 7200(0.075)(4) = $2160

Ejercicio : Interés simpleSandra invierte $5,400 en un certificado de depósito que paga al 8.2% anual de interés simple por 3 años. ¿Cuánto dinero ganará en intereses? Trabaje el ejercicio. Para ver la respuesta, oprima

RespuestaSandra invierte $5,400 en un certificado de depósito que paga al 8.2% anual de interés simple por 3 años. ¿Cuánto dinero ganará en intereses ?

P = 5400

r = 8.2% = 0.082

t = 3 años

Interés ganado = P r t = 5400(0.082)(3) = $1328.40Ver otro ejemplo. Regresar menú Ejercicios

Ejemplo : Interés simpleBárbara tomó prestado $2,000. Los va a pagar en 18 meses. Le cobran 8% de interés simple. ¿Cuánto dinero tiene que pagar en intereses?Valores correspondientesa P, r y t.

P = 2000 r = 8% = 0.08 t = 18 meses = 18/12 años = 1.5 añosUsamos la fórmula.

Interés = P r t = 2000(0.08)(1.5) = $240

Ejercicio : Interés simpleIngrid tomó prestado $4,000. Los va a pagar en 21 meses. Le cobran 7.5% de i nterés simple. ¿Cuánto dinero tiene que pagar en intereses? Trabaje el ejercicio. Para ver la respuesta, opri ma

RespuestaIngrid tomó prestado $4,000. Los va a pagar en 21 meses. Le cobran 7.5% de i nterés simple. ¿Cuánto dinero tiene que pagar en intereses? P = 4000 r = 7.5% = 0.075 t = 21/12 años = 1.75 años

Interés = P r t = 4000(0.075)(1.75) = $525Regresar menú

Ejemplo : Valor futuroPancho deposit ó $9,500 en un certificado de depósito a una tasa de interés anual del 6.5% por 6 años. Halle el valor futuro de la inversión. Valor futuro = Principal + Intereses Principal = P = $9500 r = 6.5% = 0.065 t = 6 años

Intereses = P r t = 9500(0.065)(6) = $3705 Valor futuro = 9500+3705 = $13,205

Ejercicio : Valor futuroAlondra deposit ó $8,750 en un certificado de depósito a una tasa de interés anual del 5% por 4 años. Halle el valor futuro de la inversión. Trabaje el ejercicio. Para ver la respuesta, oprima

RespuestaAlondra deposit ó $8,750 en un certificado de depósito a una tasa de interés anual del 5% por 4 años. Halle el valor futuro de la inversión.Valor futuro = Principal + Intereses Principal = P = $8750 r = 5% = 0.05 t = 4 años

Intereses = P r t = 8750(0.05)(4) = $1750 Valor futuro = 8750+1750 = $10,500Regresar menú

Ejemplo : Cálculo de principalUn banco paga un interés simple de 8% anual. Determine la cant idad de dinero que hay que depositar en un banco para generar $1,160 de intereses en 2 años?Identificamos los valores de I, r, y t. I = 1160 r = 8% = 0.08 t = 2 años Sustituimos los valores en la f órmula I = P r t y resolvemos la ecuación resultante. 1160 = P(0.08)(2) 1160 = 0.16 P P = 7250 Cantidad de dinero a depositar = $7,250

Ejercicio : Cálculo de principalUn depósito bancario que paga un interés simple, con una tasa de 5% anual, generó $3,100 de intereses en 10 meses. ¿Cuál es el principal? Trabaje el ejercicio. Para ver la respuesta, oprima

RespuestaUn depósito bancario que paga un interés simple, con una tasa de 5% anual, generó $3,100 de intereses en 10 meses. ¿Cuál es el principal? I = 3100 r = 5% = 0.05

t = 10 meses = 10/12 años = 5/6 años 3100 = P(0.05)(5/6) 3100 = 0.25/6 P P = 74400Principal = $74,400Regresar menú

Ejemplo : Cálculo de tasa de interésUn depósito bancario que paga un interés simple creció desde una suma inicial de $1,000 hasta $1,075 en 9 meses. ¿Cuál es la tasa de interés?Identificamos los valoresde I, P, y t. P = 1000 I = 1075 - 1000 = 75 t = 9 meses = 9/12 años = 0.75 años Sustituimos los valores en la f órmula I = P r t y resolvemos la ecuación resultante. 75 = 1000(r)(0.75) 75 = 700 r r = 75 / 750 = 0.10 = 10% La tasa de interés es de 10%.

Ejercicio : Cálculo de tasa de interés¿A qué tasa de interés simple, se convertirán $1,200 en $1,250 en 8 meses? Trabaje el ejercicio. Para ver la respuesta, oprima

Respuesta¿A qué tasa de i nterés simple, se converti rán $1,200 en $1,250 en 8 meses?P = 1200 I = 1250 - 1200 = 50 t = 8 meses = 8/12 años = 2/3 años 50 = 1200(r)(2/3) 50 = 800 r r = 50 / 800 = 0.0625 = 6.25% La tasa de interés es de 6.25%.Regresar menú

Ejemplo : Cálculo de tiempo¿Cuántos días se requieren para que un depósito inicial de $1,000 genere un interés de $20 depositada en un banco que paga un interés simple con una tasa de 5% por año? (Utilice un año de 365 días)Identificamos los valores de I, P, y r.

P = 1000

I = 20 r = 5% = 0.05

Sustituimos los valores en la fórmula I = P r t y resolvemos la ecuación resultante.

20 = 1000(0.05) t 20 = 50 t t = 20 / 50 = 0.4 t = 0.4 años = 0.4 (365) días = 146 díasSe requieren 146 días para generar $20 de intereses.

Ejercicio : Cálculo de tiempo¿Cuántos días se requieren para que un depósito inicial de $1,500 genere un interésde $25 depositada en un banco que paga un interés simple con una tasa de 5% por año? (Utilice un año de 365 días) Trabaje el ejercicio. Para ver la respuesta, oprima

Respuesta¿Cuántos días se requieren para que un depósito inicial de $1,500 genere un interés de $25 depositada en un banco que paga un interés simple con una tasa de 5% por año? (Utilice un año de 365 días)

P = 1500

I = 25 r = 5% = 0.05

25 = 1500(0.05) t 25 = 75 t t = 25 / 75 = 1 / 3 t = 1 / 3 años = (1 / 3) (365) días

122 díasRegresar menú

Se requieren 122 días para generar $25 de intereses.

Respuesta¿Cuántos días se requieren para que un depósito inicial de $1,500 genere un interés de $25 depositada en un banco que paga un interés simple con una tasa de 5% por año? (Utilice un año de 365 días)

P = 1500

I = 25 r = 5% = 0.05

25 = 1500(0.05) t 25 = 75 t t = 25 / 75 = 1 / 3 t = 1 / 3 años = (1 / 3) (365) días

122 díasRegresar menú

Se requieren 122 días para generar $25 de intereses.

Financiamiento a plazosEl financiamient o a plazos consist e en comprar un objeto y pagarlo con sus intereses en pagos periódicos (plazos) por un tiempo determinado. Por lo general, los plazos son de igual cantidad. En ocasiones, se tienen que hacer ciertos ajustes y el primer plazo (o el último) es de una cantidad diferente. Por lo general,el interés que se usa para la compra de muebles y enseres es el interés simple.

Ejemplo: Financiamiento a plazosCarola decide remodelar el baño de su casa tomando un préstamo personal en una f inanciera, por la cantidad de $2,800. El financiamiento se hace a una tasa de interés simple de 12% por 3 años. ¿Qué cantidad de dinero debe pagar por intereses? ¿Cuánto tendrá que pagar a la financiera en total? P = 2800 r = 12% = 0.12 t = 3 años

Intereses = P r t = 2800 (0.12) (3) = $1,008 Total a pagar = 2800 + 1008 = $3,808

Ejercicio: Financiamiento a plazosPaola tomó un préstamo personal para comprar una nevera El préstamo fue de $1,569 por 18 meses con una tasa de interés simple de 13%. ¿Qué cantidad de dinero debe pagar por intereses? ¿Cuánto tendrá que pagar en total?

Trabaje el ejercicio. Para ver respuesta oprima

Respuesta: Financiamiento a plazosPaola tomó un préstamo personal para comprar una nevera El préstamo fue de $1,569 por 18 meses con una tasa de interés simple de 13%. ¿Qué cantidad de dinero debe pagar por intereses? ¿Cuánto tendrá que pagar en total? P = 1569 r = 13% = 0.13 t = 18 meses = 18/12 años = 1.5 años Intereses = P r t = 1569 (0.13) (1.5) = $305.96 Total a pagar = 1569 + 305.96 = $1874.96Regresar menú

Ejemplo: MensualidadesFabiola decide comprar un juego de sala tomando un préstamo personal en una financiera, por la cantidad de $1350. El financiamiento se hace a una tas a de interés simple de 11% por 2 años . ¿A cuánto ascenderán las mensualidades? Primero calculamos el total de dinero a pagar. P = 1350 r = 11% = 0.11 t = 2 años Intereses = P r t = 1350 (0.11) (2) = $297 Total a pagar = 1350 + 297 = $1,647 Luego calculamos la mensualidad: Total a pagar / total de meses Total de meses = 2 (12) = 24 mes es Mensualidad = 1647 / 24 Note que 24 pagos de 68.63 hac en un total de 24(68.63) = $1647.12 . 12 centavos adicionales del total a pagar Por lo tanto se deben hacer 23 pagos de $68.63 y un pago de 68.63 - 0.12 = $68.51.

$68.63

Ejercicio: MensualidadesAdriana decide comprar una estufa tomando un préstamo personal en una financiera, por la cantidad de $1500. El financiamiento se hace a una tasa de interés simple de 11.5% por 18 meses. ¿A cuánto ascenderán las mensualidades? Trabaje el ejercicio. Para ver la respuesta oprima

Respuesta: MensualidadesAdriana decide comprar una estufa tomando un préstamo personal en una financiera, por la cantidad de $1500. El financiamiento se hace a una tas a de interés simple de 11.5% por 18 mes es. ¿A cuánto ascenderán las mensualidades? Primero calculamos el total de dinero a pagar. P = 1500 r = 11.5% = 0.115 t = 18 mes es = 18 / 12 años = 1.5 añosIntereses = P r t = 850 (0.115) (1.5) = $258.75 Total a pagar = 1500 + 258.75 = $1,758.75 Luego calculamos la mensualidad: Total a pagar / total de meses Total de meses = 18 meses Mensualidad = 1758.75 / 18 $97.71 Note que 18 pagos de 68.63 hac en un total de 18(97.71) = $1,758.78 . 3 centavos adicionales del total a pagar Por lo tanto se deben hacer 23 pagos de $97.71 y un pago de 97.71 - 0.03 = $97.68. Regresar menú De ejercicios

Interés compuestoConceptos importantes Fórmula Periodos de composición Ejemplo Tabla monto acumulado APY Simple vs. compuesto Salir

A diferencia del interés simple, el interés compuest o se calcula (computa) cada cierto período de tiempo establecido y se añade al principal. El interés generado en un período genera intereses en el próximo. Los períodos (llamados períodos de composición, de conversión o de capitalización), por lo general, son anuales, semestrales, trimestrales o diarios. l Durante cada período de tiempo individual, el interés se genera de acuerdo a la fórmula de interés simple. El nuevo principal de cada período es la suma del interés generado en el período anterior más el valor que tenía el principal en ese momento.

Fórmula: Interés compuestoA = P (1 + i)nA = monto acumulado P = principal

I=A-PI = interés compuesto r = tasa de interés anual (nominal)

m = númerode períodos de composición al año i = tasa periódica = r / m t = tiempo (en años) n = número de períodos de composición = t mRegresar menú

Periodos de composiciónCómputo del interés Anual Trimestral Semestral Diario Período de composición 1 año 3 mesesl

Número de períodos al año (m) 1 4 2 365

6 meses 365 días

Regresar menú.

Conceptos importantesPrincipal (Capital) Cantidad de dinero invertida. Tasa nominal Tasa de interés anual Período de composición Lapso de tiempo transcurrido entre el cálculo de intereses sucesivos. l Tasa periódica Tasa por período de composición, se obtiene dividiendo la tasa nominal entre el número de períodos de composición al año.

Conceptos importantesMonto acumulado Cantidad de dinero acumulada luego de transcurridos uno o más períodos de composición del interés. APY: Tasa efectiva o rendimiento anual efectivo Tasa de interés simple anual que produciría la misma cantidad acumulada de diner o en un año que la tasa nominal, compuesta más de una vez al año.l

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Ejemplo : Interés compuestoSuponga que se deposit an $2,000 en una cuenta de ahorros que paga una tasa de 3% de interés anual y que el interés se comput a cada 3 meses (trimestralmente). Para los primeros dos perí odos vamos a calcular l el interés ganado y la cantidad de dinero acumulada.

Ejemplo:Interés compuestoSuponga que se depositan $2,000 en una cuenta de ahorros que paga una tasa de 3% de interés anual y que el interés se computa cada 3 meses. Primer período P = 2000 r = 3% = 0.03

t = 3 meses = 3 / 12 año = 0.25 año Interés ganado = P r t = 2000 (0.03) (0.25) = $15 Cantidad de dinero al final del primer período = 2000 + 15 = $2,015 Segundo período P = 2015 r = 3% = 0.03 t = 0.25 año

Interés ganado = P r t = 2015 (0.03) (0.25) = $15.11 Cantidad de dinero al final del segundo período = 2015 + 15.11 = $2,030.11

Ejemplo: Interés compuestoSuponga que se depositan $2,000 en una cuenta de ahorros que paga una tasa de 3% de interés anual y que el interés se computa cada 3 meses. Período Primero Segundo Interés ganado $15.00 $15.11 Cantidad de dinero al final de período $2,015.00 $2,030.11

Total de interés ganado = 15+15.11=30.11 Ejercicio: Determine el interés ganado y la cantidad de dinero acumulada al final del tercer período.Para ver respuesta oprima

RespuestaSuponga que se depositan $2,000 en una cuenta de ahorros que paga una tasa de 3% de interés anual y que el interés se computa cada 3 meses. Tercer período P = 2030.11 r = 3% = 0.03 t = 0.25 año

Interés ganado = P r t = 2030.11 (0.03) (0.25) = $15.23 Cantidad de dinero al final del tercer período = 2030.11 + 15.23 = $2,045.34

Ejemplo: Interés compuestoSuponga que se depositan $2,000 en una cuenta de ahorros que paga una tasa de 3% de interés anual y que el interés se computa cada 3 meses (trimestralmente).

¿ Qué cantidad de dinero se habrá acumulado al final del sexto período? ¿ al tercer año?l No es necesario repetir los cálculos anteriores varias veces para contestar estas preguntas, ya que existe una fórmula para ello.

Ver fórmula.

Ejemplo : Interés compuestoSe invierten $2,000 durante 5 años con una tasa de interés nominal de 3%. La s iguiente tabla muestra el monto acumulado para diferentes períodos de conversión. Tasa periódica i=r/m Anual (m =1) Semestral (m=2) Trimestral (m=4) Diario (m=365) 0.03l

Total de períodos n = t (m) 5 5(2) = 10 5(4) = 20 5(365) = 1825

Monto acumulado (1 + i)n $2,318.55 $2,321.08 $2,322.37 $2,323.65

0.03/2 0.03/4 0.03/0.365

EjercicioSe invierten $6,000 durante 8 años con una tasa de interés nominal de 6%. Llene la siguiente tabla. Tasa periódica i=r/m Anual (m =1) Semestral (m=2) Trimestral (m=4) Diario (m=365)l

Total de períodos n = t (m)

Monto acumulado (1 + i) n

RespuestaP = $6,000 t = 8 años Tasa periódica i=r/m Anual (m =1) Semestral (m=2) Trimestral (m=4) Diario (m=365) 0.06 0.06/2=0.03 0.06/4=0.015 0.06/365 r = 6% = 0.06 Total de períodos n = t (m) 8 8*2=16 l8*4=32 8*365=2920 Monto acumulado (1 + i) n $9,563.09 $9,628.24 $9,661.95 $9,696.06

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APY: Tasa efectivaEl interés compuesto generado en una inversión depende de la frecuencia de su composición. La tasa nominal no refleja la tasa real con que se genera el interés. Es necesario f ijar una base común para poder comparar las tasas de interés. Esto se hace mediante la tasa efectiva de interés. También se le conoce como tasa de l rendimiento anual y como APY (por sus siglas en inglés). La tasa efectiva de interés es la tasa de interés simple anual que produciría la misma cantidad acumulada de dinero en un año que la tasa nominal compuesta más de una vez al año.

Tasa efectiva de interésFórmula para calcular la tasa efectiva de interés

Tasa efectiva = (1 + i)m-1i = tasa de interés periódical

m = número de períodos de composición al año

EjemploUn inversionista tiene dos opciones para invertir su dinero. Una de ellas es invertirlo al 6% compuesto diariamente y la otra invertirlo al 6.125% compuesto cada trimestre. ¿Cuál es la mejor opción? Para determinar cuál es la mejor opción hacemos lo siguiente:l

1. Determinar la tasa efectiva para cada opción. 2. La opción con tasa ef ectiva mayor es la mejor opción.

EjemploOpción 1: 6% compuesto diariamenter = 6% = 0.06 m = 365 i = r / m = 0.06 /365

Tasa efectiva = (1 + i) m-1 = (1+0.06/365) 365-1 0.062 = 6.2%

Opción 2: 6.125% compuesto cada trimestrer = 6.125% = 0.06125 m=4 i = r / m = 0.06125 /4

Tasa efectiva = (1 + i) m-1 = (1+0.06125/4) 4-1 0.063 = 6.3%

l

La opción 2 es la mejor.

EjercicioUn inversionista tiene dos opciones para invertir su dinero. Una de ellas es invertirlo al 7.25% compuesto semestralmente y la otra invertirlo al 7.1% compuesto diariamente. ¿Cuál es la mejor opción? Trabaje el ejercicio.

l

Para ver la respuesta oprima

RespuestaOpción 1: 7.25% compuesto cada 6 mesesr = 7.25% = 0.0725 m=2 i = r / m = 0.0725 /2

Tasa efectiva = (1 + i) m-1 = (1+0.0725/2) 2-1 0.0738 = 7.38%

Opción 2: 7.1% compuesto diariamenter = 7.1% = 0.071 m = 365 i = r / m = 0.071 /365

Tasa efectiva = (1 + i) m-1 = (1+0.071/365) 365-1 0.0736 = 7.36%

l

La opción 1 es la mejor.

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Interés compuesto en forma continuaMientras mayor la f recuencia con que se computa el interés compuesto mayor es la cantidad de dinero acumulada. Se puede demostrar que la cantidad de dinero acumulada se aproxima a un número f ijo cuando el interés se compone con más y más frecuencia durante un período l fijo. Si la cantidad de períodos de conversión por año crece sin límite, la cantidad de dinero acumulada tiende a Pe r t, dondee es el número de Euler, (2.71828 ). En este caso se dice que el interés es compuesto en forma continua.

Interés compuesto en forma continuaFórmula: A = P er t P = principal (capital) r = tasa de interés nominal compuesta en forma continua t = tiempo en añosl

e = número de Euler = 2.71828 A = cantidad acumulada al final de t años

EjemploHallar la cantidad de dinero acumulada despúes de 3 años si se invierten $1000 a una tasa de 8% por año compuesto en forma continua. P = 1000 r = 8% = 0.08l

t = 3 años 1271.25

A = P e r t = 1000 e (0.08)(3)

Cantidad de dinero acumulada = $1,271.25

EjercicioHallar la cantidad de dinero acumulada despúes de 4 años si se invierten $2000 a una tasa de 7.5% por año compuesto en forma continua. Trabaje el ejercicio.l

Para ver respuesta oprima

RespuestaHallar la cantidad de dinero acumulada después de 4 años si se invierten $2000 a una tasa de 7.5% por año compuesto en forma continua. P = 2000 r = 7.5% = 0.075l

t = 4 años

A = P e r t = 2000 e (0.075)(4)

2699.72

Cantidad de dinero acumulada = $2699.72

RespuestaHallar la cantidad de dinero acumulada después de 4 años si se invierten $2000 a una tasa de 7.5% por año compuesto en forma continua. P = 2000 r = 7.5% = 0.075l

t = 4 años

A = P e r t = 2000 e (0.075)(4)

2699.72

Cantidadde dinero acumulada = $2699.72

RespuestaHallar la cantidad de dinero acumulada después de 4 años si se invierten $2000 a una tasa de 7.5% por año compuesto en forma continua. P = 2000 r = 7.5% = 0.075l

t = 4 años

A = P e r t = 2000 e (0.075)(4)

2699.72

Cantidad de dinero acumulada = $2699.72

Interés simple vs. interés compuestoLos intereses que generan un capital invertido a interés simple no se acumulan al mismo para generar intereses en el próximo período. Los intereres generados será igual en todos los períodos. Los intereses que generan un capital invertido a interés compuesto se acumulan al mismo y generan intereses l en el próximo período. Suponga que se invierte un capital de $10,000 a una tasa de interés anual de 3%. Suponga que el interés se computa cada 6 meses. La tabla siguiente muestra los intereses generados en los primeros 4 períodos para ambos tipos de cálculo de interés (simple, compuesto).

Tabla comparativaCapital = $10,000 Tasa de interés = 3% Duración período: 6 meses Interés compuesto Capital inicio período 10,000.00l

Interés simple

Periodo 1 2 3 4

Capital 10,000 10,000 10,000 10,000

Intereses 300 300 300 300$1,200

Intereses 300.00 609.00 318.27 327.82

Monto acumulado 10,300.00 10,609.00 10,927.27 11,255.09

10,300.00 10,609.00 10927.27

Totalde intereses ganados

Total de intereses $1,259.09 ganados

Ejercicio: Llene la siguiente tabla.Capital = $20,000 Tasa de interés = 4.5% Duración período: 6 meses Interés compuesto Capital inicio período ??l

Interés simple

Periodo 1 2 3 4

Capital ?? ?? ?? ??

Intereses ?? ?? ?? ????

Intereses ?? ?? ?? ????

Monto acumulado ?? ?? ?? ??

?? ?? ??

Total de intereses ganados

Total de intereses ganados

Ejercicio: Llene la siguiente tabla.Capital = $20,000 Tasa de interés = 4.5% Duración período: 6 meses Interés compuesto Capital inicio período 20000.00l

Interés simple

Periodo 1 2 3 4

Capital 20000 20000 20000 20000

Intereses 450 450 450 450$1,800

Intereses 450.00 460.13 470.48 481.06

Monto acumulado 20450.00 20,910.13 21,380.60 21,861.66

20450.00 20,910.13 21,380.60

Total de intereses ganados

Total de intereses $1,861.66 ganados Regresar menú

GlosarioInterés: cantidad de dinero recibida o pagada por el uso del dinero. Interés compuesto: interés que se agrega de manera periódica al principal y, que por lo tanto, genera sus propios intereses. Interes simple: interés que se calcula sólo sobre el principal. Monto acumulado: Cantidad de dinero acumulada luego de transcurridos uno o más períodos de composición del interés. l Período de composición: lapso transcurridoentre el cálculo de intereses sucesivos. Principal: cantidad de dinero invertido, depositado o prestado.

GlosarioTasa de interés: La cantidad de interés, por lo general, se da como un por ciento del principal. A este por ciento se le llama tasa de interés. Tasa nominal: Tasa de interés anual Tasa periódica: Tasa por período de composición, se obtiene dividiendo la tasa nominal entre el número de períodos de composición al año. Tasa efectiva o de rendimiento anuall (APY): Tasa de interés simple anual que produciría la misma cantidad acumulada de dinero en un año que la tasa nominal, compuesta más de una vez al año. Valor futuro de una inversión: Principal + intereses

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BibliografíaCastro, Rolando. Fundamentos del Algebra y sus aplicaciones Editorial UPR 2007 Hauessler, F. Ernest, Paul, Richard Matemáticas para administración y economía Décima edición, Pearson Prentice Hall 2003l

Lebrón, Marilú Matemática fundamental: énfasis en la comprensión, representación y aplicación de los conceptos UPR-H Humacao 2004 Tan, Soo Matemáticas para administración y economía Tercera Edición, Thomson 2005

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Diapositiva 78 3 Le falta información: lugar de publicación GEFMfacultad, 09/22/2007

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