Geometra Analtica ..Unidad 1

Geometra AnalticaEl objetivo fundamental de la Geometra Analtica consiste en crear representaciones visuales de los conceptos matemticos mediante el uso de los sistemas coordenados, como tambin de resolver algebraicamente los problemas de la geometra.

Comenzaremos este estudio analizando las propiedades de las lneas rectas, iniciando esto con la definicin de segmento: es aquella parte de una lnea recta que queda entre dos puntos sealados sobre ella.

Sea L una lnea recta sobre la cual hemos sealados los puntos A y B, la porcin de la recta comprendida entre los puntos A y B es un segmento cuyos extremos son A y B, donde A es el origen y B en punto final del segmento.Sistemas de Coordenadas: es un conjunto de valores que permiten definir inequvocamente la posicin de cualquier punto de un espacio Euclideo.Sistema de coordenadas Lineal: Corresponde a la dimensin uno, el cual representaremos con el eje X, en este eje hay un centro de coordenadas, que representaremos con la letra O (de Origen). Un punto cualquiera de la recta puede representarse con un nmero real, positivo si est situado a la derecha de O, y negativo si esta a la izquierda.

Al punto A le corresponde el numero real x1, el cual recibe el nombre de coordenada del punto A, para el punto B le corresponde la coordenada x2. Al centro de coordenadas O (letra O) le corresponde la coordenada cero (cero). El punto A con su coordenada es la representacin grafica del numero real x1, y la coordenada x1 es la representacin analtica del punto A. La coordenada y su punto lo escribiremos as: A(x1).En un sistema coordenado lineal la distancia entre los puntos que definen un segmento en una lnea recta, es el valor absoluto de restar la coordenada del punto inicial al punto final, por lo que la distancia d entre dos puntos A y B de coordenadas x1 y x2 esta dada por:dAB = | x2 - x1 | = ||

Seria la longitud del segmento limitado por los puntos A y B que se podra expresar tambin como , en ambos casos estas longitudes serian iguales, la diferencia estriba en que un segmento dirigido en un sentido ser considerado de longitud positiva, mientras que en otro negativa, si consideramos el segmento dirigido AB tiene una longitud positiva, entonces el segmento dirigido BA tiene una longitud negativa y se cumple que: = -

Ejemplo. Calcular la distancia entre los puntos A(-3) y B(4), solucin:

dAB = | 4 (-3) | = |7| = 7En donde la longitud del segmento = 4 (-3) = 7, mientras la longitud del segmento = -3 -4 = -7.Ejemplo. Sea un punto P de coordenada 3, hallar los puntos que se encuentra a una distancia de 2, solucin:Hay dos soluciones para este problema ya que hay un punto que esta a la distancia de 2 unidades a la izquierda de P y otro punto que esta a la distancia de 2 unidades a la derecha de P

Para el primer caso:

d = 2 = 3- x1 donde x1 = 3 2 = 1Para el segundo caso:d = 2 = x2 - 3 donde x2 = 3 +2 = 5

Sistema de coordenadas cartesiano: Este sistema est formado por dos rectas o ejes, perpendiculares entre s, generalmente un eje es horizontal y el otro vertical, que al interceptarse forman ngulos rectos y dividen al plano donde estn contenidos en cuatro partes llamados cuadrantes (I, II, III y IV), las cuales se enumeran en el sentido contrario de las manecilla del reloj, como se muestra en la Figura:

Considerando que cada eje es una recta numrica que contienen todos los nmeros reales en forma creciente de izquierda a derecha en el eje horizontal y de abajo a arriba en el eje vertical, es decir todos los nmeros positivos estn a la derecha y arriba del origen (O) y los negativos a la izquierda y abajo del mismo origen. Al eje horizontal se le llama eje de las X o de las Abscisas, y al eje vertical de las Y o de las Ordenadas. Para la ubicacin de un punto cualquiera en el plano se consideran las distancias a los ejes, que son sus Coordenadas. La distancia de un punto al eje de las Y es su Abscisa y la distancia al eje de las X es su ordenada. Las Abscisas se representan por la letra X y las Ordenadas por la letra Y, es decir que las coordenadas de un punto P son P(X, Y), las cuales se anotan como parejas ordenadas dentro de un parntesis y separadas por una coma. Las coordenadas del origen O son (0,0).La localizacin de un punto por medio de sus coordenadas se llama trazado del punto, para trazar el punto A(2,5), fijamos la coordenada en el eje X que esta 2 unidades a la izquierda del origen, con lo cual representamos la abcisa del punto, luego fijamos la coordenado del eje Y que esta a 5 unidades hacia arriba del origen, con lo cual representamos la ordenada del punto como vemos en la figura:

Se debe prestar atencin en no confundir el eje de las abscisas con el de las ordenadas: el primer numero representa el de la abscisa x y, en consecuencia, se marca sobre el eje horizontal de las x, mientras que el segundo es la ordenada y, por tanto, se indica sobre el eje vertical de las y. Por ello, los puntos A (5, 2) y B (2, 5) tienen localizaciones muy diferentes, como podemos observar en la figura anterior.A continuacin, se indican sobre un plano los puntos P (1, 3), Q (3, 5), R (2, 3), S (1, 4).

Se observa que si ambas coordenadas son positivas, el punto se encuentra en el primer cuadrante (I); si son ambas negativas, el punto se encuentra en el tercer cuadrante (III); si la abscisa es negativa y la ordenada positiva, se localiza en el segundo cuadrante (II), y, finalmente, si la abscisa es positiva y la ordenada negativa, se encuentra en el cuarto cuadrante (IV). Por consiguiente, se puede afirmar que a cada pareja ordenada de puntos le corresponde un punto del plano, y viceversa; a cada punto del plano le corresponde una pareja ordenada de puntos. Distancia entre dos puntos en el plano cartesiano: Vamos a determinar una frmula mediante la cual podamos calcular, en todos los casos, la distancia entre dos puntos de coordenadas conocidas. A(x1, y1) y B(x2, y2) los representamos en el sistema de coordenadas, trazamos las perpendiculares y al eje de las x y al eje de las y. As mismo, trazamos el segmento para obtener el tringulo ABE. La grfica se muestra en la figura

De la figura anterior, se tiene:

,

,

Si aplicamos el teorema de Pitgoras al tringulo rectngulo ABE de la figura,

obtenemos:

()2= ()2 + ()2 (1)

Pero:

Y:

= = - =

= - = - =

Sustituyendo en (1):

En donde la distancia queda finalmente:

(2)Que es la frmula para obtener la distancia entre dos puntos de coordenadas conocidas, la cual es igual a la raz cuadrada de la suma del cuadrado de la diferencia de las abscisas, ms el cuadrado de la diferencia de las ordenadas.Para resolver un problema, se recomienda para todos los casos, se grafiquen los datos disponibles antes de hacer operaciones.EJERCICIOS:

1. Calcular la distancia entre los puntos: A(-3,2) y B(1,-1). Solucin:Aplicando la frmula (2), la distancia entre dos puntos, tenemos:

2. Calcular la distancia entre los puntos: P(6,5) y Q(-7,-3). Solucin:Segn la frmula (2), se obtiene:

3. Calcular el permetro del tringulo cuyos vrtices son: A(-4,6), B(6,2) y C(4,-4).

Solucin:

Debemos calcular las longitudes de los lados , y usando la formula (2)

El permetro es la suma de los lados del triangulo, as que:

Permetro = + + = 10,77+12,8+6,32 = 29,894. Si el problema en vez de pedir el permetro, hubiera pedido demostrar que los puntos de los vrtices del triangulo son los vrtices de un triangulo issceles, cual seria su respuesta.5. Determinar los puntos cuyas distancias al punto P(2,3) son de 4 unidades y cuyas ordenadas son iguales a 5. Ver figura a continuacin:

Hay dos puntos que pueden cumplir con esta condicin Q1(x1, 5) y Q2(x2, 5), cuyas distancia al punto P debe ser igual a 4, supongamos un solo punto Q(x,5) su distancia al punto P seria:

Elevando al cuadrado y simplificando:

Extrayendo la raz cuadrada:

Se tienen dos valores de x que satisfacen la ecuacin anterior:

Los dos puntos buscados son: Q1(-1,46, 5) y Q2(5,46, 5)Divisin de un segmento de recta en partes proporcionales.Vamos a determinar las coordenadas de un punto P que divida a un segmento de recta de extremos conocidos, en partes tales que guarden entre s la razn (0 relacin) , consideremos el segmento , en donde A y B son dos puntos cualesquiera y se designan con las coordenadas A(x1, y1) y B(x2, y2). El punto que divide al segmento es P(x, y), y la razn es , que quede claro que lo que se busca son las coordenadas del punto P. Ver figura:

De acuerdo con la figura los segmentos y guardan la misma relacin que los segmentos y , es decir:

En donde:

de donde:

finalmente la abcisa del punto P ser igual:

para

Siguiendo el mismo procedimiento para las ordenadas, obtenemos:

de donde:

para

Para el caso particular de que P sea el punto medio r es igual a 1, por lo que las coordenadas de P quedan:

,

Ejemplos:

6. Los extremos de un segmento de recta son: A(-3,-4) y B(4,2). Determinar sobre dicho segmento un punto P que divide a este segmento segn la razn r = 2.Solucin:

Su abcisa ser:

Su ordenada ser:

El punto pedido P(,0)7. Dado el segmento de recta cuyos extremos son A(-6,8) y B(4,-2) Determinar el punto P que lo divide en la relacin Solucin:

El punto P buscado es P(-2, 4).

8. Encontrar el punto medio M del segmento , sabiendo que: A(-8,-6) y B(4,2).Solucin:

El punto M buscado es: M(-2, -2).

Pendiente de un segmentoSe define como pendiente de un segmento, al grado de inclinacin que dicho segmento posee con respecto a un sistema coordenado. Matemticamente se dice que la pendiente de un segmento es una diferencia de ordenadas entre una diferencia de abscisas y se denota con la letra m.

Sea los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) que definen el segmento su pendiente ser:

Veamos la siguiente grafica:

En donde la lo cual implica que m = tg

Ejemplo:

Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(1, 6) y B(5, -2)

Solucion:

Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales. Si m1 y m2 son las pendientes de 2 rectas paralelas se debe cumplir que m1 = m2.Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1. Si m1 y m2 son las pendientes de dos rectas que son perpendiculares se debe cumplir que m1 m2 = -1 o sea .

Angulo entre dos segmentos: el ngulo medido en el sentido contrario a las agujas del reloj, desde el segmento de recta L1de pendiente m1 al segmento L2 de diente m2 (ver figura) es:

Complementar con lecturas del libro Geometra Analtica de LehmannPAGE 11FJDM

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