UNIDAD 15. AXONOMETRÍAS ORTOGONALES. PERSPECTIVA ISOMÉTRICA · La proyección v’ es un punto y las otras dos (v” y v’”) paralelas a Z. 3.3.3 Rectas que cortan a los ejes

Conocer y analizar los fundamentos teóricos del sistemaaxonométrico ortogonal, distinguiendo las tres variantesque pueden establecerse: isométrica, dimétrica y trimétrica.

Resolver, en este sistema de representación, ejercicios dedefinición de puntos, rectas y planos, como base para larepresentación de cuerpos y objetos complejos.

Saber utilizar la axonometría como recurso gráfico decarácter técnico, para crear sensación de volumen en larepresentación de cuerpos y modelos sencillos.

OBJETIVOS

1 2 3

AXONOMETRÍAS ORTOGONALES. PERSPECTIVA ISOMÉTRICA

181

2.2 Perspectiva Dimétrica.

Cuando dos de los ángulos que forman lasaristas del triedro trirrectángulo con el planodel cuadro son iguales.Así, por ejemplo: αα = ββ ≠ γγlo que trae consigo que: ϕϕxY

≠ ϕϕYz = ϕϕxz

En este caso, las trazas del plano del cuadro de-

1 FUNDAMENTOS DEL SISTEMAAXONOMÉTRICO

En el sistema axonométrico se aplica la pro-yección paralela, tanto la ortogonal como laoblicua. Los objetos a representar vienen re-ferenciados a un triedro trirrectángulo cuyasaristas son los ejes de la axonometría.

El objeto y sus tres proyecciones ortogonalessobre los planos del triedro se proyectan a lavez sobre un plano (ππ) oblicuo a los tres ejesdenominado plano del cuadro ( fig.1.1).

En la fig.1.2, se muestra una visión espacial dela proyección del triedro fundamental y la deun punto P0 situado en el espacio junto a susproyecciones ortogonales sobre dichos planoscoordenados. Asimismo, todo el conjunto seha proyectado ortogonalmente sobre el planodel cuadro, que visto en representación axono-métrica (o plano del papel), quedaría comomuestra la fig.1.3 .

Como elementos fundamentales del sistemaaxonométrico podemos considerar:

• El triedro trirrectángulo de vértice O, consi-derado como origen de coordenadas y, cuyasaristas OX , OY, OZ representan los ejes delsistema. Sus caras definen los planos coorde-nados o planos axonométricos.

• La dirección ortogonal, que determina laproyección del triedro de ejes principales so-bre el plano de proyección.

• El plano de proyección ( ππ ), que forma losángulos αα , ββ y γγ con los ejes coordenadosX0 ,Y0 , Z 0 respectivamente (fig.1.1) ; o dichode otra forma: el plano de proyección queatraviesa al triedro axonométrico de tres mo-dos diferentes determinando, por intersec-ción con los planos coordenados, el llamadotriángulo de trazas, que puede ser : equilá-tero, isósceles o escaleno.

2 AXONOMETRÍAS ORTOGONALES

De las diferentes posiciones entre el plano delcuadro y el triedro trirrectángulo, nacen lostres tipos de perspectivas axonométricas:

2.1 Perspectiva Isométrica.

Cuando los ángulos que forman las aristas deltriedro trirrectángulo con el plano del cuadroson iguales. Esto es: αα = ββ = γγresultando que: ϕϕxY

= ϕϕYz = ϕϕxz = 120°

En este caso, las trazas del plano del cuadroforman un triángulo equilátero ( fig.2.1) ; y, elcoeficiente de reducción es igual para los tresejes coordenados:

2 3 = 0,81649en la práctica se toma como reducción en ca-da eje 0,8 = 4 /5 .

terminan un triángulo isósceles ( fig.2.2 ) ; y launidad de medida tendrá igual reducción sobrelos dos ejes que delimitan el ángulo desigual.En la figura superior el ángulo distinto es el queforma el eje X con el Z y, por tanto, ambos ejestendrán igual reducción y distinta de la que co-rresponde al eje Y.

2.3 Perspectiva Trimétrica.

Cuando los tres ángulos son distintos.

Esto es: αα ≠ ββ ≠ γγresultando que: ϕϕxY

≠ ϕϕYz ≠ ϕϕxz

En este caso, las trazas del cuadro forman untriángulo escaleno ( fig. 2.3 ) ; siendo la redu-cción distinta para cada eje coordenado.

dirección de proyecciónaxonométrica: cilíndricay ortogonal al plano delcuadro o plano del dibujo

PLANO YZPLANO YZ PLANO XZPLANO XZ

PLANO XY

PLANO XYYY

ZZ

XX

Y X

Z

120°

ZZ

Plano del cuadr

Plano del cuadroo

XX

YY

P0

P’’0

P’’’0

P’’

P’’’

P’

P

P’0

ππP’’

P’’’

P’

P

O

XXYY

ZZ

dirección de proyecciónaxonométrica: cilíndricay ortogonal al plano delcuadro o plano del dibujo

ZZ

Plano del cuadr

Plano del cuadroo

β

γ

XX

YY

dirección de proyecciónaxonométrica: cilíndricay ortogonal al plano delcuadro

α

ππ

Y X

Z

ϕXZ

ϕXY

ϕYZ

ϕXY

= ϕYZ

= ϕXZ

= 120°

120° 120°

Z

YX

ϕXY

ϕXZ

ϕYZ

120°

130°

110°

YX

Z

Plano del cuadrPlano del cuadroo Plano del cuadrPlano del cuadroo

O O

Plano delPlano delcuadrcuadroo

ϕXY

= ϕYZ

= ϕXZ

ϕXY

= ϕYZ

= ϕXZ

130° 130°

100°Y

Z

X

Z

Y Xϕ

XY

ϕXZ

ϕYZ


PLANO XY

PLANO XYYY

ZZ

XX


PLANO XY

PLANO XYYY

ZZ

XX Y

Plano del cuadrPlano del cuadroo

Proyección cilíndricaortogonal del triedroX0Y0Z0 sobre el cuadro.

1.1

Proyección delpunto P0 del espaciosobre el cuadro.

1.2

Representación axonométricadel punto P y sus proyeccionessobre los planos coordenados.

1.3

Perspectivaaxonométrica Isométrica.

2.1

Perspectivaaxonométrica Dimétrica.

2.2

Perspectivaaxonométrica Trimétrica.

2.3

YY00

XX00

ZZ00 ZZ00

XX00

YY00

/

4 EL PLANO

4.1 Representación axonométrica.

Los planos, como en el sistema diédrico, se re-presentan por sus trazas, es decir, por las rec-tas de intersección del plano con los coorde-nados. Como un plano puede venir definidopor tres puntos o por dos rectas que se cortan,se hallan los puntos traza de las rectas h, r y s(que pasan por A , B y C ) . Uniendo puntostraza homónimos se determinan las trazas delplano ( αα1 , αα2 y αα3 ) .

Únicamente se considera visto la porción deplano comprendido en el primer triedro.

4.2 Posiciones particulares del plano.

Como más relevantes pueden considerarse lassiguientes:

4.2.1 Planos proyectantes.

Planos perpendiculares a los coordenados. En lafigura, se representa un proyectante horizontal.

4.2.2 Planos paralelos a los axonométricos.

En la figura, el plano γγ paralelo al coordena-do YZ .

4.2.3 Planos que contienen a los ejes.

En la figura, el plano δδ que contiene al eje Z .

4.2.4 Plano que pasa por el origen.

En la figura, el plano εε que pasa por el origen O .

X

h

rs

α 2

α 3

α1Y

H3

R1

B’

Z

S2

R3

C

A

B

A’

S3

C’s’

r’

h’

H2

Representación del plano dado por tres puntos A, B y C.4.1

182

3 LA RECTA

3.1 Representación axonométrica.

La recta es la unión de dos puntos. Su repre-sentación axonométrica viene definida por suproyección directa r y una de sus proyeccio-nes sobre uno de los planos coordenados, obien, mediante dos de sus proyecciones talescomo r’ y r ” .

Para que un punto pertenezca a una recta esnecesario que las proyecciones del punto seencuentren en las proyecciones homónimas dela recta, es decir, que A esté en r , y por tanto:A’ en r’ , A” en r ” y A’” en r ’” .

3.2 Trazas de una recta.

Son los puntos de intersección de la recta conlos planos axonométricos. Los puntos R1 , R2 yR3 resultan ser las trazas de la recta r con losplanos coordenados XY , XZ e YZ respecti-vamente. Para hallar la trazas, por ejemplo, conel plano XY , se busca el corte de la proyec-ción directa r con la proyección horizontal r’sobre dicho plano. Si se consideran los puntosde corte R’2 y R’3 , de la proyección r’ con losejes X e Y , y por ellos se trazan paralelas aleje Z , se determinan, por intersección con laperspectiva directa r , los otros dos puntos tra-za R2 y R3 respectivamente. En definitiva, parahallar los puntos traza de una recta se procedecomo se hizo y expuso en el sistema diédrico.

Sólo se considera visto la parte de recta que seencuentra en el primer octante del espacio (trie-dro fundamental), donde se sitúa el observador.

3.3 Posiciones particulares de la recta.

Entiéndase por tales todas aquéllas que man-tienen alguna relación de pertenencia, paralelis-mo o perpendicularidad con los coordenados.

3.3.1 Paralelas a los planos axonométricos.

Las rectas paralelas a los planos coordenadostienen la proyección directa paralela a la pro-yección correspondiente del plano paralelo ylas otras dos son paralelas a los ejes. En la fi-gura se representa una recta horizontal h . Aná-logamente, se pueden considerar rectas para-lelas a los otros dos planos del sistema.

3.3.2 Perpendiculares a los planos axonomé-tricos.

Las rectas paralelas a un eje son perpendicula-res al plano formado por los otros dos ejes. Enla figura, la recta v es perpendicular al planoXY y paralela al eje Z . La proyección v’ es unpunto y las otras dos (v” y v’”) paralelas a Z .

3.3.3 Rectas que cortan a los ejes.

En la figura, la recta m corta al eje Z . Las pro-yecciones m” y m”’, así como la proyección di-recta m, se cortan en un mismo punto (M2 êM3)del eje Z que es, además, punto traza.

3.3.4 Rectas que pasan por el origen.

En este caso, las proyecciones de este tipo derectas pasan por el origen de coordenadas; portanto, en él concurren las tres trazas de la recta.

B’’’

H3H2

O

A’’’

O

s

A’M1

O

v

O

A

A’’’

BB”

A’’

B’A’

r’’’r”

r’

O

R’2

R’’3

R’’1

R’3

R’’’1

R’’’2

Z

X

Y

Z

XY

AA”

Z

XY

Z

XY

Z

XY

R2 R’’2

R1 R’1

R’’’3R3

M2 M3

V1 v’

h

m

h’’’ h”

h’

v”v’’’

m’’’m”

m’

s’’’

s’

s”

r

Representación de una rectay determinación de sus trazas.

3.23.1 y

Recta horizontal.3.3.1 Recta vertical.3.3.2

Recta que pasa por el eje Z.3.3.3 Recta que pasa por el origen.3.3.4

183

5 TRAZADO DE PARTESCIRCULARES EN ISOMÉTRICA

5.1 El círculo en los planos coordenados.

Las partes circulares situadas en cualquiera delas tres caras paralelas a los planos coordena-dos de la perspectiva, se proyectan según unaelipse ( fig. 5.1.1) . No obstante, por precisión yrapidez en la ejecución de los dibujos isométri-cos, se hace aconsejable dibujar óvalos (cur-vas que, ópticamente, se asemejan a la elipse,como puede observarse en la fig. 5.1.2) .

Para su construcción se parte del cuadrado cir-cunscrito a la circunferencia, que se convierteen un rombo en este tipo de perspectiva ( fig.5.1.3 ) . Los centros de los arcos correspondien-tes al círculo isométrico (óvalo), resultan ser lospuntos A y B para los arcos mayores (cuadran-tes en la circunferencia real) y los puntos M yN para los arcos menores (correspondientes alos otros dos cuadrantes en la circunferencia).

5.2 Enlace de rectas con curvas.

Es frecuente la necesidad de enlazar dos líneas rectas con una curva formando ángulo recto como indi-ca la fig. 5.2.1 . Para dibujar su perspectiva isométrica se recurre a usar el trazado por arcos de óvalocomo se muestra en la perspectiva isométrica de la fig.5.2.2.

45°

45°

Círculo en el plano XY

Círculo en el plano YZCírculo en el plano XZ

Círculos isométricos (elipses), inscritosen las caras de un cubo.

5.1.1

ELIPSE

ÓVALO

A

C B

D

O

Círculo inscritoen un cuadrado.

Diferencia gráfica entre la elipse y elóvalo en la perspectiva isométrica.

5.1.2

Plano YZ Plano XZ

Plano XY

A

B

Y X

Z

O

M N

5.1.3

Círculos isométricos (óvalos), situados en losplanos coordenados o en paralelos a ellos.

90°

r

Forma planacompuesta porrectas y arcos decircunferencia.

5.2.12r

Dibujo isométrico sobre el plano XY.

5.2.2

120°

60°

2rh’ P’

P

f’

P1

H3

H2

α 2

f’’

α 1

α 3

Z

X

Y Recta horizontal ( h ) y frontal ( f ) por P, contenidas en el plano αα.4.3

h

P’’

h’’f

γ2

γ1

β3

β2

Z

XY

Z

XYβ1

A’’

A

A’δ1

O

h’

h

H3

H2ε3

ε2

Z

XY

Z

XY

δ2 δ3

Plano proyectante horizontal.4.2.1 Plano paralelo al YZ.4.2.2

Plano que pasa por el eje Z.4.2.3 Plano que pasa por el origen O.4.2.4

• Recta frontal del plano.

Recta, tal como la f, paralela al plano verticalX Z . Las proyecciones f (directa) y f ” son pa-ralelas a la traza vertical αα2 y las proyeccio-nes f ’ y f ’’’ (no dibujada) son paralelas a losejes X y Z respectivamente. Lógicamente, noposee traza vertical (F2 ).

4.3 Rectas contenidas en un plano.

Una recta pertenece a un plano cuando las tra-zas de la recta se encuentran sobre las trazashomónimas del plano que la contiene.

Análogamente, para que un punto pertenezcaa un plano es preciso que dicho punto se en-cuentre sobre una recta contenida en el plano.

• Recta horizontal del plano.

La recta h , contenida en un plano cualquieraαα , es paralela al plano horizontal XY. Las pro-yecciones h (directa) y h’ serán paralelas a latraza αα1 del plano y las proyecciones h” y h’”(no dibujadas) serán paralelas a los ejes X e Yrespectivamente. Obviamente, no posee trazahorizontal (H1) .

184

Se dibuja el cuerpo de envoltura o paralele-pípedo de dimensiones las totales del cuer-po a representar.

Se divide el paralelepípedo envoltura. Comoaún es difícil diferenciar qué aristas serán vi-sibles, se aconseja dibujar todas las líneas.

Se comienza por dibujar los tres ejes, eligien-do la posición del cuerpo para definir cuál deellos utilizaremos como eje de rotación.

Se dibujan las partes circulares (elipses uóvalos) y se trazan las líneas rectas tangen-tes a ellas para definir el contorno.

Se trazan las líneas que marcan la intersec-ción de caras mediante el cruce de líneasque limitan la vista frontal y lateral.

Por último, las aristas visibles se pasan conlínea firme y más gruesa, y se borran el restode líneas auxiliares.

Se trazan las líneas rectas que marcan lashendiduras superior e inferior en el cilindromayor.

Se borran las líneas y trazados no vistos oauxiliares y se remarcan las aristas y partesvistas, dibujando el volumen definitivo.

Para confeccionar un dibujo en pers-pectiva se lleva a cabo un reducido nú-mero de pasos y con un orden lógico.

Después de observar detenidamente elcuerpo se elige el punto de comienzo.Normalmente, el origen de coordenadasresulta ser el punto de partida idóneo. Proyecciones diédricas de la pieza de revolución a dibujar en

isométrica; en donde la vista alzado se muestra en corte total porel plano A - A , al objeto de ver con claridad sus partes huecas.

6 PASOS EN LA REPRESENTACIÓN DE CUERPOS CON CARAS PLANAS 7 PASOS EN LA REPRESENTACIÓN DE CUERPOS DE REVOLUCIÓN

Y

Z

X

A

A

ZZ

Y

Xm m

ab

YX

Z

n

n

n

YX

Z

O O

Y

X

Z

Y

X

Z

Y

X

Z

120° 120°

120°

Profundidad

Alt

ura

YX

Z

AnchuraY

X

Z

mb

a

Anchura

Alt

ura

Profundidad

Pro

fun

did

ad

O’

O’’O’’’Y

X

nn

n

m

Y

X

Z

1 2

3 4

1 2

43

O O

Z

O

1. Dibuja las PROYECCIONES de los puntos: A (30, 40, 50), B (45, 0, 60),C (10, 60, 0), D (0, 50, 30), E (0, 30, 0), F (0, 0, 70) y G (35,-20,-40).

2. Dibuja la PERSPECTIVA ISOMÉTRICA de la recta r (dada por lospuntos traza R1 y R3 ) así como sus PROYECCIONES sobre los planoscoordenados. Señala la POSICIÓN del tercer punto traza R2.

3. Dibuja las TRAZAS del PLANO definido por los puntos: A (40, 15, 0),

B (0,-40, 0) y C (0, 25, 30) y la HORIZONTAL del plano de cota 10 mm.

4. Dibuja las TRAZAS del PLANO definido por la recta r y el punto A.¿De qué TIPO de plano se trata? Sitúa en él un punto P de 25 mm.de cota y 30 mm. de alejamiento respecto al plano YZ.

NOTA.- Para situar los datos has de tener en cuenta la reducciónuniforme de todos sus ejes con un coeficiente de 0,8.

REPRESENTACIÓN ISOMÉTRICA DEL PUNTO, LA RECTA Y EL PLANO 56

2

43

1Z

Y X

Z

Y X

Z

X

A

Y

R3

R1

Y X

Z

r

GEOMETRÍA DESCRIPTIVAAXONOMETRÍAS. PERSPECTIVA ISOMÉTRICA

nombre y apellidos

nº curso/grupo fecha

2

3

1

1. Dibuja las PROYECCIONES de los puntos: A (30, 40, 50), B (45, 0, 60),C (10, 60, 0), D (0, 50, 30), E (0, 30, 0), F (0, 0, 70) y G (35,-20,-40).

2. Dibuja la PERSPECTIVA ISOMÉTRICA de la recta r (dada por lospuntos traza R1 y R3 ) así como sus PROYECCIONES sobre los planoscoordenados. Señala la POSICIÓN del tercer punto traza R2.

3. Dibuja las TRAZAS del PLANO definido por los puntos: A (40,15,0),

B (0,-40,0) y C (0,25,30) y la HORIZONTAL del plano de cota 10 mm.

4. Dibuja las TRAZAS del PLANO definido por la recta r y el punto A.¿De qué TIPO de plano se trata? Sitúa en él un punto P de 25 mm.de cota y 30 mm. de alejamiento respecto al plano YZ.

NOTA.- Para situar los datos has de tener en cuenta la reducciónuniforme de todos sus ejes con un coeficiente de 0,8.

REPRESENTACIÓN ISOMÉTRICA DEL PUNTO, LA RECTA Y EL PLANO 56

2

43

1Z

Y X

Z

Y X

Z

X

A

Y

R3

R1

Y X

Z

r


nombre y apellidos


2

3

1

P

P’’

P’

α 2α 3

α 1

PLANO PROYECTANTE sobre el plano YOZ;

esto es, perpendicular al plano YOZ

y por tanto, paralelo al eje X.

O

h

h’’

h’

A

A’’’

A’’

D’C’’’

A’

B’

B’’’

C’’

D’’

G

G’’

G’

G’’’

Y X

A’’

α 1

α 2

α 3C

B

10

R’’3

R’’’2

R’’’1

R’3

30

A’’’

F F’’ F’’’

B B’’

E’’

r’’

R’’ R’’1

R2 R’’2

r’

R3 R’’’3

r

r’’’

h’’h’’’

Z

h

h’

A A’

h’’’P’’’

D D’’’

E E’ E’’’

C C’

r

F’

R’2R1 R’1

C”

C’

10 25 25

VERIFICACIONES

1. Dibuja, separadamente, TRES RECTAS a, b y c PARALELAS a los PLANOS AXONOMÉTRICOS XY, XZ e YZ respectivamente, teniendo en cuenta que todas ellas han de distar 15 mm.del plano de referencia.

Z

Y X

Z

Y X

Z

Y X

O O

Z

Y X

Z

Y X

Z

Y X

2. Dibujar en PERSPECTIVA ISOMÉTRICA:

a) Un plano αα PARALELO al horizontal (XY).

b) Un plano ββ PROYECTANTE HORIZONTAL (perpendicular al XY ).

c ) Un plano γγ que CONTENGA al eje X.

O O

O

RECTA PARALELA AL PLANO XY RECTA PARALELA AL PLANO XZ RECTA PARALELA AL PLANO YZ

PLANO γγ QUE CONTIENE AL EJE XPLANO ββ PROYECTANTE HORIZONTALPLANO αα PARALELO AL HORIZONTAL (XY )

O

186

VERIFICACIONES

1. Dibuja, separadamente, TRES RECTAS a, b y c PARALELAS a los PLANOS AXONOMÉTRICOS XY, XZ e YZ respectivamente, teniendo en cuenta que todas ellas han de distar 15 mm.del plano de referencia.

Z

Y X

Z

Y X

Z

Y X

O O

Z

Y X

Z

Y X

Z

Y X


a) Un plano αα PARALELO al horizontal (XY).



O O

O

RECTA PARALELA AL PLANO XY RECTA PARALELA AL PLANO XZ RECTA PARALELA AL PLANO YZ

PLANO γγ QUE CONTIENE AL EJE XPLANO ββ PROYECTANTE HORIZONTALPLANO αα PARALELO AL HORIZONTAL (XY )

O

1. Dibuja, separadamente, TRES RECTAS a , b y c PARALELAS a los PLANOS AXONOMÉTRICOS XY, XZ e YZ respectivamente, teniendo en cuenta que todas ellas han de distar15 mm. del plano de referencia.

a’’

a’b’

b’’

c’’

c’


a ) Un plano αα PARALELO al horizontal (XY ) .



15

15 15

O

α 2α 3

O

β 2

β 1

β 3

γ3

OA3 A2

B1

B3

C2

C1

a

a’’’b

b’’’c’’’

c

O

γ2

γ1

186

Frecuentemente, en el dibujo isométrico, se utiliza PAPEL PAUTADOformado por módulos triangulares que constituyen una retícula quedirecciona la posición de los ejes isométricos. Dichas direcciones resultanser las de visualización de las proyecciones diédricas del objeto a representar.

A la vista de los tres sólidos dados por sus proyecciones, ALZADO yPLANTA, y teniendo en cuenta la posición del origen de coordenadasen cada caso (puntos A, B y C, respectivamente), se pide:

Dibujar la PERSPECTIVA ISOMÉTRICA de las TRES PIEZAS mecánicas.

NOTA.-Considérese que a cada 10 mm. del cuerpo le corresponde en la pers-pectiva una pauta o división de la red isométrica. Por tanto, a la vistade la reducción de los triángulos reticulares, el dibujo llevado direc-tamente ya considera la REDUCCIÓN (0,816) en cada eje o direcciónisométrica.

LA PERSPECTIVA ISOMÉTRICA CON AYUDA DE RETÍCULA 57

POSICIÓN FIJA DE LA ESCUADRAY GIROS DEL CARTABÓN EN EL

TRAZADO ISOMÉTRICO.

1 2 3

Y XC

Z

Y XB

ZY XA

Z

3

40

50

50

20 60

1 40

70

40

1010

10

10 10

60

50

10

A’’

A’

Y

Y

Z

X

60

B’

2

Y

XX

C’’

50

40

B’’

Y

Z

1020


nombre y apellidos


2

3

1

120°

Z

YX

FI JAF I JA

3º

2º

1º

C’

Y

Y

Z

20

10 1020

Frecuentemente, en el dibujo isométrico, se utiliza PAPEL PAUTADOformado por módulos triangulares que constituyen una retícula quedirecciona la posición de los ejes isométricos. Dichas direcciones resultanser las de visualización de las proyecciones diédricas del objeto a representar.

A la vista de los tres sólidos dados por sus proyecciones, ALZADO yPLANTA, y teniendo en cuenta la posición del origen de coordenadasen cada caso (puntos A, B y C, respectivamente), se pide:

Dibujar la PERSPECTIVA ISOMÉTRICA de las TRES PIEZAS mecánicas.

NOTA.-Considérese que a cada 10 mm. del cuerpo le corresponde en la pers-pectiva una pauta o división de la red isométrica. Por tanto, a la vistade la reducción de los triángulos reticulares, el dibujo llevado direc-tamente ya considera la REDUCCIÓN (0,816) en cada eje o direcciónisométrica.

LA PERSPECTIVA ISOMÉTRICA CON AYUDA DE RETÍCULA 57

POSICIÓN FIJA DE LA ESCUADRAY GIROS DEL CARTABÓN EN EL

TRAZADO ISOMÉTRICO.

1 2 3

Y XC

Z

Y XB

ZY XA

Z

3

40

50

50

20 60

1 40

70

40

1010

10

10 10

60

50

10

A’’

A’

Y

Y

Z

X

60

B’

2

Y

XX

C’’

50

40

B’’

Y

Z

1020


nombre y apellidos


2

3

1

120°

Z

YX

FI JAF I JA

3º

2º

1º

C’

Y

Y

Z

20

10 1020

1 2

B

A

3

C

VERIFICACIÓN

Las vistas diédricas ALZADO y PLANTA dadas corresponden a una PIEZA MECÁNICA inscrita en un cubo de 70 mm. de arista. Se pide:

a) Dibujar la vista LATERAL IZQUIERDA.

b) Con ayuda del PAUTADO ISOMÉTRICO, representar la PERSPECTIVA DEL SÓLIDO, teniendo en cuenta que cada división de la VISTA DIÉDRICA corresponde a una división de la rejillaisométrica.

ALZADO

PLANTA

LATERAL IZQUIERDO

Z Z

Y

Y

X

X

O’

O’’ O’’’

OXY

Z

188

VERIFICACIÓN



b) Con ayuda del PAUTADO ISOMÉTRICO, representar la PERSPECTIVA DEL SÓLIDO, teniendo en cuenta que cada división de la VISTA DIÉDRICA corresponde a una división de la rejillaisométrica.

ALZADO

PLANTA

LATERAL IZQUIERDO

Z Z

Y

Y

X

X

O’

O’’ O’’’

OXY

Z



b) Con ayuda del PAUTADO ISOMÉTRICO, representar la PERSPECTIVA DEL SÓLIDO, teniendo en cuenta que cada división de la VISTA DIÉDRICA corresponde a una división dela rejilla isométrica.

XY

Z

188

Se conocen las PROYECCIONES DIÉDRICAS necesarias para definir, contoda precisión, las TRES PIEZAS INDUSTRIALES que conforman la pro-puesta. Siguiendo el número de orden de cada una de ellas, se pide:

1. Dibuja, a escala 3/2, la PERSPECTIVA AXONOMÉTRICA ISOMÉTRICAteniendo en cuenta que el centro de la base circular de la pieza se encuen-tra en el punto A (35, 50, 0). Cotas en milímetros. Origen de coordena-das en O. Considerar como coeficiente de reducción de los ejes: 0,8.

2. Determina, a escala 3/4, la PERSPECTIVA ISOMÉTRICA de la pieza,considerando como coeficiente de reducción el valor 4 /5 (0,8 ).

3. Determina, a escala 1/1, la PERSPECTIVA ISOMÉTRICA del cuerpo,que puede considerarse inscrito en un hexaedro o cubo de 5 cm. dearista. Coeficiente de reducción: 0,8.Asimismo, calcula su VOLUMEN TOTAL.

REPRESENTACIÓN ISOMÉTRICA DE CUERPOS CON FORMAS CIRCULARES 58

1 2 3

ø30

25

50

15A’

A’’

25

80

ZZ

Y X

Z Z

Y

Y X

X

e: 3 / 2

XY

Z

O

e: 1 / 1

e: 3 / 4

VOLUMEN TOTAL = cm3


nombre y apellidos


2

3

1

XY

Z

XY

Z

60

Se conocen las PROYECCIONES DIÉDRICAS necesarias para definir, contoda precisión, las TRES PIEZAS INDUSTRIALES que conforman la pro-puesta. Siguiendo el número de orden de cada una de ellas, se pide:

1. Dibuja, a escala 3/2, la PERSPECTIVA AXONOMÉTRICA ISOMÉTRICAteniendo en cuenta que el centro de la base circular de la pieza se encuen-tra en el punto A (35, 50, 0). Cotas en milímetros. Origen de coordena-das en O. Considerar como coeficiente de reducción de los ejes: 0,8.

2. Determina, a escala 3/4, la PERSPECTIVA ISOMÉTRICA de la pieza,considerando como coeficiente de reducción el valor 4 /5 (0,8 ).

3. Determina, a escala 1/1, la PERSPECTIVA ISOMÉTRICA del cuerpo,que puede considerarse inscrito en un hexaedro o cubo de 5 cm. dearista. Coeficiente de reducción: 0,8.Asimismo, calcula su VOLUMEN TOTAL.

REPRESENTACIÓN ISOMÉTRICA DE CUERPOS CON FORMAS CIRCULARES 58

1 2 3

ø30

25

50

15A’

A’’

25

80

ZZ

Y X

Z Z

Y

Y X

X

e: 3 / 2

XY

Z

O

e: 1 / 1

e: 3 / 4

VOLUMEN TOTAL = cm3


nombre y apellidos


2

3

1

XY

Z

XY

Z

60

Y

A

X

Y

Z

O

111,59 cm3VOLUMEN TOTAL = 53

2+ π · 2,5

3=

Y

Z

X

X

Z

VERIFICACIÓN

Las DOS VISTAS DIÉDRICAS definen perfectamente el SÓLIDO representado, se pide:

Dibuja la PERSPECTIVA ISOMÉTRICA con ayuda del PAUTADO, teniendo en cuenta que cada 10 mm. equivalena UNA PAUTA en cualquiera de las tres direcciones de la perspectiva.

160

60

80

100

40

O’’

Z

X

X

Y

O’

120

80

Y X

Z

O

190

VERIFICACIÓN


Dibuja la PERSPECTIVA ISOMÉTRICA con ayuda del PAUTADO, teniendo en cuenta que cada 10 mm. equivalena UNA PAUTA en cualquiera de las tres direcciones de la perspectiva.

160

60

80

100

40

O’’

Z

X

X

Y

O’

120

80

Y X

Z

O


Dibujar la PERSPECTIVA ISOMÉTRICA con ayuda del PAUTADO, teniendo en cuenta que cada 10 mm.equivalen a UNA PAUTA en cualquiera de las tres direcciones de la perspectiva.

190

X

Y

Y

Z

Y X

Z

El dibujo representa las PROYECCIONES DIÉDRICAS de un cuerpo com-puesto por DOS ANILLOS CIRCULARES de sección cuadrada ensambla-dos en CUATRO PIEZAS PRISMÁTICAS dispuestas simétricamente.

Dibuja, a escala 2/1, la PERSPECTIVA ISOMÉTRICA del SÓLIDO, to-mando como COEFICIENTE DE REDUCCIÓN en las medidas sobre losejes el valor de 4/5.

REPRESENTACIÓN ISOMÉTRICA DE UNA MAQUETA ARQUITECTÓNICA 59

520

5

40

4050

5

65

25

5

e: 2 / 1


nombre y apellidos


2

3

1

Y X

Z

Y X

Z

Y X

Z

X

Y

Y

Z

Y X

Z

El dibujo representa las PROYECCIONES DIÉDRICAS de un cuerpo com-puesto por DOS ANILLOS CIRCULARES de sección cuadrada ensambla-dos en CUATRO PIEZAS PRISMÁTICAS dispuestas simétricamente.

Dibuja, a escala 2/1, la PERSPECTIVA ISOMÉTRICA del SÓLIDO, to-mando como COEFICIENTE DE REDUCCIÓN en las medidas sobre losejes el valor de 4/5.

REPRESENTACIÓN ISOMÉTRICA DE UNA MAQUETA ARQUITECTÓNICA 59

520

5

40

4050

5

65

25

5

e: 2 / 1


nombre y apellidos


2

3

1

Z

Y X

VERIFICACIÓN

Las DOS VISTAS DIÉDRICAS, acotadas en milímetros, definen perfectamente un ARCO como pieza dearquitectura infantil. Se pide:

Representar su DIBUJO ISOMÉTRICO con ayuda de la MALLA adjunta. Téngase en cuenta que cadadivisión del pautado corresponde a 5 mm. de la cifra real mostrada en la acotación de las vistas.

90 50

35

30

55

100

15

ALZADO PERFIL

PIEZA ARQUITECTÓNICA

192

VERIFICACIÓN

Las DOS VISTAS DIÉDRICAS, acotadas en milímetros, definen perfectamente un ARCO como pieza dearquitectura infantil. Se pide:


90 50

35

30

55

100

15

ALZADO PERFIL


Las DOS VISTAS DIÉDRICAS, acotadas en milímetros, definen perfectamente un ARCO como piezade arquitectura infantil. Se pide:


90 50

35

30

55

100

15


ALZADO PERFIL

192

Como se observa en la viñeta inferior, los GIROS ISOMÉTRICOS de lasdiferentes perspectivas que se pueden presentar, mantienen siempre el ejeZ vertical y los ejes X e Y a 30º con respecto a la HORIZONTAL del dibujo.

Cualquier PERSPECTIVA del objeto al ser girada 90º, deberá mantenercomo CONDICIÓN ISOMÉTRICA los ángulos de 30º de los ejes X e Y conrespecto a la HORIZONTAL del papel o soporte.

En la PARTE INFERIOR se presentan las VISTAS DIÉDRICAS que definencon claridad la PIEZA ARQUITECTÓNICA y la disposición de ejes X, Y,Z, así como la SITUACIÓN ESPACIAL de los puntos A, B y C.

Dibuja las CUATRO POSICIONES ISOMÉTRICAS indicadas, teniendo encuenta la situación del triedro de ejes que se propone en el pautado.NOTA.- Cada división del pautado equivale a 5 mm. de la cifra de acotado.

GIROS ISOMÉTRICOS EN LA PERSPECTIVA 60

50

15

40

20

45

Y

Y

X

X

ZB’’’

A’’’C’’’

O’’’

B’’

A’’ C’’

O’’

B’

A’

O’ C’

Z

VISTAS DIÉDRICAS DE UNA PIEZA ARQUITECTÓNICA

Posición 5

Posición 2Posición 1

Posición 6

Proyecciones diédricasdel objeto representadoa la derecha, que mues-tra los giros isométricosen la perspectiva.

1 2 3 4

5 6 7 8

Z

Y X

Z

Y

X

O YX

O

Z

Z

Y

X

O

Z

Y

X

O

Z

YX

90°

Z

O

Y X

O

Z

XY

XZ

O

Y

X

Z

O

Y

20

Z

X

O’’’

Z

Y

Y

X

O’

O’’

Y X

O

Z


nombre y apellidos


2

3

1

X

Z

YY

X

Z

Y

X

ZZ

X Y

Z

XY

YX

Z

Y

X

Z

Y

X

Z

O

Z

Y

X

90°

90°90°90°

90°

90°

90°

90°90°90°

90°

Como se observa en la viñeta inferior, los GIROS ISOMÉTRICOS de lasdiferentes perspectivas que se pueden presentar, mantienen siempre el ejeZ vertical y los ejes X e Y a 30º con respecto a la HORIZONTAL del dibujo.

Cualquier PERSPECTIVA del objeto al ser girada 90º, deberá mantenercomo CONDICIÓN ISOMÉTRICA los ángulos de 30º de los ejes X e Y conrespecto a la HORIZONTAL del papel o soporte.

En la PARTE INFERIOR se presentan las VISTAS DIÉDRICAS que definencon claridad la PIEZA ARQUITECTÓNICA y la disposición de ejes X, Y,Z, así como la SITUACIÓN ESPACIAL de los puntos A, B y C.

Dibuja las CUATRO POSICIONES ISOMÉTRICAS indicadas, teniendo encuenta la situación del triedro de ejes que se propone en el pautado.NOTA.- Cada división del pautado equivale a 5 mm. de la cifra de acotado.

GIROS ISOMÉTRICOS EN LA PERSPECTIVA 60

50

15

40

20

45

Y

Y

X

X

ZB’’’

A’’’C’’’

O’’’

B’’

A’’ C’’

O’’

B’

A’

O’ C’

Z

VISTAS DIÉDRICAS DE UNA PIEZA ARQUITECTÓNICA

Posición 5

Posición 2Posición 1

Posición 6

Proyecciones diédricasdel objeto representadoa la derecha, que mues-tra los giros isométricosen la perspectiva.

1 2 3 4

5 6 7 8

Z

Y X

Z

Y

X

O YX

O

Z

Z

Y

X

O

Z

Y

X

O

Z

YX

90°

Z

O

Y X

O

Z

XY

XZ

O

Y

X

Z

O

Y

20

Z

X

O’’’

Z

Y

Y

X

O’

O’’

Y X

O

Z


nombre y apellidos


2

3

1

X

Z

YY

X

Z

Y

X

ZZ

X Y

Z

XY

YX

Z

Y

X

Z

Y

X

Z

O

Z

Y

X

90°

90°90°90°

90°

90°

90°

90°90°90°

90°

O

Z

ZZ

O

Y X

C

B

A

XX

B

C

XXZ

O

Y

B

A

X

Z

O

A

B

C

YY

YY

VERIFICACIÓN

El dibujo de la derecha representa tanto el ALZADO como la PLANTA y la VISTA LATERAL de undeterminado SÓLIDO MACIZO, puesto que todas sus PROYECCIONES DIÉDRICAS son IDÉNTICAS.El CONTORNO de cualquiera de las vistas del sólido es un OCTÓGONO regular de 5 cm. de lado. Se pide:

Dibujar, a escala natural, su PERSPECTIVA ISOMÉTRICA. Tomar como COEFICIENTE DE REDUCCIÓN delos ejes el valor 0,8.

PROYECCIÓN ORTOGONAL DEL SÓLIDO

e: 1/ 1

XY

Z

PERSPECTIVA ISOMÉTRICA

194

VERIFICACIÓN

El dibujo de la derecha representa tanto el ALZADO como la PLANTA y la VISTA LATERAL de undeterminado SÓLIDO MACIZO, puesto que todas sus PROYECCIONES DIÉDRICAS son IDÉNTICAS.El CONTORNO de cualquiera de las vistas del sólido es un OCTÓGONO regular de 5 cm. de lado. Se pide:

Dibujar, a escala natural, su PERSPECTIVA ISOMÉTRICA. Tomar como COEFICIENTE DE REDUCCIÓN delos ejes el valor 0,8.

PROYECCIÓN ORTOGONAL DEL SÓLIDO

e: 1/ 1

XY

Z

PERSPECTIVA ISOMÉTRICA

El dibujo de la derecha representa tanto el ALZADO como la PLANTA y la VISTA LATERAL de un determinadoSÓLIDO MACIZO, puesto que todas sus PROYECCIONES DIÉDRICAS son IDÉNTICAS.El CONTORNO de cualquiera de las vistas del sólido es un OCTÓGONO regular de 5 cm. de lado. Se pide:

Dibujar, a escala natural, su PERSPECTIVA ISOMÉTRICA. Tomar como COEFICIENTE DE REDUCCIÓN de losejes el valor 0,8.

XY

Z

e: 1/ 1 e: 4 / 5

Z

XY

OTRA POSIBLE SOLUCIÓN SUPONIENDO,SIMPLEMENTE, TRUNCADOS LOS VÉRTICES DEL CUBOCIRCUNSCRITO, ES LA DEL POLIEDRO SEMIRREGULAR O

ARQUIMEDIANO DENOMINADOCOSIHEXAEDRO O ROMBICUBOCTAEDRO.

194

Disponemos de una PERSPECTIVA ISOMÉTRICA, a escala 5/4, deun cuerpo real («La escalera engañosa» de R. Penrose), en el quetodos los planos son paralelos a los planos coordenados (isométricos)y todas las aristas son paralelas a los ejes.Dibuja, a escala 1/1, las PROYECCIONES DIÉDRICAS correspondien-tes a las direcciones indicadas, ACÓTÁNDOLAS debidamente.

NOTA.- Dado que la REDUCCIÓN que se origina en cada EJE ISO-METRICO es de 0,816 0,8 = 4/5, las magnitudes que se midan encualquier dirección de dichos ejes serán las mismas que las represen-tadas en la PERSPECTIVA ISOMÉTRICA adjunta, debido a que laescala de dicha perspectiva es 5 /4.Esto es: 4/5 (de reducción) x 5 /4 (escala de la perspectiva) =1.

ISOMETRÍA E ILUSIÓN ÓPTICA: LA ESCALERA ENGAÑOSA 61

El pintor holandés Maurits C. Escher (1898-1972) dió a conoceren 1960 una litografía titulada «Ascendiendo y descendiendo»,claramente inspirada en una desconcertante ilusión creada porel genetista inglés L. S. Penrose y por su hijo el físico-matemáticoRoger Penrose y publicada por ambos en 1958 en «The BritishJournal of Psycology» bajo el título «Impossible Objects: ASpecial Type of Visual Illusion».

Basados en esta idea se pueden construir múltiples perspectivasde objetos reales que produzcan esa «desconcertante ilusión»ya aludida.

e: 1 / 1

PROYECCIONES DIÉDRICAS


nombre y apellidos


2

3

1

LATERAL

DERECHO

ALZADOLATERAL DERECHO

PLANTA

«La escalera engañosa» 1.956. Roger Penrose.

Ilusión Óptica

e: 5 / 4

LATERAL

DERECHO

PLANTA

ALZADO

Disponemos de una PERSPECTIVA ISOMÉTRICA, a escala 5/4, deun cuerpo real («La escalera engañosa» de R. Penrose), en el quetodos los planos son paralelos a los planos coordenados (isométricos)y todas las aristas son paralelas a los ejes.Dibuja, a escala 1/1, las PROYECCIONES DIÉDRICAS correspondien-tes a las direcciones indicadas, ACÓTÁNDOLAS debidamente.

NOTA.- Dado que la REDUCCIÓN que se origina en cada EJE ISO-METRICO es de 0,816 0,8 = 4/5, las magnitudes que se midan encualquier dirección de dichos ejes serán las mismas que las represen-tadas en la PERSPECTIVA ISOMÉTRICA adjunta, debido a que laescala de dicha perspectiva es 5 /4.Esto es: 4/5 (de reducción) x 5 /4 (escala de la perspectiva) =1.

ISOMETRÍA E ILUSIÓN ÓPTICA: LA ESCALERA ENGAÑOSA 61

El pintor holandés Maurits C. Escher (1898-1972) dió a conoceren 1960 una litografía titulada «Ascendiendo y descendiendo»,claramente inspirada en una desconcertante ilusión creada porel genetista inglés L. S. Penrose y por su hijo el físico-matemáticoRoger Penrose y publicada por ambos en 1958 en «The BritishJournal of Psycology» bajo el título «Impossible Objects: ASpecial Type of Visual Illusion».

Basados en esta idea se pueden construir múltiples perspectivasde objetos reales que produzcan esa «desconcertante ilusión»ya aludida.

e: 1 / 1

PROYECCIONES DIÉDRICAS


nombre y apellidos


2

3

1

LATERAL

DERECHO

ALZADOLATERAL DERECHO

PLANTA

«La escalera engañosa» 1.956. Roger Penrose.

Ilusión Óptica

e: 5 / 4

LATERAL

DERECHO

PLANTA

ALZADO

36

8 16 8

56

244

432

24248

8

20

40

56

Documents

UNIDAD 15. AXONOMETRÍAS ORTOGONALES. PERSPECTIVA ISOMÉTRICA · La proyección v’ es un punto y las otras dos (v” y v’”) paralelas a Z. 3.3.3 Rectas que cortan a los ejes