Resumen –– En este experimento, la primera parte que se realizó fue el obtener una relación de la temperatura de un cuerpo negro y la radiación que emite, analizando un foco, un horno eléctrico.

De igual manera se trabajó con un cubo de Leslie para ver la dependencia de la radiación de un cuerpo dependiendo su superficie.

Al final trabajamos con un filamento metálico de tungsteno el cual se analizó como un cuerpo negro y se logró obtener la ley y constante de Stefan-Boltzmann.

En el desarrollo del experimento se trabajó con una termopila la cual fue nuestro sensor de temperatura y la cual nos regresaba un voltaje a la salida, con lo cual analizamos voltajes y temperaturas; en la última parte del experimento se trabajó con una bomba de vacío, por lo cual se debió tener conocimientos previos de técnicas de vació..

Palabras Clave – Cuerpo negro, Stefan-Boltzmann, cubo de Leslie, tungsteno, termopila.

I. INTRODUCCIÓN

A. Cuerpo Negro

Una superficie ideal que absorbe todas las longitudes de onda de la radiación electromagnética que le llegan también es el mejor emisor posible de radiación electromagnética de cualquier longitud de onda.Esta superficie ideal se llama cuerpo negro, y el espectro continuo de radiación que emite se llama radiación de cuerpo negro.Para 1900, ya se había estudiado esa radiación en forma extensa, y se habían determinado varias de sus características.Primero, la intensidad total I (la rasa media de radiación de energía por unidad de superficie, o potencia media por área) emitida de la superficie de un radiador ideal es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta.Esta intensidad I emitida a la temperatura absoluta T sique la ley de Stefan-Boltzmann:

I=σT 4 (1)Donde sigma es una constante física fundamental, llamada constante de Stefan-Boltzmann.

σ=5.670400 x10− 8 Wm2 K4

En segundo lugar, la intensidad no se distribuye de manera uniforme en todas las longitudes de onda, su distribución puede medirse y describirse con la intensidad por intervalo de longitudes de onda, I(λ), es llamada emitancia espectral. Así, I(λ)dλ es la intensidad correspondiente a las longitudes de onda del intervalo que va de λ a λ + dλ.La intensidad total I, definida por la ley de Stefan-Boltzmann, es la integral de la función I(λ) sobre las longitudes de onda, y es igual al área bajo la curva de I(λ) en función de I(λ).

I=∫0

∞

I ( λ ) dλ (2)

En la Fig.1. Se muestran ejemplos de emitancias espectrales, cada una tiene longitud de onda máxima, a la cual la intensidad emitida por intervalos de longitud de onda máxima.

Fig.1. Emitancias espectrales

Los experimentos demuestran que λm es inversamente proporcional a T, de tal manera que su producto es constante.Este resultado se conoce como la ley de desplazamiento de Wien.

λmT=2.90 x10−3 m K (3)

Cuando la temperatura aumenta, el ácimo de I(λ) se vuelve más alto y se desplaza a longitudes de onda menores.

Constante de Stefan-Boltzmann

GHMLaboratorio I, ESFM, Instituto Politécnico Nacional, UPALM, Av. IPN, S/N, México D. F.

Teléfono

Rayleigh y la “catástrofe ultravioleta”

Durante la última década del siglo XIX se hicieron muchos intentos para deducir estos resultados empíricos a partir de principios básicos.Lord Rayleigh considero el caso de la luz encerrada en una caja rectangular con lados interiores perfectamente reflectantes.Esa caja tiene una serie de modos normales posibles para las ondas electromagnéticas.Parecía razonable suponer que la distribución de la energía entre los diversos modos estuviera determinada por el principio de equipartición, que se había usado con éxito en el análisis de las capacidades caloríficas. Un pequeño orificio en la caja se comporta con un radiador ideal de cuerpo negro.Incluyendo las energías de campos eléctricos y magnéticos, Rayleigh supuso que la energía total de cada modo normal era igual a kT. Entonces, al calcular la cantidad de modos normales correspondientes a un intervalo de longitud de onda dλ, Rayleigh logró predecir la distribución de longitudes de onda en la radiación del interior de la caja.

Su resultado fue

I ( λ )=2πckTλ4 (4)

Para longitudes de onda grandes concuerda muy bien con los resultados experimentales de la Fig.1, pero hay un grave desacuerdo con las longitudes pequeñas.Este resultado se llamó la catástrofe ultravioleta

Planck y la hipótesis cuántica

Por ultimo en 1900, el físico Mas Planck logro deducir una función que hoy se llama la ley de Planck. En su deducción planteo una hipótesis, supuso que los osciladores electromagnéticos en las paredes de la caja de Rayleigh, que vibraban a la frecuencia f, solo podían tener ciertos valores de energía, iguales a nhf, donde n=0,1,2,3,…Su hipótesis produjo niveles cuantiados de energía.La distribución de la intensidad por parte de Planck. [1]

I ( λ )= 2 πh c2

λ5(ehc

λkT −1) (5)

II. METODOLOGÍA

A. Foco

En esta primera parte, se busca tener una relación de la intensidad emitida y la temperatura, sabemos que

I=σ T m (6)Donde sabemos que la intensidad emitida es

PA

=σ T m (7)

EntoncesP=B T m (8)

Y buscamos una aproximación del índice m, para realizar este análisis, tenemos que sacando logaritmos

T()+ log ( B )

log ( P )=m log (9)

Además para este caso, sabemos que la resistencia del filamento de tungsteno depende de su temperatura de acuerdo a la siguiente relación:

R (T )=R0 (1+α ( T −T 0 )) (10)Se montó el arreglo experimental como se muestra en el diagrama, utilizando un foco, una fuente de voltaje, dos voltímetros, un filtro y una termopila.

Fig.2. Experimento Foco

Lo que se realizó primero fue una variación mínima en el voltaje de entrada, hacia el foco para que este no se calentara y así pudimos calcular la resistencia R0.Después se procedió la variación del voltaje desde 0V hasta 120V, y se midieron distintas mediciones en la termopila para poder encontrar un comportamiento con la temperatura, se buscó encontrar una relación entre la potencia del foco y el voltaje de la termopila.

B. Horno Eléctrico

En esta parte se realizo de manera, solo que en esta ocasión, la cavidad del horno actuaba como cuerpo negro ideal, entonces, al aumentar el voltaje del horno eléctrico, aumentaba la temperatura del mismo, esta temperatura la pudimos medir con la ayuda de un termómetro.Se busco obtener nuevamente la pendiente m.Se monto el arreglo experimental como se muestra en el diagrama.

Fig.3. Experimento horno eléctrico

C. Cubo de Leslie

Este experimento nuevamente se realizó de manera análoga a los dos anteriores, cubo de Leslie, que es una caja metálica cúbica hueca cuyas caras exteriores tienen diferentes acabados (blanca, negra, metálica brillante y metálica mate). En el interior de cubo se llenó de agua con una temperatura aproximadamente de 100°C.Se tuvo la precaución de agitar el agua continuamente para garantizar la uniformidad de las temperaturas, la termopila fue tomando mediciones del voltaje de cada cara, hasta que el agua en el interior alcanzara la temperatura ambiente.A diferencia de los dos experimentos anteriores en este caso se buscó apreciar el comportamiento de la radiación de un cuerpo cuando sus superficies son distintas.

Fig.4. Cubo de Leslie

D. Filamento metálico

En esta última parte se determinó un valor aproximado de la constante de Stefan-Boltzmann, para ello se necesitaba conocer el valor de la temperatura y la radiación del cuerpo.Se utilizó una gran cantidad de filamentos de cobre, el cual se sabe que su temperatura de fusión.

Se introdujo el primer alambre de cobre en la cámara de vació y en sus terminales se le aplicó una diferencia de potencial; esta diferencia de potencial se le aplico variando la corriente aplicada, ya que la fuente se le puso un máximo de voltaje y se varió la corriente desde cero para poder tener más control del voltaje; y por ultimo un voltímetro en paralelo para poder conocer el voltaje en el filamento.

Así se realizaron varias mediciones de voltaje y corriente del filamento en el instante en que llegaba a su punto de fusión, para tener mayor precisión en las mediciones se grabaron los resultados.Se tomaron las dimensiones de los alambres, el largo y el ancho y además para considerar dichos alambre como cuerpo negro se ahumó cada alambre con ayuda de la lámpara de petróleo.

Se pudo conocer la radiación emitida, con estos valores nos fue posible determinar el valor de la constante de Stefan-Boltzmann.

Fig.5. Experimento filamento metálico

III. RESULTADOS

A. FocoResistencia a temperatura ambiente de 25°C.

TABLA 1. RESISTENCIA

Corriente (mA) Voltaje (mV)

2.46 8.33

0.3 1.02

1.3 4.7

1.86 6.3

2.4 8.1

2.75 9.4

3.3 11.3

4.35 14.8

4.9 16.7

5.7 19.3

Graficando los datos para tener un valor de la resistencia

Fig.6. Resistencia a temperatura ambiente

Con el ajuste lineal Y = A + B * XTenemos, los siguientes valores:Parámetro Valor Error-----------------------------------------------------------A 0.08393 0.06839B 3.38031 0.02053------------------------------------------------------------Por lo tantoRo=3.02066 ΩAhora buscamos ver si la potencia es proporcional al voltaje de la termopila.

TABLA 2 RELACIÓN POTENCIA VOLTAJE

Voltaje termopila (V) Potencia (W)

0 0.9073

1.2E-4 9.28

5E-4 20

0.0013 36.276

0.0024 51.59

0.0028 58.38

0.0037 71.475

0.0048 87.76

0.0059 104.55

0.00675 113.225

0.0072 122.94

0.0079 131.905

0.0086 143.07

0.0095 155.82

0.0102 166.4

0.0112 179.17

0.0123 192.15

0.013 204.25

0.0141 218.46

0.0154 233.325

0.0165 242.82

0.0168 249.09

0.0175 259.096

0.019 282.48

Graficando, para ver comportamiento

Fig.7. Relación potencia voltaje

Con un ajuste lineal Y = A + B * XParámetro Valor Error------------------------------------------------------------A 16.20375 1.9726B 14197.37 0.18885------------------------------------------------------------Vemos que estas dos variables son directamente proporcionales.

Ahora para encontrar la pendiente m de la ecuación (9), se tuvieron los siguientes datos, donde se tuvieron que descartar los primeros datos, ya que la temperatura del filamento no se alejaba de la temperatura ambiente y entonces tenemos

TABLA 3 VALOR DE ÍNDICE M

Potencia (W) R (Ω) T (°K)

104.55 36.1764706 2453.39

113.225 36.9714286 2505.66

122.94 37.9444444 2569.63

131.905 38.5405405 2608.82

143.07 39.6315789 2680.55

155.82 40.5612245 2741.67

166.4 41.6 2809.97

179.17 42.6341463 2877.96

192.15 43.5714286 2939.58

204.25 44.1860465 2979.99

218.46 45.1363636 3042.47

233.325 46.0888889 3105.10

242.82 46.7105263 3145.97

249.09 47.0869565 3170.72

259.096 47.7253219 3212.69

282.48 49.0416667 3299.23

Para calcular la temperatura se utilizó la ecuación (10), utilizando el valor deRo=3.02066 ΩT 0=297.15 K

α=4.5 x 10−3 1K

Y en cada caso el dato correspondiente a la resistencia.Finalmente se graficó, los logaritmos base 10 de la potencia y de la temperatura, para poder calcular el valor de la pendiente.

Fig.8. Índice m

Ajuste lineal de la forma Y = A + B * X

Parámetro Valor Error------------------------------------------------------------A -21.36661 0.18247B 3.3349 0.02291------------------------------------------------------------

Por lo tanto m=3.3349Entonces por la ecuación (6), sustituyendo el valor de m, hemos obtenido la ley de Stefan-Boltzmann.

B. Horno eléctrico

A continuación se presentan los datos de la temperatura del horno y de la respuesta del voltaje de la termopila.

TABLA 4 HORNO ELÉCTRICO

Temperatura (°K) Voltaje termopila (V)

296.15 0.000013

316.15 0.000467

326.15 0.000656

336.15 0.000949

346.15 0.00124

356.15 0.001564

366.15 0.001931

376.15 0.00234

387.15 0.002776

398.15 0.00327

409.15 0.00384

420.15 0.00448

432.15 0.005184

443.15 0.005985

454.15 0.006783

469.15 0.00786

479.15 0.008708

491.15 0.009884

504.15 0.011081

516.15 0.012473

528.15 0.013801

541.15 0.015444

556.15 0.017293

569.15 0.019179

583.15 0.02121

596.15 0.023196

609.15 0.025475

622.15 0.027748

636.15 0.030292

650.15 0.033323

Graficando los logaritmos base 10 de la temperatura y el voltaje.Las primeras 5 mediciones no se tomaron en cuenta por ser valores de la temperatura no muy distintos de la temperatura ambiente.

Fig.9. Horno eléctrico

Ajuste lineal Y = A + B * XDónde:Parámetro Valor Error------------------------------------------------------------A -35.31474 0.52528B 4.94259 0.08483------------------------------------------------------------

En este caso entonces la pendiente de la recta es B=4.94259

C. Cubo de Leslie

Se presentan cuatro tablas correspondientes a las cuatro caras del cubo de Leslie con las temperaturas y el voltaje correspondiente de la lectura de la termopila.

TABLA 5 CARA NEGRA

Temperatura (°K) Voltaje(mV)

356 1.91

355 1.92

354 1.42

353 1.38

352 1.35

350 1.29

349 1.24

348 1.21

347 1.19

346 1.16

345 1.12

344 1.1

343 1.06

342 1.04

340 1.02

339 1.01

338 0.96

335 0.92

332 0.85

331 0.77

327 0.72

324 0.66

321 0.56

318 0.5

316 0.43

315 0.39

314 0.36

312 0.32

TABLA 6 CARA BLANCA

Temperatura(°K) Voltaje (mV)

356 1.47

355 1.39

354 1.35

353 1.32

352 1.29

351 1.25

350 1.23

349 1.2

348 1.17

347 1.14

346 1.11

345 1.09

344 1.06

343 1.033

338 0.92

336 0.86

329 0.67

325 0.57

322 0.5

319 0.49

317 0.4

316 0.37

314 0.33

313 0.3

312 0.28

TABLA 7. METÁLICA BRILLANTE

Temperatura(°K) Voltaje (mV)

350 0.155

349 0.152

348 0.154

347 0.175

346 0.167

345 0.15

344 0.158

343 0.145

342 0.146

341 0.146

340 0.144

339 0.143

338 0.14

337 0.139

336 0.133

335 0.133

334 0.129

333 0.127

330 0.133

328 0.118

326 0.156

323 0.121

318 0.116

315 0.105

313 0.116

311 0.108

308 0.091

306 0.094

300 0.074

TABLA 8. METÁLICA MATE

Temperatura (°K) Voltaje (mV)

356 0.326

355 0.311

354 0.298

353 0.292

352 0.289

351 0.282

350 0.276

349 0.267

348 0.261

347 0.258

346 0.248

345 0.243

344 0.237

343 0.23

342 0.226

339 0.219

337 0.2

335 0.19

332 0.167

329 0.151

327 0.14

325 0.126

321 0.102

319 0.098

317 0.086

315 0.078

313 0.069

311 0.062

Se graficaron los datos de la temperatura y el voltaje de cada cara, en sus calores aplicando logaritmo base 10.En la Fig. 10 se presentan los ajustes lineales correspondientes.Los ajustes lineales tienen la forma Ajuste lineal Y = A + B * X

Cara negra

Parámetro Valor Error------------------------------------------------------------A -65.65423 2.41239B 11.26232 0.41447------------------------------------------------------------Cara blanca

Parámetro Valor Error------------------------------------------------------------A -68.11504 1.85738B 11.66646 0.31912------------------------------------------------------------Cara metálica brillante

Parámetro Valor Error------------------------------------------------------------A -25.85736 1.85652B 4.1051 0.31986------------------------------------------------------------Cara metálica mate

Parámetro Valor Error------------------------------------------------------------A -69.52827 1.84064B 11.65362 0.31619------------------------------------------------------------

D. Filamento metálico

TABLA 9. FILAMENTO METÁLICO

I=P/A (W/m2)

Temperatura (°K)

σ(W/m2K4)

96353.26 1357.62 2.84E-08

108856.25 1357.62 3.20E-08

96353.26 1357.62 2.84E-08

104612.11 1357.62 3.08E-08

83200.28 1357.62 2.45E-08

94441.49 1357.62 2.78E-08

80753.21 1357.62 2.38E-08

168235.86 1357.62 4.95E-08

102891.52 1357.62 3.03E-08

95894.44 1357.62 2.82E-08

92338.54 1357.62 2.72E-08

85647.34 1357.62 2.52E-08

106065.06 1357.62 3.12E-08

116732.74 1357.62 3.44E-08

110118.01 1357.62 3.24E-08

118835.69 1357.62 3.50E-08

122812.17 1357.62 3.62E-08

124494.53 1357.62 3.66E-08

110118.01 1357.62 3.24E-08

112870.97 1357.62 3.32E-08

97729.74 1357.62 2.88E-08

101706.22 1357.62 2.99E-08

105873.88 1357.62 3.12E-08

88323.82 1357.62 2.60E-08

90541.48 1357.62 2.67E-08

88094.41 1357.62 2.59E-08

96926.79 1357.62 2.85E-08

87100.29 1357.62 2.56E-08

94976.79 1357.62 2.80E-08

104688.58 1357.62 3.08E-08

109735.66 1357.62 3.23E-08

88094.41 1357.62 2.59E-08

81976.74 1357.62 2.41E-08

85800.29 1357.62 2.53E-08

78306.14 1357.62 2.31E-08

Conociendo el diámetro de 2.50E-04m, el radio de 1.25E-04m y el largo del filamento de 0.333m.

Tenemos que el valor promedio de nuestra constate es de

σ́=2.97 x10− 8 Wm2 K 4

Calculando la desviación estándar para 35 datos.

Tenemos que desviación=√∑i=1

n

( σ́ −σ )2

35

=4.91478E-09

Así el error de las mediciones está dado por:

E=desviación√35

=¿8.3075E-10

Por lo tanto tenemos que

σ=2.97 x10− 8 ± 4.91478 x 10−9 Wm2 K4

IV.DISCUSIÓN

Las intensidades a medir son pequeñas y por tanto el experimento es muy sensible frente perturbaciones externas, entonces estar nosotros tomando las mediciones llegamos a afectarlas.Se trabajó con temperaturas muy altas en el horno eléctrico y en el cubo de Leslie, por lo cual se manejaron estos instrumentos con el cuidado necesario para no sufrir quemaduras.

V. CONCLUSIONES

En este experimento se analizaron las distintas características de los cuerpos, que emiten radiación al ser calentados, el mejor emisor de radiación es el cuerpo negro.

Primero se encontró una relación de la intensidad emitida con la temperatura y se tuvo:I=σ T 3.3349

Se concluye que la potencia es directamente proporcional al voltaje de la termopila, el cual nos da una medición de la intensidad emitida.

En la parte del cubo de Leslie se notó que el comportamiento de intensidad emitida de la cara blanca y de la negra, son muy parecidos.

En el caso de las caras metálicas, aunque sean del mismo color, variaron según lo brillante u opaco de la superficie.Se pudo comprobar que el cuerpo negro es el mejor emisor.

Por último, en la determinación de la constante de Stefan-Boltzmann, el valor encontrado fue

σ=2.97 x10− 8 ± 4.91478 x 10−9 Wm2 K4

Lo cual es una aproximación aceptable para nuestros fines de investigación.

IV. REFERENCIAS

[1][2] Física Universitaria con física moderna.

[3] Sears-Zemansky. Doceava Edición, Vol.2.Capítulo 38

[4] Fotones electrones y átomos. [5] 38.8 Espectros continuos[6] Pág. 1334-1336