Instituto Tecnolgico de Tepic.Ingeniera en Tecnologas de la Informacin y Comunicaciones.

Anlisis de seales y sistemas de comunicacin.Unidad IIIAnlisis de seales no peridicas en el tiempo: Transformada de Fourier

ING. RAYMUNDO ARAMBURO BETANCOURT.

12400648CHAVEZ BUENROSTRO ISSYS GABRIELA

Tepic, Nayarit Lunes, 19 de octubre de 2015.

Contenido3.1. Representacin de seales no peridicas por integral de Fourier.33.2. Transformadas de algunas funciones.5Transformada de la funcin constante5Transformada de eax.5Transformada de sen bx.6Transformada de cos bx6Transformada de Sh bx6Transformada de Ch bx7Definicin 4.7Transformada de xa.73.3. Propiedades de la transformada de Fourier.9Proposicin 3: Continuidad de la transformada.93.4. Anlisis de los sistemas lineales e invariantes en el tiempo por la transformada de Fourier.11

3.1. Representacin de seales no peridicas por integral de Fourier.La transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT)De manera intuitiva deduciremos DTFT a partir de DTFS, describiendo una seal no peridica como el lmite de una seal peridica cuyo periodo N se acerca a infinito.

Representacin en el dominio de la frecuencia.Si x[n] duracin infinita, ha de ser absolutamente sumable para que exista la DTFT:

Si x[n] no es absolutamente sumable, pero tiene energa finita, la DTFT converge en un sentido de error cuadrtico medio, pero no converge puntualmente. La seal escaln unitario u[n] no cumple las condiciones anteriores.Una seal puede representarse en un intervalo [t1, t2] si tiene energa finita en ste. Sin embargo, si el soporte de la seal contiene al intervalo 1 2 [t, t], no se puede garantizar la representacin de la seal por fuera de este intervalo. Una seal peridica no tiene soporte compacto, no obstante un solo periodo (el cual si tiene soporte compacto) es necesario para su representacin. Si x (t) = x (t +T), entonces la seal x (t) tiene periodo T y puede obtenerse una representacin de la seal hallando los coeficientes n a, sobre un intervalo de longitud T, como

Si la seales {n (t)} son peridicas, con periodo T, entonces la representacin de la seal corresponde con la seal peridica por fuera del intervalo [0, T]. Para esto se debe cumplir que

En este caso, la seal peridica es representada por la sumatoria sobre todo el eje real (para todos los instantes de tiempo), es decir:

3.2. Transformadas de algunas funciones.El clculo directo de la transformada de una funcin mediante su definicin no es, en general, sencillo. No obstante, para algunas funciones elementales como las constantes, exponenciales, trigonomtricas, hiperblicas y potenciales, es factible, con sencillos clculos, obtener sus transformadas. A continuacin veremos algunos ejemplos.Transformada de la funcin constante

Pero para todo s > 0, y si s < 0, entonces este lmite no es finito. En consecuencia,

Transformada de eax. Ahora bien, para todo s > a y s < a, entonces el lmite anterior no es finito. Por consiguiente:

Transformada de sen bx.

Ahora bien.

Y si s < 0, estos ltimos lmites no existen. Tenemos pues que

Con lo que resulta, y de aqu.

Transformada de cos bxEn el proceso anterior, puede observarse que, de donde se deduce

Transformada de Sh bxSi usamos la propiedad de linealidad de la transformada, podemos escribir

Para todo s que verifique simultneamente s > b y s > b, es decir, para todo s > |b|. Por consiguiente,

Transformada de Ch bxSi usamos de nuevo la propiedad de linealidad

Igualdad que como en el caso anterior es vlida para todo s > |b|, y de aqu

En las Matemticas, aparecen con alguna frecuencia, funciones a las que se denomina con cierta ambigedad, especiales. El llamarlas as es para diferenciarlas de la no menos ambigua categora de las funciones llamadas elementales como son las constantes, potenciales, exponenciales, trigonomtricas, y las que se obtienen a partir de stas mediante inversin, composicin, suma, producto y cociente un nmero finito de veces.

Dentro de la amplia gama de funciones especiales, slo nos vamos a interesar en una de ellas, y adems de forma muy breve, lo justo para poderla emplear en el clculo de las transformadas de las funciones potenciales.

Definicin 4.Se llama funcin gamma a la funcin : (0,+) R definida mediante la integral

La cual es convergente para todo x > 0.

Algunas propiedades de la funcin gamma son las siguientes:1. (1) = 12. (x + 1) = x(x)3. (n + 1) = n! para todo n N4. (1/2) =

Haciendo uso de esta funcin gamma, podemos calcular las trasformadas de las funciones potenciales.Transformada de xa.Para calcular la integral de Laplace de la funcin xa, hacemos el cambio de variable sx = t con s > 0:

Pero para que la ltima igualdad tenga sentido ha de ser a + 1 > 0, porque si no, la integral que define la funcin gamma, es divergente. Por otra parte, al hacer el cambio de variable, hemos exigido que s > 0, ya que si s = 0, el cambio no tiene sentido, y si s < 0, la potencia no estara bien definida para casi todos los valores de a. Por tanto,

Nota: Cuando 1 < a < 0, la funcin xa no es continua por tramos, ya que en cualquier semientorno del origen en el que x > 0, no est acotada, es decir tiene una discontinuidad de segunda especie. El teorema 4, no garantiza la existencia de la integral de Laplace de esta funcin. No obstante puede demostrarse (aunque nosotros no lo haremos), que efectivamente hay convergencia y por lo tanto que existe la transformada que hemos calculado.

3.3. Propiedades de la transformada de Fourier.Una primera propiedad de la trasformada es su continuidad.

Proposicin 3: Continuidad de la transformada. Sea f: [0,+) R una funcin continua por tramos y de orden exponencial , entonces su transformada de Laplace es continua en (,+).

Existe una importante relacin entre las transformadas de una funcin y de su derivada, cuya importancia radica en el amplio uso que puede hacerse de ella en la resolucin de problemas de valores iniciales. De hecho, esta es una de las herramientas ms potentes para este tipo de problemas.

Teorema 4.Sea f: [0,+) R continua y con derivada continua por tramos que es adems de orden exponencial, entonces: L [f(x)] = sL [f(x)] f (0).

La igualdad del teorema 8 admite esta GENERALIZACIN: supongamos ahora que existe f y que al igual que f en el teorema, es continua por tramos y de orden exponencial, asimismo supongamos que f es continua, entonces:

L [f(x)] = sL [f(x)] f (0)

Pero al sustituir L [f(x)] por su valor, resulta:

L [f(x)] = s2L [f(x)] sf (0) f0 (0)

El razonamiento puede generalizarse, y admitiendo que fn) es continua por tramos, de orden exponencial y que fn1) es continua, podemos escribir

L [fn) (x)] = snL [f(x)] sn1f (0) sn2f(0) sfn2) (0) fn1) (0)

Igualdad que puede demostrarse usando el mtodo de induccin.Existe, tambin, una interesante relacin entre las transformadas de una funcin y de sus primitivas.

Teorema 5. Sea f: [0,+) R continua por tramos y de orden exponencial, entonces

Dos propiedades relativas a la derivacin e integracin de transformadas de Laplace son las siguientes.

Teorema 6. Sea f: [0,+) R una funcin continua por tramos, de orden exponencial y tal que existen F (p) dp siendo F (s) = L [f(x)], entonces:

Teorema 7. Sea f: [0,+) R una funcin continua por tramos y de orden exponencial , entonces L [f(x)] es derivable para todo s > y se verifica que:

F (s) = L [xf (x)]

Los siguientes resultados establecen relaciones entre los comportamientos de una funcin y de su transformada, para valores grandes o pequeos de las variables.

Proposicin 8.Sea f: [0,+) R continua por tramos y de orden exponencial, entonces su transformada verificalim F(s) = 0 s

Teorema 9: Teorema del valor inicialSea f: [0,+) R continua y con derivada continua por tramos que adems es de orden exponencial, entonceslim sL[f(x)] = f(0) s

Teorema 10: Teorema del valor finalSea f: [0,+) R continua y con derivada continua por tramos que adems es de orden exponencial siendo negativa, entonces

lim sL [f (x) ] = lim f (x) s0 x

3.4. Anlisis de los sistemas lineales e invariantes en el tiempo por la transformada de Fourier.El gnero de sistemas lineales es definido por el principio de superposicin. Siendo y1[n] e y2[n] las respuestas de un sistema donde x1[n] y x2[n] son las respectivas entradas, el sistema es lineal nicamente si se cumplen las siguientes propiedades. Propiedad de adicin (ec. 2.2) y propiedad de homogeneidad (ec. 2.3), combinadas con el principio de superposicin (ec. 2.4).T{x1[n]+ x2[n]} = T{x1[n]} + T{x2[n]} = y1[n] + y2[n].(2.2)

T{ax[n]} = aT{x[n]} = ay[n].(2.3)

T{ax1[n]+ bx2[n]} = aT{x1[n]} + bT{x2[n]}.(2.4)Si un sistema invariante en el tiempo presenta un retraso temporal en la secuencia de entrada causa un correspondiente traslado o retraso en la salida. Se dice que el sistema no vara en el tiempo si para todo valor n0 una secuencia de entrada x1[n] = x[n-n0] produce una secuencia de salida y1[n] = y[n-n0].Los grupos de sistemas que combinan las caractersticas de linealidad e invariacin en el tiempo, son muy importantes, pues tienen aplicaciones significativas en el procesado digital de seales.La propiedad de invariacin en tiempo implica que si h[n] es la respuesta del impulso [n], entonces la respuesta a [n-k] es h[n-k]. As la saliday[n] =x[k]h[n - k] .(2.6)k -

Como consecuencia de la ecuacin 2.6 un sistema lineal invariante en tiempo se caracteriza completamente por su respuesta al impulso ( h[n] ). As teniendo una h[n] determinada, es posible calcular la salida y[n] provocada por una entrada x[n].

Comnmente la ecuacin 2.6 es llamada suma de convolucin, se dice que y[n] es la convolucin de x[n] con h[n]. Y se representa de la siguiente maneray[n] = x[n] * h[n] . (2.7)La operacin de convolucin (discreta en tiempo), toma dos secuencias x[n] y h[n] para producir una tercera y[n].La derivacin de la ecuacin 2.6 sugiere que la muestra de entrada en n = k ( x[n][n-k] ), sea transformada por el sistema en una secuencia de salida x[k]h[n-k] (- < n < ), sobreponindose en cada k para formar la secuencia de salida.Debido a que todos los sistemas LTI estn relacionados con la suma de convolucin. Las caractersticas de este tipo de sistemas se definen por las propiedades de la convolucin discreta. De esta manera la respuesta al impulso, es una caracterizacin global de las propiedades de un sistema especfico lineal e invariante en el tiempo. Comenzando con la descripcin de propiedades, la operacin de convolucin es conmutativax[n] * h[n] = h[n] * x[n] .(2.8)

De la misma manera se cumple la adicinx[n] * (h1[n] + h2[n]) = x[n] * h1[n] + x[n] * h2[n].(2.9)

Dos sistemas lineales e invariantes en tiempo en cascada (convolucin de las respuestas al impulso de dos sistemas), corresponden a uno con respuesta al impulso unitario.Los sistemas en los que la respuesta al impulso tiene un nmero finito de muestras diferentes de cero se denominan de: respuesta al impulso de duracin finita FIR ( Finite- duration Impulse Response ). Claramente estos sistemas siempre sern estables mientras los valores de respuesta al impulso mantengan una magnitud finita.En contraparte, existen tambin los sistemas de respuesta al impulso de duracin infinita IIR ( Infinite-duration Impulse Response ).

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