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Cálculo diferencial Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
Universidad Abierta y a Distancia de México 1
Universidad Abierta y a Distancia de México
Licenciatura en matemáticas
2° cuatrimestre
Cálculo diferencial
Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
Clave:
050910206/060910206
Cálculo diferencial Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
Universidad Abierta y a Distancia de México 2
Índice Presentación de la unidad ....................................................................................................................3
Propósitos ...............................................................................................................................................3
Competencia específica .......................................................................................................................3
4. Aplicaciones de la derivada .............................................................................................................3
4.1. Derivada como razón de cambio .................................................................................................3
Actividad 1. Cambio de variación ........................................................................................................8
4.2. Recta tangente a una curva .........................................................................................................9
Actividad 2. Razón de cambio y tangente de una curva .............................................................. 15
4.3. Máximos y mínimos .................................................................................................................... 15
4.3.1. Criterio de la primera derivada .......................................................................................... 16
4.3.2. Criterio de la segunda derivada ........................................................................................ 22
4.4. Gráfica de una función ............................................................................................................... 26
Actividad 3. Máximos y mínimos y gráfica de una función ......................................................... 36
Autoevaluación ................................................................................................................................... 36
Evidencia de aprendizaje. Aplicación de la derivada .................................................................... 37
Autorreflexiones .................................................................................................................................. 37
Cierre de la unidad ............................................................................................................................. 37
Para saber más ................................................................................................................................... 38
Fuentes de consulta ........................................................................................................................... 38
Cálculo diferencial Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
Universidad Abierta y a Distancia de México 3
4. Aplicaciones de la derivada
Presentación de la unidad
En esta unidad se presentan algunas de las aplicaciones más elementales de la derivada
como son la razón de cambio, la recta tangente a una curva, los máximos y mínimos
relativos y el método para graficar funciones.
Estas aplicaciones se desarrollan en diversos contextos, para ver la diversas áreas que
abarca el Cálculo diferencial y de manera específica la derivada. En Física es común
contextualizar la derivada como tal, por ejemplo la razón de cambio que existe entre la
velocidad a razón del tiempo.
Durante esta unidad, la intención es desarrollar ejercicios donde se refleje la razón de
cambio, representarlos gráficamente, representar una recta tangente a una curva, así como
encontrar máximos y mínimos, en problemas contextualizados.
Propósitos
Identificar en un problema la variación de una cantidad con respecto a otra para interpretarla
como la derivada de una función.
Competencia específica
Utilizar las propiedades de la derivada para resolver problemas de aplicaciones, a través de
la de la derivada como razón de cambio
4.1. Derivada como razón de cambio
La idea detrás de este tipo de problemas surge de la física, en mecánica se estudia la
velocidad y la aceleración de una partícula en un determinado punto, la velocidad no es más
que la variación de la distancia con respecto al tiempo y la aceleración es la variación de la
velocidad con respecto a tiempo, la primera se interpreta como la primera derivada y la
segunda como la derivada de la velocidad, es decir, la segunda derivada.
Considera que una variable y depende de la variable x , es decir, se tiene que ( )y y x ,
además la variable x depende de algún parámetro t , en símbolos ( )x x t , a la variable t a
veces suele llamársele tiempo. La regla de la cadena garantiza que:
Cálculo diferencial Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
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( )x y x
d d dy x t y x x t
dt dx dx
.
Lo cual establece la velocidad con la que está variando y con respecto a t en términos de
la velocidad de y con respecto a x y la velocidad de x con respecto a t .
Ejemplo
El volumen de una esfera 34
3V r donde r es el radio de la esfera. Supóngase que el
radio r varía con respecto al tiempo entonces el volumen de la esfera también tiene una
variación con el tiempo, la regla de la cadena afirma que:
23
( )
4( ) 4 )
3( ) (
r r t
dV d d dr t r t
dt drr r
dt tt
d
Ejemplo
Hallar la razón con que una pelota esférica se desinfla sabiendo que cuando radio es 3cm
este varia con una velocidad de 0.5cm/min .
Solución: Antes que nada es recomendable realizar un esquema que ejemplifique el
ejercicio y que muestre las variables y constantes que estén en juego. En este caso se tiene
lo siguiente:
Esquema 1
Después se presentan las relaciones entre las variables con el objetivo de observar las
dependencias que hay entre ellas. En este caso el volumen de una esfera depende del
radio de la misma con la relación 34
3V r , observa que el radio r está en centímetros y
que depende del tiempo t donde el tiempo está en minutos.
Luego hay que identificar las cantidades que están variando y representarlas como
derivadas, en este ejercicio, se tiene que la frase “su radio varia con una velocidad de
Cálculo diferencial Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
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0.5cm/min ” se interpreta como 0.5 cm/mindr
dt (recuerda que una derivada con signo
negativo significa que la función decrece) además la frase “la razón con que una pelota
esférica se desinfla” se interpreta como la velocidad con la que el volumen de la esfera está
variando con respecto al tiempo, en símbolos se utiliza dV
dt, de forma más concreta se tiene
que:
24d
dt dxr
V dr
El resultado se obtiene sustituyendo 0.5 cm/mindr
dt y 3cmr del siguiente modo:
22 34 4 03 .5 18 /cm cm/min cm min
dV dr
dr
t dx .
Por lo tanto, el volumen de la pelota decrece a razón de 318 /cm min .
Ejemplo
Una escalera de 4 m de longitud está apoyada contra una pared vertical, esta resbala
alejándose de la pared a una velocidad constante de 0.6m/seg . Cuando la escalera está a
3m de la pared ¿Qué tan rápido se desliza hacia abajo la parte superior de la escalera
hasta caer al suelo?
Solución
Como se mencionó en el ejemplo anterior hay que realizar un diagrama ilustrativo, como lo
muestra la siguiente figura:
Figura 1
Como x y y son los catetos de un triángulo rectángulo, donde x y y están en metros, el
teorema de Pitágoras afirma que 2 2 24 16y x x . Que la escalera resbala alejándose
a una velocidad constante de 0.6m/seg significa que 0.6dx
dt y la velocidad con la que se
Cálculo diferencial Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
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desliza hacia abajo la parte superior de la escalera es dy
dt, observa que distancia x está en
metros y que depende del tiempo t donde el tiempo está en segundos. Luego se tiene que:
2 2
2 2
116 16
2 16 16
dy d dx d dx x dxx x
dt dx dt dx dt dtx x
Solo basta sustituir 0.6dx
dt y 3x , de lo cual se obtiene:
2 2
3 1.8 1.80.6
16 9 716 16 3
dy x dx
dt dtx
Por lo tanto, la velocidad con la que se desliza hacia abajo (recuerda lo que significa una
derivada negativa) la parte superior de la escalera es de 1.8
7m/seg .
Como habrás observado en los primeros dos ejercicios hay un algoritmo para desarrollar un
problema de razón de cambio, a manera de sugerencia se presenta el siguiente método:
Paso 1. Define las variables de la ecuación que obtendrás especificando bien en que
unidades se está trabajando.
Paso 2. Escribe las relaciones que hay entre las variables y sus derivadas con respecto al
tiempo.
Paso 3. Identifica lo que tienes que calcular.
Paso 4. Escribe la relación que hay entre las variables que dependen del tiempo.
Paso 5. Deriva con respecto al tiempo la relación encontrada en el paso anterior.
Paso 6. Sustituye los valores de las cantidades conocidas en la ecuación del paso
anterior.
Paso 7. Presenta la conclusión de todo lo realizado en los pasos anteriores.
Para ejemplificar lo anterior se presenta lo siguiente:
Ejercicio: En un tambo de forma cilíndrica de 16 m de altura y 4 m de radio, se comienza a
llegar con un líquido a razón de 32m /min ¿Qué tan rápido sube el nivel del líquido cuando
se ha alcanzado 5m de altura?
Solución: Se procede como lo indica el algoritmo antes presentado:
Paso 1. Se definen las siguientes variables:
t es el tiempo en minutos.
h la altura del cilindro.
V el volumen del cilindro.
Cálculo diferencial Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
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Paso 2. El líquido fluye en el tambo a razón de 32m /min lo que implica que 2dV
dt .
Paso 3. Se desea calcular dh
dt.
Paso 4. En cualquier instante, el volumen del tambo se expresa por 16V h ya que el
área del circulo de radio 4 es igual a 2
14 6 .
Paso 5. Derivando la relación anterior con respecto a t se tiene
16dV dV dh dh
dt dh dt dt .
Paso 6. Se sustituye 2dV
dt y 5h para obtener 2 16
dh
dt , es decir
1
8
dh
dt , observa
que la relación anterior no depende de h .
Paso 7. Por lo tanto, la variación de altura con respecto al tiempo es de 1
8m/min
.
Ejemplo:
Dos personas van caminando, uno va hacia el oeste a una velocidad de 0.8m/s y el otro va
hacia el norte a 1.2m/s , van hacia una misma esquina. ¿Con qué velocidad se está
aproximando uno al otro en el momento en que la primera persona está a 12 m y la segunda
se encuentra a 18m de dicha esquina?
Solución: Se procede como lo indica el algoritmo antes presentado:
Paso 1. Se definen las siguientes variables:
t Es el tiempo en segundos.
x La distancia en metros que tiene que recorrer la primera persona.
y La distancia en metros que tiene que recorrer la segunda persona.
z La distancia en metros que hay entre las dos personas.
Representación de variables 1
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Paso 2. Como la primera persona se mueve con una velocidad de 0.8m/s y la otra con
1.2m/s se tiene que 0.8dx
dt y 1.2
dy
dt , signo negativos son porque x y y
decrecen.
Paso 3. Se desea calcular dz
dt en el instante cuando 12x y 18y .
Paso 4. El teorema de Pitágoras garantiza que 2 2 2x y z .
Paso 5. Derivando la relación anterior con respecto a t se tiene
2 2 2
2 2 2
d dx y z
dt dt
dx dy dzx y z
dt dt dt
dx dyx y
dz dt dt
dt z
Paso 6. La relación de Pitágoras afirma que cuando 12x y 18y , se tiene que
2 2(12) (18) 6 13z y sustituyendo en la relación anterior se tiene lo
siguiente:
6 1
12 0.8 18 1.21.44
3
dx dyx y
dz dt dt
dt z
Paso 7. En dicho momento, las personas se acercan a una velocidad de 1.44m/s .
Actividad 1. Cambio de variación
Mediante esta actividad, podrás observar el cambio de variación, dentro de contextos cotidianos, tomando en cuenta los temas que has manejado anteriormente. Para ello. 1. Representa en una situación cotidiana, el cambio de variación de una valor respecto a
otro.
2. Identifica cuales valores son los que permiten el cambio de variación en la situación planteada.
3. Ingresa al foro y plantea tus conclusiones respecto a la situación que elegiste y resolviste.
4. Revisa tres aportaciones de tus compañeros, aceptando o rechazando su respuesta,
presentando argumentos válidos.
Cálculo diferencial Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
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Nota: Antes de participar en el foro, recuerda consultar la Rúbrica general de participación en foros que se encuentra en la sección Material de apoyo.
4.2. Recta tangente a una curva
Una gran cantidad de problemas que se presentan en cálculo y física se resuelven
encontrando la recta tangente a una curva en un determinado punto. El concepto de
tangente a una curva tiene su origen en el estudio del círculo, aquí una recta tangente es
aquella que toca al círculo en uno y sólo un punto, como lo muestra la figura siguiente:
Recta tangente 1
Esta definición no es aplicable a cualquier curva, en algunos casos no se considerarían
rectas tangentes y en otros casos no se podría determinar dicha recta, como la muestran las
siguientes figuras:
Recta tangente 2
Para evitar ambigüedades como las presentadas en las figuras anteriores, se define la recta
tangente a una curva en un punto de la siguiente manera:
Cálculo diferencial Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
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Definición 4.2.1: Sea ( )f x una función derivable en algún intervalo que contenga a 0x la
recta tangente a la gráfica de ( )f x en el punto 0 0, ( )x f x está dada por la relación:
0 0 0'( ) ( )y f x x x f x
Dado que la gráfica de una función es única haciendo un abuso de lenguaje en vez de decir
“la recta tangente a la gráfica” se suele decir “la recta tangente a la función”, gráficamente la
recta tangente se presenta de la siguiente manera:
De manera similar, a la recta tangente se define la recta normal a una curva como se
presenta a continuación:
Definición 4.2.2: Sea ( )f x una función derivable en algún intervalo que contenga a 0x , con
0'( ) 0f x , la recta normal a la gráfica de ( )f x en el punto 0 0, ( )x f x está dada por la
relación:
0 0
0
1( )
'( )y x x f x
f x
De manera similar al caso de la recta tangente se suele decir “la recta normal a la función”.
Gráficamente la recta normal se presenta de la siguiente manera:
Cálculo diferencial Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
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Debes observar que la recta tangente y la recta normal son ortogonales, además cuando la
recta tangente es horizontal la recta normal es vertical. También algo que debe tener en
cuenta todo se basa en tener el del punto de tangencia y el valor de la derivada en
dicho punto.
Ejemplo.
Hallar las ecuaciones de la recta tangente y normal a la función 2( ) 3f x x x en el punto
1, 2 .
Solución: Utilizando la notación de la Definición 4.2.1 se tiene que 0 1x y
0( ) 2f x ,
luego '( ) 2 3f x x , en particular cuando '(1) 2 1 3 1f por consiguiente la ecuación de
la recta tangente es:
0 0 0'( ) ( ) 1 1 2 1y f x x x f x x x
Por otro lado la ecuación de la recta normal es:
0 0
0
1 1( ) 1 2 3
'( ) 1y x x f x x x
f x
Gráficamente se tiene lo siguiente:
Gráfica recta tangente 1
Ejemplo:
Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva 3( ) 3f x x x que sea paralela a la recta
9 4y x .
Cálculo diferencial Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
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Solución: Hay que observar que en este ejercicio no se proporciona las coordenadas del
punto de tangencia, sin embargo se proporciona el valor de la derivada en dicho punto ya
que dos rectas en el plano son paralelas si y sólo sus pendientes son iguales significa que la
recta 9 4y x y la recta tangente la función tienen pendiente 9m .
En consecuencia el problema se limite a encontrar todo x tales que la derivada de la 3( ) 3f x x x sea igual a 9 , es decir ' 9y . Por consiguiente:
3 2'( ) 33 3 9d
f x x x xdx
Resolviendo algebraicamente:
2
2
23 3 9
3 2
2
1
4
x
x
x
x
Es decir, hay dos punto cuyas recta 1 y
2 que son tangentes a 3( ) 3f x x x y que son
paralelas a la recta 9 4y x .
Cuando 2x se tiene que 3
(2) 2 3 2 2f , es decir, el punto tangencia es 2,2 y
la pendiente de la recta es '(2) 9f , lo que implica que:
0 0 0'( ) ( ) 9 2 2 9 16y f x x x f x x x .
Cuando 2x se tiene que 3
( 2) 2 3 2 2f , es decir, el punto tangencia es
2, 2 y la pendiente de la recta es '( 2) 9f , lo que implica que:
0 0 0'( ) ( ) 9 2 2 9 16y f x x x f x x x .
La representación gráfica de lo anterior es la siguiente:
Gráfica recta tangente 2
Cálculo diferencial Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
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Ejemplo: Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva 2( )f x x en el punto
1, 2
2
.
Solución: Primero hay que observar que la información no proporcionar ni los puntos de
tangencia ni las pendientes de dichas rectas. Como se presentó al inicio de la sección la
ecuación de la recta tangente a una curva tiene la forma:
0 0 0'( ) ( )y f x x x f x
Observa que 0 0'( ) 2f x x y 2
0 0( )f x x , lo que permite obtener la siguiente relación:
2 2
0 0 0 0 02 2y x x x x x x x
Dado que las rectas tangentes pasa por el punto 1
, 22
, este debe de satisfacer la
relación anterior, esto permite obtener las siguientes relaciones:
2
0 0
2
0 0
2
0 0
00
2
12 2
2
2 0
2 1 0
y x x x
x x
x x
x x
Entonces 0 2x o 0 1x .
Cuando 0 2x se tiene que 2
(2) 2 4f , es decir, el punto tangencia es 2,4 y la
pendiente de la recta es '( 2) 2 2 4f , lo que implica que:
0 0 0'( ) ( ) 4 2 4 4 4y f x x x f x x x .
Cuando 0 1x se tiene que 2
(1) 1 1f , es decir, el punto tangencia es 1,1 y la
pendiente de la recta es '(1) 2 1 2f , lo que implica que:
0 0 0'( ) ( ) 2 1 1 2 1y f x x x f x x x .
Gráficamente se tiene lo siguiente:
Cálculo diferencial Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
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Gráfica recta tangente 3
Ejemplo:
Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva 2 24 2 3 0x xy y x y en el punto
1, 2 .
Solución: En este tipo de ejercicio, primero hay que verificar si el punto verdaderamente
pertenece a la curva, sustituyendo los valores asignado a las variables, en este caso 1x y
2y :
2 2
1 4 1 2 2 2 1 2 3 1 8 4 2 2 3 0
Esto muestra que el punto de tangencia es 1, 2 . Ahora se procede a calcular la derivada
de la función implícita definida por la relación 2 24 2 3 0x xy y x y del siguiente modo:
2 24 2 3 0
2 4 4 2 2 0
4 2 1 2 4 2
2 4 2
4 2 1
d dx xy y x y
dx dx
dy dy dyx x y y
dx dx dx
dyx y x y
dx
dy x y
dx x y
Sustituyendo 1x y 2y se tiene que:
2 1 4 2 2 2 8 2 44
4 1 2 2 1 4 4 1 1
dy
dx
Finalmente se sustituye en la fórmula de la ecuación de la recta tangente:
4 1 2 4 6y x x
Gráficamente se tiene lo siguiente:
Cálculo diferencial Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
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Gráfica recta tangente 4
Actividad 2. Razón de cambio y tangente de una curva
La finalidad de la actividad es, analizar y resolver problemas donde se involucre la razón de
cambio y la tangente de una curva. Para ello.
1. Descarga el documento “Act. 2. Razón de cambio y tangente de una curva”
2. Resuelve los problemas que ahí se presentan
3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MCDI_U4_A2_XXYZ. Sustituye
las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido
paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.
4. Envía tu documento a tu Facilitador(a) y espera su retroalimentación.
* Recuerda consultar la Escala de evaluación de la actividad para saber qué aspectos se tomarán en cuenta para su revisión.
4.3. Máximos y mínimos
Imagina que tienes una empresa que fabrica de determinado producto, como dirigente te
conviene obtener las mayores ganancias invirtiendo lo mínimo en la fabricación del
producto, este es un ejemplo de un problema de máximos y mínimos. En esta sección se
presentan como la derivada es una herramienta muy importante para la resolución de este
tipo de problemas.
Cálculo diferencial Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
Universidad Abierta y a Distancia de México 16
4.3.1. Criterio de la primera derivada
En el Teorema 3.1.9 afirma que cuando una función es derivable en un intervalo y tiene un
máximo o mínimo entonces la derivada es nula en dichos puntos, de forma gráfica, la recta
tangente a la curva en un punto máximo o mínimo es horizontal. Este teorema simplifica la
buscada de los máximos o mínimos de una función.
Los máximos y mínimo que se estudian en esta sección son de naturaleza local, esto quiere
decir, que solo será válido alrededor de un pequeño intervalo, por consecuente se llaman
máximo y mínimos locales. Los valores máximos y mínimos en todo el dominio de la
función, toman el nombre de máximo o mínimo absolutos. En lo sucesivo cuando se hable
de máximo o mínimos se refiere a máximo y mínimos locales.
Máximo y mínimo
Definición 4.3.1. Dada una función ( )f x derivable en algún conjunto de punto. Se dice que
0x es un punto crítico de ( )f x si y sólo si 0'( ) 0f x .
El Teorema 3.1.9 afirma que los máximos y los mínimos de una función son puntos críticos,
pero no todo punto crítico es un máximo o mínimo como lo muestra la siguiente figura:
Punto crítico, máximo y mínimo
Cálculo diferencial Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
Universidad Abierta y a Distancia de México 17
Definición 4.3.2. Un punto crítico de ( )f x que no es ni máximo ni mínimo se llama punto
de inflexión.
Recordando que en una función derivable, si derivada positiva es creciente y si su derivada
en negativa es decreciente, se tiene una clasificación de los puntos críticos de una función,
conocido como criterio de la primera derivada.
Teorema 4.3.3. Supóngase que ( )f x es derivable en un intervalo ,a b que contenga al
punto crítico 0x de ( )f x , entonces:
(i). Si '( ) 0f x para 0x x y '( ) 0f x para
0x x , ( )f x toma un mínimo en 0x .
(ii). Si '( ) 0f x para 0x x y '( ) 0f x para
0x x , ( )f x toma un máximo en 0x .
(iii). Si '( ) 0f x ó '( ) 0f x para 0x x ,
0x es un punto de inflexión de ( )f x .
Demostración: Esto se obtiene aplicando el Teorema 3.5.4. y el Corolario 3.5.5 del
siguiente modo:
(i). Como '( ) 0f x para 0x x entonces ( )f x es decreciente y como '( ) 0f x para
0x x entonces ( )f x es creciente, luego en 0x la función deja de decrecer para
comenzar a crecer entonces ( )f x toma un mínimo en 0x .
Máximo y mínimo
(ii). Como '( ) 0f x para 0x x entonces ( )f x es creciente y como '( ) 0f x para 0x x
entonces ( )f x es decreciente, luego en 0x la función deja de crecer para comenzar
a decrecer entonces ( )f x toma un máximo en 0x .
Cálculo diferencial Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
Universidad Abierta y a Distancia de México 18
punto máximo 1
(iii). Cuando '( ) 0f x para 0x x entonces ( )f x creciente o cuando '( ) 0f x para
0x x entonces ( )f x es decreciente, luego en 0x la función ( )f x no deja de crecer o
decrecer, así 0x es un punto de inflexión de ( )f x .
punto de inflexión 1
Lo que demuestra el teorema.
El teorema anterior afirma que para clasificar un punto crítico basta observar los cambios de
signos que se presenta en la derivada para valores cercanos, uno menor y otro mayor, al
punto crítico.
En resumen para calcular los máximos o mínimos de funciones de una función derivable
( )f x se realizar el siguiente procedimiento:
Paso 1. Calcula el valor de '( )f x .
Paso 2. Encuentra los puntos críticos resolviendo la ecuación '( ) 0f x .
Cálculo diferencial Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
Universidad Abierta y a Distancia de México 19
Paso 3. Clasifica los puntos críticos.
Ejemplo
Hallar los máximos y mínimos de la función 3( ) 3f x x x .
Solución: Se sigue el procedimiento antes mencionado:
Paso 1. Dado que 3( ) 3f x x x implica que 2'( ) 33f x x .
Paso 2. Tomando '( ) 0f x implica que 23 3 0x , de donde se obtiene que 1x .
Paso 3. Para 0 1x se toma un valor cercano menor 1.1x y el valor cercano mayor
0.9x para observar:
2 2
'( 1.1) 3 1.1 3 0.63 '( 0.9) 3 0.9 3 0.57yf f
Es decir, la derivada paso de un valor positivo a otro negativo, esto quiere decir que 3( 3)f x x x toma un máximo en
0 1x .
Para 0 1x se toma un valor cercano menor 0.8x y el valor cercano mayor 1.2x para
observar:
2 2
'(0.8) 3 0.8 3 1.08 '(1.2) 3 1.2 3 1.32yf f
Es decir, la derivada paso de un valor negativo a otro positivo, esto quiere decir que 3( 3)f x x x toma un mínimo en
0 1x .
Gráficamente, se tiene lo siguiente:
Máximo y mínimo de la función 1
Ejemplo
Cálculo diferencial Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
Universidad Abierta y a Distancia de México 20
Considera la recta 2 4x y y todos los rectángulos que se forman de manera similar al que
muestra la siguiente figura:
Máximos y mínimos
Hallar el rectángulo de mayor área.
Solución
En este tipo de problemas hay que identificar claramente que se desea maximizar o
minimizar, en este caso concreto se desea maximizar el área del rectángulo. Sean x y y la
base y la altura del rectángulo respectivamente. En consecuencia, el área del mismo es
igual a A xy .
Por otro lado, hay que observar que un vértice esta sobre la recta 2 4x y , lo que permite
hacer despender una variable de la otra, sigamos 1
22
y x (también se puede hacer
depender x de y ). Esto permite expresar el área del rectángulo con función de la variable x
del siguiente modo 21 12 2
2 2A xy x x x x
.
La función a maximizar es 21( ) 2
2A x x x , para ello se utiliza el procedimiento antes
presentado:
Paso 1. Dado que 21( ) 2
2A x x x implica que '( ) 2A x x .
Paso 2. Tomando '( ) 0A x implica que 2 0x , de donde se obtiene que 2x .
Paso 3. Para 0 2x se toma un valor cercano menor 1.5x y el valor cercano mayor
2.1x para observar:
'(1.5) 1.5 2 0.5 '(2.1) 2.1 2 0.1yA A
Es decir, la derivada paso de un valor positivo a otro negativo, esto quiere decir que
21( ) 2
2A x x x toma un máximo en 0 2x .
Cálculo diferencial Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
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Cuando 2x se tiene que 1 1
2 2 2 12 2
y x , por consiguiente el triángulo
mostrado en la figura es quien tiene más área:
Rectángulo de mayor área
Ejemplo
Se desea construir una lata de aluminio en forma de cilindro de tal forma que su superficie
sea de 2100 cm y que tenga el volumen máximo.
Solución
Hay que observar que aunque seas un experto en maximizar y minimizar funciones, si no se
conoce como se construye un cilindro este ejercicio no lo podrás entender.
Primero hay que recordar que el desarrollo de un cilindro es el siguiente, donde r es el
radio de la base y h su altura, observa que ambas variables están dadas en centímetros:
Esquema 1
La superficie del cilindro es igual a la suma de las áreas de los circulo con el rectángulo;
cada una de las áreas de los círculos son igual 2r , hay que observar que la base del
rectángulo y la circunferencia tienen que tener la misma longitud es igual a 2 r , por
consiguiente la superficie del desarrollo del cilindro es 2 2 2 100r r rh
Cálculo diferencial Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
Universidad Abierta y a Distancia de México 22
Además, el volumen de un cilindro está dado por la fórmula 2V hr , por consiguiente
resolver la relación 2 50r rh en términos de h se tiene que 250 r
hr
y esto permite
expresar el volumen V como una función del radio r del siguiente modo:
2
2 2 2 3505050
rr h r r rr r
rV h
La función a maximizar es 3( ) 50 rV r r . Para ello se realiza lo siguiente:
Paso 1. Dado que 3( ) 50 rV r r implica que 2'( ) 50 3 rV r .
Paso 2. Tomando '( ) 0V x implica que 20 05 3 r , de donde se obtiene que 50
3r
.
Paso 3. El valor 0
50
3r
no se toma en cuenta ya que r es una distancia y no puede
ser negativa. Para 0
502.303
3r
se toma un valor cercano menor 2r y el
valor cercano mayor 2.5r para observar:
2 2
'(2) 50 3 50 12 '(2.5) 50 32 0 2. 50 185 0.75yV V
Es decir, la derivada paso de un valor positivo a otro negativo, esto quiere decir que
3( ) 50 rV r r toma un máximo en 0
50
3r
.
Cuando 50
3r
se tiene que
2
50 5050 503 23
10350 50
3 3
h
Por lo tanto, el cilindro de superficie 2100 cm y que tiene volumen máximo se tiene cuando el
radio 50
3cmr
y su altura es
210
3cmh
.
4.3.2. Criterio de la segunda derivada
En la sección anterior se presentó un método para hallar los máximos y mínimos locales de
funciones derivables, se observó que la clave de todo es clasificar los puntos críticos de la
función, pero para clasificar un punto crítico se requiere de elegir un punto menor y otro
Cálculo diferencial Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
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mayor a tal punto, esto puede ser engañoso ya que una pregunta natural que surge es la
siguiente: ¿estoy tomando un valor cercano adecuadamente?, cuando la función es dos
veces diferenciable, esta elección no será necesaria, como lo indica el siguiente resultado,
conocido con el criterio de la segunda derivada.
Teorema 4.3.4. Supóngase 0x es un punto crítico de ( )f x y que
0''( )f x existe, entonces:
(i). Si 0''( ) 0f x entonces ( )f x tiene un mínimo en
0x .
(ii). Si 0''( ) 0f x entonces ( )f x tiene un máximo en
0x .
Demostración: Aplicando la definición de segunda derivada en 0x se tiene:
0
00
0
'( ) '( )''( ) lim
x x
f x f xf x
x x
Por hipótesis como 0'( ) 0f x se tiene que
00
0
'( )''( ) lim
x x
f xf x
x x
.
Los siguientes argumentos son considerados para valores x cercanos a 0x :
Para i cuando 0''( ) 0f x se tiene que cuando 0 0x x la ley de los signos implica que
'( ) 0f x ; de manera similar, cuando 0 0x x , se tiene que '( ) 0f x , como la derivada
varía de negativo a positivo, implica que ( )f x tiene un mínimo en 0x .
Para ii cuando 0''( ) 0f x se tiene que cuando
0 0x x se asume que '( ) 0f x ; luego,
cuando 0 0x x , se tiene que '( ) 0f x , como la derivada varía de positivo a negativo,
implica que ( )f x tiene un máximo en 0x .
Gráficamente se tiene lo siguiente:
Máximo de una función 1
Para calcular los máximos o mínimos de funciones de una función derivable ( )f x utilizando
el criterio de la segunda derivada se realizar el siguiente procedimiento:
Cálculo diferencial Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
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Paso 1. Calcula el valor de '( )f x .
Paso 2. Encuentra los puntos críticos resolviendo la ecuación '( ) 0f x .
Paso 3. Calcula el valor de ''( )f x .
Paso 4. Clasifica los puntos críticos.
Ejemplo
Hallar los máximos y mínimo de la función 4 2( ) 4f x x x .
Solución
Se sigue el procedimiento antes mencionado, diferencia radica en la clasificación de los
puntos críticos.
Paso 1. Dado que 4 2( ) 4f x x x implica que 3'( ) 4 8f x x x .
Paso 2. Tomando '( ) 0f x implica que 34 8 0x x , de donde se obtiene que 0x ó
2x .
Paso 3. Dado que 3'( ) 4 8f x x x se tiene que 2''( ) 12 8f x x .
Paso 4. Para 0 0x se tiene que
2''(0) 12 0 8 8 0f , por consiguiente ( )f x tiene
un máximo en 0 0x .
Para 0 2x se tiene que
2
'' 2 12 2 8 16 0f , por consiguiente ( )f x tiene un
mínimo en 0 2x .
Para 0 2x se tiene que
2
'' 2 12 2 8 16 0f , por consiguiente ( )f x tiene un
mínimo en 0 2x .
Gráficamente se tiene lo siguiente:
Máximo y mínimo de la función 2
Cálculo diferencial Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
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Ejemplo
Se desea construir una caja de cartón sin tapa de base cuadrada que tenga 3200 cm de
capacidad y que tenga un mínimo de superficie.
Solución
Primero considera la figura que describe el problema y las variables presentadas en la
misma:
Esquema
El volumen de la caja está dado por la relación 2V yx , donde x y y están centímetros,
sustituyendo 200V , se tiene que 2
200y
x . Por otro lado, la superficie está dada por la
relación 24S xy x , lo que permite obtener 2 2
2
200 800( ) 4S x x x x
x x
, esta es la función
a optimizar.
Paso 1. Dado que 2800( )S x x
x implica que
2
1600'( ) 2S x x
x .
Paso 2. Tomando '( ) 0S x implica que 2
01600
2xx
, es decir 32 100x .
Paso 3. Dado que 2
1600'( ) 2S x x
x se tiene que
3
16002''( )S x
x .
Paso 4. Para 3
0 2 100x se tiene que
3
3
1600 16002 2 4 0
8002 100
''( )S x , por
consiguiente ( )f x tiene un máximo en 3
0 2 100x .
Cuando 32 100x se tiene que
3
23
25
22 100
200y . Por lo tanto las dimensiones de la caja
de superficie mínima están dadas en la siguiente figura:
Cálculo diferencial Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
Universidad Abierta y a Distancia de México 26
Esquema
Ejemplo
Encontrar dos números cuya diferencia sea 200 y cuyo producto sea mínimo.
Solución
Sean x y y dichos números, entonces 200x y , además la función a maximizar es
2( ) 200 200f x xy x x x x , por consiguiente:
Paso 1. Dado que 2( ) 200f x x x implica que '( ) 2 200f x x .
Paso 2. Tomando '( ) 0f x implica que 2 0 020x , es decir 100x .
Paso 3. Dado que '( ) 2 200f x x se tiene que ''( ) 2f x .
Paso 4. Para 0 100x se tiene que ''( ) 2 0f x , por consiguiente ( )f x tiene un mínimo
en 0 100x .
Cuando 100x se tiene que 200 100 200 300y x .
4.4. Gráfica de una función
En la Unidad 2 se presentó un método para visualizar un función por medio de la gráfica de
la misma, esta se construyó evaluando algunos elementos significativos del dominio, pero
también se mostró que esto puede ser engañoso. En esta sección se presenta un método
para graficar función que sean derivables a partir de ubicar unos cuantos puntos
significativos.
Definición 4.5.1. Sea ( )f x una función continua definida sobre un intervalo ,a b , se dice
que ( )f x es cóncava hacia arriba si y sólo si el segmento que une a cualquier par de
puntos 1 2, ,x x a b el segmento que uno a los puntos 1 1, ( )x f x y 22 , ( )x f x está por
encima de la gráfica de ( )f x en el intervalo. De forma similar ( )f x es cóncava hacia abajo
si y sólo si el segmento que une a cualquier par de puntos 1 2, ,x x a b el segmento que une
a los puntos 1 1, ( )x f x y 22 , ( )x f x está por debajo de la gráfica de ( )f x .
Cálculo diferencial Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
Universidad Abierta y a Distancia de México 27
Gráfica cóncava hacia abajo
De manera equivalente se tiene que la gráfica de una función es cóncava hacia arriba si
para cada recta tangente, la gráfica de la función queda por debajo, de manera similar la
gráfica de una función es cóncava hacia abajo si la gráfica de la función queda por
debajo de la las rectas tangentes, esto se presenta de la siguiente manera:
La segunda derivada permite caracterizar la concavidad de una curva dos veces derivable, ,
dicho propiedad se presenta como la siguiente resultado
Teorema 4.5.1. Sea ( )f x una función continua definida sobre un intervalo ,a b tal que
'( )f x y ''( )f x existe para ,x a b . Se dice que ( )f x es cóncava hacia arriba si y sólo si
''( ) 0f x para todo ,x a b . Similarmente, se dice que ( )f x es cóncava hacia abajo si y
solo si ''( ) 0f x para todo ,x a b .
Demostración: Sea 0 ,x a b , supóngase que 0''( ) 0f x luego se tiene:
Cálculo diferencial Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
Universidad Abierta y a Distancia de México 28
0
00
0
'( ) '( )''( ) lim 0
x x
f x f xf x
x x
Luego existe un intervalo que contiene a 0x tal que 0
0
'( ) '( )0
f x f x
x x
para cualquier x en tal
intervalo. Por otra parte se tiene que la recta 0xtangente a la gráfica de ( )f x en
0x esta
dada por la relación 0 0 0'( ) ( )y f x x x f x . Para 1x cercano a
0x sea 1 1, ( )Q x f x y
1 1,T x y donde 1 0 1 0 0'( ) ( )y f x x x f x , observa que gra( )Q f y 0xT y que la
distancia entre del segmento dirigido de TQ es igual a
1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )f x y f x f x x x f x f x f x f x x x
Luego, por el teorema del valor medio, existe d entre 1x y
0x tal que 0
1 0
1( ) '( )'( )
f x f xf d
x x
.
o equivalentemente 0 1 01( ) '( ) '( )f x f x f d x x . Sustituyendo se tiene que:
1 1 1 0 0 1 0 0 1 0( ) '( ) '( ) '( ) '( )f x y f d x x f x x x f d f x x x
Como 1x y d están del mismo lado con respecto a
0x , de la definición de derivada se tiene
que 0
0
'( ) ( )0
f d f x
d x
. Si
1 0x x implica que 0d x y que
0'( ) '( ) 0f d f x ; si 1 0x x implica
que 0d x y que
0'( ) '( ) 0f d f x , en consecuencia la cantidades 1 0x x y
0'( ) '( )f d f x
tienen los mismos signos por lo tanto la distancia dirigida de T a Q es positiva. Por lo tanto
1 1( )f x y en consecuencia la recta tangente está por debajo de la gráfica de ( )f x en un
intervalo que contenga a 0x . Lo que demuestra que ( )f x es cóncava hacia arriba en 0x para
todo 0 ,x a b . El caso ''( ) 0f x es similar.
Definición 4.5.2. Sea ( )f x una función continua definida sobre un intervalo ,a b tal que
'( )f x y ''( )f x existe para ,x a b . Se dice que 0 ,x a b es un punto de inflexión de
( )f x si y sólo si 0''( ) 0f x .
Gráficamente el punto de inflexión es donde la concavidad de la gráfica cambia, como lo
muestra la siguiente imagen:
Cálculo diferencial Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
Universidad Abierta y a Distancia de México 29
Ejemplo
Para la función cuadráticas 2( )f x ax bx c se tiene que '( ) 2f x ax b y que ''( ) 2f x a
en consecuencia si 0a la parábola que representa a la función cuadrática tiene
concavidad hacia arriba y cuando 0a tiene concavidad hacia abajo. Gráficamente se tiene
lo siguiente:
Función cuadrática
Antes de enunciar el método para graficar una función se presentan los algunos conceptos
relacionados con funciones.
Dada una función ( )f x la intersección de la gráfica con el eje horizontal se obtiene
resolviendo la ecuación ( ) 0f x y la intersección de la gráfica con el eje vertical se obtiene
resolviendo la ecuación (0)f y . Como lo muestra la siguiente imagen:
Función cuadrática
Cálculo diferencial Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
Universidad Abierta y a Distancia de México 30
Dada una función ( )f x con dominio en , se dice que ( )f x es par si y solo si ( ) ( )f x f x
para todo x . De forma similar, se dice que ( )f x es impar si y solo si ( ) ( )f x f x
para todo x . Gráficamente una función es par si y solo si su gráfica es simétrica con
respecto al eje vertical y es impar si es simétrica con respecto al origen, como lo muestra la
siguiente figura:
Dada una función ( )f x se dice que ( )f x tiene una asíntota vertical en 0x si y sólo si
0
lim ( )x x
f x
De forma análoga, se dice que ( )f x tiene una asíntota horizontal en 0y si y sólo si
0lim ( )x
f x y
.
Si representamos de manera gráfica las asíntotas quedarían de la siguiente forma:
Ahora se presenta un método para graficar funciones dos veces derivables:
Paso 1. Determina el dominio de la función.
Paso 2. Encuentra las intersecciones de la gráfica de la función con los ejes
coordenados.
Cálculo diferencial Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
Universidad Abierta y a Distancia de México 31
Paso 3. Determina la simetría con respecto al eje vertical y con respecto al origen de
coordenadas.
Paso 4. Determina las asíntotas horizontales y verticales de la función.
Paso 5. Calcula la primera y segunda derivada.
Paso 6. Encuentra los puntos críticos.
Paso 7. Clasifica los puntos críticos.
Paso 8. Determina los intervalos donde crece y decrece la función observando el
signo de su derivada.
Paso 9. Determina los puntos de inflexión.
Paso 10. Verifica la concavidad de la función.
Ejemplo
Graficar la función 4 24( )f x x x .
Solución
Siguiendo el método anterior se tiene lo siguiente:
Paso 1. La función 4 24( )f x x x es un polinomio, luego su domino es .
Paso 2. Tomando ( ) 0f x implica que 4 2 04x x , así 0x ó 2x , luego la gráfica
corta al eje horizontal en los puntos 2,0 , 0,0 y 2,0 . Observa que
cuando la gráfica pasa por 0,0 ya cortó al eje vertical.
Paso 3. Basta calcular 4 2 4 2) 4 4( ( )f x x x xx f x , así 4 24( )f x x x es
simétrica con respecto al eje vertical.
Paso 4. Como 4 24( )f x x x es un polinomio, no tiene asíntotas.
Paso 5. Para 4 24( )f x x x se tiene 3'( ) 4 8f x x x y 2''( ) 812f x x .
Paso 6. Cuando '( ) 0f x implica que 34 8 0x x . Así 0x y 2x .
Paso 7. Para 0 0x se tiene que 2
''(0) 12 0 8 8 0f , luego en 0 0x la función
tiene un máximo cuando 4 2
(0) 0 0 04f . Para 0 2x se tiene
Cálculo diferencial Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
Universidad Abierta y a Distancia de México 32
2
'' 2 12 2 8 16 0f es decir en 0 2x la función toma un
mínimo cuando 4 2
42 422f . Finalmente cuando 0 2x
se tiene 2
'' 2 12 12 8 6 0f es decir en 0 2x la función toma un
mínimo cuando 4 2
4 22 2 4f . De donde se obtienen los
siguientes puntos 2,4 , 0,0 y 2, 4 .
Paso 8. Se tiene que cuando '( ) 0f x se tiene que 34 8 0x x , esta desigualdad
tiene solución 22,0 , , en consecuencia '( ) 0f x se satisface en el
conjunto 2, 0, 2 .
Cálculo diferencial Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
Universidad Abierta y a Distancia de México 33
Paso 9. Tomando ''( ) 0f x implica 212 8 0x , luego 2
3x , evaluando en la
función se tiene lo siguiente
4 2
2 2 2 204
3 3 3 9f
, obteniendo
los puntos 2 20
,3 9
y 2 20
,3 9
.
Paso 10. Para ''( ) 0f x implica que 212 8 0x , esta desigualdad tiene solución en el
conjunto 2 2
, ,3 3
, en consecuencia ''( ) 0f x tiene solución en el
conjunto 2 2
,3 3
.
Recopilando toda la información presentada, se tiene que un bosquejo de la gráfica de la
función 4 24( )f x x x es:
Cálculo diferencial Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
Universidad Abierta y a Distancia de México 34
Gráfica de la función
Ejemplo
Graficar a la función ( ) senf x x x .
Solución
Siguiendo el método anterior se tiene lo siguiente, a lo largo de este ejercicio se utilizan
algunas propiedades de las funciones seno y coseno, se te recomienda que tengas presente
la tabla donde se presentan el comportamiento de las mismas:
Paso 1. La función ( ) senf x x x es la suma de un es un polinomio y una función
continua en todo , así el dominio de la función es .
Paso 2. Tomando ( ) 0f x implica que sen 0x x , así 0x , luego la gráfica corta
al eje horizontal en 0,0 . Observa que cuando la gráfica pasa por 0,0 ya
cortó al eje vertical.
Paso 3. Basta calcular ( ) sen sen ( )f x x xx x f x , así
( ) senf x x x es simétrica con respecto al origen.
Paso 4. Como ( ) senf x x x es la suma de un polinomio y una función continua en
todo , no tiene asíntotas.
Paso 5. Para ( ) senf x x x se tiene 1 c( s) o'f x x y ''( ) senf x x .
Paso 6. Cuando '( ) 0f x implica que 1 cos 0x . Así 2 1x k donde k .
Cálculo diferencial Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
Universidad Abierta y a Distancia de México 35
Paso 7. Para 0 2 1x k y k se tiene que 1 se'' n2 2 1 0k kf ,
es decir, la función ( ) senf x x x no tiene ni máximos ni mínimos.
Paso 8. Se tiene que cuando '( ) 0f x se tiene que 1 cos 0x , esta desigualdad
tiene solución \ 2 1 |k k , en consecuencia '( ) 0f x se satisface en
el conjunto , esto quiere decir, que la función siempre es creciente.
Paso 9. Tomando ''( ) 0f x implica sen 0x , luego x k con k , evaluando
en la función se tiene lo siguiente senk k k kf , obteniendo los
puntos ,k k , con k .
Puntos dentro de la gráfica
Paso 10. Para ''( ) 0f x implica que sen 0x , esta desigualdad tiene solución en el
conjunto 1
2 ,21k
k k
, en consecuencia ''( ) 0f x tiene solución en el
conjunto 1
2 , 2 1k
k k
.
Puntos dentro de la gráfica
Cálculo diferencial Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
Universidad Abierta y a Distancia de México 36
Recopilando toda la información presentada, se tiene que un bosquejo de la gráfica de la
función es:
Bosquejo de gráfica
Actividad 3. Máximos y mínimos y gráfica de una función
A través de esta actividad resolverás problemas donde se determine máximo y mínimo de una función, así como su gráfica.
1. Descarga el documento “Act. 3. Máximos y mínimos y gráfica de una función”
2. Resuelve los problemas que ahí se presentan
3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MCDI_U4_A3_XXYZ. Sustituye
las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido
paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.
4. Envía tu documento a tu Facilitador(a) y espera su retroalimentación.
* Recuerda consultar la Escala de evaluación de la actividad para saber qué aspectos se tomarán en cuenta para su revisión.
Autoevaluación
Para reforzar los conocimientos relacionados con los temas que se abordaron en esta unidad del curso, es necesario que resuelvas la autoevaluación. Ingresa al Aula virtual para realizar tu actividad.
Cálculo diferencial Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
Universidad Abierta y a Distancia de México 37
Evidencia de aprendizaje. Aplicación de la derivada
Es momento de realizar tu evidencia de aprendizaje, el objetivo de la actividad es
resolver problemas planteados en diversos contextos sobre diversas aplicaciones de la
derivada. Para ello.
Instrucciones:
1. Descarga el documento llamado “EA. Aplicación de la derivada”
2. Resuelve cada ejercicio que se plantea en el documento, si es necesario argumenta
tu respuesta donde se solicite de acuerdo a lo revisado durante la unidad.
3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura: MVCO2_U2_EA_XXYZ.
Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial
de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.
4. Envía tu reporte al Portafolio de evidencias y espera la retroalimentación de tu
Facilitador(a). Una vez que la tengas, atiende sus comentarios y reenvía la nueva
versión de tu evidencia.
Nota: No olvides consultar la Escala de evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.
Autorreflexiones
Como parte de cada unidad, es importante que ingreses al foro Preguntas de autorreflexión
y leas los cuestionamientos que formuló tu Facilitador(a), ya que a partir de ellos debes
elaborar tu Autorreflexión y enviarla mediante la herramienta Autorreflexiones. No olvides
que también se toman en cuenta para la calificación final.
Cierre de la unidad
Durante esta unidad, se presentó el concepto de razón de cambio dentro de diversas
aplicaciones de la derivada, los cuales en algunas ocasiones las tilizamos sin darle un
nombre especifico o sin reflexionar sobre dichas acciones. En nuestro mundo es importante
que estos cambios se midan a través de modelos matemáticos.
Cada vez que presentamos un problema donde se nota la variación de una cantidad a otra,
estamos representando una aplicación de la derivada. Es por esto que esta unidad es de
Cálculo diferencial Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
Universidad Abierta y a Distancia de México 38
vital importancia para tu carrera, porque te permitirá a ti como estudiante de la Licenciatura
en matemáticas, crear las bases para nuevos conocimientos en asignaturas posteriores.
Para saber más
En la siguiente liga que te recomiendo trata sobre la tangente de una curva, para que
puedas reforzar los conocimientos obtenidos en esta unidad.
http://www.fca.unam.mx/docs/apuntes_matematicas/28.%20Aplicaciones%20de%20la%
20Derivada.pdf
A través de esta liga podrás revisar diversos ejercicios sobre razón de cambio, así como las
reglas de derivación.
http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones.htm
Este artículo está escrito en inglés, pero muestra una gran gama de aplicación de la
derivada.
http://www.khanacademy.org/math/calculus/derivative_applications
Fuentes de consulta
Apostol, T. (1990), Calculus, Vol. 1. 2ª Edición. México. Reverté.
Lang, S. (1986), A First Course in Calculus, 5th edition, Springer. N. Y. Senge Lang
Larson, R. (2010), Calculo de una variable,9ª Edición, México. Mc Graw Hill.
Spivak, M. (2008), Calculus, 4th edition, México. Reverte
Stewart, J. B. (2010), Cálculo de una variable: Conceptos y contexto, 4ª edición, México.
Cengage Learning.
Zill, D. (2011), Cálculo; Trascendentes tempranas, 4ª edición, México. Mc Graw Hill.