Unidad 3Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior

8/17/2019 Unidad 3Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior.

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2013

Gil Sandro Gómez

Universidad Autónoma de Santo Domingo

08/02/2013

Unidad 3. Ecuaciones Diferencialesde Orden Superior


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Prof. Gil Sandro Gómez 1

Tabla de contenido

Introducción ........................................................................... 2

3.1 Ecuaciones Diferenciales Homogéneas ........................................ 2

3.2 Dependencia e Independencia Lineal .......................................... 3

3.3 Soluciones de ecuaciones diferenciales ....................................... 3

3.4 Reducción de Orden ............................................................. 4

3.5 Ecuaciones Lineales Homogéneas de Coeficientes Constantes............ 7

3.6 Superposición y Ecuaciones no Homogéneas ............................... 10

3.7 Ecuación de Cauchy-Euler ..................................................... 21

Bibliografía ........................................................................... 24

Webgrafía ............................................................................ 24


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IntroducciónEn la unidad 2 aprendimos a resolver ecuaciones diferenciales lineales deprimer orden. No siempre todos los fenómenos o procesos pueden modelarsemediante ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, sino que variosfenómenos para su modelación requieren ser expresado mediante ecuaciones

diferenciales de orden superior.Las ecuaciones diferenciales de orden superior son de gran utilidad paraestudiar vibraciones mecánicas, analizar sistemas de controles, realizaranálisis de estado, funciones de excitación, modelar el comportamiento defunciones de transferencia, entre otras.

3.1 Ecuaciones Diferenciales HomogéneasUna ecuación diferencial lineal de orden superior de la forma

11 1 0( ) ( )( ) ( ) ... ( ) '( ) ( ) ( ) 0 ~ (1)

n nn n x xa x y a x y a x y x a x y x

es homogénea, mientras que la ecuación 11 2 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) "( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) ~ 2

n n

n na x y x a x y x a x y x a x y x a x y x g x

con g x no igual a cero, es no homogénea. El concepto homogénea en estecontexto es diferente a lo que vimos en la unidad 2, que estaba referido a lostérminos de la ecuación diferencial.

Más adelante veremos que para resolver una ecuación lineal no homogénea(2), primero se debe resolver la ecuación homogénea asociada (1).

3.1.1 Los Operadores Diferenciales Lineales

En el cálculo, la diferenciación se denota por la letra D , es decir . Dydydx

El

símbolo se llama operador diferencial, porque transforma una funcióndiferenciable en otra función.

Un ejemplo clásico es:

2 2) sec 2(tan x x D x x . Las derivadas de orden superior se expresan entérminos de D en la forma normal:

2

2

2

d dy d y D Dy D y

dx dx dx

y en general, ,n

n

n

d y D y

dx donde y

representa una función diferenciable. En general, se define como operadordiferenciable de n-ésimo orden u operador polinomial como

11 1 0( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ~ (3).

n nn n L y a x D y a x D y a x Dy a x y

Teorema 1. Principio de superposición, ecuaciones homogéneas

Sean1,..., n y y solución de la ecuación diferencial homogénea de orden n ,

la ecuación (1), donde x está en el intervalo I . La combinación lineal

1 1 2 2( ) ( ) ... ( ),n n y x y x y x y c c c


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en donde1 2, ,..., nc c c son constantes arbitrarias, también es una solución

cuando x está en el intervalo.

3.2 Dependencia e Independencia Lineal

Definición 3.1. Un conjunto de funciones 1 2 3( ), ( ),..., ( ), ( )n x x x x f f f f eslinealmente dependiente en un intervalo I si existen constantes

1 2 3( ), c ( ),..., c ( ), c ( )nc x x x x no todas cero, tales que

1 1 2 2( ) ( ) ... ( ) 0

n nc f x c f x c f x

Para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmentedependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente.

En otras palabras, un conjunto de funciones es linealmente independiente enun intervalo I si las únicas constantes para las que

1 1 2 2( ) ( ) ... ( ) 0n nc f x c f x c f x

para toda x en el intervalo son 1 2 ... 0nc c c .

Para entender de una forma más sencilla estas definiciones escogemos un

conjunto que consiste en dos funciones 1 1 2 2( ) ( ) 0c f x c f x . Por consiguiente,

si se asume que 1 0c , se deduce que 2 11 2( ) ( )c c f x f x ; es decir, si unconjunto de dos funciones es linealmente dependiente, entonces una funciónes simplemente un múltiplo constante del otro. Un conjunto de dos funciones

1 2( ) ( ) f x y f x es linealmente independiente cuando ninguna función esmúltiplo constante de la otra en el intervalo.

3.3 Soluciones de ecuaciones diferencialesSe tiene un gran interés sobre soluciones linealmente independientes de unaecuación diferencial lineal. Aunque se podría apelar de forma directa a ladefinición 3.1, resulta que la cuestión de si el conjunto de n soluciones

1, 2, ..., n y y y de una ecuación diferencial lineal homogénea de n-ésimo orden(1) es linealmente independiente se puede establecer de forma prácticamediante un determinante, el cual definiremos más adelante.

3.3.1 Wronskiano

Definición 3.2. Sean 1 2, ,.., n f f f n funciones diferenciables ( 1)n veces. Lafunción

1 2

1 2

1 2

1 1 1

1 2

( ) ( ) ... ( )

' ( ) ' ( ) ... ' ( )

, ,.., ~ (4)

( ) ( ) ... ( )

n

n

n

n n n

n

f x f x f x

f x f x f x

W f f f

f x f x f x


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es el Wronskiano de 1 2, ,.., .n f f f

Teorema 2. Criterio para soluciones linealmente independientes

Sean 1, 2, ..., n n y y y soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea

de n-ésimo orden (1) en el intervalo I . El conjunto de soluciones eslinealmente independiente en I sí y sólo si 1 2, ,.., 0nW f f f para toda x en el intervalo.

3.3.2 Conjunto fundamental de soluciones

Definición 3.3. Cualquier conjunto de soluciones linealmente independientesde la ecuación diferencial lineal homogénea de n-ésimo orden (1) en un

intervalo I es un conjunto fundamental de soluciones en el intervalo.

Teorema 3. Solución general de una ecuación homogénea

Sean 1, 2, ..., n n y y y soluciones en ( , )a b de

( 1)

1( ) ( )( ) ( ) ... ( ) 0 ~ (5),n n

n x x y x p y x p y x

donde 1 2, , ..., n p p p son continuas en ( , )a b . Si en cierto punto 0 x en ( , )a b estas soluciones satisfacen

1 2, ,.., 0 ~ (6),nW y y y

entonces toda solución de (5) en ( , )a b se puede expresar de la forma

1 1 2 2( ) ( ) ... ( ) ~ (7),( )

n n y x y x y x y x C C C

donde 1 2, ,..., nC C C son constantes.

La combinación lineal de1 2, ,..., n y y y en (7), con constantes arbitrarias

1 2, ,..., nC C C , se conoce como solución general de (5).

3.4 Reducción de OrdenIntroducción.

La solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundoorden:

2 1 0( ) '' ( ) ' ( ) 0~ (8)a x y a x y a x y

es una combinación lineal 1 1 2 2 y c y c y , donde 1 2 y y y son soluciones queconstituyen un conjunto linealmente independiente en algún intervalo I .

Reducción de orden. Asumamos que 1 y denota la solución no trivial de (8) y

que 1 y se define en un intervalo I . Se busca una segunda solución 2 y , tal que

1 2 y y y sean un conjunto linealmente independiente en I . Si 1 2 y y y son


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linealmente independientes, entonces su cociente 21

y y

no es constante en I ,

es decir, 22 1

1

( )( ) ( ).

( ) y x

u x o y y u x y x

La función ( )u x se determine al

sustituir 2 1 ( ) y y u x en la ecuación diferencial que se proporciona. A estemétodo se le llama reducción de orden, porque se debe resolver unaecuación diferencial lineal de primer orden para hallar u .Caso general. Dividimos entre

2( )a x con el objetivo de escribir la ecuación

(8) en la forma estándar:

'' ( ) ' ( ) 0 ~ (9) y P x y Q x y

donde ( ) ( ) P x y Q c son continuas en un intervalo I . Supónganse además

que es una solución conocida de (9) en I y que1

0 x y en el intervalo. Si

definimos a1

( ) ~ (10) y y u x , se deduce que

1 1 1 1 1, 2 ''( ) ~ (11)' '( ) ( ) ' '' ( ) '' '( ) ' u x y y u x u x y y u x y u x y y

Sustituyendo (10) y (11) en (9):

1 1 1 1 1 1'' ' '' (2 ' ) ' 0u y Py Qy y u y Py u

Hagamos1 1 1

0'' ' y Py Qy entonces,

1 1 1'' (2 ' ) ' 0~ (12) y u y Py u Si 'u w tenemos que:

1 1 1' (2 ' ) 0~ (13)w y y Py w

Como se observa, la ecuación (13) es lineal y se puede resolver como tal o porseparación de variable.

1

1

2 '0 ~ (14)

ydx Pdx

y

dww

Integrando la expresión (14):

1

1

1

'2 0

ln 2ln

ydwdx Pdx

w y

w y Pdx C

Por las propiedades de los logaritmos:

21 ln ~ (15)ln Pdx C wy

Por definición de funciones inversas


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1

21 ~ (16)

Pdx

c ewy

Despajando a w de (16) y expresando la solución en función de la variable:u

12

1

Pdxc e

w y

Como 'w u tenemos que:

122 2

1 1

112

1

'

Pdx Pdx Pdx

c e eu u dx dx c

y y

c ec

y

Seleccionado1 2

1 0 yc c , se encuentra de 1( ) ( ) y u x y x que unasegunda solución de la ecuación (9) viene dada por

2 1 21

~(17). Pdx

y y e dx

y

Nota: un buen ejercicio para comprobar el conocimiento de diferenciación esverificar que la expresión (17) es una solución de la ecuación dada. Estopondría a prueba la paciencia.

Ejemplo 1. La función indicada1( ) y x es una solución de la ecuación

diferencial proporcionada. Utilice la reducción de orden para hallar lasegunda solución

2( ) y x .

23

1( )9 '' 12 ' 4 0;

x

x e y y y y

Dividimos la ecuación dada entre 9 para expresarla en su forma estándar:

( )

2 1 21

4 4'' ' 0

3 9

4( ) entonces usando la ec. (17) tenemos que:

3

( ) ( )( )

p x dx

y y y

P x

e x y x dx

y x y

4

34 4

( )3 3

x

P x dx dx x e

4 44 43 33 3

2 42 3 3

2

2 2 23 3 3( )

x x x x

x x

x x xe edx dx e e dx

e e

x y e e e


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2 2

2 23 3( ) ( )

x xdx x x x y e y e

La solución general viene dada por:

2 23 3

1 2

1 1 2 2

x x

y c e c xe

y c y c y

3.5 Ecuaciones Lineales Homogéneas de Coeficientes Constantes

Definición. Una ecuación diferencial lineal de n orden que tiene la forma1 2

1 2 2 1 0( ) ( ) ( ) ... ''( ) '( ) ( ) 0 ~ (1)n n n

n n na y x a y x a y x a y x a y x a y x

se llama ecuación diferencial homogénea (1). Donde 10, ,...,n na a 1 0,a a son constantes reales.

Dado que las funciones constantes son continuas en todas sus partes, laecuación (1) tiene soluciones definidas para toda x en , . Si podemoshallar n soluciones linealmente independientes de (1) en , , digamos

1 2 2, , ,..., n y y y y , entonces podemos expresar una solución de (1) en la forma

1 1 2 2( ) ( ) ... ( ) ~ (2),( ) n n y x y x y x y x C C C

donde 1 2, ,..., nC C C son constantes arbitrarias.

Si L es el operador diferencial definido mediante el lado izquierdo de (1), esdecir,

1 21 2 2 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ... ''( ) '( ) ( ) ~ (3)

n n nn n n L y a y x a y x a y x a y x a y x a y x

entonces podemos escribir (1) en la forma de operador

( ) 0 ~ (4). L y

Para rx y e tenemos

1 2

1 2 1 0

1 2

1 2 1 0

( ) ...

( ... ) ( ) ~ (5),

n n n

n n n

n n n

n n n

rx rx rx rx rx rx

rx rx

x a r a r a r a r a

a r a r a r a r a P r

L e e e e e e

e e

donde ( ) P r es el polinomio 1 21 2 1 0...n n n

n n na r a r a r a r a . Así,

rxe es

una solución de la ecuación (4), siempre que r sea una raíz de la ecuaciónauxiliar (o característica)

1 2

1 2 1 0( ) ... ) 0 ~ (6).n n n

n n n P r a r a r a r a r a

De acuerdo al teorema fundamental del álgebra, la ecuación auxiliar tiene n

raíces, que pueden ser reales o complejas. Estas raíces pueden obtenerse pormedio de cualquier método o utilizando un CAS.


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Ahora iniciaremos el análisis de los diferentes casos:

Caso 1. Raíces reales distintas.

Si las raíces de la ecuación auxiliar (6) son reales y diferentes, entonces lasolución general de la ecuación (1) viene dada por la suma de las funciones

linealmente independientes, la cual se escribe3 11 2

1 2 3 1... ~ (7).n n

n n

r x r x r xrx r x y c c c c ce e e e e

Ejemplo 2. Halle la solución general de la ecuación

4 3 2

4 3 26 7 6 8 0 y

d y d y d y dydx dx dx dx

Escribimos la ecuación auxiliar de la ecuación dada:

4 3 26 7 6 8 0r r r r Determinamos las raíces de la ecuación auxiliar:

1 2 3 44, 2, 1 y 1r r r r

Usando la ec. (7), escribimos la solución general de la ecuación dada

4 21 2 3 4( ) x x x x y x c e c e c e c e

Caso 2. Raíces reales repetidas.

Si r es una raíz de multiplicidad m de la ec. (1), entonces cada función delas n soluciones de (7) no son linealmente independientes. En este caso paragarantizar que no se vaya anular ninguna de las funciones, la solución generalse escribe como

2 2 11 2 3 1

( ) ... ~ (8).rx rx rx m rx m rxnn y x c e c xe c x e c x e c x e

Ejemplo 3. Resuelva la ecuación diferencial siguiente:

(5) (4)7 12 ''' 8 '' 02 y y y y

Primero escribimos la ecuación auxiliar de la E.D.O dada

25 4 37 82 12 0r r r r

Las raíces de la ecuación auxiliar son:1 2

1,

20 yr r donde la primera raíz

es de multiplicidad dos y la segunda raíz es de multiplicidad tres.

Ahora escribimos la solución general utilizando la expresión (8).

22 2 21 2 3 4 3( )

x x x

y x c c x c e c xe x c e


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Caso 3. Raíces complejas y conjugadas

Si ( , )i reales es una raíz compleja de la ecuación auxiliar (6),

entonces lo es su conjugado complejo i , pues los coeficientes de ( ) P r tienen valores reales. Si aceptamos funciones con valores complejos como

soluciones, entonces tanto ( )i xe como ( )i xe son soluciones de (1). Parahallar dos soluciones con los valores reales que pertenecen a las raíces i

, podemos considerar solamente las partes reales e imaginarias de ( )i xe ; esdecir,

( )cos s ~ (9),

x xi xe x ie en xe

entonces dos soluciones linealmente independientes de (1) viene dada por

cos , s ~ (10). x x

e x e en x

Al emplear estas soluciones en lugar de ( )i xe

y ( )i xe

en (7) conservamosla independencia lineal de n soluciones. La solución general puede escribirseen la forma

1 2cos s ~ (11). x x y c e x c e en x

En caso que haya raíces complejas conjugadas repetidas, la solución generaltiene la forma:

1 2cos s ... cos s ~ (12).n n

n n x x x x x x y c e x c e en x c e x c e en x

Ejemplo 4. Halle la solución de la ecuación diferencial homogénea decoeficientes constantes.4 2

4 23). 16 24 9 0

d y d y y

dx dx

Primero escribimos la ecuación auxiliar de la EDO dada:4 216 24 9 0 ~ (4)t t

Ahora procedemos hallar las raíces de la ecuación auxiliar:2 Si z t , tenemos que la ecuación (4) se transforma en:

2 24 9 0 ~ (5)16 z z

Resolviendo la ecuación (5) tenemos:

1 2

3

4 z z

Esto implica que:3 3

4 2it con multiplicidad dos, entonces la

solución viene expresada en la forma:


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1 2 3 4

3 3 3 3cos s cos s

2 2 2 2 y c x c en x c x x c x en x

3.6 Superposición y Ecuaciones no Homogéneas

Teorema 4. Sean 1 2, ,..., p p pk y y y soluciones particulares de la ecuación

diferencial lineal no homogénea de n-ésimo orden (2) en un intervalo I quecorresponde, a su vez, a K funciones distintas 1 2, ,..., n g g g . Es decir, se

supone quei p

y denota una solución particular de la ecuación diferencial

correspondiente

1

1 1 0

1 2

( ) ( ) ... ( ) ' ( ) ( ),~ (13)

i=1, 2, ..., K. Entonces

( ) ( ) ... ( ) ~ (14)

n n

n n i

p p p pk

a x y a x y a x y a x y g x

donde

y y x y x y x

es una solución particular de1

1 1 0 1 2( ) ( ) ... ( ) ' ( ) ( ) ( ) ... ( ) ~ (15)n n

n n k a x y a x y a x y a x y g x g x g x 3.6.1 Métodos para resolver Ecuaciones no Homogéneas

Antes de comenzar a esbozar los métodos para resolver ecuaciones nohomogéneas, es necesario interiorizar el concepto anulador.

Definición de anulador. Si ( ) y f x es una función que tiene n derivadas y

( ) L D es un operador diferencial lineal con coeficientes constantes, tal que( ) ( ) ( ) 0; L D y L D f x

entonces, decimos que el operador ( ) L D es el anulador de ( ) y f x .

Los operadores diferenciales anuladores son:

1. El operador diferencial 1n D anula cualquier función de la forma:2 1

, , ,..., , . es una constante.n n

k x x x x K

2. ( )n D es el anulador de las funciones:2 3 1

, , , ,..., . x x x x n x

x x x xe e e e e

3. 2 2 2( 2 )n D D es el anulador las funciones:2 3 1

2 3 1

cos , cos , cos , cos , ..., cos .

s , s , s , s ,..., s .

x x x x n x

x x x x n x

x x x x x x x x x

en x x en x x en x x en x x en x

e e e e e

e e e e e

Si 0 , entonces 2 2( )n D es el anulador de:

2 3 1

2 3 1

cos , cos , cos , cos , ..., cos .

s , s , s , s ,..., s .

n

n

x x x x x x x x x

en x x en x x en x x en x x en x


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S i 0 1 y n , tenemos que 2 2( ) D es el anulador de: cos , s x en x o

de su combinación lineal 1 2cos sc x c en x .

Ejemplo 5. Encuentre el anulador de cada una de las expresiones siguientes:

21). 13 9 4 x x sen x Analicemos cada término de forma individual:

El anulador de 13 x es 2 D , el anulador de 29 x es 3 D y el de 4 sen x es2( 16) D , entonces como es una combinación lineal, el anulador total es:

3 2( 16). D D 22. cos x xe senx e x

El anulador de xe senx viene dado por: 2 2 22 )( n D D

22 2 2] 2 21, 1 1, entonces

2( 1) ( 1) (1)[ D D

n y

D D

El anulador de 2 cos xe x se expresa por: 2 2 22 )( n D D

2 2 2 22(2) (2) (1) 4 51, 2 1, entonces

D D D D

n y

Como es una combinación lineal, el anulador de (2) es:

2 2

2 2 4 5 D D D D .Nota: La solución de una ecuación diferencial lineal no homogénea,

( ) ( ) 0 D L y g x consta de la suma de dos soluciones que son:

i. La solución de la ecuación diferencial homogénea asociada, esdecir, ( ) 0. D L y

ii. La solución particular de la ecuación diferencial no homogénea.

La suma de las dos soluciones es la solución general, es decir, h y es la

solución de la homogénea asociada ( ) 0 D L y y p y es la solución particular

de ( ) ( ) D L y g x , entonces la solución general viene expresada por:

.h p y y y

De ahí que,

( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( )h p h p D L y y D L D L g x g x y y

Ahora desarrollaremos los métodos para determinar la solución particular delas E.D.O no homogéneas. Estos son:


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3.6.2 Coeficientes Indeterminados

El método de coeficientes indeterminados se puede utilizar por superposicióno el anulador. Explicaremos el procedimiento desde ambas perspectiva:

i. Coeficientes Indeterminados: Superposición

La idea fundamental que sustenta este método es una conjeturaacerca de la forma de p

y , que en realidad no es más que una

suposición informada, motivada por las clases de funciones queconstituyen la función de entrada ( ) g x . El método general selimitada a E. D lineales como (13) donde

Los coeficientes , 0, 1, 2, ...,i i na son constantes.

( ) g x es una constante K , una función polinomial, una función

exponencial xe , una función seno o coseno cos senbx o bx o sumasfinitas y productos de estas funciones.

Caso 1. Ninguna de la solución particular supuesta es una solución de laecuación homogénea asociada.

En la siguiente tabla se muestran algunos ejemplos concretos de ( ) g x en (13)junto con la solución particular.

Tabla 3.1 Soluciones particulares de prueba

( ) g x Forma de p y

2 2

3 3 2

9

4. 2 7

1. 1 ( tan )

2. 2 1

3. 5 Ax Bx C

x x Ax Bx

cualquier cons te A

x Ax B

x

7 7

7 7 7

2 7

5. 6 cos6 cos6 6

6.

7. (5 -10)

8.

x x

x x x

x

Cx E

sen x o x A x Bsen x

e Ae

x e Axe Be

x e

2 7

2 2 2

2 2 2

3

( )

4 4 cos4

10. 8 cos 2 ( )cos2 ( ) 2

11. cos4

9.

x

x x x

x

x A xB C e

e sen x Ae sen x Be x

x x Ax Bx C x Ex Fx G sen x

xe x

3 3

( ) cos4 ( ) 4 x x

Ax B e x Cx E e sen x

Regla de forma para el caso 1. La forma de p y es una combinación lineal de

las funciones linealmente independientes que se generan mediante

diferenciaciones repetidas de ( ) g x .


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Caso 2. Una función en la solución particular supuesta también es una soluciónde la ecuación diferencial homogénea relacionada.

Regla de la multiplicación para el caso2. Si alguna p y contiene términos que

duplican los de c y , se debe multiplicar porn x , donde n es el menor entero

positivo que elimine esa duplicación.

Ejemplo caso 1. Halle la solución de la ecuación diferencial, utilizando elmétodo de coeficientes indeterminados/superposición.

22

2

12 ~ (1)

4

d y dy

dxdx y x x

Multiplicamos la ecuación (1) por 4:

2 22

4 4 4 8 ~ (2)d y dydxdx

y x x

Procedemos a escribir la ecuación homogénea asociada a la E.D.O (2):

2

20 ~ (3)4 4

d y dy

dxdx y

Hallamos la solución de la ecuación homogénea.

La ecuación característica es: 2 4 4 0

2 , es raíz de multiplicidad dos, entonces2 2

1 2

x x

h y c e xc e

Ahora construimos la solución particular, la cual tiene la forma:

2 ~ (4) p

y Ax Bx C

Sustituyendo (4) en (2) tenemos:

22 2 2

2

2

2

2

( ) 4 ( ) 4( )

4 4 4

4 8

2 8 4 4 8 ~ (5)

Ax Bx C Ax Bx C Ax Bx C

Ax Bx C

d d

dx dx

x x

A Ax B x x

Aplicando la teoría de la igualdad de los polinomios:

4 4

8 4 8 ~ (6)

2 4 0

A

A B

A C

Resolviendo el sistema de ecuaciones (6) tenemos que:

11, 42

A B y C


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Entonces la solución particular es:

2 14

2 p

y x x

La solución general viene dada por:

2 2 2

1 2

14

2

h p

x x

y y y

y c e xc e x x

Ejemplo caso 2. Determine la solución general de E. D. O

2

22). 4 3 2 y sen x

d y

dx

Escribimos la ecuación homogénea asociada de la ec. (2):2

24 0 ~ (3) y

d y

dx

La ecuación característica de (3) es:

2 4 0 ~ (4) ,

la solución de (4) es

24 2i ,

de ahí que la solución de (3) se expresa como:

1 2cos2 2

h y c x c sen x

La supuesta solución particular, de acuerdo a la tabla 1, viene dada por:

cos2 2 p

y A x Bsen x

Haciendo una comparación entre la supuesta p y y la h y , nos damos cuenta

que existe una duplicidad de los términos cos2 y 2 x sen x , por lo que

debemos multiplicar por unn

x que elimine este inconveniente.Entonces cos2 2 ~ (5)

p y Ax x Bxsen x

Sustituyendo (5) en (2):

2

2cos2 2 4 cos2 2 3 2

4 cos2 4 2 4 2 4 cos2 4 cos2 4 2 3 2

3 2 ~ (6)4 2 4 cos2

Ax x Bxsen x Ax x Bxsen x sen x

Ax x Asen x Bxsen x B x Ax x Bxsen x sen x

sen x

d

dx

Asen x B x

Comparando términos en la ecuación (6):


16/25


33 2 y

44 2 4 cos2 0 0 sen x A Asen x B x B

Entonces tenemos que:

3 cos2

4 p

x x y

La solución general es igual a

1 2

3 cos2cos2 2

4

h p y y y

x x y c x c sen x

Después de haber analizado el método de coeficientes indeterminados pormedio de superposición, ahora lo haremos por el criterio del anulador.

ii.

Coeficientes indeterminados: Anulador

La ecuación diferencial ( ) ( ) L y g x tiene coeficientes constantes, y lafunción ( ) g x consiste en sumas y productos finitos de constantes,

polinomios, funciones exponenciales axe , senos y cosenos.

i) Encuentre la función complementaria para la ecuación homogénea( ) 0. L y

ii) Opere ambos lados de la ecuación no homogénea ( ) ( ) L y g x con

un operador diferencial 1 L que elimine la función ( ) g x .iii) Determine la solución general de la ecuación diferencial homogéneade orden superior

1( ) 0. L L y

iv) Anule de la solución del paso (iii) los términos que se duplican en la

solución complementaria c y encontrada en el paso (i). Forme unacombinación lineal p y de los términos restantes. Ésta es la forma

de una solución particular de ( ) ( ) L y g x .v) Sustituya p y encontrada en el paso (iv) en ( ) ( ) L y g x . Iguale los

coeficientes de las distintas funciones en cada lado de la igualdad yresuelva el sistema ecuaciones resultante a fin de determinar loscoeficientes desconocidos de p y .

vi) Con la solución particular hallada en el paso (v), forme la solucióngeneral

c p y y y de la ecuación diferencial que se proporciona.

Nota: El método de coeficientes indeterminados se aplica sólo a nohomogeneidades que sean polinomios, exponenciales, senos o cosenos, oproductos de estas funciones. Tampoco se puede aplicar a ecuaciones concoeficientes variables.


17/25


Ejemplo 6. Utilizando el método coeficientes indeterminados\anuladorencuentre la solución de:

3. '' 25 6 y y senx

1. Hallamos la solución complementaria de la ecuación homogénea

asociada 2

2

25 0

25 0 5

D y

r r i

Entonces,1 2cos5 s 5

c y c x c en x

2. El operador diferencial que anula a 6 senx es:

2 1 D 3. Operamos ambos lados de la ecuación diferencial no homogénea dada:

2 2 2

2 2

2 2

1 25 1 6

1 25 6 6

1 25 0

D D y D senx

D D y senx senx

D D y

La solución de la ecuación homogénea resultante es:

2

2 2

1 2

1 2 3 4

1) 25) 0

, 5

cos s cos5 s 5

( (

c

i

entonces y c x c enx c x c en x

4. Eliminamos los términos que se duplican en la solución complementariaobtenida en el paso (1). La solución particular vendrá expresada como:

cos s p

y A x B enx

5. Sustituimos a p

y en la ecuación (3) y luego resolvemos las ecuaciones

resultantes:

2 cos s 25 cos s 6

6

6

24 0 10,

24 6 4

cos s 25 cos 25 s

24 cos 24 s

A x B enx A x B enx senx

senx

senx

A A B

B

D

A x B enx A x B enx

A x B enx

4 p

senx y

6. La solución general de (3) es:

1 2cos5 s 5

4

senx y c x c en x


18/25


3.6.3 Método de Variación de Parámetros

Cuando se tiene la ecuación no homogénea ''( ) '( ) ( )ay x by x cy g x y

( ) 0 g x no satisface las condiciones previstas por la técnica de coeficientesindeterminados, se procede bajo la técnica de Variación de Parámetros

resumida así:

i. Dada la ecuación ''( ) '( ) ( )ay x by x cy g x se resuelve la homogénea

asociada ''( ) '( ) 0ay x by x cy , de donde se obtiene c y .

ii. Se propone p y con la misma estructura de c y pero las constantes que

se incluyen se sustituyen por parámetros variables, es decir, funciones

μ1(x) y μ2(x), desconocidas por determinar. Así

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) p x y x x y x y .

iii. Se deriva la p y tantas veces indica la ecuación, pero en la primera

derivada de p y se hacen los términos 1 1 2 2( ) ( ) 0.' ' x x y y Mientras

en la segunda derivada debido a la sustitución en la ecuación diferencial

propuesta resulta que 1 1 2 2( ) ( ) ( ) /' ' ' ' x x g x a y y .

iv. Se resuelve el sistema simultáneo con incógnitas μ’1(x) y μ’2(x), obtenido

en el paso previo, por medio del método de Cramer (preferiblemente).

Esto permite obtener las soluciones 11' w

w y 22'

w

w .

v. Se resuelven las integrales 11w

dxw

y 22 .w

dxw

vi. Se construye la solución particular

1 21 21 2 . p

w w y y y dx dx

w w

vii. Se enuncia la solución general de la ecuación como .c p

y y y

Nota: En realidad el método de Variación de Parámetros se aplica sin

importar la forma de ( ) g x , sin embargo en lo general si en una ecuación dada


19/25


es aplicable el método de Coeficientes indeterminados, casi siempre será más

sencillo aplicarlo preferiblemente a la variación de parámetros.

Este método será generalizado para ecuaciones de orden superior, despuésdel ejemplo.

Ejemplo. Usando el método de variación de parámetros, halle la solución dela E.D.O dada.

2

2sec csc ~ (1)

d y y x x

dx

i. Resolvemos la ecuación homogénea asociada de (1)

2

2

2

2 2

0

1 0

1 0 1

d y y

dx

D y

de ahí que: 1 2cos sci y c x c enx ii. Se propone 1 2cos s p y x enx

iii. Derivamos a p

y y obtenemos el sistema de ecuaciones.

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

cos s

De donde ' cos ' s 0 - ' s ' cos sec csc

' cos ' s 0~ (2)

- ' s ' cos sec csc

p y x enx

x enx y enx x x x

x enx

enx x x x

iv. Resolvemos el sistema de ecs. (2)

2 2

1

2

coscos 1

cos

0sec csc cos

' sec

cos 0

sec csc' csc

x senx x sen x

senx x

senx x x x

x

x

senx x x x

v. Calculamos1 2

: y

1 2sec ln sec tan csc ln csc cot xdx x x y xdx x x


20/25


vi. Tenemos que:

(cos )ln sec tan ( )ln csc cot p

y x x x senx x x

vii. La solución general viene dada por:c p y y y

1 2cos (cos )ln sec tan ( )ln csc cot y c x c senx x x x senx x x

3.6.4 Método de Variación de Parámetros para E. D.O de Orden Superior

Este método puede ser generalizado para ecuaciones diferenciales lineales deorden superior.

El propósito nuestro es determinar una solución particular de la ecuación enla forma canónica

11 1 0( ) ... ( ) ' ( ) ( ) ~ (1)n nn y P x y P x y P x y g x

Este método requiere que previamente hallemos una solución a la ecuaciónhomogénea asociada a (1). La ecuación homogénea asociada es

1

1 1 0( ) ... ( ) ' ( ) 0 ~ (2)n n

n y P x y P x y P x y

Y la solución complementaria viene dada por:

1 1 2 2 1 1... ~ (3)c n n n n y c y c y c y c y , una solución particular de (1) es:

1 1 2 2 1 1... ~ (4)

p n n n n y u y u y u y u y ,

donde ' , 1,2,...,k

u k n se determinan mediante las n ecuaciones

1 1

( 2) ( 2)

1 1

( 1) ( 1)

1 1

' ... ' 0

' ... ' 0

' ... ' ( )

n n

n n

n n

n n

n n

y u y u

y u y u

y u y u g x

~ (5)

Una condición necesaria para que el sistema (5) tenga solución para x en

( , )a b es que el determinante de la matriz formada por los coeficientes de1 2' , ' ,... '

nu u u sea diferente de cero para toda x en ( , ).a b Este determinantees precisamente el Wronskiano:

1

1 2( 2) ( 2)

1

( 1) ( 2)

1

...

, ,..., ( ) ~ (6)....

...

n

nn n

n

n n

n

y y

W y y y x y y

y y


21/25


que nunca se anula en ( , )a b , pues 1,..., n y y es un conjunto fundamental desoluciones.

Al resolver el sistema de ecuaciones mediante la regla de Cramer, tenemos:

1 1

( )' ( ) ~ (7), 1,... ,

( ,..., )( )k k

W xu x k n

W y y x donde ( )k W x es el determinante

que se obtiene al remplazar la k-ésima columna de Wronskiano por la columnaformada por los términos independientes del sistema de ecuaciones (6).

Si integramos (7), tenemos que:

( )( ) , 1,... ~ (8).k

k

W xu x dx k n

W

Al sustituir (8) en (4), la solución particular de (1) es:

1

( ) ~ (9).n k

p k

k

W x y y dxW

La solución general de (1) viene dada por la expresión:

~ (10).c p y y y

Observaciones:

El método de variación de parámetros tiene una ventaja comparativa conla técnica de coeficientes indeterminados en cuanto a que siempre se

produce una solución particular cada vez que se puede resolver laecuación homogénea relacionada con (1). La técnica es un poco laboriosa para ecuaciones de orden mayor que tres.

Ejemplo. Determine la solución de la ecuación dada

2

22 ~ ( )

d y y senh x a

dx

Escribimos la ecuación homogénea a la ecuación (a):

2 1 0 ~ ( ) D y b

La ecuación característica es: 2 1 0m y sus raíces son:1 2

1 y 1m m

de ahí que la solución complementaria viene dada por:

1 2

x x

c y c e c e

Construyamos la solución particular a partir de la solución complementaria,

entonces 1 2( ) ( ) x x

p y u x e u x e

1 2

1 2

' ( ) ' ( ) 0

~ ( )' ( ) ' ( ) 2

x x

x x

u x e u x e

cu x e u x e senh x


22/25


Resolviendo el sistema de ecuaciones (c) tenemos que:

1 2

2

0 02 , 22 2

x x

x x

x x

x x

x x

e eW

e e

e eW e senh x W e senh x senh x e e senh x

1 21 2

2 2 2 2' ~ ( ), ' ~ ( )

2 2 2 2

x x x xW e senh x e senh x W e senh x e senh xu d u e

W W

Procedemos a integrar a (d) y (e):

1

2

1 22 cosh 2

2 3 2

1 22 cosh 22 3 2

x x

x x

e senh xu e senh xdx x

e senh xu e senh xdx x

Por tanto,2 2

cosh2 cosh23 2 3 2

x x

p

e senh x e senh x y x x

La solución general es:c p

y y y

1 2

2 2cosh2 cosh2

3 2 3 2

x x x x e senh x e senh x y c e c e x x

3.7 Ecuación de Cauchy-EulerDefinición. Una ecuación diferencial lineal de la forma

1 21 2

1 2 1 01 2( ) ~ (11),

n n nn n n

n n nn n n

d y d y d y dya x a x a x a x a y g x

dx dx dx dx

donde los coeficientes1 0

, ,...,n n

a a a son constantes, se conoce como ecuación

de Cauchy-Euler. Los coeficientes monomiales k x coinciden con el orden k

de diferenciación

k

k d ydx

.

3.7.1 Método de solución

Asumamos una solución de la forma m y x , donde m es un valor a

determinar. Similar a lo que ocurre cuando se sustituye mxe en una ecuación

lineal con coeficientes constantes, sucede cuando se sustituye m x , cadatérmino de una ecuación de Cauchy-Euler se convierte en un polinomio por

m x , puesto que


23/25


( 1)...( 1) ( 1)( 2)...( 1) ~ (12).k

k m k m

k k k k

d ya a x m m m k x a m m m k x

dx

Así m y x , es una solución de la ecuación diferencial, siempre que m sea unasolución de la ecuación auxiliar.

Tenemos tres casos distintos a considerar:

Caso 1. Raíces reales diferentes. Sean1 2, ,...,

k m m m las raíces de la ecuación

homogénea asociada de (11), con1 2

...k

m m m . Entonces1

1 ,..., k mm

k y x y x forman un conjunto fundamental de soluciones. Porconsiguiente, la solución de la ecuación homogénea asociada a (11) vieneexpresada por

1

1 ... ~ (13)k mm

h k k y c x c y x Caso 2. Raíces repetidas. Si las raíces de la ecuación homogénea asociada a

(11) son repetidas, entonces hay una solución a saber 1m y x . Como 1m es

una raíz de multiplicidad k , entonces, la solución de la homogénea asociadaa (11) viene dada por

1 1 1

1 ... (ln ) ~ (14).m m k

h k y c x c x x

La ecuación (14) se obtiene por medio del método de reducción de orden, deuna ecuación de n-ésimo orden.

Caso 3. Raíces complejas conjugadas.

Analicemos una situación particular para explicar el caso 3.

Sea2

2

20 ~ (15).

d y dyax bx cy

dx dx

Si las raíces de (15) son el par conjugado 1 2,m i m i , donde

0 y son reales, entonces la solución es 1 2i i y c x c x . Después

de realizar algunas operaciones y haciendo uso de la fórmula de Euler,

concluimos que dichas soluciones pueden escribirse1 2cos( ln ), ( ln ) y x x y x sen x

. Por tanto la solución general es

1 2cos( ln ) ( ln ). y c x x c x sen x

Ejemplo. Encuentre la solución de la siguiente E. D

22 2

210 8 ~ (4)

d y dy x x y x

dx dx

La ecuación homogénea asociada a (4) es:


24/25


22

210 8 0 ~ (5)

d y dy x x y

dx dx

Asumamos que ~ (6)m y x es una solución de la ec. (5).

Derivamos (6):2

1 2

2, ( 1) ~ (7)m m

dy d ymx m m x

dx dx

Sustituyamos (6) y (7) en (5):

2 2 1

2

( 1) 10 8 0 ~ (8)

( 1) 10 8 0

9 8 0 ~ (9)

m m m x m m x xmx x

m m m

m m

La solución de la ecuación característica (9) es:

1 2( 8)( 1) 0 8, 1m m m m

La solución de la ecuación homogénea es:

8 1

1 2h y c x c x

Mediante el método de coeficientes indeterminados encontramos la soluciónparticular de la ecuación (4) dada

2

p y Ax Bx D Derivamos a p y :

' 2 , '' 2 p p

y Ax B y A

Sustituyamos a p

y y sus derivadas en (4):

2 2 2 2

2 2

2 20 10 8 8 8

30 18 8 ~ (10)

Ax x A Bx Ax Bx D x

Ax Bx D x

Aplicando la teoría de polinomios en (10):

30 11

18 0 , 0 030

8 0

A

B A B y D

D

Entonces,2

30 p

x y

La solución general es:h p

y y y


25/25

28 1

1 230

x y c x c x

Bibliografía

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2. Nagle, K., Saff, E. y Snider, A. (2005). Ecuaciones Diferenciales yProblemas con Valores en la Frontera (4 ta edición). México: Pearson.

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