Repaso sistemas de potencia

Componentes simétricas.

Cada voltaje de fase tiene tres componentes .

Va=Va₀+Va₁+Va₂

Vb=Vʙ₀+Vʙ₁+Vʙ₂

Vc=Vϲ₀+Vϲ₁+Vϲ₂

Aplicando el operador α=1/120º

Nos queda entonces:

Va= Va₀+Va₁+Va₂

Vb= Va₀+α 2 Va₁+ α Va₂

Vc= Va₀+ α Va₁+α 2Va₂

Simplificando la notación.

Va₀= V₀; Va₁= V₁ y Va₂= V₂ nos queda entonces

Va= V₀+V₁+V₂ Vb= V₀+α 2 V₁+ α V₂ Vc= V₀+ α V₁+α 2V₂

Operando en sentido contrario tenemos.

V₀=⅓(Va+Vb+Vc)

V₁=⅓(Va+ α Vb+α 2Vc)

V₂=⅓(Va+α 2Vb+ α Vc)

Z₀=Impedancia de secuencia cero=Z₀₀=J(Xѕ+2Xm)

Z₁= Impedancia de secuencia positiva=Z₁₁=J(Xs-Xm)

Z₂= Impedancia de secuencia negativa=Z₂₂=J(Xs-Xm)

Lext=2x10−7 lnDr H/m

Xl=2πfL

DMG=mn√D 12D13……D 1mDmn

RMG=1,09n√r ' xd 12xd 13 x……d1n r’=r e−14

Unidad 2

Calculo de líneas eléctricas.

Líneas cortas menos de 80 Km de longitud Líneas medias entre 80 y 240 Km de longitud Líneas largas de mas de 240 Km

Lineas de transmision corta

VP=Voltaje en el extremo transmisor

Vr=voltaje en el extremo receptor.

Ip=Ir=corriente en el extremo transmisor y receptor

Tensión en el extremo transmisor es:

Vp=Vr+ Ir x Z

.

1) Para carga con factor de potencia atrazado.

Vp=√(Vr cosθ+ IrR)2+(Vr sinθ+ IrXl)2

2) Carga con factor de potencia 1

Vp=√(Vr+ IrR )2+(IrXl)2

3) Para cargas con factor de potencia en adelanto.

Vp=√(Vr cosθ+ IrR)2+(Vr sinθ−IrXl)2

Para todos los casos:

%de regulación =[Vp ]−[Vr ]

[Vr ] x100

Líneas de transmisión medias

Circuito nominal T

Circuito nominal π.

Para el circuito π nominal

Ic ' '=VrY2

y la corriente en el ramal serie Is=Ir+ Y2Vr

Vp=tensión en el extremo emisor

Vr=tensión en el extremo receptor

Nos queda: Vp=Vr+(Vr Y2 + Ir)Z o lo que lo mismo

Vp=(ZY2 +1)Vr+Z IrIp nos queda de la siguiente manera.

Ip=VrY (1+ ZY4 )+ Ir(1+ ZY2 )

Para el circuito nominal T

Ip=VrY + Ir ¿

Vp=Vr (1+YZ2 )+ Ir(Z+Y Z2

4).

Ejercicio Calculo de línea corta

Una línea trifásica de 60 Hz de un solo circuito tiene una longitud de 16,09 Km, está formada por conductores de cobre estirado en frio #4/0 (19 HILOS) colocados en triangulo equilátero con 1,525 m entre centros. Alimenta con 11000 Voltios una carga balanceada de 2500Kw, Encontrar la tensión en el extremo transmisor cuando el factor de potencia sea0, 8(-) ,1 y 0,9(+)la temperatura del conductor es de 50ºC

Por tablas para conductor #4/0 a 50ºC de cobre

R=0,188 ohms/Km.

La resistencia total será entonces Rt=0,188x16,09=3,024Ohms.

Diámetro exterior del conductor=1,34 cm.

r’=0,799r=0,799x1,34/2=0,522 cm

Deq=3√1,525 x1,525 x1,525=1,525m

La inductancia será L=0,46logDeqr '

H /m.

L=0,46 log152,50,522

=1,135ase mHfaseKm

Xl=Wl=2π 60 x1,135=0,427ohmsfase

/Km

Para una longitud de 16,09 Km nos queda Xl=j6,87 ohms.

La impedancia nos queda entonces: Z= 3,024+j6,87 ohms=7,55/66,3 ° ohms

1) Factor de potencia 0,8(-)

I=2500

√3 x 11 x0,8=164 Amp .

Vp=Vr+ Ir x Z=11/√3 +164/-36,9 ° x7, 55/66,3 ° =7420+j610

Vp =7450/4,61°

2) Factor de potencia 0,9(+)

I=2500

√3 x 11 x0,9=145,8 Amp.

Vp=6340+145/25,9°x7,55/66,3°=6297+j1100 Voltios

Vp=6400/9,9°

3) Factor de potencia 1

I=2500

√3 x 11=131 Amp

Vp =6340+131x(3,024+j6,872)

Vp =6800/7,66° voltios

Ejercicio Líneas cortas

Una línea trifásica corta de 69 Kv tiene 16 Km de longitud la línea tiene por fase una impedancia en serie de Z= 0,125+j0,4375 ohms/fase/Km. Determinar 1)el voltaje en el receptor,2)la regulación de voltaje 3)la potencia total recibida y 4)la eficiencia de transmisión.

Cuando la línea entrega a)70 MVA ,fp: 0,8 en retrasó a 64 Kv

b)120 MVA,fp:1 a 64 Kv.

La impedancia total será: Z=(0,125+j0,4375)16=2+j7 ohms

El voltaje recibido por fase es. Vr= 64/0°/√3=36,95/0°

La potencia recibida al final de la línea es:

Sr(3f)=70/cos−10,8 =70/-36,87°=(56+j42)MVA

La corriente por fase esta dada por:

Ir=Sr ( trif )3Vr

=7000/−36,87 °3 x36,95/0 °

=¿ 631,477/-36,87° Amp.

El voltaje en la salida será: Vp=Vr+ Ir x Z=36,95/0°+(2+j7)631,477x10−3/-36,87°=40,708/3,9137°Kv

→|Vplinea|=40,708x√3=70,508Kv

La potencia de envió es :

Ss(trif)=3VsxIs=3x40,708/3,9137° x631,477x10−3 /-36,87 ° =58,397 MW+j50,374 MVAR Ss(trif)=77,12/40,784° MVA.

Regulación de voltaje→%Vr=70,508−64

64x100=10,17%

La eficiencia de transmisión de la línea es

Ƞ=Pr (trif )Ps (trif )

=56

58.393x100=95,90%

Hacer parte b

Líneas largas de transmisión

Ecuaciones de resolución.

E(x)=Er (cosh √ZY x )+ Ir(√ ZY sinh √ZY x )

I(x)=¿

Se define como constante de propagación a √ZY =m y a√ ZY =Zₒ como la impedancia

característica de la línea también se puede decir que Zₒ=1Yₒ

Entonces las ecuaciones quedan:

E(x)=Er (coshm x )+ Ir (Zₒsinhmx )

I(x)=¿Ir=Ipcoshmx−[VpZ ₒ ]sinhmx

También se pueden escribir en forma matricial de la siguiente manera

E ( x )I ( x )

=[ coshmx Zₒ sinhmxY ₒ sinhmx coshmx ]x Er

Ir

Redes con cuatro terminales (cuadripolos)

Cualquier red lineal,pasiva y bilateral de dos puestos se puede representar por circuitos T o π y un tercer equivalente que se puede mencionar como V.En estos equivalentes Z12 se puede tratar como una impedancia mutua o de transferencia entre dos lineal de impedancia propia Z11 y Z22.

Π Equivalente

V Equivalente

T Equivalente

En lineal generales se pueden mostrar las tensiones y corrientes de entrada y salida en forma de un cuadripolo.

E1=AE2+BI2

I1=CE2+DI2

Líneas acopladas serie

E’s=A1E’r+B1I’r Donde E’r=E’’s I’r=I’’s

I’s=C1E’r+D1I’r

E’’s=A2E’’r+D2I’’r

I’’s=C2E’’r+D2I’’r

E’s=(A1A2+B1C2)E’’r+(B1D2+A1B2)I’’r

I’s=(A2C1+C2D1)E’’r+(B2C1+D1D2)I’’r

At=(A1A2+B1C2) Bt=(B1D2+A1B2)

Ct=(A2C1+C2D1) Dt=(B2C1+D1D2)

Cuadripolo para una línea corta

VpIp

=[A BC D ] [VrIr ]

De acuerdo a la ecuación de comportamiento nos quedaA=1; B=Z; C=0; D=1Cuadripolo para una línea media en circuito nominal Π

Vp=(ZY2 +1)Vr+Z Ir

Ip=VrY (1+ ZY4 )+ Ir(1+ ZY2 )

VpIp

=[A BC D ]= Vr

Ir

VpIp

=[ YZ2

+1 Z

Y (YZ4

+1) (ZY2

+1)] VrIr quedando las constantes

A=YZ/2+1; B=Z; C=Y(YZ4

+1¿; D=(ZY2

+1)

Cuadripolo para una línea media en circuito nominal T

Vp=Vr (1+YZ2 )+ Ir(Z+Y Z2

4).

Ip=VrY + Ir (1+ Z2Y )

VpIp

=[YZ2 +1 (Z+Y Z2

4).

Y (ZY2

+1) ] VrIr quedando entonces las constantes.

A=YZ/2+1; B=(Z+Y Z2

4 );C=Y ;D=(ZY2 +1) .Cuadripolo para una línea largaE(x)=Er (cosh √ZY x )+ Ir(√ ZY sinh √ZY x )

I(x)=¿

En forma matricial se expresa:

E (x)I (x )

=[ coshmx Zₒ sinhmxYₒ sinhmx coshmx ] Er

Ir

Donde :A=coshmx ; B=Zₒsinhmx ;C=Yₒ sinhmx ;D=coshmx

Ejercicio

Una línea trifásica que opera a 115Kv entre fases, 60Hz, 120,675 Km de longitud para alimentar una carga de 30MW con fp:0,8 en atrazo,tiene un conductor por fase de 300MCM de ACSR(26/7)dispuestos horizontalmente y separados 4,575 m entre conductores adyacentes ,suponiendo una temperatura de 50ºC en los conductores calcular:

a) Voltaje, corriente, potencia y factor de potencia en el extremo de envío.

b) Eficiencia de la línea.

Solución

Por tablas para un conductor ACSR de 300MCM el diámetro es:

d=1,7272cm y R=0,193 Ω/Km

Rt=0,193x120,675=23,3 Ω

DMG=3√4,575 x 4,575 x9,15=5,764

La inductancia promedio por fase:

L=4,606 x10−7 x logDMGr'

Henry /m

r’=o,779xd/2=0,779x1,72722

=0,672cm

Nos queda entonces:

L=4,606 x10−7 x log

576,40,672

=1,351

mHenryfaseKm

Para una longitud de 120,675 Km

L=1,351x120,675=163.03 mHenry/fase

Xl=2Π60x163,03x10−3=61,46 Ω/fase

La admitancia en derivación se calcula a partir de la capacitancia en el neutro.

Cn= 0,0241

logDMGr '

μ F/Km al neutro.

Cn=0,0241

log576,40,672

=0,0085μ F/Km al neutro.

Y=WCn=2Π60x0,0085x10−6 =3,2x10−6Ʊ /Km

Y=3,2x10−6x120,675=3,861x10−4Ʊ

El voltaje al neutro será:

Vr=115√3

=66,4 /0˚Kv

Ir=30000

0,8 x115√3=188,5 /-36,9˚Amp.

La impedancia en serie es Z=R+jX=23,3+j61,46 Ω=65,6/69,2˚ Ω

El voltaje al principio de la línea si se considera línea media y configuración Π

Vp=(ZY2 +1)Vr+Z IrVp=(65,6/69,2˚ x3,86110−4/90˚ /2 +1)66,4/0˚ + 65,6/69,2˚ x188,5 /-36,9˚=76,1/5,2˚Kv

Vl-l=76,1x√3=132Kv.

La corriente al principio de la línea es

Ip=VrY (1+ ZY4 )+ Ir(1+ ZY2 ) pero expresada en función de Vp nos queda

Ip=Y2x (Vp+Vr )+ Ir

Ip= j 3,861x 10−4

2(76100 /5,2 ˚+ j 6900+66400)+188,5 /-36,9

Ip=172,3/-29,7˚Amp.

La potencia

P=√3x132x172,3xcos (29,7+5,2 )=32,35KW

b)La eficiencia de la linea

Ƞ=3000032350

x100=92,7%

Ejercicio

Una línea de transmisión de 386,16 Km de longitud, tres fases,60 Hz alimenta a una carga de 75000Kw a 220 Kv con fp:1si los parámetros de la línea son

R=0,174 Ω/Km X=0,497 Ω/Km y Y=3,293x10−6Ʊ /Km

Encontrar:

a)La corriente al principio de la línea en vacio

b)Si se supone el voltaje en la carga constante, calcular la regulación de voltaje para la carga especifica.

Solución

La impedancia en la línea:

Z=0,174+j0,497)386.16=47,89+j191,92=198/75,9°

La admitancia a tierra.

Y=3.293x10−6x386.16=1,272x10−3/90°Ʊ

mx=√ZY =√198 x1,272 x10−3 /165,9 ° /165,9°=/90°+75,9°

√ (a+ jb )=√|modulo|/α/2

La constante de propagación

mx=0,5025/82,95°

La impedancia característica

√ ZY =Zₒ=√ 1981,272 x10−3 /−14,6 /-14,6=/75,6°-90°

Zₒ=394,0/-7°=391.06-j48,01

Por lo que

Ir=Ipcoshmx−[VpZₒ ]sinhmx y para una línea abierta Ir=0

Ip=[VpZ ₒ ] sinhmxcoshmx

ATENCION

sinh (a+ jb )=sinh acosb '+ jcosh a sinb '

cosh (a+ jb)=cosh acosb '+ j sinha sinb '

Donde b’=b180 °π

por estar b en radianes ,hay que convertirlos a grados

mx=0,5025/82,95°=0,06167+j0,4987→0,4987radianes=28,57°

sinhmx=sinh 0,06167cos 28,57 °+¿ j cosh0,06167sin 28,57 °=¿¿¿0,0542+j0,479=0,4822/83,54° coshmx=cosh 0,06167cos28,57 °+ j sinh 0,06167sin 28,57 °=0,8799+j0,0293=0,880/1,91°

Ip=220000

394√3/−7 °x0,4822/83,54 °0,880/1,91 ° =176,65/88,63° /88,63°=¿83,54 °+7°-1,91°

b)El voltaje al neutro en la carga.

Vr=220

√3 =127.0Kv

La corriente en la carga

Ir=75000220√3

=¿ 196,5/0°Amp.

Ep(x)=Er (coshm x )+ Ir (Zₒsinhmx )

Ep=127000(0,8799+j0,0293)+ 196,5/0°x394,0/-7°x0,4822/83,54°=120,65+j39,92=127,2/18,3°

Y el voltaje de línea a línea.

Erɩɩ=√3x127,2=220,3 Kv

La corriente Ip

I(x)=¿ Yₒ=1/ Zₒ

Ip=2,53x10−3 /7°x 0,4822/83,54° x 127000+196,5/0°x0,880/1,91°=172,22+j5,92

Ip=171,36+j161,18=235,55/43,24°Amp.

La potencia entregada al principio de la línea

Pp=√3 x220,3 x235.2cos (43,24−18,3 )=81500W

Si la línea esta en vacio Ir=0 entonces

Vs=Vr(coshmx )→Vr=Vs/(coshmx )

|Vr|=| 1270000,8799+ j 0,0293|=144,5Kv

y la regulación %V=144,5−127,0127,0

=13,8%

Ejercicio

Una línea de transmisión tiene una impedancia de 0,0994+j0,49 Ω/Km y una admitancia en derivación de 3,293x10−6 Ʊ /Km.

a)Si se supone que la línea es corta con 24,13 Km de longitud calcular las constantes A B C D.

b)Si se supone que la línea es de longitud media con 120,675 Km de longitud en el extremo receptor calcular la relación Vp-Vr

c) Repetir lo anterior pero si la línea tiene 32,8Km de longitud y la consideramos línea larga.

Solución

a) Línea corta

Z=24,13 (0,0994+j0,49)=2,4+j12

Vp=Vr+IrZ, Ir=Ip

Las constantes generalizadas son

A=1; B=Z; C=0; D=1Nos queda entonces A=1; B=2,4+j12; C=0; D=1

b) Línea media

Z= 120,675(0,0994+j0,49)=12.0+j60,0 Ω

La admitancia a tierra

Y=120,675(3,293x10−6)=j397, 5x10−6Ʊ

Considerando un circuito Π abierto en el extremo receptor.

Ir=0

Vp=Vr+Vr{12+ j602 } j397,5 x 10−6Kv

VpVr

=¿ 1+ j 0,002385−0,011925=0,9888075+j0,002385

|VpVr |=0,988

c) Considerando línea larga abierta en el receptor.

VpVr

=coshmx ; mx=321,8√ (0,094+ j 0,49 ) j3,293 x 10−6

mx=0,3218x√0,491/79,6 ° x 3,293/90 °=0,3218x1,27/84,8°=0,4087/84,8°=0,0371+j0,4075

0,4075 rad=23,35°

cosh ¿¿0,0371+j0,4075)=cosh 0,0371cos23,35 °+ j sinh 0,0371sin23,35 °=0,9187+ j0,0147

coshmx=¿¿0,919/0,9167°

|VpVr |=0,919.

Problemas planteados

Problema 1:

Una línea trifásica de 230kv tiene por fase una impedancia de transmisión Z=0,005+j0,45Ω /km y una admitancia en paralelo de y = j3,4x10-6 Ʊ /km . La línea tiene una longitud de 80Km; usando el modelo π determine:

a) las líneas de trasmisión A B C D. hallar el voltaje y corriente de envió (Vp,Ip) y la eficiencia de la línea cuand0 entrega

a) 200 MVA; fp =0,8 a 220Kvb) 306MW ; fp=1,0 a 220Kv

Respuesta :

a) Vs =140,1051/5,704°Kv

Is=502,38/-33,69°Amp

Ss3=211,16/39,396°MVA

%R=10,847%

Ƞ %=98,052%

a) Vs=132,897/12,6° KV Ss3=318,68/10,1°

Is=799,862/02,5°Amp %R=5,073% Ƞ %=97,53%

Problema 2:

Una línea de transmisión trifásica transpuesta de 345KV, 60hz, está compuesta por dos conductores ACSR de 1113000cmil(45/7) por fase con una disposición plana horizontal espaciada 11metros.los conductores tiene un diámetro de 3,195 cm y un RMG del conductor de 1,268 cm. el espacio entre conductores es de 45 cm .la resistencia de cada conductor es de 0,0538Ω/km.la línea es de 150km de longitud usando el modelo π determine las constantes A B C D

Problema 3:

Una línea de transmisión trifásica tiene una impedancia por fase de Z=0,03+j0,4 Ω/km y una admitancia en paralelo por fase de Y =j4,0x10-6Ʊ/Km la línea tiene 125 km de longitud .

Obtenga la matriz de transmisión A B C D determine los valores de recepción, la regulación y la eficiencia de transmisión cuando la línea está enviando 407 MW; 7,833MVAR a 350Kv

Solución :

a) 0,9875+j0,0009iVoltaje en la salida Vr=345,003Kv/-9,633° Potencia recibida Pr=401,884 MwIr=672,539/-9,639°%V=2,7326%Ƞ %=98,7429%

Problema 4 :

Una línea de transmisión transpuesta de 765 Kv ,60hz está compuesta por cuatro conductores ACSR 1431000cmil (45/7) por fase con un espaciamiento horizontal de 14 metros. El conductor tiene un diámetro de 3,625 cm y un rmc del conductor de 1,439 cm . el espacio entre conductores es de 45cm . la línea es de 400km de longitud (Resistencia de 0,0416 Ω/km)

a) Conseguir las constantes A B C D de la líneab) Cuando la línea entrega 2000 MVA a fp:0,8 de atrazo a 735Kv, determine las magnitudes

de envió y la regulación de voltajec) determine las magnitudes de recepción cuando 1920MW y 600MVAR son transmitidos a

765KVd) Si la línea termina con una carga resistiva pura de 264,5Ω y 735Kv hallar los parámetros de

envió y la regulación de el voltaje.

Respuestas a)Vs=140,105/5,704°Kv Is=502,38/-36,69°Amp Ss₃=211,16/39,40°MVA %R=10,85% Ƞ %=98,05%b)Vs=132,80/12,6° Kv Is=799,86/2,5° Amp Ss₃=318,68/10,1MVA %R=5,07% Ƞ %=97,523%

-Problema 5

Una línea de transmisión trifásica sencilla de 18 Km de longitud esta compuesta por tres conductores de cobre colocados en triangulo equilátero a 1,6 metros entre centros. La resistencia del conductor es de 0,2656 Ω/km a 20˚C.El conductor es de 266800 cmils(26/7) y tiene un diámetro total 16,30mm.

Si la línea entrega 2500KW con 11Kv a una carga balanceada a 50˚C:

a)Calcular los parámetros de impedancia de la línea.

b)Cual debe ser la tensión de despacho cuando el factor de potencia es de 1)0,8 en atrazo 2)fp:1 y 3)fp:0,9 en adelanto.

c)Determinar el porcentaje de regulación de la línea con los factores de potencia indicados.

-Problema 6

Una línea trifásica sencilla de 160,9 Km entrega 55MVA a 0,8 de factor de potencia con una tensión de 132 Kv V(ɩ-ɩ)La línea esta compuesta por conductores en ACSR 795000 cmil(26/7)(R=0,1284 Ω/km) diámetro 29,13 mm,colocados horizontalmente con un espacio entre si de 3,63 metros .Determinar:a)La impedancia serie y la admitancia en paralelo de la línea

b)Las constantes A B C D de la línea en lo circuitos equivalentes T y TT

c)El voltaje la corriente y la potencia reactiva de envió así como el factor de potencia usando el

circuito TT

Problema 7

Hallar las constantes del circuito equivalente TT teniendo 600 Ω como resistencia en paralelo del lado de envio,1K Ω como resistencia en paralelo del lado receptor y 80 Ω como resistencia serie entre las dos en paralelo. Resultado D=1,133 como dato faltan las otras 3

Problema 8

Las constantes A B C D de una línea trifásicas son: A=D=0,936+j0,016 B=33,5+j138 Ω y C=(-5,18+j914)x10−6Ʊ

Si la carga en el lado receptor es de 50MW a 220Kv con un factor de potencia de 0,9 en adelanto. Hallar el voltaje en el lado emisor y la regulación Se asume que el voltaje del lado emisor permanece constante.