Unidad 2 - Funciones Polinomiales Y Racionales

Unidad II:Unidad II:

Funciones Polinomiales Y Racionales.Funciones Polinomiales Y Racionales.

“El Que Sabe Resolver Problemas

Es Menos Eficiente Que…

El Que Sabe Evitarlos”

- Luis S. González -

Rango ( , 2] U [6 , )Dominio ( , 2) U (2 ,)

Asíntota Oblicua x+2

Asíntota Vertical x=2

Unidad II: Funciones Polinomiales Y Racionales.

2.1. Función Polinomial.

2.1.1. Definición De Función Polinomial.

Una función polinomial es una suma de términos4 (monomios), conformados de un coeficiente y una variable (generalmente “x”) elevada a un exponente entero positivo. Ejemplo…

2.1.2. Notación De Una Función Polinomial.

2.1.3. Coeficiente Principal De Una Función Polinomial.

Es el coeficiente o número que multiplica a la variable de mayor exponente en una función polinomial. Ejemplo…

En este caso el Coeficiente Principal es 3 ya que multiplica a que es la variable que tiene el mayor exponente.

Existen funciones polinomiales con uno, dos o más términos, por ejemplo: Monomio (un término): En este caso el coeficiente principal es 5, la variable es x y el exponente 2

Binomio (dos términos):

Trinomio (tres términos): Etc.

2.1.4. Grado De Una Función Polinomial.5

El grado de una función polinomial es igual al mayor exponente que tenga la variable. Ejemplo:

4 Término: Es aquella expresión matemática que se encuentra delimitada por signos de suma (+) o resta (-)5 Los polinomios se deben escribir en orden decreciente con respecto al grado de cada término.

Página 22 Ing. Gilberto Marín Uribe.

Siendo y…

n = un número entero positivo.

5 3 2( ) 3 4 5f x x x x Término

Variable

Coeficiente Exponente

Término Independienteo constante


2.1.5. Casos Particulares De La Función Polinomial. (Gráfica, Dominio y Rango).

Función. Descripción. Gráfica.Dominio y

Rango.

Constante.

Función polinomial formada sólo del término independiente; el rango consta de un solo valor, es decir, su gráfica es una Recta Horizontal a “c” unidades a partir del eje “x”. Ejemplo…

Dominio

Rango

Lineal

Función polinomial formada de un término lineal “mx”, y un término independiente “b”. Ejemplo…

Observa que el coeficiente del término lineal “x” es la Pendiente “m” de la Recta y el término independiente “b” es la intersección con el eje “y”

Dominio

Rango

Función polinomial formada sólo de un término lineal “mx”. Ejemplo…

El hecho de que no tenga término independiente, significa que la Recta pasa por el origen del sistema de ejes coordenados.

Observa que el coeficiente del término lineal “x” es la Pendiente “m” de la recta, y ya que intersecta al eje “y” en “ ”, carece del término independiente “b”

Dominio

Rango

Cuadrática Función formada de un término cuadrado “ ” y que puede tener o no tener los términos lineal “bx” e independiente “c”. La función representa una Parábola Vertical a la que por comodidad cambiaremos la nomenclatura de sus coeficientes.



Dominio Y Rango De Las Funciones Cuadráticas (Parábolas Verticales).

Parábola Ejemplo e Interpretación Gráfica Dominio 6 Rango

Positiva: Abre hacia arriba.El Vértice está en el origen

[0 , )

Negativa: Abre hacia abajo.El Vértice está en el origen

( , 0]

Positiva: Abre hacia arriba.El Vértice está en:

x = 0 , y = 1

[c , )

Ej. [1 , )


x = 0 , y = -1

[c , )

Ej. [-1 , )

Negativa: Abre hacia abajo.El Vértice está en:

x = 0 , y = 1

( , c]

Ej. ( , 1]

Negativa: Abre hacia abajo.El Vértice está en:

x = 0 , y = -1

( , c]

Ej. ( , -1]


[y , )


[y , )

Dominio Y Rango De Funciones Polinomiales

6 El Dominio de toda función cuadrática es , pero si la función la hemos obtenido de una función racional, entonces el Dominio y Rango dependerán de los valores críticos que produzcan indeterminación de la función.



El Dominio de las funciones polinomiales no esta restringido por ninguna condición, y por lo tanto, el dominio son todos los números reales, es decir, tienen…

Dominio

Observa detenidamente la gráfica de las siguientes funciones…

Seguramente habrás notado que…

a) Cuando el Grado7 del polinomio es “Par”, la gráfica se parece a una Parábola ;

b) Y cuando el grado del polinomio es “Impar”, se parece a la gráfica de la función Cúbica

Como conclusión se puede establecer que… el Rango de una función polinomial esta determinado por el Grado de la misma, es decir…

a) Si el grado de la función es “Par”, entonces su rango, lo puedes conocer…

1) Estableciendo hacia dónde abre la gráfica, si el signo del término que define el grado es (+) entonces abre hacia arriba, y si es (–) abre hacia abajo

2) Determina el valor Mínimo o Máximo, según para donde abra la gráfica

… y con éstos dos elementos defines el Rango, si abre hacia arriba su Rango será ,

pero si abre hacia abajo tiene el rango

b) Si el grado de la función es “Impar”, entonces siempre tendrá un… Rango

Recapitulando… si una función polinomial tiene…

Grado Impar, entonces tiene: Dominio y Rango

Grado Par, entonces su tiene: Dominio y el Rango lo determinas como se indico en el párrafo anterior

7 El grado de una función polinomial es igual al mayor exponente que tenga la variable.


3f x x 5 3 24 1f x x x x

Grado Impar

2f x x 4 23 1f x x x x

Grado Par


2.2. Raíces De Funciones Polinomiales.

Las raíces de una función polinomial son los valores de “x” que hacen que el valor de la función sea igual a cero . Es decir, las raíces de una función son las abscisas de sus puntos de Intersección con el eje de las “x”. Las raíces de una función también son conocidas como los Ceros De La Función o Soluciones De La Función.

2.2.1. Raíces De Funciones Lineales Y Cuadráticas.

Procedimiento…1) Iguala la función polinomial a cero .

2) Despeja el valor de “x”, las soluciones son las raíces del polinomio.

Si es de la forma…

a) Lineal su única raíz real es (observa que la recta pasa por el origen)

b) Lineal su única raíz real es (observa que la recta no pasa por el origen)

c) Cuadrática tiene una sola raíz real (observa que la parábola tiene Vértice en el origen)

d)Cuadrática tiene dos raíces que pueden ser reales o imaginarias

e) Cuadrática siempre tiene dos raíces reales (observa que la

parábola Pasa por el origen)


1 Raíz 1 x

2 Raíz 2 x

3 Raíz 3 x


f) Cuadrática tiene dos raíces que pueden ser reales o imaginarias, puedes resolver

factorizando el trinomio, o por medio de la Fórmula General…

EJEMPLO 1: Encuentra las raíces reales de las siguientes funciones (realiza la gráfica)…

1) 6)

2) 7)

3) 8)

4) 9)

5) 10)

EJERCICIO 2.1: Encuentra las raíces reales de las siguientes funciones (realiza la gráfica)…

1) 6) 11)

2) 7) 12)

3) 8) 13)

4) 9) 14)

5) 10) 15)

2.2.2. Raíces Reales De Funciones De Grado Mayor O Igual a 3.


Realiza un análisis de la fórmula para localizar la Ordenada del Vértice de una

parábola , y el Discriminante

de la Fórmula General para

encontrar raíces de una función cuadrática.

Deducción…


Teorema Fundamental Del Álgebra.

Carl Friedrch Gauss ha sido uno de los matemáticos más grandes de todos los tiempos. Contribuyó a muchas ramas de las matemáticas. En 1798, ¡a los 20 años de edad!, Gauss demostró el teorema fundamental del Álgebra que establece lo siguiente:

El número de factores en que se puede descomponer una función polinomial es igual al grado de la función. Los factores correspondientes son de la forma , es decir…

donde son las raíces de la función polinomial, de tal manera que toda función polinomial de grado “n”, tiene “n” raíces.

Recapitulando… una función polinomial tendrá el mismo número de raíces que su grado (siendo éstas reales o imaginarias)

Regla De Los Signos De Descartes.

Rene Descartes encontró un método para indicar el número de raíces reales positivas en un polinomio. Esta regla dice lo siguiente:

En una función polinomial ordenada en forma Decreciente respecto al grado de cada término… el

número de Raíces Reales Positivas es igual al número de cambios de signo de término a término de la función polinomial, o es menor que éste, en un número entero par. Para encontrar el número de Raíces

Reales Negativas, basta con hacer y aplicar la regla anterior. Por ejemplo…

tiene un cambio de signo, del segundo al tercer término, por lo tanto tiene una raíz real

positiva.

tiene dos cambios de signo, del primer al segundo término y del segundo al tercer

término, por lo tanto tiene dos raíces reales positivas o ninguna.

Regla De Ruffini.

El conjunto de posibles raíces de la función polinomial se forma dividiendo los Divisores del

Término Independiente, por los Divisores del Coeficiente Principal (hay que considerar tanto divisores

positivos como negativos). Después, cada una de éstas fracciones se Evalúan en la función ; si el

resultado es Cero, entonces es una raíz, si el resultado es Diferente de Cero, entonces No es una raíz de la función (Teorema Del Residuo). Recuerda que si la función polinomial carece del término independiente, significa que pasa por el origen y por lo tanto una de sus raíces es “Cero”. j con la Multiplicidad de raíces

Puedes aplicar la División Sintética como una forma de abreviar la regla de Ruffini.

EJEMPLO 2: Encuentra las raíces reales de las siguientes funciones (realiza la gráfica)…

1) 2)



EJERCICIO 2.2: Encuentra las raíces reales de las siguientes funciones (realiza la gráfica)…

1) 5)

2) 6)

3) 7)

4) 8)

2.3. Máximos Y Mínimos De Funciones.

2.3.1. Definición Del Valor Máximo De Una Función.

2.3.2. Definición Del Valor Mínimo De Una Función.

2.3.3. Determinación De Máximos Y Mínimos De Una Función.

Si “c” es un punto del Dominio “S” de , se dice que…

a) es el valor Máximo de en “S” si para toda “x” que pertenezca al dominio “S”.

b) es el valor Mínimo de en “S” si para toda “x” que pertenezca al dominio “S”.

c) es un Valor Extremo de en el dominio “S” si es un Máximo o un Mínimo.

Una misma función puede tener varios valores máximos o mínimos, a los cuales se les llama “Relativos”. Al máximo de mayor valor y al mínimo de valor más pequeño se les denomina “Absoluto”. Un valor de frontera puede ser un máximo o mínimo absoluto, pero no se puede considerar como máximo o mínimo relativo.

2.3.3. Determinación De Máximos Y Mínimos De Una Función.

EJEMPLO 3: Determina los valores máximos y mínimos de la función (Absolutos Y Relativos)

EJERCICIO 2.3: Encuentra los valores máximos y mínimos de la función (Absolutos Y Relativos)

1) 2) 3)


Máximo Absoluto en Mínimo Absoluto en Mínimo Relativo en

Máximo Absoluto

MínimoAbsoluto

Mínimo Relativo

Valor De Frontera

Valor DeFrontera


2.4. Función Racional.

2.4.1. Definición De Función Racional.

Son las funciones que pueden expresarse como el cociente de dos funciones polinomiales…

2.4.2. Notación De Función Racional.

Recuerda que...

Es obvio que toda función polinomial es racional, ya que su valor funcional puede expresarse como una

fracción cuyo denominador es “1” y a su vez “1” es el valor funcional de la función constante .

Las funciones racionales, también, Son aquellas cuyas variables no contienen exponentes fraccionarios ni se encuentran bajo el signo radical. Ejemplo…

2.4.3. Dominio, Rango Y Gráfica De Una Función Racional.

EJERCICIO 2.4: Encuentra analíticamente el intervalo solución para el Dominio y el Rango de la función, traza la gráfica correspondiente para comprobar.


Expresión MatemáticaIndeterminación

0

Denominador

Numerador


2.5. Asíntotas De Funciones.

Establecer las ecuaciones de las Asíntotas de una función, será de gran utilidad para determinar fácilmente el dominio y el rango de la misma. Analizaremos los siguientes tipos de asíntotas:

Asíntota: es la tendencia o comportamiento característico que presentan algunas funciones… para los casos que nos ocupan… algunas funciones tienden a formar una recta cuando se presenta un comportamiento Local o en Infinito

2.5.1. Comportamiento Local Y En Infinito.

Existen funciones que al acercarse a un valor determinado de “x” (sin llegar a tocarlo), el valor de la función crece o decrece de forma infinita. También existe otro comportamiento similar en el cual al asignarle a “x” valores cada vez más grandes o cada vez más pequeños (hasta el infinito), produce que el valor de “y” tienda a ser constante, sin llegar a serlo. Ambos comportamientos delatan la presencia de una asíntota de la función…

2.5.2. Asíntota Vertical.

Se dice que la ecuación de la recta “ ” es una asíntota vertical de la gráfica de la función si por

lo menos una de las siguientes condiciones es verdadera…

La expresión “ ” se lee… Cuando “x” tiende hacia “a” por la Derecha, y significa que se evaluaran valores de “x” mayores que “a”. La expresión “ ” se lee… Cuando “x” tiende hacia “a” por la Izquierda, y significa que se evaluaran valores de “x” menores que “a”. La expresión “ ”, no significa que se tengan que evaluar valores positivos, ni la notación “ ”, quiere decir que se evalúen valores negativos, sino que se deben evaluar valores por la Derecha e Izquierda de “a” respectivamente.

El valor de “a” es un Valor Crítico de la función, por lo general es el valor que hace cero el denominador de una función racional. Las funciones pueden tener más de una asíntota vertical.

A éste método se le conoce como “Límites Laterales”

Si el rango de la función tiende al infinito ( ó ) al evaluar valores de “x” mayores que “a”, significa que la función se encuentra a la Derecha de


Vertical

Horizontal

Oblicua

Asíntotas

Es decir, cuando el valor de la función (valores de “y”) tiende al “infinito” (en cualquier sentido ) al acercarse a un valor de “” ya sea por la derecha o por la izquierda.

1) ( )

2) ( )

3) ( )

4) ( )

x a

x a

x a

x a

Lím f x

Lím f x

Lím f x

Lím f x

a

a a

x

y

x a

AsíntotaVertical

f x

0


“a”. Si el rango de la función tiende al infinito ( ó ) al evaluar valores de “x” menores que “a”, significa que la función se encuentra a la Izquierda de “a”.Observación: Para determinar la existencia de asíntotas verticales, debes hallar el o los valores críticos

(valores de “x” que hacen cero el denominador), para esto factoriza el numerador o el denominador, o ambos, para tratar de evitar la división por cero, si después de dividir factores (si es que sea posible) no se logra evitar la división, entonces los valores de la variable independiente (x) que hagan cero el denominador, predicen una probable asíntota vertical, que debes comprobar aplicando Límites Laterales.

Observación: La Asíntota Vertical nunca intersecta (cruza) a la función en cuestión, mientras que la Asíntota Horizontal y Oblicua pueden intersectar o no a la función.

EJEMPLO 4: Encuentra las ecuaciones de las Asíntotas Verticales de la siguiente función…

Límite Lateral Por La Izquierda Límite Lateral Por La Derecha

x 2.8 2.9 2.99 2.999 2.9999 3 3.0001 3.001 3.1 3.2 3.5

y -15 -30 -300 -3000 -30000 Indef 30000 3000 30 15 6

Al evaluar valores de “x” por la derecha de 3 (mayores que 3), e ir acercándose los valores de “x” a 3, los valores de “y” tienden hacia el , por lo tanto, Existe Una Asíntota En “x = 3”, esto también indica que la función (o parte de ella) se encuentra a la derecha del 3.

Por otra parte al evaluar valores de “x” por la izquierda de 3 (menores que 3), e ir acercándose los valores de “x” a 3, los valores de “y” tienden hacia el , por lo tanto, se confirma que Existe Una Asíntota En “x = 3”, y también indica que la función (o parte de ella) se encuentra a la izquierda del 3.

Al realizar la gráfica de la función, se observa que efectivamente existe una asíntota vertical en “x = 3”


y y

33 x x

Ec. de laAsíntotaVertical

Ec. de laAsíntotaVertical

3

AsíntotaVertical

x

0

AsíntotaHorizontal

y


2.5.3. Asíntota Horizontal.

Se dice que la recta “ ” es una asíntota horizontal de

la gráfica de la función “ ” si el valor de la función

tiende o se hace Finito cuando “x” Crece o Decrece infinitamente, es decir…

Para determinar la existencia de asíntotas horizontales emplearemos la Regla De L’Hôpital la cual se describe a continuación…

Regla De L’Hôpital.- Indica que en el límite de una función que tiende hacia el Infinito ( ):

1) Cada término de la función sea dividido por la variable independiente que tenga el mayor valor exponencial.

2) Después debe de reducirse cada término.

3) Finalmente se sustituye el “ ” en la variable independiente (generalmente x) en todos los términos en que se encuentre.

4) Se realizan las operaciones indicadas, si se obtiene como resultado un número real (), entonces existe una Asíntota Horizontal en “y = al número real obtenido”; de lo contrario se concluye que no existe la Asíntota Horizontal.

Recuerda que… y que…

EJEMPLO 5: Encuentra las ecuaciones de las Asíntotas Horizontales de la siguiente función…

El 0 es un número real, Existe Una Asíntota Horizontal En “ y = 0 ”

La función utilizada en éste ejemplo, es la misma que la usada en el ejemplo 4 para determinar asíntotas verticales (Pág. 34), de tal manera que podemos utilizar la misma gráfica de la función para observar que existe una Asíntota Horizontal en “ y = 0 ”


Ec. de laAsíntota

Horizontal

f x

x

y

0

b

AsíntotaHorizontal

y b

Observación: Para que existan las asíntotas horizontales, el grado del denominador debe ser igual o mayor que el grado del numerador.

3 3 33 0

03 3 33 11 1

x x x

x xLím Lím Límxxx x x

0

0


OBSERVACIÓN: En el caso de la función del ejemplo anterior… el dominio es y el

Rango

2.5.4. Asíntota Oblicua.

La gráfica de una función racional de la forma , donde el grado de es de un orden unitario

superior al de g(x), tiene la recta como asíntota oblicua.

Procedimiento: Se Divide el polinomio del numerador entre el polinomio del denominador, y

se obtiene la suma de una función Recta y una función racional, esto es…

Donde el grado del polinomio es de un grado unitario inferior al grado de

La ecuación de la recta “ ” es la Asíntota Oblicua de la función.

Observación: Para que existan las asíntotas oblicuas, el grado del numerador debe ser mayor por 1 que el grado del denominador.

EJEMPLO 6: Encuentra la ecuación de Asíntota Oblicua de la función…

Localizamos las intersecciones con los ejes para trazar la Recta de la Asíntota Oblicua


AsíntotaOblicua

Asíntota Oblicua

2

( )1

xf x

x

mx b

2

11

11

xx

x x

2

0

x x

x

1

1

x

h x

g x


f(0) = (0) + 1 = 1 (0 , 1)f(x) = 0 = x + 1 = 0 (-1 , 0)

2.5.5. Utilización De Las Asíntotas De Una Función Para Determinar El Dominio Y Rango De Una Función.

EJERCICIO 2.5: Encuentra analíticamente todas las asíntotas que tenga cada función, determina Dominio y Rango, Traza la gráfica correspondiente para comprobar.





Ejercicios De Repaso.

Halla Las Raíces Reales, Dominio y Rango De Los Polinomios:

1) 7)

2) 8)

3) 9)

4) 10)

5) 11)

6) 12)

Encuentra el Dominio Y el Rango

1) 2) 3) 4)

Modelos Matemáticos.1) Un estacionamiento en la ciudad cobra $20.00 por la primera hora y $10.00 por cada hora adicional.

Expresa la cuota de estacionamiento como una función del número de horas estacionadas.2) Salomón dispone de 40 metros de alambrada para cercar un jardín rectangular, sabiendo que sólo debe

colocarla sobre tres lados porque el cuarto limita con su casa, determina el área máxima que se puede cercar.

3) Para una exposición se mandarán a hacer folletos. El costo inicial por material y diseño es de $1000 y se paga una sola vez. Además se pagarán $2.5 por cada folleto. Encuentra una expresión que indique el costo por cada uno de los folletos en función de la cantidad total de folletos.

4) Se sabe que 100 gramos de granos secos de soya contienen 35 gr. de proteínas y 100 gr. de lentejas secas contienen 26 gr. de proteínas. Los hombres de talla media que viven en un clima moderado necesitan 70 gr. de proteínas en su alimentación diaria. Supongamos que un hombre quiere conseguir esos 70 gr. de proteínas comiendo soya y/o lentejas. Sea x la cantidad de soya e y la cantidad de lentejas diarias (x e y medidas en gr.) ¿Cuál es la relación entre x e y?

5) Un lote rectangular va a cercarse en tres de sus lados. Si el área del lote es de 30 metros cuadrados, expresa la longitud de la cerca como una función de la longitud del lado no cercado.

6) Una huerta de manzanos tiene 40 árboles por hectárea y el promedio de producción es de 300 manzanas por árbol al año. Si por cada árbol que se plante por hectárea, además de los 40, la producción promedio por árbol disminuye en 5 manzanas, expresa la producción de cada hectárea en función del número de árboles adicionales sembrados.

7) Se desea construir un recipiente con la forma de un cilindro circular sin tapa con un volumen de 24 centímetros cúbicos. El precio del material que se usa para el fondo es el triple que el del material que se usa para la parte curva. Expresa el costo del recipiente en función del radio de la base del cilindro.

En éstos Enlaces puedes descargar un graficador para que compruebes tus resultados: http://compazoxidado.blogspot.com/2010/02/mathgv-31-software.html

http://compazoxidado.blogspot.com/2010/02/winplot-software.html


http://compazoxidado.blogspot.com/2010/02/winplot-software.html

http://compazoxidado.blogspot.com/2010/02/mathgv-31-software.html

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