Unidad 2. Geometría Moderna 1 Circunferencia y cuadrilateros cíclicos

Cuadriláteros

Por tres puntos no alineados, pasa siempre una circunferencia. En efecto, si tenemos tres puntos A, B yC en el plano, éstos pueden ser considerados como vértices de un triángulo, las mediatrices de sus ladosse cortan en el circuncentro que es el centro del círculo que pasa por A, B y C.Cuatro puntos tomados al azar no se encuentran por lo general sobre una circunferencia. Cuando cuatropuntos (o más) se encuentran sobre una circunferencia decimos que son concíclicos (o más brevementecíclicos). Un polígono se dirá inscrito en una circunferencia si sus vértices están sobre una circunferencia,y el círculo se dice circunscrito al polígono. También diremos que el polígono es cíclico.Diremos que dos lados de un cuadrilátero son adyacentes o bien lados opuestos, de acuerdo a si tienen o noun vértice común. Dos vértices son vértices adyacentes o bien vértices opuestos dependiendo si pertenecena un mismo lado o no. Las rectas que unen vértices opuestos se llamarán diagonales. Por ejemplo, en elcuadrilátero ABCD, AB, BC, CD, DA son los lados y AC, BD las diagonales

Para un cuadrilátero ABCD podemos, además de ver ángulos en A, en B, en C, y en D considerar otrosocho ángulos, que se forman con los lados del cuadrilátero y las diagonales AC y BD, que denotaremospor a,b,c,d,e,f,g,h

Si el cuadrilátero es cíclico se tiene:

1. a=d

2. b=g

3. c=f

4. e=h

5. ∠ A+ ∠ C = 180 pues

∠ A = ∠ BAD =1

2∠ BOD

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∠ C = ∠ DCB =1

2∠ DOB

Por lo tanto

∠ A+ ∠ C = ∠ BAD + ∠ DCB =1

2∠ BOD +

1

2∠ DOB = 180o

6. ∠ B + ∠ D = 180Teorema 1. El cuadrilátero ABCD es cíclico si y sólo si

AC ·BD = AB · CD +BC ·AD

Demostración. Prolongamos el lado BC hasta O

Si suponemos que el cuadrilátero ABCD es cíclico entonces

α = ∠ DAC = ∠ CBD

β = ∠ ACD = ∠ ABD

γ = ∠ ADC = ∠ ABO

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Colocamos O de tal manera que γ = ∠ OAB = ∠ CAD

Los triángulos OAB y ACD son semejantes, se tiene entonces que

AB

AD=OB

CD⇒ AB · CD

AD= OB (1)

Por otro lado los triángulos OAC y BAD son semejantes

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de manera queOC

BD=AB

AD⇒ AC ·BD

AD= OC (2)

Si el cuadrilátero ABCD es cíclico entonces

OC = OB +BC

utilizando (1) y (2) tenemos que

OC = OB +BC ⇒ AC ·BDAD

=AB · CDAD

+BC ⇒ AC ·BD = AB · CD +BC ·AD

Para el regreso necesitamos un ejercicio previo

Ejercicio Demuestre que en el cuadrilátero ABCD, si los triángulos ABC y AED son semejantes entoncestambién lo son los triángulos ABE y ACD

Solución Si los triángulos ABC y AED son semejantes entonces

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AB

AE=AC

AD=BC

DE⇒ BC ·AD = AC ·DE

de la última igualdad tenemos

AC

AD=BC

DE⇒ BC ·AD = AC ·DE (3)

También se tieneAB

AE=AC

AD⇒ AC

AB=AD

AE

Esto quiere decir que los lados AC y AB son proporcionales y también los lados AD y AE y comolos ángulos ∠ DAC y ∠ EAB son iguales

entonces los triángulos ADC y AEB son semejantes y por lo tanto

AB

AC=EB

DC⇒ AB ·DC = EB ·AC (4)

Sumamos (3) y (4) y se tiene

BC ·AD +AB ·DC = AC ·DE + EB ·AC = AC[DE + EB]

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Ahora bien según la �gura

DE + EB ≥ BD

Si el punto E cae en la diagonal DB entonces DE + EB = BD por lo que

BC ·AD +AB ·DC = AC ·DE + EB ·AC = AC[DE + EB] = AC ·DB

Además el ángulo ∠ ADE = ∠ ADB = ∠ BCA, y de la semejanza de los triángulos AEB y ADCse tiene

∠ ABE = ∠ ACD, es decir, que los ángulos entre diagonales y lados opuestos son iguales y, por lotanto, el cuadrilátero ABCD es cíclico

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