Unidad 3 Ecuaciones y sistemas Ecuaciones … · Unidad 3. Ecuaciones y sistemas. Unidad 3 │ Ecuaciones y sistemas Matemáticas 4.º ESO . Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Unidad 3 Ecuaciones y sistemas

Unidad 3 │ Ecuaciones y sistemas Matemáticas 4.º ESO

Ecuaciones polinómicas

1. Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas.

a) 3 22 11 12 0x x x+ − − =

b) 3 23 6 18 0x x x+ + + =

c)3

25 28 2x x x+ = +

d) 6 5 4 33 3 0x x x x+ + + =

e) 4 3 26 13 7 29 15x x x x− − + =

2. Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas. a) 4 27 12 0x x− + =

b) 4 25 4 0x x+ + =

c) 4 27 18 0x x− − =

d) 4 28 9 38x x+ =

3. Una ecuación bicuadrada de la forma + + =4 2 0x ax b con a > 0 y b > 0, ¿cuántas soluciones tendrá?

4. Utilizando la misma estrategia que usas para resolver ecuaciones bicuadradas, resuelve las siguientes ecuaciones. a) 6 326 27 0x x− − =

b) 8 416 17 1 0x x− + =

5. Resuelve los siguientes sistemas.

a) 2

32 14

x yx y

− = − =

b)2 2

2 2

2 223 3

x yx y

+ =

− = −

6. En un triángulo rectángulo de área 36 cm2 su hipotenusa mide 97 cm. ¿Cuánto miden sus catetos?



Ecuaciones racionales e irracionales

1. Resuelve las siguientes ecuaciones racionales.

a) 2

1 2 3x x+ =

b) 1 1 2 11 5

xx x x

++ =

+

c) 2 91 1 4

x xx x

− = −+ −

d) 2

2 1 1 92 2 4

x x xx x x

+ −− =

+ − −

e) 2

1 211 1

x xx x

−+ =

− −

2. En unas vacaciones un grupo de amigos reservaron un apartamento en la playa que les costó 1800 €. Al

final no pudieron ir 3, con lo que los restantes tuvieron que pagar 50 € más cada uno. ¿Cuántos amigos fueron al final?

3. Resuelve las siguientes ecuaciones con un radical.

a) 3 1 9x x+ + =

b) 22 2 3 1 0x x x+ + − + = 4. Resuelve estas ecuaciones dos radicales.

a) 2 22 2x x x− = −

b) 5 5x x+ + =

c) 4 1 2 1x x+ − =

5. Resuelve el sistema − =

+ = −

12 5

2

x yy x

x y.

6. Halla un número tal que al sumarle una unidad y hacer después la raíz cuadrada dé como resultado una

unidad más que al restarle a dicho número 6 unidades y hacer a continuación la raíz cuadrada.



Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

1. Resuelve estas ecuaciones logarítmicas.

a) ln 2x = − b) 2log ( 5) 4x + =

c) 3log 7 0,5x =

d) log log( 1) log12x x+ − =

e) log( 1) log( 1) 1 log6x x+ − − = −

f) log84log 2log3

x x= +

g) 2log(3 5 30) log(3 8) 1x x x+ + − + =

2. ¿Qué relación existe entre A y B si log log 12

A B+ = ?

3. Resuelve estas ecuaciones exponenciales.

a) 3 1 42 8x x+ −=

b) 4 19 027

xx− − =

c) 4 1 2 52 3x x− +=

4. Resuelve estas ecuaciones exponenciales, utilizando el cambio de variable adecuado. a) 22 3 2 2 0x x− ⋅ + =

b) 19 28 3 3 0x x−− ⋅ + = c) 2 1 12 7 2 1x x+ −− ⋅ =

5. Halla el valor de un número sabiendo que el doble de su logaritmo neperiano es una unidad inferior al logaritmo neperiano de 4.

6. Resuelve el sistema 21log log 2x y

x y− =

+ =.

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CONSOLIDACIÓN

Ficha Ecuaciones polinómicas

1. a) 3 2

42 11 12 0 ( 4) ( 3) ( 1) 0 3

1

xx x x x x x x

x

= −+ − − = ⇒ + ⋅ − ⋅ + = ⇒ = = −

b) 3 2 23 6 18 0 ( 3) ( 6) 0 3x x x x x x+ + + = ⇒ + ⋅ + = ⇒ = −

c) 3

2 3 2 2 25 2 8 20 16 0 ( 2) ( 4) 048 2

xx x x x x x x xx=

+ = + ⇒ − + − = ⇒ − ⋅ − = ⇒ =

d) 6 5 4 3 3 3 03 3 0 ( 1) 0

1x

x x x x x xx=

+ + + = ⇒ ⋅ + = ⇒ = −

e) 4 3 2 2

156 13 7 29 15 ( 1) (3 5) (2 3) 03

32

x

x x x x x x x x

x

=− − + = ⇒ − ⋅ − ⋅ + = ⇒ = = −

2. a) 2

4 2 2 4 27 12 0 7 12 0

3 3

z x z xx x z z

z x

= = ⇒ = ±− + = ⇒ − + = ⇒ = ⇒ = ±

b) = = − ⇒ = ± − ⇒+ + = ⇒ + + = ⇒

= − ⇒ = ± − ⇒

2

4 2 2 1 1 No tiene solución.5 4 0 5 4 0

4 4 No tiene solución.

z x z xx x z z

z x

c) = = ⇒ = ±− − = ⇒ − − = ⇒

= − ⇒ = ± − ⇒

2

4 2 2 2 27 18 0 7 18 0

4 9 No tiene solución.

z x z xx x z z

z x

d) 2

4 2 2

1 14 2

8 9 38 8 38 9 09 3 3 22 22

z xz x

x x z zz x

=

= ⇒ = ±+ = ⇒ − + = ⇒ = ⇒ = ± = ±

3. Se supone que la ecuación de segundo grado resultante tras el cambio de variable tiene solución. Si b > 0, las dos soluciones tendrán el mismo signo, porque b es el producto de ambas y si a > 0 la suma de ellas será negativa. Por lo tanto, la única opción es que las dos soluciones sean negativas. En ese caso, la ecuación no tiene solución.

4. a) 3 3

6 3 3

3

1 1 126 27 0 26 27 0

27 27 3

z x z xx x z z

z x

= = − ⇒ = − = −− − = ⇒ − − = ⇒ = ⇒ = =

.

b) 4

4

8 4 2

4

1 1 116 17 1 0 16 17 1 0 1 1 1

16 16 2

z xz x

x x z zz x

= = ⇒ = = ±− + = ⇒ − + = ⇒

= ⇒ = = ±

5. a) 22 2

3 3 4 12 8 0

2 52 14 2 6 14x y y x x y

x xx yx y x x

− = = − = ⇒ = ⇒ ⇒ − − = ⇒ = − ⇒ = −− = − + =

b) 2 2 2 2 2

2 22 2 2 2 2

2 22 6 3 66 3 4 27 63 93 3 3 3 3 4 2

x y x y x y yx xx y x y x y y

+ = + = = ⇒ = ⇒ = ± ⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ − = − − = − = − ⇒ = ⇒ = ±

6.=

= ⇒ = = ⇒= = − ⇒ = −⋅ = ⇒ ⇒ − + = ⇒ − + = ⇒ + = = ⇒ = + = = ⇒ = − ⇒ = −

2

4 2 222 2

2

4 936 164 9 No es válida.36

97 1296 0 97 1296 097 36 9 497 81

9 4 No es válida.

z x

x yzy

x yxx yx x z z

x y x yx zx x y

Luego un cateto mide 4 cm y el otro 9 cm.



Ficha Ecuaciones racionales e irracionales

1. a) 2

2

11 2 3 2 3 2

3

xx x

x x x

=+ = ⇒ + = ⇒

= −

b) 4

1 1 2 1 5 5 ( 1) ( 1) (2 1) 11 52

xx x x x x

x x x x

=+ + = ⇒ + ⋅ + = + ⋅ + ⇒

+ = −

c) 2 2 2

32 9 4 4 8 8 9 9 31 1 4

5

xx x x x x x x

x x x

=− = − ⇒ − − − = − + ⇒

+ − = −

d) 2

32 1 1 9 2 ( 2) ( 2) ( 1) 1 912 2 4

xx x x x x x x xxx x x= −+ −

− = ⇒ − − + ⋅ + = − ⇒ =+ − −

e) 2

21 21 ( 1) 1 1 2 2

1 1x x x x x x x

x x−

+ = ⇒ − + + − = − ⇒ =− −

2. Si se llama x al número de amigos que al final fueron al apartamento, se tiene que 2 91800 180050 1800 ( 3) 50 ( 3 ) 1800

123x

x x x xxx x=

− = ⇒ ⋅ + − ⋅ + = ⇒ = −+ , con lo que fueron al final 9 amigos.

3. a) =

+ + = ⇒ + = + − ⇒ =2 5

3 1 9 3 1 81 1816. No válida

xx x x x x

x

b) = −

+ + − + = ⇒ + − = + + ⇒ =2 2 2 2

2 2 3 1 0 2 2 3 1 22. No válida

xx x x x x x x

x

4. a) 2 2 2 2 2

2 2 2 21

xx x x x x x

x= −

− = − ⇒ − = − ⇒ =

b) 5 5 5 25 10 10 20 2 4x x x x x x x x+ + = ⇒ + = + − ⇒ = ⇒ = ⇒ =

c) 2 0

4 1 2 1 4 1 1 2 2 2 2 2 2 4 82

xx x x x x x x x x

x=

+ − = ⇒ + = + + ⇒ = ⇒ = ⇒ =

5. 1

2 21 2 3

2 2 5 (2 2 )( 1) 5( 1) 0 2 5 22 1 35 12 2 2

x yx y y x

y y y y y y y y yy xy y y x

x y

= +− = = ⇒ =

+ ⇒ + = ⇒ + + − = − ⇒ = − + ⇒ + = − = ⇒ = −

6. 1 1 6 1 1 2 1 6 8 2 1 1 4 15x x x x x x x x+ − = − ⇒ + + − + = − ⇒ = + ⇒ + = ⇒ =



Ficha Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

1. Resuelve estas ecuaciones logarítmicas.

a) 22

1ln 2x x ee

−= − ⇒ = =

b) 2log ( 5) 4 5 16 11x x x+ = ⇒ + = ⇒ =

c) 33log 7 0,5 7 3

7x x x= ⇒ = ⇒ =

d) =

+ − = ⇒ − − = ⇒ = −2 4

log log(x 1) log12 12 03. No válida

xx x x

x

e) 1 10log(x 1) log(x 1) 1 log6 6 6 10 10 41 6

x x x xx+

+ − − = − ⇒ = ⇒ + = − ⇒ =−

f)

=

= + ⇒ = ⋅ ⇒ − = ⇒ = −

=

4 2 4 23

0. No válidalog84log 2log 8 2 0 2. No válida

32

x

x x x x x x x

x

g) 2

210

3 5 30log(3 5 30) log(3 8) 1 10 53 8 3

xx xx x x

x x

=+ + + + − + = ⇒ = ⇒

+ = −

2. 2log log 1 10 1002

A B A B A B+ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ =

3. a) + − + −= ⇒ = ⇒ + = −3 1 4 3 1 3 122 8 2 2 3 1 3 12. No tiene solución.x x x x x x

b) 4 2 8 31 89 0 3 3 2 8 3 5 827 5

xx x x x x x x− − − − = ⇒ = ⇒ − = − ⇒ = ⇒ =

c) 4 1 2 5 5 ln3 ln22 3 (4 1)ln2 (2 5)ln3 (4ln2 2ln3) 5ln3 ln2 10,754ln2 2ln3

x x x x x x− + += ⇒ − = + ⇒ − = + ⇒ = =

−

4. a) 2

2 2 1 02 3 2 2 0 3 2 0

2 1

xtx x t x

t tt x

= = ⇒ =− ⋅ + = ⇒ − + = ⇒ = ⇒ =

b)3

1 29 2

289 28 3 3 0 3 0 13 13

xtx x

t xt t

t x

=−

= ⇒ =− ⋅ + = ⇒ − + = ⇒

= ⇒ = −

c) =

+ −= −

− ⋅ = ⇒ − − = ⇒ = ⇒ = −

22 1 1 2

2. No válida72 7 2 1 2 1 0 12 2

4

xtx x

tt t

t x

5.

= =

+ = ⇒ + = ⇒ = ⇒ = −

2

2 2

2ln 1 ln4 2ln ln ln4 42 . No válida

exeex x e ex

xe

6. = +− = − = = −

⇒ ⇒ + ⋅ = ⇒ + − = ⇒ + = ⋅ = = ⇒ =

21221 21 25. No válida

(21 ) 100 21 100 0log log 2 100 4 25

x yx y x y yy y y y

x y x y y x

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