Unidad 1. Sistemas Numéricos

Matemticas discretas

Unidad 1. Sistemas numricos

Contenido nuclear

Ciencias Exactas, Ingeniera y Tecnologa | Matemticas 1

Universidad Abierta y a Distancia de Mxico

Licenciatura en Matemticas

2 Semestre

Programa de la asignatura:


Unidad 1:

Sistemas numricos

Clave:

050910312



Contenido nuclear


ndice

Introduccin ................................................................................................................. 3

Desarrollo de contenido nuclear ................................................................................. 4

Caractersticas de los sistemas numricos ..................................................................... 4

Sistema decimal ............................................................................................................. 4

Sistema binario .............................................................................................................. 5

Sistema octal .................................................................................................................. 6

Sistema hexadecimal ..................................................................................................... 7

Conversiones ................................................................................................................. 7

Operaciones aritmticas bsicas en el sistema binario ................................................ 13

Cierre de la Unidad ..................................................................................................... 17

Fuentes de consulta ................................................................................................... 17



Contenido nuclear


Introduccin

En matemticas, el trmino discreto tiene que ver con el manejo de objetos numerables,

con valores distintos separables, as como con la descripcin de objetos y problemas

reales de modelos abstractos. Las matemticas discretas proporcionan gran parte de los

fundamentos de la computacin, como la utilizacin de estructuras que pueden

contabilizarse, nmeros naturales, grficas finitas y procesos de razonamiento, mediante

un nmero finito de pasos. Uno de los aspectos bsicos que se presenta en el manejo de

la informacin es cmo representarla, de lo cual depende su manipulacin.

Desde hace cientos de aos, los sistemas numricos forman parte del desarrollo de la

humanidad, su principal aplicacin es la de representar cantidades, es as que se tienen el

sistema numrico decimal, maya, romano, etc. Con la aparicin de la tecnologa

informtica fue necesario desarrollar nuevas representaciones de las cantidades. Gran

parte de los sistemas tecnolgicos y digitales manejan el sistema binario para procesar y

almacenar informacin, y sistemas como el octal y el hexadecimal para poder representar

grandes volmenes de informacin de forma abreviada.

En esta unidad analizaremos las caractersticas de varios sistemas numricos que se

utilizan en la actualidad (decimal, binario, octal y hexadecimal), la conversin entre

sistemas y las operaciones aritmticas bsicas relacionadas.

Esquema grfico de la unidad

Unidad 1 Sistemas

numricos

Decimal

Binario

Octal

Hexadecimal

Aplicaciones

Historia de los

sistemas numricos

Conversiones

Operaciones

aritmticas bsicas

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Contenido nuclear


Desarrollo del contenido nuclear

Caractersticas de los sistemas numricos

Un sistema numrico se define como un conjunto ordenado de smbolos, o dgitos, y las

reglas con las que se combinan sus elementos para representar cantidades numricas.

A pesar de que existe un nmero considerable de sistemas numricos, los ms utilizados

son el decimal, el binario, el octal y el hexadecimal. Su principal caracterstica en comn

es que estos sistemas numricos utilizan una base. La base de un sistema numrico es el

nmero de dgitos diferentes usados en l.

A continuacin se ejemplifica esta definicin con los sistemas numricos ms

comnmente utilizados.

Base Sistema Dgitos

2 Binario 0,1

8 Octal 0,1,2,3,4,5,6,7

10 Decimal 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

16 Hexadecimal 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

Comnmente para distinguir entre los diferentes sistemas numricos se encierra entre

parntesis el nmero y se aade un subndice indicando su base. Sin embargo, si no se

usa subndice se entiende que el nmero est representado en base diez.

Ejemplo

Sistema decimal

El sistema numrico que usamos cotidianamente, en la escuela, en el trabajo y en nuestra

vida diaria se conoce como sistema numrico decimal, en ste un nmero es

representado por una cadena de dgitos y cada posicin tiene un peso asociado.

El valor del nmero es la suma ponderada de todos los dgitos, por ejemplo:

(2345)10 = 2*1000 + 3*100 + 4*10 + 5*1

= 2*103 + 3*102 + 4*101 + 5*100

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El peso de cada potencia de 10 corresponde a la posicin del dgito. Observa la siguiente

tabla:

Posicin Nombre Valor multiplicador

1 Unidades X 1

2 Decenas X 10

3 Centenas X 100

4 Unidades de millar X 1000

5 Decenas de millar X 10 000

6 Centenas de millar X 100 000

El sistema numrico decimal es expresado con una base 10, lo que significa que las

cantidades son representadas utilizando 10 dgitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

Sistema binario

La informacin que manejan los circuitos que contienen los sistemas de cmputo tiene

seales que estn en una de dos condiciones: alto o bajo, activado o desactivado, etc.

Las seales en estos circuitos representan dgitos binarios llamados bits. Un bit es un

dgito binario (abreviacin del ingls binary digit), es decir, un 0 un 1.

Este sistema numrico utiliza la base 2, es decir, slo utiliza dos dgitos (0 y 1) para

representar cantidades; la agrupacin de varios bits se conoce como byte.

Ejemplo

Byte (1101)2

El bit ubicado ms a la izquierda de un nmero binario se llama bit de orden superior o bit

ms significativo (MSB, siglas en ingls de most significant bit); y el bit ms a la derecha

es el bit de orden inferior o bit menos significativo (LSB, siglas en ingls de least

significant bit).



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En conclusin, podemos decir que cada uno de los bits que forman un byte tiene un peso

especfico de acuerdo a su posicin.

Sistema octal

Los sistemas numricos que utilizan la base 10 son de suma importancia, ya que se usan

en la vida cotidiana, y los de base 2 son los que pueden procesarse directamente

mediante circuitos electrnicos digitales. Aunque los nmeros en otras bases no se

procesan directamente, a menudo se utilizan para representaciones breves que son

convenientes para nmeros con mltiples bits en un sistema digital, tal es el caso del

sistema numrico octal.

Este sistema utiliza como base el 8. El sistema octal necesita 8 dgitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,

7) para poder representar cantidades.

Ejemplo

Mltiples bits representacin breve en octal

(100011001110)2 = (4316)8

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Sistema hexadecimal

Al igual que el sistema numrico octal, el sistema numrico hexadecimal es utilizado

ampliamente como cdigo para representar nmeros de mltiples bits en cdigos

abreviados. Este sistema tiene como base el 16, lo que significa que utiliza 16 dgitos (0,

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F) para representar cantidades.

Ejemplo

Mltiples bits representacin breve en hexadecimal

(1010001011101000)2 = (A2E8)16

Conversiones

Para diferentes aplicaciones tecnolgicas de electrnica y computacin es importante

utilizar equivalencias entre cada uno de los sistemas numricos aplicando conversiones;

sin embargo, la conversin entre dos bases no puede hacerse por simple sustitucin, se

requiere de operaciones aritmticas.

Conversiones decimal-binario

Una de las conversiones ms utilizadas es de decimal a binario y viceversa. Antes de

realizar las conversiones es importante mencionar que existen diferentes tcnicas para

conocer su equivalencia. Una de ellas es una tcnica sencilla llamada equivalencia de

acuerdo a su posicin. Esta tcnica implica la suma ponderada de cada una de sus

posiciones.

Las siguientes tablas contienen una serie de conversiones para los diferentes sistemas

numricos.

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Tablas de conversin de sistemas numricos

Tabla de conversiones de Sistema numrico decimal a binario.

Tabla de conversiones de Sistema numrico binario a octal.

Tabla de conversiones de Sistema numrico binario a hexadecimal.



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Recordemos que en el sistema numrico binario se utilizan 2 dgitos (0 y 1). El 1 es

utilizado para dar el valor numrico, y el 0 para llenar la posicin de la cual no

necesitamos el valor.

Ejemplo 1

De acuerdo con la tabla de conversin de sistema decimal a binario, el valor equivalente

segn su posicin es:

De tal forma que: (1001)2 = (9)10

Ejemplo 2

Tomando en cuenta la posicin de los dgitos 1 tenemos:

La suma de las posiciones es: (190)10

Por lo tanto: (10111110)2 = (190)10



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Para realizar conversiones de sistema numrico decimal a binario se utiliza un mtodo

semejante.

Ejemplo

Tenemos el nmero en decimal (48)10 y necesitamos su equivalente binario utilizando la

tabla de conversiones de sistema decimal a binario. Comenzamos con la posicin 6, que

equivale al nmero 32 en decimal, ya que la posicin 7 es 64 en decimal y excede el

nmero (48)10 del cual necesitamos conocer su equivalencia. A partir de la posicin 6

comenzaremos nuestra suma de posiciones procurando que esa suma se ajuste al

nmero que necesitamos conocer, recordemos que el dgito 1 en binario es el que le da el

valor a la posicin y el dgito 0 es solo para llenar espacio.

Conversiones binario-octal-hexadecimal

Una parte importante de las conversiones es que podemos tener representaciones breves

utilizando diferentes sistemas de numeracin, tal es el caso de los sistemas de

numeracin octal y hexadecimal, esto se debe a que utilizan diferentes dgitos.

Ejemplo de conversin de sistema binario a octal

Recuerda que el sistema de numeracin octal utiliza 8 dgitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7).

Supn que tenemos el nmero binario (10111001)2 y necesitamos su equivalente en

sistema numrico octal.

El primer paso es realizar agrupaciones de tres bits partiendo de derecha a izquierda

como se muestra a continuacin:

(10 111 001)2

Utilizando la tabla de conversin de sistema binario a octal, de forma directa convertimos

su equivalente como si fueran grupos independientes.



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En resumen tenemos:

(10111001)2 = (271)8

Ejemplo de conversin de sistema binario a hexadecimal

Recuerda que el sistema numrico hexadecimal utiliza 16 dgitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,

9, A, B, C, D, E, F).

Supn que tenemos el nmero en binario (111010111001)2 y necesitamos su equivalente

en sistema numrico hexadecimal.

El primer paso es hacer agrupaciones de cuatro bits partiendo de derecha a izquierda

como se muestra a continuacin:

(1110 1011 1001)2

Utilizamos la tabla de conversiones correspondiente y de forma directa convertimos su

equivalente de binario en hexadecimal como si fueran grupos independientes.

En resumen tenemos: (111010111001)2 = (EB9)16

Conversiones entre distintas bases

Ya hemos realizado operaciones para conocer las equivalencias de decimal a binario y

viceversa, de binario a octal y de binario a hexadecimal, pero qu pasara si quisiramos

realizar una conversin de decimal a hexadecimal o a octal? A continuacin realizaremos

los procesos para llevar a cabo dichas conversiones.

Ejemplo de conversin de sistema decimal a octal



Contenido nuclear


Supn que necesitamos conocer la equivalencia de (105)10 en sistema numrico octal.

El primer paso tendra que ser la conversin del sistema numrico decimal al sistema

numrico binario como se muestra a continuacin:

Una vez que tenemos el cdigo en binario lo que resta es convertir el sistema binario en

sistema octal usando la tabla correspondiente, como se muestra:

(1101001)2 = (151)8

Por lo tanto, en conclusin podemos decir que:

(105)10 = (151)8

Ejemplo de conversin de sistema decimal a hexadecimal

Supn que necesitamos conocer el nmero (170)10 en sistema numrico hexadecimal.

El primer paso ser convertir el nmero decimal en nmero binario.

Una vez que tenemos el nmero en binario lo convertimos en hexadecimal usando la

tabla correspondiente, de tal forma que:



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Por lo tanto, en conclusin podemos decir que:

Operaciones aritmticas bsicas en el sistema binario

La aritmtica binaria se realiza con frecuencia en los sistemas digitales tales como

computadoras y sistemas de comunicacin, entre otros, por lo que cobra una mayor

importancia utilizar operaciones binarias. La suma, resta, multiplicacin y divisin de

nmeros binarios usan la misma tcnica aprendida en la escuela para los nmeros

decimales. Para comprender los circuitos aritmticos es necesario conocer los principios

bsicos de estas operaciones.

Suma binaria

La operacin de suma se estructura en columnas, es decir, se realiza bit a bit de derecha

a izquierda, verificando si existe un acarreo.

- El bit menos significativo del resultado de una columna es la suma de dicha

columna.

- El bit ms significativo del resultado de una columna pasa como acarreo a la

columna siguiente.

Una manera de representar las 4 reglas bsicas de la suma binaria es la siguiente:

Cuando existe un acarreo igual a 1 es necesario sumar 3 bits el lugar de 2.

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A continuacin se presenta un ejemplo de la suma de dos nmeros binarios:

Una forma de comprobar la suma es convirtiendo los sumandos y el resultado a decimal y

comprobar si coinciden.

Resta binaria

La operacin de resta tambin se organiza en columnas. La resta bit a bit se hace como la

conocemos, slo cuando el minuendo es menor que el sustraendo (0 menos 1), entonces

el resultado es la diferencia entre las dos, es decir, 1. En este caso se produce un acarreo

negativo y sumamos 1 al sustraendo de la siguiente columna. Sumar un acarreo negativo

a 1 en el sustraendo implica la generacin de un nuevo acarreo negativo.



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Multiplicacin binaria

Las reglas bsicas de la multiplicacin binaria son:

La multiplicacin binaria se realiza igual que la decimal, generando productos parciales,

desplazando cada nuevo producto parcial una posicin a la izquierda y luego sumndolos

todos.



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Divisin binaria

La divisin binaria sigue el procedimiento tradicional de multiplicacin y resta al que

estamos acostumbrados.

Aprende observando

En este vdeo se muestra la representacin de los sistemas



Contenido nuclear


de numeracin y aritmtica binaria. Tomado de

Kudzu. (2012). (Archivo de vdeo) recuperado de

Aprende leyendo

A continuacin te recomendamos leer los siguientes documentos:

Los recursos que utilizaremos son:

http://www.fca.unam.mx/docs/apuntes_matematicas/02.%20Sistemas%20de%20N

umeracion.pdf

http://robotica.uv.es/pub/Libro/PDFs/CAPI4.pdf

http://arantxa.ii.uam.es/~ig/teoria/temas/IG_tema-3-2008-2009.pdf

http://platea.pntic.mec.es/~lgonzale/tic/binarios/numeracion.html

http://platea.pntic.mec.es/~lgonzale/tic/binarios/aritmetica.html

Representacin de nmeros negativos en el sistema binario

Utilizando bits se pueden representar nmeros binarios distintos. Hasta el momento

has trabajado con nmeros binarios naturales positivos que con bits permiten el rango

desde 0 hasta el . En el caso concreto de 8 bits, se puede ir desde el 0 hasta el

255, que son el ( ) y el( ) , respectivamente.

En algunas ocasiones es necesario realizar operaciones binarias con nmeros negativos,

para ello pueden utilizarse mtodos diferentes a los que se han mencionado hasta el

momento.

Para representar un nmero negativo en el sistema binario e identificarlos se toma el bit

del extremo izquierdo (bit del signo) para saber si se trata de un nmero positivo o no

positivo (0 si es un nmero positivo y 1 si es negativo o cero). Esto implica que con 8 bits

pueden representarse nmeros en un rango desde el -128 hasta el 127.

El sistema que utilizan las computadoras para trabajar con nmeros enteros es el

complemento a 2, pero es conveniente revisar el complemento a 1, para dar una

introduccin.



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Complemento a 1

Se obtiene cambiando los 0 por 1 y viceversa

Ejemplo

Nmero binario: ( ) ( )

Complemento a 1: ( ) ( )

Complemento a 2

Se obtiene tomando el complemento a 1 y sumndole 1 al bit menos significativo

Ejemplo

Para representar con bit de signo en complemento a dos el nmero 45, utilizando 8 bits,

se sigue el siguiente precedimiento.

1. Escribe el 45 en sistema binario ( ) 2. Completa con ceros a la izquierda hasta el nmero de bits con que se quiere

expresar el nmero, en este caso ocho, ( ) 3. Realiza el complemento a 1 ( ) 4. Suma 1 al bit menos significativo ( )

Para desarrollar los conocimientos en este contenido nuclear, te recomendamos revisar

los siguientes contenidos y recursos para la mejor comprensin sobre sistemas

numricos.

Aprende observando

En este vdeo se muestra la representacin de los sistemas

de numeracin y aritmtica binaria. Tomado de

Ramn Toala. (2011). (Archivo de vdeo) recuperado de



Contenido nuclear


Aprende leyendo

A continuacin te recomendamos leer los siguientes documentos:

Los recursos que utilizaremos son:

http://arantxa.ii.uam.es/~ig/practicas/enunciados/prac3/operacionescomplementoa

1.pdf

http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r97063.PDF

Cierre de la Unidad

En esta unidad aprendiste los conceptos bsicos de los sistemas numricos ms

utilizados en la actualidad: decimal, binario, octal y hexadecimal. Este conocimiento te

ser de gran utilidad para un mejor entendimiento de los sistemas informticos.

Fuentes de consulta

Hortala Gonzlez, M. T. (2008). Matemtica discreta y lgica matemtica. Espaa:

Complutense.

Matousek, J. y Nesetril, J. (2008). Invitacin a la matemtica discreta. Espaa: Reverte.

Morris Mano, M. (2007). Fundamentos de diseo lgico y de computadoras. Espaa:

Pearson.

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