Unidad 1. Conjuntos

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Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.

Impreso en México / Printed in Mexico

Primera edición ebcok: 2014

Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca, Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro núm. 43

Derechos reservados: e 2014, Eduardo Carpinteyro Vígil, Rubén B. Sánchez Hernández © 2014, GRUPO EDITORIAL PATRIA, S.A. DE C.V. ISBN ebook: 978-607-744-055-0

Serie Bachiller ÁLGEBRA

' Supervisión de preprensa: Miguel Angel Morales Verdugo

Diagramación: Perla Alejandra López Romo

Ilustraciones: Jorge Antonio Martínez Jirnénez, Gustavo Vargas Martínez

Fotografías: Thinkstock

Diseño de interiores y portada: Juan Bernardo Rosado Solís

Dirección editorial: Javier Enrique Callejas

Coordinación editorial: Alma Sámano Castillo

División Bachillerato, Universitario y Profesional

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. . ' comurucacron con nosotros puede utilizar estos medios:

Para establecer

Orden en los números racionales . . . . . . . . 100 Operaciones con números racionales. . . . . 103 Densidad de los números racionales. . . . . . 108 Las proporciones y sus propiedades. . . . . . 111

3.7 Números irracionales........ . . . . . . . . . . . . 112 Clasificación de números irracionales. . . . . 116

3.8 Númerosreales 119 Propiedad de tricotomía. . . . . . . . . . . . . . . 121

3.9 Números imaginarios y complejos . . . . . . . . . 122 Representación de números complejos . . . 123

3.10 Valor absoluto de números reales.......... 125 3.11 Intervalos............................. 128 3.12 Leyes de los exponentes. . . . . . . . . . . . . . . . . 132

88 91 95 96 99

86

83 83

Operación binaria . Nombres especiales de algunas estructuras numéricas .

3.3 Números naturales . 3.4 Algoritmo de Euclides para la obtención

del máximo común divisor . Reglas prácticas para la obtención del mcm y del MCD de dos o más números .

3.5 Números enteros . 3.6 Números racionales .

Propiedades de las razones geométricas .. Decimales periódicos infinitos .

78 80 80 81

3.1 Breve reseña histórica . 3.2 Propiedades de las operaciones binarias .

O . ' perac1on .

76 UNIDAD 3 Números reales

65 73

2.5 Operaciones con otras bases . 2.6 Comprueba tu aprendizaje .

Conversión de un número decimal a otra base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Conversión a decimal de un número con otra base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

50 52 54 58 59

Sistema de numeración romano . Sistema de numeración maya .

2.3 Sistema decimal . Notación desarrollada . Proyecto de trabajo grupal .

2.4 Sistemas de numeración con diferentes

42 45 45 49

40

34 37

4 6 6 9 9

10 10 10 11 11 12 12 13 14 14 15 16 16 18 19 20 31 33

2

2.1 Breve reseña histórica . 2.2 Sistemas de numeración de la Antigüedad .

Sistema de numeración babilonio . Sistema de numeración egipcio .

UNIDAD 2 Sistemas de numeración

1.1 Breve reseña histórica ............•...... 1.2 Idea intuitiva de conjuntos .

Conjunto . 1.3 Cardinalidad de un conjunto .

Cardinalidad . 1.4 Tipos de conjuntos .

Conjuntos finitos e infinitos . Conjuntos iguales . Conjunto vacío . Conjuntos equivalentes . Conjunto universal. . Subconjuntos . Conjunto potencia .

1.5 Operaciones con conjuntos . Unión de conjuntos . Intersección de conjuntos . Mínimo común múltiplo . Máximo común divisor . Complemento de un conjunto . Diferencia entre dos conjuntos .

1.6 Diagramas de Venn-Euler . 1.7 Producto cartesiano . 1.8 Plano cartesiano .

Localización de puntos en el plano cartesiano .

1.9 Comprueba tu aprendizaje .

UNIDAD 1 Conjuntos

PRESENTACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V DESCRIPCIÓN DE LA OBRA . . . . . . . . . . . . . . . . . VI RECOMENDACIONES DE ESTUDIO . . . . . . . . . . . VIII

CONTENIDO

Grupo Editorial Patria 0 256 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema del factor

Teorema del residuo ............•.....

6.1 Breve reseña histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 6.2 Teoremas del residuo y del factor. . . . • . . . . . 256

UNIDAD 6 Operaciones con fracciones y radicales 252

230 232 234 237 247

227

224

222

218 220

216

173 178 180

172 173

5.12 Factorización de una suma o diferencia de dos potencias iguales .

5.13 Mínimo común múltiplo de dos • 1 • • o mas po momios .

5.14 Otros tipos de factorizaciones . 5.15 Binomio de Newton .

Facto ria 1 ...............••••••••.••..

5.16 Comprueba tu aprendizaje ......•........

Caso en que el coeficiente del término cuadrático es distinto de 1 .

5.9 Producto de binomios conjugados . 5.10 Factorización de diferencia

de cuadrados . 5.11 Factorización por agrupación

d t. . e erm1nos .

161 162 162 163 166 166 167 169 170

Clases de términos . 4.3 Polinomios ...................•........

Grado de un polinomio . Clases de polinomios . Términos semejantes . Reducción de términos semejantes . Signos de agrupación .

4.4 Adición de monomios y polinomios . Resta de monom íos y polinom íos .

4.5 Multiplicación de monomios 1 . . y po momios .

Multiplicación de monomios . Multiplicación de monomios

1• • por po momios .

4.6 Factor común en un polinomio . 4.7 División de monomios y polinomios .

Monomio entre monomio. . . . . . . . . . . . . . 180 Polinomio entre monomio. . . . . . . . . . . . . . 180 Polinomio entre polinomio . . . . . . . . . . . . . 181 Algoritmo de la división . . . . . . . . . . . . . . . 182 División sintética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

4.8 Valor numérico de un polinomio . . . . . . . . . . . 185 4.9 Polinomios como funciones. . . . . . . . . . . • . . . 187

Funciones polinomiales. . . . . . . . . . . . . . . . 189 Evaluación de una función. . . . . . . . . . . . . . 189 Operaciones con funciones. . . . . . • . . . . . . 191

4.10 Comprueba tu aprendizaje . . . . . . . . . . . . . . . 193

4.1 Breve reseña histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 4.2 Monom íos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

Expresiones algebraicas . . . . . . • . . . . . . . . 159 Grado de un término. . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

156

5.1 Breve reseña histórica . . . . . . . . . . . . . • . . . . . 198 5.2 Factor común en un polinomio. . . . . . . . . . . . 200 5.3 Cuadrado de un binomio . . . . . . . . . . . . . . . . 201

Trinomio al cuadrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 5.4 Factorización de trinomios cuadrados

perfectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Factorización parcial de trinomios de segundo grado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

5.5 Cubo de un binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 5.6 Factorización de un cubo perfecto . . . . . . . . . 211 5.7 Producto de binomios

con un término común................... 213 5.8 Factorización de trinomios

de segundo grado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 Caso en que el coeficiente del término cuadrático es 1 .

UNIDAD 5 Productos notables y factorización 196

UNIDAD 4 Monomios y polinomios

Dos aplicaciones usando exponentes. . . . . 138 3.13 Notación científica...................... 141 3.14 Logaritmos............................ 144

2Leyes fundamentales de los logaritmos . . 146 Obtención de logaritmos comunes mediante el uso de tablas. . . . . . . . . . . . . . 14 7 Operaciones con logaritmos. . . . . . . . . . . . 151


8.1 Breve reseña histórica................... 404 8.2 Sistemas de ecuaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

Ecuación lineal en dos variables . . . . . . . . . 406 8.3 Sistemas de ecuaciones lineales con

dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables..................... 416 Método gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 Eliminación por suma o resta . . . . • . . . . . . 420 Método de sustitución . . . . . . . . . • . . . . . . 428 Método de igualación. . . . . . . . . . . . . . . . . 432

8.4 Sistemas de ecuaciones lineales con tres o más variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

Método de eliminación gaussiana . . . . . . . 440 Método por determinantes. . . . . . . . . . . . . 444 Los sistemas de ecuaciones lineales como matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444 Aplicación del método de eliminación gaussiana en la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . 446

UNIDAD 8 Sistemas de ecuaciones y desigualdades 402

Más sobre ecuaciones de segundo grado . 388 Ecuaciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 Ecuaciones con radicales. . . . . . . . . . . . . . . 390 Ecuaciones literales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 Ecuaciones logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . 391

7 .6 Desigualdades de segundo grado . . . . . . . . . 396 7 .7 Comprueba tu aprendizaje . . . . . . . . . . . . . . . 399

379 381 384

377 P f t . . ' or ac onzac1on . Completando un trinomio cuadrado perfecto (TCP) . Por fórmula general. ...•............•. Método gráfico .

Ecuaciones literales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 Más problemas verbales . . . . . . . . . . . . . . . 344 Ecuaciones que contienen valores absolutos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 Ecuaciones que contienen logaritmos . . . . 361

7 .4 Desigualdades de primer grado . . . . . . . . . . . 365 Desigualdades racionales . . . . . . . • . . . . . . 372

7 .5 Ecuaciones de segundo grado . . . . . • . . . . . . 375 Despeje de variable. . . . . . . . . . . . • . . . . . . 376

7 .1 Breve reseña histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 7 .2 Igualdades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

Propiedades de las igualdades. . . . . . . . . . 326 7 .3 Ecuaciones de primer grado . . . . . . . . . . . . . . 330

320 UNIDAD 7 Ecuaciones y desigualdades

Multiplicación de números complejos. . . . . 314 División de números complejos . . . . . . . . . 315


D . . . , IVISIOn ............•..•....•.......

Números complejos . Suma y resta de números complejos .

308 308 309 310 311 313 313

300 División de radicales compuestos . 6.5 Números imaginarios y complejos

(continuación) . Número imaginario . Suma y resta de números imaginarios . M lti 1 · . , u 1p rcacion .

Modificación del radicando para la simplificación del radical. . . . . . . . . . . . . . . 287 Simplificación del radical cuando el radicando no sufre modificación. . • . . . . 290 Suma y resta de radicales . . . . . . . . . . . . . . 293 Multiplicación y división de radicales . . . . . 296 Multiplicación de radicales simples. . . . . . . 296 Multiplicación de radicales compuestos. . . 297 División de radicales simples. . . . . . . . . . . . 298 Racionalización del denominador de una fracción . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . 299

284 285 286 286 287

6.4 Radicales ...................•......... Raíz n-ésima principal . Exponente fraccionario . Sus propiedades ...........•......... Simplificación de un radical. .

6.3 Operaciones con fracciones algebraicas. . . . . 263 Simplificación de fracciones . . . . . . . . . . . . 263 Multiplicación y división de fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 Suma y resta de fracciones algebraicas . . . 268 Fracciones complejas algebraicas. . . . . . . . 272 Simplificación de fracciones complejas. . . . 272 Conversión entre fracciones comunes y fracciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

Grupo Editorial Patria ~

GUÍA DE ESTUDIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496 SECCIÓN DE PROBLEMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503 SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . 505 RESPUESTAS A LA GUÍA DE ESTUDIO . . . . . . . . 533 SOLUCIONES A COMPRUEBA TU APRENDIZAJE. 539 BIBLIOGRAFÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547

ANEXOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495

Gráfica de una desigualdad lineal con dos variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 Sistemas de desigualdades lineales . . . . . . 480 Programación lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484


Cálculo de un determinante . . . . . . . . . . . . 449 Regla de Cramer para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. . . . . . . 453 Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 Sistemas de ecuaciones lineales con tres variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454

8.5 Sistemas de ecuaciones no lineales. . . . . . . . . 463 Sistema de una ecuación cuadrática y una ecuación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 Sistema de dos ecuaciones cuadráticas sin términos lineales ni término mixto en xy 467 Sistema de dos ecuaciones cuadráticas sin términos lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471

8.6 Sistemas de desigualdades lineales . . . . . . . . 477 Desigualdad lineal con dos variables . . . . . 477

• Idea intuitiva de conjunto.

• Cardinalidad de un conjunto.

• Tipos de conjuntos.

• Operaciones con conjuntos.

• Diagramas de Venn-Euler.

• Multiplicación de conjuntos o producto cartesiano.

• Plano cartesiano.

Contenidos de estudio:

Propósitos de la unidad:

• Conocer la noción de conjunto.

• Comprender las operaciones entre conjuntos.

• Resolver problemas relacionados con estas

En esta unidad, estudiarás los conceptos fundamentales de la teoría de conjuntos que será utilizada como un elemento fundamental del lenguaje necesario para el manejo de conceptos matemáticos en la com- prensión de unidades de estudio posteriores.

. operaciones.

• Adquirir los conocimientos del lenguaje matemático básicos para el desarrollo de contenido en temas posteriores.

A los matemáticos del siglo XIX les interesó Ja discusión de problemas como la continuidad de una función en el plano cartesiano, lo finito y lo infinito, y les pareció que las bases en las que se fundamentaban las matemáticas no eran firmes e iniciaron un movimiento destinado a dar una cimentación más sólida a cada una de las ramas de su ciencia. Muchos matemáticos aportaron su talento y trabajo en este movimiento de axiomatización de las matemáticas, entre ellos destaca Georg Cantor (1845-1918) creador de la teoría de conjuntos, con la que introduce en las matemáticas conceptos como: clase, clase derivada, clase cerrada, clase perfecta, pertenencia a una clase, punto límite, número cardinal, número ordinal y tipo de orden, con la finalidad de congeniar una base más firme y ló- gica al problema de la continuidad de una función en el plano. Las aportaciones de Cantor, como veremos más adelante, proporcionaron a las matemáticas una herramienta para poder estudiar las relaciones existentes entre un todo y sus partes, al mismo tiempo que sentaron las bases que posteriormente usaron otros brillantes matemáticos para simplificar definiciones de conceptos que resulta- ban más complejas.

Preguntas como las anteriores son las que crearon polémica entre los matemáti- cos que vivieron antes del siglo XIX, cuya actitud general era ignorar aquello que no podían resolver, considerándolo sólo como paradójico, aunque con frecuencia lo utilizaran en la resolución o en la investigación de otros problemas, tal es el caso de las series numéricas.

1. ¿Qué serie tiene más números'

2. ¿Qué serie está contenida en Ja otra?

3. ¿Una de las partes puede tener la misma extensión que el todo del cual es parte integrante?

Si relacionas los números de las dos series responde:

J, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144 , ... , n2, (n + 1)2, ...

Ahora, piensa en la serie de sus cuadrados:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... , n, n + 1, ...

Uno de los conceptos que han llamado la atención de matemáticos y filósofos en el transcurso de las diferentes épocas en las que se ha ido conformando el conocimiento, es el infinito. Algunos matemáticos han rechazado la idea de colecciones infinitas de elementos, apoyándose en que la correspondencia biunívoca entre dos agrupaciones infinitas conduce a resultados que no coinciden con la razón. Para ejemplificar este punto de vista, reflexiona y trata de dar una respuesta a las siguientes preguntas:

Considera la serie de números enteros positivos:

1.1 BREVE RESEÑA HISTÓRICA

Georg Cantor.

Álgebra

Grupo Editorial Patria 0

Básquetbol

Soccer

a) ¿Cuántos alumnos practican futbol americano o soccer?

b) ¿Cuántos alumnos practican los tres deportes?

e) ¿Cuántos alumnos practican básquetbol, pero no practican ni futbol soccer, ni americano?

d) ¿Cuántos alumnos no practican ninguno de los tres deportes?

e) ¿Cuántos alumnos no practican futbol americano?

2. Contesta las preguntas y copia la información en el diagrama.

Soccer

Futbol soccer

Americano

Futbol americano

Básquetbol • amencano Futbol Futbol soccer

Número de Deporte que practican personas 35 Fútbol americano 3-t Futbol soccer 33 Básquetbol 13 Futbol americano y futbol soccer - 18 Futbol soccer y básquetbol 15 Futbol americano y básquetbol

;;.....

10 Practican los tres deportes

1. Completa la tabla siguiente, para ello distribuye la información anterior.

En el grupo de Miguel hicieron una encuesta sobre los deportes que más se practicaban en la escuela y escogieron en forma aleatoria a 65 personas a quienes les preguntaron sobre su deporte favorito. Al recolectar la información que obtuvieron encontraron lo siguiente:

ii11 Problema eje

Conjuntos

¿Cuántos I tiene el e _ementos

con1unto A.?

"El conjunto A formado por los números enteros pares mayores que 20 y menores que un millón."

Por lo general, se denota a los conjuntos con letras mayúsculas y a sus elementos con minúsculas, b E B, se interpreta como "el elemento b pertenece al conjunto B"; y b EE B se lee como "el elemento b no pertenece al conjunto B".

Un conjunto puede ser presentado en forma analítica, listando todos sus elementos cuando es posible, separados cada uno por medio de una coma y encerrándolos entre llaves{). a esta forma se le llama enumeración o extensión; también puede ser representado por medio de una frase o regla que describe las propiedades que tienen sus elementos, descripción por comprensión; por medio de una forma gráfi- ca mediante un dibujo, diagrama de Venn-Euler, una tabla o un diagrama de árbol para representar ciertas relaciones entre dos o más conjuntos.

En ocasiones, para listar todos los elementos de algunos conjuntos se requiere de mucho espacio y tiempo, o simplemente no es posible hacerlo; por ejemplo:

Conjunto es una colección de objetos diferentes donde a los objetos que lo conforman se les llama elementos del conjunto.

Una descripción informal de la idea de agrupación o conjunto puede ser la siguiente:

Conjunto

Cada una de las preguntas anteriores se basa en la idea de agrupación o de conjun to. Es un concepto intuitivo, no tiene una definición formal, así que se acepta como un concepto primitivo de esta rama de las matemáticas. En geometría puedes citar otro ejemplo de concepto primitivo, que no se define y es el punto; no obstante, es un elemento fundamental de esta rama.

4. ¿Cuántos de tus compañeros están dispuestos a trabajar para acreditar este curso/

3. Menciona el nombre de cinco alumnos que hayan obtenido una calificación mayor que en su curso anterior.

2. ¿Cuál es el número de alumnos presentes en la clase de matemáticas/

1. ¿Cuál es el nombre de tus tres mejores amigos?

Inicia el estudio de esta unidad contestando las siguientes preguntas.

1.2 IDEA INTUITIVA DE CONJUNTOS

Escribe dos ejemplos de conjuntos en cada una de las formas descritas.

Escribe y nombra dos conjuntos; luego enumera sus elementos

utilizando el símbolo de pertenencia.

Cita otros ejemplos de conceptos primitivos en otras ramas

matemáticas.

Álgebra

Grupo Editonal Patria 0

Pregunta a tu profesor el significado de los símbolos que desconozcas en

esta expresión.

que existen

si es limites,

La lectura de la expresión anterior es: "A es el conjunto de todas las x, tales que pertenezcan a los números enteros positivos, impares mayores que 7 y menores que 14."

Con x se representa cualquier elemento.

Característica específica.

Tipo de número. l \

l 1. A= [x/x E N, x es impar, 7 u x u 14} ... descripción por comprensión

. superior. Límites inferior y

Ejemplos

Cuando se puede describir un conjunto por comprensión se sigue un camino en forma de embudo, empezando por la condición general del conjunto, hasta la propiedad más específica de los elementos del mismo.

{Números enteros positivos, múltiplos de 12 menores que 31 40 l}

D=

T=

T=

D = {Números enteros, múltiplos de tres, menores que -4)

{Números enteros positivos impares, mayores que 10) C=

C=

Escribe por extensión los siguientes conjuntos: Tipo de elementos del conjunto

Propiedades específicas de los

elementos

--- Condición más general del conjunto

A= {22, 24, 26, 28, ... , 999998)

B={ ... ,O, 1,2, 3,4)

En estos casos se citan algunos de los elementos del conjunto, ya sean los primeros o los últimos, seguidos (o antecedidos) del símbolo" ... ". Estos tres puntos indican que conoces la sucesión de esos números.

Así, en estos ejemplos, los conjuntos descritos por enumeración o extensión pueden tomar la siguiente forma:

"El conjunto B formado por los enteros menores que 5." úrneros

. cuántos n que <- menores enteros

$ nay1

Conjuntos

h) S = [x/x E N, x es múltiplo de 5, x ~ 13}

5=

g) G = {x/x EN, x es impar, 12 < x}

G=

f) D = [x/x es un dígito del número 2011}

D=

2. Dados los siguientes conjuntos por comprensión, exprésalos por enumeración.

e) M = {90, 99, 108, 117, 126, 135):

d) B={ ... ,-5,-3,-1):

{ l 1 1 l}

e) T = l , 3 ' 9' 27 ' 81

• ¿Cuáles son sus límites?

• ¿Qué tipo de números hay en el conjunto E?

• ¿Cuál es Ja característica de sus elementos?

b) E= {26, 28, 30, 32)

• ¿Qué tipo de números hay en el conjunto C?

• ¿Cuál es la característica de sus elementos?

• ¿Cuáles son sus límites?

a) c = {7, 8, 9, 10, ... ):

1. Dados los siguientes conjuntos por enumeración, exprésalos por comprensión.

EJERCICIO 1

B = [x/x EN, x es múltiplo de 3, 11 u x u 28}

Una forma de describir por comprensión el conjunto B es:

1. ¿Qué tipo de números hay en el conjunto B?

2. ¿Cuál es la característica de sus elementos?

3. ¿Cuáles son sus límites?

2. B = {12, 15, 18, 21, 24, 27} ... descripción por enumeración o extensión.

Observa atentamente los elementos del conjunto By contesta las preguntas:

Álgebra

Grupo Editonal Patria 0

Recuerda que el sucesor de un número entero es ese número más la unidad.

Como habrás notado, en los conjuntos C y G no es posible determinar el número de elementos que conforman a cada uno de ellos, lo que nos lleva a nuestro siguiente tema.

a) n(C) = e) n(D) = b) n(E) = f) n(G) = c) n(M) = g) n(S) = d) n(T) = h) n(P) =

Indica la cardinalidad de cada conjunto del ejercicio 1.

EJERCICIO 2

Es el número de elementos distintos que tiene un conjunto.

Para representar la idea de cardinalidad de un conjunto se utiliza la letra n (inicial de número), encerrando entre paréntesis la letra mayúscula que Je da

nombre al conjunto n(A) que se lee "cardinalidad del conjunto A".

Cardinalidad

1.3 CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO

l. N=[x/xEN,x>ll}

2. N = [11, 12, 13, 14, .. , n, (n + 1), ... )

3. B=[ .. ,-5,-3,-1}

4. B = [x/x = -2n + 1, n E> NJ

Ejemplos

Las descripciones por comprensión de conjuntos con una gran cantidad de elementos se indican en forma general, con el fin de obtener cualquier elemento del conjunto dado y su sucesor.

P= j) P = [x/x E N, x es una solución de la ecuación x2 - 5x + 6 = O}

i) N={x/xEN,x>ll}

N=

Conjuntos

Dos conjuntos A y B son iguales si cada elemento de A es un elemento de By viceversa Esta igualdad se expresa:

Conjuntos iguales

D = {x/x es un ser humano]

E= (1, 3, 5, ... , 2n + l , 2(n + 1) + 1, ... ]

2. C ={Las rectas que pasan por un punto dado]

Tanto el conjunto B como el C son infinitos, la diferencia entre ellos es que Jos elementos del conjunto B se pueden ir numerando, aunque este proceso nunca termi- ne, y los elementos del conjunto e no puedes numerarlos.

1. B = {3, 6, 9, 12, ... , 3n, 3(n + l}, ... }

Ejemplos

1. A= [x/x es un país del continente americano]

2. B = {x/x es un número racional menor o igual que 100]

En estos ejemplos, como puedes observar, el conjunto A es finito, ya que se puede concebir un número entero positivo que nos indique su cardinalidad; mientras que el conjunto B es infinito, ya que no puedes determinar el número de elementos que lo conforman.

Expresado de otra forma, en un conjunto finito el proceso de numerar sus elementos siempre tiene un fin, es decir, es numerable y siempre tiene un último elemento; mientras que en un conjunto infinito el proceso de numerar sus elementos nunca se detiene, o en otros casos no es posible realizar este proceso, por lo que a estos conjuntos se les nombra como conjunto infinito numerable o infinito no numerable.

Ejemplos

Un conjunto es finito cuando tiene n elementos, siendo n un número entero positivo; en el caso contrario, al conjunto se le llama infinito.

Conjuntos finitos e infinitos

1.4 TIPOS DE CONJUNTOS

-

. i {., • • \ ••

/

Álgebra

1,-:;t Grupo Editonal Patria ~

¿Cómo son las cardinalidades de estos conjuntos?

N = (1, 2, 3, 4, ... , n, (n + 1), ... }

A = [x/x E N, x es par)

Considera los siguientes conjuntos:

B = (a, ,8, x. o, e)

n(B) = 5

A= (a, e, i, o, u)

n(A) = 5

Ejemplos

valentes y se simbolizan por:

Cuando dos conjuntos tienen igual número de elementos son equi

Conjuntos equivalentes

</J = [x/x E A, y X$ A}

Esto se puede expresar como:

Un conjunto que no tiene elementos recibe el nombre de conjunto vacío.

Conjunto vacío

En este caso se puede observar que dos conjuntos pueden tener los mismos elementos, pero diferente regla de definición.

A=B

B = (2, 4, 6, 8) B = [x/x E N, x es par y divisor de 24, l u x u 9)

A = (2, 4, 6, 8) A= [x/x E N, x es par, x u 10)

Ejemplo

Conjuntos

N = [l, 2, 3, 4, ... , n, (n + 1), ... )

F = [x/x E N, x es múltiplo de 5)

Ejemplo

En el caso de los conjuntos infinitos se cumple además que al comparar la cardinalidad de un conjunto infinito con la de un subconjunto del mismo, ambas son iguales.

a) <1> e A

b) ACA

Las propiedades básicas de esta relación de conjuntos son:

Para todo conjunto A se cumple que:

Si B e A y B =A, se dice que B es un subconjunto impropio de A. Esta relación se expresa como:

Se dice que A es un subconjunto de B, A e B, porque los elementos de A están contenidos en B. También se puede usar la notación B :) A que se lee "B contiene a/\.'.

Dados A= [a, e, i] y B ={a, e, i, o, u]

Ejemplo

ACB

Si todos los elementos de un conjunto A son también elementos de un conjunto B, se dice que A es un subconjunto de B. Esta relación se expresa como:

Subconjuntos

El conjunto universal se toma como marco de referencia para formar y realizar alguna operación entre conjuntos. Por lo general, este conjunto se representa con la letra U.

Conjunto universal

Álgebra

~

Grupo Editonal Patria ~

a) (1,2,3}=(3,2,l}

b) 3 e (3, (3))

1. Escribe si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

EJERCICIO 3

Subconjuntos de tres elementos.

Subconjuntos de cardinalidad cero.

Subconjuntos de dos elementos.

Subconjuntos de un elemento.

Obtén el conjunto potencia de A= (3, 5, 7}.

Por medio de n(P(A)) = 2~ = 8 puedes anticipar que son ocho los subconjuntos que se pueden formar con los elementos de A.

Ejemplo

n(P(A)} = 2m donde m = n(A}

Para calcular el número de subconjuntos posibles se realiza lo siguiente:

Se denota por: P(A}

Es el conjunto formado por todos los subconjuntos de un conjunto.

Conjunto potencia

n(N) = n(F)

conforme listemos más elementos de los dos conjuntos, el proceso de enumerarlos no termina, pero además:

F = (5, 10, 15, 20, 25, 30, ... }

t r 1 1 1 r

N = (1, 2, 3,4, 5,6, ... }

Describiendo los dos conjuntos por enumeración se observa que:

Conjuntos

Dados los conjuntos M = (3, 6, 9, J 2, 15} y F = (2, 3, 4, 5, 6) obtén FUM.

FU M = {2, 3, 4, 5, 6, 9, 12, 15)

Como puedes observar en este ejemplo, hay dos elementos que se repiten en los conjuntos propuestos, mismos que no se anotan más que una sola vez.

Dados los conjuntos A= {a, e, o} y B = [r, o, s, a} obtén A u B.

A u B ={a, e, o, r, s}

Ejemplo

La lectura de esta expresión es: "La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todas las x, tales que pertenecen al conjunto A o al conjunto B."

A u B = [x/x E A o X E B)

En forma simbólica, esta operación se puede definir como:

AUB

La unión de dos conjuntos A y B origina un nuevo conjunto al reunir los elementos de los dos conjuntos. Esta operación se denota como:

Unión de conjuntos

1.5 OPERACIONES CON CONJUNTOS

a) M ={O, O, o}

P(M) =

b) A= {m, p)

P(A) =

e) R = {O, 7)

P(R) =

d) G={//,_i_,1)

P(G) =

2. Halla el conjunto potencia de los siguientes conjuntos.

e) {2, 2, 3, 4, 4} "'(2, 3, 4}

d) {{3}} E (3, {3}}

e) <I> e {a, e, o}

u

/

e E

En esta unidad se han usado algunos símbolos, de los cuales listamos algunos, escribe su significado adelante de ellos.

Álgebra

~


¿Qué relación existe entre los conjuntos G y M?

b) A U U= d) A n A= f) AnU=

a) A U <1> =

e) A U A= e) A n <1> =

Las siguientes expresiones se conocen como leyes de identidad, realiza las operaciones y exprésalas con tus palabras:

EJERCICIO 4

Dos conjuntos son ajenos o disjuntos, cuando su intersección es un conjunto vacío.

F n M = (3, 6}

G n M = (3, 6, 9}

FnH={}

Para la obtención de los conjuntos solicitados, determina los elementos comunes a los conjuntos dados. Así:

F n M, G n M y F n H

2. Dados los conjuntos M = {3, 6, 9, 12, 15}, F = {2, 3, 4, 5, 6), G = {3, 6, 9} y H = {7, 9, LO, 14}, obtén los siguientes conjuntos:

Como puedes observar en este ejemplo, hay dos elementos que se repiten en los conjuntos propuestos, mismos que se anotan una sola vez, igual que en la unión de conjuntos.

A n B ={a, o)

1. Dados los conjuntos A= (a, e, o) y B = (r, o, s. a) obtén A n B.

Ejemplos

A n B = [x/x E A y X E B}

En forma simbólica, esta operación se puede definir como:

AnB

La intersección de dos conjuntos A y B origina otro conjunto formado por los elementos que pertenecen a ambos conjuntos. Esta operación se denota:

Intersección de conjuntos

Conjuntos

Obtén el MCD (12, 36, 48).

Ejemplos

De la misma forma que determinas el mcm puedes obtener el máximo común divisor (MCD) de diversos números.

Máximo común divisor

mcm (-+, 6, 8) = 24

e) El mínimo común múltiplo es el menor de los elementos de este conjunto:

M~ n M6 n M8 = {24, 48, ... )

El conjunto M~ n M6 n M8 representa el conjunto de múltiplos comunes de los tres números.

b) Obtén la intersección de los tres conjuntos:

a) Escribe los conjuntos de los primeros múltiplos de cada número:

M, = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, ... , 4n, 4(n + 1), ... )

M8 = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, ... , 8n, 8(n + 1), ... )

M6 = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 56, ... , 6n, 6(n + 1), ... )

La notación mcm (4, 6, 8) se entiende como la indicación de buscar el mínimo co- mún múltiplo de los números encerrados en los paréntesis.

Obtén el mcm (4, 6, 8).

Ejemplos

Veamos mediante un ejemplo cómo aplicando la intersección de conjuntos, ob- tienes el mínimo común múltiplo (mcm) de diversos números.

Mínimo común múltiplo

A u (B n C) == (A u B) n (A u C)

A n (Bu C) =(A n B) u (A n C)

(A n B) ne= A n (B n C)

AnB=BnA

a) Leyes conmutativas

AUB=BUA

b) Leyes asociativas

(A U B) U C = A U (B U C)

e) Leyes distributivas

Otras propiedades de la unión e intersección de conjuntos son:

Álgebra

~


a) MCD (16, 48, 80)

b) MCD (60, 80, 105)

Compara los resultados obtenidos en estos ejercicios.

¿Se verifican fas propiedades de fa

unión e intersección de conjuntos?

3. Obtén el máximo común divisor de los siguientes números.

a) mcm (3, 5, 12)

b) mcm (4, 16, 6)

e) mcm (10, 25, 40)

2. Mediante conjuntos, obtén el mcm de cada una de las siguientes ternas de nú- meros:

a) AU D= b) OUA= e) (An B)nC= d) A n (B n C) = e) O u (C n A)= f) (O u C) n (O u A) = g) en (Bu D) = h) (C n B) u (C n D) =

A= {a, b, e, d, e). B = [x/x es una letra de la palabra meta},

e= {g, h, j, k, l} y O= [x/x es una letra de la palabra gala)

l. Considera los siguientes conjuntos y realiza las operaciones indicadas.

EJERCICIO 5

¿Qué representa el MCO obtenido respecto a los elementos del conjunto de los divisores comunes?

MCD (12, 36, 48) =

e) ¿Qué elemento de este conjunto es el máximo común divisor?

El conjunto 012 n 036 n Of8 representa el conjunto de divisores comunes de los tres números.

b) Obtén el conjunto intersección de los tres conjuntos.

012 n º36 n 04s =

DIZ =

036 =

Ofs =

La notación MCD (12, 36, 48) se entiende como la indicación de buscar el máximo común divisor de los números encerrados en los paréntesis.

a) Escribe los conjuntos de divisores de cada número.

Conjuntos

3. Las cuatro preguntas anteriores tienen la finalidad de enfatizar algunas relaciones importantes del complemento de un conjunto y se les conoce como leyes de complemento, a continuación exprésalas en forma simbólica.

d) ¿Cuál es el complemento de un conjunto vacío?

e) ¿Cuál es el complemento del conjunto universo?

b) ¿Qué se obtiene como resultado de la intersección de un conjunto con su complemento?

2. Contesta de manera breve las siguientes preguntas.

a) ¿Qué se obtiene corno resultado de unir un conjunto con su complemento?

1. Dados los conjuntos U= {l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, O] y A= {l , 3, 5, 7, 9), obtén:

a) A u A<= b) A n A<= e) u e = d) <!>" =

¿Cómo se les llama a los conjuntos que no tienen elementos en

común?

EJERCICIO 6

Los elementos de U: 2, 4, 6, 8, O, son los que no pertenecen a A.

Dados U= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, O] y A= {l, 3, 5, 7, 9] se obtiene A':

AC = {2, 4, 6, 8, O]

Ejemplo

A' =A'= [x/x E U y x EE A)

En forma simbólica la puedes definir corno:

Si consideras a U como el conjunto universal y a un conjunto A que es subconjunto de U, el complemento de A lo puedes definir como el conjunto

formado por los elementos que están en U y que no pertenecen al conjunto A.

Esta operación se denota como:

Ac oA'

Complemento de un conjunto

Álgebra

~


l. Dado el conjunto U= {l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, O) y los conjuntos:

A= {2, 3, 5, 9). B = [l, 3, 4, 6, 9) y C = [x/x E U, x > 5)

EJERCICIO 7

U\A =

¿Cuál es la diferencia entre el conjunto universo y un conjunto cualquiera'

A\AC =

¿Cuál es la diferencia de un conjunto y su complemento?

obtener A\ B y B \A.

A\ B = {6, 8, 10) (elementos de A que no pertenecen a B}

B \A= {l, 3, 5) (elementos de B que no pertenecen a A}

Como puedes ver en el ejemplo:

U= {l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10},A = (2, 4, 6, 8, 10} y B = (1, 2, 3, 4, 5}

Dados los conjuntos:

Ejemplo

A- B =A\ B = [x/x E Ay x ~ B}

En forma simbólica, la diferencia de dos conjuntos A y B se puede expresar de la siguiente manera:

A-B oA\B

Sean dos conjuntos A y B cualesquiera, su diferencia es el conjunto que se forma con los elementos que pertenecen al primero, pero que no

pertenecen al segundo.

Al igual que la operación aritmética de diferencia o resta, la diferencia entre conjuntos no siempre es conmutativa para A~ B.

La diferencia entre conjuntos se expresa como:

Diferencia entre dos conjuntos

Conjuntos

AnB=9) Subconjuntos:

BCA AnB=B Conjuntos ajenos:

.

A B A

u u

B

Hasta ahora hemos visto las siguientes relaciones de conjuntos.

1 A

u Los conjuntos no vacíos se representan por medio de curvas cerradas, indicando el nombre del conjunto en la parte externa.

u El conjunto universal se representa por medio de un rectángulo, como marco de referencia del conjunto o de la operación que se quiere realizar.

Los diagramas de Venn-Euler son representaciones gráficas de conjuntos, sus relaciones y sus operaciones.

1.6 DIAGRAMAS DE VENN-EULER

3. Realiza en tu cuaderno un breve resumen de los temas tratados hasta ahora.

Halla:

a) A<= b) <!>" = e) Uº= d) A n B"= e) (A'')c = f) A" U B'. =

2. Dados los conjuntos: U= {f, g, h, i, j, k, 1, m, n, o, p}

A= {f, g,j, k, p), B = {g, h, i,j, m, n}, e= [g, k,j, o, p, i)

Encuentra el resultado de cada una de las operaciones indicadas en cada inciso.

a) AnB= b) AUC= e) Aº= d) AU B= e) A-B= f) B\A = g) Cº= h) A U (B n C) =

i) en (A u e)= j) (BU A) n Aº=

k) Cº\(A U B) = !) (A U B) - (A n B)c =

Álgebra

~

Grupo Editorial Patna ~

e La unión se interpreta como todos

los elementos.

B

u A

e) Interpreta Ja solución.

e

B

u A

b) Sombrea el conjunto A.

e

B A

1. Obtén el diagrama de Venn-Euler sombreando la región del conjunto A u (B n C). Para ello:

a) Sombrea el resultado de B n C. u

Ejemplos

Para realizar operaciones entre tres o más conjuntos, siempre es conveniente llevar cierto orden:

A'. AU B. A n B.

El área sombreada es el resultado de

El área sombreada es el resultado de

El área sombreada es el resu Ita do de

u u A B

u A

Cuando se realiza alguna operación, se sombrea el resultado para destacar la zona del diagrama donde se encuentra.

Conjuntos

e

B A

u

2. Obtén el diagrama de Venn-Euler de (B u C)< n A sombreando la región del diagrama que represente a este conjunto, considerando que A, By C no son conjuntos ajenos.

a) ¿Cómo sombrearías el complemento de Bu C?

Como puedes observar, para encontrar un conjunto por medio de diagramas es importante conocer las relaciones que hay entre los conjuntos involucrados.

e

B A

1

u

En el siguiente diagrama se considera que A, By e no son ajenos entre sí, pero B e A, sombrea la región que represente el conjunto A U (B n C).

e

B

A

u

Pero ésta no es la única posibilidad, ya que los conjuntos A y B pueden ser conjuntos ajenos, analiza esta posibilidad.

Para encontrar la región del diagrama que represente el conjunto A u (B n C):

a) Sombreas el resultado de B n C.

b) Sombreas el conjunto A.

e) Interpretas la solución.

Obteniendo como resultado:

¿Cómo harías el diagrama si C y B fueran ajenos, y A y C no?

Álgebra

~


u 14 e

11 13

10 1 2 B A

15

, a) A= {2, 3, 4, 5, 6, 7)

b) B n e= {5, 7, s. 9)

e) A - e = (2, 3, 6)

d) A \ (B U C) = (2, 3)

e) (AnB)<\C={l3,14,15}

f) (A \B) n (C\B) = (4)

3. Obtén el conjunto solución de cada una de las operaciones indicadas, considerando los elementos que se dan en el siguiente diagrama.

Con base en un diagrama de Venn y la distribución de los elementos de cada conjunto, también puedes encontrar el conjunto solución de una operación dada.

e (BU C)' n A.

Solución de

B

u

e) Compara tu resultado con la solución:

u

b) Ahora sombrea el conjunto A en forma diferente al anterior:

Conjuntos

e------ B

u A

j) (Aº\ Bº) U [Cº n (A\ B)]º

e------ B

u A

h) (A u B)º n (B' u ce)

e

B

A B

u

f) (B n C)c n A

u A

A B

b) B \A

u

e

u A

i) [A- (B - C')J'

B

u A

g) (C n B}' - (A U Bº)

e

B

u A

e) A n (Bu e)

A

B

u e) A< U B

B

A B

u a) A n B<

1. Resuelve las siguientes operaciones utilizando diagramas de Venn-Euler y sombreando el área que represente el resultado de las mismas, para cada caso se te indica la relación entre los conjuntos por medio del diagrama dado:

EJERCICIO 8

Álgebra

~


Número de personas Deporte que practican 35 Futbol americano 3-+ Futbol soccer 33 Básquetbol 13 Futbol americano y futbol soccer 18 Futbol soccer y básquetbol 15 Futbol americano y básguetbol 10 Practican los tres deportes

. I

En el grupo de Miguel hicieron una encuesta sobre los deportes que más se practicaban en la escuela y escogieron en forma aleatoria a 65 personas, a las cuales les preguntaron sobre su deporte favorito. Al recolectar y organizar la informa- ción que obtuvieron encontraron lo siguiente:

iíll Problema eje

Utiliza la información que has estudiado hasta este momento, y verifica una forma de solución del problema eje.

e e

u

d

f

9

k

h

e

a) A=

b) e= e) (Bu C) =

d) (A n C) u (B \ C) =

e) (A U B)c n C =

f) (A U C)<\A =

g) (A\ C) U (C \ B) =

h) [(A U B) n C]º =

2. Obtén el conjunto solución de cada una de las siguientes operaciones a partir del siguiente diagrama de Venn.

B

u V (A n B)c u [C n (A u B)]

B

e

A

u k) (A' U B)' n (C n Ac)

Conjuntos

Por sí sola, la tabla no nos es muy útil para contestar nuestras preguntas, necesita otra forma de poder representar la información en la que no se dupliquen los datos. Para ello, nos pueden ayudar más los diagramas de Venn-Euler:

Básquetbol

Fu tbol soccer

Futbol americano

Futbol americano Futbol soccer Básquetbol

35 13 15 . l

'1 13 3-t 18 ,, . '

15 18 33

La distribución de la información en la tabla es:

2. ¿Cuántos alumnos practican los tres deportes?

3. ¿Cuántos alumnos practican básquetbol, pero no practican soccer ni americano?

4. ¿Cuántos alumnos no practican ninguno de los tres deportes?

5. ¿Cuántos alumnos no practican futbol americano?

1. ¿Cuántos alumnos practican americano o soccer?

Básquetbol

Americano

B. Apoyate en el siguiente diagrama para facilitar tu trabajo al contestar las siguientes preguntas:

Futbol Futbol soccer Básquetbol • amencano

13 .

18 ,_

15 Básquetbol

Futbol soccer

Futbol americano

A. Completa la tabla siguiente y distribuye la información que se dio:

Álgebra

~


35 - ( 5 + 1 o + 3 ) = 17

13-10=3

a) Los que practican sólo futbol americano:

b) Aquellos que practican sólo futbol soccer:

e) Los que practican sólo básquetbol:

De los alumnos que practican sólo un deporte:

Básquetbol

8 5 10

3

Soccer r Americano

• ('('\ero de Obtén el nu cada

dores eo ¡uga caso.

a) Los alumnos que practican solamente futbol americano y futbol soccer son:

b) Los alumnos que practican solamente futbol americano y básquetbol son:

e) Los alumnos que practican solamente básquetbol y futbol soccer son:

Básquetbol

10

Estos 10 alumnos al mismo tiempo cumplen la condición de practicar dos deportes, por lo que puedes concluir que:

Soccer Americano

Analiza nuevamente la información proporcionada, empezando por los datos que no se prestan a doble interpretación, represéntala en el diagrama dado para este problema.

l. ¿Cuántos alumnos practican los tres deportes?

Conjuntos

Mediante este último diagrama, ya es más sencillo darle solución a las preguntas planteadas:

1. ¿Cuántos alumnos practican americano o soccer?

2. ¿Cuántos alumnos practican los tres deportes?

3. ¿Cuántos alumnos practican básquetbol, pero no practican soccer ni americano?

4. ¿Cuántos alumnos no practican ninguno de los tres deportes?

S. ¿Cuántos alumnos no practican futbol americano?

Básquetbol 5

10

8 5

17

10

3 13

Americano Soccer

¿Cuántos alumnos no practican ninguno de los deportes mencionados?

Básquetbol

10

8 5 10

17 3 13

Soccer

Álgebra

~


d) ¿Cuántos empleados tiene la embajada?

e) ¿Cuál es el número de personas que hablan únicamente francés y espa- ñol?

b) ¿Cuál es el número de personas que hablan exclusivamente inglés'

Con esta información contesta las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es el número de personas que hablan únicamente inglés y español?

90 se expresan en inglés.

57 se expresan en francés.

50 se expresan en español.

11 se expresan en inglés y francés únicamente.

12 se expresan exclusivamente en francés.

9 se expresan exclusivamente en español.

12 se expresan exclusivamente en otro idioma diferente a los mencionados.

2. De los empleados de una embajada se obtuvo la siguiente información:


a) ¿Cuántas personas pidieron únicamente café?

b) ¿Cuántas personas solicitaron limonada, pero no postre'

e) ¿Cuántas personas atendió en su turno?

d) ¿Cuántas personas solicitaron café o postre?

20 limonada y café.

15 limonada y postre.

35 ninguna de las tres.

60 café. 17 sólo pidieron limonada.

40 postre.

20 café y postre.

12 las tres cosas.

Realiza algunos problemas en los que la teoría de conjuntos puede ser más útil para encontrar la respuesta, y también para interpretar mejor la información que se nos proporciona:

1. Por solicitud del gerente de un restaurante, una mesera, al revisar las comandas de los clientes que atendió durante su tumo, encontró que:

EJERCICIO 9

Conjuntos

Con base en los datos proporcionados por la encuesta, contesta las siguientes preguntas:

a) ¿Cuántas personas fuman únicamente cigarros mentolados?

b) ¿Cuántas personas fuman de dos tipos de cigarros?

e) ¿Cuántas personas no fuman?

332 personas dijeron fumar cigarros mentolados.

313 fuman cigarros extralargos.

419 fuman cigarros Marlboro .

68 fuman mentolados y extralargos.

125 fuman extralargos y Marlboro.

94 fuman cigarros Marlboro y mentolados.

15 fuman de los tres tipos de cigarros.

4. En una encuesta referente al hábito de fumar, se entrevistaron a 800 personas sobre tres tipos de cigarros en específico: mentolados, extralargos y Marlboro, arrojando los siguientes resultados:

a) ¿Qué número de empresas enlatan carnes?

b) ¿Qué número de empresas fueron entrevistadas?

e) ¿Cuántas empresas no enlatan frutas?

d) ¿Cuántas empresas enlatan carnes y verduras?

e) ¿Qué número de empresas enlatan frutas y verduras?


16 empresas carnes y frutas.

8 enlatan carnes, verduras y frutas.

13 empresas enlatan sólo carnes y productos derivados.

24 empresas enlatan sólo verduras.

26 empresas enlatan sólo frutas.

15 empresas enlatan carnes y verduras.

Al recopilar la información obtenida, presentan su informe con los siguientes resultados:

3. Una empresa quiere lanzar al mercado varias conservas, por lo que solicita a un despacho de mercadotecnia un informe sobre los productores de alimentos enlatados.

•

Álgebra

~


Malteadas Flan napolitano

Refrescos

Pie de limón

Té Pastel de chocolate

Café

Bebidas Postres

d) Representa las opciones en el siguiente gráfico (sagital).

'--Café

Flan napolitano

Malteada

Bebida Postre e) Representa las mismas elecciones en el siguiente diagrama de árbol.

b) Representa mediante una tabla sus posibles elecciones.

a) ¿Qué tipo de bebidas y postres puedes elegir en esa cafetería?

Juan invita a Beatriz a una cafetería a tomar una bebida y un postre. Al llegar, el mesero les da la carta para que elijan y observan que para tomar hay: café, té, refrescos y malteadas, mientras que de postres hay: pastel de chocolate, pie de limón y flan napolitano.

iíll Problema eje

1.7 PRODUCTO CARTESIANO

Conjuntos

A x B = (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3), (5, 2), (5, 3), (7, 2), (7, 3)}

2. Sean los conjuntos A::::: {-1, O, 3}, B::::: {O, 2, 5) y C::::: {-4, 7}. Representar el producto cartesiano Ax B x C en un diagrama de árbol. Por el orden del producto, en primer término tendrá un elemento del conjunto A; en segundo, un elemento del conjunto B y en tercer término, un elemento del conjunto C.

El orden en el que se da la notación del producto cartesiano, indica que en cada par ordenado irá en primer término un elemento del conjunto A seguido de un elemento del conjunto B.

1. Dados los conjuntos A= {2, 3, 5, 7} y B = [x/x E N, 2::;: x u 4}, hallar el producto cartesiano A x B.

Ejemplos

AxB-;t;BxA

Cuando asociamos los elementos de dos conjuntos de tal manera que cada elemento de uno de los conjuntos está en correspondencia con un elemento del segundo conjunto, cada pareja de datos así formada recibe el nombre de par or denado: además, para cualquier producto cartesiano donde A* B se cumple que:

((Pastel de chocolate, café), (Pastel de chocolate, té),

(pastel de chocolate, refrescos), (pastel de chocolate, malteadas),

(pie de limón, café), (pie de limón, té),

(pie de limón, refrescos), (pie de limón, malteadas),

(plan napolitano, café), (flan napolitano, té),

(plan napolitano, refrescos), (flan napolitano, malteadas)]

AxB=

A = {Pastel de chocolate, pie de limón, flan napolitano]

B = (Café, té, refrescos, malteadas]

En el caso del ejemplo anterior, los pares ordenados que puedes formar son:

A x B = ((x, y)/ X E A, y E B}

En este problema cada una de las respuestas posibles es una pareja de datos con un orden preciso (postre, bebida). Esta combinación entre los elementos de dos conjuntos recibe el nombre de producto cartesiano y se representa A x B, que se lee como "A por B" en forma simbólica:

Álgebra

~


IV í+. -)

1 !I (-, -)

~-=-_...,_-=--+---"-+--!--!-~+--,~~•x -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 .1

-2

1

(+' +)

6

5

y

11 (-. +)

Considera un sistema donde un eje horizontal x y un eje vertical y se cruzan per- pendicularmente formando un plano Oxy con un conjunto infinito de puntos, cada uno de los cuales representa un par ordenado de números (x, y)

Los ejes x y y separan este plano en cua - tro regiones llamadas cuadrantes. Empe- zando por el que se encuentra en la parte superior derecha y siguiendo en sentido contrario a las manecillas del reloj, estos cuadrantes se numeran I, II, III, IV

Al eje horizontal se le denomina eje x o eje de abscisas y al eje vertical como eje y o eje de ordenadas, y a cada par ordenado se le llama coordenada de un punto.

1.8 PLANO CARTESIANO

º<-: 3 2<-4

7

5<-4 7

-4 o< 7 -4 o 2< 7 5<-:

-1

Conjuntos

C (4, 5), D (O, -3), F (-2, -6), H (4, 7), M (3, -4) y R (-8, 5)

1. Traza un plano cartesiano y localiza los siguientes puntos:

EJERCICIO 1 O

C(S, -3) ' -- - --- - -- - - - - -- -·

-'--'--'--'-+--'--1-..__'--'--'--l-'----+X

A(3, 5) ---------, ' ' ' ' ' ' • • ' • •

8(-2, O)

y

Localización de puntos en el plano cartesiano

El punto de intersección de ambos ejes se llama origen del sistema, y se asocia al par ordenado (O, O). Las coordenadas de puntos del eje x a la derecha del origen se consideran positivas; mientras las de puntos a la izquierda son negativas. Al mismo tiempo, los puntos arriba del origen en el eje y tienen coordenadas positivas; y los que están abajo del origen son negativas.

La notación que te indica en cada cuadrante del plano(+,+), (-, +), (-,-)y(+,-) indica el valor positivo o negativo que cada par ordenado de números (x, y) toma en el cuadrante respectivo.

Cada punto que se quiera localizar en este plano cartesiano toma en cuenta el orden del par ordenado (x, y).

Álgebra

~

Grupo Editorial Patria L.::.J

140 hombres casados 124 aprendices

160 hombres solteros 26 profesionistas solteros

77 mujeres casadas 60 técnicos casados

83 profesionistas 98 aprendices solteros

98 ' . 16 mujeres profesionistas tecmcos

4. De una encuesta realizada a 500 personas se extrajo la siguiente información sobre su preparación, su género y estado civil:

3. En el salón de Juan eligieron a tres mujeres: Isabel, Rosa y Lourdes, y dos hombres: Federico y Sebastián, para formar un comité de ayuda a la comunidad; el puesto de presidente del comité debe ser ocupado por un titular y un suplente. ¿De cuántas formas puede ser ocupado este puesto por los compañeros delco- rnité? Indica todas las posibles parejas.

2. Juan invita a comer a Luis, y en la carta del restaurante ofrecen cuatro guisados: pollo en mole, carne de res asada, carne de puerco en pasilla y filete de pescado con ensalada de lechuga; para beber: refresco o agua de jamaica. ¿De cuántas formas diferentes pueden solicitar una comida con bebida al mesero? Indica todos los posibles pedidos.

Conjuntos

Mujeres Mujeres Hombres Solteros

Totales Casados

11. Distribuye la información obtenida en la siguiente tabla.

j) son técnicos o habilitados?

k) son aprendices o mujeres casadas?

i) son técnicos o varones solteros?

a) son mujeres técnicas casadas?

b) son mujeres solteras?

e) son habilitados o varones solteros?

d) son hombres casados o habilitados?

e) son hombres solteros?

f) son mujeres que no están casadas ni son profesionistas?

g) no son profesionistas?

h) son hombres o habilitados?

23 mujeres habilitadas casadas

hombres profesionistas casados

l. Con base en los datos anteriores, responde: ¿cuántas personas ...

hombres técnicos casados mujeres técnicos solteras 12

12

35

46

habilitados 195

31

hombres aprendices casados

mujeres habilitadas casadas

Álgebra

~


142 resolvieron el primer problema.

146 resolvieron el tercer problemas.

103 resolvieron el segundo y el tercero.

76 resolvieron los tres problemas.

179 resolvieron el segundo problema.

97 resolvieron el primero y el segundo.

S. De 267 alumnos que resolvieron un ejercicio de tres problemas de Matemáticas, se obtuvieron los siguientes resultados:

e e

B B u A

u A

(A\B) U (B n C') (A u B') ne 4. Representa por medio de diagramas de Venn-Euler los siguientes conjuntos:

T n [R n (Te n L))C =

(TU L')' n (T\R) =

Obtén los siguientes conjuntos:

T = {x/x es una letra de la palabra hija}

U= (a, b, e, d, e,f, g, h, i,j}

R = {e,f, g, i,j),

L ={a, b, e, d, e,f)

3. Dados los conjuntos:

A= {x/x EN, 12 <X u 21}

M = (1, Z, 4, 8, 16, 32, 64)

2. Define los siguientes conjuntos por comprensión o extensión según sea el caso.

Está contenido en: Complemento de M: Subconjunto impropio:

Pertenece a: Es equivalente a:------ Tal que:

1. Indica el símbolo de cada una de las siguientes expresiones.

1.9 COMPRUEBA TU APRENDIZAJE

Conjuntos

Problema 3

u Problema 2

Problem ª'...1.'.-------::::><'::::-' _

f) Expresa a continuación en forma simbólica la operación que representa cada una de las preguntas anteriores

a) ¿Cuántos alumnos resolvieron únicamente el tercer problema?

b) ¿Cuántos alumnos no contestaron ningún problema?

e) ¿Cuántos alumnos no resolvieron el primer problema?

d) ¿Cuántos alumnos contestaron por lo menos dos problemas?

e) ¿Cuántos alumnos resolvieron el primer problema, pero no contestaron el segundo problema?

Álgebra

~


7. Conjunto de objetos diferentes.

8. Par ordenado con el que se representa un punto.

11. Conjunto formado por los elementos que está en uno u otro conjun- to.

14. Conjunto que se toma como marco de referencia para realizar algu - na operación entre conjuntos.

13. Representación gráfica de un conjunto.

4. Conjunto formado por todos los subconjuntos del conjunto dado.

5. Se forma con los elementos que no pertenecen al conjunto dado.

6. Conjunto del que no podemos determinar el número de sus elementos.

3. Conjunto formado por un solo elemento.

2. Conjuntos que tienen los mismos elementos.

1. Número de elementos distintos que tiene un conjunto.

9. Conjuntos cuya intersección es un conjunto vacío.

10. Se forma con los elementos que pertenecen simultáneamente a dos conjuntos.

12. Objeto que pertenece a un conjun- to.

Verticales Horizontales

1 2

3 ' s • 7

e

•

'º

11 .~ 12

13

"

Con la finalidad de hacer una revisión rápida del dominio que tienes de los conceptos estudiados en esta unidad, contesta el siguiente crucigrama en el que se trabajan algunos de éstos.

Crucigrama

Conjuntos

• Operaciones con distintas bases.

• Sistemas de diferentes bases.

• Sistema decimal.

Contenido de estudio:

• Resolver problemas relacionados con estos sistemas.

• Comprender los algoritmos de las operaciones en el sistema decimal.

• Sistemas de numeración.

En esta unidad, se estudian los sistemas de numera- ción empleados por las diversas culturas hasta nuestros días, resaltando la importancia del sistema con base 10 (decimal), el cual será desarrollado a profundi- dad abordando sus propiedades.

Propósitos de la unidad:

• Comprender cómo surgieron los sistemas de numeración en las diferentes culturas de la Antigüedad hasta llegar al sistema decimal adoptado en la actualidad.

• Operar con sistemas de numeración de diferentes bases.

Mesopotamia alcanzó un nivel superior que Egipto respecto a la aritmética; su sistema de numeración era sexagesimal, superpuesto a un sistema decimal. Este sistema no difería mucho de nuestro sistema actual de escritura de números. Así f <(_ <(_ f f <(_ f en escritura cuneiforme tiene el significado de l 3 60~ + 20 3 60' + 2 3 602 + 10 3 601 + l 3 60° = 17 287 801 en nuestra numeración actual. El numeral f f f f f f podía significar también 3 3 601 + I 3 60º + 2 3 60-1 dependiendo del contexto en el que estuviera la cantidad. Esta información se pudo obtener mediante el estudio de textos que datan de alrededor del año 2100 a. C. en los que se aprecia su habilidad de cómputo. De este sistema de numeración hemos conservado la división de una hora en 60 minutos, y cada minuto en 60 segundos, así como la división del círculo en 360 grados, cada grado en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. La aritmética se desarrollaba por medio de tablas que podían ser de multiplicación, de recíprocos y de raíces cuadradas y cúbicas.

Los griegos del siglo v a. C., principalmente los seguidores de Pitágoras, desarrollaron un concepto de número especulando sobre cualidades o propiedades que les atribuían, clasificándolos en clases. Así, por ejemplo, tenían números impares,

Hacia el año 2000 a. C., Egipto poseía un sistema de numeración decimal sin llegar a ser posicional. Su uso de fracciones llama la atención, ya que reducían las fracciones que se les presentaban a sumas de fracciones unitarias (fracciones con numerador uno), sus procedimientos se utilizaron por miles de años, aun hasta la Edad Media en Europa.

La idea de número se originó en la Edad de Piedra, en la época en que el hombre vi- vió en cavernas y su principal preocupación era la recolección de alimentos, y cómo y dónde obtenerlos, al tiempo que llegó a desarrollar un lenguaje para comunicarse y cultivó formas de arte creativo que hoy día podemos apreciar en figurillas y pintu- ras de aquella época.

Los primeros términos numéricos fueron la simple distinción entre 1, 2 y muchos. Cuando el hombre se hace sedentario, debido al descubrimiento de la agricultura, empieza a cambiar sus hábitos, su vivienda; y la vida en comunidad incluyó otras necesidades de convivencia. Sus nuevas actividades, el comercio incluido, origina- ron el establecimiento de relaciones numéricas para el trueque de mercancías. Se cree que el empleo de los dedos de una mano, o de ambas, como procedimiento usual en la actividad comercial generó los primeros sistemas de numeración con base 5, y después con base 10 para la agrupación.

La religión como un medio de entender las fuerzas de la naturaleza y las ceremo- nias religiosas con sus rituales mágicos influyeron en el concepto de número, así surgieron números y figuras mágicas. Resabio de este tipo de ritos y creencias es la numerología o arte de conocer el futuro por medio de los números, la que aún existe en nuestra época.

En las culturas orientales: babilonia, egipcia, china, etc., las matemáticas se originan como un cuerpo de conocimientos prácticos, cuyo objetivo era facilitar la adminis- tración de cosechas, la organización de obras públicas. la recolección de impuestos y el cómputo del tiempo por medio de calendarios, lo cual se puede considerar como una consecuencia del conocimiento alcanzado entonces sobre el movimiento de las constelaciones celestes.

2.1 BREVE RESEÑA HISTÓRICA

Álgebra

1,:1 Grupo Editonal Patria ~

b) Si Luis tiene lanba caramelos y Úrsula tiene kiba, ¿quién de los be tiene mas?

a) Si Arturo tiene lanba manzanas y Horacio tiene kaba, ¿quién de los be tiene más'

ba, be, bi, ...

Realiza el siguiente problema, utilizando únicamente la secuencia verbal que te proponemos.

l. Considera que la secuencia oral de un sistema de numeración es:

i1il Problema eje

La aportación más conocida de la matemática india es nuestro sistema de numeración posicional decimal. Este sistema es muy antiguo, aparece primero en China y des- pués en la India. En la numeración decimal, el signo más antiguo para el cero data del siglo tx, aunque los babilonios ya tenían un símbolo para él por el año 1500 a. C. Este sistema comenzó a ser usado más ampliamente en el mundo árabe y es por medio de la obra de Al-Khwarizmi que se da a conocer en Europa.

El sistema de numeración decimal fue ganando adeptos por las ventajas que presen- taba, entre las cuales se encuentran los algoritmos de las operaciones y la simplifica- ción del manejo de las fracciones sin la necesidad de recurrir a la descomposición en fracciones unitarias. Simón Stevin, en 1585, introdujo las fracciones decimales como parte de un proyecto para unificar el sistema total de medidas sobre la base decimal.

En 1801 Karl Friedrich Gauss publicó las DisquisitionesArithmeticae donde reunía todas las obras sobresalientes respecto a la teoría de números de sus predecesores, dando comienzo a la teoría moderna de números. Entre sus muchas aportaciones a la ciencia tenemos el Principio Fundamental de la Aritmética, el cual establece que todo número compuesto puede expresarse por un solo producto de números primos.

• • • 9

• • 4

• 1

• • • • • • • • pares, primos, compuestos, perfectos, amigables, triangulares, cuadrados, pentago- nales, etc., estableciendo un enlace entre la geometría y la aritmética. El nombre de cuadrados tiene su origen en lo siguiente:

Sistemas de numeración

Una serie puede utilizarse para comparar colecciones, pues conociendo bien el orden de los elementos de la serie, el último elemento que se menciona

representa la cantidad de elementos que contiene la colección.

Explica cómo resolviste el problema.

8. Andrés compró kiba pesos de dulces y kabi pesos de chocolates. ¿Cuánto gastó?

7. Expresado en el mismo lenguaje, cuántas canicas le hacen falta a una de las dos para que tengan el mismo número de galletas.

Explica cómo resolviste el problema.

6. Resuelve el siguiente problema: "Aranza tiene lanba galletas de chocolate y Beatriz tiene kebi", ¿quién tiene más?

© © © © © © © © © © © © © © © e © e e © © e © © © © © © e © © © © © e

© © © © e © ©

ba, be, bí, ka, kaba, kabe, kabi, ke, keba, kebe, kebi, ki, kiba, kibe, kibi, lan, lanba, lanbe, lanbi, lanka, lankaba, lankabe, lankabi, lanke, ...

5. Cuenta utilizando la secuencia numérica anterior, los elementos que contienen las siguientes colecciones y escribe, con el mismo lenguaje, el total de elementos que tiene cada una.

4. La secuencia numérica oral continúa de la siguiente manera:

3. Explica cómo resolviste el inciso b.

2. ¿Qué dificultades tuviste para resolver el inciso a~

Álgebra

~


El sistema de numeración de los babilonios tenía notación posicional.

o utilizando las potencias de 10:

2 345 = 2 X 10' + 3 X 102 + 4 X 101 + 5 X 10º

2345=2X 1000+3X l00+4X 10+5X l

El valor de un símbolo dependía de la posición del símbolo en el numeral. Para números mayores que 60, las potencias de 60 eran agrupadas en forma decreciente.

Veamos esto con un poco de más detalle mediante dos ejemplos, pero antes recor- demos el desarrollo de un numeral con base l O. Por ejemplo, 2 345 en forma desarrollada se expresa como:

f: Símbolo para el I, para el 60 y también para potencias de 60.

<: Símbolo para el l O, para l O x 60, y, en general, para l O x 60n.

~: Este símbolo representaba el cero. Inicialmente dejaban un espacio para el cero.

>>= Símbolo para indicar la resta.

Los numerales que representaban números son:

1. Tablas de multiplicar, de recíprocos, de cuadrados y cubos, de raíces cuadradas y raíces cúbicas.

2. Colecciones de problemas ordenados de menor a mayor dificultad.

3. Problemas con datos numéricos específicos y sus soluciones, dadas por medio de algoritmos, desarrollados paso a paso.

Los babilonios tenían un sistema de numeración sexagesimal para números enteros y fracciones: lo heredaron de los sumerios, de quienes también obtuvieron su escritura cuneiforme.

A finales del siglo XIX, al excavar en la antigua ciudad de Mesopotamia, en la Re- pública de Irak, Jos arqueólogos de una expedición científica organizada por la Universidad de Pensilvania, encontraron alrededor de 400 tabletas de arcilla de contenido matemático, que se resguardan en diversos museos y en distintos paí- ses, las cuales han sido estudiadas, transcritas y traducidas. Su estudio proporcio- nó algunos datos de la matemática babilonia. Sus contenidos se clasificaron de la siguiente manera:

EL SISTEMA DE NUMERACIÓN BABILONIO

2.2 SISTEMAS DE NUMERACIÓN .. DE LA ANTIGUEDAD


1 Para distinguir entre numerales con base 1 O y numerales sexagesimales con notación indo-arábiga, se escribieron los numerales sexagesimales entre paréntesis y separándolos con comas.

rr rr Obtén la representación decimal del numeral:

rr rr Otro ejemplo:

representa el 314 de nuestro sistema decimal.

rr rr <

r r r r r

Por lo tanto:

- 314 (5' 14)

14 14 X l 14 X 60º

300 5 X 60 5 X 601

Realizando las multiplicaciones:

5 14

rrr rr -( = 5 X 601 + 14 X 60º ..

rr rr En forma desarrollada:

5 14

rr rr < = (5, 14)1

rrr rr

En forma indo-arábiga:

< r rr r r

Obtener la representación decimal del numeral:

rr rr

Para expresar con base 10 numerales babilonios o sexagesimales, se usa la forma desarrollada; por ejemplo:

Cada columna del numeral babilonio, de derecha a izquierda, corresponde a una potencia de 60.

Álgebra

~


2 345 = 39 X 601 + 5 X 60º

y el numeral babilonio que le corresponde es:

<( <( rrr <( rr

2 345 - <( rrr rr - ~ r rrr - (39. 5)

« rrr rrr <( <(

39 r- 40 1 5 )

Para escribir el numeral con base 60 inicia por el primer residuo y termina con el primer cociente menor que 60 (de derecha a izquierda), desarrollando la cantidad con potencias de 60:

05 residuo

39 cociente

60) 2 345 545

Para expresar el numeral 2 345 con base 60 dividimos sucesivamente entre 60:

1. Escribe en el sistema de numeración babilonio el numeral 2 345.

Ejemplos

A continuación ve cómo expresar numerales de sistema decimal en el sistema de numeración babilonio.

4 X 602 - 4 X 3 600 - 1-+ 400 15 X 601 - 15 X 60 - 900 20 X 60º - 20 X 1 - 20 (4, 15,20) - 15 320 -

Por lo tanto:

rr rr <( <( representa en sistema decimal 1 5 320. rr rrr

Realizando las multiplicaciones:

= 4 X 602 + 15 X 601 + 20 X 600 <( 20

<( rrr 15

rr 4

rr rr En forma desarrollada:

= (4, 15, 20) <( rrr 15

<(

<( 20

rr rr rr

4

En forma indo-arábiga:


rr rrr

< r < r

r dJ rr e) (23. 6, 18)

1 1 5

-cr <(

rrr 1 5

rr b) (31, 41, 16)

rrr rr a)

2. Obtén la representación decimal de los siguientes numerales sexagesimales.

b) 956 =

d) 5671 =

f) 361094 =

a) 214 =

e) 4206 =

e) 74626 =

1. Obtén la representación sexagesimal (con numerales babilonios y en forma indo-arábiga) de los siguientes numerales decimales.

EJERCICIO 11

y el numeral babilonio que corresponde:

r <(

r <( rr 16814= r <(

<( = (4,40, 14) rr

r <( 4 40 14

16 814 = 4 X 602 + 40 X 601 + 14 X 60º

El numeral desarrollado con base 60 es:

O 14 primer residuo

4 primer cociente menor que C>O

60~)2-80-

40 segundo residuo

280 60) 16 814

48]

Dividirnos en forma sucesiva entre 60:

16 814 = 1 X 1 0~ + 6 X 1 0; + 8 X 102 + 1 X 101 + 4 X 1 0º

En sistema decimal, su forma desarrollada es:

2. Escribe en el sistema de numeración babilonio el numeral 16814.

Utilizando su signo para la resta, podían simplificar la escritura de algunos numerales.

Álgebra

~


~~

"' "' ;A ~ 411!1.. • • .......~ ... -1 ;..

para el 1

r, para el 10

e para el 100

g para el l 000

t? para el 10000

~ para el l 00 000

s: para el 1 000 000

Los jeroglíficos usados por los egipcios para representar los números fueron:

3. Otros documentos de menor importancia son los papiros de Harris y el de Ro- llin, datan de entre el 1350 al 1167 a. C .. y muestran el uso de números grandes y de operaciones prácticas.

1. El papiro de Moscú, data aproximadamente del año 1850 a. C., es un texto mate- mático que contiene 25 problemas.

2. El papiro de Rhind o de Ahmes, texto matemático con rasgos de manual práctico, contiene 65 problemas copiados en escritura hierática por el escriba Ahmes de un trabajo más antiguo. Este papiro fue escrito aproximadamente hacia el 1650 a. C.

Los egipcios, a diferencia de los babilonios, desarrollaron sistemas de escritura propios. Uno de ellos, los jeroglíficos, fue pictórico, cada símbolo era una pintura de algún obje- to. Los jeroglíficos fueron usados en monumentos hasta fechas cercanas a la era cristiana. Para su vida cotidiana, desde el 2500 a. C., usaron la llamada escritura hierática. Este sistema empleaba símbolos convencionales silábicos, donde cada sílaba se representaba por un ideograma y una palabra completa era una colección de ideogramas.

Nuestro conocimiento del desarrollo matemático alcanzado por los antiguos egipcios proviene del análisis de documentos antiguos, de los pocos papiros que llegaron a nuestros días entre los que destacan:

SISTEMA DE NUMERACIÓN EGIPCIO

a) (23, 16, 41) + (18, 21, 17) =

b) (24, 31, 26) + (21, 31, 26) + (11, 12, 17) =

e) (41, 21, 17)- (28, 10, 14) =

d) (31, 43, 16)- (26, 36, 24} =

e) (16, 21, 42) + (17, 36, 24)- (15, 53, 46) =

3. Realiza las siguientes operaciones en sistema sexagesimal.

38 23 20 12

f) (3, 12, 16, 10) rrrr

<<< rrrr r

<< rr r

e) < r


Las cifras romanas, tal como las conocemos hoy, datan del siglo 1 d. C., y a primera vista sus símbolos parecen ser copia de las letras del alfabeto latino, pero en rea- lidad son formas estilizadas de un sistema de numeración más antiguo inventado por los etruscos y las tribus ítalas que dominaron antes que los romanos esa penín- sula. Sus cifras principales eran:

Otro de los sistemas de numeración que verás es el romano, aunque este sistema se estudia desde la educación primaria, profundiza un poco en su origen y escritura.

La numeración romana se rigió fundamentalmente por el principio aditivo, ya que sus cifras de valor independientes entre sí, se yuxtaponen implicando la suma de los valores correspondientes.

SISTEMA DE NUMERACIÓN ROMANO

a) 11 rv=rv:v> eeee ~ ~ ~ bJ lllllllnneee ~ t? t? t?

2. Obtén la representación decimal de los siguientes numerales egipcios.

b) 2 531 =

d) 8 576 =

a) 137 =

e) 13 054 =

1. Obtén la representación jeroglífica (con numerales egipcios) de los siguientes decimales.

EJERCICIO 12

354= llllnnnnneee 12 31 o = r-. PPP ~ ~ t?

Los egipcios usaron la base 10 en su sistema de numeración, pero en forma aditiva, no posicional.

Veamos la escritura de dos números como ejemplo:

10 9 8 7 6 5 4 2 3 1 '2. - t.//L (\

,,, 111 11 111 - "I

Estos números eran combinados para formar números intermedios. La dirección de la escritura era de derecha a izquierda.

En escritura hierática los números eran simbolizados como:

Álgebra

~


Calcula cuánto dinero se ahorró Tiberio en este cambio; la moneda

en uso eran los sextercios.

'cecee' por cecee

Seudonio (69-122 d. C.), relata que el emperador romano Tiberio, al tener que dar una importante suma de dinero a Galba como legatario de su madre, cambió las cantidades escritas aquí, en su beneficio, por no estar bien indicado el rectánculo.

b) DCCCXLVII =

d) MMMCDXCII =

f) 1XVII1XXIDCXCIV =

a) CCCXXIX =

e) MDCXXVI =

e) LXIXCXCI =

2. Obtén la representación decimal de los siguientes numerales romanos.

b) 976 =

d) 2 326 =

f) 3426214 =

a) 349 =

e) 6843 =

e) 16 394=

1. Representa en el sistema de numeración romano los siguientes numerales decimales.

EJERCICIO 1 3

1XV1= 15 X 100000 = 1500000

2. El segundo recurso era multiplicar por 100 000 el valor de una cantidad encerra- da en una especie de rectángulo incompleto, por ejemplo:

V D XXI= 5 X l 000 + 500 + 20 + 1 = 5 521

X= 10 X 1000 = 10000

1. El primer recurso multiplica por 1000 el valor de todo número que tuviera enci- ma una barra horizontal, por ejemplo:

Para escribir grandes cantidades utilizaron dos recursos que les permitieron escribir números en los rangos de 1 000 a 5 000 000, y entre 100 000 y 500 000 000, respectiva- mente.

4 IV en lugar de llll 9 IX en lugar de VIII!

40 XL en lugar de xxxx 400 CD en lugar de cccc 900 CM en lugar de DCCCC

Los romanos introdujeron a su sistema de numeración una regla mediante la cual todo signo numérico colocado a la izquierda de una cifra de valor superior se res- taba; por ejemplo, representaron:

romano 1 v x L e n M I:J:J ccI::J::J

1 5 10 so 100 500 1000 5000 10000

etrusco IVX'V )K ól (29


Como habrás observado el sistema de numeración maya presenta una irregularidad en el tercer orden, ya que no se multiplica el valor del número por 20 x 20 como sería la secuencia correcta de la base 20, lo cual tenía una finalidad religiosa. Para entender mejor esta situación es conveniente aclarar que este sistema de numera-

••• 3 X 360 = 3 X 360 - l 080 - • 6X 201 = 6 X 20 120 - •• 2 X 20º = 2 X 1 - 2 1202

Como ya comentamos, el sistema de numeración es posicional, y este numeral tiene tres órdenes de unidades; tomando en cuenta su base esto implicaba:

•• • •• •

,, numeracion maya. Veamos ahora cómo obtener la representación decimal de un numeral en sistema de

Para números mayores escribían cada número superior a 20 sobre una columna vertical que contenía tantos pisos como órdenes de unidades.

17 = --- • 20= ~ 19 = --- 18 = --- 16 = ---

15 = 14= _ 13= _ 12 = _ 11 = _

• - 10= _ 9= --- 8 = ••• - 7= --- 6=

3= --- 2 = •• 5'= --- 4= --- l = ---

, numeros: que combinándolos daban los primeros 20 números mayas, escribe estos primeros

1=•; 5=- y 0=~

Manejaron tres símbolos básicos que eran:

En el terreno de las matemáticas llegaron a descubrir el principio de posición e in- ventaron un símbolo para el cero. Los pocos manuscritos mayas que se han conservado hasta nuestros días, especialmente el llamado Códice Dresde, que es un tratado de astronomía y de adivinación copiado en el siglo IX de un original redactado tres o cuatro siglos antes, dan testimonio de que tenían un sistema de numeración con base 20 y un símbolo para el cero, donde el valor de una cifra estaba determinado por su posición en la escritura de los números.

Durante el primer milenio de la era cristiana, mientras los pueblos occidentales se encontraban en plena crisis política y recesión económica, en otras partes del mundo florecían otras culturas que alcanzaron su esplendor. Éste fue el caso del pueblo maya en América, que llegó a la cima en diferentes disciplinas como la escultura, la arquitectura, la educación, el comercio, las matemáticas y la astronomía.

SISTEMA DE NUMERACIÓN MAYA

r •

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~.';· ..,,. '·.' . -.... , ..

Álgebra

~


b) 1874 =

d) 13493 =

f) l 041519 =

a) 749 =

e) 2 309 =

e) 21 =

1. Obtén la representación en el sistema de numeración maya de los siguientes numerales decimales.

EJERCICIO 1 4

••• unidades simples

grupos de 20 unidades 13 523 =

e grupos de 7 ZOO o cuarto orden

•• grupos de 360 o tercer orden

. , en numeracion maya:

13523= 1X7200+ 17X360+10 X 20+ 3 X 1

unidades simples

tener orden así:

cuarto orden 1 20)37"

17

37 18)676

136 1 O grupo de 20

676 20) 13 523

l 52 123

03

Expresa en notación maya el número 13 523.

Ejemplo

y así sucesivamente en ciclos cada vez 20 veces mayores que el anterior.

Para obtener la expresión en sistema maya de un número decimal, utiliza el método de divisiones sucesivas.

día = 1 kin 1 día

mes = 1 uinal = 20 kines 20 días - = l tun = 18 uinales 18 X 20 d 360 días ano - -

ciclo = 1 katun = 20 tunes - 20x ISX 20d - 7200 días

periodo = l baktun = 20 ka tunes - 7200 X 20 d - 144000 días

1 pictun = 20 baktunes 144000 X 20 d - 2 880 000 días

ción era del uso exclusivo de los sacerdotes, quienes a su vez eran astrónomos y lo utilizaban para medir el tiempo, más que con fines prácticos. Las unidades para la medición del tiempo eran:


507 = sapta s'unya pañca =siete vacío cinco

pero para cantidades como 507 tuvieron que idear la forma de indicar la ausencia de decenas, lo cual hicieron recurriendo a la palabra s'ünya que significa vacío; por ejemplo:

217 = sapta eka dvi = siete uno dos

elaborando una auténtica numeración oral por posición, en la que una cifra toma diferentes valores de acuerdo con la posición que ocupa.

Con esta regla era fácil para ellos escribir números como:

1 636 = 6 + 3 X 10 + 6 X 100 + l X l 000

lo que representaba:

= 6 3 6 l

l 636 = sat. tri. sat. eka

Por la necesidad de abreviación para la elaboración de sus cálculos, los matemáti- cos y astrónomos de la India suprimieron de su escritura la mención de la base y de las potencias, permitiéndoles esta práctica la escritura de cantidades como:

100 000 = laksa

10 000 000 = koti

10 000 = ayuta

l 000 000 = prayuta

100 000 000 = vya rbuda

1 000 = sahastra

100 = sata 10 = dasa

Las potencias de 10 recibían nombres como:

9 =nava

8 =asta 5 = pañca

6 = sat 3 = tri

2 = dvi

7 = sapta 4 = catur l = eka

Pero para que llegara a tener esta forma, su desarrollo fue lento, y se tuvieron que resolver muchos problemas y vencer oposiciones por parte de los calculistas acos- tumbrados al manejo de otros métodos con el sistema romano. Veamos brevemente algunos aspectos de este recorrido.

Hacia el siglo rv, los sabios indios tenían una variante de sistema oral de numeración basada en las potencias de 10, con nueve símbolos básicos y un nombre totalmente independiente para cada una de las potencias con las que trabajaban, por ejemplo:

Nuestro sistema de numeración decimal es considerado un sistema perfecto, ya que tiene la mayor economía de signos y permite la escritura de cualquier número, por muy elevado que sea, siendo muy eficaz en la práctica de los algoritmos de la aritmética.

2.3 SISTEMA DECIMAL

Álgebra

~

Grupo Editorial Patria L.::.J

Nuestro sistema de numeración está basado principalmente en la idea de agrupamiento. Así, diez unidades forman una decena, diez decenas una centena, diez

Cada cifra tiene dos tipos de valor:

Símbolos básicos: l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, O

Ahora, recuerda las principales características de nuestro sistema de numeración:

a) Valor absoluto, según Ja cifra.

b) Valor relativo, según la posición que ocupa en el numeral.

El primer libro árabe conocido en el que la numeración decimal de posición, y los métodos de cálculo son objeto de ejemplos y de explicaciones detalladas fue la obra de Mohamed Ibn Mussa Al Khwarizmi (780-850), la latinización de su nombre se fue transformando hasta llegar a la palabra algoritmo, término con el cual se designó por mucho tiempo en Europa al cálculo escrito indio.

En Europa, hasta el siglo IX, la aritmética práctica consistía en el uso de la numera- ción romana, en contar con los dedos y en la realización de operaciones por medio del ábaco. Con la expansión del imperio musulmán a países europeos como España, las obras árabes, y con ellas el sistema decimal, se conocieron en Europa y poco a poco este sistema fue ganando adeptos.

En 1582 Simón Stevin introduce las fracciones decimales y 1 O años después, en ] 592, el italiano Magini utiliza como signo el punto para separar las cifras enteras de las decimales (punto decimal).

Desde su origen en el siglo rv hasta el siglo xix, las cifras básicas del sistema decimal sufrieron diferentes modificaciones, hasta quedar tal como las usa en la actualidad (I, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, O).

A partir del siglo v el sistema de numeración indio ya tenía las bases y Ja estructura de cálculo que aplica hoy día en el sistema decimal.

Es a partir del siglo vr que los sabios indios adoptan la forma de escribir las cantidades de izquierda a derecha en orden de potencias decrecientes de 10, empezando por la más alta (como es el uso actual), este sistema se difunde más allá de sus fronteras, conociéndose por otros pueblos, entre ellos el árabe.

El matemático y astrónomo indio Brahmagupta, en una de sus obras fechada en el año de 628, describe mediante ejemplos y explicaciones detalladas la manera de realizar las seis operaciones básicas aritméticas sobre lo que llamó los bienes, las deudas y la nada (en nuestros términos: números positivos, negativos y nulos).

Desde finales del siglo VIII, los árabes adoptaron el conjunto de numeración y los mé- todos de cálculo indios. Interesados en las aportaciones de otras culturas al arte y la ciencia, recopilaron e hicieron traducciones de obras antiguas, añadiendo sus propios comentarios, entremezclando los métodos griegos e indios.

Como se nota en estos ejemplos, Ja escritura de números del sistema hindú en esa época se daba en forma creciente respecto a las potencias de l O (unidades, decenas, centenas, etcétera).


b) 103 004 630. 27

a) 5 778. 023

2. Escribe cómo se leen cada uno de los siguientes numerales:

300 Valor relativo Valor absoluto

3 90 000 @} 40. 00 l

5@ 078. 023 104@700 800 211

Numeral

1. Escribe el valor absoluto y el valor relativo de las cifras señaladas en cada numeral:

2 8

1 o

(/}

o CI)

E o ....... 6 V> '<li ....... +-' (/)

e '<li ...... (l) ....... u ~

2 3 7

.... ro ...... ...... ....... 6 ......

ro (l) .§ -o CI) {/) C/) u (l) ro V> (l) (l)

"'d s.:: ro "'d "O ro (l) e ro B 'O ....,, (l) "d ....... s.:: u . ...... s.:: e (l) (l) e :::i

:::::> ~ a :::::> p.,

7 o " 7 8 • 4 6 3 o • o 2 1 1 • o 3 4 o • 1 9 9 9 • 9 7 3 5 •

3 o o

imales

1

Unidades

5 4 6 9 1 4 3 8

5 o o o

o 8 o

Dec

CI) o 6 -- u 'Q)

-ª o 2

o

•

.... ro ...... ...... ....... E Q)

"'d V> n:I e (l) u (l) a

Millares

1 7

o o 9

5

V> (l) e o

;:=1 -- s (l)

'O .... e s.:: e .... n:I 'º 'º n:I .--; ...... 'º ...... ........ ...... ........ ...... ...... ........

'6 -- ...... . ...... -- 6 -- E E 6 (l) (l) (l) (l) 'O 'O (l) "O 'U

V> {/) "O {/) {/) Q) cd {/) (l) ro

"'d e ro "'d s.:: n:I Q) e ro Q)

'O +-' Q) "O ....,, ·a e u ....... e

Q) (l) e Q) :::::> u a :::::> u

4

........ ........ -- 6 (l)

'O CI) ro e (l) u (l) a

6 (l)

'O

Millones

1 Ejemplos

(l) "O

Orden .... n:I ...... ...... -- E (l)

'O {/) ro e (l) +-' e (l) u

Clase

11 ' l •

U) (l) U)

e (l)

o e ...... o ...... ........ -- ........ E --

Observa el siguiente diagrama y, con base en él, contesta las siguientes preguntas:

EJERCICIO 1 5

centenas una unidad de millar, etc.; a cada una de estas agrupaciones se les llama orden y al agrupamiento de tres cifras se le llama clase.

Álgebra

~


a) ¿Qué número representa el resultado?

b) Diseña otra multiplicación y resuélvela.

6. Observa la siguiente operación.

sat tri nava X dvi catur

dvi sapta asta eka catur catur septa tri

dvi eka tri nava tri

a) (sat, catur dvi) + (pañca, asta, nava)=

b) (tri, eka, sat) + (asta, tri, catur) + (sat, sat, nava)=

e) (nava, catur, tri, sat) - (dvi, sapta, pañca, tri)=

S. ¿Cómo resolverías las siguientes operaciones?

b) 70491 d) 932 f) 4126

a) 3 416 e) 46 306 e) 11407

4. Representa con el sistema oral hindú del siglo rv los siguientes numerales:

d) Doscientos diecinueve mil catorce millones cincuenta y cuatro mil veinticin- co enteros, diez milésimos

e) Ciento cuatro billones, treinta y tres mil cuatro millones dos mil quinientos nueve enteros, cinco centésimos

b) Cinco millones cien mil quince enteros, catorce milésimos

a) Diecisiete mil cuarenta y dos

3. Escribe con cifras el numeral descrito con palabras.

d) 54 691 043 897 300. 328

e) 104 500 800 211


e) 3X 10'+4X 102+3X 10+4X 10º+7X 10-1+4X 10'+3X 10-4=

b) s x J09+6x 10'+6x I02+5x l0+7x 10°+4x 10->+2x 10--0=

a) 5 X 106 + 7 X l 04 + l X 1 o> + 3 X lo + 7 X 10-2 + 2 X l o-f =

2. Escribe en forma condensada los siguientes numerales en forma desarrollada:

a) 17 320.0043 =

b) 200+078913.0120+ =

e) 5830125000017.00204065 =

d) 34650 000. 2 =

1. Escribe en forma desarrollada cada uno de los siguientes numerales:

EJERCICIO 1 6

La presentación de numerales en su forma desarrollada es un tema que se estudia desde la educación primaria, por lo que no lo desarrollaremos aquí, sólo te presen- taremos una serie de ejercicios para que lo recuerdes (si no es así, toma como ejemplos los desarrollos sobre el sistema de numeración babilonio).

Enteros Fracciones decimales

Potencias Notación Potencias Notación exponencial exponencial

l 1011 .l 10-1

10 101 .01 10-2

100 102 .001 10->

l 000 10' .000 l 10-4

10 000 104 . 00001 10-5

l 00 000 105 . 00000 l I0-6

1 000 000 1 o- .0000001 10- -

10 000 000 107 .00000001 10-b

100 000 000 10~ .000000001 10-9

l 000 000 000 109 .0000000001 10-10

lo 000 000 000 1010 .00000000001 10-11

... 1011 ... 1 o-r.

En la siguiente tabla indicamos las potencias más importantes de la base 10:

NOTACIÓN DESARROLLADA

Álgebra

~


¿Cómo resolverías esta operación?

Explica con tus palabras el algoritmo de multiplicar.

¿Cuál es el significado de pedir prestado en esta operación?

En la primaria se habla sobre procesos de sumas de llevar.

¿Cuál es el significado de llevar en esta operación?

3 X l 02 + 2 X 10 + 4 X l 0º } 3 X l 04 + 4 X l 03 + 5 X l 02 + 7 X l 0 + l X l 0º

324)34571

División:

7X 103+8X 102+4X 10+5X 10° X 3 X 10 + 7 X 10º

7 845 X 37

Multiplicación:

sx 104+6X I0'+8X 102 +IX 10° 4X 104+8X 10'+9X 102+6X 10+4X JOº

56 80] 48 964

En primaria al estudiar la resta se dice que cuando no se puede sustraer en una de las columnas se pide prestado una unidad al número que se encuentra a la izquierda.

Resta:

+

2 X ] 0 l + 3 X 102 + 1 X 10 + 4 X 1 Oº

3Xl01 +4Xl0+2Xl0º

+ 7 X 102 + 3 X 10 + 6 X 1 Oº

7XIO' +2XlOº

2 314

3 042

736

7 002

+

Suma:

Para nosotros es común, y hasta en cierta forma mecánico, resolver operaciones aritméticas como: suma, resta, multiplicación y división, y aplicarlas en situaciones cotidianas cuando así lo necesita. Pero, ¿sería posible explicar y hacer estas mismas operaciones si las cantidades se presentaran en su forma desarrollada?

Te presentamos aquí cuatro ejemplos de la forma que tomarían estas operaciones, trata de resolverlas con ayuda de otros dos compañeros y hagan una presentación ante su grupo:

PROYECTO DE TRABAJO GRUPAL


~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~~~~~~~~

a) ¿Cuántas figurillas quedaron sin agrupar?

b) ¿Cuántos grupos de cinco elementos existen?

e) ¿Cuántos grupos de cinco grupos de cinco elementos?

d) ¿Cuántos grupos de cinco grupos de cinco grupos de cinco elementos existen?

e) Al utilizar estos datos indica, ¿cuántos elementos hay en total en el conjunto?

f) ¿Qué base de agrupación se utiliza?

2. Repite la actividad utilizando como base de agrupamiento el número 3.

Contesta las siguientes preguntas:

~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~~~~~~~~

Para explicar mejor los sistemas de numeración con diferentes bases, nos ayudare- mos de los siguientes ejemplos:

1. Agrupa de cinco en cinco los elementos del siguiente conjunto. Considera que cinco grupos de cinco forman un nuevo grupo y así sucesivamente.

2.4 SISTEMAS DE NUMERACIÓN CON DIFERENTES BASES

Álgebra

~


fichas amarillas.

fichas amarillas. --------

fichas amarillas. --------

fichas amarillas. -------- Ier. jugador:

2o. jugador:

3er jugador:

4o. jugador:

Indica cuántas fichas amarillas tiene cada jugador:

1 ficha negra, 3 blancas, 2 verdes y 3 amarillas.

3 blancas, 3 verdes, 2 azules y 2 amarillas.

2 fichas negras, 2 verdes y 2 amarillas.

3 fichas azules y 311 fichas amarillas.

l er. jugador:

? . d co. juga or:

3er. jugador:

4o. jugador:

Al finalizar un juego los cuatro participantes quedaron con las siguientes fichas:

1 ficha negra = 4 fichas blancas 4 fichas azules = 1 ficha blanca

4 fichas verdes = l ficha azul 4 fichas amarillas = 1 ficha verde

3. En un juego de mesa hay fichas de cinco colores que se utilizan como moneda con la siguiente relación de cambio:

e) ¿Cuántos grupos de tres grupos de tres grupos de tres grupos de tres elementos?

f) Escribe el número de grupos que se formaron.

a) ¿Cuántas figurillas quedaron sin agrupar?

b) ¿Cuántos grupos de tres elementos?

e) ¿Cuántos grupos de tres grupos de tres elementos?

d) ¿Cuántos grupos de tres grupos de tres grupos de tres elementos?

Contesta las siguientes preguntas:


46 3 = 111 001 1112

.. de la 0·1recoon 2 ~base · escritura c0•'

Residuos menores que el divisor.

Lam· itad entera de 4 es2

La mit~d Q entera de 6 es3

La · mitad ente 3 re de es 1Ysobra1.

463 1

231 ,,.,,,.,- l

115 1

57 1

28 l

14 o ~ o I

3 1

1 1

111\"ltades enteras · s del sucesiva

número.

Otro método que podemos seguir cuando la base sea menor que 10, es parecido al de la tabla de factorización que utilizábamos en la primaria para simplificar el mé- todo de divisiones sucesivas, pensando en que el divisor siempre es el mismo y lo que nos interesa son los residuos menores que el divisor:

463 = 1110011112

Al igual que en el sistema decimal, acomodamos nuestras cifras en orden decreciente de las potencias de 2 de izquierda a derecha (empezamos por el último cociente menor que dos y terminamos con el primer residuo).

l 2)3

1

3 2)7

l

7 2)14

o

14 2)28

08 o

28 2)57 17 l

57 2) 115

15 l 11

1

115 2) 231

03

231 2)463

06 03

l

Para convertir números del sistema decimal a otra base puedes recurrir al algoritmo que ya utilizamos de divisiones sucesivas. por ejemplo:

Expresar con base 2 el número 463:

Las cifras que usarás serán O, 1, ya que incluir el número 2 significaría un grupo de dos unidades.

CONVERSIÓN DE UN NÚMERO DECIMAL A OTRA BASE

¿En qué se parecen a nuestro sistema decimal de numeración?

¿Cuáles son las características comunes en estas formas de agrupar?

En los dos ejemplos se utilizan diferentes bases de agrupamiento. ¿Cuáles fueron?

¿Quién ganó el juego?

Álgebra

lc:-1 Grupo Editonal Patria ~

El procedimiento que se utiliza ya lo vimos en la conversión de numerales babilonios y mayas a sistema decimal, veamos otros ejemplos de aplicación con otras bases.

CONVERSIÓN A DECIMAL DE UN NÚMERO CON OTRA BASE

2 671 = A6FHEX

10 16 fl66

06

166 16) 2 671

1 07 111

15

Expresa con base 16 el número 2 671.

Ejemplo

El más común es el sistema hexadecimal (o base 16).

Y es más conveniente utilizar el método de las divisiones sucesivas para la conver- sión de números.

A= 10; B = 11; C = 12; O= 13; E= 14; F = 15; etcétera.

Cuando la base es mayor que 10 las cifras mayores que nueve se representan con una letra mayúscula:

Octavas partes enteras 3 457 del número.

La octava parte entera 432 1 Residuos m enores de 34 es 4 y sobran 2. que el divisor. La octava parte entera 54 o de 25 es 3 y sobra 1.

6 6 La octava parte entera de 17 es 2 y sobra 1. 3 457 = 6 6 O 18

Expresa con base 8 el número 3 457.

Las cifras que se utilizan en esta base son: O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

En el caso de la escritura de un número con base diferente a 10, siempre es conveniente indicar la base como subíndice del numeral.


21DB1HEX = 138 673 138 673

2 X 164 - 2 X 65 536 - 131 072 - -

1 X 163 - 1 X 4 096 - 4 096 - -

13 X 162 - 13 X 256 - 3 328 - -

11 X 16 - 11X16 - 176 - -

1 X 16º - 1 X 1 - 1

Indica la forma decimal de 21DBlHEx.

La base de agrupamiento es 16 y las letras D = 13 y B = 1 L

2 582

40 312, = 2 582

4 X 54 = 4 X 625 = 2 500 0X53=0Xl25= o

+o 3125 = 3 X 52 = 3 X 25 = 75 l X 5º = l X 5 = 5 2 X 5º = 2 X l = 2

¿Cuál es la equivalencia decimal de 403125'

La base de agrupamiento es 5, por lo que ahora utilizarás las potencias de esta base para encontrar su equivalencia decimal.

l 1o1 1o12 = 64 + 3 2 + o + 8 + 4 + o + 1

11011012 = 109

La equivalencia decimal del número es la suma de cada uno de estos productos por columnas:

1

1 2

o 4

1

8 1

16 o

32 1

64 1

Desarrollando cada una de estas potencias:

1 2º 2

o 1 1 o 1 1 2' 2s

Expresa en forma decimal el número 11011012.

El número se expresa en base 2, por lo que cada posición es una potencia creciente de la base, así:

Ejemplos

Álgebra

~


ID53HEX

exagesimal -

Quinario H

......

- --

4235

IL

Este tema tiene la finalidad de ampliar la comprensión que tienes sobre los algoritmos de las cuatro primeras operaciones aritméticas en sistema decimal aplicándo- las a otras bases. En páginas anteriores, ya tuviste la oportunidad de discutir con tus compañeros los algoritmos de estas cuatro operaciones con base 10, aplica ahora esta experiencia a otras bases.

2.5 OPERACIONES CON OTRAS BASES

1024

Romano Babilonio Egipcio =~~=

Decimal Maya

• •• •

IVDCLXIV

4. Completa la tabla de comparación.

3. Para poder distribuir un producto de manejo delicado, los empleados del depar- tamento de empaque tienen que embolsar cinco artículos en bolsa; meter cinco bolsas en caja chica, cinco cajas chicas en caja grande, y lo más que pueden tener apiladas son cinco cajas grandes. Si uno de los lotes de producción fue de 12 324 artículos, ¿cómo quedarán empacados para su manejo y distribución'

a) 321467 =

b) 111011012=

e) 9A4BHr.x =

d) 321022~=

a) 9 315 en hexadecimal.

b) 2 361 con base 5.

e) 12341 con base 8.

d) 847 con base 2.

2. Expresa en forma decimal las siguientes cantidades, tomando en cuenta la base en la que están escritas.

, numeros. 1. Señala la equivalencia con la base indicada para cada uno de los siguientes

EJERCICIO 1 7


22 320134 320134

+ 120224 + 12 0224 Resultado de 1 f) segu d a o ltado directo 233104 23 3104

n a columna Resu

de la primera 300234 300234 / columna. -- -- 84 804

2 l 320134 32o134 Resultado de la o

9 ltado de la + 120224 + 12 0224 cuarta co/ Resu umna. urnna. tercera col

23 3104 233104 ....... / 300234 30 0234

5004 81004

0

Ejemplo

f) Repite este proceso con cada una de las columnas que quedan en la opera- ción, y compara el resultado que obtengas con el propuesto en las operaciones dadas.

c. 125 b. a.

e) ¿Cómo se escribe este resultado en cada una de las bases'

c.

d) Considerando las unidades que se formaron en la primera columna, ¿cuál es el resultado de la segunda suma?

a. 3 +O= 03 b.

16 c. b. a.

e) ¿Cuál es el resultado directo de la segunda columna en cada suma?

c. 7 = 125 b. a.

b) ¿Cómo se escribe ese resultado en cada una de las bases? c.------- b. -- ª·--

2. Contesta las preguntas. Las columnas se numeran de derecha a izquierda.

a) En la columna de unidades simples, ¿cuál es la suma directa en las tres sumas?

Suma

1. Observa las siguientes sumas.

A B c 110112 24015 3 6718

+ l 1102 + 1 3425 + 24578 1o1102 42245 l 3468

1111112 20 0225 77168

Ejemplo

Álgebra

~

Grupo Editonal Patna ~

Utiliza el espacio al margen de tu libro para explicar con tus palabras

el proceso que se sigue.

( 13)HEX

8 A 6 (20)HEX

- 5 D B 7 HEX

8A74HEX

- 5 D B 7HEX

o Resumen de estas ideas en un ejemplo más:

Ejemplo

f) Repite este proceso con cada una de las columnas que quedan en la operación y compara el resultado que obtengas con el propuesto en la operación dada.

e) ¿Cuál fue su resultado?

d) Considerando el procedimiento seguido en la resta de la primera columna, comprueba la resta que se realizó en la segunda columna.

e) ¿Cuál es el resultado de la resta de la primera columna?

b) Considerando la base con la cual se trabaja, ¿a cuánto equivale el "préstamo" de una unidad de una columna a otra menor?

2. Contesta las preguntas. Las columnas se numeran de derecha a izquierda.

a) En la columna de unidades simples, ¿por qué no se puede restar de manera directa?

5 2 4 3 26 - 3 4 3 4 56

14 o 4 36

1. Observa la siguiente resta

Resta

EJERCICIO 1 8

(11)01004

32013.,

+ 120224

233104 300234

2 32 0134

+ 120224

233104

30 023 4

l•ado de la Resú" a . ta co\umn . qu1n


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Unidad 1. Conjuntos