Unidad 1 - Lección 1.1

Introducción a Límites

29/08/2017 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 20

Actividades 1.1

• Referencia del Texto:

– Capítulo 10. Sección 10.1. Ejercicios asignados:

1-6 ;9-20, 21-34,37, 39

• Referencias del Web:

– Math2me

• Concepto intuitivo de límite

• Posibles resultados de un límite

• Límites de una función constante

• Límites de una función constante│ej 1

• Límites algebraicos

• Límites algebraicos│ejercicio 1

• Límites indeterminados│ejercicios 1 y 2

• Límites indeterminados│ejercicios 3 y 4

– Khan Academy –

• Introducción a los Límites

• Estimación de Límites mediante gráficas

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¿Qué es un límite?

• Considere una función f

• Cuando tomamos valores de x cercanos a

un valor “a”, … , ¿qué pasa con los valores

correspondientes de f(x)?

?)(lim

xfax

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Definición (intuitiva) del Límite

• El límite de una función f en x es igual a un valor L mientras x

se acerca a un valor a, si y sólo si los valores correspondientes

de la función en x se acercan al valor de L.

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El límite de f mientras que x toma valores

menores o “por la izquierda” existe y es L

El límite de f mientras que x toma valores

mayores o “por la derecha” existe y es L

Lxfax

)(lim

Lxfax

)(lim Lxfax

)(lim

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Ejemplo 1

H (x) 2x 2 for x 1

2x 4 for x 1

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lim𝑥→1−

𝐻 𝑥 =¿ 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒?

0 0.5 0.8 0.9 0.99 0.999

H(x) 2 3 3.6 3.8 3.98 3.998

1xlim𝑥→1−

𝐻 𝑥 ≈ 4

lim𝑥→1+

𝐻 𝑥 =¿ 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒?

2 1.8 1.1 1.01 1.001 1.0001

H(x) 0 –0.4 –1.8 –1.98 –1.998 –1.9998

lim𝑥→1+

𝐻 𝑥 ≈ −2

lim𝑥→1

𝐻 𝑥 =¿ 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒?

1x

lim𝑥→1

𝐻 𝑥 = 𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒

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Ejemplo 2

Si 𝑓 𝑥 =𝑥+3

𝑥2+7𝑥+12calcule 𝑓(−3)

• Solución

• 𝑓(−3) no existe. La función no está definida en -3

Elabore una tabla de valores para determinar si el límite

existe. En el evento que si, aproxímelo.

• Solución:

• Observe:

– El límite mientras x se acerca a -3 existe

– El límite mientras x se acerca a -3 es aproximadamente 1

– El límite en un valor 𝑎 puede existir a pesar que 𝑓(𝑎) no exista

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lim𝑥→−3

𝑥 + 3

𝑥2 + 7𝑥 + 12

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Ejemplo 3 (Uso de gráficas)

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lim𝑥→1−

𝐻 𝑥 ≈ 4

lim𝑥→1+

𝐻 𝑥 ≈ −2

lim𝑥→1

𝐻 𝑥 = 𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒

H (x) 2x 2 for x 1

2x 4 for x 1

GRAPH

http://www.padowan.dk/download/

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Ejemplo 4

4)(lim3

xHx

4)(lim3

xHx

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H (x) 2x 2 for x 1

2x 4 for x 1

lim𝑥→−3

𝐻 𝑥 =¿ 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒?

4)(lim3

xHx

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Ejemplo 5

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lim𝑥→𝟑

1

𝑥 − 2+ 3 = ?

lim𝑥→3−

1

𝑥 − 2+ 3 ≈ 4 lim

𝑥→3+

1

𝑥 − 2+ 3 ≈ 4

lim𝑥→𝟑

1

𝑥 − 2+ 3 ≈ 4

lim𝑥→𝟐

1

𝑥 − 2+ 3 = ?

limx2

f (x) limx2

f (x)

lim𝑥→𝟐

1

𝑥 − 2+ 3 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒

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Propiedades de Límites

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limxcax n ac n

limxc

f (x) g(x) limxcf (x) lim

xcg(x)

)()()()( limlimlim xgxfxgxfcxcxcx

limxc

f (x) n (lim

xcf (x))n

limxc

f (x)n limxcf (x)n

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Calculando límites sustituyendo

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lim𝑥→3

3𝑥4 − 𝑥3 − 5𝑥 + 10

= 3(3)4 − 3 3 − 5(3) + 10

= 211

lim𝑥→−2

2𝑥 + 1 5 = 2(−2) + 1 5

= −243

lim𝑥→2

43𝑥4 + 5𝑥2 + 13 814

3

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• Ejemplos:

Límite del cociente de funciones

)(lim

)(lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xf

cx

cx

cx

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0)(lim

xgcx

4

13lim

2

2

x

xx

x

9

6

3

2

4lim

13lim

2

2

2

x

xx

x

x

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Límite del cociente de funciones

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0127lim 2

3

xx

x

127

6lim

2

2

3

xx

xx

x?

127lim

6lim

2

3

2

3

xx

xx

x

x

¡NO! …. Por que el …

• Es

¿Existe?

Aparentemente SI y es

aproximadamente …

5127

6lim

2

2

3

xx

xx

x

GRAPH

http://www.padowan.dk/download/

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Calculando límites algebraicamente

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Calcule:

Trate de simplificar la expresión factorizando

4

2lim

3

x

x

x

4lim

2lim

3

3

x

x

x

x

5

15

43

23lim

3

xx

xx

x127

6lim

2

2

3

xx

xx

x

Calcule:lim𝑥→3

2𝑥2 − 5𝑥 − 3

𝑥 − 3= lim

𝑥→3

(𝑥 − 3)(2𝑥 + 1)

(𝑥 − 3)

= lim𝑥→3

(2𝑥 + 1)

= 2 3 + 1 = 7

Si f y g son dos funciones tal que f(x) = g(x), para todo valor de 𝑥 ≠ 𝑎,

entonces lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 = lim𝑥→𝑎

𝑔 𝑥

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Ejemplo 6

Calcule

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43

4lim

2

2

1

xx

xx

x )1)(4(

)4(lim

1

xx

xx

x 1lim

1

x

x

x

¡No existe!

Cuando esto ocurre,

analice la gráfica de la

función alrededor del

valor de interés para ver

si existe o no.

Si ve que no existe,

indíquelo así. De lo

contrario, para necesitará

otras estrategias para

calcularlo.

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Ejercicios de Clase

• Si existe, determine los siguientes límites:

• Si existe, aproxime los siguientes límites

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lim𝑥→−4

𝑥2 − 2𝑥 − 3

3 − 𝑥lim𝑥→−4

2𝑥 − 4

𝑥2 − 𝑥 − 2

lim𝑥→3

𝑥2 − 2𝑥 − 3

3 − 𝑥lim𝑥→2

2𝑥 − 4

𝑥2 − 𝑥 − 2

lim𝑥→1

𝑓(𝑥)

lim𝑥→0−

𝑓(𝑥)

lim𝑥→0+

𝑓(𝑥)

lim𝑥→0

𝑓(𝑥)

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Ejemplo 7

•

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𝑆𝑖 𝑓 𝑥 =

𝑥 − 22𝑥

2𝑥 − 4, 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 lim

𝑥→2𝑓(𝑥) 𝑠𝑖 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒. 𝑆𝑖 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑑í𝑞𝑢𝑒𝑙𝑜 𝑎𝑠í.

𝑥 − 22𝑥

2𝑥 − 4=𝑥 − 2

2𝑥÷ (2𝑥 − 4) =

𝑥 − 2

2𝑥×

1

2𝑥 − 4

=𝑥 − 2

2𝑥×

1

2(𝑥 − 2)

=1

4𝑥

lim𝑥→2

𝑥 − 22𝑥

2𝑥 − 4= lim

𝑥→2

1

4𝑥=1

8

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Resumen• Para calcular límite de una función en un valor 𝑎 :

1. Si la función es continua en 𝑎 calcule el valor de la función en 𝑎sustituyendo. Esto es, 𝑓(𝑎) .

2. Si es un cociente de dos funciones 𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)tal que 𝑔 𝑎 = 0

manipule algebraicamente la expresión de manera que elimine el

factor que hace 𝑔 𝑎 = 0 . Trate:

– Factorizando el numerador y el denominador. Luego, simplificando.

– Multiplicando el numerador y denominador para eliminar el valor

indeseado.

3. Si no funciona, coteje si el límite existe.

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)(lim xfax

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Ejercicios del Texto

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Ejercicios del Texto …

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