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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS
MODALIDAD A DISTANCIA
UNIDAD DIDÁCTICA
MATEMÀTICA FINANCIERA II
AUTOR: Ing. Flavio Parra T.
Quito - Ecuador
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TABLA DE CONTENIDO
UNIDAD I -------------------------------------------------------------------------------------------------- 6 1. ANUALIDADES O RENTAS ------------------------------------------------------------------------------------------------ 6 1.1 Definición de anualidad ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6 1.2 Requisitos para que exista una anualidad ---------------------------------------------------------------------------------- 7 1.3 Clasificación de las anualidades según el tiempo ------------------------------------------------------------------------- 7 1.3.1 Anualidades Ciertas --------------------------------------------------------------------------------------------------------- 7 1.3.2 Anualidades contingentes--------------------------------------------------------------------------------------------------- 8 1.4 Clasificación de las anualidades según los intereses --------------------------------------------------------------------- 8 1.4.1 Anualidades simples --------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8 1.4.2 Anualidades Generales ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 8 1.5 Clasificación de las anualidades según el momento de iniciación. ---------------------------------------------------- 8 1.5.1 Anualidades diferidas ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 9 1.5.2 Anualidades inmediatas ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 9 1.6 Resumen de anualidades. ----------------------------------------------------------------------------------------------------10 1.7 Anualidad vencida ------------------------------------------------------------------------------------------------------------10 1.7.1 Valor presente de una anualidad vencida(A) ---------------------------------------------------------------------------10 1.7.2 Valor futuro de una anualidad vencida(S) ------------------------------------------------------------------------------10 1.8 Transformación de tasas de interés. ----------------------------------------------------------------------------------------11 1.8.1 Tasas efectivas Vencidas y Tasas efectivas Anticipadas -------------------------------------------------------------14 1.8.2 Tasas efectivas Anticipadas y Tasas Nominales Anticipadas -------------------------------------------------------16 1.9 Ejercicios de aplicación de anualidades -----------------------------------------------------------------------------------17 1.10 Anualidades anticipadas ----------------------------------------------------------------------------------------------------20 1.10.1 Valor presente de una anualidad anticipada ---------------------------------------------------------------------------20 1.10.2 Valor futuro de una anualidad anticipada -----------------------------------------------------------------------------20 1.11 Interpolación lineal. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------23 1.12 Anualidades diferidas -------------------------------------------------------------------------------------------------------34 1.13 Anualidades Generales ------------------------------------------------------------------------------------------------------37 1.14 Anualidades perpetuas ------------------------------------------------------------------------------------------------------43 1.15 Anualidades con gradiente aritmético y geométrico -------------------------------------------------------------------44 1.15.1 Gradiente aritmético o lineal --------------------------------------------------------------------------------------------46 1.15.2 Gradiente geométrico exponencial -------------------------------------------------------------------------------------51
UNIDAD II -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 59 2. AMORTIZACIÓN Y FONDOS DE AMORTIZACIÓN -------------------------------------------------------- 59 2.1 Amortización -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------59 2.2 Fondo de Amortización ------------------------------------------------------------------------------------------------------59 2.3 Tablas de amortización -------------------------------------------------------------------------------------------------------60 2.4 Derechos adquiridos por el deudor (DD) y saldo a favor del acreedor (DA) ---------------------------------------61 2.5 Tipos de amortización --------------------------------------------------------------------------------------------------------65 2.5.1 Amortización Gradual (Método Francés) -------------------------------------------------------------------------------65 2.5.2 Amortización Constante (Método Alemán) ----------------------------------------------------------------------------66 2.5.3 Amortización (Método Americano) -------------------------------------------------------------------------------------67 2.6 Tablas de fondo de amortización -------------------------------------------------------------------------------------------67
UNIDAD III ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 72 3. MÉTODOS PARA EVALUAR PROYECTOS DE INVERSIÓN ----------------------------------------------- 72 3.1 Tasas de interés-TMAR-Costo de oportunidad --------------------------------------------------------------------------74 3.1.1Combinación de Tasas ------------------------------------------------------------------------------------------------------74 3.1.2 Tasa de interés real ---------------------------------------------------------------------------------------------------------74 3.1.3 Tasa mínima aceptable de rendimiento (TMAR) ----------------------------------------------------------------------75 3.1.4 TMAR como Costo de Oportunidad y como Costo de Capital -----------------------------------------------------77 3.2 Valor actual neto (VAN) -----------------------------------------------------------------------------------------------------78 3.3 Tasa interna de retorno (TIR) -----------------------------------------------------------------------------------------------82 3.4 Índice de rentabilidad IR -----------------------------------------------------------------------------------------------------84 3.5 Payback descontado-----------------------------------------------------------------------------------------------------------85 3.6 Relación Beneficio-Costo (B/C) --------------------------------------------------------------------------------------------85
UNIDAD IV ---------------------------------------------------------------------------------------------- 88
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4. DOCUMENTOS FINANCIEROS Y BONOS ----------------------------------------------------------------------------88 4.1 Bono -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------88 4.1 Pago de intereses: -------------------------------------------------------------------------------------------------------------89 4.1.2 Valor nominal: --------------------------------------------------------------------------------------------------------------89 4.1.3 Valor de redención ----------------------------------------------------------------------------------------------------------90 4.1.4 Maduración ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------91 4.2 Precio de los bonos ------------------------------------------------------------------------------------------------------------91 4.3 tasa interna de retorno (TIR O RENTABILIDAD) ----------------------------------------------------------------------91 4.4 Precio del bono a una fecha de pago de intereses o cupón -------------------------------------------------------------92 4.5 Valor en libros de un bono ---------------------------------------------------------------------------------------------------93 BIBLIOGRAFIA ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 104
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INTRODUCCION
En este segundo curso de Matemáticas Financieras se trata temas referentes a:Tasas
equivalentes, anualidades, amortizaciones, fondos de valor futuro, documentos financieros,
bonos, tasas de interés internacionales, tasa real, análisis de conveniencia de invertir a través
de indicadores como VAN, TIR, Payback, Relación Costo Beneficio, que son necesarios en
las actividades financieras especialmente en el largo plazo, para financiar compras de bienes
inmuebles y muebles, financiamiento, negociación con documentos, y aseguramiento de todos
los bienes; que tienen aplicación en la formación del administrador profesional.
IMPORTANCIA DE LA ASIGNATURA
Dentro del mundo de los negocios, el futuro profesional se enfrentará en muchas ocasiones a
tomar decisiones que involucran la inversión adecuada de los recursos con que cuenta o a la
disponibilidad de los mismos por lo tanto es necesario que tenga los conocimientos que
involucran a la Matemática Financiera
En el caso que nos ocupa, la formación en la especialidad profesional de Administración –
Contabilidad, la materia Matemática Financiera es de importancia pues le permitirá al
estudiante, en el momento que desempeñe un cargo en los niveles de apoyo o de dirección en
una empresa sea pública o privada, tenga las técnicas, herramientas y destrezas para la toma
de decisiones; entonces, deberá revisar documentos y emitir una opinión profesional decisiva
5
y definitoria sobre estudios y proyectos o informes realizados, que necesariamente
contendrán cálculos matemáticos y sobre todo financieros, para ver si es rentable o no una
inversión.
En el mundo actual, donde la economía se ha globalizado y que gracias al apoyo de la
cibernética se ha dado una verdadera revolución; pues las negociaciones y transacciones
financieras y afectaciones, se hacen en tiempo real, por lo que se requiere poseer sólidos
conocimientos financieros que permitan aprovechar las oportunidades que se presentan en el
mercado y tomar las medidas precautelatorias cuando estas puedan afectar las finanzas de la
empresa.
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UNIDAD I
1. ANUALIDADES O RENTAS
INTRODUCCION
Los flujos de caja (pagos) de los créditos comerciales y financieros, normalmente
tienen las características de ser iguales y periódicos, estos se denominan anualidades, por
ejemplo; son anualidades las cuotas periódicas para pagar período a período un
electrodoméstico, de un vehículo, los salarios mensuales, las cuotas de los seguros, los pagos
de arrendamientos, entre otros, siempre y cuando, no varíen de valor durante algún tiempo.
Trataremos las anualidades más comunes y de mayor aplicación en la vida cotidiana.
Por lo cual, se calculará el valor presente de una anualidad y su valor futuro, de la misma
manera se determinará el valor de la cuota igual y periódica y el número de períodos de la
negociación.
1.1 Definición de anualidad
Una anualidad es una serie de flujos de cajas iguales o constantes que se realizan a
intervalos iguales de tiempo, que no necesariamente son anuales, sino que pueden ser diarios,
quincenales o bimensuales, mensuales, bimestrales, trimestrales, cuatrimestrales, semestrales,
anuales. Las anualidades se simbolizan con la letra R.
El concepto de anualidad, es importante en el área de las finanzas, entre otras
consideraciones, porque es el sistema de amortización más utilizado en las instituciones
financieras en sus diferentes modalidades de créditos. Además, es muy frecuente que las
7
transacciones comerciales se realicen mediante una serie de pagos hechos a intervalos iguales
de tiempo, en vez de un pago único realizado al final del plazo establecido en la negociación.
Es conveniente, en el estudio de las anualidades, tener en cuenta las definiciones de los
siguientes términos:
Renta o Pago (R): es un pago periódico que se efectúa de manera igual o constante. A la
renta también se le conoce con el nombre: cuota, depósito. Cualquier de estos términos
pueden ser utilizados en lugar de anualidad.
Periodo de Renta: es el tiempo que transcurre entre dos pagos periódicos consecutivos o
sucesivos. El periodo de renta puede ser anual, semestral, mensual, etc.
Plazo de una anualidad: es el tiempo que transcurre entre el inicio del primer período de
pago y el final del último período de pago.
1.2 Requisitos para que exista una anualidad
Para que exista una anualidad se debe cumplir con las siguientes condiciones:
Todos los flujos de caja deben ser iguales o constantes.
La totalidad de los flujos de caja en un lapso de tiempo determinado deben ser
periódicos.
Todos los flujos de caja son llevados al principio o al final de la serie, a la misma tasa
de interés, a un valor equivalente, es decir, a la anualidad debe tener un valor presente
y un valor futuro equivalente.
El número de períodos debe ser igual necesariamente al número de pagos.
1.3 Clasificación de las anualidades según el tiempo
Las anualidades según el uso del tiempo se clasifican en ciertas y contingentes.
1.3.1 Anualidades Ciertas
Son aquellas en las cuales los flujos de caja (ingresos o desembolsos) inician y
terminan en periodos de tiempos definidos. Por ejemplo, cuando una persona compra en un
almacén un electrodoméstico a crédito, se establecen en forma inmediata las fechas de
iniciación y terminación de la obligación financiera.
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Las anualidades perpetuas o indefinidas, son una variante de las anualidades ciertas.
Los flujos de caja de las anualidades indefinidas comienzan en un periodo específico o
determinado y la duración es por tiempo ilimitado.
1.3.2 Anualidades contingentes
Son aquellas en las cuales la fecha del primer flujo de caja, la fecha del último flujo de
caja, o ambas depende de algún evento o suceso que se sabe que ocurrirá, pero no se sabe
cuándo. El ejemplo más clásico, es el contrato de un seguro de vida, se sabe que hay un
beneficiario, al cual hay que realizarle una serie de pagos en un tiempo plenamente definido,
pero no se sabe cuándo empezarán, por desconocerse fecha en que morirá el asegurado. Por el
alcance que tienen las anualidades contingentes.
1.4 Clasificación de las anualidades según los intereses
Según el uso de los intereses las anualidades se clasifican en anualidades simples y
generales.
1.4.1 Anualidades simples
Son aquellas en que el periodo de capitalización de los intereses coincide con el
periodo de pago. Por ejemplo, cuando se realizan depósitos trimestrales en una cuenta de
cuenta de ahorros intereses capitalizables cada trimestre.
1.4.2 Anualidades Generales
Son aquellas en que el periodo de capitalización de los intereses no coincide con el
periodo de pago. Por ejemplo, cuando se realizan depósitos mensuales en una cuenta de
ahorro pero los intereses se capitalizan cada bimestre.
1.5 Clasificación de las anualidades según el momento de iniciación.
Las anualidades se clasifican según el momento de iniciación en diferidas e
inmediatas.
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1.5.1 Anualidades diferidas
Son aquellas en las cuales la serie de flujos de caja (Ingresos ó Desembolsos), se dan a
partir de un período de gracia. Este se puede dar de dos maneras: a) Período de gracia muerto,
b) Período de gracia con cuota reducida.
En el periodo de gracia muerto, no hay abonos a capital, ni pagos de interés, lo que implica
que el valor de obligación financiera al final del período de gracia se acumula por efecto de
los intereses, incrementándose el saldo de la obligación financiera, por lo tanto, a partir de
este nuevo valor se determina el valor de la cuota ó de la anualidad (R).
En el periodo de gracia con cuota reducida, se hacen pagos de intereses, pero no abono al
capital, por lo cual, el valor de la obligación financiera, no cambia por efecto de los intereses,
ya que estos se han venido cancelando a través del tiempo, por lo tanto, el valor de la
obligación financiera al final del periodo de gracia, es el inicial, y a partir de él, se calcula ó se
determina el valor de la cuota ó de la anualidad (R)
Para el cálculo del valor presente y del valor futuro de una anualidad diferida, se
pueden utilizar las expresiones que se demostraran para las anualidades vencidas y
anticipadas, posteriormente; sé vera como se pueden adaptar las fórmulas para aplicarlas
sobre las anualidades diferidas.
1.5.2 Anualidades inmediatas
Son aquellas en la que serie de flujos de caja (Ingresos ó Desembolsos) no tiene
aplazamiento algunos de los flujos, es decir, los flujos se realizan en el periodo inmediato a la
firma del contrato o del pagaré.
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1.6 Resumen de anualidades.
Anualidades
{
simples
{
ciertas {
vencidas {inmediatasdiferidas
anticipadas {inmediatasdiferidas
contingentes {vencidas {
inmediatasdiferidas
anticipadas {inmediatasdiferidas
generales
{
ciertas {
vencidas {inmediatasdiferidas
anticipadas {inmediatasdiferidas
contingentes{vencidas {
inmediatasdiferidas
anticipadas {inmediatasdiferidas
Anualidad cierta. Sus fechas son fijas y se estipulan de antemano
Anualidad contingente. Las fechas del primer pago o del último no son fijadas de
antemano (o ambas).
Anualidad simple. Cuando el periodo de pago coincide con la tasa de interés.
Anualidad general. Cuando el periodo de pago no coincide con la tasa de interés.
Anualidad vencida (ordinaria). Cuando los pagos periódicos se realizan al final del
mismo.
Anualidad anticipada. el pago se lo realiza al inicio del periodo de pago.
Anualidad inmediata. Cobros o pagos se realizan de inmediato el momento de
formalización del trato.
Anualidad diferida. Se realizan los cobros o pagos después de un periodo de gracia.
1.7 Anualidad vencida
1.7.1 Valor presente de una anualidad vencida(A)
Es una cantidad o valor, localizado un periodo antes a la fecha del primer pago,
equivalente a una serie de flujos de caja iguales y periódicos. Matemáticamente, se puede
expresar como la suma de los valores presentes de todos los flujos que compone la serie.
1.7.2 Valor futuro de una anualidad vencida(S)
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Es la cantidad o valor ubicado en el último flujo de caja, equivalente a todos los flujos
de caja constantes y periódicos de la serie. Matemáticamente, es el valor final que se obtiene
al sumar todos los valores llevados al futuro.
R R R R R R R
0 1 2 3 4 n1n
i
i11*RA
n
i
1)i1(*RS
n
R
1.8 Transformación de tasas de interés.
Dentro del campo financiero algunas de las tasas que son de uso común se puede
mencionar las siguientes:
Tasa Activa Tasa Efectiva y efectiva periódica
Tasa Pasiva Tasa Flat
Tasa Referencial TASAS INTERNACIONALES
Tasa Libor
Tasa Prime
Tasa E.U.R.I.B.O.R
Tasa Nominal
Tasa Activa
Es la tasa que las entidades financieras cobran en sus actividades crediticias, conocidas
también como de colocación de sus recursos.
Tasa Pasiva
Es la tasa que las entidades pagan a los depositarios o inversionistas que colocan sus
recursos en dichas entidades.
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Tasa Referenciales
Son las tasas que da Banco Central y que sirven de referencia para que las entidades
financieras fijen sus tasas activas y pasivas en sus operaciones. Estas son presentadas
semanalmente.
Tasa Nominal (j)
Esta tasa es considerada como una tasa contractual pues es la que generalmente
aparece en los contratos. Expresa la forma en que se va ha capitalizar los intereses (interés
compuesto), presentándose como:
xx% Anual convertible(periodo de tiempo de capitalización) = a.c.”periodo de tiempo”.
xx% Anual capitalizable(periodo de tiempo de capitalización)
xx% Anual compuesto(periodo de tiempo de capitalización)
Periodo de tiempo de capitalización = Fracción del año
También se puede decir, que la tasa nominal es la que presenta de manera anual la tasa
que efectivamente (tasa efectiva periódica) se gana o paga en el periodo de capitalización
multiplicada por su frecuencia de conversión.
Frecuencia de conversión (m).- Es el número de veces que los intereses se convierten en
capital en el año, dependiendo del periodo de tiempo que se considere para su capitalización,
así tendríamos que si la capitalización es mensual m sería igual a 12.
Ejemplo:
j = 24% anual capitalizable mensualmente, entonces m = 12 capitalizaciones
mensuales en el año.
i =j
m i =
24%
12= 2% mensual
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En interés simple, la tasa de interés con la que se trabaja se considera como nominal sin que
esto signifique que se den capitalizaciones; como ejemplo podemos decir si un capital de
$1.000, se presta a 180 días a una tasa:
a) 12% anual, tenemos que calcular la tasa diaria i = 0,12/360; i =0,00033 diario o
0,033% diarios
b) 5% semestral; podría considerarse el tiempo como un semestre y utilizar la tasa del
5% semestral o calcular la tasa diaria
i = 0,05/180; i = 0.0278% diario.
Fórmula para transformación de tasas:
(𝟏 +𝐣𝟏𝐦𝟏)𝐦𝟏
= (𝟏 +𝐣𝟐𝐦𝟐
)𝐦𝟐
𝐣 → 𝐣
𝟏 + 𝐢 = (𝟏 +𝐣
𝐦)𝐦
𝐢𝐚𝐧𝐮𝐚𝐥 → 𝐣 𝐨 𝐣 → 𝐢𝐚𝐧𝐮𝐚𝐥
(𝟏 + 𝐢𝟏)𝐩𝟏 = (𝟏 + 𝐢𝟐)
𝐩𝟐 𝐢 → 𝐢
𝐢 =𝐣
𝐦
Ejemplos: Transforme las tasas indicadas
a) 𝒋 = 𝟖% 𝒂. 𝒄. 𝒕 𝒋 = 𝒂. 𝒄. 𝒔
(1 +j1m1)m1
= (1 +j2m2)m2
(1 +0.08
4)4
= (1 +j22)2
j2=8.08% a. c. s
b) 𝒋 = 𝟖% 𝒂. 𝒄. 𝒕 𝒊 = 𝒎𝒆𝒏𝒔𝒖𝒂𝒍
𝐢 =𝐣
𝐦 𝐢 =
𝟖%
𝟒= 𝟐% 𝐭𝐫𝐢𝐦𝐞𝐬𝐭𝐫𝐚𝐥
14
(1 + i1)p1 = (1 + i2)
p2 (1 + 0.02)4 = (1 + i2)12
𝐢𝟐 = 𝟎. 𝟔𝟔% 𝐦𝐞𝐧𝐬𝐮𝐚𝐥
c) 𝑖 = 2% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 𝑗 = 𝑎. 𝑐. 𝑠
i =j
m j = i ∗ m j = 2% ∗ 12 = 24% a. c.m
(1 +j1m1)m1
= (1 +j2m2)m2
(1 +0.12
12)12
= (1 +j22)2
j2 = 12.30% a. c. s
d) 𝑖 = 6% 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑖 = 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
(1 + i1)p1 = (1 + i2)
p2 (1 + 0.06)6 = (1 + i2)4
i2 = 9.13% trimestral
Tasa Efectiva y Efectiva Periódica (i)
Es la tasa que realmente se está ganando o pagando durante un determinado periodo de
tiempo. Cuando se considera que el periodo de tiempo es un año se denomina tasa anual o
tasa efectiva anual; de lo contrario si el periodo es menor a un año se considera como una tasa
efectiva periódica. (Esta tasa es la que se usa en las fórmulas de Interés Compuesto,
Anualidades, TIR, Bonos)
(Tenga en cuenta que siempre la tasa efectiva es mayor que la tasa nominal, pues en
esta se consideran los valores capitalizados.)
1.8.1 Tasas efectivas Vencidas y Tasas efectivas Anticipadas
Cuando hablamos de interés por anticipado, el monto de los intereses se paga o se
capitaliza al inicio del periodo. Con el fin de encontrar su equivalencia con el interés vencido
15
se emplea una ecuación de valor entre el flujo presente y el flujo futuro para un periodo, como
sigue:
A = X- iaX A= X (1-ia) (1)
A F = X
La tasa anticipada se presenta como un descuento al monto del flujo presente, y por lo
tanto no aparece al final. Por otro lado aplicando el principio de equivalencia tenemos que:
F = A(1+i) considerando que F = X
Reemplazando con (1) tenemos X = X(1-ia)(1+i) y simplificando tenemos:
1 = (1-ia)(1+i); (2)
(1-ia) = 1/ (1+i); 1-1/ (1+i) = ia; (1+i-1)/(1+i) = ia:
𝐢𝐚 =𝐢
𝟏 + 𝐢
Se considera:
i = Tasa de interés efectiva periódica vencida
ia = Tasa de interés efectiva periódica anticipada
Partiendo de la ecuación (2) también podemos despejar la tasa vencida en función de
la anticipada, como sigue:
(1+i) = 1/ (1-ia); 1/ (1-ia)-1 = i; (1-1+ ia)/ (1-ia) = i;
𝐢 =𝐢𝐚
𝟏 − 𝐢𝐚
Ejemplos:
16
1.- Encuentre la tasa efectiva periódica vencida equivalente a una tasa del 4% anual
anticipada.
i =? anual
ia= 4% annual
i = 0,04/(1-0,04) = 0.0417; i = 4,17% annual vencida
2.- Encuentre la tasa efectiva anticipada equivalente a una tasa efectiva anual vencida del 9%.
ia= ? anual
i = 9%anual
i = 0,09/(1+0,09) = 0,0826; i = 8,26% anual anticipada
1.8.2 Tasas efectivas Anticipadas y Tasas Nominales Anticipadas
Similar a lo visto ya con las tasas vencidas efectivas y nominales, para la
transformación tenemos la formula i = j/m; donde en este caso i se convierte en
iay j en ja; manteniéndose m como frecuencia de conversión y la condición de que sea la tasa
sea del mismo periodo de capitalización.
ia = ja/m
Ejemplos:
1.- Encuentre la tasa efectiva periódica equivalente a una tasa del 4% a.c.t. anticipada.
ja = 4% a.c.t.
m = 4
ia= ? trimestral
ia= 0,04/4 = 0,01; ia= 1% trimestral anticipada.
2.- Encuentre la tasa nominal a.c.s. anticipada equivalente a una tasa efectiva periódica 2,3%
semestral anticipada.
17
ia= 2,3% semestral
ja = ? a.c.s..
m = 2
ja = 0,023 x 2 = 0,046; ja = 4,6% a.c.s. anticipada.
Para el caso de anualidades generales se necesita la transformación de tasas de interés con el
objetivo de que la tasa de interés coincida el periodo de pago.
1.9 Ejercicios de aplicación de anualidades
Para resolver problemas en los que intervienen las anualidades tome en cuenta las
siguientes recomendaciones:
Lea con detenimiento el problema y determine la pregunta que le pide para dar solución.
Realice un gráfico que represente el enunciado del problema
Identifique si es una anualidad o no.
Realice la clasificación de acuerdo al tipo de anualidad explicada anteriormente.
Plantee la ecuación de valor (PAGOS = DEUDAS)
Utilice con cuidado su calculadora.
1. Una persona deposita hoy en una institución financiera la suma de $ 8.200 que le paga una
tasa de interés del 3% mensual. Calcular el valor acumulado al final de año, si cada mes
deposita $ 300?
8.200
R=300 c/mes i=3% mensual
FF
X
R R R RRR
11 120 1 2 3 4
CLASIFICACION DE LA ANUALIDAD: ACSVI
PAGOS = DEUDAS “ECUACION DE VALOR”
X = S + 8200(1 + i)12
18
x = 300(1 + 0.03)12 − 1
0.03+ 8200(1 + 0.03)12
X = 15.948,85
1. Un padre de familia desea reunir para dentro de diez años la suma de $X para garantizar
los estudios universitarios de su hijo, por lo cual deposita en una institución financiera que
reconoce un interés del 24% a.c.m, $ 3000 cada año, y en los años 3 y 7 deposita
adicionalmente $ 5.000 y $ 10.000 respectivamente.
R=3000 c/año j=24% a.c.m FF
X
R R R RRR
11 120 1 2 3 4
R R
6 7
5.000 10.000
CLASIFICACION DE LA ANUALIDAD: ACGVI
1 + i = (1 +0.24
12)12
i = 26.82% anual
PAGOS = DEUDAS
X = S + 5000(1 + i)7 + 10000(1 + i)3
X = 3000(1 + 0.2682)10 − 1
0.2682+ 5000(1 + 0.2682)7 + 10000(1 + 0.2682)3
X = 155.967,76
2. Juan solicita un préstamo bancario para un proyecto inmobiliario a 2 años plazo, pagando
cuotas bimestrales a una tasa de interés del 14%. Para seguridad del crédito el banco le
entregara $150.000 ahora y $100.000 después de 8 meses. Determine la cuota bimestral a
cancelar.
R=bimestral i=14% anualFF
R R R RRR
11 120 1 2 3 4
R R
6 7
100.000 150.000
CLASIFICACION DE LA ANUALIDAD: ACGVI
19
(1 + 0.14) = (1 + ib)6 ib = 2.21% bimestral
150.000 + 100.000(1 + 0.0221)−4 = A
150.000 + 100.000(1 + 0.0221)−4 = R1 − (1 + 0.0221)−12
0.0221
R = $23.143,90
3. El señor Juan Pérez recibió tres ofertas al querer vender un apartamento, ubicado en
Ambato. La primera consistía en $ 33.000 de contado. La segunda consistía en $ 30.000
de contado y $ 230 al mes durante 36 meses. La tercera era de $ 650 al mes durante 3,5
años. Si la tasa de interés es del 2% mensual. ¿Cuál de estas ofertas es la más ventajosa
para el señor Juan Pérez?
a) $33.000 de contado
b) $30.000 de contado y $230 al mes durante 36 meses
R R R R RR
0 1 2 3 4 35 36
F F
30.000 R=230/mes i=2% mensual
X = 30.000 + 2301 − (1 + 0.02)−36
0.02
X = $35.862,43
c) $ 650 al mes durante 3,5 años
X = 6501 − (1 + 0.02)−42
0.02 X = $18.352,62
4. Los dineros de un contrato de arrendamiento por un año, que empieza hoy, con canon de $
300 mensuales anticipados, los deposito en una corporación que ofrece el 2,5% mensual.
A) Hallar el acumulado obtenido, seis meses después de vencido el contrato. B) Si el
arrendatario quisiera pagar hoy el total de dicho contrato, y se le reconociera el 2,2%
mensual por pronto pago. ¿Cuánto debe cancelar hoy?
R R RRR R
0 1 2 3 11 12
F F
R=300/mes i=2.5% mensual
10 18
X
20
CLASIFICACION DE LA ANUALIDAD: ACSAI
a) X = S(1 + i)6
X = [300(1 + 0.025)12 − 1
0.025] (1 + 0.025)(1 + 0.025)6 = 4.919,57
b) A = 3001−(1+0.022)−12
0.022(1 + 0.022) = 3.202,93
1.10 Anualidades anticipadas
Son aquellas en las que la serie de flujos de caja se realizan al inicio de cada periodo;
por ejemplo el pago mensual del arriendo de una casa, ya que primero se paga y luego se
habita en el inmueble.
1.10.1 Valor presente de una anualidad anticipada
El valor presente de los flujos de caja (ingresos y desembolsos) iguales anticipados
será el valor, que en el momento de realizada la operación financiera, sea equivalente a todos
los flujos de caja. Si se considera que una deuda (A) se va a cancelar mediante n pagos iguales
de valor R, a una tasa de interés (i) se tiene:
0 1 2 3-1 n-1 n
FF
R R RR R RR
i
i1i
i)(11RA
n
1.10.2 Valor futuro de una anualidad anticipada
21
A partir del diagrama económico que se detalla a continuación se puede determinar la
fórmula que permite calcular el valor futuro de una anualidad anticipada.
0 1 2 3-1 n-1 n
FF
R R RR R RR
i
i1i
1i)(1RS
n
Resumen:
R R R R R R R
0 1 2 3 n-1 nn-2
A S
A = R [1 +(1 − (1 + i)−n+1)
i] o A = [R
1 − (1 + i)−n
i] (1 + i)
S = R [(1 + i)n+1 − 1
i− 1] o S = [R
(1 + i)n − 1
i] (1 + i)
Ejemplos:
1. Una persona recibe por concepto de arriendo (mes anticipado), la suma de $1.000
mensuales, y deposita el 30% en una cuenta de ahorros en una institución financiera, que
le reconoce el 2% de interés mensual. El depósito lo realiza un vez recibe el valor de la
renta. Si el inmueble estuvo arrendado por un año, ¿Cuánto tendrá acumulado en la cuenta
al final de los 12 meses?
R=300/mes i=2% mensual FF
R R R RRR
11 120 1 2 3 4
R R
6 7
S
CLASIFICACION DE LA ANUALIDAD: ACSVI
S = [300(1 + 0.02)12 − 1
0.02] (1 + 0.02) = $4.104,10
22
2. Un documento ofrece pagos trimestrales de $ 30.000, iniciando el primer pago el 20 de
abril de 1995 y terminando el 20 de abril de 2006. Si se desea cambiar este documento por
otro que estipule pagos trimestrales de $X comenzando el 20 de abril de 1997 y
terminando el 20 de octubre de 2001. Hallar el valor de la cuota, suponga una tasa del
24% a.c.t.
R R R R RR
0 1 2 3 44 45
F F
R=30.000/trim
20-0
4-9
5
i=6% trim
4
20-0
4-0
6
CLASIFICACION DE LA ANUALIDAD: ACGAI
i =j
m i =
24%
4= 6% trimestral
A = 30.0001 − (1 + 0.06)−45
0.06(1 + 0.06)
A = $491.495.46
R R RR R
0 7 8 9 25 26
F F
R=30.000/trim
20-0
4-9
5
i=6% trim
24 27
20-0
4-0
1
20-0
4-9
7
20-1
0-0
1
491.495,46(1 + 0.06)7 = R1 − (1 + 0.06)−19
0.06
R = $66.232,28
3. Los dineros de un contrato de arrendamiento por un año, que empieza hoy, con canon de $
300 mensuales anticipados, los deposito en una corporación que ofrece el 2,5% mensual.
A) Hallar el acumulado obtenido, seis meses después de vencido el contrato. B) Si el
arrendatario quisiera pagar hoy el total de dicho contrato, y se le reconociera el 2,2%
mensual por pronto pago. ¿Cuánto debe cancelar hoy?
23
R R RRR R
0 1 2 3 11 12
F F
R=300/mes i=2.5% mensual
10 18
X
CLASIFICACION DE LA ANUALIDAD: ACSAI
c) X = S(1 + i)6
X = [300(1 + 0.025)12 − 1
0.025] (1 + 0.025)(1 + 0.025)6 = 4.919,57
d) A = 3001−(1+0.022)−12
0.022(1 + 0.022) = 3.202,93
1.11 Interpolación lineal.
La interpolación lineal es un procedimiento muy utilizado para estimar los valores que
toma una función en un intervalo del cual conocemos sus valores en los extremos (x1, f(x1)) y
(x2,f(x2)). Para estimar este valor utilizamos la aproximación a la función f(x) por medio de
una recta r(x) (de ahí el nombre de interpolación lineal, ya que también existe la interpolación
cuadrática).
La expresión de la interpolación lineal se obtiene del polinomio interpolador de Newton
de grado uno:
RECTA DE INTERPOLACIÓN LINEAL
Veamos los pasos que tenemos que seguir para hallar la recta de regresión:
1º. Dados los puntos de la función (x1, y1) y (x2, y2), queremos estimar el valor de la función
enunpuntoxenelintervalox1<x<x2.
2º. Para hallar la recta de interpolación nos fijaremos en la siguiente imagen.
24
Para ello utilizamos la semejanza de los triángulos ABD y CAE, obteniendo la siguiente
proporcionalidad de segmentos: AB/AC=BD/CE.
3º. Despejando el segmento BD (ya que el punto D es el que desconocemos) obtenemos:
BD=(AB/AC)∙CE. Traduciendo al lenguaje algebraico obtenemos que:
y − y1 =y2 − y1x2 − x1
(x − x1)
Y despejando y, obtenemos:
y = y1 +y2 − y1x2 − x1
(x − x1)
Para nuestro estudio financiero lo utilizaremos para calcular tasas de interés y posteriormente
para el cálculo del TIR (Tasa interna de retorno).
Ejemplos:
1. A qué tasa nominal convertible semestralmente se acumula $600.000 luego de 15
depósitos semestrales de $12.000.
25
0 1 2 3 4 14 15
R=12.000/semestre i=?
600.000
𝐒 = 𝐑(𝟏 + 𝐢)𝐧 − 𝟏
𝐢 𝟔𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟐. 𝟎𝟎𝟎
(𝟏 + 𝐢)𝟏𝟓 − 𝟏
𝐢
𝟓𝟎 =(𝟏 + 𝐢)𝟏𝟓 − 𝟏
𝐢
El objetivo es encontrar la tasa i de acuerdo al apéndice 2 “Interpolación lineal”
La pregunta? qué valor se da a i. Al ser arbitrario; iniciemos con un valor del 1%.
i 0,01 0,02 0,05 0,1 0,15 0,16
VR 16,097 17,293 21,579 31,772 47,58 51,66
La diferencia entre el 1% y 2%, crece pero un valor pequeño, así mismo
arbitrariamente vaya al 5%, así como al 10%. Entre el 5% y 10% la diferencia es
prácticamente de 10, podría subir al 15% que sumado al 31, 77 le daría algo como
41,…continúe con el proceso.
Entre 15%(47,58) y 16%(51,56) está el valor buscado (50), utilice la fórmula de
interpolación lineal.
Puntos: (47,58 , 0,15)(51,66 , 0,16)
y = y1 +y2 − y1x2 − x1
(x − x1)
𝑦 = 𝑖 = 0.15 +0.16 − 0.15
51.66 − 47.58(50 − 47.58)
𝑖 = 0.1559 𝑖 = 15.59% 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
26
𝑗 = 𝑖𝑥𝑚 𝑗 = 15.59%𝑥2 = 31.18% 𝑎. 𝑐. 𝑠
2. Una empresa desea invertir $300.000 en un proyecto que, según los planes, deberá
producir un flujo de ingresos de $42.000 bimestrales vencidos durante dos años. ¿Qué tasa
de interés efectivo anual rendiría el proyecto?
0 1 2 n
R=4200/bim i=%bimestral
300000
A = R1 − (1 + i)−n
i
300000 = 420001 − (1 + i)−12
i 7.1429 =
1 − (1 + i)−12
i
Tenemos una ecuación que algebraicamente no podemos resolver, entonces utilizamos la
interpolación lineal dando valores a y(i) para encontrar el valor de referencia x(VR).
i 0,02 0,04 0,06 0,08 0,09 0,1
VR(x) 10,575 9,3851 8,3838 7,5361 7,1607 6,8137
y(i) = 0.09 +0.10 − 0.09
6.8137 − 7.1607(7.1429 − 7.1607)
i = 9.05% bimestral
(1 + 0.0905)6 = (1 + i2)1 i = 68.17% anual
3. Para pagar una deuda de $950.000 se abonan 7 mensualidades vencidas de $149.620,66.
¿Qué tasa nominal convertible mensualmente se cargó en la operación?
27
0 1 2 5 6 7
FF
R=149.620,66/mes i=% mensual
950.000
43
A = R [1 − (1 + i)−n
i] 950.000 = 149.620,66 [
1 − (1 + i)−7
i]
6,3494 = [1 − (1 + i)−7
i]
i(y) 0,0100 0,0200 0,0300 0,0400
VR(x) 6,7282 6,4720 6,2303 6,0021
4. El administrador del club de fútbol “Los invencibles” está evaluando la compra de un
nuevo autobús para transportar los jugadores. Una arrendadora financiera le ofrece un plan
de compra mediante el pago de 36 mensualidades anticipadas de $19.862,35. ¿Cuál es la
tasa de interés nominal anual que está cargando la arrendadora si el precio del autobús es
de $485.750?
Si además de las 36 mensualidades anticipadas, el equipo debe pagar 5% del valor del
autobús como opción de compra sin intereses, un mes después de concluido el pago de los
abonos mensuales, ¿cuál sería el valor actual de los pagos que deben realizarse para
adquirir el autobús?
0 1 2 3 35 363433
FF
R=19.862,35/mes
485.750
i=?
A = R [1 − (1 + i)−n
i] (1 + i)
485.750 = 19.862.35 [1 − (1 + i)−36
i] (1 + i)
28
24,4558 = [1 − (1 + i)−36
i] (1 + i)
y(i) 0,01 0,02 0,03
VR(x) 30,40858 25,99862 22,48722
P1(25,99862,0.02)P2(22,48722,0.03)
y = y1 +y2 − y1x2 − x1
(x − x1)
y = 0.02 +0.03 − 0.02
22.48722 − 25.99862(24.4558 − 25.99862)
y = i = 0.0244 i = 2.44% mensual
(1 + i1)p1 = (1 + i2)
p2
(1 + 0.0244)12 = (1 + i2)1 i = 33.55% anual
0 1 2 3 35 363433
FF
R=19.862,35/mes
485.750
i=?5%(485.750)
OPCIÓN DE COMPRA: 5%(485.750) = 24.287.50
485.750 = R [1 − (1 + i)−n
i] (1 + i) + 24.287,50(1 + i)−36
485.750 = R [1 − (1 + 0.0244)−36
0.0244] (1 + 0.0244) + 24.287,50(1 + 0.0244)−36
485.750 = 24.3567R + 10.197,14
29
R = 19.524,52
5. El Comité Pro-mejoras de El Madrigal prevé sustituir un equipo de bombeo de agua para
riego, mismo que tendrá una vida útil de 10 años su costo será $70.000 más $20.000 por
instalación. Por esta razón los miembros del Comité han decidido crear un fondo mediante
pagos mensuales a una tasa del 14.5% a.cm.
a) Establecer el valor de cada depósito que permita el reemplazo e instalación del equipo
de bombeo.
b) Si el Comité está conformado por 45 socios; cuál es la cuota mensual de cada socio.
0 1 2 119 120
S
R/mes
J=14.5% a.c.m
AGCVI i =14.5%
12= 1.208% mensual
90000 = R(1 + 0.01208)120 − 1
0.01208 R = 337.16
Cuota
Socio=337.16
45= 7.49
6. Una persona adquiere a crédito un electrodoméstico que cancelará en 12 pagos mensuales
iguales de $ 300.000, a una tasa de 2% mensual. Encontrar el valor de contado del
electrodoméstico.
0 1 2 10 11 12
R=300.000/mes
i=2%mensual
FF
A
Clasificación de la anualidad: ACSVI
30
𝐴 = 𝑅 [1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖]
𝐴 = 300.000 [1 − (1 + 0.02)−12
0.02] = 3´172.602,37
7. Un apartamento se adquiere a crédito por la suma de $ 600.000 en cuota mensuales
iguales, la obligación se pacta a 15 años a una tasa de interés del 1.5% mensual.
Determinar el valor de las cuotas.
0 1 2 178 179 180
R/mesi=1.5%mensual
FF
600.000
1. Clasificación de la anualidad: ACSVI
A = R [1 − (1 + i)−n
i]
600.000 = R [1 − (1 + 0.015)−180
0.015] R = 9.662,53/mes
8. Sustituir una serie de flujos de cajas constantes de $ 45.500 al final de cada año, durante 5
años, por el equivalente en cuotas mensuales vencidas, con un interés del 2.4% mensual.
0 1 2 3 4 5
FF
R=45.500/año i=2.4% mensual
A
Clasificación de la anualidad: ACGVI
(1 + i1)p1 = (1 + i2)
p2(1 + 0.024)12 = (1 + i2)1
31
i2 = 32.92% anual
A = R [1 − (1 + i)−n
i] A = 45.500 [
1 − (1 + 0.3292)−5
0.3292]
A = 104.901,91
0 1 2 58 59 60
FF
R=mensual i=2.4% mensual
104.901,91
104.901,91 = R [1 − (1 + 0.024)−60
0.024] R = 3.317,02 mes
9. Un crédito de $ 8.000.000 para cancelarlo en 24 cuotas mensuales de $ 120.000 con dos
cuotas extras en pactadas en los meses 8 y 16, si la tasa de intereses es del 3,2% mensual;
calcular el valor de las cuotas extras.
0 1 2
R=120.000mes i=3.2%mensual
FF
8´000.000
7 8 15 16 23 24
A
x x
Clasificación de la anualidad: ACSVI
PAGOS = DEUDAS
A + x(1 + i)−8 + x(1 + i)−16 = 8´000.000
120.000 [1 − (1 + 0.032)−24
0.032] + x(1 + 0.032)−8 + x(1 + 0.032)−16 = 8´000.000
32
1.3814x = 8´000.000 − 1´989.165,52
x = 4´351.262,83
10. Como beneficiario de un plan de jubilación, el señor Domínguez puede recibir$160.000
de inmediato; o puede recibir $40.000 ahora y el resto con pagos de $6.000 cada 3 meses.
Si la compañía paga interés del 16% anual convertible trimestralmente.
¿Cuántos pagos completos recibirá?
0 1 2
R=6000trimestral
FF
160.000
n-1 n
40.000
j=16%a.c.t
Clasificación de la anualidad: ACGVI
i =j
m=16%
4= 4% trimestral
PAGOS = DEUDAS
160.000 = 40.000 + 6.000 [1 − (1 + 0.04)−n
0.04]
−0.2 = −1.04−n − n =log 0.2
log 1.04 n = 41.04
Con qué cantidad adicional al último pago completo le liquidarán el total de su
beneficio de jubilación?
Liquidación: 41 pagos iguales y uno menor.
33
0 1 2
R=6000trimestral
FF
120.000
40 41
j=16%a.c.t
S
R
x
x = 120.000(1 + i)41 − S
x = 120.000(1 + 0.04)41 − 6.000 [(1 + 0.04)41 − 1
0.04] = 208.17
R = 208.17(1 + 0.04)1 = 216.48
Con qué pago final realizado 3 meses después del último pago de $6.000 le liquidarían
el total?
Liquidación: 40 pagos iguales y uno mayor.
0 1 2
R=6000trimestral
FF
120.000
4039
j=16%a.c.t
S
R
x
x = 120.000(1 + i)40 − S
x = 120.000(1 + 0.04)40 − 6.000 [(1 + 0.04)40 − 1
0.04] = 5969.38
R = 5.969,38(1 + 0.04)1 = 6.208,17
9. Cada 2 meses, el día 25, se deposita $1.000 en un fondo de inversión que paga 14%
convertible bimestralmente, ¿Cuánto se habrá acumulado en el fondo un instante antes de
realizar el vigésimo cuarto depósito?
34
2.
0 1 2 3 23 242221
FF
R=1.000/bimestre j=14% a.c.b
S
Clasificación de anualidad: ACGAI
i =j
m i =
14%
6= 2.3333% bimestral
S = R [(1 + i)n − 1
i] (1 + i)
S = 1.000 [(1 + 0.023333)24 − 1
0.023333] (1 + 0.02333)
S = 32.429,84
1.12 Anualidades diferidas
Una anualidad diferida es aquella en que el primer pago se efectúa después de
transcurrido cierto número de periodos. El tiempo transcurrido entre la fecha en la que se
realiza la operación financiera y la fecha en que se da el primer pago, se conoce como período
de gracia.
El periodo de gracia, puede ser muerto o de cuota reducida. En el primero, no se pagan
intereses ni se abona a capital, por lo tanto, el capital inicial se va incrementando a través del
tiempo de gracia por no pagarse los intereses; mientras que en el segundo se pagan los
intereses, pero no se hacen abonos a capital, es decir, en este caso, el capital principal no se
incrementa en el período de gracia, porque se están cancelando los intereses.
Ejemplos:
35
1. Una deuda de $800.00 se va a cancelar mediante 18 pagos trimestrales de $R cada uno. Si
el primer pago se efectúa exactamente al año de haberse prestado el dinero, calcular R con
una tasa del 12% anual capitalizable trimestralmente.
R R R R R R R
j=12% a.c.t
0 1 2 3 4 5 6 18 19 20 21 22
800.000
FF
0 1 2 3 16 17 18
A
Clasificación de anualidad: ACGD
i =j
m i =
12%
4= 3% trimestral
Alternativa 1: FF en cero
DEUDAS = PAGOS
800.000 = A (1 + i)−3
800.000 = R [1 − (1 + 0.03)−18
0.03] (1 + 0.03)−3
800.000 = R(12.5864) R = 63.560,67
Alternativa 2: FF en 3
800.000(1 + i)3 = A
800.000(1 + 0.03)3 = R [1 − (1 + 0.03)−18
0.03]
36
874.181,6 = R(13.7535) R = 63.560,66
2. Una persona debe pagar $11.000 dentro de 6 meses. ¿Con cuántos pagos bimestrales de
$2187,63 podría liquidar su adeudo si el interés es de 19.76% capitalizable
bimestralmente, y debe realizar el primer pago pago dentro de 12 meses?
a) Anualidad vencida
0 1 2 43 n
R=2187,63/
bim.j=19.76%a.c.b
5 6 7 8
11000
AGDVD i =19.76%
6= 3.29% bimestral
11000(1 + 0.0329)2 = 2187.631 − (1 + 0.0329)−(n−5)
0.0329
−0.8235 = −1.0329−(n−5) − (n − 5) =log0.8235
log1.0329
−(n − 5) = −6 n = 11 De 5 a 11 son 6 cuotas vencidas
b) Anualidad anticipada
0 1 2 43 n
R=2187,63/
bim.j=19.76%a.c.b
5 6 7 8
11000
11000(1 + 0.0329)3 = 2187.63 [1 +1 − (1 + 0.0329)−(n−6)+1
0.0329]
37
−0.8506 = −1.0329−(n−6)+1 − (n − 6) + 1 =log0.8506
log1.0329
−(n − 6) + 1 = −5 n = 12 De 6 a 12 son 6 cuotas anticipadas
1.13 Anualidades Generales
Las anualidades generales, son aquellas en las cuales los períodos de pago no coinciden
con los períodos de interés, por ejemplo; una serie de pagos semestrales con una tasa efectiva
trimestral. Una anualidad puede ser reducida a una anualidad simple, si se hace que los
períodos de tiempo y los períodos de interés coincidan, hay dos formas como se puede
realizar:
1. Calcular pagos equivalentes, que deben hacerse en concordancia con los períodos de
interés. Consiste en encontrar el valor de los pagos que, hechos al final de cada período de
interés, sean equivalentes al pago único que se hace al final de un periodo de pago.
2. Modificar la tasa, haciendo uso del concepto de tasas equivalentes, para hacer que
coincidan los periodos de pago con los del interés.
Ejemplo
Hallar el acumulado de 24 pagos trimestrales de $ 2.800 cada uno suponiendo una tasa de
interés del 30% a.c.m. Realice el ejercicio por las dos formas enunciadas anteriormente
Método 1:
Transformamos el pago mensual equivalente de acuerdo a la tasa de interés.
0 1 2 3
R/mensual
j=30%a.c.m
2.800/trimestral
i =j
m i =
30%
12= 2.5% mensual
38
S = R [(1 + i)n − 1
i] 2800 = R [
(1 + 0.025)3 − 1
0.025] R = 910.38/mes
Calculamos el monto acumulado con el pago mensual, para los 24 pagos trimestrales.
0 1 2 3 70 71 72
R=910.38/mesi=2.5%mensual
S
S = R [(1 + i)n − 1
i] S = 910.38 [
(1 + 0.025)72 − 1
0.025] = 179.061,84
Método 2:
Transforme tasa de interés de acuerdo al periodo de pago con las fórmulas conocidas.
i = 2.5% mensual → i = trimestral
(1 + i1)p1 = (1 + i2)
p2(1 + 0.025)3 = (1 + i2)1
i2 = 7.68906% trimestral
0 1 2 3 22 23 24
R=2.800/trimestrei=7.689%trimestral
S
S = R [(1 + i)n − 1
i] S = 2.800 [
(1 + 0.0768906)24 − 1
0.0768906] = 179.061,58
Conclusiones:
39
Los valores difieren por el número de decimales usados en la transformación de la tasa
de interés, así como en la cuota mensual, si el valor encontrado guardamos en
memoria de la máquina de calcular los valores son exactos.
Podríamos afirmar que el método2, resulta ser el más usado por facilidad.
3. Un empleado desea ahorrar $115.000 en el próximo año. Si puede hacer depósitos
semanales en una cuenta que paga el 0.5% mensual efectivo. ¿Cuánto debe depositar cada
semana, si se consideran 48 semanas por año?
0 1 2 3 46 47 48
R/semanai=0.50% mensual
115.000
Clasificación de anualidad: ACGVI
(1 + i1)p1 = (1 + i2)
p2 (1 + 0.005)1 = (1 + i2)4
i2 = √1.0054
− 1 i2 = 0.125% mensual
S = R [(1 + i)n − 1
i] 115.000 = R [
(1 + 0.00125)48 − 1
0.00125]
R = 2.326,17 semanal
4. El ingeniero Martínez debe hacer 10 pagos bimestrales de $4000, comenzando dentro de 2
meses. Si desea cambiar ese plan de pagos por otro en que haga 18 pagos mensuales a
partir del próximo mes, y se pactan los intereses a 18% anual. ¿Cuál debe ser el importe
de los pagos mensuales?
40
0 1 2 3 9 10
R=4.000/bimestre i=18% anual FF
A
(1 + i1)p1 = (1 + i2)
p2(1 + 0.18)1 = (1 + i2)6i2 = 2.80% bimestral
A = R [1 − (1 + i)−n
i] A = 4.000 [
1 − (1 + 0.028)−10
0.028] = 34.471,74
0 1 2 3 17 18
R/mes i=18% anualFF
34.471,74
(1 + i1)p1 = (1 + i2)
p2(1 + 0.18)1 = (1 + i2)12i2 = 1.39% mensual
A = R [1 − (1 + i)−n
i] 34.471,74 = R [
1 − (1 + 0.0139)−18
0.018]
R = 2.177,74 mes
5. A un empleado le ofrecen liquidarlo en la empresa donde trabaja mediante un pago
efectivo de $95.000. Si en vez de aceptar eso desea recibir $4.000 mensuales vencidos.
¿Cuántos pagos de este valor debe recibir si se consideran intereses a 16% a.c.s?
Clasificación de la anualidad: ACGVI
R=4.000/mes j=16%a.c.s
95.000
0 1 2 3 4 n-1 n
FF
A
41
i =j
m i =
16%
2= 8% semestral
(1 + i1)p1 = (1 + i2)
p2(1 + 0.08)1 = (1 + i2)6
i2 = 1.29% mensual
A = R [1 − (1 + i)−n
i] 95.000 = 4.000 [
1 − (1 + 0.019)−n
0.0129]
−0.6936 = −1.029−n n = 28.54
a) 28 pagos iguales y un pago menor
|
R=4.000/mes
FF
0 1 2 3 27 28 29
S
x
95.000
x = 95.000(1 + 0.0129)28 − 4.000(1 + 0.0129)28 − 1
0.0129
x = 136.015,25 − 133.872,70 = 2.142,55
R = 2.142,55(1 + 0.0129) = 2.178,19
b) 27 pagos iguales y un pago mayor
x = 95.000(1 + 0.0129)27 − 4.000(1 + 0.0129)27 − 1
0.0129
x = 134.282,00 − 128.218,68 = 6.064,32
R = 6.064,32(1 + 0.0129) = 6.142,55
42
6. Al comprar mercancías se quedan debiendo $ 1´200.000, para cancelarlas en 3 años, por
cuotas mensuales iguales el primes año, cuotas bimestrales iguales durante el segundo año
y con cuotas trimestrales iguales en el tercer año. Si las cuotas bimestrales son el doble de
las cuotas mensuales, y las cuotas trimestrales son la tercera parte de las cuotas mensuales,
calcular el valor de las cuotas, sí la tasa de financiación es del 2% mensual.
3.
0 1 2 3 12 14 16 22 24 27 30 33 36
R 2R R/3R R 2R 2R 2R 2R R/3 R/3 R/3
1´200.000 i=2% mensual
Am Ab At
FF
Clasificación de la anualidad: ACGVI
i = 2% mensual → i = bimestral → i = trimestral
(1 + i1)p1 = (1 + i2)
p2
(1 + 0.02)2 = (1 + i2)1i2 = 4.04% bimestral
(1 + 0.02)2 = (1 + i2)1i2 = 4.04% bimestral
A = R [1 − (1 + i)−n
i]
Am = R [1 − (1 + 0.02)−12
0.02] = 10.5753R
Ab = 2R [1 − (1 + 0.0404)−6
0.0404] = 10.4706R
At = R/3 [1 − (1 + 0.0612)−4
0.0612] = 1.1519R
PAGOS = DEUDAS
43
1´200.000 = Am + Ab(1 + 0.02)−12 + At(1 + 0.02)
−24
1´200.000 = 10.5753R + 10.4706R(1 + 0.02)−12 + 1.1519R(1 + 0.02)−24
1´200.000 = 19.54746R
R = 61.389,05 mensual R = 122.778,10 bimestral
R = 20.463,02 trimestral
1.14 Anualidades perpetuas
Una anualidad perpetua es aquella en la que no existe el último pago, o aquella que tiene
infinito números de pagos. Teniendo en cuenta que en este mundo todo tiene fin, se puede
definir, que una anualidad indefinida o perpetuas, es aquella que tiene muchos flujos de caja
(ingresos o desembolsos), como ejemplos, se podrían citar las cuotas de mantenimiento de
una carretera o de un puente, o una inversión a muy largo plazo donde solo se retiran los
intereses, claro, suponiendo que éstos son iguales en cada uno de los períodos. En esta
anualidad, solo existe valor presente que viene a ser finito, porque el valor futuro o monto
será infinito por suponerse que los flujos de caja son indefinidos. En realidad las anualidades
perpetuas o indefinidas no existen. La anualidad perpetua vencida se representa en un
diagrama económico de la siguiente manera:
0 1 2 3 4
A
R i
Sabemos que el valor presente de una anualidad está dada por: A = R [1−(1+i)−n
i]; si se
aplica el limite cuando n→ ∞; entonces (1 + i)−n; tiende a ser cero (0); de ahí que el valor
presente de una perpetuidad es:
A =R
i
44
Ejemplo 1: Los exalumnos de una universidad deciden donarle un laboratorio y los fondos
para su mantenimiento futuro. Si el costo inicial es de $ 20.000 y el mantenimiento de estima
en $ 5.000 anuales, hallar el valor de la donación, si la tasa efectiva es de 15% anual.
0 1 2 3 4
A
R=5.000/anual i=15%
20.000
FF
PAGOS = DEUDAS
A = 20.000 +5000
0.15= 53.333,33
Ejemplo 2: Para mantener en buen estado las carreteras municipales, la junta de gobierno
decide establecer un fondo a fin de realizar las reparaciones futuras, que se estiman en $
20´000.000 cada 5 años. Hallar el valor del fondo, con una tasa de interés del 18%
efectiva.
1.- Debemos establecer la cuota anual.
S = R [(1 + i)n − 1
i] 20´000.000 = R [
(1 + 0.18)5 − 1
0.18]
R = 2´795.556,84 anual
A =2´795.556,84
0.18= 15´530.871,31
1.15 Anualidades con gradiente aritmético y geométrico
45
Analicemos una serie de flujos de caja (ingresos o desembolsos) que crecen o
decrecen en un valor uniforme o constante, como también aquellas que aumentan o
disminuyen en un valor porcentual. Es conveniente afirmar, que básicamente la única
condición que cambia entre las anualidades y las anualidades con gradientes aritméticas y
geométricas es que el valor de los flujos de caja varía y las demás condiciones no se
modifican, por lo cual, los conceptos de anualidades vencidas, anticipadas, diferidas y
generales que se trataron anteriormente son los mismos y se manejaran en idéntica forma.
DEFINICION
Se denomina gradiente a una serie de flujos de caja (ingresos o desembolsos)
periódicos que poseen una ley de formación, que hace referencia a que los flujos de caja
pueden incrementar o disminuir, con relación al flujo de caja anterior, en una cantidad
constante o en un porcentaje.
Para que una serie de flujos de caja se consideren un gradiente, deben cumplir las
siguientes condiciones:
Los flujos de caja deben tener una ley de formación.
Los flujos de caja deben ser periódicos
Los flujos de caja deben tener un valor un valor presente y futuro equivalente.
La cantidad de periodos deben ser iguales a la cantidad de flujos de caja.
Cuando los flujos de caja crecen en una cantidad fija periódicamente, se presenta un
gradiente lineal creciente vencido, sí los flujos de caja se pagan al final de cada periodo. Si los
flujos de caja ocurren al comienzo de cada período se está frente a un gradiente lineal
creciente anticipado. Si el primer flujo se posterga en el tiempo, se presenta un gradiente
lineal creciente diferido. Las combinaciones anteriores también se presentan para el gradiente
lineal decreciente.
En el caso en que los flujos de caja aumenten en cada período en un porcentaje y se
realizan al final de cada período se tiene un gradiente geométrico creciente vencido, y si los
flujos ocurren al inicio de cada período, se tiene un gradiente geométrico creciente anticipado.
Se tendrá un gradiente geométrico creciente diferido, si los flujos se presentan en períodos
46
posteriores a la fecha de realizada la operación financiera. Lo anterior ocurre con el gradiente
geométrico decreciente.
1.15.1 Gradiente aritmético o lineal
Es la serie de flujos de caja periódicos, en la cual cada flujo es igual al anterior
incrementado o disminuido en una cantidad constante y se simboliza con la letra G y se le
denomina variación constante. Cuando la variación constante es positiva, se genera el
gradiente aritmético creciente. Cuando la variación constante es negativa, se genera el
gradiente aritmético decreciente.
Valor presente(A) y futuro(S) de un gradiente aritmético o lineal creciente
Valor presente.- Es la cantidad, que resulta de sumar los valores presente de una serie
de flujos de caja que aumenta cada período en una cantidad constante denominada gradiente
(G).
Valor futuro.- Es la cantidad, que resulta de sumar los valores futuros de una serie de
flujos de caja que aumenta cada período en una cantidad constante denominada gradiente (G).
R
R+
G R+
2G
R+
3G
0 1 2 3 4 n-1 n
R+
(n-2
)G
R+
(n-1
)G
Para calcular el valor presente y futuro de una anualidad con gradiente aritmético
utilizamos las formulas.
A = R [1 − (1 + i)−n
i] ±
G
i[1 − (1 + i)−n
i−
n
(1 + i)n] = AU ± AG
47
S = R [(1 + i)n − 1
i] ±
G
i[(1 + i)n − 1
i− n] = SU ± SG
R = cuota inicial anticipada, vencida o diferida
i = tasa de interés de la transacción
n = número de periodos
G = gradiente aritmético (ley de formación), creciente o decreciente
AU = Valor presente de anualidad uniforme
AG = Valor presente de anualidad con gradiente
SU = Valor futuro de anualidad uniforme
SG = Valor futuro de anualidad con gradiente
Recuerde la serie de pagos o flujos de caja responden a las series o progresiones
aritméticas; el valor de cualquier cuota puede ser calculado con la fórmula para cualquier
termino.
Rn = R + (n − 1)G
Ejemplo 1: El valor de un automóvil se cancela en 18 cuotas mensuales, que aumentan cada
mes en $ 2, y el valor de la primera es de $ 600. Si la tasa de interés es del 2% mensual, hallar
el valor del automóvil.
0 1 2 3 17 18
R=600
i=2%
G=2
A = 600 [1 − (1 + 0.02)−18
0.02] +
2
0.02[1 − (1 + 0.02)−18
0.02−
18
(1 + 0.02)18]
A = 8.995,22 + 238.92 = 9.234,14
48
Ejemplo 2: Una vivienda se está cancelando con 120 cuotas mensuales que decrecen en $ 10
cada mes, siendo la primera cuota $ 1.270. Si la tasa de financiación que se cobra es del 1,5%
mensual, calcular el valor de la vivienda y el valor de la cuota 60.
0 1 2 3 119 120
R=1.270i=1.5%
G=10
A = 1.270 [1 − (1 + 0.015)−120
0.015] −
10
0.015[1 − (1 + 0.015)−120
0.015−
120
(1 + 0.015)120]
A = 70.483,04 − 23.597,11 = 46.885,93
R60 = 1.270 + (60 − 1)(−10) = 680
Ejemplo 4. Calcular el valor de un préstamo que se está cancelando en 12 pagos mensuales
que aumentan cada mes en $ 100, pero el primer pago por valor de $ 3.000 se realizó 9 meses
después de la fecha de la negociación, y la tasa de interés es del 2% mensual. Durante los
primeros 9 meses se cobró una tasa de interés del 1,5% mensual.
0 1 2 7 8 9 20191810
X
A
R=3.000G=100
i=1.5%
i=2%
X = A(1 + 0.015)−9
Calculo de A por los dos métodos:
49
A = 3000 + 3.100 [1 − (1 + 0.02)−11
0.02] +
100
0.02[1 − (1 + 0.02)−11
0.02−
11
(1 + 0.02)11]
A = 3.000 + 30.339,23 + 4.699,77 = 38.039,00
A = [3.000 [1 − (1 + 0.02)−12
0.02] +
100
0.02[1 − (1 + 0.02)−12
0.02−
12
(1 + 0.02)12]] (1 + 0.02)
A = [31.726,02 + 5.567,12](1.02) = 38.039,00
X = 38.039(1 + 0.015)−9 = 33.268,61
Ejemplo 5: ¿Con cuántos pagos mensuales que aumentan en $ 50 cada mes, se cancela el
valor de una obligación de $ 60.000, si la tasa de interés es del 2,8% mensual y la primera
cuota es de $ 2000?¿Cuál será el valor de la cuota 20?
0 1 2 n-1 n
R=2000 G=50
i=2.8%
60000
A = R [1 − (1 + i)−n
i] ±
G
i[1 − (1 + i)−n
i−
n
(1 + i)n]
60.000 = 2000 [1 − (1 + 0.028)−n
0.028] +
50
0.028[1 − (1 + 0.028)−n
0.028−
n
(1 + 0.028)n]
Para encontrar n utilizamos interpolación lineal.
n (y) 30 31 32 33 34 35 36
VR (x) 52761,38 54248,28 55715,34 57162,55 58589,88 59997,37 61385,01
50
(59997.37,35)(61385.01,36)
y = y1 +y2 − y1x2 − x1
(x − x1)
y = 35 +36 − 35
61385.01 − 59997.37(60000 − 59997.37)
y = n = 35.002 n = 35
Cuota 20: R20 = 2000 + (20 − 1)(50) = 2.950
Ejemplo 6: En una institución financiera que reconoce una tasa de interés del 4% semestral,
se hacen depósitos semestrales, que aumentan cada semestre en $ 130, durante 12 años. Si el
valor del primer depósito es de $ 1.500, calcular el valor acumulado al final del año doce.
0 1 2 242322
R=1500 G=130
j=4%
S
S = R [(1 + i)n − 1
i] ±
G
i[(1 + i)n − 1
i− n]
S = 1500 [(1 + 0.04)24 − 1
0.04] +
130
0.04[(1 + 0.04)24 − 1
0.04− 24]
S = 58.623,91 + 49.018,46 S = 107.642,37
51
Ejemplo 7: Una persona realiza depósitos en una institución bancaria que disminuyen en $ 15
cada mes, si se devenga un interés del 2,5% mensual, ¿cuál será el valor que se tendrá
acumulado al cabo de 24 meses, si el depósito del primer mes es $ 600.
0 1 2 242322
S
R=600i=2.5%
G=15
S = R [(1 + i)n − 1
i] ±
G
i[(1 + i)n − 1
i− n]
S = 600 [(1 + 0.025)24 − 1
0.025] −
15
0.025[(1 + 0.025)24 − 1
0.025− 24]
S = 19.409.42 − 5.009,42 = 14.400
1.15.2 Gradiente geométrico exponencial
Un gradiente geométrico es una serie de flujos de caja periódicos tales que cada uno es
igual al anterior disminuido o incrementado en un porcentaje fijo (j).
VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE GEOMETRICO
CRECIENTE
VALOR PRESENTE.- es el valor que se ubica en el presente, equivalente a una serie de
flujos de caja periódicos que aumenta cada uno, con respecto al anterior, en un porcentaje fijo
(j).
VALOR FUTURO.- es el valor que se ubica en el futuro, equivalente a una serie de flujos de
caja periódicos que aumenta cada uno, con respecto al anterior, en un porcentaje fijo (j).
52
0 1 3 n-1 n2
A S
R(1
+j)
R
R(1
+j)
2
R(1
+j)
n-1
R(1
+j)
n-2
A = R[1 − (
1+j
1+i)n
i − j] si i = j A =
nR
1 + i
S = R [(1 + i)n − (1 + j)n
i − j] si i = j S = nR(1 + i)n−1
Rn = R(1 + j)n−1
VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE GEOMETRICO
DECRECIENTE
0 1 3 n-1 n2
A S
R(1
-j)
R
R(1
-j)2
R(1
-j)n
-1
R(1
-j)n
-2
A = R[1 − (
1−j
1+i)n
i + j] si i = j A =
nR
1 + i
53
S = R [(1 + i)n − (1 − j)n
i + j] si i = j S = nR(1 + i)n−1
Rn = R(1 − j)n−1
A = valor presente de un gradiente geométrico.
S = valor futuro de un gradiente geométrico.
i = tasa de interés por periodo
j = porcentaje fijo (j)que aumenta o disminuye
EJEMPLO 1: Una obligación se está cancelando en 24 cuotas mensuales que aumentan un
10% cada mes. Si el valor de la primera cuota es $ 10.000 y se cobra una tasa de interés del
3% mensual, calcular: a) El valor de la obligación, b) El valor de la cuota 16.
0 1 32
A
23 24
i=2%
R=10.000j=10%
A = R[1 − (
1+j
1+i)n
i − j]
A = 10.000 [1 − (
1+0.10
1+0.03)24
0.03 − 0.10] = 549.345,11
Rn = R(1 + j)n−1
54
R16 = 10.000(1 + 0.10)16−1 = 41.772,48
EJEMPLO 2: Una persona desea comprar un apartamento que tiene un valor de $ 65.000, se
le plantea el siguiente plan: 20% de cuota inicial, 24 cuotas que aumentan cada mes en el
1,5% mensual, y un abono extraordinario en el mes 18 por valor de $ 5.000, si la tasa de
financiación es del 2,8 mensual, calcular el valor de la primera cuota.
0 1 32
A
23 24
R
17 18
i=2.8%
j=1.5%
65.000-13.000
52.000
5.000
52.000 = A + 5000(1 + i)−18
52.000 = R [1 − (
1+0.015
1+0.028)24
0.028 − 0.015] + 5000(1 + 0.028)−18
52.000 = 20.25R + 3.041,54 R = 2.147,70
EJEMPLO 3: Calcular el valor futuro equivalente a 18 pagos que aumentan cada mes en el
2% si se cobra una tasa del 3% mensual, siendo el primer pago de $ 2.500
0 1 32
R=2.500
i=3%
j=2%
16 17 18
55
S = R [(1 + i)n − (1 + j)n
i − j]
S = 2.500 [(1 + 0.03)18 − (1 + 0.02)18
0.03 − 0.02] = 68.546,70
EJEMPLO 4: Financiar una vivienda que tiene un valor de $ 70.000 a una tasa de interés del
2,5% mensual, por medio de 120 cuotas que crecen cada mes en el1,5%. Calcule el saldo
después de cancelada la cuota 60.
0 1 32
R
i=2.5%
j=1.5%
59 60 61 119 120
70.000S60
A = R[1 − (
1+j
1+i)n
i − j]
70.000 = R [1 − (
1+0.015
1+0.025)120
0.025 − 0.015] R = 1.012,09
Saldo después de cancelada la cuota 60.
Método 1.
S = R [(1 + i)n − (1 + j)n
i − j]
56
S60 = 1.012,09 [(1 + 0.025)60 − (1 + 0.015)60
0.025 − 0.015] = 198.022,49
Saldo = 70.000(1 + 0.025)60 − 198.022,49 = 109.962,79
Método 2.
Rn = R(1 + j)n−1
R61 = 1.012,09(1 + 0.015)61−1 = 2.472,76
A = R[1 − (
1+j
1+i)n
i − j]
A = 2.472,76 [1 − (
1+0.015
1+0.025)60
0.025 − 0.015] = 109.962,79
EJEMPLO 5: Calcular el valor presente de 18 pagos semestrales que disminuyen cada
semestre en el 2,5%, siendo el primer pago de $ 6.500. La tasa de Interés es del 18% a.c.s.
Determine la cuota 12.
0 1 32
A
16 17 18
R=6.500
i=9%
j=2.5%
i =j
m=18%
2= 9% semestral
57
A = R[1 − (
1−j
1+i)n
i + j]
A = 6.500 [1 − (
1−0.025
1+0.09)n
0.09 + 0.025] = 48.925,10
Cuota 12.
Rn = R(1 − j)n−1R12 = 6.500(1 − 0.025)12−1 = 4.919,99
EJEMPLO 6: Un préstamo de $ 20.000 se cancela con 15 cuotas mensuales que disminuyen
en 1,8% cada mes, calcule el saldo después de cancelada la novena cuota. La tasa de
financiación es del 2% mensual.
0 1 32
20.000
R
i=2%
j=1.8%
8 9 10 14 15
A = R[1 − (
1−j
1+i)n
i + j]
20.000 = R [1 − (
1−0.018
1+0.02)15
0.02 + 0.018] R = 1.750,38
Saldo después de la cuota 9.
58
Saldo = 20.000(1 + 0.02)9 − 1.750,38 [(1 + 0.02)9 − (1 − 0.018)9
0.02 + 0.018]
Saldo = 43.437,86 − 15.933,32 = 27.504,54
59
UNIDAD II
2. AMORTIZACIÓN Y FONDOS DE AMORTIZACIÓN
2.1 Amortización
En el área financiera amortizar significa saldar una deuda gradualmente, mediante pagos
iguales en periodos iguales de tiempo.
Ejemplo 1: Roberto Calderón contrae hoy una deuda de $95.000 a 18% convertible
semestralmente que amortizara mediante 6 pagos semestrales iguales, el primero de los cuales
vence dentro de 6 meses. ¿Cuál es el valor del pago?
A = R [1 − (1 + i)−n
i] 95.000 = R [
1 − (1 + 0.09)−6
0.09]
R = 21.177,38 . Con 6 cuotas semestrales de R, se extingue o se paga una deuda de $95.000
a i = 9% semestral.
2.2 Fondo de Amortización
Consiste en ahorrar una igual cantidad de dinero (R) en iguales periodos de tiempo con el
objetivo de tener en el futuro una cierta cantidad.
60
Ejemplo 2: Una persona desea acumular $154.000 en 5 meses, para lo cual realiza depósitos
mensuales al inicio de cada mes, con una tasa de interés del 1% mensual. ¿Cuál es el valor del
depósito?
S = R [(1 + i)n − 1
i] (1 + i) 154.000 = R [
(1 + 0.01)5 − 1
0.01] (1 + 0.01)
R = 29.891,22 ∶Con 5 depósitos anticipados (R) se acumula $154.000 con una tasa de
interés i = 1% mensual.
La amortización se refiere a la extinción, mediante pagos periódicos, de una deuda actual.
Los fondos de amortización son acumulación de pagos periódicos para liquidar una deuda
futura.
2.3 Tablas de amortización
Los pagos que se hacen para amortizar una deuda se aplican para cubrir los intereses y a
reducir el importe de la deuda. Para visualizar mejor este proceso conviene elaborar una tabla
de amortización que muestre lo que sucede con los pagos, los intereses, la deuda, la
amortización y el saldo.
Ejemplo 3: Datos de ejemplo 1
6 pagos: R = 21.177,3 i = 9% semestral
Periodos Pago "R" Interés Amortización
Saldo
Insol.
0 95000,00
1 21177,36 8550,00 12627,36 82372,64
2 21177,36 7413,54 13763,82 68608,82
3 21177,36 6174,79 15002,57 53606,25
4 21177,36 4824,56 16352,80 37253,45
5 21177,36 3352,81 17824,55 19428,90
6 21177,51 1748,60 19428,91 0,00
127064,31 32064,31 95000,00
Ejemplo 4: Calcule el valor de los pagos y elabore una tabla de amortización para saldar una
deuda de $6.000 contraída al 12.616% anual, si la deuda ha de quedar saldada al cabo de 16
meses, haciendo pagos bimestrales vencidos.
61
Clasificación de la anualidad: ACGVI
(1 + i1)p1 = (1 + i2)
p2 (1 + 0.12616)1 = (1 + i2)6
i2 = 2% bimestral
A = R [1 − (1 + i)−n
i] 6.000 = R [
1 − (1 + 0.02)−8
0.02]
Período Pago "R" Interés Amortización Saldo
Insoluto
0 6000
1 819,06 120,00 699,06 5300,94
2 819,06 106,02 713,04 4587,90
3 819,06 91,76 727,30 3860,60
4 819,06 77,21 741,85 3118,75
5 819,06 62,37 756,69 2362,06
6 819,06 47,24 771,82 1590,24
7 819,06 31,80 787,26 802,99
8 819,05 16,06 802,99 0,00
6552,47 552,47 6000,00
2.4 Derechos adquiridos por el deudor (DD) y saldo a favor del acreedor (DA)
En una transacción a crédito, después que el deudor ha realizado algunos pagos, es dueño de
una parte del bien; mientras que el acreedor, al haber recibido esos pagos, ya no es propietario
de todos los derechos sobre el bien, sino solamente de una parte (saldo a favor). En general,
en cualquier operación de amortización de una deuda, y en cualquier momento:
𝐃𝐞𝐫𝐞𝐜𝐡𝐨𝐬 𝐝𝐞𝐥 𝐝𝐞𝐮𝐝𝐨𝐫 (𝐃𝐃) + 𝐃𝐞𝐫𝐞𝐜𝐡𝐨𝐬 𝐝𝐞𝐥 𝐚𝐜𝐫𝐞𝐞𝐝𝐨𝐫 (𝐃𝐀) = 𝐕𝐚𝐥𝐨𝐫 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐨𝐩𝐞𝐫𝐚𝐜𝐢ó𝐧
Ejemplo: Con los resultados del ejercicio 4, determine los derechos del deudor, una vez
realizado el pago 3.
DD + 3.860,60 = 6000 DD = 2.139,40
62
Este valor lo podemos comprobar con la suma de amortizaciones hasta el periodo 3.
DD = 699,06 + 713,04 + 727,30 = 2.139,40
Consideración: Con base al ejemplo 3, sin tomar en cuenta la tabla de amortización,
determinar los derechos del acreedor y del deudor.
DD DA
R = 819.06 bimestrali = 2% bimestral
DA
FF6.000
0 1 3 4 5 6 7 82
DERECHOS DEL ACREEDOR
DA = A = R [1 − (1 + i)−n
i] DA = 819.06 [
1 − (1 + 0.02)−5
0.02] = 3.860,60 ó
DA = 6.000(1 + 0.02)3 − 819.06(1 + 0.02)3 − 1
0.02 = 3.860,60
DERECHOS DEL DEUDOR
DD = S3 − I
DD = 819.06(1 + 0.02)3 − 1
0.02− [6000(1 + 0.02)3 − 6000]
DD = 2.506,65 − 367,25 = 2.139,40
Ejercicio 5. Una pareja de recién casados adquiere una casa en condominio que cuesta
$160.000. Pagan un enganche de $70.000 y acuerdan pagar el resto con 24 mensualidades
iguales con el 24% de interés convertible mensualmente. Haga una tabla de amortización que
muestre los tres primeros pagos y los 3 últimos meses de la operación.
Clasificación de la anualidad: ACGVI
i =j
m i =
24%
12= 2% mensual
A = R [1 − (1 + i)−n
i] 90.000 = R [
1 − (1 + 0.02)−24
0.02]
R = 4.758,40
63
Período R I A
Saldo
Insol.
0 90000,00
1 4758,40 1800,00 2958,40 87041,60
2 4758,40 1740,83 3017,57 84024,03
3 4758,40 1680,48 3077,92 80946,11
Debemos calcular el saldo insoluto en el período 21, o lo que es lo mismo los derechos
del acreedor en el mismo período.
DA = A = R [1 − (1 + i)−n
i] DA = 4.758,40 [
1 − (1 + 0.02)−3
0.02] = 13.722,67
Período R I A
Saldo
Insol.
21 13722,67
22 4758,40 274,45 4483,95 9238,72
23 4758,40 184,77 4573,63 4665,10
24 4758,40 93,30 4665,10 0,00
Ejemplo 6. El licenciado Montiel adquiere a crédito un despacho en condominio que cuesta
$185.000 en efectivo, paga el 30% de enganche y se compromete a pagar el saldo mediante
pagos mensuales anticipados durante 3 años. Si la tasa de interés que paga es del 14% anual
convertible mensualmente. ¿Qué cantidad tendría que pagar al cabo del trigésimo mes para
adquirir la totalidad de los derechos sobre el despacho?
Clasificación de la anualidad: ACGAI
i =j
m i =
14%
12= 1.17% mensual
A = R [1 − (1 + i)−n
i] (1 + i)
129.500 = R [1 − (1 + 0,0117)−36
0,0117] (1 + 0,0117) R = 4.377,30
DA = 4.377,30 [1 − (1 + 0.0117)−6
0.0117] (1 + 0.0117) = 25.516,08
64
Ejemplo 7: En Septiembre, un almacén ofrece en venta un aparato de televisión en $14.490 a
pagar en 6 abonos mensuales iguales con 36% de interés convertible mensualmente. El primer
pago se debe realizar el 31 de enero del año siguiente. Si una persona adquiere uno de esos
aparatos el 31 de Octubre:
¿Cuál es el valor de cada uno de los pagos?
0 1 2 3 4 5 6 7 8
14.490
A
FF
R/mensuali = 36%a.c.m
Clasificación de la anualidad: ACGVD
i =j
m i =
36%
12= 3% mensual
14.490(1 + i)2 = R [1 − (1 + i)−n
i]
14.490(1 + 0.03)2 = R [1 − (1 + 0.03)−6
0.03] R = 2.837,71
Construya una tabla de amortización que muestre el comportamiento de la operación.
Período R I A Saldo
0 14490,00
1 434,70 14924,70
2 447,74 15372,44
3 2837,71 461,17 2376,54 12995,90
4 2837,71 389,88 2447,83 10548,07
5 2837,71 316,44 2521,27 8026,80
6 2837,71 240,80 2596,91 5429,90
7 2837,71 162,90 2674,81 2755,08
8 2837,74 82,65 2755,09 0,00
Ejemplo 8: Una deuda de $8.000 se habrá de amortizar mediante 5 pagos mensuales
vencidos; los dos primeros por $1.500 y el tercero y cuarto por $2.000. Calcule el importe del
65
quinto pago para saldar totalmente la deuda si la operación se pactó a 28% anual convertible
mensualmente.
Clasificación de la anualidad: ACGVI
i =j
m i =
28%
12= 2,33%
Período R I A Saldo
0 8000,00
1 1500,00 186,64 1313,36 6686,64
2 1500,00 156,00 1344,00 5342,64
3 2000,00 124,64 1875,36 3467,28
4 2000,00 80,89 1919,11 1548,17
5 1584,29 36,12 1548,17 0,00
Ejemplo 9: Una persona tiene una deuda de $16.000 que convino en pagar con pagos
bimestrales vencidos e iguales durante un año con intereses a 18% convertible cada 2 meses.
¿Cuántos pagos le faltan por hacer si el saldo de su deuda es de $8.354,47?
Clasificación de la anualidad: ACGVI
i =j
m i =
18%
6= 3% bimestral
A = R [1 − (1 + i)−n
i] 16.000 = R [
1 − (1 + 0.03)−6
0.03]
R = 2.953,56 bimestral
8.354,47 = 2.953,47 [1 − (1 + 0.03)−(6−k)
0.03]
−0,915142 = −1.03−(6−k) − (6 − k) =log 0,915142
log 1.03
−(6 − k) = −3 k = 3
2.5 Tipos de amortización
Existen varios métodos para amortizar una deuda, sin embargo trataremos los que son de uso
más comunes:
2.5.1 Amortización Gradual (Método Francés)
66
En este sistema el valor de las cuotas o abonos permanece constante; pero los intereses se
reducen a medida que la amortización de capital se incrementa, es decir es mayor que la del
pago anterior.
Ejemplo: Werner toma un préstamo de $ 800,00 para cancelarlo mediante cuotas mensuales a
una tasa del 3% mensual. Calcular el valor de la cuota y construir la tabla de amortización por
el método de amortización gradual.
Período Cuota Intereses Capital Saldo
Insoluto
0 800,00
1 147,68 24,00 123,68 676,32
2 147,68 20,29 127,39 548,93
3 147,68 16,47 131,21 417,72
4 147,68 12,53 135,15 282,57
5 147,68 8,48 139,20 143,38
6 147,68 4,30 143,38 0
Total 886,07 86,07 800,00
2.5.2 Amortización Constante (Método Alemán)
En este sistema, el valor total de la cuota disminuye con el tiempo, el componente de
amortización del capital permanece constante pero el interés va disminuyendo, lo que da
lugar a que cada pago sea menor que el anterior.
Ejemplo: Paulette recibe un préstamo de $ 600,00 para cancelarlo mediante cuotas mensuales
a una tasa del 3% mensual. Calcular el valor de la cuota y construir la tabla de amortización
por el método de amortización constante
Período Cuota Intereses Capital Saldo
Insoluto
0 600,00
1 118,00 18,00 100,00 500,00
67
2 115,00 15,00 100,00 400,00
3 112,00 12,00 100,00 300,00
4 109,00 9,00 100,00 200,00
5 106,00 6,00 100,00 100,00
6 103,00 3,00 100,00 0
Total 663,00 63,00 600,00
2.5.3 Amortización (Método Americano)
Se caracteriza por tener las primeras n-1 cuotas de amortización de capital nulas (0). Las
cuotas de interés son constantes e iguales a la tasa por el valor del préstamo. La desventaja es
que la última cuota es muy alta, esta incluye el valor original del préstamo más los intereses
del período.
Ejemplo: Aarón recibe un préstamo de $ 900,00 para cancelarlo mediante cuotas mensuales a
una tasa del 3% mensual. Calcular el valor de la cuota y construir la tabla de amortización por
el método de amortización americano.
Período Cuota Intereses Capital Saldo
Insoluto
0 900,00
1 27,00 27,00 0 900,00
2 27,00 27,00 0 900,00
3 27,00 27,00 0 900,00
4 27,00 27,00 0 900,00
5 27,00 27,00 0 900,00
6 927,00 27,00 900,00 0
Total 1062,00 162,00 900,00
2.6 Tablas de fondo de amortización
Como se vio en la parte introductoria; el fondo de amortización consiste en ahorrar
una cantidad igual de dinero (R) para cubrir una obligación en el futuro, con la misma tasa de
interés.
68
EJEMPLO 10: Una empresa tiene que liquidar $600.000 en un año, para lo cual crea un
fondo de amortización con depósitos mensuales a una tasa de interés del 1% mensual.
Construya la tabla de amortización del fondo.
R/mensual
0 1 2 3 11 12
600.000
I = 1% mensual
S = R [(1 + i)n − 1
i]
600.000 = R [(1 + 0.01)12 − 1
0.01] R = 47.309,27/mes
Periodo Deposito Intereses Total Saldo
R al Fondo
0 0,00
1 47309,27 0,00 47309,27 47309,27
2 47309,27 473,09 47782,36 95091,63
3 47309,27 950,92 48260,19 143351,82
4 47309,27 1433,52 48742,79 192094,61
5 47309,27 1920,95 49230,22 241324,82
6 47309,27 2413,25 49722,52 291047,34
7 47309,27 2910,47 50219,74 341267,08
8 47309,27 3412,67 50721,94 391989,03
9 47309,27 3919,89 51229,16 443218,19
10 47309,27 4432,18 51741,45 494959,64
11 47309,27 4949,60 52258,87 547218,50
12 47309,31 5472,19 52781,50 600000,00
Ejercicio No. 11
¿Cuántos pagos mensuales de $125 son necesarios para cancelar una deuda de $ 2.000 si la
tasa de interés es del 30% anual convertible mensualmente?
¿Cuál es el valor del último pago (en los dos casos)?
69
……..
0 1 2 3 n-1 n
j=30%a.c.mR=$125 mes
$2.000
…..
Clasificación de la anualidad: ACGVI
𝐀 = 𝐑𝟏 − (𝟏 + 𝐢)−𝐧
𝐢
2.000 = 1251 − (1 + 0.025)−n
0.025
−0.60 = −1.025−n log 1.025−n = log0.60
−n log1.025 = log 0.60 − n =log0.60
log 1.025
−n = −20.69 n = 20.69
1. Sería necesario realizar 19 pagos de $ 125 y un pago final mayor
……..
0 1 2 3 19 20
j=30%a.c.mR=$125 mes
$2.000
…..
R20
FF
S+x
2000(1 + i)19 = S19 + x
2000(1 + 0.025)19 = 125(1 + 0.025)19 − 1
0.025+ x
x = 204.05
70
R20 = 204.05(1 + 0.025) = $209,15
2. Hacer 20 pagos de $ 125 y un pago final menor.
2000(1 + 0.025)20 = 125(1 + 0.025)20 − 1
0.025+ x
x = 84.15
R21 = 84.15(1 + 0.025) = $86.25
Ejercicio No. 12
Audrey para adquirir su vivienda recibe del Banco de Aarón un préstamo hipotecario de
$50.000 a 15 años plazo, a ser cancelado mediante pagos mensuales a una tasa del 17,5%
a.c.m. Se desea conocer el valor de la cuota mensual y reconstruya la tabla para los últimos 5
periodos.
……..
0 1 2 3 179 180
j=17.5%a.c.mR=mensual
$50.000
…..
Clasificación de la anualidad: ACGVI
𝐢 =𝟏𝟕. 𝟓%
𝟏𝟐= 𝟏. 𝟒𝟓𝟖% 𝐦𝐞𝐧𝐬𝐮𝐚𝐥
𝐀 = 𝐑𝟏 − (𝟏 + 𝐢)−𝐧
𝐢
50.000 = R1 − (1 + 0.01458)−180
0.01458 R = 787.29
71
A175 = 787.291 − (1 + 0.01458)−n
0.01458A175 = 3.769,96
Período R Interés Amortización Saldo
insoluto
175 787,29 3769,96
176 787,29 54,97 732,32 3.037,64
177 787,29 44,29 743,00 2.294,63
178 787,29 33,46 753,83 1.540,80
179 787,29 22,46 764,83 775,98
180 787,29 11,31 775,98 0,00
72
UNIDAD III
3. MÉTODOS PARA EVALUAR PROYECTOS DE INVERSIÓN
Introducción:
Existen métodos para evaluar la conveniencia o no de un proyecto de inversión, por un lado
tenemos los métodos contables que no consideran el valor del dinero en el tiempo y por otro
los que si lo toman en cuenta entre ellos tenemos el Valor Actual Neto VAN, Tasa Interna de
Retorno TIR, Periodo de Recuperación Descontado. Dependiendo de la clase de proyectos,
estos pueden originar que la decisión aplicando los criterios de aceptación de los métodos
mencionados anteriormente no coincida. Así se puede mencionar los siguientes tipos de
proyectos:
Proyecto Convencional.-Es el que comienza con un flujo de efectivo negativo que representa
la inversión inicial y posteriormente siguen una serie de flujos positivos hasta el final de la
vida útil. Ejemplo de esto es la compra de una acción o bono. Los criterios de aceptación TIR
y VAN coinciden.
Proyecto No Convencional.-Cuando la secuencia de los flujos de efectivo es diferente al del
proyecto convencional; estos pueden crear conflicto en los criterios de decisión del VAN y
TIR. Ejemplo de ello tenemos en un seguro de por vida para jubilación en donde la
aseguradora recibe una cierto valor, para luego desembolsar una anualidad durante la vida del
jubilado. En estos proyectos se aceptan cuando la TIR es menor que el costo de capital.
Proyectos Independientes.- La selección de emprender un proyecto de un grupo no requiere
ni excluye que se seleccione cualquier otro u otros e inclusive todos.
73
Proyectos Mutuamente Excluyentes.-Cuando de un conjunto de proyectos se elige un
proyecto que compite por los limitados recursos que tiene una empresa, por lo que se deja de
lado los otros proyectos, se decide por el que genere un mayor rendimiento. Puede generar
decisiones contrarias del TIR y VAN.
Proyectos Contingentes.- La selección de un proyecto está condicionada a la elección de
uno o más del resto del grupo.
Los criterios para evaluar proyectos de inversión brevemente se refieren a:
Valor presente neto (VAN)
Es la suma de los flujos netos de caja actualizados, menos la inversión inicial. El
proyecto de inversión, según este criterio, se acepta cuando el valor presente neto es positivo,
dado que agrega capital a la empresa.
Tasa interna de rentabilidad (TIR)
Es la tasa que hace que el valor presente neto sea igual a cero, o tasa que iguala la
inversión inicial con la suma de los flujos netos actualizados. Según la TIR, el proyecto es
rentable cuando la TIR es mayor que la tasa de costo de capital, dado que la empresa ganará
más ejecutando el proyecto, que efectuando otro tipo de inversión.
Período de recuperación o Payback:
Es el tiempo necesario para recuperar la inversión inicial. Según este criterio, el
proyecto es conveniente cuando el período de recupero es menor que el horizonte económico
de la inversión, dado que se recupera la inversión inicial antes de finalizado el plazo total.
Existen dos métodos:
1.- Payback contable: Donde se consideran únicamente los flujos netos de cada
periodo, para determinar el tiempo que se tomará para recuperar el dinero invertido.
El inconveniente de este método es el que no toma en cuenta el valor del dinero en el
tiempo, por lo que es preferible optar por el siguiente método.
2.- Payback Discount ó Periodo de Recuperación Descontado: Este método,
para el cálculo del tiempo que se requiere para recuperar el dinero invertido utiliza
los flujos descontados; por esta razón su uso más generalizado.
74
3.1 Tasas de interés-TMAR-Costo de oportunidad
Para dar inicio a este estudio es importante tener el conocimiento de lo que es la combinación
de tasas, concepto que nos ayudará a explicar lo que es la Tasa Real y posteriormente el
cálculo de la TMAR
3.1.1Combinación de Tasas
Si un capital P está expuesto a una tasa i1 y simultáneamente a una tasa i2 tenemos que esto
equivaldría a tener a P con una tasa ie equivalente; como sigue:
P (1+ie) = P (1+i1) (1+i2)
(1+ie) = (1+i1) (1+i2); ie = (1+i1) (1+i2) – 1;
ie = 1+i1+ i2 + i1 i2 –1;
ie = i1+ i2 + i1 i2
3.1.2 Tasa de interés real
Cuando existe inflación, la tasa efectiva, no expresa el verdadero rendimiento de una
operación financiera, entonces se convierte en una tasa aparente, pues parte del rendimiento es
consumido por la inflación. La tasa real es la que expresa el poder adquisitivo de la tasa de
interés.
Por lo expuesto anteriormente, las tasas de interés real influyen significativamente en las
economías de mercado, tanto en el ahorro como en los endeudamientos, y en las decisiones de
inversión para poder calcular su rentabilidad.
El economista Irving Fisher, basado en la combinación de tasas, estudió la relación entre la
tasa efectiva aparente (i), la tasa de inflación (d) y la tasa real (r), llegando a obtener la
siguiente fórmula para encontrar la tasa de interés real.
𝑟 =𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 − 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛
1 + 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛∗ 100
𝑟 =𝑖 − 𝑓
1 + 𝑓∗ 100
Fórmula de Irving Fisher (Nota: i, d expresadas en forma decimal, r esta expresada en %
al multiplicar por 100)
75
Cuando la tasa real es positiva r >0 indica que se produce una ganancia;
Cuando la tasa real es negativa r <0 indica que se produce una pérdida;
La Ganancia Real o Pérdida Real está expresada por la multiplicación de la tasa real
por la cantidad invertida C.
GR = C.r
Ejemplo:
Calcular la tasa de interés real que se cobra en un país cuya tasa de interés efectiva es 15% y
la tasa de inflación o variación porcentual del índice de precios al consumidor es 20% ¿
Cuánto gana o pierde una empresa que invierte $ 100.000.000 en 1 año?.
Solución:
𝒓 =𝒊 − 𝒇
𝟏 + 𝒇∗ 𝟏𝟎𝟎 𝒓 =
𝟎. 𝟏𝟓 − 𝟎. 𝟐𝟎
𝟏 + 𝟎. 𝟐𝟎∗ 𝟏𝟎𝟎
𝒓 = −𝟒. 𝟏𝟔𝟔𝟕%
𝑮𝑹 = 𝟏𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 ∗ (−𝟎. 𝟎𝟒𝟏𝟔𝟔𝟕) = −$𝟒. 𝟏𝟔𝟔, 𝟕𝟎
Respuesta.
Pérdida de $ 4.166.70
3.1.3 Tasa mínima aceptable de rendimiento (TMAR)
A esta tasa también se la conoce como TREMA (Tasa de Rentabilidad Mínima Aceptable).
Todo inversionista, sea este una persona natural o jurídica o el estado, tiene en mente obtener
un beneficio al colocar su dinero; en el caso del gobierno si bien no espera lucrar, al menos
espera salir a mano en sus beneficios respecto de sus inversiones, para que no haya un
subsidio en el consumo de bienes o servicios y no aumente el déficit del propio gobierno.
Por lo tanto, cualquier inversionista deberá tener una tasa de referencia sobre la cual basarse
para hacer sus inversiones; esta tasa de referencia es la base de comparación en las
evaluaciones económicas que haga. Si no se obtiene cuando menos esa tasa de rendimiento, se
rechazará la inversión.
76
Para establecer esa tasa debe considerarse que todo inversionista espera que su dinero crezca
en términos reales. Como en todos los países hay inflación, aunque su valor sea pequeño,
crecer en términos reales significa ganar un rendimiento superior a la inflación, ya que si se
gana un rendimiento igual a la inflación el dinero no crece, sino mantiene su poder
adquisitivo.
Entonces, se puede tomar como referencia el índice inflacionario, pero como el inversionista
quiere que su dinero crezca más allá del índice inflacionario, hay otro factor que influye en la
TMAR; que es el premio al riesgo; que en nuestro caso consideraremos al porcentaje de
riesgo país.
La fórmula para el cálculo es la siguiente:
TMAR = Tasa de Inflación + Premio al Riesgo
Y nuevamente aplicando la combinación de tasas tenemos:
TMAR = f + i+ if
Donde:
f= Tasa de inflación;
i= Tasa riesgo país.
Tanto los valores de la inflación como la de riesgo país a una determinada fecha en el Ecuador
la podemos encontrar en la página del Banco Central del Ecuador www.bce.gov.ec, tabla que
se presenta a continuación.
Siendo así tenemos que al 23 de Febrero del 2016:
Si la inflación anual se ubica en el 3.09% en el país y;
El riesgo-país se mide en "puntos básicos" o "basicpoints", siendo 100 puntos básicos
equivalentes a 1% de rentabilidad. Por ejemplo, que el riesgo-país de Ecuador es 1702
puntos básicos, significa que en promedio el rendimiento para el inversor que adquiere
hoy títulos ecuatorianos, debe ser 17,02 puntos porcentuales más alto que el
rendimiento de los títulos de Estados Unidos.
𝑇𝑀𝐴𝑅 = 𝑖 + 𝑓 + 𝑖 ∗ 𝑓
77
𝑇𝑀𝐴𝑅 = 0.1702 + 0.0309 + 0.1702 ∗ 0.0309 = 0.2064
𝑇𝑀𝐴𝑅 = 20.64%
3.1.4 TMAR como Costo de Oportunidad y como Costo de Capital
Costo de Oportunidad: Se refiere al costo (%), que se deja de percibir o que se
sacrifica al invertir en otra opción o proyecto.
Costo de Capital: La TMAR también se le llama Costo de Capital, nombre derivado
del hecho que está compuesto por el costo financiero de sus fuentes de financiamiento a largo
plazo, la deuda, el capital preferente y el capital común, El costo del capital se utiliza
primordialmente, para tomar decisiones de inversión a largo plazo, por lo que dicho costo se
enfoca hacia el empleo en los presupuestos de capital.
Cuando una sola entidad, sea esta una persona natural o jurídica, es la única aportadora
de capital para una empresa el costo de capital equivale al rendimiento que pide esa entidad
por invertir o arriesgar su dinero. Cuando se presenta este caso se le llama Costo de Capital
Simple.
Sin embargo, cuando esa entidad pide un préstamo a cualquier institución financiera
para constituir o completar el capital necesario para la empresa, seguramente la institución
financiera no pedirá el mismo rendimiento al dinero aportado, que el rendimiento pedido a la
aportación de propietarios de la empresa.
Cuando se da el caso de que la constitución de capital de una empresa fue financiada
en parte, se habla de un costo de capital mixto. El cálculo de este costo se presenta en el
siguiente ejemplo.
Ejemplo: M.A.G. requiere $1,250 milles, Los accionistas aportan sólo cuentan con $700
miles. El resto se financiara con préstamos a dos Instituciones financieras. El Banco de Aarón
aportará $300 miles por los que cobrará un interés del 25% anual. Mientras que, la
Cooperativa Pauletty S.A. aportará $250 millones a un Interés de 27.5% anual. Si la TMAR
de los accionistas es de 30%, ¿cuál es el costo de capital o TMAR mixta para esta empresa?
Solución. La TMAR mixta se calcula como un promedio ponderado de todos los aportes de
capital de la empresa.
78
Entidad Aportación
Porcentaje
de
aportación
Rendimiento Promedio
TMAR
Accionistas 700 0,56 30% 0,168
Banco de
Aarón 300 0,24 25% 0,06
Cooperativa
Pauletty S.A. 250 0,2 27,50% 0,055
Suma 1250 1.0 0.283
La TMAR mixta de esta empresa es 28.3%.
Ejemplos
1. Una empresa estima los siguientes flujos de caja durante 6 años de un proyecto X. Si se
considera el costo del capital r = 10% y una inversión inicial de $600.000 (600 en miles de
dólares), en el año cero, calcular el VAN al 10% y la tasa interna de retorno (TIR).
3.2 Valor actual neto (VAN)
También es conocida como valor presente neto (VPN) de un proyecto de inversión y
no es otra cosa que su valor medido en dinero de hoy, o en otras palabras, el equivalente en
unidades monetarias actuales de todos los ingresos y egresos presentes y futuros que
constituyen el proyecto.
El VAN consiste en descontar o trasladar al presente todos los flujos futuros del
proyecto a una tasa de descuento que puede ser (el costo del capital o financiero, el costo de
oportunidad, o la inflación promedio pronosticada), sumarlas todas y restarlas a la inversión
inicial en tiempo cero.
Ahora será explicada más claramente esta definición, si se quiere representar los flujos
netos de efectivo por medio de un diagrama, este podría quedar de la siguiente manera:
Tómese para el estudio un horizonte de tiempo de por ejemplo cinco años. Trácese una línea
horizontal y divídase ésta en cinco partes iguales, que representan cada uno de los años.
79
A la extrema izquierda colóquese el momento en que se origina el proyecto o tiempo
cero. Represéntense los flujos positivos o ganancias actuales del proyecto (empresa) con una
flecha hacia arriba, y los desembolsos o flujos negativos con una flecha hacia bajo de la recta
del proyecto. En éste caso el único desembolso es la inversión inicial en el tiempo cero,
aunque podría darse el caso en que determinado año hubiera una pérdida (en vez de
ganancia), y entonces aparecería en el diagrama de flujo una flecha hacia abajo.
Proyecto
0 1 2 3 4 5 Tiempo
-II FNE1 FNE2 FNE3 FNE4 FNE5 + Vs Valores $.
Cuando se hacen cálculos de pasar, en forma equivalente, dinero del presente al futuro,
se utiliza una “i” de interés o de crecimiento del dinero; pero cuando se quiere pasar
cantidades futuras al presente, como en este caso, se usa una “tasa de descuento”, llamada así
porque descuenta el valor del dinero en el futuro a su equivalente en el presente, y a los flujos
traídos al tiempo cero se les llama flujos descontados.
La definición ya tiene sentido. Sumar los flujos descontados en el presente y restar la
inversión inicial equivale a comparar todas las ganancias esperadas contra todos los
desembolsos necesarios para producir esas ganancias, en términos de su valor equivalente en
este momento o tiempo cero. Es claro que para aceptar un proyecto las ganancias deberán ser
mayores que los desembolsos, lo cual dará por resultado que el VAN sea mayor que cero. Si
para calcular el VAN se utiliza la tasa inflacionaria promedio pronosticada para los próximos
cinco años, las ganancias de la empresa solo servirían para mantener el valor adquisitivo real
que la empresa tenía en el año cero, siempre y cuando de reinviertan todas las ganancias.
El cálculo del VAN para el período de cinco años es:
𝑽𝑨𝑵𝒓% = −𝑰𝑰 +𝑭𝑵𝑬𝟏
(𝟏+𝒓)𝟏+
𝑭𝑵𝑬𝟐
(𝟏+𝒓)𝟐+
𝑭𝑵𝑬𝟑
(𝟏+𝒓)𝟑+
𝑭𝑵𝑬𝟒
(𝟏+𝒓)𝟒+𝑭𝑵𝑬𝟓+𝑽𝒔
(𝟏+𝒓)𝟓
𝑉𝐴𝑁𝑟% = −𝐼𝐼 +∑𝐹𝑁𝐸𝑗
(1 + 𝑟)𝑗
80
Donde: II = Inversion Indicial
FNE = Flujo de efectivo
Vs = Valor de salvamento o rescate al final
de la vida del proyecto
i = Tasa efectiva
Para tomar la decisión de emprender el proyecto con base en los resultados del VAN,
es procedente acoger los lineamientos siguientes.
Si i es la tasa de interés utilizada en el cálculo del VAN (cuando el proyecto se
financia con una participación relevante de créditos bancarios).
VAN > 0 indica que el rendimiento del dinero invertido en el proyecto es mayor que la tasa de
interés i.
VAN = 0 indica que el rendimiento del dinero invertido en el proyecto es exactamente igual a
la tasa de interés i.
VAN < 0 indica que el rendimiento del dinero invertido en el proyecto es menor que la tasa de
interés i.
Si la tasa de interés (costo de oportunidad o costo del capital) empleada en el cálculo
del VAN (cuando el proyecto tiene una participación mayoritaria de recursos propios y por
tanto i interpreta el promedio de rendimiento que arroja el tipo de negocios en el que el
inversionista espera participar. Para una empresa en marcha, que quiere ampliar operaciones, i
debe consultar como mínimo el rendimiento actual sobre la inversión):
Cuando VAN > 0, (aumentará el capital de la empresa, por lo tanto el proyecto es
aceptable), el proyecto es atractivo.
Cuando VAN = 0, ( no aumentará ni disminuirá el capital de la empresa, por lo tanto el
proyecto es indiferente. Si el proyecto se lleva a cabo, es porque se han
priorizado otros aspectos), el proyecto es indiferente, tiene opciones.
81
Cuando VAN < 0, (disminuirá el capital de la empresa, por lo tanto es inaceptable), el
proyecto es inconveniente.
Ventajas del VAN:
Analiza todos los flujos netos de caja, como así también sus vencimientos, al
corresponder a distintas épocas se los debe homogeneizar, trayéndolos a un mismo momento
del tiempo.
Desventajas:
1. La dificultad para determinar la tasa del costo de capital
2. El VAN mide la rentabilidad en valor absoluto, ya que depende de la inversión inicial;
por lo tanto si se deben comparar proyectos con distinta inversión inicial se debe
relativizar el VAN, a fin de obtenerlo por cada unidad de capital invertido
3. El VAN depende del horizonte económico de la inversión; por lo tanto si se deben
comparar proyectos con distinta duración, se debe relativar el VAN a fin de obtenerlo
para cada año;
4. La mayor dificultad es el supuesto de que los flujos netos de caja positivos son
reinvertidos a la tasa de costo de capital, y que los flujos netos de caja negativos son
financiados con la misma tasa.
AÑO 0 1 2 3 4 5 6
Inversión Inicial 600
Ventas 500 500 500 500 500 500
Costo de Op. 350 350 350 350 350 350
- Depreciación 100 100 100 100 100 100
Utilidad sin
impuestos 50 50 50 50 50 50
FLUJO NETO
DE CAJA -600 150 150 150 150 150 150
𝑽𝑨𝑵𝒓% = −𝑰𝑰 +𝟏𝟓𝟎
(𝟏 + 𝒓)𝟏+
𝟏𝟓𝟎
(𝟏 + 𝒓)𝟐+
𝟏𝟓𝟎
(𝟏 + 𝒓)𝟑+
𝟏𝟓𝟎
(𝟏 + 𝒓)𝟒+
𝟏𝟓𝟎
(𝟏 + 𝒓)𝟓+
𝟏𝟓𝟎
(𝟏 + 𝒓)𝟔
𝑉𝐴𝑁𝑟% = −𝐼𝐼 +∑𝐹𝑁𝐸𝑗
(1 + 𝑟)𝑗
82
AÑO 0 1 2 3 4 5 6
Inversión Inicial 600
Ventas 500 500 500 500 500 500
- Costo de Op. 350 350 350 350 350 350
- Depreciación 100 100 100 100 100 100
Utilidad sin
impuestos 50 50 50 50 50 50
FLUJO NETO
DE CAJA 600 150 150 150 150 150 150
VAN(r=10%) -600,00 136,36 123,97 112,70 102,45 93,14 84,67
53,29
𝑉𝐴𝑁 = 53.29
VAN10% > 0 entonces es conveniente efectuar la inversión en el proyecto
3.3 Tasa interna de retorno (TIR)
La TIR corresponde a la tasa de interés generada por los capitales que permanecen
invertidos en el proyecto y puede considerarse como la tasa que origina un valor presente neto
igual a cero, en cuyo caso representa la tasa que iguala los valores presentes de los flujos
netos de ingresos y egresos. La TIR es una característica propia del proyecto, totalmente
independiente de la situación del inversionista, es decir, de su tasa de interés de TMAR (costo
de oportunidad Co o del costo de capital Cc representada por i, entonces TMAR = i).
En el gráfico se observa que el VAN es una función decreciente convexa que corta al
eje x (o de las ordenadas) en el punto donde su costo es igual a la tasa de rentabilidad TIR.
Adicionalmente la gráfica muestra un resumen para la toma de decisiones en el VAN o (VPN)
y la TIR:
Figura: Toma de Decisiones con el VAN (VPN) y la TIR
83
El criterio para aceptación utilizando la TIR es:
TIR >Cc: El rendimiento supera al costo de capital invertido, por lo tanto el proyecto es
rentable. La inversión aporta dinero para solventar el proyecto y además
suministra al empresario una utilidad, por lo tanto el proyecto es rentable.
TIR <Cc: El rendimiento no alcanza a cubrir el costo del capital invertido, por lo tanto el
proyecto no es rentable.
TIR = Cc: Se cubre exactamente el capital invertido, por lo tanto el proyecto es indiferente.
Ventajas:
1. Considera todos los flujos netos de caja, así como su oportunidad; al corresponder a
distintas épocas se deben medir en un mismo momento del tiempo;
2. La TIR mide la rentabilidad en términos relativos, por unidad de capital invertido y
por unidad de tiempo.
Desventajas:
La inconsistencia de la tasa: cuando los FNC son todos positivos, las inversiones se
denominan simples y existe una única TIR. Si existen algunos flujos negativos, las
inversiones se denominan "no simples" y puede existir más de una TIR. O sea que la TIR es
inconsistente.
Para el cálculo de la TIR se utiliza la interpolación tomando como punto de referencia
inicial el costo del capital para posteriormente ir analizando cómo se comporta el VAN al
subir puntos a ésta tasa o bajar a la misma. Con esto lo que se quiere es tener dos tasas que
84
generen VAN lo más cercanos a cero, siendo el uno positivo y el otro VAN negativo.
TIR = r1 +r2 − r1
VAN1 − VAN2VAN1
Utilizamos la interpolación lineal, conociendo que para interpolar:
1. La TIR genera un valor de VAN = 0, y que este valor es el de referencia para
interpolar por lo que requiero adicionalmente dos valores de VAN uno + y otro –
2. Que un valor actual es inversamente proporcional a la tasa es decir que si sube la tasa
baja el VAN y viceversa.
y(TIR) 0,12 0,14 0,13
y(VAN) 16,71 -16,70 -0,37
(16,71 , 0,12) (−0,37 , 0,13)
𝑦 = 𝑦1 +𝑦2 − 𝑦1𝑥2 − 𝑥1
(𝑥 − 𝑥1)
𝑦(𝑇𝐼𝑅) = 0.12 +0,13 − 0,12
−0,37 − 16,71(0 − 16,71) 𝑇𝐼𝑅 = 12.98%
TIR = r1 +r2 − r1
VAN1 − VAN2VAN1
TIR = 0.12 +0,13 − 0,12
16,71 − (−0.37)∗ 16.71 TIR = 12,98%
3.4 Índice de rentabilidad IR
Se refiere al cociente entre el valor de los flujos de fondos actualizados y la inversión
inicial efectuada. Esta es una medida relativa, que indica cuanto genera el proyecto por unidad
monetaria invertida; es decir mide la repercusión económica del proyecto a través de la
rentabilidad.
𝐼𝑅 =∑𝐹𝑁𝐸𝑗𝐼𝐼
𝐼𝑅 =653,29
600= 1.09
85
3.5 Payback descontado
Es el tiempo en que se recupera la inversión inicial, existen dos clases:
Payback Contable: se recupera la inversión inicial en 4 años esto es (150 x 4 = 600).
Payback Descontado: para recuperar la inversión inicial se suma los flujos descontados y el
último, por regla de tres simple determinar el tiempo que toma para alcanzar la suma
invertida.
En el ejemplo tenemos:
(136,36+123,97+112,70+ 102,45+93,14=568,62, si se suma el año 6 (84,67) se sobrepasa los
600, entonces se determina la diferencia hasta llegar a los 600 que da -31,38 y establece la
regla de tres simple:
84,67 en 12 meses
31,38 x x = 4,45 meses
Por lo tanto el Periodo de Recuperación Descontado es de 5 años 4,45 meses
3.6 Relación Beneficio-Costo (B/C)
Es un método complementario, utilizado para evaluar, las inversiones en proyectos de
desarrollo económico de las comunidades, que realiza el gobierno central, los gobiernos
provinciales o locales para lo cual generalmente utiliza una tasa más baja denominada “Tasa
Social”. Además en el campo de los negocios se usa para ver la factibilidad de los proyectos
en base la relación de los beneficios y los costos asociados al proyecto.
La relación beneficio / costo es un indicador que mide el grado de desarrollo y
bienestar que un proyecto puede generar a una comunidad.
Cuando los proyectos reciben financiamiento de entidades crediticias internacionales,
una exigencia es que los proyectos sean evaluados con esta razón.
La relación Beneficio/Costo se obtiene al dividir el valor actual de la corriente de
beneficios para el valor actual de la corriente de costos.
86
B/C = (Valor Actual Ingresos) / (Valor Actual Egresos)
Los valores que puede tomar esta relación tienen un significado:
B/C > 1 Significa que los ingresos son mayores que los egresos, y consecuentemente
el proyecto es aconsejable.
B/C = 1 Los ingresos son iguales a los egresos, entonces el proyecto es indiferente
B/C < 1 El proyecto no es aconsejable.
Ejemplo:
Para comunicar dos poblaciones, se ha previsto la construcción de una carretera
alterna por un costo de $25.000.000, la misma generará ahorros en combustible a los
vehículos por $1.500.000 anuales, por otra parte aumentará el turismo a esa región estimando
el aumento de utilidades en los hoteles, restaurantes y otros en $7.000.000 al año. Sin
embargo los agricultores estiman niveles de pérdidas en la producción proyectada de
$1.300.000 anuales. Considerando una tasa del 25%, Determine si es factible el proyecto.
Calculamos los ingresos y egresos esperados: 1.500.000+7.000.000-1.300.000 =
7.200.000
Utilizando la fórmula de una perpetuidad actualizamos el valor al periodo cero:
A = 7.200.000/0.25 = $28.800.000
La inversión en el periodo cero es: $25.000.000
Entonces la relación B/C = 28.000.000 / 25.000.000 = 1,15
Como la relación Beneficio – Costo es mayor que 1, el proyecto es aconsejable.
Si el resultado es mayor que 1, significa que los ingresos netos son superiores a los
egresos netos. En otras palabras, los beneficios (ingresos) son mayores a los sacrificios
(egresos) y, en consecuencia, el proyecto generará riqueza a la comunidad. Si el proyecto
genera riqueza con seguridad traerá consigo un beneficio social.
87
2. Neplo Cía. Ltda. Proporciona los siguientes datos para analizar si su inversión es rentable:
Inversión = $400.000 Ingreso anual promedio = $300.000 Costo anual de operación = $ 75.000 Depreciación anual = $ 6.000
Calcule su valor actual neto y la TIR, si se espera recuperar la operación en 5 años y se
considera como costo de oportunidad el 8% a.c.t. En el año 4 existe un ingreso adicional
de $80.000
𝑖 =8%
4= 2% 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
(1 + 0.02)4 = (1 + 𝑖)1 𝑖 = 8.24% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙
AÑOS 0 1 2 3 4 5
INGRESO ANUAL 400 300 300 300 380 300
COSTO DE
OPERACIÓN 75 75 75 75 75
DEPRECIACION 6 6 6 6 6
FLUJO DE CAJA 225 225 225 305 225
VAN
-400,00 207,87 192,05 177,43 222,20 151,44
550,99
y(i) 0,4 0,42 0,48 0,5 0,51 0,52
VAN (x) 78,74 62,6 19,41 6,54 0,37 -5,65
TIR 51,06%
Considere una tasa de impuestos del 22%, calcule su valor actual neto y la TIR con los
flujos después de impuestos manteniendo el mismo costo de oportunidad
AÑOS 0 1 2 3 4 5
INGRESO ANUAL 400 300 300 300 380 300
COSTO DE
OPERACIÓN 75 75 75 75 75
DEPRECIACION 6 6 6 6 6
UTILIDAD 219 219 219 299 219
IMPUESTO (22%) 48,18 48,18 48,18 65,78 48,18
UTILIDAD DESPUES
DE IMPUESTOS 170,82 170,82 170,82 233,22 170,82
FLUJO DE CAJA -400,00 176,82 176,82 176,82 239,22 176,82
VAN
163,36 150,92 139,43 174,28 119,01
183,65
y(i) 0,15 0,17 0,2 0,21 0,22
VAN (x) 74,65 47,88 11,54 0,35 -10,42
TIR 21,03%
88
UNIDAD IV
4. DOCUMENTOS FINANCIEROS Y BONOS
En el campo de los grandes capitales requeridos para financiar las instalaciones
industriales modernas o las grandes obras productivas que emprenden corporaciones o los
gobiernos, no es posible obtener el dinero necesario en préstamo proveniente de una sola
compañía; por lo que es necesario recurrir a las inversiones de varias personas. Para agilizar
estas inversiones se ha creado una forma de obligación que constituye un instrumento de
crédito llamado bono.
En los últimos años, la banca privada, la banca nacional y las corporaciones
financieras han creado y puesto en circulación varias clases de obligaciones comerciales,
como cédulas y certificados a término fijo. Estos documentos hacen más atractivas las
inversiones, puesto que ofrecen mejor rentabilidad que las tradicionales cuentas de ahorro.
Por otra parte, con el objeto de incentivar las exportaciones no tradicionales, algunos
gobiernos en vías de desarrollo han creado diversos tipos de certificados y bonos que tienden
a aumentar la utilidad percibida por los exportadores.
DEFINICIONES:
4.1 Bono
1. Un bono es un documento a largo plazo emitido por una corporación o entidad
gubernamental con el fin de financiar proyectos importantes. En esencia, el prestatario
89
recibe dinero ahora a cambio de una promesa de pagar después, con interés pagado entre
el momento en que el dinero se prestó y el momento en que es reembolsado. Con
frecuencias, la tasa de interés de los bonos recibe el nombre de cupón.
2. Es una obligación o documento de crédito, emitido por un gobierno o entidad particular, a
un plazo perfectamente determinado, que devenga intereses pagaderos en períodos
regulares.
Las leyes de cada país regulan las relaciones entre entidades emisoras y las personas
propietarias o tenedoras de los bonos. Los bonos que pueden transferirse libremente y
cambiar de dueño por la simple venta se denominan bonos no registrados y se emiten al
portador. En caso que los bonos sean registrados, solo pueden transferirse mediante endoso
y con consentimiento del emisor.
Bono cupón cero no paga intereses periódicos, de manera que la tasa del cupón es cero.
Debido a ello, éstos se venden con frecuencia con descuentos mayores del 75% de su valor
nominal, de modo que su producto hasta el vencimiento sea suficiente para traer a los
inversionistas.
4.1 Pago de intereses:
En la mayoría de bonos, los pagos de interés se los hace contra la presentación de
cupones; éstos cupones están impresos en serie y ligados a la misma obligación y cada uno
tiene impresa su fecha de pago. Tanto los cupones como el bono mismo son pagarés
negociables; en el caso de bonos registrados, tanto en el principal como en los intereses, los
cupones no son necesarios ya que los intereses se pagan directamente, a la persona registrada
como tenedor del bono.
4.1.2 Valor nominal:
Es aquel valor que se encuentra escrito o impreso en el bono al momento de la
emisión, hace referencia a su denominación el principal o capital que se señala en el bono es
el valor nominal, en general una denominación par que empieza en $100 y más utilizados son
de $100, 500, 1.000, 10.000 y 50.000.
El valor nominal representa la suma global que será pagada al tenedor del bono a la
fecha de vencimiento.
90
Con frecuencia, un bono se compra con descuento (menor que el valor nominal) o con
una prima (mayor que el valor nominal), pero solamente el valor nominal, no el precio de
compra, se utiliza para calcular el monto del interés del bono.
El monto del interés I pagado por período con anterioridad a la fecha de vencimiento
del bono se determina multiplicando el valor nominal del bono por su tasa de interés por
período, de la siguiente manera:
A = F (valor nominal ). r’ ( tasa nominal de interés del bono )
m (Número de períodos de pago al año.)
Ejemplo:
Determine cuál será el monto de interés que recibirá por período si compra un bono de $5.000
al 6 %, el cual vence dentro de 10 años con intereses pagaderos cada trimestre.
Solución:
𝐴 =5.000(0,06)
4= $75
En consecuencia, usted recibirá intereses de $ 75 cada trimestre adicional a la suma global de
$ 5.000 al término de 10 años.
4.1.3 Valor de redención
Es el valor que recibe el tenedor del bono, por lo general el valor de redención es igual
al valor nominal, en este caso se dice que el bono es redimible a la par. De otra forma, el valor
de redención se expresa como un porcentaje del valor nominal omitiéndose la palabra por
ciento. Por ejemplo, Un bono de $ 1.000 redimible en $ 1.050 se expresa como “un bono de
$1.000 redimible a 105”.
El reintegro del principal se efectúa en una fecha de vencimiento estipulada pero, en
algunos casos, se deja al prestatario la opción de reintegrar el valor, antes del vencimiento.
Normalmente se redime un bono en una fecha de pago de intereses.
91
4.1.4 Maduración
La maduración de un bono se refiere a la fecha en la cual el capital o principal será pagado.
La maduración de los bonos maneja un rango entre un día a treinta años.
Los rangos de maduración a menudo son descritos de la siguiente manera:
1. Corto plazo: maduración hasta los cinco años.
2. Plazo intermedio: maduración desde los cinco años hasta los doce años.
3. Largo plazo: maduración de doce años en adelante.
4.2 Precio de los bonos
El precio de los bonos en el mercado de valores se fija por acuerdo entre el comprador
y el vendedor; este valor depende básicamente de los siguientes factores: (1) tasa de interés e
intervalo de los cupones; (2) tasa de interés local para las inversiones; (3) tiempo que debe
transcurrir hasta el vencimiento; (4) precio de redención; (5) las condiciones económicas
imperantes; (6) confiabilidad en las garantías del emisor. Los bonos pueden venderse a la par,
con premio, o con descuento (castigo), según el precio de venta sea igual, mayor o menor al
valor nominal.
4.3 tasa interna de retorno (TIR O RENTABILIDAD)
Para el cálculo de la tasa interna de retorno del dinero invertido en bonos, el
inversionista debe tener en cuenta tanto el valor de los cupones como el valor de redención
del bono. Un bono comprado con descuento irá aumentando gradualmente su valor, hasta
igualar el valor de redención en la fecha de vencimiento y esto agrega un beneficio al valor de
los cupones. En caso de que los bonos se compren con premio se produce una disminución
paulatina del precio de compra que debe restarse del valor de los cupones, a fin de calcular el
rendimiento.
YIELD:
La tasa yield es la tasa de retorno que se obtiene del bono basado en el precio que se pagó y el
pago de intereses que se reciben. Hay básicamente dos tipos de yield para los bonos: yield
ordinario y yield de maduración.
El yield ordinario es el retorno anual del dinero pagado por el bono y se obtiene de
dividir el pago de los intereses del bono y su precio de compra. Si por ejemplo compró un
92
bono en $ 1.000 y los intereses son del 8 % ($ 80), el yield ordinario será de 8 % ( $ 80 / $
1.000); veamos otro ejemplo, si compró un bono a $ 900 y la tasa de interés es del 8 % ( $ 80)
entonces el yield ordinario será de 8,89 % ($ 80/$900).
El yield de la maduración, que es más significativo, es el retorno total que se obtiene
por tener el bono hasta su maduración. Permite comparar bonos con diferentes cupones y
maduraciones e iguala todos los intereses que se reciben desde la compra más las ganancias o
pérdidas.
4.4 Precio del bono a una fecha de pago de intereses o cupón
Si un inversionista compra un bono en una fecha de pago de intereses adquiere el
derecho a recibir el pago futuro de los intereses en cada período de pago y el valor de
redención del bono, en la fecha de vencimiento. No recibirá el pago de interés vencido en la
fecha de compra. El valor actual del bono debe ser equivalente a la suma de los valores
actuales de los derechos o flujos que compra, o sea:
Valor presente de los bonos = valor presente de los intereses + valor actual del principal
Nomenclatura:
C = precio de redención del bono
P = precio de compra para obtener un rendimiento i.
F = valor nominal ( o la par del bono )
r = tasa de interés por período de pago del cupón
n = número de períodos de intereses (o número de cupones), hasta la fecha de
vencimiento
i = tasa de interés sobre la inversión por período de cupón (rentabilidad o tasa interna de
retorno TIR).
Se designa A al valor de los intereses que paga el bono en cada fecha de pago (cupón)
A = Fr. Los pagos A forman una anualidad vencida y su valor presente P al sumar al valor
anterior el valor presente de C a la tasa i%, se tiene:
𝑃 = 𝐴1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖+ 𝐶(1 + 𝑖)−𝑛
93
Finalmente luego de algunos reemplazos y transformaciones la fórmula queda:
𝑃 = 𝐶 + (𝐹𝑟 − 𝐶𝑖)1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖
Ejemplo:
Un bono de $1.000, 3,5 %, FA (febrero-agosto), es redimible a 105 el primero de febrero del
2005. Hallar el precio de compra el 1 de febrero de 1985, que reditúe 5% anual convertible
semestralmente.
F = 1000, C = 1050, r = 0,035/2, i = 0,05/2, n = 40.
P = 1050 + (1000*0,0175 – 1050 . 0,025) 1 – (1+0,025)-40
0,025
P = 830,35
4.5 Valor en libros de un bono
Es denominado también valor contable o estimado del bono. Representa la cantidad
invertida en el bono en cualquier fecha o momento, desde la fecha de compra hasta la fecha
de redención. El valor en libros de los bonos comprados con premio o con descuento varía su
valor hasta igualar al de redención, en la fecha de vencimiento. Los, con el transcurso del
tiempo. El cambio de valor durante la vida del bono se observa con claridad al construir una
tabla de inversión.
Ejemplo:
Un bono de $10.000 al 12% redimible a la par en 6 meses. La tasa se la inversión es 1,25%
mensual; elabore la tabla que permita observar el valor en libros del bono.
F = 10.000, C = 10.000, r = 0,12/12 = 0.01 mensual, i = 0.0125 mensual, n = 6 meses
P = ?
P = 10.000 + (10.000 . 0,01 – 10.000 . 0,0125) 1 – (1+0,0125)-6
0,0125
P = $9.856,35
94
Periodo Valor en
libros al
inicio del
periodo (1)
Intereses
sobre la
inversión (2)
Intereses del
bono
Variación
del valor en
libros (3)
Valor en
libros al
final del
periodo (4)
1 9.856,35 123,20 100,00 23,20 9.879,55
2 9.879,55 123,49 100,00 23,49 9.903,04
3 9.903,04 123,79 100,00 23,79 9.926,83
4 9.926,83 124,09 100,00 24,09 9.950,92
5 9.950,92 124,39 100,00 24,39 9.975,31
6 9.975,31 124,69 100,00 24,69 10.000,00
Totales 743,65 600,00 143,65
Claves:
(1) En el primer mes o periodo, es el precio de compra, y a partir del segundo
periodo es el valor en libros al final del periodo anterior.
(2) Se obtiene al multiplicar el valor en libros al inicio del periodo por la tasa de
inversión (i) periódica.
(3) Resulta al restar los intereses del bono de los intereses sobre la inversión. Si el
bono es comprado con descuento es positivo; mientras que si es comprado con
premio es negativo.
(4) Es la suma del valor en libros al inicio del periodo más la variación del valor
en libros.
Ejemplo:
Un bono de $1.000 al 8% convertible semestralmente, redimible a la par dentro de tres años,
es adquirido por un inversionista, para obtener una TIR del 6%. Elabore la tabla de inversión
del bono.
C = 1.000, F = 1.000, r = 0,08/2, i = 0,06/2, n = 3 (2) = 6
P = 1.000 + (1.000 . 0,04 – 1.000 . 0,03) 1 – (1+0,03)-6
0,03
P = $1.054,17
95
Periodo Valor en
libros al
inicio del
periodo
Intereses
sobre la
inversión
Intereses del
bono
Variación
del valor en
libros
Valor en
libros al
final del
periodo
1 1.054,17 31,63 40,0 -8,37 1.045,80
2 1.045,80 31,37 40,0 -8,63 1.037,17
3 1.037,17 31,12 40,0 -8,88 1.028,29
4 1.028,29 30,85 40,0 -9,15 1.019,14
5 1.019,14 30,57 40,0 -9,43 1.009,71
6 1.009,71 30,29 40,0 -9,71 1.000,00
Totales 185,83 240,0 -54,17
En este caso, el bono fue comprado con premio y, puesto que su valor de redención es menor
que el de compra, es necesario amortizar la diferencia. En caso de que el bono se adquiera
con descuento, el inversionista registra una utilidad mayor que los intereses pagados por el
bono, cantidad igual al aumento de valor que en cada periodo registra el bono.
Precio del bono comprado entre fecha de pago de intereses o cupón
Cuando se compra un bono entre dos fechas de cupones, el precio comprende el valor
principal del bono, cantidad que corresponde al valor presente de su precio de redención, más
el valor de los cupones no vencidos, además del ajuste acordado entre el comprador y el
vendedor, en cuanto al cupón del periodo en que se haga la transacción, ya que este pertenece
en parte al comprador y en parte al vendedor. Para designar el precio de un bono, sin el valor
acumulado del cupón, se utiliza la expresión “precio con interés”, en tanto que para expresar
el precio incluido el valor acumulado del cupón, se dice precio efectivo o precio flat. Los
corredores de bolsa, en cada país usan valores distintos para referirse al precio con interés y al
precio efectivo.
96
Cálculo del precio con interés:
Fije en un diagrama los valores P0 y P1 en dos fechas sucesivas de pago de intereses, y sea
P el precio del bono, después de transcurrida la fracción de tiempo k, con relación al
periodo de pago de cupones.
La diferencia P – P0 es una variación que es proporcional al tiempo transcurrido.
O sea :
P – P0 = P1 – P0
k 1
de donde, P = P0 + k (P1 – P0)
Ejemplo:
Un bono de $100, con fechas de cupón 1 de mayo y 1 de noviembre (MN), se negocia el
2 de agosto. Calcular el precio con interés, si en el mismo año se tiene:
Precio en 1 de mayo = $96,30 P0
Precio en 1 de noviembre = $96,66 P1
k = días transcurridos entre el 1 de mayo y el 2 de agosto son 91 días (si considera
meses de 30 días) de donde k = 91/180, al sustituir los valores, se tiene:
P = 96,30 + 91 (96,66 – 96,30) = $96,46
180
0 k 1
P0 P P1
Cálculo del precio efectivo por el método exacto o de interés compuesto:
En el diagrama anterior, P0 es el precio del bono en la fecha de cupón, inmediatamente
anterior la fecha de transacción, P el precio en la fecha y P1 el precio del bono, en la fecha
siguiente; sean i la tasa de interés sobre la inversión y k la fracción de periodo medida a
97
partir de la fecha 0. Al plantear una ecuación de equivalencia para la fecha de transacción,
se tiene que P es el valor futuro acumulado de P0 .
Pe = P0 (1 + i)k
Para el valor de la fracción de k, se acostumbra usar el año de 360 días, con meses de 30
días c/u.
Ejemplo:
Hallar el precio el 15 de mayo de 1996 de un bono de $1.000 MS, a un interés del 6%
convertible semestralmente, redimible a la par el 1 de septiembre del 2021, si se desea una
TIR del 8%, convertible semestralmente.
C = 1.000; F = 1.000; r =3%; i = 4%
Para el cálculo del número de cupones
Bono MS (Marzo –Septiembre) entonces se paga cada semestre
Redime el 1 de Septiembre
Entonces:
MS de marzo a septiembre pasa un semestre
Por lo tanto hay que sumar un semestre al número de años por el número de cupones al
año, si se redime en marzo no se debe sumar el semestre adicional.
2021-1996 = 25 x 2 + 1 = 51
n = 51
La fecha de pago inmediatamente anterior a la venta 1 de marzo de 1996 lo que da 75 días
hasta la fecha de negociación y los intereses que puede cobrar el comprador son por 180 –
75 = 105 días.
P0 = 1.000 + (1.000(0,03) – 1.000(0,04) 1 – (1+0,04)-51
0,04
P0 = 783,83
Para
98
Pe = P0 (1+i)k ; se tiene i = 0,04; k = 105/180 = 7/12;
Pe = 783,83 (1 + 0,04)7/12 = 801,97
Cálculo aproximado del precio efectivo a de interés simple:
En la práctica y que es de uso más frecuente este método. Para calcular el valor del bono
en esas fechas, se realiza el siguiente procedimiento:
a) Se halla el valor del bono en la última fecha de pago de intereses, inmediatamente antes
de la fecha de compra venta.
b) Se calcula el monto a interés simple del valor encontrado en a) considerando el tiempo
exacto transcurrido entre la última fecha de pago de intereses y la de negociación 75
días en el caso del ejemplo anterior.
NOTA: como procedimiento alternativo, se considera el número de días comprendido
entre la fecha de negociación y la futura fecha de pago de intereses, y si aplicamos al
ejercicio anterior tendríamos:
P = P0 (1+i)k ; se tiene i = 0,04; k = 105/180 = 7/12;
P = 783,83 (1 + 0,04)7/12 = 801,97
Pe = P0 (1+ki)
Pe = 783,83 (1+0,04(7/12)) = 802,12
“Al aplicar interés simple a las fracciones de periodos se obtiene valores más altos”
Pe = P0 (1+ki); se tiene i = 0,04; k = 75/180 = 5/12;
Pe = 783,83 (1 + (5/12)0,04) = 796,89
El precio del bono es $796,89, se lo llama “bono sucio”.
INTERÉS REDITUABLE DE UN BONO IR
Es la parte fraccionaria del pago de intereses en una fecha diferente a la de pago del
cupón. Se obtiene dividiendo el número de días contados desde la última fecha de pago de
99
un cupón hasta la fecha de compra, entre el número de días del periodo de capitalización
de intereses y multiplicando por los intereses del periodo completo.
El interés redituable se utiliza para obtener el denominado “bono limpio”.
En el ejemplo anterior:
Con Interés Simple.
P0 = 783,83; Pe = 796,89 k = 75/180
Intereses o cupón = 1.000 (0.06/2) = 30
IR = Cupón x k = 30 (75/180) = 12,5
Precio del bono limpio = 796,89 – 12,5 = 784,39
y es el valor en libros al 15 de mayo.
Con Interés Compuesto.
P0 = 783,83; Pe = 801.97 k = 105/180
Intereses o cupón = 1.000 (0.06/2) = 30
IR = Cupón x k = 30 (105/180) = 17,5
Precio del bono limpio = 801,97 – 17,5 = 784,47
y es el valor en libros al 15 de mayo.
Prácticamente por los dos métodos el valor del bono limpio es el mismo, es muy poca la
diferencia existente.
RESUMEN DE FÓRMULAS PARA CALCULAR EL PRECIO CUANDO SE
REALIZA UNA NEGOCIACIÓN ENTRE FECHA DE PAGO DE CUPONES.
n = Número de cupones; F = Valor Nominal; r = tasa de interés del cupón
FPC1 Y FPC2 = Fechas de pago de cupón
FN= Fecha de negociación
PPC = Periodo de pago de cupón = Tiempo entre fechas de pago de cupón = T1 + T2
T1 = Número de días entre FPC1y FN
T2 = Número de días entre FPC2y FN
K = Factor de proporcionalidad de pago de cupón.
100
Kis = T1/PPC; Kic = T2/PPC; Kisa = T2/PPC
Gráfico de un Cupón:
T1 T2
FPC1 FN FPC2
Método Interés Simple Método Interés
Compuesto
Método Interés Simple
Alternativo
P o= C + (Fr-Ci) . 1 – (1+i)-n
i
P o= C + (Fr-Ci) . 1 – (1+i)-n
i
P o= C + (Fr-Ci) . 1 – (1+i)-n
i
Kis = T1/PPC Kic = T2/PPC Kisa = T2/PPC
Cálculo del precio del bono
sucio
Cálculo del precio del bono
sucio
Cálculo del precio del bono
sucio
Pe = Po(1+i Kis) Pe = Po(1+i)Kic Pe = Po(1+i Kisa)
Cálculo del Interés
Redituable
Cálculo del Interés
Redituable
Cálculo del Interés
Redituable
IR = F r Kis IR = F r Kic IR = F r Kisa
Cálculo del precio del bono
limpio
Cálculo del precio del bono
limpio
Cálculo del precio del bono
limpio
PBL= Pe - IR PBL= Pe – IR PBL= Pe - IR
En los tres métodos determinar el tipo de negociación.
RENDIMIENTO DE LAS INVERSIONES EN BONOS
Calcular el rendimiento TIR que obtendrán al comprar bonos en el mercado de
valores, es un problema común que se presenta a los inversionistas par determinar su
capital. Este problema no puede resolverse por métodos directos por lo que hay varios
métodos que dan soluciones bastante aproximadas, en nuestro caso veremos únicamente:
Cálculo de la TIR por el método de interpolación:
Este método requiere hallar dos tasas de interés, que correspondan a un
precio menor y uno mayor que el precio de compra. Después de calcular primero una tasa
101
aproximada, se procede a determinar los precios de compra para una tasa inferior y otra
superior, para posteriormente interpolar entre estos dos precios.
Ejemplo:
Hallar la TIR de un bono de $1.000 al 18%, con cupones trimestrales, redimibles a la par
dentro de 5 años si se cotizan a 92. Se supone en fecha de cupón.
“Los precios de los bonos en el mercado de valores se cotizan tomando como base 100,
suponiendo que 100 es el valor a la par. Así, un bono redimible a la par y cotizado a 94
significa que se ofrece por $940”
P = 920; F = C = 1.000; Fr = 1.000(0.18/4) = 45; n = 5(4) = 20 trimestres
P = C + (Fr-Ci) . 1 – (1+i)-n
i
920 = 1000 + (45 – 1000 . i) 1 – (1 + i)-20
i
Aplicando el método de interpolación:
X = 920 que es el valor de referencia
f(i) = 1000 + (45 – 1000 . i) 1 – (1 + i)-20
i
Mediante la aplicación de las tasas 5,5% y 5,1% trimestral tenemos:
P = 880,50 si i = 5,5%
P = 925,86 si i = 5,1%
Por lo tanto tenemos P1(880,50; 0,055), P2(925,86; 0,051) y P(920, Y) y aplico la formula de
interpolación lineal
Y = Y1 + (X – X1) (Y2 – Y1)/(X2 - X1)
Y = 0,055 + (920 - 880,50) (0,051 – 0,055)/(925,86 – 880,50)
Y = 0,0515168 trimestral = 5,152% trimestral
102
(1+i) = (1+j/m)m
(1,051568) 4 - 1= 1,2228 -1
Tasa efectiva anual = 22,28 %
Nota: “Aquí se presenta el método de interpolación a través de proporciones
Aplicando las tasas 5,5% y 5,1% trimestral en (a) tenemos:
P = 880,50 si i = 5,5%
P = 925,86 si i = 5,1% Se interpola entre estos dos valores:
925,86 0,051 925,86 0,051
880,50 0,055 920,00 X
45,36 es a - 0,004 5,86 es a 0,051 - X
45,36 = 5,86 .
0,004 0,051-X
0,051 – X = 0,004(5,86) = - 0,0515168
45,36
X = 0,0515168 trimestral= 5,152% trimestral
Cuanto más cercanas sean las tasas entre las cuales se interpola, más fina será la
aproximación.
Ejercicios complementarios
1. Determine cuál será el monto de interés que recibirá por período si compra un bono de
$5.000 al 6 %, el cual vence dentro de 10 años con intereses pagaderos cada trimestre.
Solución:
A = 5.000 ( 0,06 ) = $ 75
4
103
En consecuencia, usted recibirá intereses de $ 75 cada trimestre adicionales a la
suma global de $ 5.000 al término de 10 años.
2. Un bono de $1.000, 3,5 %, FA (febrero-agosto), es redimible a 105 el primero de febrero
del 2005. Hallar el precio de compra el 1 de febrero de 1985, que reditúe 5% anual
convertible semestralmente.
Solución:
F = 1000, C = 1050, r = 0,035/2, i = 0,05/2, n = 40.
Reemplazo en la fórmula
P = 1050 + (1000 . 0,0175 – 1050 . 0,025) 1 – (1+0,025)-40
0,025
P = 830,35
3. Un bono de $1.000 al 8% convertible semestralmente, redimible a la par dentro de tres
años, es adquirido por un inversionista, para obtener una TIR del 6%. Elabore la tabla de
inversión del bono.
Solución:
C = 1.000, F = 1.000, r = 0,08/2, i = 0,06/2, n = 3 (2) = 6
P = 1.000 + (1.000 . 0,04 – 1.000 . 0,03) 1 – (1+0,03)-6
0,03
P = $1.054,17
Periodo Valor en
libros al inicio
del periodo
Intereses
sobre la
inversión
Intereses
del bono
Variaciones
del valor en
libros
Valor en
libros al final
del periodo
1 1.054,17 31,63 40,0 8,37 1.045,80
2 1.045,80 31,37 40,0 8,63 1.037,17
104
3 1.037,17 31,12 40,0 8,88 1.028,29
4 1.028,29 30,85 40,0 9,15 1.019,14
5 1.019,14 30,57 40,0 9,43 1.009,71
6 1.009,71 30,29 40,0 9,71 1.000,00
Totales
185,83 240,0 54,17
En este caso, el bono fue comprado con premio y, puesto que su valor de redención es
menor que el de compra, es necesario amortizar la diferencia. En caso de que el bono se
adquiera con descuento, el inversionista registra una utilidad mayor que los intereses pagados
por el bono, cantidad igual al aumento de valor que en cada periodo registra el bono.
BIBLIOGRAFIA
Mora Zambrano Armando, (2014). Matemáticas Financieras. (Cuarta Edicion).
Bogotá: Alfaomega.
