Unidad Didáctica e2.Ea

8/18/2019 Unidad Didáctica e2.Ea

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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADORFACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS

MODALIDAD A DISTANCIA

SEMESTRE ABRIL - AGOSTO 2016

UNIDAD DIDÁCTICA

ESTADISTICA BASICA II

Nivel: 5 Número de créditos: 5

TUTOR:Econ. Héctor Cumbal Flores

Quito - Ecuador


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ContenidoINTRODUCCION ................................................................................................................................... 4

Caracterización de la materia. .............................................................................................................. 4

Importancia en la formación profesional.............................................................................................. 4

Relaciones con otras materias del plan de estudios. ............................................................................. 4

Competencias Generales ...................................................................................................................... 5

Resumen de competencias por unidad ................................................................................................. 5

INTRODUCCIÓN GENERAL A LA PRIMERA PARTE DE LA UNIDAD DIDACTICA ................. 7

I. UNIDAD: INTRODUCCIÓN A LA TEORIA DE PROBABILIDADES ...................................... 8

1.1 Conceptos principales .............................................................................................................. 8

1.2 Probabilidad, elementos y definiciones .................................................................................. 101.3 Enfoques de la probabilidad. - ................................................................................................ 11

1.4 Reglas de la probabilidad ....................................................................................................... 12

1.5 Tablas de contingencia y árbol de probabilidades .................................................................. 15

1.6 Teorema de Bayes .................................................................................................................. 17

1.7 Principios del conteo .............................................................................................................. 18

II. UNIDAD: DISTRIBUCIONES PROBABILÍSTICAS DISCRETAS ........................................... 21

2.1 Conceptos principales ............................................................................................................ 22

2.2 Distribuciones de probabilidad ............................................................................................... 232.3 Media, varianza y desviación estándar de una distribución de probabilidad ......................... 24

2.4 Distribución Binomial ............................................................................................................ 25

2.5 Distribución Hipergeométrica ................................................................................................ 26

2.6 Distribución de Poisson .......................................................................................................... 27

INTRODUCCIÓN GENERAL A LA SEGUNDA PARTE DE LA UNIDAD DIDÁCTICA ............. 30

III. UNIDAD: DISTRIBUCIÓN PROBABILÍSTICA NORMAL .................................................. 31

3.1 Conceptos principales ............................................................................................................ 32

3.2 La familia de distribuciones probabilísticas normales ........................................................... 32

3.3 Distribución probabilística normal estandarizada .................................................................. 33

3.4 Aproximación de la normal a la binomial ............................................................................. 36

IV. UNIDAD: MÉTODOS Y DISTRIBUCIONES DE MUESTREO. ........................................... 41

4.1 Conceptos principales............................................................................................................. 41

4.2 Muestreo de la Población ....................................................................................................... 42


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4.3 Métodos de Muestreo ............................................................................................................. 43

4.4 Distribución de muestreo de medias muestrales .................................................................... 45

4.5 Error Estándar y Error de Muestreo ....................................................................................... 47

V. UNIDAD: ESTIMACIONES E INTERVALOS DE CONFIANZA ............................................. 48

5.1 Estimaciones puntuales y de intervalos .................................................................................. 48

5.2 Selección de un tamaño de muestra adecuado ....................................................................... 52


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INTRODUCCION

Caracterización de la materia.

Estadística II se orienta al estudio teórico y práctico de las probabilidades y la distribución de

probabilidades tanto para variables discretas como para variables continuas. También estudia

los métodos de muestreo y el teorema del límite central. Se finaliza el estudio con el análisis de

la estimación y los intervalos de confianza.

Importancia en la formación profesional.

Las organizaciones en los sectores privados y públicos se ven cada vez más expuestas a los

efectos del cambio económico, político y social a nivel nacional y mundial por la creciente

globalización. Por lo mismo el administrador de empresas, debe ser capaz de enfrentar y en

tales circunstancias tomar decisiones, dentro de un proceso en el que paradójicamente tendrá

solo un conocimiento imperfecto de la situación y un grado considerable de incertidumbre. La

estadística, al tener como uno de sus propósitos el análisis de la información cuantitativa o

cualitativa para sustentar la toma de decisiones, le proporciona una ayuda inestimable.

Relaciones con otras materias del plan de estudios.

Casi todas las áreas del saber requieren el pensamiento estadístico. Las disciplinas de estudio

que dependen ampliamente del análisis incluyen: Marketing, Matemáticas, Finanzas, Economía


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e Investigación de operaciones. Los principios y procedimientos aplicados en contabilidad y

administración también se basan en la estadística.

Competencias Generales

Al final del ciclo académico, estarás en capacidad de resolver problemas administrativos y

contables para tomar decisiones, mediante la utilización de las herramientas estadísticas como

son: probabilidad, distribuciones de probabilidades discretas y continuas, muestreo y estimación

de parámetros poblacionales.

Resumen de competencias por unidad

COMPETENCIAS UNIDADES

Al terminar esta unidad el estudiante podrá:

Usar la teoría de la probabilidad en la toma de decisiones

Explicar las diferentes maneras en que surge la probabilidad, Aplicar las reglas para el cálculo de diferentes tipos de

probabilidades.

Utilizar las probabilidades para tomar en cuenta nueva

información: definición y uso del teorema de Bayes.

Emplear los principios del conteo en la resolución de problemas

de probabilidad.

Unidad 01.

Revisión de

conceptos de

probabilidad

Definir los términos distribución de probabilidad y variable aleatoria

Distinguir entre probabilidad discreta y continua.

Calcular la media, varianza y desviación estándar de una

distribución de probabilidad discreta


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Identificar las características de la distribución Binomial,

Hipergeométrica y de Poisson.

Calcular probabilidades utilizando la distribución Binomial,

Hipergeométrica y de Poisson.

Unidad 02.

Distribuciones de

probabilidad

discreta


Plantear las características de la Distribución Probabilística

Normal

Definir y calcular valores z.

Determinar la probabilidad de que una observación este entre dos

valores, usando la distribución normal estándar.

Utilizar la distribución normal para aproximar la distribución

probabilística binomial.

Unidad 03.

Distribución de

probabilidad

normal

Al finalizar esta unidad el estudiante podrá:

Explicar las características de una muestra

Describir los diversos métodos para seleccionar una muestra

Elaborar una distribución de muestreo de medias muestrales.

Usar el teorema del Límite Central para encontrar las

probabilidades de las distintas medias muestrales en una

determinada población.

Unidad 04.

Métodos de

muestreo y el

Teorema delLímite Central


Definir una estimación puntual

Interpretar el nivel de confianza

Calcular intervalos de confianza para medias y proporciones

Determinar el tamaño de muestras. Variables y atributos

Unidad 05.

Estimación e

intervalos de

confianza


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INTRODUCCIÓN GENERAL A LA PRIMERA PARTE DE LA UNIDADDIDACTICA

La primera parte de esta unidad didáctica está compuesta por dos bloques que corresponde a los

capítulos cinco y seis del texto guía respectivamente:

La unidad uno, introduce al estudio de la teoría de probabilidades, abarca los siguientes temas:

concepto, reglas, tablas de contingencia, diagramad de árbol y técnicas de conteo.

La unidad dos, estudia las distribuciones de probabilidad, para luego analizar las distribuciones

discretas entre ellas la distribución Binomial, Hipergeométrica y Poisson.

Competencias de la primera parte

Al finalizar el estudio de esta primera parte estarás en capacidad de aplicar las probabilidades y

la distribución de probabilidades discretas en diferentes campos de tu carrera.


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I. UNIDAD: INTRODUCCIÓN A LA TEORIA DE PROBABILIDADES

Competencias

El estudiante estará en capacidad de:

Definir lo que es una probabilidad con sus diferentes enfoques.

Calcular probabilidades aplicando las reglas de adición y de multiplicación.

Construir tablas de probabilidad para el cálculo de las mismas.

Contenidos

1.1 Conceptos principales

1.2 Probabilidad, elementos y definiciones

1.3 Enfoques de la probabilidad

1.4 Reglas de la probabilidad

1.5 Tablas de contingencia y árbol de probabilidades

1.6 Teorema de Bayes

1.7 Principios de conteo


Probabilidad. - Es un valor comprendido entre 0 y 1 inclusive, que representa la posibilidad

de que suceda un evento en particular.

Probabilidad Clásica. - Probabilidad basada en la consideración de que cada uno de los

resultados es igualmente posible.


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Probabilidad Condicional. - Es la probabilidad de que un evento ocurra dado que otro ha

sucedido ya.

Probabilidad Empírica. - Concepto probabilístico basado en lo pasado.

Probabilidad Subjetiva. - Posibilidad de que un evento suceda, con base en información

disponible: presentimientos, opinión personal, rumores, etc.

Regla Especial de Adición. - Para que esta regla se cumpla, los eventos deben ser

mutuamente excluyentes.

Regla Especial de Multiplicación. - Si los eventos no están relacionados; es decir, son

independientes. (En adelante A y B se entenderán como eventos)

Regla General de Adición. - Se utiliza para determinar las probabilidades de eventos

complejos conformados por A o B.

Regla General de Multiplicación. - Se aplica para determinar las probabilidades de eventos

complejos formados por A y B.

Resultado. - Terminación particular de un experimento.

Tabla de Contingencia. - Conocida también como tabla de doble entrada, sirve para

relacionar dos variables y por medio de esta calcular probabilidades.


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Tabla de Probabilidad. - Es producto de dividir toda la tabla de contingencia para el total.

Permutación. - Es un arreglo en el cual es importante el orden de los objetos seleccionados

de un grupo específico de ellos.

Combinación. - Es un arreglo donde no es importante el orden de los objetos seleccionados

de un grupo específico de ellos.

1.2 Probabilidad, elementos y definiciones

La probabilidad está conformada por:

Experimento. - Es la observación de alguna actividad o el acto de efectuar una medición.

Ejemplos:

- Lanzar un dado para saber qué valor se obtiene.

- Registrar el número de nacimientos en una maternidad

Resultado. - Es lo que se obtiene particularmente cuando se realiza un experimento.

Ejemplos:

- Que caiga 3 al lanzar un dado.

- Que hayan nacido 30 niños en la maternidad.

Evento. - Es el conjunto de uno o más resultados de un experimento.


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Ejemplos:

- Que caiga un número par al lanzar el dado (2, 4 o 6)

- Que hayan nacido diez o más niñas en la maternidad.

1.3 Enfoques de la probabilidad. -

Enfoque Clásico. - Se aplica cuando en un experimento los resultados son igualmente

probables. Por lo general está asociada con todo lo referente al azar. Se usa siguiente

fórmula:

= # de resultados favorables# total de resultados

Ejemplo 1.

La probabilidad de sacar una cara al lanzar una moneda es P (cara) = ½ 50%

Enfoque Empírico. - Se obtiene dividiendo el número de veces en que sucede un evento en

el pasado entre la cantidad total de observaciones. Su fórmula es:

= # de veces que ocurrió en el pasado# total de resultados

Ejemplo 2.

De los 100 accidentes de tránsito, registrados el año pasado en una ciudad, 40 fueron

causados por conductores en estado etílico. ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo

accidente sea causado por un conductor en estado etílico?

P (accidente por estado etílico) = 40 / 100 = 0,40 = 40%


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Probabilidad Subjetiva. - Se basa en cualquier información disponible, experiencia o

conocimiento del investigador. No tiene una fórmula específica.

Ejemplo 3.

La probabilidad de que haya una caída de la bolsa de valores por la inestabilidad política del

país es del 60%.

1.4 Reglas de la probabilidad

1.4.1 Regla de la Adición. - Se la utiliza cuando se desea conocer la probabilidad que

ocurran dos o más eventos

1.4.1.1 Regla Especial de Adición. - Se emplea para “unir” eventos que son mutuamente

excluyentes.

Dos eventos son mutuamente excluyentes si, en virtud de la ocurrencia de uno, el otro no

puede suceder.

P (A o B) = P(A) + P (B)

Ejemplo 4.

¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado salga 3 o 5?

(El 3 y el 5 son mutuamente excluyentes pues en una tirada ellos no pueden salir al mismo)

P (3 o 5) = P (3) + P (5) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 0.3333 = 33.33%

1.4.1.2 Regla General de Adición. - Se emplea “unir” eventos que tienen probabilidad

conjunta.


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La probabilidad conjunta es aquella en la cual pueden ocurrir dos eventos al mismo

tiempo.

P (A o B) = P(A) + P (B) – P (A y B)

Ejemplo 5.

¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una carta de un naipe salga un tres o un trébol?

(recuerde que un naipe está compuesto por 52 cartas)

(En este ejemplo los eventos no son mutuamente excluyentes, pues es posible sacar una

carta que sea un 3 y que sea trébol al mismo tiempo)

P (3 o trébol) = P (3) + P (trébol) – P (3 y trébol)

P (3 o trébol) = 4/52 + 13/52 – 1/52 = 16/52 = 0.3077 = 30.77%

1.4.2 Regla de la Multiplicación. - Se la utiliza cuando se desea conocer la probabilidad

que ocurran simultáneamente dos o más eventos.

1.4.2.1 Regla Especial de Multiplicación. - Se utiliza para combinar eventos que son

independientes.

Los eventos son independientes, si la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del

otro.

P (A y B) = P(A) x P (B)Ejemplo 6.

¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado y una moneda salga cuatro y cruz?

P (cuatro y cruz) = P (cuatro) x P (cruz) = 1/6 * 1/2 = 1/12 = 0.0833 = 8.33%


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1.4.2.2 Regla General de Multiplicación. - Se utiliza cuando la probabilidad es

condicional.

Probabilidad condicional es la probabilidad de que suceda un evento, dado que otro ya ha

ocurrido. El símbolo “/” se lee “dado que”

P (A y B) = P(A) x P (B / A)

Ejemplo 7.

¿Cuál es la probabilidad de que, al sacar dos cartas de un naipe, en la primera salga cuatro

y luego otro cuatro?

P (4 y 4) = P (4) x P (4 / 4) = 4/52 * 3/51 = 12/2652 = 0.0045 0,45%

(La probabilidad de sacar el primer cuatro es 4/52, la probabilidad de sacar el segundo

cuatro es 3/51 pues solo quedan 3 de ellos en el naipe, y en el naipe quedan 51 cartas)

1.4.3 Regla del Complemento. - Sirve para determinar la probabilidad de que ocurra un

evento, partiendo del conocimiento de la probabilidad de que ese no suceda.

P(A) = 1 – P (no A)

Ejemplo 8.

Si la probabilidad que hoy no llueva es 0.30 ¿Cuál es la probabilidad de que llueva?

P (llueva) = 1 – P (no llueva) = 1 – 0.30 = 0.70


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1.5 Tablas de contingencia y árbol de probabilidades

La construcción de las tablas de Contingencia y de Probabilidad se ilustra con este ejemplo:

De 1200 estudiantes, 600 tienen empleo y 800 son solteros. De los 800 solteros, 450 son

hombres. Con estos datos se pide:

a. Elaborar una tabla de contingencia. b. Construir una tabla de probabilidad.c. Si se selecciona uno de estos jóvenes al azar, cuál es la probabilidad de él sea:

- Hombre o Casado- Mujer y Soltera- Soltero o Casado- Un soltero que es hombre

1.5.1 Tabla de Contingencia

Genero/ Estado Civil Soltero Casado Total

Hombre 450 150 600

Mujer 350 250 600

Total 800 400 1200

(Los números en rojo son los datos iniciales, los números en negro son datosdeducidos)

1.5.2 Tabla de Probabilidad

Genero/ Estado

Civil

Soltero Casado Total

Hombre 450/1200 150/1200 600/1200

Mujer 350/1200 250/1200 600/1200

Total 800/1200 400/1200 1200/1200


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Genero/ EstadoCivil

Soltero Casado Total

Hombre 0,375 0,125 0,50

Mujer 0,292 0,208 0,50

Total 0,67 0,33 1,00

(Los valores totales son las probabilidades marginales, en tanto que lasprobabilidades interiores son las probabilidades conjuntas)

Lectura de la primera línea

P (H y S) = 0,375 P (Hombre y Soltero)

P (H y C) = 0,125 P (Hombre y Casado)

P(H) = 0,50 P(Hombre)

Lectura de la segunda línea

P (M y S) = 0,292 P (Mujer y Soltera)

P (M y C) = 0,208 P (Mujer y Casada)

P(M)= 0,50 P(Mujer)

Lectura de la tercera línea

P(S)= 0,67 Probabilidad de ser Soltero

P(C)= 0,33 Probabilidad de ser Casado

- P (H o C) = P(H) + P(C) – P (H y C) = 0,50 + 0,33 – 0,125 = 0,705 70,5 %

- P (M y S) = 0,292 29,2 %

- P (S o C) = P(S) + P(C) = 0,67 + 0,33 = 1,00 100 %

- P (H y S) = 0,375 37,5 %


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1.5.3 Árbol de probabilidades. - es una gráfica útil para organizar cálculos que implican

varias etapas. Cada segmento del árbol constituye una etapa del problema. Las ramas

del árbol se ponderan por medio de probabilidades.

P. Mg. P. Condicional P. Conjunta

S 0,5 * 0,75 = 0,375

H

C 0,5 * 0.25 = 0,125

S 0,5 * 0,58 = 0,292

MC 0,5 * 0,42 = 0,208

1

1.6 Teorema de Bayes

El teorema de Bayes parte de una situación en la que es posible conocer las probabilidades

de que ocurran una serie de sucesos Ai. A esta se añade un suceso B cuya ocurrencia

proporciona cierta información, porque las probabilidades de ocurrencia de B son distintas

según el suceso Ai que haya ocurrido.

Conociendo que ha ocurrido el suceso B, la fórmula del teorema de Bayes nos indica como

modifica esta información las probabilidades de los sucesos Ai.

0.5

0.5

0 75

0,25

0,42

0,58


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Ejemplo 9.

El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El

75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también,

mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto

directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea

ingeniero?

405,02,0*6,05,0*2,075,0*2,0

75,0*2,0

directivoingeniero

P

1.7 Principios del conteo

1.7.1 La Fórmula de Multiplicación. - Establece que si existen m modos en que un

evento puede suceder y n formas en que otro puede ocurrir, entonces existen m x n

formas en que los dos eventos pueden suceder.

Número de formas = m * n


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Ejemplo 10.

Para armar un equipo de sonido se tiene 3 modelos de parlantes, 4 modelos de discos

compactos y 5 modelos de amplificadores. ¿Cuántos modelos de equipos diferentes se

pueden armar?

Número de arreglos = 3 x 4 x 5 = 60

Se pueden armar 60 modelos de equipos diferentes.

1.7.2 Permutación. - Es un arreglo en el cual es importante el orden de los objetosseleccionados.

= ! !

Ejemplo 11.

De un grupo de 9 ejecutivos de una empresa se quiere escoger 2 ejecutivos para ocupar el

cargo de gerente y subgerente. ¿Cuántos arreglos son posibles realizar?

= 9!9 2! = 72

Es decir, se pueden realizar 72 arreglos. En este ejercicio interesa el orden; pues no es lo

mismo que Pepe sea escogido como gerente y Juan como subgerente; a que Juan sea el

gerente y Pepe el subgerente.


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1.7.3 Combinación. - Es un arreglo donde no es importante el orden de los objetos

seleccionados.

=!

! ∗ ! Ejemplo 12.

De un grupo de 15 personas se desea escoger subgrupos de 3 personas para realizar un estudio

en las diferentes áreas de la ciudad.

= 15!

3! ∗ 1 5 3!=455


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II. UNIDAD: DISTRIBUCIONES PROBABILÍSTICAS DISCRETAS

Competencias.


Distinguir entre una probabilidad discreta y continua.

Identificar las características de la distribución Binomial, Hipergeométrica y de

Poisson.

Calcular probabilidades utilizando la distribución Binomial, Hipergeométrica y de

Poisson.

Contenidos


2.2 Distribución de probabilidad

2.3 Media, varianza y desviación estándar de una distribución de probabilidad

2.4 Distribución probabilística Binomial

2.5 Distribución probabilística Hipergeométrica

2.6 Distribución probabilística de Poisson


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Variable Aleatoria. - Cantidad obtenida a partir de un experimento que, por azar, puede

dar como resultado valores diferentes.

Variable Aleatoria Continua. - La variable aleatoria que puede tomar un número infinito

de valores dentro de un intervalo dado.

Variable Aleatoria Discreta. - La variable aleatoria que puede tomar solo ciertos valores

específicos.

Distribución de Probabilidad. - Es un listado que contiene todos los posibles resultados

de un experimento y la probabilidad correspondiente asociada a cada resultado.

Distribución Probabilística Binomial. - Se basa en una variable aleatoria discreta. Tiene

las siguientes características:

Cada resultado puede clasificarse en una o dos categorías mutuamente excluyentes.

La distribución es el resultado de contar el número de éxitos.

Cada ensayo es independiente

La probabilidad de un éxito permanece igual de un ensayo a otro.

Distribución de Poisson. - En ocasiones se utiliza esta distribución para aproximar

probabilidades Binomiales cuando n es grande y π es pequeña. (n es la cantidad de ensayos

y π la probabilidad de éxito de un ensayo).

Distribución Probabilística Hipergeométrica. - Es una distribución de probabilidad con

base en una variable aleatoria discreta. Sus principales características son:


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Existe un número fijo de pruebas o ensayos.

La probabilidad de éxito no es la misma de un ensayo a otro.

2.2 Distribuciones de probabilidad

Variable Aleatoria. - Es un valor numérico determinado por el resultado de un experimento.

Las variables pueden ser discretas y continuas.

Variables discretas. Son aquellas que solo asumen ciertos valores y son producto de

contar. Ejemplo. El número de hijos de una familia del Ecuador.

Variables continuas. Son aquellas que pueden asumir cualquier valor y son producto de

medir. Ejemplo. La presión de aire de un neumático

Distribución Probabilística. - Es un listado o agrupación de todos los resultados posibles

de un experimento y la probabilidad de ocurrencia asociada a cada uno de ellos.

Distribución Probabilística Discreta. - Puede considerar solo ciertos valores. Sus

características principales son:

La suma de las probabilidades es igual a 1

La probabilidad de un resultado particular está entre 0 y 1

Los resultados son mutuamente excluyentes.

Ejemplo 1

La siguiente tabla indica el número de vehículos, que recibieron mantenimiento.


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Mantenimientos Vehículos0 41 62 73 3

Total 20

Se pide elaborar su distribución de probabilidad.

Mantenimientos Vehículos ProbabilidadP(X)

0 4 0,20

1 6 0,30

2 7 0,35

3 3 0,15

2.3 Media, varianza y desviación estándar de una distribución de probabilidad

La media y la varianza de una distribución probabilística se calcula como sigue:

La media llamada también Esperanza Matemática es igual:

µ = ∑ ∗

La varianza es igual a:

σ² =∑µ ∗

La desviación estándar es igual a:2


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Ejemplo 2

Con los datos del ejercicio anterior calcular la media, varianza y desviación estándar de la

distribución.

X F P(x) X * P(x) X - µ ( x - µ )² ( x - µ )² P(x)

0 4 0,20 0,00 -1,45 2,10 0,42

1 6 0,30 0,30 -0,45 0,20 0,06

2 7 0,35 0,70 0,55 0,30 0,11

3 3 0,15 0,45 1,55 2,40 0,36

Total 25 1,00 1,45 0,95

µ = 1,45 σ² = 0,95 σ = 0,97

2.4 Distribución Binomial

Tiene las siguientes características:

Cada resultado se clasifica en una de dos categorías mutuamente excluyentes.

La probabilidad de éxito (), permanece igual de un ensayo a otro. Cada ensayo es independiente.

La distribución resulta del conteo de éxitos x en una cantidad fija de ensayos n.

Una probabilidad binomial se calcula con la siguiente formula:

= − La media se calcula por:

µ = La varianza es:

=


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Ejemplo 3

El 33% de automóviles nuevos requiere servicio por garantía en el primer año. Si la agencia

vendió 4 automóviles este mes:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente dos autos necesiten servicio de garantía? b. Determine la probabilidad de que los cuatro autos requiera tal servicio.c. Determine la probabilidad de que al menos uno de ellos necesite servicio de garantía.d. Calcule la media, la varianza y la desviación estándar de esta distribución

probabilística.

Datos; n = 4, = 0,33

a.

PX = 2\n = 4 y =0,33 = 4C2 0.33

10.33−

=0.2963 b. PX = 4\n = 4 y =0,33 =4C4 0.3310.33− =0.0123 c. PX ≥ 1\n = 4 y =0,33 = 1 P0 =4C0 0.3310.33− =0.7985 d. Media, varianza y Desviación estándar.

µ = nπ = 4 (0.33) = 1.32

σ² = nπ (1 - π) = 1.32 (1 – 0.33) = 0,88

σ = 0.94

2.5 Distribución Hipergeométrica

Sus características son:

Cada ensayo tiene solo dos resultados posibles. (éxito o fracaso)

La probabilidad de éxito no es la misma para cada ensayo.

La distribución resulta del conteo de éxitos x en una cantidad fija de ensayos n.

La probabilidad Hipergeométrica se calcula por medio de la siguiente ecuación:


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= ∗ −−

Ejemplo 4

El Departamento de Sistemas de Informática de una institución está formado por doce

profesores de los cuales cuatro son mujeres. La directora, desea establecer un comité de

cuatro miembros del profesorado del departamento, para que revise el plan de estudios.

Si selecciona el Comité al azar:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente dos profesores sean mujeres? b. ¿Cuál es la probabilidad de que los cuatro docentes sean mujeres?c. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de ellos sea mujer?

Datos; n = 12 (4 mujeres y 8 hombres),

n = 4 (son 4 los miembros seleccionados para el comité)

S = 4 (4 profesores son mujeres)

a.

PX = 2\n = 4 y S = 4 = ∗

=0.339

b. PX = 4\n = 4 y S = 4 = ∗ =0.002

c. PX ≥ 1\n = 4 y S = 4 = 1 P0 = 1 ∗ =0.858

2.6 Distribución de Poisson

Tiene las siguientes características:

Cada resultado se clasifica en una de dos categorías mutuamente excluyentes. La probabilidad de éxito permanece igual de un ensayo a otro. Cada ensayo es independiente.


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RESUMEN DE LAS DISTRIBUCIONES PROBABILÍSTICAS DISCRETAS

BINOMIAL HIPERGEOMÉTRICA POISSON

Fórmula = − = ∗ −− = µ

−

!

Muestra (n) Pequeña n < 30 Pequeña n < 30 Grande n ≥ 30

( probabilidadde éxito)

Cualquier valor entre 6% y95%

No tienePequeña,

no más del 5%

N (población) No tienePequeña

(poblaciones finitas)No tiene

S (cantidad deéxitos en N) No tiene Se obtiene de la población No tiene

(media) = n

No tiene = n

2 (varianza) 2 = n

(1 -

) No tiene 2 = n

(desviaciónestándar)

raíz cuadrada de 2 No tiene raíz cuadrada de 2

e (base del ln) No tiene No tiene e = 2,71828

X (número deéxitos)

En la pregunta En la pregunta En la pregunta


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pág. 31

III. UNIDAD: DISTRIBUCIÓN PROBABILÍSTICA NORMAL

Competencias

El estudiante estará en la capacidad de:

Plantear las características de la distribución probabilística normal.

Definir y calcular valores z.

Determinar la probabilidad de que una observación sea mayor o menor a un valor

determinado.

Utilizar la distribución Normal para aproximar la distribución Binomial.

Contenidos


3.2 La familia de distribuciones probabilísticas normales

3.3 Distribución probabilística normal estándar

3.4 Aplicaciones de la distribución normal estándar

3.5 Áreas bajo la curva normal

3.6 Aproximación normal a la binomial

3.7 Factor de corrección por continuidad

3.8 Como aplicar el factor de corrección


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Distribución Probabilística Normal. - Es una distribución continua en forma de campana.

La media la divide en dos partes iguales. Además, la curva normal se extiende

indefinidamente en las dos direcciones, esto es nunca toca el eje X.

Factor de Corrección por Continuidad. - Se utiliza para mejorar la exactitud de

aproximación de una distribución discreta (binomial) por medio de una de tipo continuo

(normal).

Valor Z.- Es la distancia entre un valor seleccionado y la media poblacional medida en

unidades de la desviación estándar.

3.2 La familia de distribuciones probabilísticas normales

No sólo existe una distribución de probabilidad normal, sino una familia, solo se requiere

conocer el valor de la media µ y valor de su desviación estándar σ para poder representarla


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Las características de la distribución normal son:

Es acampanada; y la media, la mediana y la moda son iguales.

Es simétrica.

Es asintótica, lo que significa que la curva se aproxima al eje X, pero nunca lo toca.

0,50 0.50

µ = Me = Mo x

3.3 Distribución probabilística normal estandarizada

Es un caso especial de Distribución Probabilística Normal.

Tiene una media de 0.00 y una desviación estándar de 1.00

Cualquier distribución normal puede convertirse en una distribución normal

estándar mediante la siguiente fórmula:

= µ

0,50 0.50

= 0 Z


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Ejemplo 1

Un estudio realizado en una emisora de radio de Guayaquil reveló que el promedio que

una persona sintoniza la emisora es de 20 minutos con una desviación estándar de 5,4 min.

¿Cuál es la probabilidad de que una persona la sintonice:

a. ¿Entre 20 y 30 minutos?

A

0 1,85 Z

20 30 X

= 30205.4 = 1.85 ú é 1: = 0.4678

b. Entre15 y 28 min?

A

A1 A2

-0,93 0 1,48 Z15 20 28 X

1 = 15205.4 = 0.93 ú é 1: 1 = 0.3238

2 = 28205.4 = 1.48 ú é 1: 2 = 0.4306

= 1 + 2 = 0.3238 + 0.4306 = 0.7544

A

A

A2A1


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c. Durante 32 minutos o menos?

A

0.50 A1

0 2,22 Z20 32 X

1 = 32205.4 = 2.22 ú é 1: 1 = 0.4868

= 1 + 0.50 = 0.4868 + 0.50 = 0.9868 d. Entre 25 y 35 min?

A1 A2

0 0,93 2,78 Z20 25 35 X

1 = 25205.4 = 0.93 ú é 1: 1 = 0.3238

2 =3520

5.4 = 2.78 ú é 1: 2 = 0.4973 = 2 1 = 0.4973 + 0.3238 = 0.1735

e. Durante 32 min., o más?

A1 A

0 2,22 Z20 32 X

1 = 32205.4 = 2.22 ú é 1: 1 = 0.4868

= 0.50 1 = 0.50 0.4868 = 0.0132

A

A1

0,5 A1

A2

A1

A


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f. Durante 15 min o más?

A

A1 0.50

-0,93 0 Z15 20 X

1 = 15205.4 = 0.93 ú é 1: 1 = 0.3238

= 1 + 0.50 = 00.3238 + 0.50 = 0.8238

g. ¿Cuál es la probabilidad de que el 75% de los radioyentes la sintonicen durante

cuántos minutos o menos?

75 %

0,50 0,25

0 0,67 Z

20 ? X

1 = 0.25 ú é 1: 1 = 0.67 1 = 1 ∗ + =0.67∗5.4+20=23.61 minutos

3.4 Aproximación de la normal a la binomial

La distribución normal puede utilizarse para aproximar una distribución binómica o

binomial, bajo las siguientes condiciones:

A

A10,5

0,5 0,25


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n *π y n *(1- π ) deben ser ambos por lo menos iguales a 5.

- n es el número de observaciones.

- π es la probabilidad de un éxito.

Las cuatro condiciones para una distribución binomial son:

- Hay solo dos resultados posibles.

- π permanece igual de un ensayo a otro

- Cada ensayo es independiente de los otros.

- La distribución resulta de un conteo del número de éxitos en una cantidad fija de

ensayos.

La media y la varianza de una distribución binomial se calculan como sigue:

µ = nπ

σ² = nπ (1- π)

El factor de corrección por continuidad, de 0.5, sirve para ampliar en media unidad

el valor continuo X, en ambas direcciones. Esta corrección compensa estimar unadistribución discreta por medio de una distribución continua.

Cuando la probabilidad a calcularse responde a la condición “X es mayor o igual a”,

entonces a X debe restársele 0.5

Cuando la probabilidad a calcularse responde a la condición “X es menor o igual a”,

entonces a X debe sumársele 0.5

Si la condición dice “X es igual a”, entonces la probabilidad se calcula en el intervalo

(X - 0.5, X + 0,5 )


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Ejemplo 1

Un estudio en una institución educativa, mostró que el 5% de los docentes tienen estudios

de postgrado. Si la institución cuenta con 100 docentes.

a. ¿Cuál es la probabilidad de 8 o más docentes tenga estudios de postgrado?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 8 y 10 docentes tenga estudios de postgrado?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 8 docentes tenga estudios de

postgrado?

Datos: = 5% 0,05 y n = 100

Primero se debe calcular: n*π y n*(1- π) si estas son mayores o iguales a 5, se puede

aplicar la aproximación normal a la Binomial

0,05 * 100 = 5 (cumple la condición)

100 * (1- 0,05) = 95 (cumple la condición)

µ = nπ = 0,05 (100) = 5

σ² = nπ (1- π) = 5(1-0,05) = 4,75

σ = 2,18

a. ¿Cuál es la probabilidad de 8 o más docentes tenga estudios de postgrado?

A1

0 1,15 Z5 7,5 X

A1


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1 = 7.552.18 = 1.15 ú é 1: 1 = 0.3749

= 0.50 1 = 0.50 0.3749 = 0.1251

b. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 8 y 10 docentes tenga estudios de postgrado?

A2

0 1,15 2,52 Z

5 7,50 10,50 X

1 = 7.552.18 = 1.15 ú é 1: 1 = 0.3749

2 = 10.552.18 = 2.52 ú é 1: 2 = 0.4940

= 2 1 = 0.4940 0.3749 = 0.1191

c. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 8 docentes tengan estudios de postgrado?

A2

A10 1,15 1,61 Z5 7,50 8,50 X

A1

A1


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1 = 7.552.18 = 1.15 ú é 1: 1 = 0.3749

2 =

8.55

2.18 = 1.61 ú é 1: 2 = 0.4463

= 2 1 = 0.4463 0.3749 = 0.0714


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IV. UNIDAD: MÉTODOS Y DISTRIBUCIONES DE MUESTREO.

Competencias


Explicar las características de una muestra

Describir los diversos métodos para seleccionar una muestra

Contenidos


4.2 Muestreo de la población

4.3 Métodos de muestreo

4.4 Distribución de muestreo de medias muestrales.

4.5 Error Estándar y Error de Muestreo

4 1

Conceptos

principales

Distribución de Muestreo de la Media Muestral. Una distribución de probabilidad

integrada por las medias de todas las muestras de un determinado tamaño, tomadas de la

población.

Error Muestral de Muestreo. Es la diferencia entre un estadístico muestral y el

correspondiente parámetro poblacional.

Muestra Probabilística. Una muestra de objetos o individuos elegida de tal manera que

cada miembro de la población tenga igual oportunidad de ser incluido en la muestra.

Muestreo Aleatorio Estratificado. Primero se divide la población en subgrupos llamados

estratos. Después se toma una muestra probabilística de cada estrato.


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Teorema del Límite Central. Si el tamaño de la muestra es suficientemente grande, la

distribución muestral de la media se aproximará a una distribución normal, sin considerar la

forma que tenga la distribución de la población.

4.2 Muestreo de la Población

Hay muchas razones para muestrear una población. Entre las que encontramos las

siguientes:

1. Con frecuencia la prueba destruye el elemento muestreado y no puede ser devuelto a la

población.

Ejemplo. En la fabricación de vidrio la muestra es destruida para probar su resistencia.

2. Puede ser imposible revisar o localizar a todos los elementos de la población.

Ejemplo. Para conocer la calidad de madera de un bosque se obtiene una muestra de

este.

3. Es posible que resulte prohibitivo el costo de estudiar a todos los elementos de la

población.

Ejemplo. Para saber la opinión de un producto se entrega el mismo a una muestra de una

ciudad y no a toda la ciudad.

4. Los resultados de una muestra pueden dar una estimación adecuada del parámetro de

población, lo que permite ahorrar, por tanto, dinero y tiempo.

Ejemplo. Tomar una muestra de producción de cerveza para saber sus características.


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5. Puede necesitarse demasiado tiempo para contactar a todos los elementos de la

población.

Ejemplo. Para conocer el criterio acerca del ALCA no es necesario entrevistar a todo el

continente americano, sino a una muestra de este.

4.3 Métodos de Muestreo

Existen dos tipos de muestras: la no probabilística y la probabilística.

En un muestreo no probabilístico, la inclusión en la muestra se basa en el criterio de la

persona que realiza el muestreo. Esto puede llevar a resultados con sesgo.

En un muestreo probabilístico todos los elementos de la población tienen igual

probabilidad de ser seleccionados para la muestra. Hay varios métodos de muestreo de

probabilidad.

4.3.1. Muestreo Aleatorio Simple. - En una muestra aleatoria simple todos los elementos de

la población tienen la misma probabilidad de ser seleccionados para la muestra.

Un método para seleccionar una muestra es emplear una tabla de números aleatorios

(apéndice E del texto guía).

Ejemplo. Un estudio de los hoteles en la ciudad de Santo Domingo de los Colorados

mostró que existen 24 hoteles, el número de sus habitaciones se presentan a

continuación:


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Utilice una tabla de números aleatorios (apéndice E) y seleccione una muestra aleatoria

de tamaño cuatro a partir de esa población.

Para utilizar la tabla de números aleatorios usted puede empezar por cualquier parte de

esta y seguir alguna dirección a su elección. En el ejemplo partimos de la fila 5 y columna

6 del apéndice y nos movemos hacia la derecha. Los números se presentan a continuación:

Como la población está compuesta de dos dígitos, en los números de la tabla se van a

escoger los dos primeros dígitos que estén incluidos dentro de la población, son los

subrayados en el cuadro. Entonces la muestra contiene a los hoteles 13, 04, 17 y 14.

4.3.2. Muestreo Aleatorio Sistemático. - En una muestra sistemática se selecciona un punto

de partida aleatorio, y después se selecciona para la muestra cada k-ésimo elemento.

Ejemplo. Con los datos del ejercicio anterior obtenga una muestra sistemática

seleccionando como punto de partida el hotel 03 y después seleccione cada quinto hotel.

La muestra quedaría de la siguiente manera: 03, 08, 13, 18, 23.

4.3.3. Muestreo Aleatorio Estratificado. - En una muestra estratificada la población se divide

en varios grupos, o estratos y después se selecciona una muestra de cada uno.

No. 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Hab. 40 35 28 19 17 15 20 55 63 29 38 43 12 29 32 43 44 45 47 70 19 28 14 35

92598 49186 88247 39967 13748 04742 92460 85801 53444 65626 58710 55406 17173 69776 87455 14813


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4.3.4. Muestreo por Conglomeración. - En un muestreo por aglomerado la población se

divide en unidades primarias, y después se elige aleatoriamente las unidades que van a

ser muestreadas.

4.4 Distribución de muestreo de medias muestrales

Es una distribución de probabilidad que señala todas las medias muestrales posibles y sus

probabilidades de ocurrencia.

Las características son las siguientes:

Para el tamaño de muestra dado, el valor medio de todas las medias muestrales posibles

seleccionadas de la población es exactamente igual a la media poblacional.

La variación en la distribución muestral de medias es menor que en la distribución de la

población.

Ejemplo. Las edades de seis docentes de una universidad de la ciudad de Quito son :

¿Cuántas muestras de tamaño 2 son posibles de plantear?

= !! ∗ ! =

A B C D E F SUMA

Edad 54 50 52 48 50 52 306


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4.5 Error Estándar y Error de Muestreo

Error Estándar. - Es la desviación estándar de la medias muestrales también conocida por

tanto, como el error estándar de la media y se determina con la siguiente formula:

n x

Error de Muestreo. - Es la diferencia entre el valor del parámetro poblacional y su

respetivo estadístico muestral. Por ejemplo, se el valor de la media poblacional µ es 21

y el valor del estadístico muestral X es 20,5 el error de muestreo es de 0,5 (21-20,5) =

0,5. Este tipo de error puede calcularse para cualquier medida de interés.


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V. UNIDAD: ESTIMACIONES E INTERVALOS DE CONFIANZA

Competencias

Calcular intervalos de confianza para medias y proporciones

Determinar el tamaño de la muestra para muestras, variables y atributos

Contenidos

5.1 Estimaciones puntuales y de intervalos

5.1.1 Intervalo de confianza para una proporción de la población.

5.1.2 Intervalo de confianza para la media poblacional con n < 30 y no conocida.

5.1.3 Intervalo de confianza para una proporción

5.2 Selección de un tamaño de muestra adecuado

5.1 Estimaciones puntuales y de intervalos

Una estimación puntual es un solo valor estadístico calculado a partir de la información

obtenida de la muestra que se usa para estimar el parámetro poblacional.

Un intervalo de confianza es un intervalo de valores en el que se espera se encuentre el

parámetro poblacional.

5.1.1 Intervalo de confianza para la media poblacional con n 30

Los factores que determinan la amplitud de un intervalo de confianza para la media son:

El número “n” de observaciones de la muestra.


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La variabilidad de la población, estimada usualmente con la desviación estándar

poblacional

El nivel de confianza.

Para determinar el valor que representa el nivel de confianza (cuando se conoce la

desviación estándar poblacional o el tamaño de la muestra es 30 o más), se usa la

distribución normal.

Intervalo de confianza superior = + ∗ √

Intervalo de confianza inferior = ∗ √

Ejemplo 1

Una muestra aleatoria de 60 policías, reveló que en promedio un oficial permanece 3,5

años en su puesto antes de ser promovido. La desviación estándar de la muestra fue 0,25

años. Se pide elaborar un intervalo de confianza del 95%.

Datos: n = 60 X = 3,5 S = 0,25

95% = 1.96 ú é 1: = 0.475

Intervalo de confianza superior = 3.5+1.96∗ .√ =3.56

Intervalo de confianza inferior = 3.51.96∗ .√ =3.44


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5.1.2 Intervalo de confianza para la media poblacional con n < 30 y no conocida.

Para determinar el valor que representa el nivel de confianza cuando no se conoce la desviación

estándar poblacional y la muestra es inferior a 30, se usa la distribución t.

Las características principales de la distribución t son:

Es una distribución continua

Tiene forma de campana y es simétrica

Es más plana o más extendida que la distribución normal estándar

Hay una familia de distribuciones t, cada distribución depende de los grados delibertad.

Intervalo de confianza superior = + ∗ √ Intervalo de confianza inferior = ∗

√

Ejemplo 2.

Una empresa quiere determinar el tiempo medio que necesitan sus empleados para llegar a su

trabajo. En una muestra de 12 empleados se encontró que el tiempo promedio de llegada a su

trabajo fue de 28 minutos con una desviación estándar de 6 minutos. Se pide elaborar un

intervalo de confianza del 90% para la media poblacional.

Datos:

n = 12

= 28 X


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= ( ∗ )

Ejemplo 4.

Se quiere hacer una encuesta para determinar el ingreso promedio diario por ventas de

las gasolineras en una ciudad.

¿Cuántas gasolineras deben ser muestreadas?

A fin de obtener mayor información acerca de la ciudad, se realizó un estudio piloto y

se calculó la desviación estándar de la muestra en $1200 dólares. El patrocinador de la

encuesta desea que se utilice el grado de confianza de 0.95. La estimación debe estar

dentro de $100.

¿Cuántas gasolineras deben ser entrevistadas?

Datos:

S = 1200

Z para 95% = 1,96 (apéndice B1)

= ( ∗ )

= (1.96∗1200100 )

=553.19

Se deben entrevistar 554 gasolineras


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5.2.2 Tamaño de la muestra para la proporción poblacional

Hay tres factores que determinan el tamaño de la muestra cuando se quiere estimar una

proporción.

El nivel de confianza deseado, expresado normalmente mediante Z El máximo error permitido, E Un valor estimado de la proporción poblacional. Si no se cuenta con un valor

estimado, se usa 0.50

La fórmula para determinar el tamaño de la muestra para una proporción es:

= ∗ 1 ∗ (

)

Ejemplo 5.

El gerente de una empresa quiere una estimación de la proporción de la población que

apoya su propuesta respecto al lanzamiento de un nuevo producto. El gerente desea que

la estimación este dentro del 0,03 de la verdadera proporción. Utilice un nivel de

confianza del 99% y una proporción de 0,65. Se pide encontrar el tamaño de la muestra.

Datos:

E=0,03

p= 0,65

Z para 99% = 2,58 (apéndice B1)

= ∗ 1 ∗ ()

=0.65∗0.35∗(2.580.03)

=1682.59

El tamaño de la muestra debe ser de 1683

FIN

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Unidad Didáctica e2.Ea