MATEMÁTICA FUNDAMENTALMaterial elaborado por la profesora: María Eugenia Martínez G.

Unidad 1: INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA

1.1 LÓGICA PROPOSICIONAL

CONTENIDO:

1. Matemáticas, Lógica y demostración2. Proposiciones y argumentos3. El lenguaje de la lógica proposicional4. Conectivos lógicos y tablas de verdad5. Tautologías

5.1 Equivalencias importantes del cálculo proposicional.6. Proposiciones abiertas

6.1 Cuantificadores6.2 Negación de Cuantificadores

7. Conjuntos7.1. Definición de conjuntos7.2. Operaciones entre conjuntos y cálculo proposicional

8. Los Conjuntos Numéricos

1. 1Matemáticas, Lógica y demostración

Como toda ciencia ya constituida y en desarrollo, la matemática tiene sus conceptos básicos relativamente bien cimentados. Estos conceptos son: Conjunto, Función, Número, Estructura. Los demás conceptos tienen sus raíces en estas ideas básicas en un sentido que será explicado a lo largo de los diferentes cursos de matemáticas. Estos conceptos y las múltiples relaciones entre ellos constituyen los objetos propios de la matemática. Las afirmaciones anteriores no contradicen la opinión de aquellos filósofos que afirman que los últimos fundamentos de los conceptos matemáticos están en la experiencia. Compartimos esta opinión, entendiendo el concepto filosófico de experiencia en su sentido amplio que rebasa los moldes positivistas.

Estos objetos matemáticos tienen tras de sí una historia relativamente larga. Los números fueron creados por los hombres que vivieron en las culturas agrarias del medio oriente, sobre todo las culturas babilónicas y egipcias y por los griegos. Pero la estructura completa de los sistemas numéricos sólo es creada en la segunda mitad del siglo XIX. Los conjuntos, como objetos matemáticos plenamente identificados, fueron creados por G. Cantor hacia 1870. El concepto de función aparece en la cultura europea con los trabajos de Galileo sobre el movimiento acelerado de los cuerpos en el siglo XVI. Los objetos matemáticos no son, pues, objetos naturales. Son creaciones del hombre, son los resultados de experiencias complejas de la humanidad en el proceso de su desarrollo histórico y cultural.

1 Este texto es original del libro “Matemáticas Fundamentales” del profesor Guillermo Restrepo

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¿En qué se diferencian los objetos matemáticos de otros objetos o entes creados también por la imaginación del hombre tales como las sirenas, los pegasos y las quimeras? . En algo relativamente simple y fundamental: los objetos matemáticos son entes de razón. Es decir, entre ellos y los enunciados matemáticos en general existen vínculos racionales necesarios. El vínculo racional fundamental entre los enunciados matemáticos es la demostración. Si un enunciado matemático es verdadero y se relaciona con el enunciado por medio de una demostración lógicamente correcta, entonces también es verdadero.

La demostración siempre ha sido un elemento esencial de las matemáticas. Durante mucho tiempo la matemática se distinguió de otras ciencias precisamente por su carácter deductivo o demostrativo. Es la ciencia que exige que los enunciados sean demostrados mediante razonamientos lógicos, a diferencia de las ciencias empíricas que exigen la comprobación, la falsación de hipótesis y el experimento para validar lo que se cree verdadero. Pero el concepto de demostración ha variado a lo largo de la historia, aunque no substancialmente. En lo fundamental, es el mismo concepto de demostración de los tiempos de Euclides. Pero en la actualidad los procesos demostrativos se han estudiado a fondo y se conocen mejor. Quizás lo que ha variado es el rigor de las demostraciones.

Si se le pregunta a un matemático de hoy, qué es una demostración rigurosa muy seguramente se sentirá incómodo y no sabría responder a ciencia cierta. Quizás ha sido David Hilbert quien mejor ha comprendido la idea moderna de rigor en las demostraciones. En su obra “Grunlangen de Geometrie” (Fundamentos de la Geometría) escrita en 1899 sentó las bases de una fundamentación rigurosa de la Geometría elemental. En esta obra cada término tiene un significado preciso y único, las relaciones primarias entre los objetos (puntos, líneas y plano) se establecen claramente mediante una serie de axiomas que son expresados sin ambigüedades y los teoremas se deducen “rigurosamente” de los axiomas y de las definiciones mediante los procedimientos lógicos perfectamente claros. Los conceptos de Hilbert sobre rigor matemático en las demostraciones son los que aún se aceptan en nuestros días.

La lógica matemática, lógica a secas, se ocupa de los procesos demostrativos. Su función es delimitar los procesos deductivos válidos, los procesos deductivos aceptables dentro de la cultura moderna. Son éstos los procesos que estudiaremos en esta primera parte del curso.

La matemática como toda ciencia, se ocupa fundamentalmente de los enunciados verdaderos. El concepto general de “verdad” y de “enunciado verdadero” es complicado filosóficamente hablando. Pero en matemáticas es relativamente simple: son verdaderos los axiomas y los enunciados demostrables a partir de los axiomas. En cuanto al fundamento último de la veracidad de los axiomas, el asunto se complica nuevamente pues escapa a los criterios de la demostración. Un enunciado es falso si su negación es verdadera. Por tanto existen tantos enunciados falsos como los hay verdaderos.

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Una teoría matemática es una colección de enunciados sobre ciertos objetos matemáticos y ciertas relaciones entre estos objetos. Una teoría matemática consta de:

Unos enunciados iniciales que se admiten como verdaderos sin la mediación de una demostración llamados axiomas de la teoría.

Unos términos cuyo significado se precisa por medio de ciertos enunciados llamados definiciones.

Unos enunciados que se demuestran llamados teoremas. Unos signos especiales para denotar objetos matemáticos y

relaciones de la teoría y letras

En toda teoría matemática está presente, además, la lógica. Pero la lógica es algo externo a la matemática y a toda ciencia en general.

La lógica matemática también se llama Lógica formal porque no se ocupa del contenido o significado de los enunciados sino de las relaciones más generales de veracidad entre ellos. Los enunciados verdaderos de la lógica se suelen llamar principios lógicos. Toda teoría matemática y toda teoría científica en general presuponen estos principios. Son ellos los que garantizan la coherencia lógico racional del discurso científico y del discurso filosófico.

2. Proposiciones y Argumentos

ProposiciónUna proposición es una frase declarativa que puede ser afirmada o negada. Las proposiciones se representan con letras minúsculas como Por ejemplo:

La capital de Venezuela es Caracas. 9 es múltiplo de 3. Todos los perros tienen dos colas Todo numero par mayor que dos se puede expresar como la suma

de dos números pares.

A estas proposiciones les llamamos proposiciones simples o proposiciones atómicas. La proposición cuyo valor de verdad sigue sin establecerse se denomina conjetura . Esta en particular se conoce como la Conjetura de Goldbach.

No son proposiciones: ¿Qué hora es? ¡Qué lindo!! El número La silla

Pues no pueden ser verdaderas ni falsas.

Debemos hacer claridad en que, una proposición puede ser representada por diferentes enunciados: “Pedro gano las elecciones”, “las elecciones fueron ganadas por Pedro” y “Pedro won the elecctions” son tres frases

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diferentes que representan la misma proposición. La proposición es lo afirmado por la frase y no depende de la gramática ni del idioma en que se exprese.

Las frases declarativas pueden ser proposiciones compuestas. Por ejemplo, “A Carolina le gusta trabajar pero no le gusta estudiar” está formado por dos proposiciones: “A Carolina le gusta trabajar” y “A Carolina no le gusta estudiar” unidas con la conjunción adversita “pero”. En términos de valor de verdad, significa que cada una de las dos afirmaciones es verdadera. Otra forma de proposición compuesta se forma con la disyunción “o” : “Josefina sabe Inglés o Alemán” . En este caso nada se afirma por separado sobre la proposición “Josefina sabe Inglés” y tampoco sobre la proposición, “Josefina sabe alemán” lo que se afirma es que por lo menos una de estas proposiciones es verdadera. Un tercer caso de proposición compuesta es aquella en la cual tenemos una frase condicional “si … entonces …..” . “Si usted saca mínimo 3.0 entonces gana el examen” la expresión no afirma que una de las dos proposiciones es verdadera, es decir, no afirma que “usted saca tres mínimo” ni que “usted gana el examen”. Lo que afirma es una relación de dependencia entre las dos: si sucede la primera, entonces sucede la segunda: es un enunciado condicional.

Argumento o Razonamiento

Un argumento es una colección de proposiciones, tal que, por lo menos una de ellas, llamada conclusión, se deriva de otras que se denominan premisas. Las cuales respaldan la veracidad de la conclusión. Un argumento puede ser:

1. “Todos los hombres son mortales. Sócrates es hombre. Por tanto Sócrates es mortal”. Aquí las premisas son las dos primeras proposiciones y la conclusión la última proposición.

2. “Puesto que los perros son cuadrúpedos y todos los cuadrúpedos son se alimentan de carne, entonces los perros se alimentan de carne”. Las premisas son las que están antes de la palabra entonces que es un indicador de conclusión.

3. “No le doy descuento, porque no compró más de 10 unidades”. En este caso, hay una premisa que no está escrita en el texto pero que es necesaria para concluir que no le da descuento, que es la conclusión. A este tipo de premisa se le llama premisa implícita. En este caso la premisa implícita es “Le doy descuento si compra más de 10 unidades”.

Estas son algunas expresiones que nos indican la conclusión dentro de un argumento: en consecuencia, luego, por esto, por lo anterior, por esta razón, por lo tanto, entre otras.

Expresiones que preceden a las premisas dentro de un argumento pueden ser: dado que, como, porque, la razón es que, puede concluirse de , entre otras.

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3. El lenguaje de la lógica proposicional

El lenguaje de la lógica proposicional está conformado por los signos que aparecen a continuación: Símbolo Nombre Uso en castellano

Paréntesis izquierdoParéntesis derechoNegación noDisyunción oConjunción yCondicional Si…entonces…Bicondicional Si y solo siCuantificador universal Para todo

Cuantificador existencial

existe

Símbolos proposicionales

4. Conectivos lógicos y tablas de verdad

Las palabras o letras que se emplean en el lenguaje corriente para conectar o ligar dos proposiciones simples los denominamos términos de enlace o conectores. En matemática, estos conectores generan proposiciones compuestas llamadas, negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional, como ya lo mencionamos anteriormente.

La negación: Supongamos que tenemos la proposición simple: Adriana es economista entonces; “Adriana no es economista” o “es falso que Adriana sea economista” son formas de negar la proposición inicial la cual la representaremos así: . El valor de verdad de la negación lo mostramos en la tabla siguiente:

v f

f v

La conjunción: Consideremos las siguientes proposiciones:

3 es un numero impar 12 es divisible por 4

La conjunción se forma así:

3 es un numero impar y 12 es divisible por 4

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El valor de verdad de la conjunción se muestra en la siguiente tabla de verdad:

De lo anterior podemos concluir que la conjunción solo es verdadera cuando las dos proposiciones simples, son verdaderas.

La disyunción: Sean las proposiciones:

Juan estudia idiomas Juan estudia matemáticasentonces la disyunción se forma así:

: Juan estudia idiomas o matemáticas.En el lenguaje natural la disyunción tiene dos usos. Uno que es el “o” inclusivo que se interpreta como lo uno o lo otro o ambos como por ejemplo, Juan puede estudiar idiomas o matemáticas o ambas. El otro es el “o” exclusivo que se interpreta como lo uno o lo otro pero no ambos, por ejemplo, hoy es lunes o martes pero no es posible los dos acontecimientos al tiempo.

El valor de verdad de la disyunción se muestra en la tabla siguiente

Como vemos en la tabla de verdad, la disyunción es falsa cuando ambas proposiciones son falsas en caso contrario es verdadera.

La negación de la conjunción y la disyunción con frecuencia causa dificultades a los estudiantes por tal motivo, haremos una observación al respecto. Consideremos dos proposiciones:

Juanita es más alta y bonita que Alicia Mauricio perdió matemáticas o lógica

¿Cómo podremos negar la veracidad de tales afirmaciones? Las negamos así:

Juanita no es más alta que Alicia o Juanita no es más bonita que Alicia Mauricio no perdió matemáticas ni lógica.

Estas frases negadas se pueden representar simbólicamente así:

v v vv f ff v ff f f

p

v v vv f vf v vf f f

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El símbolo significa que las proposiciones compuestas son equivalentes, es decir, tienen los mismos valores de verdad.

El condicional: Si y representan las proposiciones atómicas: : Me levanto temprano y : Llego a tiempo a la clase entonces el condicional queda así: Si me levanto temprano entonces llego a tiempo a la clase.

Esta frase condicional se puede expresar en el lenguaje natural de varias maneras:

Si me levanto temprano entonces llego a tiempo a la clase. Me levanto temprano sólo si llego a tiempo a clase Llego a tiempo a clase si me levanto temprano Es necesario que llegue a tiempo a clase para que me levantara

temprano. Es suficiente que me levante temprano para que llegue a tiempo a la

clase. No es posible que me levante temprano y no llegue a tiempo a la

clase.

En una frase del tipo condicional podemos identificar a la proposición que acompaña al “si” como el antecedente y la proposición que le sigue al “entonces” se llama el consecuente. Por ejemplo, la frase: “Si hoy es viernes entonces mañana es sábado” es una frase condicional el la cual es antecedente es “hoy es viernes” y el consecuente es “mañana es sábado”

Debemos tener claridad sobre algo muy importante: el condicional nada afirma sobre la verdad del antecedente o del consecuente por separado; afirma que si el antecedente es verdadero, el consecuente también lo es. Es decir, afirma que no es posible que el antecedente sea verdadero y simultáneamente el consecuente sea falso. Lo anterior se expresa así:

El valor de verdad del condicional lo mostramos en la siguiente tabla:

El bicondicional: Sean las proposiciones y entonces la frase bicondicional es sí y sólo sí . Muchos teoremas propios de la matemática tienen la forma de un bicondicional como el anterior.

p

v v vv f ff v vf f v

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La tabla de verdad del bicondicional es la siguiente:

El bicondicional sólo es verdadero cuando las proposiciones implicadas tienen el mismo valor de verdad.

Un ejemplo de una frase bicondicional muy usada es la siguiente:

sí y sólo sí

5. Tautologías

Los valores de verdad de proposiciones que tienen las formas que mencionamos como y otras que se originan de la combinación de ellas, se pueden deducir a partir de los valores de verdad de las proposiciones que las componen mediante tablas de verdad y mediante dos métodos como son el directo y el indirecto que lo explicaremos más adelante. Cuando los valores de verdad de una expresión proposicional son siempre verdaderos, independientemente de los valores de verdad de las proposiciones componentes, se dice que ésta es una tautología. Si por el contrario los valores de verdad son siempre falsos decimos que es una contradicción. Son ejemplos de tautología y de contradicción respectivamente: y ¿por qué?

Decimos que dos formas proposicionales son equivalentes cuando ligadas por un bicondicional definen una tautología. En lugar de escribir el símbolo del bicondicional escribiremos . Son proposiciones equivalentes:

y por ejemplo, como ya lo vimos anteriormente.

Una equivalencia importantísima y de gran utilidad en matemáticas es la que se da entre la implicación y la implicación que se llama la contrarrecíproca. Podemos mostrar que . A la proposición

se le denomina la recíproca de . Es importantísimo tener claridad en el hecho de que y no son equivalentes.

5.1 Equivalencias importantes del cálculo proposicional

Vamos a convenir que una fórmula es aquella que se obtiene de la combinación de proposiciones. Pero, una proposición simple también es una fórmula. Por ejemplo, es una fórmula, pero también lo es

y así sucesivamente, llamaremos fórmulas a aquellas formadas por proposiciones en las cuales tenemos claro si se trata de un

p

v v vv f ff v ff f v

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condicional o una disyunción o una conjunción o negación. Por ejemplo, la fórmula anterior es un condicional en el cual el antecedente es y el consecuente es . Vamos a denotar las fórmulas con letras mayúsculas. Por ejemplo, sea la fórmula en la cual vemos claramente la negación de una conjunción. Como lo mencionamos anteriormente, hay fórmulas que son equivalentes, vamos a mencionar algunas que nos serán de gran utilidad durante el desarrollo de la asignatura ya que nos permitirán tener la opción de usarlas para realizar algunas demostraciones. Aquí mostraremos las más importantes:

Las conmutativas

Ley del tercio excluido Ley de la contradicción Leyes de Identidad

Leyes de dominación

Leyes de Idempotencia

Ley de la doble negación Leyes Asociativas

Leyes distributivas

Ley de la contra recíproca Leyes de Demorgan

Definición del condicional

Por ejemplo, podemos utilizar estas equivalencias para probar que así:

………… definición del condicional ……… Demorgan ………….. Doble negación

6. Proposiciones Abiertas

Hay frases muy usuales en matemáticas que son proposiciones a las cuales no se les puede asignar un valor de verdad único porque contienen una variable que sirven para representar cualquier número de un conjunto numérico determinado llamado dominio de la variable, por ejemplo “ es un número par” o “ ” o “Si y son números pares entonces es un número par”. A este tipo de proposiciones las llamaremos proposiciones abiertas.

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Vamos a denotar las proposiciones abiertas de la siguiente manera:

es un número primo

Una propiedad importante de las proposiciones abiertas es que al sustituir las variables por números arbitrarios en su dominio se obtienen proposiciones verdaderas o falsas. Por ejemplo, la proposición “ ” se hace verdadera si y pero si y .

6.1 Cuantificadores

Las proposiciones abiertas generan verdaderas proposiciones no sólo por reemplazamiento de variables por valores numéricos en su dominio, sino combinados con los llamados cuantificadores. En el lenguaje matemático son comunes frases como estas:

1. Para todo número real , 2. Existe un real tal que 3. Para todo complejo existe otro complejo y tal que

El cuantificador “para todo” se llama universal y se denota con el símbolo . El cuantificador “existe un” se llama existencial y se denota con el símbolo

. Utilizando estos cuantificadores, las frases anteriores se pueden simbolizar así:

1.

2.3.

6.2 Negación de Cuantificadores

Supongamos una frase como: “Todos ganaron el examen” se niega de la siguiente manera: “No todos ganaron el examen” o mejor aún “Alguien no ganó el examen”, así por ejemplo, la negación de la proposición 1. es

Podemos establecer la negación del cuantificador universal así:

Una frase con un cuantificador existencial como “Existe un primo par” se niega así: “Todos los primos son impares” o “Todos los primos no son pares”, así por ejemplo, la proposición 2. se niega así: . Podemos establecer la negación del cuantificador existencial así:

La negación de la proposición 3. es:

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7. Conjuntos

7.1 Definición de Conjunto

Partimos de la noción intuitiva de conjunto, que lo define como una “colección de objetos”. Los conjuntos se definen por extensión cuando hacemos una lista de sus elementos y por comprensión mediante el enunciado de una propiedad común a todos sus elementos. Así, por ejemplo el conjunto está escrito por extensión mientras que por comprensión será La expresión se lee “ pertenece a ” o “ es un elemento de ”. La expresión se lee “ está contenido en ” lo cual significa que todo elemento de es elemento de . Se dice también que es un subconjunto de . Dos conjuntos y se dice que son iguales si están constituidos por los mismos elementos, es decir, si y .

7.2 Operaciones entre conjuntos

Las operaciones entre conjuntos permiten generar nuevos conjuntos a partir de conjuntos dados. Sean los subconjuntos y de un conjunto referencial

.

El complemento de en : Es el conjunto de los elementos de que no están en . Simbólicamente,

Diferencia entre y : Es el conjunto de los elementos que están en y no están en .

La unión entre y : Es el conjunto de elementos que pertenecen a o a . Simbólicamente

Si es una colección finita de subconjuntos de , la operación de unión se puede extender mediante la siguiente definición:

.

La intersección entre y : es el conjunto formado por todos los elementos que están tanto en como en . Simbólicamente,

.

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Si es una colección finita de subconjuntos de , la operación de intersección se puede extender mediante la siguiente definición:

.

El producto cartesiano entre y : Es el conjunto de pares ordenados cuya primera componente es un elemento de y la segunda componente es un elemento de . Simbólicamente, . Por ejemplo,

es el conjunto de pares ordenados de números reales.

Es fácil demostrar propiedades de las operaciones entre conjuntos como la propiedad conmutativa, asociativa y distributiva de la intersección y de la unión que se reducen a propiedades iguales en el cálculo proposicional. Se pueden comprobar también las reglas de De Morgan que son:

y . Se deja como ejercicio comprobar estas reglas.

8. Los Conjuntos Numéricos

Los primeros números que nos enseñan en el bachillerato son los números naturales. El conjunto de los números naturales se representa por la sucesión 1 , 2, 3, 4, ….. donde … significa que todo número natural tiene un número que le sigue. El conjunto de los números naturales tiene infinitos elementos y por tanto no se puede decir que hay un último número natural que sea mayor que todos los demás. Utilizaremos el símbolo para referirnos a los números naturales.

Otro conjunto numérico es el de los números enteros que se obtienen a partir de los números naturales (enteros positivos) adicionándoles el cero (0) y los llamados enteros negativos … , -3, -2, -1 . Los números enteros, que denotaremos con la letra se representan con la sucesión …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … donde los puntos … indican, como en el caso anterior que no hay un número entero mayor que todos y no hay un entero menor que todos los demás.

A partir del conjunto de los números enteros, se construyen los números racionales (se suelen llamar fraccionarios). Los números racionales son

aquellos que se pueden representar en la forma , donde y son

números enteros y además . A los números racionales los vamos a representar con la letra .Un número racional puede ser representado por infinitas fracciones de

enteros. Así por ejemplo la fracción siendo cualquier entero no nulo,

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representa el mismo número racional que . No olvidemos que dos

fracciones y representan al mismo número racional, esto es, sí y

sólo sí .

Son números racionales y como cualquier número entero

se puede representar como una fracción se concluye que todos los

números enteros son racionales. Luego, se puede escribir .Los números racionales también se pueden representar por medio de los números decimales finitos o periódicos. Es decir, todo decimal finito se puede escribir como una fracción. Por ejemplo, el decimal 3,456 se puede

escribir así: o el número 0,0002 se puede escribir así: y los

decimales periódicos también se pueden escribir como una fracción, por

ejemplo, de la fracción obtenemos el decimal periódico 0,33333…. Por lo

tanto, cualquier decimal periódico lo podemos representar como una fracción.

Hay decimales que no se pueden escribir como una fracción, no son finitos ni periódicos. A este conjunto de números se les llama los irracionales los cuales los vamos a representar con la letra . Ejemplos conocidos de

números irracionales son: . El número no es un número

racional pues no se puede escribir como una fracción de números enteros, luego es un irracional. Dadas las definiciones de los conjuntos numéricos debe ser claro que , es decir, y no tienen elementos comunes..

El conjunto que resulta de la unión de los números racionales con los irracionales constituye el conjunto de los números reales que denotaremos con el símbolo . Por lo tanto, . Hay un conjunto numérico que contiene a los números reales que es llamado el conjunto de los números complejos que denotaremos con la letra que es el conjunto de los números que se pueden escribir de la forma , donde y por definición . La parte se suele llamar la parte real del número complejo y su parte imaginaria. Cuando el número es de la forma se considera igual a y se dice que es imaginario puro. Cuando es de la forma se considera igual a y se dice que el número complejo es real. Dado lo anterior podemos escribir,

1.2 MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN

CONTENIDO

1. Demostración Directa

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2. Demostraciones Indirectas

Teóricamente, todos los teoremas de la lógica proposicional se pueden demostrar utilizando solamente los axiomas y las reglas de validez; sin embargo, se establecen reglas de prueba y métodos de demostración con el fin de abreviar el proceso deductivo. Un teorema es un resultado deducible en un sistema formal y que puede ser enunciado en la forma “Si entonces ” , donde representa un conjunto de afirmaciones conocidas como “hipótesis” o “supuesto”, y una afirmación conocida como “tesis” o “conclusión”.

A continuación mostraremos algunos teoremas, con el fin de practicar la reescritura de los enunciados en la forma “si … entonces …”.

La suma de dos enteros pares es par. Se puede enunciar así: “si y son números pares, entonces es número par”.

Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales. Se puede enunciar así: “Si es un paralelogramo entonces

.

A continuación se presentan los principales métodos de demostración y reglas de prueba del cálculo proposicional.

1. Demostración directa

Método directo. Este método se utiliza para la demostración de implicaciones, y dice así: Sean y T proposiciones. Si el suponer que es verdadera, se puede hacer una demostración de que es verdadera, entonces la implicación TH es una proposición verdadera. El método directo consiste de lo siguiente: Para demostrar que una proposición de la forma TH es verdadera se procede así:

1. Se supone que el antecedente (hipótesis) es verdadero. 2. A partir de la hipótesis, se construye un argumento lógico en el

cual se pueden utilizar los axiomas y los teoremas ya probados, mediante la aplicación de las reglas de validez, para llegar a la proposición T como conclusión o tesis.

3. En este punto concluye la prueba y queda establecida la veracidad de TH .

Una demostración directa del teorema “Si entonces ” consiste en establecer un razonamiento de la forma: el cual se interpreta así: Dada la hipótesis, a partir de ella se deducen otras

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hipótesis utilizando el segundo paso de la lista anterior, hasta llegar a la tesis .

Ejemplo

Demuestre que: si y son números pares, entonces es número par. Solución: Suponga que y son números pares, (Hipótesis) luego, y

. Entonces, entonces . Como entonces . Supongamos que . Por tanto,

es un número par.

2. Demostraciones indirectas:

En algunos casos, cuando queremos hacer una demostración directa de algún teorema de la forma encontramos inconvenientes. En estas circunstancias es conveniente intentar una demostración indirecta. En este curso trataremos dos tipos de demostraciones indirectas: por contrarrecíproca y por contradicción. Veamos cada una.

Método de demostración por contrarrecíproca o contraposición. Es aquella en la cual utilizamos la contrarrecíproca de la implicación para demostrar el teorema. Como el condicional es equivalente a su contrarrecíproca entonces utilizamos una demostración directa con ella, es decir, suponemos que es verdadera (como hipótesis) y demostramos que también es verdadera (como tesis).

Ejemplo

Demuestre que el producto de dos enteros es par sólo si por lo menos uno de ellos es par. Este enunciado se puede escribir en la forma de un condicional así: “Si es par entonces es par o es par.

Solución: Supongamos que intentamos una demostración directa de este resultado entonces empezamos suponiendo que es par lo cual implica que existe un entero tal que , pero..¿cómo utilizamos la igualdad

para deducir que es par o es par?. Como no es posible, entonces intentamos la demostración por contrarrecíproca: que finalmente, se puede escribir así: “Si no es par y no es par entonces

no es par.” Es decir, es impar. La demostración directa de esta afirmación es la siguiente: Sean impar, entonces y impar entonces , entonces

lo cual muestra que es impar.

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Método de demostración por reducción al absurdo. Una de las condiciones que debe verificar el conjunto de axiomas, dado para la teoría, es la consistencia. Es decir, a partir de ellos no pueden derivarse, por aplicación de las reglas lógicas, contradicciones, o sea, fórmulas de la forma

. El método consiste en suponer que el resultado es falso lo cual implica suponer que la hipótesis es verdadera y la tesis es falsa. Si a partir de este supuesto se deduce una contradicción (representada por

) entonces concluimos que lo supuesto es falso y por lo tanto, el condicional es verdadero y se concluye la demostración.

Ejemplo: Utilizando el método de reducción al absurdo, demostrar que el

número real es irracional.

Solución:

Suponga que no es irracional, luego es racional y por tanto

. Es importante tener presente que y son

primos relativo, es decir, que . Como , elevando al

cuadrado ambos lados, obtenemos que entonces donde

podemos concluir que es un número par y por lo tanto lo es , esto es, entonces . Se concluye, entonces, que ;

luego, luego, es un número par y por tanto es un número par.

En consecuencia, y tienen factor común 2. ¡Absurdo! puesto que y son primos relativos. Por lo tanto, es número irracional.

EJERCICIOS

1. Responda verdadero (v) o falso ( f ) justificando su respuesta . Si requiere una demostración para las justificaciones, diga si es directa, indirecta o por el método del contraejemplo.

a. Todos los naturales son enteros

b. Todos los racionales son reales

c. Algunos racionales son irracionales

d. Existen enteros que no son racionales

e. Si y son naturales entonces es natural y también.

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f. Si y son naturales entonces es natura

g. si

h. o son números irracionales si y lo son.

1. Simbolizar los siguientes enunciados:

No hace frío pero llueve. O se protege la flora y la fauna, o se quebrará el equilibrio ecológico. La deserción escolar disminuirá si y sólo sí se mejoran las condiciones

de la población y se moderniza la educación. Voy a cine sólo si me llevas a bailar 2 es un número par; sin embargo, es primo Es falso que 3 no es par o no es primo Sólo si me entrega la fotografía le entrego el libro Es suficiente que 2 sea primo para que sea par Llueve pero no hace frío ni calor Si hoy es miércoles entonces tengo clases de Matemáticas o

Geometría

  2. Para cada enunciado escriba su recíproca y su contra recíproca.

Si una función es derivable en un punto, entonces es continua en dicho punto.

Si una figura plana es un cuadrado, entonces es un rectángulo. Si una matriz cuadrada tiene inversa, entonces su determinante es

distinto de cero. Todos Los perros ladran Hoy es martes sólo si mañana es miércoles.

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